Jika mengikuti definisi, maka turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit dari rasio kenaikan fungsi kamu dengan kenaikan argumen x:

Semuanya tampak jelas. Tapi coba hitung dengan rumus ini, katakanlah, turunan dari fungsi f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x dosa x. Jika Anda melakukan semuanya dengan definisi, maka setelah beberapa halaman perhitungan Anda hanya akan tertidur. Oleh karena itu, ada cara yang lebih sederhana dan efektif.

Untuk memulainya, kita perhatikan bahwa apa yang disebut fungsi dasar dapat dibedakan dari seluruh ragam fungsi. Ini adalah ekspresi yang relatif sederhana, yang turunannya telah lama dihitung dan dimasukkan ke dalam tabel. Fungsi-fungsi tersebut cukup mudah diingat, bersama dengan turunannya.

Turunan dari fungsi dasar

Fungsi dasar adalah semua yang tercantum di bawah ini. Turunan dari fungsi-fungsi tersebut harus hafal. Selain itu, tidak sulit untuk menghafalnya - itulah sebabnya mereka masih SD.

Jadi, turunan dari fungsi dasar:

Nama	Fungsi	Turunan
Konstan	f(x) = C, C ∈ R	0 (ya, ya, nol!)
Derajat dengan eksponen rasional	f(x) = x n	n · x n − 1
sinus	f(x) = sin x	karena x
Kosinus	f(x) = cos x	dosa x(dikurangi sinus)
Garis singgung	f(x) = tg x	1/co 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	1/sin2 x
logaritma natural	f(x) = log x	1/x
logaritma arbitrer	f(x) = log sebuah x	1/(x ln sebuah)
Fungsi eksponensial	f(x) = e x	e x(Tidak ada yang berubah)

Jika fungsi dasar dikalikan dengan konstanta sembarang, maka turunan dari fungsi baru juga mudah dihitung:

(C · f)’ = C · f ’.

Secara umum, konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunan. Sebagai contoh:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Jelas, fungsi dasar dapat ditambahkan satu sama lain, dikalikan, dibagi, dan banyak lagi. Ini adalah bagaimana fungsi baru akan muncul, tidak lagi sangat mendasar, tetapi juga dapat dibedakan menurut aturan tertentu. Aturan-aturan ini dibahas di bawah ini.

Turunan jumlah dan selisih

Biarkan fungsi f(x) dan g(x), yang turunannya kita ketahui. Misalnya, Anda dapat mengambil fungsi dasar yang dibahas di atas. Kemudian Anda dapat menemukan turunan dari jumlah dan perbedaan dari fungsi-fungsi ini:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Jadi, turunan jumlah (selisih) dua fungsi sama dengan jumlah (selisih) turunannya. Mungkin ada lebih banyak istilah. Sebagai contoh, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Sebenarnya, tidak ada konsep "pengurangan" dalam aljabar. Ada konsep "elemen negatif". Oleh karena itu, perbedaan f − g dapat ditulis ulang sebagai jumlah f+ (−1) g, dan kemudian hanya satu rumus yang tersisa - turunan dari jumlah tersebut.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Fungsi f(x) adalah jumlah dari dua fungsi dasar, jadi:

f ’(x) = (x 2+ dosa x)’ = (x 2)' + (sin x)’ = 2x+ cox;

Kami berpendapat sama untuk fungsi g(x). Hanya saja sudah ada tiga istilah (dari sudut pandang aljabar):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Menjawab:
f ’(x) = 2x+ cox;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Turunan dari suatu produk

Matematika adalah ilmu yang logis, sehingga banyak orang percaya bahwa jika turunan dari jumlah sama dengan jumlah dari turunan, maka turunan dari produk memukul"\u003e sama dengan produk turunan. Tapi ara untuk Anda! Turunan produk dihitung menggunakan rumus yang sama sekali berbeda. Yaitu:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Rumusnya sederhana, tapi sering terlupakan. Dan tidak hanya anak sekolah, tetapi juga siswa. Hasilnya adalah masalah yang salah diselesaikan.

Tugas. Cari turunan fungsi: f(x) = x 3 kosx; g(x) = (x 2 + 7x 7) · e x .

Fungsi f(x) adalah produk dari dua fungsi dasar, jadi semuanya sederhana:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' karena x + x 3 (karena x)’ = 3x 2 karena x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x dosa x)

Fungsi g(x) pengganda pertama sedikit lebih rumit, tetapi skema umum tidak berubah dari ini. Jelas, pengali pertama dari fungsi g(x) adalah polinomial, dan turunannya adalah turunan dari jumlah tersebut. Kita punya:

g ’(x) = ((x 2 + 7x 7) · e x)’ = (x 2 + 7x 7)' · e x + (x 2 + 7x 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Menjawab:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x dosa x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Perhatikan bahwa pada langkah terakhir, turunan difaktorkan. Secara formal, ini tidak perlu, tetapi sebagian besar turunan tidak dihitung sendiri, tetapi untuk mengeksplorasi fungsinya. Artinya selanjutnya turunannya akan disamakan dengan nol, akan diketahui tanda-tandanya, dan seterusnya. Untuk kasus seperti itu, lebih baik memiliki ekspresi yang didekomposisi menjadi faktor.

Jika ada dua fungsi f(x) dan g(x), dan g(x) 0 pada himpunan yang menarik bagi kami, kami dapat mendefinisikan fungsi baru h(x) = f(x)/g(x). Untuk fungsi seperti itu, Anda juga dapat menemukan turunannya:

Tidak lemah, kan? Dari mana minusnya? Mengapa g 2? Tapi seperti ini! Ini adalah salah satu formula paling kompleks - Anda tidak dapat mengetahuinya tanpa botol. Karena itu, lebih baik mempelajarinya dengan contoh-contoh spesifik.

Tugas. Cari turunan fungsi:

Ada fungsi dasar dalam pembilang dan penyebut setiap pecahan, jadi yang kita butuhkan hanyalah rumus turunan dari hasil bagi:

Secara tradisi, kami memfaktorkan pembilangnya menjadi beberapa faktor - ini akan sangat menyederhanakan jawabannya:

Fungsi kompleks tidak harus berupa rumus yang panjangnya setengah kilometer. Misalnya, cukup untuk mengambil fungsi f(x) = sin x dan ganti variabel x, katakan, pada x 2+ln x. Ternyata f(x) = dosa ( x 2+ln x) adalah fungsi kompleks. Dia juga memiliki turunan, tetapi tidak akan berhasil menemukannya sesuai dengan aturan yang dibahas di atas.

Bagaimana menjadi? Dalam kasus seperti itu, penggantian variabel dan rumus turunan dari fungsi kompleks membantu:

f ’(x) = f ’(t) · t', jika x digantikan oleh t(x).

Sebagai aturan, situasi dengan pemahaman rumus ini bahkan lebih menyedihkan daripada dengan turunan dari hasil bagi. Oleh karena itu, lebih baik menjelaskannya dengan contoh-contoh spesifik, dengan deskripsi rinci dari setiap langkah.

Tugas. Cari turunan fungsi: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = dosa ( x 2+ln x)

Perhatikan bahwa jika dalam fungsi f(x) alih-alih ekspresi 2 x+ 3 akan mudah x, maka kita mendapatkan fungsi dasar f(x) = e x. Oleh karena itu, kami membuat substitusi: biarkan 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Kami mencari turunan dari fungsi kompleks dengan rumus:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Dan sekarang - perhatian! Melakukan substitusi terbalik: t = 2x+ 3. Kami mendapatkan:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Sekarang mari kita lihat fungsinya g(x). Jelas perlu diganti. x 2+ln x = t. Kita punya:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (sin t)’ · t' = cos t · t ’

Penggantian terbalik: t = x 2+ln x. Kemudian:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Itu saja! Seperti yang dapat dilihat dari ekspresi terakhir, seluruh masalah telah direduksi menjadi menghitung turunan dari jumlah tersebut.

Menjawab:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) karena( x 2+ln x).

Sangat sering dalam pelajaran saya, alih-alih istilah "turunan", saya menggunakan kata "goresan". Misalnya, jumlah pukulan sama dengan jumlah pukulan. Apakah itu lebih jelas? Itu bagus.

Jadi, perhitungan turunan turun untuk menghilangkan pukulan ini sesuai dengan aturan yang dibahas di atas. Sebagai contoh terakhir, mari kembali ke pangkat turunan dengan eksponen rasional:

(x n)’ = n · x n − 1

Sedikit yang tahu itu dalam peran n mungkin bilangan pecahan. Misalnya, akarnya adalah x 0,5 . Tetapi bagaimana jika ada sesuatu yang rumit di bawah root? Sekali lagi, fungsi yang kompleks akan muncul - mereka suka memberikan konstruksi seperti itu dalam tes dan ujian.

Tugas. Cari turunan dari suatu fungsi:

Pertama, mari kita tulis ulang akarnya sebagai pangkat dengan eksponen rasional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sekarang kita membuat substitusi: mari x 2 + 8x − 7 = t. Kami menemukan turunan dengan rumus:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t 0,5 t ’.

Kami membuat substitusi terbalik: t = x 2 + 8x 7. Kami memiliki:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x 7) 0,5 ( x 2 + 8x 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Akhirnya, kembali ke akar:

Fungsi kompleks tidak selalu sesuai dengan definisi fungsi kompleks. Jika ada fungsi dalam bentuk y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, maka itu tidak dapat dianggap kompleks, tidak seperti y \u003d sin 2 x.

Artikel ini akan menunjukkan konsep fungsi kompleks dan identifikasinya. Mari bekerja dengan rumus untuk menemukan turunan dengan contoh solusi dalam kesimpulan. Penggunaan tabel turunan dan aturan diferensiasi secara signifikan mengurangi waktu untuk menemukan turunannya.

Definisi dasar

Definisi 1

Fungsi kompleks adalah fungsi yang argumennya juga merupakan fungsi.

Ini dilambangkan dengan cara ini: f (g (x)) . Kami memiliki bahwa fungsi g (x) dianggap sebagai argumen f (g (x)) .

Definisi 2

Jika terdapat fungsi f dan merupakan fungsi kotangen, maka g(x) = ln x adalah fungsi logaritma natural. Kami mendapatkan bahwa fungsi kompleks f (g (x)) akan ditulis sebagai arctg (lnx). Atau fungsi f, yang merupakan fungsi pangkat 4, di mana g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 dianggap sebagai seluruh fungsi rasional, kita mendapatkan bahwa f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Jelas g(x) bisa rumit. Dari contoh y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5, dapat dilihat bahwa nilai g memiliki akar pangkat tiga dengan pecahan. Ekspresi ini dapat dilambangkan sebagai y = f (f 1 (f 2 (x))) . Dari mana kita mendapatkan bahwa f adalah fungsi sinus, dan f 1 adalah fungsi yang terletak di bawah akar kuadrat, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 adalah fungsi rasional pecahan.

Definisi 3

Derajat bersarang didefinisikan oleh bilangan asli apa pun dan ditulis sebagai y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Definisi 4

Konsep komposisi fungsi mengacu pada jumlah fungsi bersarang sesuai dengan pernyataan masalah. Untuk solusinya, rumus untuk menemukan turunan dari fungsi kompleks dari bentuk

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

Contoh

Contoh 1

Tentukan turunan dari fungsi kompleks berbentuk y = (2 x + 1) 2 .

Keputusan

Dengan konvensi, f adalah fungsi kuadrat, dan g(x) = 2 x + 1 dianggap sebagai fungsi linier.

Kami menerapkan rumus turunan untuk fungsi kompleks dan menulis:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Hal ini diperlukan untuk menemukan turunan dengan bentuk awal fungsi yang disederhanakan. Kita mendapatkan:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Oleh karena itu kita memiliki itu

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Hasilnya cocok.

Ketika memecahkan masalah semacam ini, penting untuk memahami di mana fungsi dari bentuk f dan g (x) akan ditempatkan.

Contoh 2

Anda harus menemukan turunan dari fungsi kompleks dalam bentuk y \u003d sin 2 x dan y \u003d sin x 2.

Keputusan

Entri pertama dari fungsi mengatakan bahwa f adalah fungsi kuadrat dan g(x) adalah fungsi sinus. Kemudian kita mendapatkan itu

y "= (sin 2 x)" = 2 sin 2 - 1 x (sin x)" = 2 sin x cos x

Entri kedua menunjukkan bahwa f adalah fungsi sinus, dan g (x) = x 2 menunjukkan fungsi pangkat. Oleh karena itu, produk dari fungsi kompleks dapat ditulis sebagai

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Rumus turunan y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) akan ditulis sebagai y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) f 2 " (f 3 (. . . (f n (x )) )). . . f n "(x)

Contoh 3

Tentukan turunan dari fungsi y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Keputusan

Contoh ini menunjukkan kerumitan penulisan dan penentuan lokasi fungsi. Kemudian y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) menunjukkan, di mana f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) adalah fungsi sinus, fungsi menaikkan ke 3 derajat, fungsi dengan logaritma dan basis e, fungsi dari garis singgung busur dan satu linier.

Dari rumus untuk definisi fungsi kompleks, kita mendapatkan bahwa

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Mendapatkan apa yang harus ditemukan

1. f”(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) sebagai turunan sinus pada tabel turunan, maka f”(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x ))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) sebagai turunan dari fungsi pangkat, maka f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) sebagai turunan logaritma, maka f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3”(f 4 (x)) sebagai turunan dari garis singgung busur, maka f 3”(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Saat menemukan turunan f 4 (x) \u003d 2 x, ambil 2 dari tanda turunan menggunakan rumus turunan fungsi pangkat dengan eksponen yaitu 1, lalu f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Kami menggabungkan hasil antara dan mendapatkan itu

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3"(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analisis fungsi tersebut menyerupai boneka bersarang. Aturan diferensiasi tidak selalu dapat diterapkan secara eksplisit menggunakan tabel turunan. Seringkali Anda perlu menerapkan rumus untuk menemukan turunan dari fungsi kompleks.

Ada beberapa perbedaan antara tampilan kompleks dan fungsi kompleks. Dengan kemampuan yang jelas untuk membedakan ini, menemukan turunan akan sangat mudah.

Contoh 4

Penting untuk mempertimbangkan membawa contoh seperti itu. Jika terdapat fungsi berbentuk y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , maka dapat dianggap sebagai fungsi kompleks dari bentuk g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Jelas, perlu untuk menerapkan rumus untuk turunan kompleks:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Fungsi berbentuk y = t g x 2 + 3 t g x + 1 tidak dianggap kompleks, karena memiliki jumlah t g x 2 , 3 t g x dan 1 . Namun, t g x 2 dianggap sebagai fungsi kompleks, maka kita mendapatkan fungsi pangkat dalam bentuk g (x) \u003d x 2 dan f, yang merupakan fungsi dari garis singgung. Untuk melakukan ini, Anda perlu membedakan jumlahnya. Kami mengerti

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2x

Mari kita beralih ke mencari turunan dari fungsi kompleks (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Kita peroleh bahwa y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Fungsi kompleks dapat dimasukkan ke dalam fungsi kompleks, dan fungsi kompleks itu sendiri dapat menjadi fungsi gabungan dari bentuk kompleks.

Contoh 5

Misalnya, pertimbangkan fungsi kompleks dari bentuk y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Fungsi ini dapat direpresentasikan sebagai y = f (g (x)) , di mana nilai f adalah fungsi dari logaritma basis 3, dan g (x) dianggap jumlah dari dua fungsi bentuk h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 dan k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Jelas, y = f (h (x) + k (x)) .

Pertimbangkan fungsi h(x) . Ini adalah rasio dari l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 terhadap m (x) = e x 2 + 3 3

Kami memiliki bahwa l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) adalah jumlah dari dua fungsi n (x) = x 2 + 7 dan p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) , di mana p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) adalah fungsi kompleks dengan koefisien numerik 3, dan p 1 adalah fungsi kubus, p 2 fungsi kosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 - fungsi linier.

Kami menemukan bahwa m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) adalah jumlah dari dua fungsi q (x) = e x 2 dan r (x) = 3 3 , di mana q (x) = q 1 (q 2 (x)) adalah fungsi kompleks, q 1 adalah fungsi dengan eksponen, q 2 (x) = x 2 adalah fungsi pangkat.

Hal ini menunjukkan bahwa h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Saat meneruskan ke ekspresi bentuk k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x), jelas bahwa fungsi direpresentasikan sebagai kompleks s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) dengan bilangan bulat rasional t (x) = x 2 + 1, di mana s 1 adalah fungsi kuadrat, dan s 2 (x) = ln x adalah logaritma dengan basis e .

Oleh karena itu, ekspresi akan mengambil bentuk k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .

Kemudian kita mendapatkan itu

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Menurut struktur fungsi, menjadi jelas bagaimana dan rumus apa yang harus diterapkan untuk menyederhanakan ekspresi ketika dibedakan. Untuk membiasakan diri Anda dengan masalah seperti itu dan untuk memahami solusinya, perlu mengacu pada titik diferensiasi suatu fungsi, yaitu menemukan turunannya.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Dan teorema turunan dari suatu fungsi kompleks, yang rumusannya adalah sebagai berikut:

Misal 1) fungsi $u=\varphi (x)$ memiliki turunan $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ pada suatu titik $x_0$, 2) fungsi $y=f(u)$ memiliki pada titik yang sesuai $u_0=\varphi (x_0)$ turunan $y_(u)"=f"(u)$. Maka fungsi kompleks $y=f\left(\varphi (x) \right)$ pada titik tersebut juga akan memiliki turunan yang sama dengan produk turunan dari fungsi $f(u)$ dan $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

atau, dalam notasi yang lebih pendek: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Dalam contoh bagian ini, semua fungsi memiliki bentuk $y=f(x)$ (yaitu, kita hanya mempertimbangkan fungsi dari satu variabel $x$). Dengan demikian, dalam semua contoh, turunan $y"$ diambil sehubungan dengan variabel $x$. Untuk menekankan bahwa turunan diambil sehubungan dengan variabel $x$, kita sering menulis $y"_x$ sebagai ganti $ y"$.

Contoh #1, #2, dan #3 memberikan proses terperinci untuk menemukan turunan dari fungsi kompleks. Contoh No. 4 dimaksudkan untuk pemahaman yang lebih lengkap tentang tabel turunan dan masuk akal untuk membiasakan diri dengannya.

Disarankan, setelah mempelajari materi pada contoh No. 1-3, untuk melanjutkan ke penyelesaian secara mandiri contoh No. 5, No. 6 dan No. 7. Contoh #5, #6 dan #7 berisi solusi singkat sehingga pembaca dapat memeriksa kebenaran hasilnya.

Contoh 1

Cari turunan dari fungsi $y=e^(\cos x)$.

Kita perlu mencari turunan dari fungsi kompleks $y"$. Karena $y=e^(\cos x)$, maka $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Untuk cari turunan $ \left(e^(\cos x)\right)"$ gunakan rumus #6 dari tabel turunan. Untuk menggunakan rumus No. 6, Anda perlu memperhitungkan bahwa dalam kasus kita $u=\cos x$. Solusi selanjutnya terdiri dari substitusi dangkal dari ekspresi $\cos x$ alih-alih $u$ ke dalam rumus No. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \kanan)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Sekarang kita perlu mencari nilai dari ekspresi $(\cos x)"$. Sekali lagi kita beralih ke tabel turunan, memilih rumus No. 10 darinya. Substitusikan $u=x$ ke rumus No. 10, kita punya : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Sekarang kita melanjutkan persamaan (1.1), melengkapinya dengan hasil yang ditemukan:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Karena $x"=1$, kami melanjutkan persamaan (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Jadi, dari persamaan (1.3) kita mendapatkan: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Biasanya, penjelasan dan persamaan antara biasanya dilompati, menuliskan turunan dalam satu baris, seperti pada persamaan ( 1.3) Jadi, turunan dari fungsi kompleks telah ditemukan, tinggal menuliskan jawabannya.

Menjawab: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Contoh #2

Cari turunan dari fungsi $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Kita perlu menghitung turunan $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Untuk memulainya, kita perhatikan bahwa konstanta (yaitu angka 9) dapat dikeluarkan dari tanda turunannya:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)" \tag (2.1) $$

Sekarang mari kita beralih ke ekspresi $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Untuk memudahkan memilih rumus yang diinginkan dari tabel turunan, saya akan menyajikan ekspresi yang dimaksud dalam bentuk ini: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Sekarang jelas bahwa perlu menggunakan rumus No. 2, yaitu. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Substitusikan $u=\artg(4\cdot \ln x)$ dan $\alpha=12$ ke dalam rumus ini:

Melengkapi kesetaraan (2.1) dengan hasil yang diperoleh, kami memiliki:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"= 108\cdot\kiri(\arctg(4\cdot \ln x) \kanan)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Dalam situasi ini, kesalahan sering dibuat ketika pemecah pada langkah pertama memilih rumus $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ alih-alih rumus $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Intinya adalah turunan dari fungsi eksternal harus ditemukan terlebih dahulu. Untuk memahami fungsi mana yang akan berada di luar ekspresi $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, bayangkan Anda menghitung nilai dari ekspresi $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ untuk beberapa nilai $x$. Pertama Anda menghitung nilai $5^x$, lalu kalikan hasilnya dengan 4 untuk mendapatkan $4\cdot 5^x$. Sekarang kita ambil arctangent dari hasil ini, mendapatkan $\arctg(4\cdot 5^x)$. Kemudian kami menaikkan angka yang dihasilkan ke pangkat kedua belas, mendapatkan $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Tindakan terakhir, yaitu menaikkan pangkat 12, - dan akan menjadi fungsi eksternal. Dan dari sanalah seseorang harus mulai menemukan turunan, yang dilakukan dalam persamaan (2.2).

Sekarang kita perlu mencari $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Kita menggunakan rumus No. 19 dari tabel turunan, substitusikan $u=4\cdot \ln x$ ke dalamnya:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Mari kita sedikit menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan, dengan memperhitungkan $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Kesetaraan (2.2) sekarang akan menjadi:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \kanan)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \kanan)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Tetap mencari $(4\cdot \ln x)"$. Kami mengambil konstanta (yaitu 4) dari tanda turunan: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. Untuk Untuk mencari $(\ln x)"$, kita menggunakan rumus No. 8, substitusikan $u=x$ ke dalamnya: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdotx"$. Karena $x"=1$, maka $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Mengganti hasil yang diperoleh ke dalam rumus (2.3), kami memperoleh:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \kanan)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \kanan)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \kanan)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\artg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa turunan dari fungsi kompleks paling sering dalam satu baris, seperti yang ditulis dalam persamaan terakhir. Oleh karena itu, ketika membuat perhitungan atau pengujian standar, sama sekali tidak perlu untuk menjelaskan solusi dengan detail yang sama.

Menjawab: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Contoh #3

Cari $y"$ dari fungsi $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Pertama, mari kita ubah sedikit fungsi $y$ dengan menyatakan akar (root) sebagai pangkat: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \kanan)^(\frac(3)(7))$. Sekarang mari kita mulai mencari turunannya. Karena $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, maka:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Kami menggunakan rumus No. 2 dari tabel turunan, mensubstitusikan $u=\sin(5\cdot 9^x)$ dan $\alpha=\frac(3)(7)$ ke dalamnya:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Kami melanjutkan kesetaraan (3.1) menggunakan hasil yang diperoleh:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Sekarang kita perlu mencari $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Untuk ini, kita menggunakan rumus No. 9 dari tabel turunan, substitusikan $u=5\cdot 9^x$ ke dalamnya:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Melengkapi kesetaraan (3.2) dengan hasil yang diperoleh, kami memiliki:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Tetap mencari $(5\cdot 9^x)"$. Pertama, kita keluarkan konstanta (bilangan $5$) dari tanda turunan, yaitu $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. Untuk mencari turunan $(9^x)"$, kita terapkan rumus No. 5 dari tabel turunan, substitusikan $a=9$ dan $u=x$ ke dalamnya: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Karena $x"=1$, maka $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Sekarang kita dapat melanjutkan persamaan (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\kanan) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Anda dapat kembali dari pangkat ke radikal (yaitu akar) lagi dengan menulis $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ sebagai $\ frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^ x)))$. Kemudian turunannya akan ditulis dalam bentuk berikut:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$

Menjawab: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

Contoh #4

Tunjukkan bahwa rumus No. 3 dan No. 4 dari tabel turunan adalah kasus khusus dari rumus No. 2 dari tabel ini.

Dalam rumus No. 2 dari tabel turunan, turunan dari fungsi $u^\alpha$ ditulis. Mengganti $\alpha=-1$ ke dalam rumus #2, kita mendapatkan:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Karena $u^(-1)=\frac(1)(u)$ dan $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, persamaan (4.1) dapat ditulis ulang sebagai berikut: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ini adalah rumus nomor 3 dari tabel turunan.

Mari kita kembali ke rumus No. 2 dari tabel turunan. Substitusikan $\alpha=\frac(1)(2)$ ke dalamnya:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Karena $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ dan $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, maka persamaan (4.2) dapat ditulis ulang sebagai berikut:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Persamaan yang dihasilkan $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ adalah rumus No. 4 dari tabel turunan. Seperti yang Anda lihat, rumus No. 3 dan No. 4 dari tabel turunan diperoleh dari rumus No. 2 dengan mengganti nilai $\alpha$ yang sesuai.

Contoh penghitungan turunan menggunakan rumus turunan fungsi kompleks diberikan.

Isi

Lihat juga: Bukti rumus turunan fungsi kompleks

Rumus Dasar

Berikut kami berikan contoh penghitungan turunan dari fungsi berikut:
; ; ; ; .

Jika suatu fungsi dapat direpresentasikan sebagai fungsi kompleks dalam bentuk berikut:
,
maka turunannya ditentukan dengan rumus:
.
Dalam contoh di bawah ini, kami akan menulis rumus ini dalam bentuk berikut:
.
di mana .
Di sini, subskrip atau , yang terletak di bawah tanda turunan, menunjukkan variabel yang berkaitan dengan diferensiasi yang dilakukan.

Biasanya, dalam tabel turunan, turunan fungsi dari variabel x diberikan. Namun, x adalah parameter formal. Variabel x dapat diganti dengan variabel lain. Oleh karena itu, ketika membedakan fungsi dari variabel , kita cukup mengubah, dalam tabel turunan, variabel x ke variabel u .

Contoh sederhana

Contoh 1

Tentukan turunan dari fungsi kompleks
.

Kami menulis fungsi yang diberikan dalam bentuk yang setara:
.
Dalam tabel turunan kami menemukan:
;
.

Menurut rumus turunan dari fungsi kompleks, kita memiliki:
.
Di Sini .

Contoh 2

Temukan turunan
.

Kami mengambil konstanta 5 di luar tanda turunan dan dari tabel turunan kami menemukan:
.

.
Di Sini .

Contoh 3

Cari turunannya
.

Kami mengambil konstanta -1 untuk tanda turunan dan dari tabel turunan kita temukan:
;
Dari tabel turunan kita menemukan:
.

Kami menerapkan rumus untuk turunan dari fungsi kompleks:
.
Di Sini .

Contoh yang lebih kompleks

Dalam contoh yang lebih kompleks, kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi majemuk beberapa kali. Dengan demikian, kami menghitung turunan dari akhir. Artinya, kami memecah fungsi menjadi bagian-bagian komponennya dan menemukan turunan dari bagian yang paling sederhana menggunakan tabel turunan. Kami juga menerapkan aturan penjumlahan penjumlahan, produk dan pecahan . Kemudian kita membuat substitusi dan menerapkan rumus turunan dari fungsi kompleks.

Contoh 4

Cari turunannya
.

Kami memilih bagian paling sederhana dari rumus dan menemukan turunannya. .

.
Di sini kita telah menggunakan notasi
.

Kami menemukan turunan dari bagian berikutnya dari fungsi asli, menerapkan hasil yang diperoleh. Kami menerapkan aturan diferensiasi jumlah:
.

Sekali lagi, kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks.

.
Di Sini .

Contoh 5

Tentukan turunan dari suatu fungsi
.

Kami memilih bagian paling sederhana dari rumus dan menemukan turunannya dari tabel turunan. .

Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks.
.
Di Sini
.

Kami membedakan bagian selanjutnya, menerapkan hasil yang diperoleh.
.
Di Sini
.

Mari kita bedakan bagian selanjutnya.

.
Di Sini
.

Sekarang kita temukan turunan dari fungsi yang diinginkan.

.
Di Sini
.

Lihat juga:

Dalam pelajaran ini, kita akan belajar bagaimana menemukan turunan dari fungsi kompleks. Pelajaran adalah kelanjutan logis dari pelajaran Bagaimana cara mencari turunannya?, di mana kami menganalisis turunan paling sederhana, dan juga berkenalan dengan aturan diferensiasi dan beberapa metode teknis untuk menemukan turunan. Jadi, jika Anda tidak begitu baik dengan turunan fungsi atau beberapa poin dari artikel ini tidak sepenuhnya jelas, maka baca dulu pelajaran di atas. Silakan dengarkan suasana hati yang serius - materinya tidak mudah, tetapi saya akan tetap berusaha menyajikannya dengan sederhana dan jelas.

Dalam praktiknya, Anda harus sering berurusan dengan turunan dari fungsi kompleks, bahkan hampir selalu, ketika Anda diberi tugas untuk menemukan turunan.

Kami melihat dalam tabel pada aturan (No. 5) untuk membedakan fungsi kompleks:

Kami mengerti. Pertama-tama, mari kita lihat notasinya. Di sini kita memiliki dua fungsi - dan , dan fungsi, secara kiasan, bersarang di fungsi . Fungsi semacam ini (ketika satu fungsi bersarang di dalam fungsi lain) disebut fungsi kompleks.

Saya akan memanggil fungsinya fungsi eksternal, dan fungsi – fungsi dalam (atau bersarang).

! Definisi ini tidak teoretis dan seharusnya tidak muncul dalam desain tugas akhir. Saya menggunakan ungkapan informal "fungsi eksternal", fungsi "internal" hanya untuk memudahkan Anda memahami materi.

Untuk memperjelas situasi, pertimbangkan:

Contoh 1

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Di bawah sinus, kita tidak hanya memiliki huruf "x", tetapi seluruh ekspresi, jadi mencari turunan langsung dari tabel tidak akan berhasil. Kami juga memperhatikan bahwa tidak mungkin untuk menerapkan empat aturan pertama di sini, tampaknya ada perbedaan, tetapi kenyataannya adalah tidak mungkin untuk "merobek" sinus:

Dalam contoh ini, sudah dari penjelasan saya, secara intuitif jelas bahwa fungsi adalah fungsi kompleks, dan polinomial adalah fungsi internal (penyematan), dan fungsi eksternal.

Langkah pertama, yang harus dilakukan ketika mencari turunan dari suatu fungsi kompleks adalah memahami fungsi mana yang internal dan mana yang eksternal.

Dalam kasus contoh sederhana, tampak jelas bahwa polinomial bersarang di bawah sinus. Tapi bagaimana jika itu tidak jelas? Bagaimana cara menentukan dengan tepat fungsi mana yang eksternal dan mana yang internal? Untuk melakukan ini, saya mengusulkan untuk menggunakan teknik berikut, yang dapat dilakukan secara mental atau dalam konsep.

Mari kita bayangkan bahwa kita perlu menghitung nilai ekspresi dengan kalkulator (bukan satu, bisa ada angka apa pun).

Apa yang kita hitung dulu? terutama Anda perlu melakukan tindakan berikut: , sehingga polinomial akan menjadi fungsi internal:

Kedua anda perlu menemukan, sehingga sinus - akan menjadi fungsi eksternal:

Setelah kita MEMAHAMI Dengan fungsi dalam dan luar, saatnya untuk menerapkan aturan diferensiasi fungsi majemuk.

Kami mulai memutuskan. Dari pelajaran Bagaimana cara mencari turunannya? kami ingat bahwa desain solusi turunan apa pun selalu dimulai seperti ini - kami menyertakan ekspresi dalam tanda kurung dan memberi tanda guratan di kanan atas:

Pertama kami menemukan turunan dari fungsi eksternal (sinus), lihat tabel turunan dari fungsi dasar dan perhatikan bahwa . Semua rumus tabel berlaku bahkan jika "x" diganti dengan ekspresi kompleks, pada kasus ini:

Perhatikan bahwa fungsi dalam tidak berubah, kami tidak menyentuhnya.

Yah, cukup jelas bahwa

Hasil akhir penerapan rumus terlihat seperti ini:

Faktor konstanta biasanya ditempatkan di awal ekspresi:

Jika ada kesalahpahaman, tuliskan keputusan di atas kertas dan baca kembali penjelasannya.

Contoh 2

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Contoh 3

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Seperti biasa, kami menulis:

Kami mencari tahu di mana kami memiliki fungsi eksternal, dan di mana fungsi internal. Untuk melakukan ini, kami mencoba (secara mental atau dalam konsep) menghitung nilai ekspresi untuk . Apa yang perlu dilakukan terlebih dahulu? Pertama-tama, Anda perlu menghitung apa yang sama dengan basis :, yang berarti polinomial adalah fungsi internal:

Dan, hanya kemudian eksponensial dilakukan, oleh karena itu, fungsi daya adalah fungsi eksternal:

Menurut rumus, pertama-tama Anda perlu menemukan turunan dari fungsi eksternal, dalam hal ini, derajat. Kami mencari formula yang diinginkan dalam tabel:. Kami ulangi lagi: rumus tabel apa pun tidak hanya valid untuk "x", tetapi juga untuk ekspresi kompleks. Dengan demikian, hasil penerapan aturan diferensiasi fungsi kompleks adalah sebagai berikut:

Saya tekankan lagi bahwa ketika kita mengambil turunan dari fungsi luar, fungsi dalam tidak berubah:

Sekarang tinggal menemukan turunan yang sangat sederhana dari fungsi dalam dan "sisir" hasilnya sedikit:

Contoh 4

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk pemecahan diri (jawaban di akhir pelajaran).

Untuk mengkonsolidasikan pemahaman tentang turunan dari fungsi kompleks, saya akan memberikan contoh tanpa komentar, coba cari tahu sendiri, alasannya, di mana fungsi eksternal dan di mana fungsi internal, mengapa tugas diselesaikan seperti itu?

Contoh 5

a) Tentukan turunan dari suatu fungsi

b. Tentukan turunan dari fungsi tersebut

Contoh 6

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Di sini kita memiliki akar, dan untuk membedakan akar, itu harus direpresentasikan sebagai derajat. Jadi, pertama-tama kita bawa fungsi ke dalam bentuk yang tepat untuk diferensiasi:

Menganalisis fungsi, kita sampai pada kesimpulan bahwa jumlah tiga suku adalah fungsi internal, dan eksponensial adalah fungsi eksternal. Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks:

Derajat direpresentasikan lagi sebagai radikal (akar), dan untuk turunan dari fungsi internal, kami menerapkan aturan sederhana untuk membedakan jumlah:

Siap. Anda juga dapat membawa ekspresi ke penyebut yang sama dalam tanda kurung dan menulis semuanya sebagai satu pecahan. Tentu saja indah, tetapi ketika turunan panjang yang rumit diperoleh, lebih baik tidak melakukannya (mudah bingung, membuat kesalahan yang tidak perlu, dan akan merepotkan guru untuk memeriksa).

Contoh 7

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk pemecahan diri (jawaban di akhir pelajaran).

Sangat menarik untuk dicatat bahwa kadang-kadang, alih-alih aturan untuk membedakan fungsi yang kompleks, seseorang dapat menggunakan aturan untuk membedakan hasil bagi. , tetapi solusi seperti itu akan terlihat seperti penyimpangan yang lucu. Berikut adalah contoh tipikal:

Contoh 8

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Di sini Anda dapat menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi , tetapi jauh lebih menguntungkan untuk menemukan turunan melalui aturan diferensiasi fungsi kompleks:

Kami menyiapkan fungsi untuk diferensiasi - kami mengambil tanda minus dari turunan, dan menaikkan kosinus ke pembilang:

Cosinus adalah fungsi internal, eksponensial adalah fungsi eksternal.
Mari kita gunakan aturan kita:

Kami menemukan turunan dari fungsi dalam, reset kosinus kembali ke bawah:

Siap. Dalam contoh yang dipertimbangkan, penting untuk tidak bingung dengan tanda-tandanya. Ngomong-ngomong, coba selesaikan dengan aturan , jawaban harus cocok.

Contoh 9

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk pemecahan diri (jawaban di akhir pelajaran).

Sejauh ini, kami telah mempertimbangkan kasus di mana kami hanya memiliki satu sarang dalam fungsi yang kompleks. Dalam tugas-tugas praktis, Anda sering dapat menemukan turunan, di mana, seperti boneka bersarang, satu di dalam yang lain, 3 atau bahkan 4-5 fungsi bersarang sekaligus.

Contoh 10

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Kami memahami lampiran dari fungsi ini. Kami mencoba untuk mengevaluasi ekspresi menggunakan nilai eksperimental. Bagaimana kita mengandalkan kalkulator?

Pertama, Anda perlu menemukan, yang berarti bahwa arcsine adalah sarang terdalam:

Arcsinus kesatuan ini kemudian harus dikuadratkan:

Dan akhirnya, kami menaikkan tujuh kekuatan:

Artinya, dalam contoh ini kita memiliki tiga fungsi yang berbeda dan dua nesting, sedangkan fungsi terdalam adalah arcsinus, dan fungsi terluar adalah fungsi eksponensial.

Kami mulai memutuskan

Menurut aturan, Anda harus terlebih dahulu mengambil turunan dari fungsi eksternal. Kami melihat tabel turunan dan menemukan turunan dari fungsi eksponensial: Satu-satunya perbedaan adalah bahwa alih-alih "x" kami memiliki ekspresi kompleks, yang tidak meniadakan validitas rumus ini. Jadi, hasil penerapan aturan diferensiasi fungsi kompleks adalah sebagai berikut:

Di bawah tanda hubung, kami memiliki fungsi yang rumit lagi! Tapi itu sudah lebih mudah. Sangat mudah untuk melihat bahwa fungsi dalam adalah arcsinus dan fungsi luar adalah derajat. Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks, Anda harus terlebih dahulu mengambil turunan dari derajat.