Hari ini kita akan melihat apa yang disebut kuantitas berbanding terbalik, seperti apa grafik proporsionalitas terbalik, dan bagaimana semua ini dapat bermanfaat bagi Anda tidak hanya dalam pelajaran matematika, tetapi juga di luar tembok sekolah.
Proporsi yang berbeda
Proporsionalitas sebutkan dua besaran yang saling bergantung satu sama lain.
Ketergantungan bisa langsung dan sebaliknya. Oleh karena itu, hubungan antara besaran menggambarkan proporsionalitas langsung dan berbanding terbalik.
Proporsionalitas langsung- ini adalah hubungan antara dua kuantitas, di mana peningkatan atau penurunan salah satunya mengarah pada peningkatan atau penurunan yang lain. Itu. sikap mereka tidak berubah.
Misalnya, semakin banyak upaya yang Anda lakukan untuk mempersiapkan ujian, semakin tinggi nilai Anda. Atau semakin banyak barang yang Anda bawa saat mendaki, semakin sulit untuk membawa ransel Anda. Itu. jumlah upaya yang dihabiskan untuk mempersiapkan ujian berbanding lurus dengan nilai yang diterima. Dan jumlah barang yang dikemas dalam ransel berbanding lurus dengan beratnya.
Proporsionalitas terbalik- ini adalah ketergantungan fungsional, di mana penurunan atau peningkatan beberapa kali dari nilai independen (disebut argumen) menyebabkan peningkatan atau penurunan proporsional (yaitu, dengan jumlah yang sama) dalam nilai dependen (disebut a fungsi).
Mari kita ilustrasikan dengan contoh sederhana. Anda ingin membeli apel di pasar. Apel di konter dan jumlah uang di dompet Anda berbanding terbalik. Itu. semakin banyak apel yang Anda beli, semakin sedikit uang yang tersisa.
Fungsi dan grafiknya
Fungsi proporsionalitas terbalik dapat digambarkan sebagai: y = k/x. Di mana x 0 dan k≠ 0.
Fungsi ini memiliki sifat sebagai berikut:
- Domain definisinya adalah himpunan semua bilangan real kecuali x = 0. D(kamu): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Rentangnya adalah semua bilangan real kecuali kamu= 0. E(y): (-∞; 0) kamu (0; +∞) .
- Ini tidak memiliki nilai maksimum atau minimum.
- Ganjil dan grafiknya simetris terhadap titik asal.
- Non-periodik.
- Grafiknya tidak memotong sumbu koordinat.
- Tidak memiliki angka nol.
- Jika sebuah k> 0 (yaitu, argumen meningkat), fungsi menurun secara proporsional pada setiap intervalnya. Jika sebuah k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Saat argumen meningkat ( k> 0) nilai negatif fungsi berada dalam interval (-∞; 0), dan nilai positif berada dalam interval (0; +∞). Ketika argumen menurun ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Grafik fungsi proporsionalitas terbalik disebut hiperbola. Digambarkan sebagai berikut:
Masalah Proporsional Terbalik
Untuk membuatnya lebih jelas, mari kita lihat beberapa tugas. Mereka tidak terlalu rumit, dan solusinya akan membantu Anda memvisualisasikan apa itu proporsi terbalik dan bagaimana pengetahuan ini dapat berguna dalam kehidupan sehari-hari Anda.
Tugas nomor 1. Mobil bergerak dengan kecepatan 60 km/jam. Butuh waktu 6 jam untuk mencapai tujuannya. Berapa lama waktu yang dibutuhkannya untuk menempuh jarak yang sama jika ia bergerak dengan kecepatan dua kali lipat?
Kita bisa mulai dengan menuliskan rumus yang menjelaskan hubungan waktu, jarak dan kecepatan: t = S/V. Setuju, itu sangat mengingatkan kita pada fungsi proporsionalitas terbalik. Dan ini menunjukkan bahwa waktu yang dihabiskan mobil di jalan, dan kecepatan bergeraknya, berbanding terbalik.
Untuk memverifikasi ini, mari kita cari V 2, yang, dengan syarat, 2 kali lebih tinggi: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / jam. Kemudian kita hitung jaraknya menggunakan rumus S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sekarang tidak sulit untuk mencari waktu t 2 yang diperlukan dari kita sesuai dengan kondisi masalah: t 2 = 360/120 = 3 jam.
Seperti yang Anda lihat, waktu tempuh dan kecepatan memang berbanding terbalik: dengan kecepatan 2 kali lebih tinggi dari kecepatan aslinya, mobil akan menghabiskan waktu 2 kali lebih sedikit di jalan.
Solusi untuk masalah ini juga dapat ditulis sebagai proporsi. Mengapa kita membuat diagram seperti ini:
60 km/jam – 6 jam
120 km/jam – x j
Panah menunjukkan hubungan terbalik. Dan mereka juga menyarankan bahwa ketika menyusun proporsi, sisi kanan catatan harus dibalik: 60/120 \u003d x / 6. Di mana kita mendapatkan x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 jam.
Tugas nomor 2. Bengkel mempekerjakan 6 pekerja yang menangani sejumlah pekerjaan tertentu dalam 4 jam. Jika jumlah pekerja dibelah dua, berapa lama waktu yang dibutuhkan pekerja yang tersisa untuk menyelesaikan jumlah pekerjaan yang sama?
Kami menulis kondisi masalah dalam bentuk diagram visual:
6 pekerja - 4 jam
3 pekerja - x jam
Mari kita tulis ini sebagai proporsi: 6/3 = x/4. Dan kita mendapatkan x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 jam. Jika ada pekerja 2 kali lebih sedikit, sisanya akan menghabiskan waktu 2 kali lebih banyak untuk menyelesaikan semua pekerjaan.
Tugas nomor 3. Dua pipa mengarah ke kolam. Melalui satu pipa, air masuk dengan laju 2 l/s dan mengisi kolam dalam waktu 45 menit. Melalui pipa lain, kolam akan terisi dalam 75 menit. Seberapa cepat air masuk ke kolam melalui pipa ini?
Untuk memulainya, kita akan membawa semua besaran yang diberikan kepada kita sesuai dengan kondisi masalah ke unit pengukuran yang sama. Untuk melakukan ini, kami menyatakan laju pengisian kolam dalam liter per menit: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / mnt.
Karena mengikuti kondisi kolam diisi lebih lambat melalui pipa kedua, itu berarti laju aliran air lebih rendah. Di muka proporsi terbalik. Mari kita nyatakan kecepatan yang tidak kita ketahui dalam bentuk x dan buat skema berikut:
120 l/mnt - 45 mnt
x l/mnt – 75 mnt
Dan kemudian kita akan membuat proporsi: 120 / x \u003d 75/45, dari mana x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / mnt.
Dalam soal, laju pengisian kolam dinyatakan dalam liter per detik, mari kita bawa jawaban kita ke bentuk yang sama: 72/60 = 1,2 l/s.
Tugas nomor 4. Kartu nama dicetak di percetakan swasta kecil. Seorang karyawan percetakan bekerja dengan kecepatan 42 kartu nama per jam dan bekerja penuh waktu - 8 jam. Jika dia bekerja lebih cepat dan mencetak 48 kartu nama per jam, berapa lama lagi dia bisa pulang?
Kami pergi dengan cara yang terbukti dan menyusun skema sesuai dengan kondisi masalah, yang menunjukkan nilai yang diinginkan sebagai x:
42 kartu nama/jam – 8 jam
48 kartu nama/jam – xh
Di hadapan kita ada hubungan berbanding terbalik: berapa kali lebih banyak kartu nama yang dicetak oleh seorang karyawan percetakan per jam, jumlah waktu yang sama yang dibutuhkannya untuk menyelesaikan pekerjaan yang sama. Mengetahui hal ini, kita dapat mengatur proporsi:
42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 jam.
Jadi, setelah menyelesaikan pekerjaan dalam 7 jam, pegawai percetakan bisa pulang satu jam lebih awal.
Kesimpulan
Tampaknya bagi kita bahwa masalah proporsionalitas terbalik ini sangat sederhana. Kami harap sekarang Anda juga mempertimbangkannya. Dan yang paling penting, pengetahuan tentang ketergantungan kuantitas yang berbanding terbalik benar-benar dapat bermanfaat bagi Anda lebih dari sekali.
Tidak hanya di kelas matematika dan ujian. Tetapi meskipun demikian, ketika Anda akan melakukan perjalanan, berbelanja, memutuskan untuk mendapatkan uang selama liburan, dll.
Beri tahu kami di komentar apa contoh proporsionalitas terbalik dan langsung yang Anda perhatikan di sekitar Anda. Biarkan ini menjadi permainan. Anda akan melihat betapa menariknya itu. Jangan lupa untuk "bagikan" artikel ini ke jejaring sosial agar teman dan teman sekelas Anda juga dapat bermain.
situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.
Kedua besaran tersebut disebut berbanding lurus, jika ketika salah satunya ditingkatkan beberapa kali, yang lain meningkat dengan jumlah yang sama. Dengan demikian, ketika salah satu dari mereka berkurang beberapa kali, yang lain berkurang dengan jumlah yang sama.
Hubungan antara besaran-besaran tersebut merupakan hubungan proporsional langsung. Contoh hubungan proporsional langsung:
1) pada kecepatan konstan, jarak yang ditempuh berbanding lurus dengan waktu;
2) keliling persegi dan sisinya berbanding lurus;
3) biaya komoditi yang dibeli pada satu harga berbanding lurus dengan kuantitasnya.
Untuk membedakan hubungan proporsional langsung dari hubungan terbalik, Anda dapat menggunakan pepatah: "Semakin jauh ke dalam hutan, semakin banyak kayu bakar."
Akan lebih mudah untuk menyelesaikan masalah untuk jumlah yang berbanding lurus dengan menggunakan proporsi.
1) Untuk pembuatan 10 bagian, dibutuhkan 3,5 kg logam. Berapa banyak logam yang akan digunakan untuk membuat 12 bagian tersebut?
(Kami berdebat seperti ini:
1. Pada kolom yang telah diisi, arahkan panah dari angka terbesar ke terkecil.
2. Semakin banyak bagian, semakin banyak logam yang dibutuhkan untuk membuatnya. Jadi hubungan itu berbanding lurus.
Misal x kg logam diperlukan untuk membuat 12 bagian. Kami membuat proporsi (dalam arah dari awal panah ke ujungnya):
12:10=x:3.5
Untuk menemukan , kita perlu membagi produk dari suku ekstrim dengan suku tengah yang diketahui:
Ini berarti bahwa 4,2 kg logam akan dibutuhkan.
Jawab: 4.2kg.
2) 1680 rubel dibayar untuk 15 meter kain. Berapa harga 12 meter kain seperti itu?
(1. Pada kolom yang telah diisi, arahkan panah dari angka terbesar ke terkecil.
2. Semakin sedikit kain yang Anda beli, semakin sedikit Anda harus membayarnya. Jadi hubungan itu berbanding lurus.
3. Oleh karena itu, panah kedua diarahkan ke arah yang sama dengan yang pertama).
Misalkan x rubel berharga 12 meter kain. Kami membuat proporsi (dari awal panah hingga akhir):
15:12=1680:x
Untuk menemukan anggota ekstrim proporsi yang tidak diketahui, kami membagi produk suku-suku tengah dengan anggota ekstrim proporsi yang diketahui:
Jadi, 12 meter berharga 1344 rubel.
Jawaban: 1344 rubel.
Diselesaikan oleh: Chepkasov Rodion
siswa kelas 6 "B"
MBOU "Sekolah Menengah No. 53"
Barnaul
Ketua: Bulykina O.G.
guru matematika
MBOU "Sekolah Menengah No. 53"
Barnaul
Pengantar. satu
Hubungan dan proporsi. 3
Proporsi langsung dan terbalik. 4
Penerapan proporsionalitas langsung dan terbalik 6
ketergantungan dalam memecahkan berbagai masalah.
Kesimpulan. sebelas
Literatur. 12
Pengantar.
Kata proporsi berasal dari bahasa Latin proporsi, yang berarti secara umum proporsionalitas, kemerataan bagian-bagian (perbandingan bagian-bagian tertentu satu sama lain). Pada zaman kuno, doktrin proporsi dijunjung tinggi oleh Pythagoras. Dengan proporsi, mereka menghubungkan pemikiran tentang keteraturan dan keindahan di alam, tentang akord konsonan dalam musik dan harmoni di alam semesta. Beberapa jenis proporsi mereka sebut musikal atau harmonik.
Bahkan di zaman kuno, manusia menemukan bahwa semua fenomena di alam terhubung satu sama lain, bahwa segala sesuatu selalu bergerak, berubah, dan, ketika dinyatakan dalam angka, mengungkapkan pola yang menakjubkan.
Pythagoras dan pengikut mereka sedang mencari ekspresi numerik untuk segala sesuatu yang ada di dunia. Mereka menemukan; bahwa proporsi matematis mendasari musik (perbandingan panjang dawai dengan nada, hubungan antar interval, rasio bunyi dalam akord yang menghasilkan bunyi harmonik). Pythagoras mencoba untuk secara matematis mendukung gagasan tentang kesatuan dunia, mereka berpendapat bahwa dasar alam semesta adalah bentuk geometris simetris. Pythagoras sedang mencari pembenaran matematis untuk kecantikan.
Mengikuti Pythagoras, cendekiawan abad pertengahan Augustine menyebut keindahan sebagai "kesetaraan numerik". Filsuf skolastik Bonaventure menulis: "Tidak ada keindahan dan kesenangan tanpa proporsionalitas, sementara proporsionalitas terutama ada dalam angka. Segala sesuatu harus dapat dihitung." Leonardo da Vinci menulis tentang penggunaan proporsi dalam seni dalam risalahnya tentang lukisan: "Pelukis mewujudkan dalam bentuk proporsi hukum yang sama yang mengintai di alam bahwa ilmuwan tahu dalam bentuk hukum numerik."
Proporsi digunakan dalam memecahkan berbagai masalah baik di zaman kuno maupun di Abad Pertengahan. Jenis masalah tertentu sekarang dapat diselesaikan dengan mudah dan cepat menggunakan proporsi. Proporsi dan proporsionalitas telah dan digunakan tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam arsitektur dan seni. Proporsionalitas dalam arsitektur dan seni berarti memperhatikan rasio tertentu antara ukuran bagian yang berbeda dari sebuah bangunan, gambar, patung atau karya seni lainnya. Proporsionalitas dalam kasus seperti itu adalah syarat untuk konstruksi dan gambar yang benar dan indah
Dalam karya saya, saya mencoba mempertimbangkan penggunaan hubungan proporsional langsung dan terbalik di berbagai bidang kehidupan di sekitarnya, untuk melacak hubungan dengan mata pelajaran akademik melalui tugas.
Hubungan dan proporsi.
Hasil bagi dua bilangan disebut sikap ini angka.
Menunjukkan Sikap, berapa kali bilangan pertama lebih besar dari bilangan kedua, atau bagian mana bilangan pertama dari bilangan kedua.
Tugas.
2,4 ton pir dan 3,6 ton apel dibawa ke toko. Bagian mana dari buah impor yang merupakan buah pir?
Keputusan . Tentukan berapa banyak buah yang dibawa seluruhnya: 2,4 + 3,6 = 6 (t). Untuk mengetahui bagian mana dari buah yang dibawa adalah pir, kita buat perbandingannya 2.4:6 =. Jawabannya juga dapat ditulis sebagai desimal atau persentase: = 0,4 = 40%.
saling terbalik ditelepon angka, yang produknya sama dengan 1. Oleh karena itu hubungan tersebut disebut hubungan terbalik.
Pertimbangkan dua rasio yang sama: 4,5:3 dan 6:4. Mari kita beri tanda sama dengan di antara mereka dan dapatkan proporsinya: 4.5:3=6:4.
Proporsi adalah persamaan dua relasi: a : b =c :d atau = 
, dimana a dan d adalah istilah proporsi ekstrim, c dan b istilah tengah(semua istilah proporsi bukan nol).
Sifat dasar proporsi:
dalam proporsi yang tepat, hasil kali suku-suku ekstrim sama dengan hasilkali suku-suku tengah.
Menerapkan sifat komutatif perkalian, kami mendapatkan bahwa dalam proporsi yang tepat, Anda dapat menukar suku ekstrim atau suku tengah. Proporsi yang dihasilkan juga akan benar.
Dengan menggunakan sifat dasar suatu proporsi, seseorang dapat menemukan anggotanya yang tidak diketahui jika semua anggota lainnya diketahui.
Untuk menemukan suku ekstrem yang tidak diketahui dari proporsi, perlu mengalikan suku-suku tengah dan membaginya dengan suku ekstrem yang diketahui. x : b = c : d , x = 
Untuk menemukan suku tengah proporsi yang tidak diketahui, kita harus mengalikan suku-suku ekstrim dan membaginya dengan suku tengah yang diketahui. a : b = x : d , x = 
.
Proporsi langsung dan terbalik.
Nilai dari dua besaran yang berbeda dapat saling bergantung satu sama lain. Jadi, luas persegi tergantung pada panjang sisinya, dan sebaliknya - panjang sisi persegi tergantung pada luasnya.
Dua besaran dikatakan sebanding jika, dengan bertambahnya
(pengurangan) salah satunya beberapa kali, yang lain meningkat (menurun) dengan jumlah yang sama.
Jika dua besaran berbanding lurus, maka perbandingan nilai-nilai yang bersesuaian dari besaran-besaran ini adalah sama.
Contoh hubungan proporsional langsung .
Di pom bensin 2 liter bensin beratnya 1,6 kg. Berapa beratnya? 5 liter bensin?
Keputusan:
Berat minyak tanah sebanding dengan volumenya.
2l - 1,6 kg
5l - x kg
2:5=1.6:x,
x \u003d 5 * 1,6 x \u003d 4
Jawab: 4kg.
Di sini rasio berat terhadap volume tetap tidak berubah.
Dua besaran disebut berbanding terbalik jika, jika salah satunya bertambah (berkurang) beberapa kali, yang lain berkurang (bertambah) dengan jumlah yang sama.
Jika kuantitas berbanding terbalik, maka rasio nilai satu kuantitas sama dengan rasio kebalikan dari nilai yang sesuai dari kuantitas lainnya.
P contohhubungan proporsional terbalik.
Kedua persegi panjang memiliki luas yang sama. Panjang persegi panjang pertama adalah 3,6 m dan lebarnya 2,4 m. Panjang persegi panjang kedua adalah 4,8 m. Hitunglah lebar persegi panjang kedua.
Keputusan:
1 persegi panjang 3,6 m 2,4 m
2 persegi panjang 4,8 m x m
3,6 m x m
4,8 m 2,4 m
x \u003d 3,6 * 2,4 \u003d 1,8 m
Jawab: 1,8 m.
Seperti yang Anda lihat, masalah dengan jumlah proporsional dapat diselesaikan dengan menggunakan proporsi.
Tidak setiap dua besaran berbanding lurus atau berbanding terbalik. Misalnya, tinggi badan seorang anak bertambah seiring bertambahnya usia, tetapi nilai-nilai ini tidak proporsional, karena ketika usianya digandakan, tinggi badan anak tidak menjadi dua kali lipat.
Aplikasi praktis proporsionalitas langsung dan terbalik.
Tugas 1
Perpustakaan sekolah memiliki 210 buku pelajaran matematika, yang merupakan 15% dari seluruh stok perpustakaan. Berapa banyak buku yang ada di perpustakaan?
Keputusan:
Jumlah buku teks - ? - 100%
Matematikawan - 210 -15%
15% 210 akun
X \u003d 100 * 210 \u003d 1400 buku teks
100% x akun. limabelas
Jawaban: 1400 buku pelajaran.
Tugas #2
Seorang pengendara sepeda menempuh jarak 75 km dalam waktu 3 jam. Berapa lama waktu yang dibutuhkan pengendara sepeda untuk menempuh jarak 125 km dengan kecepatan yang sama?
Keputusan:
3 jam – 75 km
H - 125 km
Waktu dan jarak berbanding lurus, jadi
3: x = 75: 125,
x= 
,
x=5.
Jawab: 5 jam.
Tugas #3
8 pipa identik mengisi kolam dalam 25 menit. Berapa menit yang dibutuhkan 10 pipa seperti itu untuk mengisi kolam?
Keputusan:
8 pipa - 25 menit
10 pipa - ? menit
Jumlah pipa berbanding terbalik dengan waktu, jadi
8:10 = x:25,
x = 
x = 20
Jawaban: 20 menit.
Tugas #4
Sebuah tim yang terdiri dari 8 pekerja menyelesaikan tugas dalam 15 hari. Berapa banyak pekerja yang dapat menyelesaikan tugas dalam 10 hari, bekerja dengan produktivitas yang sama?
Keputusan:
8 bekerja - 15 hari
Bekerja - 10 hari
Jumlah pekerja berbanding terbalik dengan jumlah hari, jadi
x: 8 = 15: 10,
x= 
,
x=12.
Jawaban: 12 pekerja.
Tugas nomor 5
Dari 5,6 kg tomat, diperoleh 2 liter saus. Berapa liter saus yang dapat diperoleh dari 54 kg tomat?
Keputusan:
5,6 kg - 2 l
54kg - ? aku
Jumlah kilogram tomat berbanding lurus dengan jumlah saus yang diperoleh, oleh karena itu
5.6: 54 = 2: x,
x = 
,
x = 19 .
Jawaban: 19 l.
Tugas nomor 6
Untuk memanaskan gedung sekolah, batubara dipanen selama 180 hari dengan tingkat konsumsi
0,6 ton batubara per hari. Berapa hari cadangan ini akan bertahan jika dikonsumsi setiap hari sebesar 0,5 ton?
Keputusan:
Jumlah hari
Tingkat konsumsi
Jumlah hari berbanding terbalik dengan tingkat konsumsi batubara, jadi
180: x = 0,5: 0,6,
x \u003d 180 * 0,6: 0,5,
x = 216.
Jawaban: 216 hari.
Tugas nomor 7
Dalam bijih besi, 7 bagian besi menyumbang 3 bagian pengotor. Berapa ton pengotor dalam bijih yang mengandung 73,5 ton besi?
Keputusan:
Jumlah potongan
Bobot
Besi
73,5
kotoran
Jumlah bagian berbanding lurus dengan massa, jadi
7: 73,5 = 3: x.
x \u003d 73.5 * 3: 7,
x = 31,5.
Jawaban: 31,5 ton
Tugas nomor 8
Mobil melaju 500 km, menghabiskan 35 liter bensin. Berapa liter bensin yang dibutuhkan untuk menempuh jarak 420 km?
Keputusan:
Jarak, km
bensin, l
Jarak berbanding lurus dengan konsumsi bensin, jadi
500:35 = 420:x,
x \u003d 35 * 420: 500,
x = 29,4.
Jawaban: 29,4 liter
Tugas nomor 9
Dalam 2 jam kami menangkap 12 crucian. Berapa banyak ikan mas yang akan ditangkap dalam 3 jam?
Keputusan:
Jumlah crucian tidak bergantung pada waktu. Besaran-besaran ini tidak berbanding lurus dan tidak berbanding terbalik.
Jawaban: Tidak ada jawaban.
Tugas nomor 10
Sebuah perusahaan pertambangan perlu membeli 5 mesin baru untuk sejumlah uang tertentu dengan harga 12 ribu rubel per satu. Berapa banyak dari mobil ini yang dapat dibeli perusahaan jika harga satu mobil menjadi 15.000 rubel?
Keputusan:
Jumlah mobil, pcs.
Harga, ribu rubel
Jumlah mobil berbanding terbalik dengan biaya, jadi
5:x=15:12,
x= 5*12:15,
x=4.
Jawab: 4 mobil.
Tugas nomor 11
Di kota N di alun-alun P ada toko yang pemiliknya sangat ketat sehingga dia memotong 70 rubel dari upah karena terlambat untuk 1 keterlambatan per hari. Dua gadis Yulia dan Natasha bekerja di satu departemen. Gaji mereka tergantung pada jumlah hari kerja. Julia menerima 4.100 rubel dalam 20 hari, dan Natasha seharusnya menerima lebih banyak dalam 21 hari, tetapi dia terlambat selama 3 hari berturut-turut. Berapa rubel yang akan diperoleh Natasha?
Keputusan:
hari kerja
Gaji, gosok.
Julia
4100
natasha
Gaji berbanding lurus dengan jumlah hari kerja, oleh karena itu
20:21 = 4100:x,
x= 4305.
4305 gosok. Natasha seharusnya.
4305 - 3 * 70 = 4095 (gosok)
Jawaban: Natasha akan menerima 4.095 rubel.
Tugas nomor 12
Jarak dua kota pada peta adalah 6 cm. Hitunglah jarak kedua kota tersebut di lapangan jika skala peta 1 : 250000.
Keputusan:
Mari kita nyatakan jarak antara kota-kota di tanah melalui x (dalam sentimeter) dan temukan rasio panjang segmen di peta dengan jarak di tanah, yang akan sama dengan skala peta: 6: x \ u003d 1: 250000,
x \u003d 6 * 250000,
x = 1500000.
1500000 cm = 15 km
Jawab: 15 km.
Tugas nomor 13
4000 g larutan mengandung 80 g garam. Berapa konsentrasi garam dalam larutan ini?
Keputusan:
Berat, g
Konsentrasi, %
Larutan
4000
Garam
4000:80 = 100:x,
x = 
,
x = 2.
Jawaban: Konsentrasi garam adalah 2%.
Tugas nomor 14
Bank memberikan pinjaman sebesar 10% per tahun. Anda menerima pinjaman 50.000 rubel. Berapa banyak yang harus Anda bayar kembali ke bank dalam setahun?
Keputusan:
50.000 gosok.
100%
x gosok.
50000: x = 100:10,
x= 50000*10:100,
x=5000.
5000 gosok. adalah 10%.
50.000 + 5000=55.000 (rubel)
Jawaban: dalam setahun, 55.000 rubel akan dikembalikan ke bank.
Kesimpulan.
Seperti yang dapat kita lihat dari contoh di atas, hubungan proporsional langsung dan terbalik dapat diterapkan di berbagai bidang kehidupan:
Ekonomi,
berdagang,
di bidang manufaktur dan industri,
kehidupan sekolah,
memasak,
Konstruksi dan arsitektur.
olahraga,
Peternakan,
topografi,
fisikawan,
Kimia, dll.
Di Rusia, ada juga peribahasa dan ucapan yang membangun hubungan langsung dan terbalik:
Saat ia datang, ia akan merespons.
Semakin tinggi tunggulnya, semakin tinggi bayangannya.
Semakin banyak orang, semakin sedikit oksigen.
Dan siap, ya bodoh.
Matematika adalah salah satu ilmu tertua, itu muncul atas dasar kebutuhan dan kebutuhan umat manusia. Setelah melalui sejarah pembentukan sejak Yunani kuno, itu masih tetap relevan dan diperlukan dalam kehidupan sehari-hari setiap orang. Konsep proporsionalitas langsung dan terbalik telah dikenal sejak zaman kuno, karena hukum proporsilah yang menggerakkan arsitek selama konstruksi atau pembuatan patung apa pun.
Pengetahuan tentang proporsi banyak digunakan di semua bidang kehidupan dan aktivitas manusia - seseorang tidak dapat melakukannya tanpa mereka ketika melukis gambar (lanskap, benda mati, potret, dll.), Mereka juga tersebar luas di kalangan arsitek dan insinyur - secara umum, sulit membayangkan penciptaan sesuatu apa saja tanpa menggunakan pengetahuan tentang proporsi dan hubungan mereka.
Literatur.
Matematika-6, N.Ya. Vilenkin dan lain-lain.
Aljabar -7, G.V. Dorofeev dan lainnya.
Matematika-9, GIA-9, diedit oleh F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov
Matematika-6, materi didaktik, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov
Tugas dalam matematika untuk kelas 4-5, I.V. Baranova et al., M. "Pencerahan" 1988
Kumpulan tugas dan contoh dalam matematika kelas 5-6, N.A. Teresin,
T.N. Tereshina, M. "Akuarium" 1997
Selain besaran berbanding lurus dalam aritmatika, besaran berbanding terbalik juga dipertimbangkan.
Mari kita beri contoh.
1) Panjang alas dan tinggi persegi panjang dengan luas tetap.
Biarkan diperlukan untuk mengalokasikan area persegi panjang untuk taman dengan luas
Kami “dapat secara sewenang-wenang mengatur, misalnya, panjang bagian. Tapi kemudian lebar bagian akan tergantung pada panjang yang telah kita pilih. Berbagai (mungkin) panjang dan lebar ditampilkan dalam tabel.
Secara umum, jika kita menyatakan panjang bagian melalui x, dan lebar melalui y, maka hubungan di antara mereka dapat dinyatakan dengan rumus:
Mengekspresikan y dalam hal x, kita mendapatkan:
Dengan memberikan nilai arbitrer x, kita akan mendapatkan nilai y yang sesuai.
2) Waktu dan kecepatan gerakan seragam pada jarak tertentu.
Misalkan jarak antara dua kota adalah 200 km. Semakin cepat kecepatannya, semakin sedikit waktu yang dibutuhkan untuk menempuh jarak tertentu. Hal ini dapat dilihat dari tabel berikut ini:
Secara umum, jika kita menyatakan kecepatan melalui x, dan waktu pergerakan melalui y, maka hubungan antara keduanya akan dinyatakan dengan rumus:
Definisi. Hubungan antara dua besaran yang dinyatakan sebagai , di mana k adalah bilangan tertentu (tidak sama dengan nol), disebut hubungan terbalik.
Bilangan di sini disebut juga koefisien proporsionalitas.
Seperti halnya dalam kasus proporsionalitas langsung, dalam persamaan, nilai x dan y dalam kasus umum dapat mengambil nilai positif dan negatif.
Tetapi dalam semua kasus proporsionalitas terbalik, tidak ada kuantitas yang bisa sama dengan nol. Memang, jika setidaknya salah satu nilai x atau y sama dengan nol, maka dalam persamaan sisi kiri akan sama dengan nol
Dan yang benar - ke angka tertentu yang tidak sama dengan nol (menurut definisi), yaitu persamaan yang salah akan diperoleh.
2. Grafik perbandingan terbalik.
Mari kita buat grafik ketergantungan
Mengekspresikan y dalam hal x, kita mendapatkan:
Kami akan memberikan nilai x arbitrer (diizinkan) dan menghitung nilai y yang sesuai. Mari kita dapatkan meja:
Mari kita buat titik-titik yang sesuai (Gbr. 28).
Jika kita mengambil nilai x pada interval yang lebih kecil, maka titik-titik akan ditempatkan lebih dekat.
Untuk semua nilai x yang mungkin, titik-titik yang sesuai akan ditempatkan pada dua cabang grafik, simetris tentang titik asal dan melewati perempat I dan III bidang koordinat (Gbr. 29).
Jadi, kita melihat bahwa grafik proporsionalitas terbalik adalah garis lengkung. Garis ini memiliki dua cabang.
Satu cabang akan diperoleh dengan positif, yang lain - dengan nilai negatif x.
Grafik berbanding terbalik disebut hiperbola.
Untuk mendapatkan grafik yang lebih akurat, Anda perlu membangun poin sebanyak mungkin.
Dengan akurasi yang cukup tinggi, hiperbola dapat digambar menggunakan, misalnya, pola.
Pada gambar 30 diplot hubungan berbanding terbalik dengan koefisien negatif. Misalnya dengan membuat tabel seperti ini:
kita mendapatkan hiperbola, yang cabang-cabangnya terletak di kuartal II dan IV.
Tujuan dasar:
- memperkenalkan konsep ketergantungan kuantitas berbanding lurus dan terbalik;
- mengajarkan bagaimana memecahkan masalah menggunakan dependensi ini;
- mempromosikan pengembangan keterampilan pemecahan masalah;
- mengkonsolidasikan keterampilan memecahkan persamaan menggunakan proporsi;
- ulangi tindakan dengan pecahan biasa dan desimal;
- mengembangkan pemikiran logis siswa.
SELAMA KELAS
SAYA. Penentuan nasib sendiri untuk aktivitas(Waktu penyelenggaraan)
- Teman-teman! Hari ini dalam pelajaran kita akan berkenalan dengan masalah yang diselesaikan menggunakan proporsi.
II. Memperbarui pengetahuan dan memperbaiki kesulitan dalam kegiatan
2.1. pekerjaan lisan (3 menit)
- Temukan arti ekspresi dan temukan kata yang dienkripsi dalam jawaban.
14 - dtk; 0,1 - dan; 7 - l; 0,2 - sebuah; 17 - dalam; 25 - sampai
- Kata keluar - kekuatan. Sudah selesai dilakukan dengan baik!
- Moto pelajaran kita hari ini: Kekuatan ada dalam pengetahuan! Saya mencari - jadi saya belajar!
- Buat proporsi dari angka yang dihasilkan. (14:7=0.2:0.1 dll.)
2.2. Pertimbangkan hubungan antara jumlah yang diketahui (7 menit)
- lintasan yang ditempuh mobil dengan kelajuan tetap, dan waktu tempuhnya: S = vt ( dengan peningkatan kecepatan (waktu), jalur meningkat);
- kecepatan mobil dan waktu yang dihabiskan di jalan: v=S:t(dengan bertambahnya waktu untuk menempuh jalan, kecepatannya berkurang);
–
harga pokok barang yang dibeli pada satu harga dan kuantitasnya:
C \u003d a n (dengan kenaikan (penurunan) harga, biaya pembelian meningkat (menurun);
- harga produk dan kuantitasnya: a \u003d C: n (dengan peningkatan kuantitas, harga turun)
- luas persegi panjang dan panjangnya (lebar): S = a b (dengan bertambahnya panjang (lebar), luas bertambah;
- panjang persegi panjang dan lebar: a = S: b (dengan bertambahnya panjang, lebarnya berkurang;
- jumlah pekerja yang melakukan beberapa pekerjaan dengan produktivitas tenaga kerja yang sama, dan waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan ini: t \u003d A: n (dengan peningkatan jumlah pekerja, waktu yang dihabiskan untuk melakukan pekerjaan berkurang), dll.
Kami telah memperoleh dependensi di mana, dengan peningkatan satu nilai beberapa kali, yang lain segera meningkat dengan jumlah yang sama (ditunjukkan dengan panah untuk contoh) dan dependensi di mana, dengan peningkatan satu nilai beberapa kali, nilai kedua berkurang jumlah yang sama berkali-kali.
Hubungan seperti itu disebut proporsi langsung dan terbalik.
Ketergantungan berbanding lurus- ketergantungan di mana dengan kenaikan (penurunan) dalam satu nilai beberapa kali, nilai kedua meningkat (menurun) dengan jumlah yang sama.
Hubungan proporsional terbalik- ketergantungan di mana dengan kenaikan (penurunan) dalam satu nilai beberapa kali, nilai kedua berkurang (naik) dengan jumlah yang sama.
AKU AKU AKU. Pernyataan tugas belajar
Apa masalah yang kita hadapi? (Belajarlah untuk membedakan antara hubungan langsung dan hubungan terbalik)
- Ini - sasaran pelajaran kita. Sekarang rumuskan tema pelajaran. (proporsionalitas langsung dan terbalik).
- Sudah selesai dilakukan dengan baik! Tulis topik pelajaran di buku catatan Anda. (Guru menulis topik di papan tulis.)
IV. "Penemuan" pengetahuan baru(10 menit)
Mari kita menganalisis masalah nomor 199.
1. Printer mencetak 27 halaman dalam 4,5 menit. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mencetak 300 halaman?
27 halaman - 4,5 menit.
300 hal - x?
2. Ada 48 bungkus teh dalam satu kotak, masing-masing 250 g. Berapa bungkus 150g yang akan keluar dari teh ini?
48 bungkus - 250 gram.
X? - 150 gram
3. Mobil melaju 310 km, menghabiskan 25 liter bensin. Berapa jarak yang dapat ditempuh sebuah mobil dengan tangki penuh 40 liter?
310 km - 25 l
X? – 40 liter
4. Salah satu gigi kopling memiliki 32 gigi, dan gigi lainnya 40. Berapa putaran yang akan dilakukan gigi kedua sedangkan gigi pertama menghasilkan 215 putaran?
32 gigi - 315 rpm
40 gigi - x?
Untuk menyusun proporsi, satu arah panah diperlukan, untuk ini, dalam proporsi terbalik, satu rasio diganti dengan kebalikannya.
Di papan tulis, siswa menemukan nilai besaran, di lapangan, siswa memecahkan satu masalah pilihan mereka.
– Merumuskan aturan untuk menyelesaikan masalah dengan proporsionalitas langsung dan terbalik.
Sebuah meja muncul di papan:
V. Konsolidasi primer dalam pidato eksternal(10 menit)
Tugas di lembar:
- Dari 21 kg biji kapas, diperoleh 5,1 kg minyak. Berapa banyak minyak yang akan diperoleh dari 7 kg biji kapas?
- Untuk pembangunan stadion, 5 buldoser membersihkan lokasi dalam 210 menit. Berapa lama waktu yang dibutuhkan 7 buldoser untuk membersihkan daerah ini?
VI. Bekerja mandiri dengan self test sesuai standar(5 menit)
Dua siswa menyelesaikan tugas No. 225 sendiri di papan tersembunyi, dan sisanya di buku catatan. Kemudian mereka memeriksa pekerjaan sesuai dengan algoritma dan membandingkannya dengan solusi di papan tulis. Kesalahan diperbaiki, penyebabnya diklarifikasi. Jika tugas selesai, kan, maka di sebelah siswa menempelkan tanda "+" untuk diri mereka sendiri.
Siswa yang melakukan kesalahan dalam pekerjaan mandiri dapat menggunakan konsultan.
VII. Inklusi dalam sistem pengetahuan dan pengulangan№ 271, № 270.
Enam orang bekerja di papan tulis. Setelah 3-4 menit, siswa yang bekerja di papan tulis mempresentasikan solusi mereka, dan sisanya memeriksa tugas dan berpartisipasi dalam diskusi mereka.
VIII. Refleksi kegiatan (hasil pembelajaran)
- Apa yang baru Anda pelajari di pelajaran?
- Apa yang Anda ulangi?
Apa algoritma untuk menyelesaikan masalah proporsi?
Sudahkah kita mencapai tujuan kita?
- Bagaimana Anda menilai pekerjaan Anda?
