Mari kita membuat sejumlah pernyataan penjelasan tentang definisi fungsi dengan ekspresi atau rumus analitik, yang memainkan peran yang sangat penting dalam analisis matematika.

1° Pertama-tama, operasi atau tindakan analitis apa yang dapat dimasukkan dalam rumus ini? Di tempat pertama di sini dipahami semua operasi yang dipelajari dalam aljabar dasar dan trigonometri: operasi aritmatika, eksponensial (dan ekstraksi akar), logaritma, transisi dari sudut ke jumlah trigonometri mereka dan sebaliknya [lihat. di bawah 48 - 51]. Namun, dan ini penting untuk ditekankan, seiring dengan berkembangnya pengetahuan kita tentang analisis, operasi-operasi lain akan ditambahkan ke jumlahnya, pertama-tama, perjalanan ke batas, yang sudah familiar bagi pembaca dari Bab I.

Dengan demikian, isi lengkap dari istilah "ekspresi analitis" atau "rumus" hanya akan terungkap secara bertahap.

2° Pernyataan kedua berkaitan dengan domain definisi suatu fungsi dengan ekspresi atau rumus analitik.

Setiap ekspresi analitik yang mengandung argumen x memiliki, sehingga dapat dikatakan, ruang lingkup alami: itu adalah himpunan semua nilai x yang mempertahankan maknanya, yaitu, memiliki nilai nyata yang terdefinisi dengan baik. Mari kita jelaskan ini dengan contoh sederhana.

Jadi, untuk sebuah ekspresi, area seperti itu akan menjadi seluruh himpunan bilangan real. Untuk sebuah ekspresi, area ini akan direduksi menjadi interval tertutup di mana nilainya tidak lagi menjadi nyata. Sebaliknya, ekspresi harus memasukkan celah terbuka sebagai ruang lingkup alaminya, karena pada akhirnya penyebutnya menjadi 0. Terkadang rentang nilai yang maknanya dipertahankan ekspresi terdiri dari celah yang tersebar: untuk ini akan ada celah untuk - celah, dll.

Sebagai contoh terakhir, pertimbangkan jumlah deret geometri tak hingga

Jika kemudian, seperti yang kita ketahui, batas ini ada dan memiliki nilai . Untuk , limitnya sama atau tidak ada sama sekali. Jadi, untuk ekspresi analitik di atas, ruang lingkup alami akan menjadi interval terbuka

Dalam presentasi berikut, kita harus mempertimbangkan ekspresi analitik yang lebih kompleks dan lebih umum, dan kita akan lebih dari sekali mempelajari sifat-sifat fungsi yang diberikan oleh ekspresi serupa di seluruh wilayah di mana ia mempertahankan makna, yaitu, studi tentang perangkat analitik itu sendiri.

Namun, keadaan lain juga mungkin, yang kami anggap perlu untuk menarik perhatian pembaca terlebih dahulu. Mari kita bayangkan bahwa beberapa pertanyaan tertentu, di mana variabel x pada dasarnya terbatas pada kisaran X, mengarah pada pertimbangan fungsi yang mengakui ekspresi analitik. Meskipun mungkin saja ungkapan ini masuk akal di luar wilayah X, tentu saja tidak mungkin untuk melampauinya. Di sini ekspresi analitis memainkan peran pembantu dan bawahan.

Misalnya, jika, menyelidiki jatuh bebas dari titik berat dari ketinggian di atas permukaan bumi, kami menggunakan rumus

Tidak masuk akal untuk mempertimbangkan nilai negatif t atau nilai lebih besar dari untuk, karena mudah untuk melihat, di , titik sudah akan jatuh ke tanah. Dan ini terlepas dari kenyataan bahwa ekspresi itu sendiri - mempertahankan maknanya untuk semua nyata.

3° Mungkin saja suatu fungsi tidak didefinisikan oleh rumus yang sama untuk semua nilai argumen, tetapi untuk beberapa dengan satu rumus dan untuk yang lain oleh yang lain. Contoh fungsi di antaranya adalah fungsi yang didefinisikan oleh tiga rumus berikut:

dan terakhir jika .

Kami juga menyebutkan fungsi Dirichlet (P. G. Lejeune-Dinchlet), yang didefinisikan sebagai berikut:

Akhirnya, bersama dengan Kronecker (L. Kroneckcf) kita akan mempertimbangkan fungsi, yang disebutnya "signum" dan dilambangkan dengan

Berbagai cara menyetel suatu fungsi Analitis, grafik, tabular - yang paling sederhana, dan karena itu cara paling populer untuk menyetel suatu fungsi, untuk kebutuhan kita, metode-metode ini sudah cukup. Tabel grafik analitik Faktanya, dalam matematika ada beberapa cara yang berbeda untuk menentukan suatu fungsi, dan salah satunya adalah verbal, yang digunakan dalam situasi yang sangat aneh.

Cara verbal untuk menentukan suatu fungsi Suatu fungsi juga dapat ditentukan secara verbal, yaitu secara deskriptif. Misalnya, yang disebut fungsi Dirichlet didefinisikan sebagai berikut: fungsi y sama dengan 0 untuk semua rasional dan 1 untuk semua nilai irasional dari argumen x. Fungsi seperti itu tidak dapat ditentukan oleh tabel, karena itu didefinisikan pada seluruh sumbu angka dan himpunan nilai untuk argumennya tidak terbatas. Secara grafis, fungsi ini juga tidak dapat didefinisikan. Namun demikian, ekspresi analitis untuk fungsi ini ditemukan, tetapi sangat rumit sehingga tidak memiliki nilai praktis. Metode verbal memberikan definisi yang singkat dan jelas.

Contoh 1 Fungsi y = f (x) didefinisikan pada himpunan semua bilangan non-negatif menggunakan aturan berikut: setiap bilangan x 0 diberi tempat desimal pertama dalam representasi desimal dari bilangan x. Jika, katakanlah, x \u003d 2.534, maka f (x) \u003d 5 (tempat desimal pertama adalah angka 5); jika x = 13,002, maka f(x) = 0; jika x \u003d 2/3, maka, menulis 2/3 sebagai pecahan desimal tak terbatas 0,6666 ..., kita menemukan f (x) \u003d 6. Dan berapa nilai f (15)? Itu sama dengan 0, karena 15 = 15.000…, dan kita melihat bahwa tempat desimal pertama setelah koma adalah 0 (sebenarnya, persamaan 15 = 14,999… benar, tetapi matematikawan sepakat untuk tidak mempertimbangkan pecahan desimal periodik tak terhingga dengan a periode 9).

Setiap bilangan non-negatif x dapat ditulis sebagai pecahan desimal (terhingga atau tidak terbatas), dan oleh karena itu untuk setiap nilai x Anda dapat menemukan sejumlah nilai tempat desimal pertama, sehingga kita dapat membicarakannya fungsi, meskipun agak tidak biasa. D(f) = . = 2 [" title="(!LANG: Fungsi yang didefinisikan oleh kondisi: f (x) adalah bilangan bulat; f (x) x; x; f + 1 > x,x, bagian bilangan bulat disebut bagian bilangan bulat D (f) = (-;+), E (f) = Z (kumpulan bilangan bulat) Untuk bagian bilangan bulat x, gunakan notasi [ x ].= 2 [" class="link_thumb"> 7 !} Fungsi yang ditentukan oleh kondisi: f (x) adalah bilangan bulat; f(x)x;x; f + 1 > x,x, bagian bilangan bulat disebut bagian bilangan bulat. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (kumpulan bilangan bulat) Untuk bagian bilangan bulat dari bilangan x, digunakan notasi [ x ]. = 2 = 47 [-0,23] = - 1 x,x, bagian bilangan bulat disebut bagian bilangan bulat. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (kumpulan bilangan bulat) Untuk bagian bilangan bulat dari bilangan x, digunakan notasi [ x ]. \u003d 2 ["\u003e x, x, bagian bilangan bulat disebut bagian bilangan bulat. D (f) \u003d (-; +), E (f) \u003d Z (kumpulan bilangan bulat) Untuk bagian bilangan bulat dari bilangan x, notasi [x] digunakan \u003d 2 \u003d 47 [ - 0,23] \u003d - 1 "\u003e x, x, bagian bilangan bulat dari bilangan disebut bagian bilangan bulat dari nomor. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (kumpulan bilangan bulat) Untuk bagian bilangan bulat dari bilangan x, digunakan notasi [ x ]. = 2 [" title="(!LANG: Fungsi yang didefinisikan oleh kondisi: f (x) adalah bilangan bulat; f (x) x; x; f + 1 > x,x, bagian bilangan bulat disebut bagian bilangan bulat D (f) = (-;+), E (f) = Z (kumpulan bilangan bulat) Untuk bagian bilangan bulat x, gunakan notasi [ x ].= 2 ["> title="Fungsi yang ditentukan oleh kondisi: f (x) adalah bilangan bulat; f(x)x;x; f + 1 > x,x, bagian bilangan bulat disebut bagian bilangan bulat. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (kumpulan bilangan bulat) Untuk bagian bilangan bulat dari bilangan x, digunakan notasi [ x ]. = 2["> !}

Dari semua metode pengaturan fungsi di atas, metode analitik memberikan peluang terbesar untuk menggunakan peralatan analisis matematis, dan metode grafik memiliki kejelasan terbesar. Itulah sebabnya analisis matematis didasarkan pada sintesis mendalam dari metode analitik dan geometrik. Studi fungsi yang diberikan secara analitik jauh lebih mudah dan menjadi jelas jika kita mempertimbangkan grafik fungsi-fungsi ini secara paralel.

X y=x

Ahli matematika hebat - Dirichlet In profesor di Berlin, dari Universitas Göttingen 1855. Karya utama pada teori bilangan dan analisis matematis. Di bidang analisis matematika, Dirichlet untuk pertama kalinya secara akurat merumuskan dan mempelajari konsep konvergensi bersyarat dari suatu deret, menetapkan kriteria untuk konvergensi deret (yang disebut kriteria Dirichlet, 1862), dan (1829) memberikan bukti yang tepat tentang kemungkinan perluasan suatu fungsi menjadi deret Fourier yang memiliki jumlah maksima dan minima berhingga. Karya-karya penting Dirichlet dikhususkan untuk mekanika dan fisika matematika (prinsip Dirichlet dalam teori fungsi harmonik). Dirichlet Peter Gustav Lejeune () matematikawan Jerman, anggota koresponden asing. Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg (c), anggota Royal Society of London (1855), Akademi Ilmu Pengetahuan Paris (1854), Akademi Ilmu Pengetahuan Berlin. Dirichlet membuktikan teorema tentang keberadaan bilangan prima yang tak terhingga banyaknya dalam setiap deret aritmatika bilangan bulat, suku pertama dan selisihnya adalah bilangan koprima dan mempelajari (1837) hukum distribusi bilangan prima dalam deret aritmatika, sehubungan dengan yang ia perkenalkan deret fungsional dari bentuk khusus ( disebut deret Dirichlet).

Salah satu definisi klasik dari konsep "fungsi" adalah definisi berdasarkan korespondensi. Kami menyajikan sejumlah definisi tersebut.

Definisi 1

Hubungan di mana setiap nilai variabel bebas bersesuaian dengan satu nilai variabel terikat disebut fungsi.

Definisi 2

Biarkan dua himpunan tidak kosong $X$ dan $Y$ diberikan. Sebuah kecocokan $f$ yang memetakan ke setiap $x\dalam X$ satu dan hanya satu $y\dalam Y$ disebut fungsi($f:X → Y$).

Definisi 3

Biarkan $M$ dan $N$ menjadi dua himpunan numerik arbitrer. Dikatakan bahwa suatu fungsi $f$ didefinisikan pada $M$, mengambil nilai dari $N$ jika setiap elemen $x\dalam X$ dikaitkan dengan satu dan hanya satu elemen dari $N$.

Definisi berikut diberikan melalui konsep variabel. Variabel adalah besaran yang dalam penelitian ini mengambil berbagai nilai numerik.

Definisi 4

Biarkan $M$ menjadi himpunan nilai variabel $x$. Kemudian, jika setiap nilai $x\dalam M$ sesuai dengan satu nilai pasti dari variabel lain $y$ adalah fungsi dari nilai $x$ yang didefinisikan pada himpunan $M$.

Definisi 5

Biarkan $X$ dan $Y$ menjadi beberapa set angka. Fungsi adalah himpunan $f$ dari pasangan bilangan $(x,\ y)$ sedemikian rupa sehingga $x\dalam X$, $y\dalam Y$ dan setiap $x$ dimiliki oleh satu dan hanya satu pasangan dari fungsi tersebut set, dan setiap $y$ setidaknya dalam satu pasang .

Definisi 6

Sebarang himpunan $f=\(\left(x,\ y\right)\)$ dari pasangan terurut $\left(x,\ y\right)$ sedemikian sehingga untuk sembarang pasangan $\left(x",\ y" \right)\in f$ dan $\left(x"",\ y""\right)\in f$ mengikuti dari kondisi $y"≠ y""$ bahwa $x"≠x""$ adalah disebut fungsi atau tampilan.

Definisi 7

Sebuah fungsi $f:X → Y$ adalah himpunan $f$ dari pasangan terurut $\left(x,\ y\right)\in X\times Y$ sedemikian rupa sehingga untuk setiap elemen $x\di X$ ada elemen unik $y\di Y$ sedemikian rupa sehingga $\left(x,\ y\right)\in f$, yaitu, fungsinya adalah tuple objek $\left(f,\ X,\ Y\right) $.

Dalam definisi ini

$x$ adalah variabel bebas.

$y$ adalah variabel terikat.

Semua kemungkinan nilai variabel $x$ disebut domain fungsi, dan semua kemungkinan nilai variabel $y$ disebut domain fungsi.

Cara analitis untuk mendefinisikan suatu fungsi

Untuk metode ini, kita membutuhkan konsep ekspresi analitik.

Definisi 8

Ekspresi analitik adalah produk dari semua operasi matematika yang mungkin pada angka dan variabel apa pun.

Cara analitis untuk menetapkan suatu fungsi adalah pengaturannya menggunakan ekspresi analitis.

Contoh 1

$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.

Kelebihan:

1. Dengan rumus, kita dapat menentukan nilai suatu fungsi untuk setiap nilai variabel $x$;
2. Fungsi yang didefinisikan dengan cara ini dapat dipelajari dengan menggunakan peralatan analisis matematis.

Minus:

1. Sedikit visibilitas.
2. Terkadang Anda harus melakukan perhitungan yang sangat rumit.

Cara tabular untuk mendefinisikan suatu fungsi

Cara pengaturan ini adalah bahwa untuk beberapa nilai variabel independen, nilai variabel dependen ditulis. Semua ini dimasukkan ke dalam tabel.

Contoh 2

Gambar 1.

Plus: Untuk setiap nilai variabel independen $x$ yang dimasukkan dalam tabel, nilai yang sesuai dari fungsi $y$ segera dikenali.

Minus:

1. Lebih sering daripada tidak, tidak ada spesifikasi lengkap dari fungsi tersebut;
2. Sedikit visibilitas.

fungsi adalah korespondensi antara elemen-elemen dari dua himpunan, yang ditetapkan menurut aturan sedemikian rupa sehingga setiap elemen dari satu himpunan dikaitkan dengan beberapa elemen dari himpunan lain.

grafik suatu fungsi adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang absis (x) dan ordinat (y) dihubungkan oleh fungsi yang ditentukan:

titik terletak (atau terletak) pada grafik fungsi jika dan hanya jika .

Dengan demikian, suatu fungsi dapat dijelaskan secara memadai oleh grafiknya.

cara tabel. Cukup umum, ini terdiri dari pengaturan tabel nilai argumen individu dan nilai fungsi yang sesuai. Metode pendefinisian fungsi ini digunakan jika domain dari fungsi tersebut adalah himpunan berhingga diskrit.

Dengan metode tabular untuk mendefinisikan suatu fungsi, dimungkinkan untuk menghitung nilai fungsi yang tidak terdapat dalam tabel secara kira-kira, sesuai dengan nilai perantara dari argumen. Untuk melakukan ini, gunakan metode interpolasi.

Keuntungan dari metode tabular pengaturan fungsi adalah memungkinkan untuk menentukan nilai spesifik tertentu sekaligus, tanpa pengukuran atau perhitungan tambahan. Namun, dalam beberapa kasus, tabel tidak mendefinisikan fungsi sepenuhnya, tetapi hanya untuk beberapa nilai argumen dan tidak memberikan representasi visual tentang sifat perubahan fungsi tergantung pada perubahan argumen.

cara grafis. Grafik fungsi y = f(x) adalah himpunan semua titik pada bidang yang koordinatnya memenuhi persamaan yang diberikan.

Cara grafis untuk menentukan suatu fungsi tidak selalu memungkinkan untuk secara akurat menentukan nilai numerik argumen. Namun, ini memiliki keunggulan besar dibandingkan metode lain - visibilitas. Dalam teknik dan fisika, metode grafis untuk pengaturan fungsi sering digunakan, dan grafik adalah satu-satunya cara yang tersedia untuk ini.

Agar penugasan grafis suatu fungsi menjadi cukup benar dari sudut pandang matematika, perlu untuk menunjukkan konstruksi geometrik yang tepat dari grafik, yang, paling sering, diberikan oleh persamaan. Ini mengarah ke cara berikut untuk mendefinisikan suatu fungsi.

cara analitis. Paling sering, hukum yang menetapkan hubungan antara argumen dan fungsi ditentukan melalui rumus. Cara mendefinisikan fungsi ini disebut analitis.

Metode ini memungkinkan setiap nilai numerik dari argumen x untuk menemukan nilai numerik yang sesuai dari fungsi y secara tepat atau dengan akurasi tertentu.

Jika hubungan antara x dan y diberikan oleh rumus yang diselesaikan sehubungan dengan y, yaitu. memiliki bentuk y = f(x), maka kita katakan bahwa fungsi x diberikan secara eksplisit.

Jika nilai x dan y dihubungkan oleh suatu persamaan berbentuk F(x,y) = 0, yaitu. rumus tidak diperbolehkan sehubungan dengan y, yang berarti bahwa fungsi y = f(x) didefinisikan secara implisit.

Suatu fungsi dapat didefinisikan dengan rumus yang berbeda di bagian yang berbeda dari area tugasnya.

Metode analitik adalah cara yang paling umum untuk mendefinisikan fungsi. Kekompakan, keringkasan, kemampuan untuk menghitung nilai fungsi untuk nilai argumen yang berubah-ubah dari domain definisi, kemampuan untuk menerapkan peralatan analisis matematis ke fungsi yang diberikan adalah keuntungan utama dari metode analitik untuk mendefinisikan suatu fungsi. Kerugiannya termasuk kurangnya visibilitas, yang dikompensasi oleh kemampuan untuk membuat grafik dan kebutuhan untuk melakukan perhitungan yang terkadang sangat rumit.

cara lisan. Metode ini terdiri dari fakta bahwa ketergantungan fungsional dinyatakan dalam kata-kata.

Contoh 1: fungsi E(x) adalah bagian bilangan bulat dari bilangan x. Secara umum, E(x) = [x] menunjukkan bilangan bulat terbesar yang tidak melebihi x. Dengan kata lain, jika x = r + q, di mana r adalah bilangan bulat (mungkin negatif) dan q termasuk dalam interval = r. Fungsi E(x) = [x] konstan pada interval = r.

Contoh 2: fungsi y = (x) - bagian pecahan dari suatu bilangan. Lebih tepatnya, y =(x) = x - [x], di mana [x] adalah bagian bilangan bulat dari bilangan x. Fungsi ini didefinisikan untuk semua x. Jika x adalah bilangan arbitrer, maka dinyatakan sebagai x = r + q (r = [x]), di mana r adalah bilangan bulat dan q terletak pada interval .
Kita melihat bahwa menambahkan n ke argumen x tidak mengubah nilai fungsi.
Bilangan bukan nol terkecil dalam n adalah , jadi periodenya adalah sin 2x .

Nilai argumen yang fungsinya sama dengan 0 disebut nol (akar) fungsi.

Suatu fungsi dapat memiliki beberapa nol.

Misalnya, fungsi y=x(x+1)(x-3) memiliki tiga nol: x=0, x=-1, x=3.

Secara geometris, nol suatu fungsi adalah absis titik potong grafik fungsi dengan sumbu X .

Gambar 7 menunjukkan grafik fungsi dengan nol: x = a, x = b dan x = c .

Jika grafik suatu fungsi mendekati garis lurus tertentu tanpa batas saat menjauh dari titik asal, maka garis lurus ini disebut asimtot.

Fungsi terbalik

Biarkan fungsi y=ƒ(x) diberikan dengan domain definisi D dan himpunan nilai E. Jika setiap nilai yєE sesuai dengan nilai tunggal xєD, maka fungsi x=φ(y) didefinisikan dengan domain definisi E dan himpunan nilai D (lihat Gambar 102).

Fungsi seperti itu (y) disebut invers dari fungsi (x) dan ditulis dalam bentuk berikut: x=j(y)=f -1 (y) Tentang fungsi y=ƒ(x) dan x=φ(y) mereka mengatakan bahwa mereka saling terbalik. Untuk mencari fungsi x=φ(y) invers ke fungsi y=ƒ(x), cukup dengan menyelesaikan persamaan (x)=y terhadap x (jika mungkin).

1. Untuk fungsi y \u003d 2x, fungsi kebalikannya adalah fungsi x \u003d y / 2;

2. Untuk fungsi y \u003d x2 xє, fungsi kebalikannya adalah x \u003d y; perhatikan bahwa untuk fungsi y \u003d x 2, diberikan pada segmen [-1; 1], tidak ada invers, karena satu nilai y sesuai dengan dua nilai x (misalnya, jika y=1/4, maka x1=1/2, x2=-1/2).

Dari definisi fungsi invers diperoleh bahwa fungsi y=ƒ(x) memiliki invers jika dan hanya jika fungsi (x) mendefinisikan korespondensi satu-satu antara himpunan D dan E. Oleh karena itu, setiap fungsi yang sangat monoton memiliki invers. Selain itu, jika fungsi bertambah (berkurang), maka fungsi kebalikannya juga bertambah (berkurang).

Perhatikan bahwa fungsi y \u003d (x) dan inversnya x \u003d (y) digambarkan oleh kurva yang sama, yaitu grafiknya bertepatan. Jika kita setuju bahwa, seperti biasa, variabel bebas (yaitu, argumen) dilambangkan dengan x, dan variabel terikat oleh y, maka fungsi invers dari fungsi y \u003d (x) akan ditulis sebagai y \u003d (x).

Artinya titik M 1 (x o; y o) dari kurva y=ƒ(x) menjadi titik M 2 (y o; x o) dari kurva y=φ(x). Tetapi titik-titik M 1 dan M 2 simetris terhadap garis lurus y \u003d x (lihat Gambar 103). Oleh karena itu, grafik fungsi saling invers y=ƒ(x) dan y=φ(x) adalah simetris terhadap garis bagi sudut koordinat pertama dan ketiga.

Fungsi kompleks

Biarkan fungsi y=ƒ(u) didefinisikan pada himpunan D, dan fungsi u= (х) pada himpunan D 1 , dan untuk x D 1 nilai yang sesuai u=φ(x) D. Kemudian pada himpunan D 1 didefinisikan fungsi u=ƒ(φ(x)), yang disebut fungsi kompleks dari x (atau superposisi dari fungsi yang diberikan, atau fungsi dari suatu fungsi).

Variabel u=φ(x) disebut argumen perantara dari fungsi kompleks.

Misalnya, fungsi y=sin2x adalah superposisi dari dua fungsi y=sinu dan u=2x. Fungsi kompleks dapat memiliki beberapa argumen perantara.

4. Fungsi dasar dasar dan grafiknya.

Fungsi berikut disebut fungsi dasar dasar.

1) Fungsi eksponensial y \u003d a x, a> 0, a 1. Dalam gbr. 104 menunjukkan grafik fungsi eksponensial yang sesuai dengan berbagai basis eksponensial.

2) Fungsi daya y=x , R. Contoh grafik fungsi pangkat yang sesuai dengan berbagai eksponen disediakan dalam gambar

3) Fungsi logaritma y=log a x, a>0,a≠1 Grafik fungsi logaritma yang sesuai dengan basis yang berbeda ditunjukkan pada gambar. 106.

4) Fungsi trigonometri y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Grafik fungsi trigonometri memiliki bentuk yang ditunjukkan pada gambar. 107.

5) Fungsi trigonometri terbalik y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx. pada gambar. 108 menunjukkan grafik fungsi trigonometri terbalik.

Fungsi yang diberikan oleh satu rumus, terdiri dari fungsi dasar dan konstanta dasar menggunakan sejumlah terbatas operasi aritmatika (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian) dan operasi pengambilan fungsi dari suatu fungsi, disebut fungsi dasar.

Contoh fungsi dasar adalah fungsi

Contoh fungsi non-dasar adalah fungsi

5. Konsep limit barisan dan fungsi. Batasi properti.

Batas fungsi (batas fungsi) pada suatu titik tertentu, yang membatasi domain definisi suatu fungsi, adalah suatu nilai di mana nilai fungsi yang dipertimbangkan cenderung ketika argumennya cenderung ke suatu titik tertentu.

Dalam matematika batas urutan elemen ruang metrik atau ruang topologi adalah elemen dari ruang yang sama yang memiliki sifat "menarik" elemen dari urutan tertentu. Batas barisan elemen ruang topologi adalah titik tersebut, yang setiap tetangganya memuat semua elemen barisan tersebut, dimulai dari suatu bilangan. Dalam ruang metrik, lingkungan didefinisikan dalam fungsi jarak, sehingga konsep batas dirumuskan dalam bahasa jarak. Secara historis, yang pertama adalah konsep limit barisan numerik, yang muncul dalam analisis matematis, di mana ia berfungsi sebagai dasar untuk sistem aproksimasi dan digunakan secara luas dalam konstruksi kalkulus diferensial dan integral.

Penamaan:

(Baca: limit barisan ke-x sebagai encenderung tak hingga adalah a)

Sifat barisan yang memiliki limit disebut konvergensi: jika suatu barisan mempunyai limit, maka barisan tersebut dikatakan konvergen; sebaliknya (jika barisan tidak memiliki limit) barisan tersebut dikatakan menyimpang. Dalam ruang Hausdorff, dan khususnya ruang metrik, setiap barisan barisan konvergen konvergen, dan limitnya sama dengan limit barisan aslinya. Dengan kata lain, barisan elemen dalam ruang Hausdorff tidak dapat memiliki dua limit yang berbeda. Mungkin, bagaimanapun, ternyata barisan itu tidak memiliki batas, tetapi ada suatu turunan (dari barisan yang diberikan) yang memiliki batas. Jika suatu barisan titik dalam suatu ruang memiliki barisan yang konvergen, maka ruang tersebut dikatakan memiliki sifat kekompakan berurutan (atau, sederhananya, kekompakan jika kekompakan didefinisikan secara eksklusif dalam barisan).

Konsep limit suatu barisan berhubungan langsung dengan konsep titik limit (kumpulan): jika suatu himpunan mempunyai titik limit, maka ada barisan elemen-elemen himpunan tersebut yang konvergen ke titik tertentu.

Definisi

Biarkan ruang topologi dan urutan diberikan Kemudian, jika ada elemen sedemikian rupa sehingga

dimana adalah himpunan terbuka yang memuat , maka disebut limit dari barisan tersebut . Jika ruang adalah metrik, maka batas dapat didefinisikan menggunakan metrik: jika ada elemen sedemikian rupa sehingga

di mana adalah metrik, maka disebut batas.

· Jika sebuah ruang dilengkapi dengan topologi antidiskrit, maka limit dari sembarang barisan adalah sembarang elemen dari ruang tersebut.

6. Batas suatu fungsi pada suatu titik. Batas sepihak.

Fungsi satu variabel. Menentukan limit suatu fungsi di suatu titik menurut Cauchy. Nomor b disebut limit fungsi pada = f(x) pada X berjuang untuk sebuah(atau pada intinya sebuah) jika untuk sembarang bilangan positif ada bilangan positif sehingga untuk semua x a, sehingga | x – sebuah | < , выполняется неравенство
| f(x) – sebuah | <  .

Menentukan limit suatu fungsi di suatu titik menurut Heine. Nomor b disebut limit fungsi pada = f(x) pada X berjuang untuk sebuah(atau pada intinya sebuah) jika untuk sembarang barisan ( x n ) konvergen ke sebuah(bercita-cita untuk sebuah, yang memiliki jumlah batas sebuah), dan untuk nilai apa pun n x tidak sebuah, urutan ( kamu n= f(x n)) konvergen ke b.

Definisi ini mengasumsikan bahwa fungsi pada = f(x) didefinisikan di beberapa lingkungan titik sebuah, kecuali mungkin untuk intinya sebuah.

Definisi limit suatu fungsi pada suatu titik menurut Cauchy dan menurut Heine adalah ekuivalen: jika bilangan b berfungsi sebagai batas di salah satunya, maka hal yang sama berlaku di yang kedua.

Batas yang ditentukan ditunjukkan sebagai berikut:

Secara geometris, adanya limit suatu fungsi pada suatu titik menurut Cauchy berarti bahwa untuk sembarang bilangan > 0, persegi panjang tersebut dapat ditunjukkan pada bidang koordinat dengan alas 2 > 0, tinggi 2 dan pusat pada titik ( sebuah; b) bahwa semua titik grafik fungsi ini pada interval ( sebuah– ; sebuah+ ), dengan kemungkinan pengecualian titik M(sebuah; f(sebuah)), terletak di persegi panjang ini

Batas satu sisi dalam analisis matematis, batas fungsi numerik, menyiratkan "mendekati" titik batas dari satu sisi. Batas seperti itu disebut masing-masing batas kiri(atau batas kiri) dan batas kanan (batas di sebelah kanan). Biarkan fungsi numerik diberikan pada beberapa himpunan numerik dan jumlahnya menjadi titik batas dari domain definisi. Ada berbagai definisi untuk batas satu sisi dari suatu fungsi pada suatu titik, tetapi semuanya setara.

diberikan, dengan kata lain, diketahui, jika untuk setiap nilai dari jumlah argumen yang mungkin, dimungkinkan untuk menemukan nilai fungsi yang sesuai. Tiga yang paling umum metode definisi fungsi: tabular, grafik, analitis, ada juga metode verbal dan rekursif.

1. Cara tabel yang paling luas (tabel logaritma, akar kuadrat), keuntungan utamanya adalah kemungkinan memperoleh nilai numerik dari fungsi, kerugiannya adalah bahwa tabel bisa sulit dibaca dan terkadang tidak mengandung nilai tengah argumen .

Sebagai contoh:

x
kamu

Argumen X mengambil nilai yang ditentukan dalam tabel, dan pada didefinisikan menurut argumen ini X.

2. cara grafis terdiri dari menggambar garis (grafik), di mana absis mewakili nilai argumen, dan ordinat mewakili nilai fungsi yang sesuai. Seringkali, untuk kejelasan, skala pada sumbu diambil berbeda.

Sebagai contoh: untuk menemukan jadwal pada, yang sesuai dengan x = 2.5 perlu untuk menggambar tegak lurus terhadap sumbu X di tandai 2,5 . Tanda dapat dilakukan dengan cukup akurat dengan penggaris. Kemudian kita menemukan bahwa di X = 2,5 pada sama dengan 7,5 , tetapi jika kita perlu mencari nilainya pada pada X sama dengan 2,76 , maka cara grafis pengaturan fungsi tidak akan cukup akurat, karena Penggaris tidak mengizinkan pengukuran yang begitu akurat.

Kelebihan metode pengaturan fungsi ini adalah kemudahan dan integritas persepsi, kontinuitas perubahan argumen; kelemahannya adalah penurunan tingkat akurasi dan sulitnya mendapatkan nilai akurat.

3. Metode analitis terdiri dalam menentukan fungsi dengan satu atau lebih rumus. Keuntungan utama dari metode ini adalah akurasi yang tinggi dalam menentukan fungsi dari argumen yang diinginkan, dan kerugiannya adalah waktu yang dihabiskan untuk operasi matematika tambahan.

Sebagai contoh:

Fungsi dapat ditentukan menggunakan rumus matematika y=x2, lalu jika X sama dengan 2 , kemudian pada sama dengan 4, kami sedang membangun X menjadi persegi.

4. cara lisan terdiri dalam mendefinisikan fungsi dalam bahasa sederhana, yaitu. kata-kata. Dalam hal ini, perlu untuk memberikan nilai input, output, dan korespondensi di antara mereka.

Sebagai contoh:

Anda dapat secara verbal menentukan fungsi (tugas) yang diterima sebagai argumen alami X dengan nilai yang sesuai dari jumlah digit yang membentuk nilai pada. Jelaskan: jika X sama dengan 4 , kemudian pada sama dengan 4 , dan jika X sama dengan 358 , kemudian pada sama dengan jumlah 3 + 5 + 8 , yaitu 16 . Selanjutnya serupa.

5. cara rekursif terdiri dalam menentukan fungsi melalui dirinya sendiri, sementara nilai fungsi didefinisikan dalam hal nilai-nilai lainnya. Cara mendefinisikan fungsi ini digunakan dalam mendefinisikan himpunan dan deret.

Sebagai contoh:

Saat terurai Bilangan Euler diberikan oleh fungsi:

Singkatannya diberikan di bawah ini:

Dalam perhitungan langsung, rekursi tak terbatas terjadi, tetapi dapat dibuktikan bahwa nilai f(n) dengan bertambahnya n cenderung kesatuan (oleh karena itu, meskipun tak hingga dari seri , nilai Bilangan Euler tentu). Untuk perkiraan perhitungan nilai e itu cukup untuk secara artifisial membatasi kedalaman rekursi ke beberapa nomor yang telah ditentukan dan, setelah mencapainya, gunakan sebagai gantinya f(n) satuan.