Pada artikel ini, kita akan membahas secara rinci salah satu konsep utama geometri - tentang konsep garis lurus pada bidang. Pertama, mari kita definisikan istilah dan notasi dasar. Selanjutnya, kita membahas posisi relatif dari sebuah garis dan sebuah titik, serta dua garis pada sebuah bidang, dan memberikan aksioma yang diperlukan. Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan cara mengatur garis lurus pada bidang dan memberikan ilustrasi grafis.

Navigasi halaman.

Garis lurus pada bidang adalah sebuah konsep.

Sebelum memberikan konsep garis lurus pada bidang, seseorang harus memahami dengan jelas apa itu bidang. Representasi pesawat memungkinkan Anda untuk mendapatkan, misalnya, permukaan meja yang rata atau dinding rumah. Namun, harus diingat bahwa dimensi tabel terbatas, dan bidang melampaui batas-batas ini hingga tak terhingga (seolah-olah kita memiliki tabel besar yang berubah-ubah).

Jika kita mengambil pensil yang diasah dengan baik dan menyentuh permukaan "meja" dengan intinya, maka kita akan mendapatkan gambar sebuah titik. Jadi kita mendapatkan representasi titik pada bidang.

Sekarang kamu bisa pergi ke konsep garis lurus pada bidang.

Mari kita letakkan di permukaan meja (di pesawat) selembar kertas bersih. Untuk menggambar garis lurus, kita perlu mengambil penggaris dan menggambar garis dengan pensil sejauh ukuran penggaris dan kertas yang digunakan memungkinkan. Perlu dicatat bahwa dengan cara ini kita hanya mendapatkan sebagian dari garis lurus. Garis lurus secara keseluruhan, memanjang hingga tak terhingga, hanya bisa kita bayangkan.

Saling posisi garis dan titik.

Anda harus mulai dengan aksioma: ada titik di setiap garis lurus dan di setiap bidang.

Titik biasanya dilambangkan dengan huruf latin kapital, misalnya titik A dan F. Pada gilirannya, garis lurus dilambangkan dengan huruf Latin kecil, misalnya, garis lurus a dan d.

Mungkin dua opsi untuk posisi relatif garis dan titik pada bidang: apakah titik tersebut terletak pada garis (dalam hal ini garis juga dikatakan melalui titik tersebut), atau titik tersebut tidak terletak pada garis (disebut juga bahwa titik tersebut bukan merupakan bagian dari garis, atau garis tidak melalui titik).

Untuk menunjukkan bahwa suatu titik milik garis tertentu, simbol "" digunakan. Misalnya, jika titik A terletak pada garis a, maka Anda dapat menulis. Jika titik A tidak termasuk dalam garis a, maka tuliskan.

Pernyataan berikut ini benar: melalui dua titik hanya ada satu garis lurus.

Pernyataan ini adalah aksioma dan harus diterima sebagai fakta. Selain itu, ini cukup jelas: kami menandai dua titik di atas kertas, menerapkan penggaris padanya dan menggambar garis lurus. Sebuah garis lurus yang melalui dua titik tertentu (misalnya, melalui titik A dan B), dapat dilambangkan dengan dua huruf ini (dalam kasus kami, garis lurus AB atau BA).

Harus dipahami bahwa pada garis lurus yang diberikan pada sebuah bidang, ada banyak titik berbeda yang tak terhingga, dan semua titik ini terletak pada bidang yang sama. Pernyataan ini ditetapkan oleh aksioma: jika dua titik dari suatu garis terletak pada suatu bidang, maka semua titik dari garis ini terletak pada bidang ini.

Himpunan semua titik yang terletak di antara dua titik yang diberikan pada garis lurus, bersama-sama dengan titik-titik ini, disebut garis lurus atau hanya segmen. Titik-titik yang mengikat ruas disebut ujung ruas. Segmen dilambangkan dengan dua huruf yang sesuai dengan titik-titik ujung segmen. Misalkan titik A dan B merupakan ujung dari suatu ruas, maka ruas tersebut dapat dilambangkan dengan AB atau BA. Perlu diketahui bahwa penunjukan ruas ini sama dengan penunjukan garis lurus. Untuk menghindari kebingungan, sebaiknya tambahkan kata "segmen" atau "lurus" ke penunjukan.

Untuk catatan singkat milik dan bukan milik titik tertentu ke segmen tertentu, semua simbol yang sama dan digunakan. Untuk menunjukkan bahwa segmen terletak atau tidak terletak pada garis lurus, simbol dan digunakan masing-masing. Misalnya, jika segmen AB termasuk ke dalam garis a, Anda dapat menuliskannya secara singkat.

Kita juga harus memikirkan kasus ketika tiga titik berbeda berada pada garis yang sama. Dalam hal ini, satu, dan hanya satu titik, terletak di antara dua lainnya. Pernyataan ini adalah aksioma lain. Misalkan titik A, B, dan C terletak pada garis lurus yang sama, dan titik B terletak di antara titik A dan C. Maka kita dapat mengatakan bahwa titik A dan C berada pada sisi yang berlawanan dari titik B. Anda juga dapat mengatakan bahwa titik B dan C terletak pada sisi yang sama dari titik A, dan titik A dan B terletak pada sisi yang sama dari titik C.

Untuk melengkapi gambar, kami mencatat bahwa setiap titik dari garis lurus membagi garis lurus ini menjadi dua bagian - dua balok. Untuk kasus ini, sebuah aksioma diberikan: sebuah titik sembarang O, milik sebuah garis, membagi garis ini menjadi dua sinar, dan setiap dua titik dari satu sinar terletak pada sisi yang sama dari titik O, dan setiap dua titik dari sinar yang berbeda terletak pada sisi yang berlawanan dari titik O.

Susunan timbal balik garis lurus pada bidang.

Sekarang mari kita jawab pertanyaan: "Bagaimana dua garis dapat ditempatkan pada bidang yang relatif satu sama lain"?

Pertama, dua garis pada bidang dapat bertepatan.

Ini dimungkinkan ketika garis memiliki setidaknya dua titik yang sama. Memang, berdasarkan aksioma yang disuarakan dalam paragraf sebelumnya, satu garis lurus melewati dua titik. Dengan kata lain, jika dua garis melewati dua titik tertentu, maka keduanya bertepatan.

Kedua, dua garis dalam sebuah bidang dapat menyeberang.

Dalam hal ini, garis memiliki satu titik yang sama, yang disebut titik perpotongan garis. Perpotongan garis dilambangkan dengan simbol "", misalnya catatan berarti bahwa garis a dan b berpotongan di titik M. Garis berpotongan membawa kita pada konsep sudut antara garis berpotongan. Secara terpisah, ada baiknya mempertimbangkan lokasi garis lurus pada bidang ketika sudut di antara mereka adalah sembilan puluh derajat. Dalam hal ini, garis disebut tegak lurus(kami merekomendasikan artikel garis tegak lurus, garis tegak lurus). Jika garis a tegak lurus dengan garis b, maka notasi pendek dapat digunakan.

Ketiga, dua garis pada bidang dapat sejajar.

Dari sudut pandang praktis, akan lebih mudah untuk mempertimbangkan garis lurus pada bidang bersama-sama dengan vektor. Yang paling penting adalah vektor bukan nol yang terletak pada garis tertentu atau pada salah satu garis paralel, mereka disebut vektor arah garis lurus. Artikel vektor pengarah garis lurus pada bidang memberikan contoh vektor pengarah dan menunjukkan opsi untuk penggunaannya dalam memecahkan masalah.

Anda juga harus memperhatikan vektor bukan nol yang terletak pada salah satu garis yang tegak lurus dengan yang diberikan. Vektor semacam itu disebut vektor normal garis. Penggunaan vektor normal garis lurus dijelaskan dalam artikel vektor normal garis lurus pada bidang.

Ketika tiga atau lebih garis lurus diberikan pada sebuah bidang, ada banyak pilihan berbeda untuk posisi relatifnya. Semua garis mungkin sejajar, jika tidak, beberapa atau semuanya berpotongan. Dalam hal ini, semua garis dapat berpotongan pada satu titik (lihat artikel pensil garis), atau mereka dapat memiliki titik potong yang berbeda.

Kami tidak akan membahas ini secara rinci, tetapi kami akan mengutip beberapa fakta yang luar biasa dan sangat sering digunakan tanpa bukti:

• jika dua garis sejajar dengan garis ketiga, maka mereka sejajar satu sama lain;
• jika dua garis tegak lurus terhadap garis ketiga, maka mereka sejajar satu sama lain;
• jika pada suatu bidang sebuah garis memotong salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut juga memotong garis kedua.

Metode untuk menetapkan garis lurus di pesawat.

Sekarang kami akan membuat daftar cara utama di mana Anda dapat menentukan garis tertentu di pesawat. Pengetahuan ini sangat berguna dari sudut pandang praktis, karena solusi dari begitu banyak contoh dan masalah didasarkan pada itu.

Pertama, garis lurus dapat ditentukan dengan menentukan dua titik pada bidang.

Memang, dari aksioma yang dibahas dalam paragraf pertama artikel ini, kita tahu bahwa garis lurus melewati dua titik, dan terlebih lagi, hanya satu.

Jika koordinat dua titik yang tidak serasi ditunjukkan dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang, maka persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu dapat dituliskan.

Kedua, sebuah garis dapat ditentukan dengan menentukan titik yang dilaluinya dan garis yang sejajar dengannya. Metode ini valid, karena satu garis lurus melewati titik tertentu pada bidang, sejajar dengan garis lurus tertentu. Bukti fakta ini dilakukan pada pelajaran geometri di sekolah menengah.

Jika garis lurus pada bidang diatur dengan cara ini sehubungan dengan sistem koordinat Cartesian persegi panjang yang diperkenalkan, maka dimungkinkan untuk membuat persamaannya. Ini ditulis dalam artikel persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu yang sejajar dengan garis lurus tertentu.

Ketiga, sebuah garis dapat didefinisikan dengan menentukan titik yang dilaluinya dan vektor arahnya.

Jika garis lurus diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang dengan cara ini, maka mudah untuk menyusun persamaan kanonik garis lurus pada bidang dan persamaan parametrik dari garis lurus pada bidang.

Cara keempat untuk menentukan garis adalah dengan menentukan titik yang dilaluinya dan garis yang tegak lurus. Memang, hanya ada satu garis yang melalui suatu titik tertentu pada bidang yang tegak lurus terhadap garis tersebut. Mari kita tinggalkan fakta ini tanpa bukti.

Akhirnya, sebuah garis pada bidang dapat ditentukan dengan menentukan titik yang dilaluinya dan vektor normal garis tersebut.

Jika koordinat suatu titik yang terletak pada suatu garis tertentu dan koordinat vektor normal garis tersebut diketahui, maka persamaan umum garis tersebut dapat dituliskan.

Bibliografi.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometri. Kelas 7 - 9: buku teks untuk lembaga pendidikan.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Buku teks untuk kelas 10-11 sekolah menengah.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematika Tinggi. Volume Satu: Elemen Aljabar Linier dan Geometri Analitik.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometri analitik.

Hak Cipta oleh siswa pintar

Seluruh hak cipta.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tidak ada bagian dari www.site, termasuk materi internal dan desain eksternal, yang boleh direproduksi dalam bentuk apa pun atau digunakan tanpa izin tertulis sebelumnya dari pemegang hak cipta.

Oh-oh-oh-oh-oh ... yah, nyaring, seolah-olah Anda membaca kalimat itu sendiri =) Namun, relaksasi akan membantu, terutama karena saya membeli aksesori yang cocok hari ini. Karena itu, mari kita lanjutkan ke bagian pertama, saya harap, pada akhir artikel saya akan menjaga suasana hati yang ceria.

Susunan timbal balik dari dua garis lurus

Kasus ketika aula bernyanyi bersama dalam paduan suara. Dua garis bisa:

1) pertandingan;

2) sejajar: ;

3) atau berpotongan di satu titik: .

Bantuan untuk boneka : harap diingat tanda matematika persimpangan , itu akan sangat sering terjadi. Entri berarti bahwa garis berpotongan dengan garis di titik.

Bagaimana cara menentukan posisi relatif dari dua garis?

Mari kita mulai dengan kasus pertama:

Dua garis bertepatan jika dan hanya jika koefisien masing-masing sebanding, yaitu, ada sejumlah "lambda" sehingga persamaan

Mari kita pertimbangkan garis lurus dan buat tiga persamaan dari koefisien yang sesuai: . Dari setiap persamaan dapat disimpulkan bahwa, oleh karena itu, garis-garis ini bertepatan.

Memang, jika semua koefisien persamaan kalikan dengan -1 (ubah tanda), dan semua koefisien persamaan dikurangi dengan 2, Anda mendapatkan persamaan yang sama: .

Kasus kedua ketika garis sejajar:

Dua garis dikatakan sejajar jika dan hanya jika koefisien-koefisiennya pada variabel-variabelnya sebanding: , tetapi.

Sebagai contoh, perhatikan dua garis lurus. Kami memeriksa proporsionalitas koefisien yang sesuai untuk variabel:

Namun, jelas bahwa .

Dan kasus ketiga, ketika garis berpotongan:

Dua garis berpotongan jika dan hanya jika koefisien variabelnya TIDAK proporsional, yaitu, TIDAK ada nilai "lambda" yang persamaannya terpenuhi

Jadi, untuk garis lurus kita akan membuat sistem:

Dari persamaan pertama diperoleh bahwa , dan dari persamaan kedua : , maka, sistem tidak konsisten(tidak ada solusi). Dengan demikian, koefisien pada variabel tidak proporsional.

Kesimpulan: garis berpotongan

Dalam masalah praktis, skema solusi yang baru saja dipertimbangkan dapat digunakan. Omong-omong, ini sangat mirip dengan algoritma untuk memeriksa vektor untuk kolinearitas, yang kami pertimbangkan dalam pelajaran. Konsep linear (non) ketergantungan vektor. Dasar vektor. Tetapi ada paket yang lebih beradab:

Contoh 1

Cari tahu posisi relatif garis:

Larutan berdasarkan studi tentang mengarahkan vektor garis lurus:

a) Dari persamaan kita menemukan vektor arah garis: .

, sehingga vektor-vektornya tidak segaris dan garis-garisnya berpotongan.

Untuk jaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan petunjuk di persimpangan jalan:

Sisanya melompati batu dan mengikuti, langsung ke Kashchei the Deathless =)

b) Tentukan vektor arah dari garis-garis tersebut:

Garis-garis tersebut memiliki vektor arah yang sama, yang berarti keduanya sejajar atau sama. Di sini determinan tidak diperlukan.

Jelas, koefisien yang tidak diketahui adalah proporsional, sedangkan .

Mari kita cari tahu apakah persamaan itu benar:

Lewat sini,

c) Tentukan vektor arah dari garis-garis tersebut:

Mari kita hitung determinannya, yang terdiri dari koordinat vektor-vektor ini:
, oleh karena itu, vektor arah adalah collinear. Garis-garisnya sejajar atau berhimpitan.

Faktor proporsionalitas "lambda" mudah dilihat langsung dari rasio vektor arah collinear. Namun, itu juga dapat ditemukan melalui koefisien persamaan itu sendiri: .

Sekarang mari kita cari tahu apakah persamaan itu benar. Kedua suku bebas adalah nol, jadi:

Nilai yang dihasilkan memenuhi persamaan ini (angka berapa pun umumnya memenuhinya).

Dengan demikian, garis bertepatan.

Menjawab:

Segera Anda akan belajar (atau bahkan telah belajar) untuk memecahkan masalah yang dipertimbangkan secara lisan secara harfiah dalam hitungan detik. Dalam hal ini, saya tidak melihat alasan untuk menawarkan sesuatu untuk solusi independen, lebih baik meletakkan satu batu bata penting lagi di fondasi geometris:

Bagaimana cara menggambar garis sejajar dengan yang diberikan?

Karena ketidaktahuan akan tugas paling sederhana ini, Nightingale the Robber menghukum dengan berat.

Contoh 2

Garis lurus diberikan oleh persamaan . Tuliskan persamaan garis sejajar yang melalui titik tersebut.

Larutan: Menunjukkan baris yang tidak dikenal dengan huruf. Apa yang dikatakan kondisi tentang itu? Garis melewati titik. Dan jika garis-garisnya sejajar, maka jelas bahwa vektor pengarah garis "ce" juga cocok untuk membangun garis "te".

Kami mengambil vektor arah dari persamaan:

Menjawab:

Geometri contoh terlihat sederhana:

Verifikasi analitis terdiri dari langkah-langkah berikut:

1) Kami memeriksa bahwa garis memiliki vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak disederhanakan dengan benar, maka vektor akan kolinear).

2) Periksa apakah titik memenuhi persamaan yang dihasilkan.

Verifikasi analitis dalam banyak kasus mudah dilakukan secara lisan. Lihatlah dua persamaan dan banyak dari Anda akan segera mengetahui bagaimana garis sejajar tanpa menggambar apa pun.

Contoh untuk pemecahan diri hari ini akan kreatif. Karena Anda masih harus bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, Anda tahu, adalah pecinta semua jenis teka-teki.

Contoh 3

Tuliskan persamaan garis yang melalui sebuah titik yang sejajar dengan garis jika

Ada cara yang rasional dan tidak terlalu rasional untuk menyelesaikannya. Cara terpendek adalah di akhir pelajaran.

Kami melakukan sedikit pekerjaan dengan garis paralel dan akan kembali lagi nanti. Kasus garis bertepatan kurang menarik, jadi mari kita pertimbangkan masalah yang Anda ketahui dari kurikulum sekolah:

Bagaimana cara mencari titik potong dua garis?

Jika lurus berpotongan di titik , maka koordinatnya adalah penyelesaiannya sistem persamaan linear

Bagaimana cara menemukan titik potong garis? Memecahkan sistem.

Ini untukmu arti geometris dari sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui adalah dua garis lurus yang berpotongan (paling sering) pada sebuah bidang.

Contoh 4

Cari titik potong garis

Larutan: Ada dua cara untuk memecahkan - grafis dan analitis.

Cara grafisnya adalah dengan menggambar garis yang diberikan dan mencari tahu titik potongnya langsung dari gambar:

Inilah poin kami: . Untuk memeriksa, Anda harus mengganti koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis lurus, mereka harus cocok di sana dan di sana. Dengan kata lain, koordinat titik adalah solusi dari sistem . Faktanya, kami mempertimbangkan cara grafis untuk menyelesaikannya sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.

Metode grafis, tentu saja, tidak buruk, tetapi ada kelemahan yang nyata. Tidak, intinya bukan siswa kelas tujuh yang memutuskan seperti ini, intinya butuh waktu untuk membuat gambar yang benar dan TEPAT. Selain itu, beberapa garis tidak begitu mudah untuk dibuat, dan titik perpotongan itu sendiri mungkin berada di suatu tempat di kerajaan ketiga puluh di luar lembar buku catatan.

Oleh karena itu, lebih bijaksana untuk mencari titik potong dengan metode analitik. Mari kita selesaikan sistemnya:

Untuk menyelesaikan sistem, metode penambahan persamaan termwise digunakan. Untuk mengembangkan keterampilan yang relevan, kunjungi pelajaran Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan?

Menjawab:

Verifikasinya sepele - koordinat titik persimpangan harus memenuhi setiap persamaan sistem.

Contoh 5

Temukan titik potong garis jika mereka berpotongan.

Ini adalah contoh do-it-yourself. Tugas dapat dengan mudah dibagi menjadi beberapa tahap. Analisis kondisi menunjukkan bahwa perlu:
1) Tulis persamaan garis lurus.
2) Tulis persamaan garis lurus.
3) Cari tahu posisi relatif dari garis.
4) Jika garis-garis tersebut berpotongan, maka tentukan titik potongnya.

Pengembangan algoritma tindakan adalah tipikal untuk banyak masalah geometris, dan saya akan berulang kali fokus pada hal ini.

Solusi lengkap dan jawaban di akhir tutorial:

Sepasang sepatu belum aus, saat kita sampai pada bagian kedua dari pelajaran:

Garis tegak lurus. Jarak dari titik ke garis.
Sudut antar garis

Mari kita mulai dengan tugas yang khas dan sangat penting. Di bagian pertama, kami belajar cara membangun garis lurus sejajar dengan yang diberikan, dan sekarang gubuk di kaki ayam akan berubah 90 derajat:

Bagaimana cara menggambar garis yang tegak lurus dengan garis yang diberikan?

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan . Tuliskan persamaan garis tegak lurus yang melalui sebuah titik.

Larutan: Diketahui dengan asumsi bahwa . Akan lebih baik untuk menemukan vektor arah garis lurus. Karena garisnya tegak lurus, triknya sederhana:

Dari persamaan kita "menghilangkan" vektor normal: , yang akan menjadi vektor pengarah garis lurus.

Kami membuat persamaan garis lurus dengan titik dan vektor pengarah:

Menjawab:

Mari kita buka sketsa geometrisnya:

Hmmm... Langit jingga, laut jingga, unta jingga.

Verifikasi analitis dari solusi:

1) Ekstrak vektor arah dari persamaan dan dengan bantuan perkalian titik dari vektor kami menyimpulkan bahwa garis memang tegak lurus: .

Omong-omong, Anda dapat menggunakan vektor normal, bahkan lebih mudah.

2) Periksa apakah titik memenuhi persamaan yang dihasilkan .

Verifikasi, sekali lagi, mudah dilakukan secara verbal.

Contoh 7

Temukan titik potong garis tegak lurus, jika persamaan diketahui dan titik.

Ini adalah contoh do-it-yourself. Ada beberapa tindakan dalam tugas, jadi akan lebih mudah untuk mengatur solusi poin demi poin.

Perjalanan seru kami berlanjut:

Jarak dari titik ke garis

Di depan kita ada jalur sungai yang lurus dan tugas kita adalah mencapainya dengan cara terpendek. Tidak ada hambatan, dan rute yang paling optimal adalah pergerakan di sepanjang garis tegak lurus. Artinya, jarak dari suatu titik ke garis adalah panjang segmen yang tegak lurus.

Jarak dalam geometri secara tradisional dilambangkan dengan huruf Yunani "ro", misalnya: - jarak dari titik "em" ke garis lurus "de".

Jarak dari titik ke garis dinyatakan dengan rumus

Contoh 8

Tentukan jarak titik ke garis

Larutan: yang Anda butuhkan hanyalah mengganti angka dengan hati-hati ke dalam rumus dan melakukan perhitungan:

Menjawab:

Mari kita jalankan gambarnya:

Jarak yang ditemukan dari titik ke garis sama persis dengan panjang ruas merah. Jika Anda membuat gambar di atas kertas kotak-kotak dengan skala 1 unit. \u003d 1 cm (2 sel), maka jaraknya dapat diukur dengan penggaris biasa.

Pertimbangkan tugas lain sesuai dengan gambar yang sama:

Tugasnya adalah menemukan koordinat titik , yang simetris dengan titik terhadap garis . Saya mengusulkan untuk melakukan tindakan sendiri, namun, saya akan menguraikan algoritme solusi dengan hasil antara:

1) Temukan garis yang tegak lurus dengan garis.

2) Temukan titik potong garis: .

Kedua tindakan dibahas secara rinci dalam pelajaran ini.

3) Titik adalah titik tengah ruas. Kita tahu koordinat tengah dan salah satu ujungnya. Oleh rumus untuk koordinat tengah segmen Temukan .

Tidak akan berlebihan untuk memeriksa bahwa jaraknya juga sama dengan 2,2 unit.

Kesulitan di sini mungkin muncul dalam perhitungan, tetapi di menara kalkulator mikro banyak membantu, memungkinkan Anda menghitung pecahan biasa. Telah menyarankan berkali-kali dan akan merekomendasikan lagi.

Bagaimana cara mencari jarak antara dua garis sejajar?

Contoh 9

Hitunglah jarak antara dua garis sejajar

Ini adalah contoh lain untuk solusi independen. Sedikit petunjuk: ada banyak cara untuk menyelesaikannya. Pembekalan di akhir pelajaran, tetapi lebih baik coba tebak sendiri, saya pikir Anda berhasil membubarkan kecerdikan Anda dengan baik.

Sudut antara dua garis

Apapun sudutnya, maka kusennya:


Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus diambil sebagai sudut LEBIH KECIL, yang darinya secara otomatis mengikuti sehingga tidak dapat tumpul. Pada gambar, sudut yang ditunjukkan oleh busur merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis yang berpotongan. Dan tetangganya yang “hijau” atau berorientasi berlawanan sudut merah tua.

Jika garis-garisnya tegak lurus, maka salah satu dari 4 sudut dapat diambil sebagai sudut di antara mereka.

Bagaimana sudut-sudutnya berbeda? Orientasi. Pertama, arah "menggulir" sudut pada dasarnya penting. Kedua, sudut berorientasi negatif ditulis dengan tanda minus, misalnya jika .

Mengapa saya mengatakan ini? Tampaknya Anda bisa bertahan dengan konsep sudut yang biasa. Faktanya adalah bahwa dalam formula yang dengannya kita akan menemukan sudut, hasil negatif dapat dengan mudah diperoleh, dan ini seharusnya tidak mengejutkan Anda. Sudut dengan tanda minus tidak lebih buruk, dan memiliki makna geometris yang sangat spesifik. Dalam gambar untuk sudut negatif, sangat penting untuk menunjukkan orientasinya (searah jarum jam) dengan panah.

Bagaimana cara mencari sudut antara dua garis? Ada dua rumus kerja:

Contoh 10

Tentukan sudut antar garis

Larutan dan Metode satu

Pertimbangkan dua garis lurus yang diberikan oleh persamaan dalam bentuk umum:

Jika lurus tidak tegak lurus, kemudian berorientasi sudut di antara mereka dapat dihitung menggunakan rumus:

Mari kita perhatikan penyebutnya - ini persis produk skalar vektor arah garis lurus:

Jika , maka penyebut rumus hilang, dan vektor-vektornya akan ortogonal dan garis-garisnya akan tegak lurus. Itulah sebabnya reservasi dibuat tentang garis-garis yang tidak tegak lurus dalam formulasi.

Berdasarkan hal di atas, solusinya mudah diformalkan dalam dua langkah:

1) Hitung produk skalar dari mengarahkan vektor garis lurus:
jadi garisnya tidak tegak lurus.

2) Kami menemukan sudut antara garis dengan rumus:

Menggunakan fungsi invers, mudah untuk menemukan sudut itu sendiri. Dalam hal ini, kami menggunakan keanehan dari tangen busur (lihat Gambar. Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar):

Menjawab:

Dalam jawabannya, kami menunjukkan nilai yang tepat, serta nilai perkiraan (lebih disukai dalam derajat dan radian), dihitung menggunakan kalkulator.

Nah, minus, jadi minus, tidak apa-apa. Berikut adalah ilustrasi geometris:

Tidak mengherankan bahwa sudut itu ternyata memiliki orientasi negatif, karena dalam kondisi soal, angka pertama adalah garis lurus dan "pelintiran" sudut dimulai dengan tepat darinya.

Jika Anda benar-benar ingin mendapatkan sudut positif, Anda perlu menukar garis lurus, yaitu, ambil koefisien dari persamaan kedua , dan ambil koefisien dari persamaan pertama . Singkatnya, Anda harus mulai dengan direct .

Sekarang mari kita buat dua persamaan:

Mari kita lihat ketika garis d dan d yang didefinisikan oleh persamaan ini sejajar dalam arti luas, ketika mereka bertepatan, ketika mereka sejajar dalam arti yang tepat (yaitu, mereka tidak memiliki satu titik yang sama).

Jawaban atas pertanyaan pertama diperoleh segera: garis d dan d sejajar dalam arti luas jika dan hanya jika vektor arahnya collinear, yaitu ketika proporsi terjadi, dan oleh karena itu proporsi

Jika proporsi ini dapat diperluas ke proporsi

maka garis-garisnya bertepatan: dalam hal ini, semua koefisien dari salah satu dari dua persamaan (1), (D) diperoleh dari koefisien yang lain dengan mengalikan dengan beberapa dan, oleh karena itu, persamaan (1) dan setara (setiap titik memenuhi satu persamaan memenuhi yang lain).

Sebaliknya, jika dua garis bertepatan, maka proporsi (3) berlaku.

Mari kita buktikan ini dulu dalam kasus ketika garis kita sejajar dengan sumbu y. Kemudian , dan kita hanya perlu membuktikan persamaannya .

Tetapi persamaan terakhir (yang mengikuti dari fakta bahwa kedua garis (bertepatan) berpotongan dengan sumbu absis pada titik yang sama dengan absis .

Sekarang biarkan pendahuluan yang bertepatan tidak sejajar dengan sumbu y. Kemudian mereka memotongnya pada titik yang sama Q dengan ordinat dan kita memiliki proporsi , yang, bersama dengan proporsi (2) (mengungkapkan paralelisme garis dalam arti luas) memberi kita proporsi yang diperlukan (3).

Paralelisme dalam arti yang tepat berarti ada paralelisme dalam arti luas (yaitu, kondisi (2) terpenuhi), tetapi tidak ada kebetulan (yaitu, tidak terpenuhi). Ini berarti bahwa proporsi

terjadi, sedangkan

Gabungan dua relasi (2) dan (4) biasanya ditulis sebagai satu rumus:

Mari kita rangkum apa yang telah terbukti.

Teorema 1. Setiap garis lurus d pada bidang yang dilengkapi dengan sistem koordinat affine ditentukan oleh beberapa persamaan derajat pertama antara koordinat titik-titiknya. Sebaliknya, setiap persamaan derajat pertama

adalah persamaan dari beberapa (unik) garis d; selain itu, semua vektor sejajar dengan garis ini, dan hanya mereka yang memenuhi persamaan homogen

Artikel ini berisi uraian tentang garis sejajar dan tentang garis sejajar. Pertama, definisi garis sejajar pada bidang dan ruang diberikan, notasi diperkenalkan, contoh dan ilustrasi grafik garis sejajar diberikan. Selanjutnya, tanda dan kondisi paralelisme garis lurus dianalisis. Sebagai kesimpulan, solusi ditunjukkan untuk masalah khas dalam membuktikan paralelisme garis lurus, yang diberikan oleh beberapa persamaan garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang dan dalam ruang tiga dimensi.

Navigasi halaman.

Garis paralel - informasi dasar.

Definisi.

Dua garis dalam satu bidang disebut paralel jika mereka tidak memiliki poin yang sama.

Definisi.

Dua garis dalam tiga dimensi disebut paralel jika mereka terletak pada bidang yang sama dan tidak memiliki titik yang sama.

Perhatikan bahwa klausa "jika mereka terletak pada bidang yang sama" dalam definisi garis paralel dalam ruang sangat penting. Mari kita perjelas poin ini: dua garis lurus dalam ruang tiga dimensi yang tidak memiliki titik yang sama dan tidak terletak pada bidang yang sama tidak sejajar, tetapi miring.

Berikut adalah beberapa contoh garis paralel. Tepi berlawanan dari lembar notebook terletak pada garis paralel. Garis-garis lurus di mana bidang dinding rumah berpotongan dengan bidang langit-langit dan lantai adalah sejajar. Rel kereta api di permukaan tanah juga dapat dianggap sebagai jalur paralel.

Simbol "" digunakan untuk menunjukkan garis sejajar. Artinya, jika garis a dan b sejajar, maka secara singkat Anda dapat menulis a b.

Perhatikan bahwa jika garis a dan b sejajar, maka kita dapat mengatakan bahwa garis a sejajar dengan garis b, dan juga bahwa garis b sejajar dengan garis a.

Mari kita menyuarakan pernyataan yang memainkan peran penting dalam studi garis sejajar pada bidang: melalui titik yang tidak terletak pada garis tertentu, melewati satu-satunya garis yang sejajar dengan garis yang diberikan. Pernyataan ini diterima sebagai fakta (tidak dapat dibuktikan berdasarkan aksioma planimetri yang diketahui), dan disebut aksioma garis sejajar.

Untuk kasus di ruang angkasa, teorema ini benar: melalui sembarang titik dalam ruang yang tidak terletak pada garis tertentu, melewati satu garis sejajar dengan garis yang diberikan. Teorema ini dapat dengan mudah dibuktikan dengan menggunakan aksioma garis sejajar di atas (Anda dapat menemukan buktinya di buku teks geometri kelas 10-11, yang tercantum di akhir artikel dalam daftar pustaka).

Untuk kasus di ruang angkasa, teorema ini benar: melalui sembarang titik dalam ruang yang tidak terletak pada garis tertentu, melewati satu garis sejajar dengan garis yang diberikan. Teorema ini mudah dibuktikan dengan menggunakan aksioma garis sejajar yang diberikan di atas.

Paralelisme garis - tanda dan kondisi paralelisme.

Tanda garis sejajar adalah syarat yang cukup untuk garis-garis sejajar, yaitu syarat yang pemenuhannya menjamin garis-garis sejajar. Dengan kata lain, pemenuhan syarat ini cukup untuk menyatakan fakta bahwa garis-garis itu sejajar.

Ada juga kondisi perlu dan cukup untuk garis sejajar pada bidang dan ruang tiga dimensi.

Mari kita jelaskan arti dari frasa "kondisi perlu dan cukup untuk garis sejajar".

Kami telah berurusan dengan kondisi yang cukup untuk garis paralel. Dan apa "kondisi yang diperlukan untuk garis paralel"? Dengan nama "perlu" jelas bahwa pemenuhan syarat ini diperlukan agar garis sejajar. Dengan kata lain, jika kondisi yang diperlukan untuk garis sejajar tidak terpenuhi, maka garis tidak sejajar. Lewat sini, syarat perlu dan syarat cukup agar garis sejajar adalah suatu kondisi, yang pemenuhannya perlu dan cukup untuk garis sejajar. Artinya, di satu sisi, ini adalah tanda garis paralel, dan di sisi lain, ini adalah properti yang dimiliki garis paralel.

Sebelum menyatakan syarat perlu dan syarat cukup agar garis sejajar, ada gunanya mengingat kembali beberapa definisi bantu.

garis potong adalah garis yang memotong masing-masing dari dua garis yang tidak bertepatan.

Di persimpangan dua garis garis potong, delapan garis yang tidak digunakan terbentuk. Disebut berbaring melintang, sesuai dan sudut satu sisi. Mari kita tunjukkan pada gambar.

Dalil.

Jika dua garis pada bidang berpotongan oleh sebuah garis potong, maka untuk kesejajaran mereka perlu dan cukup bahwa sudut-sudut yang bersilangan adalah sama, atau sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, atau jumlah sudut satu sisi sama dengan 180 derajat.

Mari kita tunjukkan ilustrasi grafis dari kondisi perlu dan cukup ini untuk garis sejajar pada bidang.

Anda dapat menemukan bukti kondisi ini untuk garis paralel di buku teks geometri untuk kelas 7-9.

Perhatikan bahwa kondisi ini juga dapat digunakan dalam ruang tiga dimensi - yang utama adalah bahwa dua garis dan garis potong terletak pada bidang yang sama.

Berikut adalah beberapa teorema lagi yang sering digunakan dalam membuktikan paralelisme garis.

Dalil.

Jika dua garis pada sebuah bidang sejajar dengan garis ketiga, maka keduanya sejajar. Bukti fitur ini mengikuti aksioma garis sejajar.

Ada kondisi serupa untuk garis paralel dalam ruang tiga dimensi.

Dalil.

Jika dua garis dalam ruang sejajar dengan garis ketiga, maka keduanya sejajar. Bukti fitur ini dipertimbangkan dalam pelajaran geometri di kelas 10.

Mari kita ilustrasikan teorema bersuara.

Mari kita berikan satu teorema lagi yang memungkinkan kita untuk membuktikan paralelisme garis pada bidang.

Dalil.

Jika dua garis pada suatu bidang tegak lurus terhadap garis ketiga, maka keduanya sejajar.

Ada teorema serupa untuk garis dalam ruang.

Dalil.

Jika dua garis dalam ruang tiga dimensi tegak lurus terhadap bidang yang sama, maka keduanya sejajar.

Mari kita menggambar gambar yang sesuai dengan teorema ini.

Semua teorema yang dirumuskan di atas, tanda dan kondisi perlu dan cukup sangat cocok untuk membuktikan paralelisme garis lurus dengan metode geometri. Yaitu, untuk membuktikan paralelisme dua garis yang diberikan, perlu untuk menunjukkan bahwa mereka sejajar dengan garis ketiga, atau untuk menunjukkan kesetaraan sudut-sudut yang bersilangan, dll. Banyak dari masalah ini diselesaikan dalam pelajaran geometri di sekolah menengah. Namun, perlu dicatat bahwa dalam banyak kasus akan lebih mudah menggunakan metode koordinat untuk membuktikan paralelisme garis pada bidang atau dalam ruang tiga dimensi. Mari kita merumuskan kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis yang diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang.

Paralelisme garis dalam sistem koordinat persegi panjang.

Di bagian artikel ini, kami akan merumuskan syarat perlu dan syarat cukup untuk garis sejajar dalam sistem koordinat persegi panjang, tergantung pada jenis persamaan yang menentukan garis-garis ini, dan kami juga akan memberikan solusi terperinci untuk masalah umum.

Mari kita mulai dengan kondisi paralelisme dua garis pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang Oxy . Pembuktiannya didasarkan pada definisi vektor pengarah garis dan definisi vektor normal garis pada bidang.

Dalil.

Agar dua garis yang tidak bertepatan sejajar pada suatu bidang, perlu dan cukup bahwa vektor-vektor arah dari garis-garis ini adalah collinear, atau vektor-vektor normal dari garis-garis ini adalah collinear, atau vektor-vektor arah dari satu garis tegak lurus terhadap normal. vektor garis kedua.

Jelas, kondisi paralelisme dua garis pada bidang berkurang menjadi (vektor arah garis atau vektor normal garis) atau menjadi (vektor arah satu garis dan vektor normal garis kedua). Jadi, jika dan adalah vektor arah dari garis a dan b, dan dan adalah vektor-vektor normal garis a dan b berturut-turut, maka syarat perlu dan syarat cukup untuk garis sejajar a dan b dapat ditulis sebagai , atau , atau , di mana t adalah beberapa bilangan real. Pada gilirannya, koordinat arah dan (atau) vektor normal dari garis lurus a dan b ditemukan dari persamaan garis lurus yang diketahui.

Secara khusus, jika garis a dalam sistem koordinat persegi panjang Oxy pada bidang mendefinisikan persamaan umum dari garis bentuk , dan garis lurus b - , maka vektor-vektor normal dari garis-garis ini memiliki koordinat dan masing-masing, dan kondisi paralelisme garis a dan b akan ditulis sebagai .

Jika garis lurus a sesuai dengan persamaan garis lurus dengan koefisien kemiringan bentuk . Oleh karena itu, jika garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang sejajar dan dapat diberikan oleh persamaan garis lurus dengan koefisien kemiringan, maka koefisien kemiringan garis akan sama. Dan sebaliknya: jika garis lurus yang tidak bertepatan pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang dapat diberikan oleh persamaan garis lurus dengan koefisien kemiringan yang sama, maka garis lurus tersebut sejajar.

Jika garis a dan garis b dalam sistem koordinat persegi panjang menentukan persamaan kanonik garis pada bidang berbentuk dan , atau persamaan parametrik garis lurus pada bidang berbentuk dan masing-masing, maka vektor arah dari garis-garis ini memiliki koordinat dan , dan kondisi paralelisme untuk garis a dan b ditulis sebagai .

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh.

Apakah garis-garisnya sejajar? dan ?

Larutan.

Kami menulis ulang persamaan garis lurus di segmen dalam bentuk persamaan umum garis lurus: . Sekarang kita dapat melihat bahwa itu adalah vektor normal dari garis lurus , dan merupakan vektor normal dari garis lurus. Vektor-vektor ini tidak kolinear, karena tidak ada bilangan real t yang persamaannya ( ). Akibatnya, kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis pada bidang tidak terpenuhi, oleh karena itu, garis yang diberikan tidak sejajar.

Menjawab:

Tidak, garisnya tidak sejajar.

Contoh.

Apakah garis dan paralel?

Larutan.

Kami membawa persamaan kanonik garis lurus ke persamaan garis lurus dengan kemiringan: . Jelas, persamaan garis dan tidak sama (dalam hal ini, garis yang diberikan akan sama) dan kemiringan garis sama, oleh karena itu, garis aslinya sejajar.