Pada artikel ini, kami akan menunjukkan caranya definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut dan bilangan dalam trigonometri. Di sini kita akan berbicara tentang notasi, memberikan contoh entri, memberikan ilustrasi grafis. Sebagai kesimpulan, kami menggambar paralel antara definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dalam trigonometri dan geometri.

Navigasi halaman.

Pengertian sinus, cosinus, tangen, dan kotangen

Mari kita ikuti bagaimana konsep sinus, cosinus, tangen dan kotangen terbentuk dalam mata kuliah matematika sekolah. Dalam pelajaran geometri, definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut lancip dalam segitiga siku-siku diberikan. Dan kemudian trigonometri dipelajari, yang mengacu pada sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi dan bilangan. Kami memberikan semua definisi ini, memberikan contoh dan memberikan komentar yang diperlukan.

Sudut lancip pada segitiga siku-siku

Dari mata kuliah geometri, definisi sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari sudut lancip dalam segitiga siku-siku diketahui. Mereka diberikan sebagai rasio sisi-sisi segitiga siku-siku. Kami menyajikan formulasi mereka.

Definisi.

Sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring.

Definisi.

Cosinus sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.

Definisi.

Garis singgung sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.

Definisi.

Kotangen sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan kaki yang berlawanan.

Notasi sinus, cosinus, tangen dan kotangen juga diperkenalkan di sana - masing-masing sin, cos, tg dan ctg.

Misalnya, jika ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C, maka sinus sudut lancip A sama dengan perbandingan kaki depan BC dengan sisi miring AB, yaitu sin∠A=BC/AB.

Definisi ini memungkinkan Anda untuk menghitung nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut lancip dari panjang sisi segitiga siku-siku yang diketahui, serta dari nilai sinus, cosinus, garis singgung, kotangen dan panjang salah satu sisinya, tentukan panjang sisi yang lain. Misalnya, jika kita mengetahui bahwa pada segitiga siku-siku kaki AC adalah 3 dan sisi miring AB adalah 7 , maka kita dapat menghitung kosinus sudut lancip A dengan definisi: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Sudut rotasi

Dalam trigonometri, mereka mulai melihat sudut lebih luas - mereka memperkenalkan konsep sudut rotasi. Sudut rotasi, tidak seperti sudut lancip, tidak terbatas pada bingkai dari 0 hingga 90 derajat, sudut rotasi dalam derajat (dan dalam radian) dapat dinyatakan dengan bilangan real apa pun dari hingga +∞.

Dalam hal ini, definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen bukan lagi sudut lancip, tetapi sudut yang besarnya berubah-ubah - sudut rotasi. Mereka diberikan melalui koordinat x dan y dari titik A 1 , di mana titik awal yang disebut A(1, 0) lewat setelah berputar melalui sudut di sekitar titik O - awal dari sistem koordinat Cartesian persegi panjang dan pusat lingkaran satuan.

Definisi.

Sinus sudut rotasi adalah ordinat titik A 1 , yaitu sinα=y .

Definisi.

cosinus sudut rotasi disebut absis titik A 1 , yaitu cosα=x .

Definisi.

Tangen sudut rotasi adalah rasio ordinat titik A 1 dengan absisnya, yaitu, tgα=y/x .

Definisi.

Kotangen dari sudut rotasi adalah rasio absis titik A 1 dengan ordinatnya, yaitu ctgα=x/y .

Sinus dan kosinus didefinisikan untuk sembarang sudut , karena kita selalu dapat menentukan absis dan ordinat suatu titik, yang diperoleh dengan memutar titik awal melalui sudut . Dan tangen dan kotangen tidak didefinisikan untuk setiap sudut. Garis singgung tidak didefinisikan untuk sudut seperti itu di mana titik awal menuju ke titik dengan nol absis (0, 1) atau (0, 1) , dan ini terjadi pada sudut 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Memang, pada sudut rotasi seperti itu, ekspresi tgα=y/x tidak masuk akal, karena mengandung pembagian dengan nol. Sedangkan untuk kotangen, tidak ditentukan untuk sudut di mana titik awal menuju ke titik dengan ordinat nol (1, 0) atau (−1, 0) , dan ini adalah kasus sudut 180° k , k Z (π k rad).

Jadi, sinus dan kosinus didefinisikan untuk setiap sudut rotasi, garis singgung didefinisikan untuk semua sudut kecuali 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), dan kotangen untuk semua sudut kecuali 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Notasi yang sudah kita ketahui muncul dalam definisi sin, cos, tg dan ctg, mereka juga digunakan untuk menunjukkan sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi (kadang-kadang Anda dapat menemukan notasi tan dan cot yang sesuai dengan tangen dan kotangens). Jadi sinus sudut rotasi 30 derajat dapat ditulis sebagai sin30°, catatan tg(−24°17′) dan ctgα sesuai dengan tangen sudut rotasi 24 derajat 17 menit dan kotangen sudut rotasi . Ingatlah bahwa ketika menulis ukuran radian suatu sudut, notasi "rad" sering dihilangkan. Misalnya, cosinus dari sudut rotasi tiga pi rad biasanya dilambangkan cos3 .

Sebagai penutup paragraf ini, perlu diperhatikan bahwa dalam membicarakan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut rotasi, frasa “sudut rotasi” atau kata “rotasi” sering dihilangkan. Artinya, alih-alih frasa "sinus sudut rotasi alfa", frasa "sinus sudut alfa" biasanya digunakan, atau bahkan lebih pendek - "sinus alfa". Hal yang sama berlaku untuk cosinus, dan tangen, dan kotangen.

Katakan juga bahwa definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari suatu sudut lancip pada segitiga siku-siku konsisten dengan definisi yang diberikan untuk sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari suatu sudut rotasi yang berkisar dari 0 hingga 90 derajat. Ini akan kami buktikan.

angka

Definisi.

Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen suatu bilangan t adalah angka yang sama dengan sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi masing-masing dalam t radian.

Misalnya, kosinus 8 , menurut definisi, adalah bilangan yang sama dengan kosinus sudut 8 rad. Dan cosinus sudut pada 8 rad sama dengan satu, oleh karena itu cosinus dari angka 8 sama dengan 1.

Ada pendekatan lain untuk definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari suatu bilangan. Ini terdiri dari fakta bahwa setiap bilangan real t diberi titik lingkaran satuan yang berpusat di titik asal sistem koordinat persegi panjang, dan sinus, kosinus, tangen, dan kotangen ditentukan melalui koordinat titik ini. Mari kita membahas ini secara lebih rinci.

Mari kita tunjukkan bagaimana korespondensi antara bilangan real dan titik-titik lingkaran ditetapkan:

• angka 0 ditetapkan sebagai titik awal A(1, 0);
• angka positif t dikaitkan dengan titik pada lingkaran satuan, yang akan kita dapatkan jika kita bergerak mengelilingi lingkaran dari titik awal dalam arah berlawanan arah jarum jam dan melalui jalur dengan panjang t;
• angka negatif t dikaitkan dengan titik pada lingkaran satuan, yang akan kita dapatkan jika kita bergerak di sekitar lingkaran dari titik awal searah jarum jam dan melalui jalur dengan panjang |t| .

Sekarang mari kita beralih ke definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari bilangan t. Mari kita asumsikan bahwa angka t sesuai dengan titik lingkaran A 1 (x, y) (misalnya, angka &pi/2; sesuai dengan titik A 1 (0, 1) ).

Definisi.

Sinus suatu bilangan t adalah ordinat titik lingkaran satuan yang sesuai dengan bilangan t , yaitu sint=y .

Definisi.

Kosinus suatu bilangan t disebut absis dari titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t , yaitu, biaya=x .

Definisi.

Tangen suatu bilangan t adalah rasio ordinat dengan absis titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t, yaitu, tgt=y/x. Dalam formulasi lain yang setara, garis singgung dari angka t adalah rasio sinus dari angka ini dengan kosinus, yaitu, tgt=sint/biaya .

Definisi.

Kotangen suatu bilangan t adalah rasio absis terhadap ordinat titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t, yaitu, ctgt=x/y. Rumusan lain adalah sebagai berikut: tangen bilangan t adalah perbandingan kosinus bilangan t dengan sinus bilangan t : ctgt=biaya/sint .

Di sini kami mencatat bahwa definisi yang baru saja diberikan setuju dengan definisi yang diberikan di awal subbagian ini. Memang, titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t bertepatan dengan titik yang diperoleh dengan memutar titik awal melalui sudut t radian.

Penting juga untuk mengklarifikasi poin ini. Katakanlah kita memiliki entri sin3. Bagaimana memahami apakah sinus angka 3 atau sinus sudut rotasi 3 radian yang dimaksud? Ini biasanya jelas dari konteksnya, jika tidak, mungkin tidak masalah.

Fungsi trigonometri argumen sudut dan numerik

Menurut definisi yang diberikan dalam paragraf sebelumnya, setiap sudut rotasi sesuai dengan nilai sin yang terdefinisi dengan baik, serta nilai cos . Selain itu, semua sudut rotasi selain 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) sesuai dengan nilai tgα , dan selain 180° k , k∈Z (π k rad ) adalah nilai dari ctgα . Oleh karena itu sinα, cosα, tgα dan ctgα adalah fungsi dari sudut . Dengan kata lain, ini adalah fungsi dari argumen sudut.

Demikian pula, kita dapat berbicara tentang fungsi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dari argumen numerik. Memang, setiap bilangan real t sesuai dengan nilai sint , serta biaya yang terdefinisi dengan baik . Selain itu, semua angka selain /2+π·k , k∈Z sesuai dengan nilai tgt , dan angka ·k , k∈Z sesuai dengan nilai ctgt .

Fungsi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen disebut fungsi trigonometri dasar.

Biasanya jelas dari konteksnya bahwa kita berurusan dengan fungsi trigonometri dari argumen sudut atau argumen numerik. Jika tidak, kita dapat menganggap variabel independen sebagai ukuran sudut (argumen sudut) dan argumen numerik.

Namun, sekolah terutama mempelajari fungsi numerik, yaitu fungsi yang argumennya, serta nilai fungsi yang sesuai, adalah angka. Oleh karena itu, jika kita berbicara tentang fungsi, maka disarankan untuk mempertimbangkan fungsi trigonometri sebagai fungsi argumen numerik.

Koneksi definisi dari geometri dan trigonometri

Jika kita mempertimbangkan sudut rotasi dari 0 hingga 90 derajat, maka data dalam konteks trigonometri definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi sepenuhnya konsisten dengan definisi sinus, cosinus , tangen dan kotangen dari sudut akut dalam segitiga siku-siku, yang diberikan dalam kursus geometri. Mari kita buktikan ini.

Gambarlah sebuah lingkaran satuan pada sistem koordinat kartesius persegi panjang Oxy. Perhatikan titik awal A(1, 0) . Mari kita putar dengan sudut mulai dari 0 hingga 90 derajat, kita mendapatkan titik A 1 (x, y) . Mari kita jatuhkan tegak lurus A 1 H dari titik A 1 ke sumbu Ox.

Sangat mudah untuk melihat bahwa dalam segitiga siku-siku sudut A 1 OH sama dengan sudut rotasi , panjang kaki OH yang berdekatan dengan sudut ini sama dengan absis titik A 1, yaitu |OH |=x, panjang kaki A 1 H yang berhadapan dengan sudut sama dengan ordinat titik A 1 , yaitu |A 1 H|=y , dan panjang sisi miring OA 1 sama dengan satu , karena itu adalah jari-jari lingkaran satuan. Kemudian, menurut definisi dari geometri, sinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku A 1 OH sama dengan rasio sisi yang berlawanan dengan sisi miring, yaitu, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Dan menurut definisi dari trigonometri, sinus sudut rotasi sama dengan ordinat titik A 1, yaitu sinα=y. Hal ini menunjukkan bahwa definisi sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku sama dengan definisi sinus sudut putar untuk dari 0 hingga 90 derajat.

Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa definisi kosinus, tangen, dan kotangen dari sudut lancip konsisten dengan definisi kosinus, tangen, dan kotangen dari sudut rotasi .

Bibliografi.

1. Geometri. nilai 7-9: studi. untuk pendidikan umum institusi / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev dan lainnya]. - edisi ke-20. M.: Pendidikan, 2010. - 384 hal.: sakit. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometri: Prok. untuk 7-9 sel. pendidikan umum institusi / A. V. Pogorelov. - Edisi ke-2 - M.: Pencerahan, 2001. - 224 hal.: sakit. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Aljabar dan fungsi dasar: Buku teks untuk siswa kelas 9 sekolah menengah / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Diedit oleh Doktor Ilmu Fisika dan Matematika O.N. Golovin - edisi ke-4. Moskow: Pendidikan, 1969.
4. Aljabar: Prok. untuk 9 sel. rata-rata sekolah / Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Pencerahan, 1990.- 272 hal.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dan lainnya; Ed. A. N. Kolmogorova.- edisi ke-14.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 hal.: sakit.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A.G. Aljabar dan awal dari analisis. Kelas 10. Pukul 2 siang Bagian 1: buku teks untuk lembaga pendidikan (tingkat profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-4, tambahkan. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Aljabar dan awal dari analisis matematis. Kelas 10: buku pelajaran. untuk pendidikan umum institusi: dasar dan profil. level /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A.B.Zhizhchenko. - edisi ke-3. - I.: Pendidikan, 2010. - 368 hal.: Sakit - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. rata-rata sekolah - edisi ke-3. - M.: Pencerahan, 1993. - 351 hal.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.

Salah satu cabang matematika yang dengannya anak sekolah mengatasi kesulitan terbesar adalah trigonometri. Tidak heran: untuk menguasai bidang pengetahuan ini dengan bebas, Anda memerlukan pemikiran spasial, kemampuan untuk menemukan sinus, kosinus, garis singgung, kotangen menggunakan rumus, menyederhanakan ekspresi, dan dapat menggunakan angka pi dalam perhitungan. Selain itu, Anda harus dapat menerapkan trigonometri saat membuktikan teorema, dan ini membutuhkan memori matematika yang dikembangkan atau kemampuan untuk menyimpulkan rantai logis yang kompleks.

Asal-usul trigonometri

Mengenal ilmu ini harus dimulai dengan definisi sinus, cosinus, dan tangen sudut, tetapi pertama-tama Anda perlu mencari tahu apa yang dilakukan trigonometri secara umum.

Secara historis, segitiga siku-siku telah menjadi objek studi utama dalam bagian ilmu matematika ini. Kehadiran sudut 90 derajat memungkinkan untuk melakukan berbagai operasi yang memungkinkan seseorang untuk menentukan nilai semua parameter gambar yang dipertimbangkan menggunakan dua sisi dan satu sudut atau dua sudut dan satu sisi. Di masa lalu, orang memperhatikan pola ini dan mulai aktif menggunakannya dalam konstruksi bangunan, navigasi, astronomi, dan bahkan seni.

Tahap pertama

Awalnya, orang berbicara tentang hubungan sudut dan sisi secara eksklusif pada contoh segitiga siku-siku. Kemudian formula khusus ditemukan yang memungkinkan untuk memperluas batas penggunaan dalam kehidupan sehari-hari dari bagian matematika ini.

Studi trigonometri di sekolah hari ini dimulai dengan segitiga siku-siku, setelah itu pengetahuan yang diperoleh digunakan oleh siswa dalam fisika dan memecahkan persamaan trigonometri abstrak, pekerjaan yang dimulai di sekolah menengah.

trigonometri bola

Kemudian, ketika sains mencapai tingkat perkembangan berikutnya, rumus dengan sinus, kosinus, tangen, kotangen mulai digunakan dalam geometri bola, di mana aturan yang berbeda berlaku, dan jumlah sudut dalam segitiga selalu lebih dari 180 derajat. Bagian ini tidak dipelajari di sekolah, tetapi perlu diketahui keberadaannya, setidaknya karena permukaan bumi, dan permukaan planet lain, adalah cembung, yang berarti bahwa setiap tanda permukaan akan "berbentuk busur" di ruang tiga dimensi.

Ambil globe dan benang. Pasang utas ke dua titik mana pun di globe sehingga kencang. Perhatikan - ia telah memperoleh bentuk busur. Dengan bentuk-bentuk seperti itulah geometri bola, yang digunakan dalam geodesi, astronomi, dan bidang teoretis dan terapan lainnya, berkaitan.

Segitiga siku-siku

Setelah mempelajari sedikit tentang cara menggunakan trigonometri, mari kembali ke trigonometri dasar untuk lebih memahami apa itu sinus, kosinus, tangen, perhitungan apa yang dapat dilakukan dengan bantuan mereka dan rumus apa yang digunakan.

Langkah pertama adalah memahami konsep-konsep yang berkaitan dengan segitiga siku-siku. Pertama, sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan sudut 90 derajat. Dia yang terpanjang. Kita ingat bahwa, menurut teorema Pythagoras, nilai numeriknya sama dengan akar jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya.

Misalnya, jika dua sisi masing-masing berukuran 3 dan 4 sentimeter, panjang sisi miringnya adalah 5 sentimeter. Ngomong-ngomong, orang Mesir kuno tahu tentang ini sekitar empat setengah ribu tahun yang lalu.

Dua sisi tersisa yang membentuk sudut siku-siku disebut kaki. Selain itu, kita harus ingat bahwa jumlah sudut dalam segitiga dalam sistem koordinat persegi panjang adalah 180 derajat.

Definisi

Akhirnya, dengan pemahaman yang kuat tentang dasar geometris, kita dapat beralih ke definisi sinus, kosinus, dan tangen suatu sudut.

Sinus suatu sudut adalah rasio kaki yang berlawanan (yaitu, sisi yang berlawanan dengan sudut yang diinginkan) dengan sisi miring. Cosinus suatu sudut adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.

Ingatlah bahwa baik sinus maupun cosinus tidak boleh lebih besar dari satu! Mengapa? Karena sisi miring secara default terpanjang. Tidak peduli berapa panjang kakinya, itu akan lebih pendek dari sisi miring, yang berarti rasio mereka akan selalu kurang dari satu. Jadi, jika Anda mendapatkan sinus atau kosinus dengan nilai lebih besar dari 1 dalam jawaban soal, cari kesalahan dalam perhitungan atau penalaran. Jawaban ini jelas salah.

Akhirnya, garis singgung suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang bersebelahan. Hasil yang sama akan memberikan pembagian sinus dengan kosinus. Lihat: sesuai dengan rumus, kita membagi panjang sisi dengan sisi miring, setelah itu kita membagi dengan panjang sisi kedua dan dikalikan dengan sisi miring. Dengan demikian, kita mendapatkan rasio yang sama seperti pada definisi tangen.

Kotangen, masing-masing, adalah rasio sisi yang berdekatan dengan sudut ke sisi yang berlawanan. Kami mendapatkan hasil yang sama dengan membagi unit dengan garis singgung.

Jadi, kami telah mempertimbangkan definisi sinus, kosinus, tangen, dan kotangen, dan kami dapat menangani rumus.

Rumus paling sederhana

Dalam trigonometri, seseorang tidak dapat melakukannya tanpa rumus - bagaimana menemukan sinus, kosinus, tangen, kotangen tanpa mereka? Dan inilah tepatnya yang dibutuhkan ketika memecahkan masalah.

Rumus pertama yang perlu Anda ketahui ketika mulai belajar trigonometri mengatakan bahwa jumlah kuadrat dari sinus dan cosinus suatu sudut sama dengan satu. Rumus ini merupakan konsekuensi langsung dari teorema Pythagoras, tetapi menghemat waktu jika Anda ingin mengetahui nilai sudut, bukan sisinya.

Banyak siswa tidak dapat mengingat rumus kedua, yang juga sangat populer saat memecahkan masalah sekolah: jumlah satu dan kuadrat dari garis singgung suatu sudut sama dengan satu dibagi dengan kuadrat dari kosinus sudut. Perhatikan lebih dekat: lagi pula, ini adalah pernyataan yang sama seperti pada rumus pertama, hanya kedua sisi identitas yang dibagi dengan kuadrat kosinus. Ternyata operasi matematika sederhana membuat rumus trigonometri benar-benar tidak dapat dikenali. Ingat: mengetahui apa itu sinus, kosinus, tangen, dan kotangen, aturan konversi, dan beberapa rumus dasar, Anda dapat kapan saja secara mandiri menurunkan rumus yang lebih kompleks yang diperlukan pada selembar kertas.

Rumus sudut ganda dan penambahan argumen

Dua rumus lagi yang perlu Anda pelajari terkait dengan nilai sinus dan kosinus untuk jumlah dan perbedaan sudut. Mereka ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Harap dicatat bahwa dalam kasus pertama, sinus dan kosinus dikalikan kedua kali, dan dalam kasus kedua, produk berpasangan dari sinus dan kosinus ditambahkan.

Ada juga rumus yang terkait dengan argumen sudut ganda. Mereka sepenuhnya diturunkan dari yang sebelumnya - sebagai latihan, cobalah untuk mendapatkannya sendiri, ambil sudut alfa sama dengan sudut beta.

Terakhir, perhatikan bahwa rumus sudut ganda dapat dikonversi untuk menurunkan derajat sinus, kosinus, alfa tangen.

Teorema

Dua teorema utama dalam trigonometri dasar adalah teorema sinus dan teorema kosinus. Dengan bantuan teorema ini, Anda dapat dengan mudah memahami cara menemukan sinus, kosinus, dan tangen, dan karenanya luas gambar, dan ukuran setiap sisi, dll.

Teorema sinus menyatakan bahwa sebagai hasil dari membagi panjang masing-masing sisi segitiga dengan nilai sudut yang berlawanan, kita mendapatkan angka yang sama. Selain itu, angka ini akan sama dengan dua jari-jari lingkaran yang dibatasi, yaitu lingkaran yang berisi semua titik dari segitiga yang diberikan.

Teorema kosinus menggeneralisasi teorema Pythagoras, memproyeksikannya ke sembarang segitiga. Ternyata dari jumlah kuadrat kedua sisi, kurangi produknya, dikalikan dengan kosinus ganda dari sudut yang berdekatan dengannya - nilai yang dihasilkan akan sama dengan kuadrat sisi ketiga. Jadi, teorema Pythagoras ternyata merupakan kasus khusus dari teorema kosinus.

Kesalahan karena kurangnya perhatian

Bahkan mengetahui apa itu sinus, cosinus dan tangen, mudah untuk membuat kesalahan karena linglung atau kesalahan dalam perhitungan yang paling sederhana. Untuk menghindari kesalahan seperti itu, mari berkenalan dengan yang paling populer.

Pertama, Anda tidak boleh mengubah pecahan biasa menjadi desimal sampai hasil akhir diperoleh - Anda dapat membiarkan jawabannya sebagai pecahan biasa, kecuali jika kondisinya menyatakan sebaliknya. Transformasi seperti itu tidak bisa disebut kesalahan, tetapi harus diingat bahwa pada setiap tahap tugas, akar baru mungkin muncul, yang, menurut ide penulis, harus dikurangi. Dalam hal ini, Anda akan membuang waktu untuk operasi matematika yang tidak perlu. Ini terutama berlaku untuk nilai seperti akar tiga atau dua, karena muncul dalam tugas di setiap langkah. Hal yang sama berlaku untuk pembulatan angka "jelek".

Selanjutnya, perhatikan bahwa teorema kosinus berlaku untuk sembarang segitiga, tetapi tidak untuk teorema Pythagoras! Jika Anda secara keliru lupa untuk mengurangi dua kali perkalian sisi-sisi dikalikan dengan kosinus sudut di antara mereka, Anda tidak hanya akan mendapatkan hasil yang sepenuhnya salah, tetapi juga menunjukkan kesalahpahaman total tentang subjek. Ini lebih buruk daripada kesalahan yang ceroboh.

Ketiga, jangan bingung nilai untuk sudut 30 dan 60 derajat untuk sinus, cosinus, garis singgung, kotangen. Ingat nilai-nilai ini, karena sinus 30 derajat sama dengan cosinus 60, dan sebaliknya. Sangat mudah untuk mencampurnya, akibatnya Anda pasti akan mendapatkan hasil yang salah.

Aplikasi

Banyak siswa yang tidak terburu-buru untuk mulai mempelajari trigonometri, karena mereka tidak memahami makna terapannya. Apa sinus, kosinus, tangen untuk seorang insinyur atau astronom? Ini adalah konsep berkat yang Anda dapat menghitung jarak ke bintang-bintang yang jauh, memprediksi jatuhnya meteorit, mengirim penyelidikan penelitian ke planet lain. Tanpa mereka, mustahil untuk membangun sebuah bangunan, merancang mobil, menghitung beban di permukaan atau lintasan suatu benda. Dan ini hanya contoh yang paling jelas! Bagaimanapun, trigonometri dalam satu atau lain bentuk digunakan di mana-mana, mulai dari musik hingga kedokteran.

Akhirnya

Jadi Anda sinus, cosinus, tangen. Anda dapat menggunakannya dalam perhitungan dan berhasil memecahkan masalah sekolah.

Seluruh esensi trigonometri bermuara pada fakta bahwa parameter yang tidak diketahui harus dihitung dari parameter segitiga yang diketahui. Ada enam parameter secara total: panjang tiga sisi dan besar tiga sudut. Seluruh perbedaan dalam tugas terletak pada kenyataan bahwa data masukan yang berbeda diberikan.

Cara mencari sinus, cosinus, tangen berdasarkan panjang kaki atau sisi miring yang diketahui, sekarang Anda sudah tahu. Karena istilah-istilah ini tidak lebih dari rasio, dan rasio adalah pecahan, tujuan utama dari masalah trigonometri adalah untuk menemukan akar persamaan biasa atau sistem persamaan. Dan di sini Anda akan dibantu oleh matematika sekolah biasa.

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari fungsi trigonometri dan penggunaannya dalam geometri. Perkembangan trigonometri dimulai pada zaman Yunani kuno. Selama Abad Pertengahan, para ilmuwan dari Timur Tengah dan India memberikan kontribusi penting bagi perkembangan ilmu ini.

Artikel ini dikhususkan untuk konsep dasar dan definisi trigonometri. Ini membahas definisi fungsi trigonometri utama: sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Maknanya dalam konteks geometri dijelaskan dan diilustrasikan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Awalnya, definisi fungsi trigonometri, yang argumennya adalah sudut, diungkapkan melalui rasio sisi-sisi segitiga siku-siku.

Definisi fungsi trigonometri

Sinus suatu sudut (sin ) adalah perbandingan kaki yang berhadapan dengan sudut ini dengan sisi miring.

Kosinus sudut (cos ) adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.

Garis singgung sudut (t g ) adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.

Kotangen sudut (c t g ) adalah rasio kaki yang berdekatan dengan kaki yang berlawanan.

Definisi ini diberikan untuk sudut lancip dari segitiga siku-siku!

Mari kita beri ilustrasi.

Pada segitiga ABC siku-siku C, sinus sudut A sama dengan perbandingan kaki BC dengan sisi miring AB.

Definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen memungkinkan untuk menghitung nilai fungsi-fungsi ini dari panjang sisi segitiga yang diketahui.

Penting untuk diingat!

Rentang nilai sinus dan kosinus: dari -1 hingga 1. Dengan kata lain, sinus dan kosinus mengambil nilai dari -1 hingga 1. Rentang nilai tangen dan kotangen adalah seluruh garis bilangan, yaitu ini fungsi dapat mengambil nilai apa pun.

Definisi yang diberikan di atas mengacu pada sudut lancip. Dalam trigonometri, konsep sudut rotasi diperkenalkan, yang nilainya, tidak seperti sudut lancip, tidak dibatasi oleh bingkai dari 0 hingga 90 derajat. Sudut rotasi dalam derajat atau radian dinyatakan dengan bilangan real apa pun dari - ke + .

Dalam konteks ini, seseorang dapat mendefinisikan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut yang besarnya sewenang-wenang. Bayangkan sebuah lingkaran satuan yang berpusat di asal sistem koordinat Cartesian.

Titik awal A dengan koordinat (1 , 0) berputar mengelilingi pusat lingkaran satuan dengan sudut dan menuju ke titik A 1 . Definisi tersebut diberikan melalui koordinat titik A 1 (x, y).

Sinus (sin) sudut rotasi

Sinus sudut rotasi adalah ordinat titik A 1 (x, y). sinα = y

Cosinus (cos) dari sudut rotasi

Kosinus sudut rotasi adalah absis titik A 1 (x, y). cos = x

Tangen (tg) sudut rotasi

Garis singgung sudut rotasi adalah perbandingan ordinat titik A 1 (x, y) dengan absisnya. t g = y x

Kotangen (ctg) sudut rotasi

Kotangen sudut rotasi adalah perbandingan absis titik A 1 (x, y) terhadap ordinatnya. c t g = x y

Sinus dan cosinus didefinisikan untuk setiap sudut rotasi. Ini logis, karena absis dan ordinat titik setelah rotasi dapat ditentukan di sembarang sudut. Situasinya berbeda dengan tangen dan kotangen. Garis singgung tidak didefinisikan ketika titik setelah rotasi menuju ke titik dengan nol absis (0 , 1) dan (0 , - 1). Dalam kasus seperti itu, ekspresi tangen t g = y x sama sekali tidak masuk akal, karena mengandung pembagian dengan nol. Situasinya mirip dengan kotangen. Perbedaannya adalah bahwa kotangen tidak didefinisikan dalam kasus di mana ordinat titik hilang.

Penting untuk diingat!

Sinus dan cosinus didefinisikan untuk setiap sudut .

Garis singgung didefinisikan untuk semua sudut kecuali = 90° + 180° k , k Z (α = 2 + k , k Z)

Kotangen didefinisikan untuk semua sudut kecuali = 180° k, k Z (α = k, k Z)

Saat memecahkan contoh praktis, jangan katakan "sinus sudut rotasi ". Kata-kata "sudut rotasi" dihilangkan begitu saja, menyiratkan bahwa dari konteksnya sudah jelas apa yang dipertaruhkan.

angka

Bagaimana dengan definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu bilangan, dan bukan sudut rotasi?

Sinus, kosinus, tangen, kotangen suatu bilangan

Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen suatu bilangan t suatu bilangan disebut, yang masing-masing sama dengan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen di t radian.

Misalnya, sinus 10 sama dengan sinus sudut rotasi 10 rad.

Ada pendekatan lain untuk definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari suatu bilangan. Mari kita pertimbangkan lebih detail.

Setiap bilangan asli t sebuah titik pada lingkaran satuan bersesuaian dengan titik pusat pada titik asal sistem koordinat kartesius segi empat. Sinus, kosinus, tangen dan kotangen didefinisikan dalam koordinat titik ini.

Titik awal lingkaran adalah titik A dengan koordinat (1 , 0).

nomor positif t

Angka negatif t sesuai dengan titik di mana titik awal akan bergerak jika bergerak berlawanan arah jarum jam di sekitar lingkaran dan melewati jalur t .

Sekarang hubungan antara angka dan titik pada lingkaran telah dibuat, kita lanjutkan ke definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen.

Sinus (sin) bilangan t

Sinus suatu bilangan t- ordinat titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t. sin t = y

Cosinus (cos) dari t

Cosinus suatu bilangan t- absis titik lingkaran satuan yang sesuai dengan nomor t. cos t = x

Tangen (tg) dari t

Tangen suatu bilangan t- rasio ordinat dengan absis titik lingkaran satuan yang sesuai dengan nomor t. t g t = y x = sin t cos t

Definisi yang terakhir konsisten dengan dan tidak bertentangan dengan definisi yang diberikan di awal bagian ini. Titik pada lingkaran yang sesuai dengan angka t, bertepatan dengan titik yang dilalui titik awal setelah berbelok melalui sudut t radian.

Fungsi trigonometri argumen sudut dan numerik

Setiap nilai sudut sesuai dengan nilai tertentu dari sinus dan cosinus sudut ini. Sama seperti semua sudut selain = 90 ° + 180 ° · k , k Z (α = 2 + · k , k Z) sesuai dengan nilai tangen tertentu. Kotangen, seperti disebutkan di atas, didefinisikan untuk semua , kecuali untuk = 180 ° k , k Z (α = k , k Z).

Kita dapat mengatakan bahwa sin , cos , t g α , c t g adalah fungsi dari sudut alfa, atau fungsi dari argumen sudut.

Demikian pula, seseorang dapat berbicara tentang sinus, cosinus, tangen dan kotangen sebagai fungsi dari argumen numerik. Setiap bilangan asli t sesuai dengan nilai tertentu dari sinus atau cosinus dari suatu bilangan t. Semua angka selain 2 + · k , k Z, sesuai dengan nilai tangen. Kotangen didefinisikan dengan cara yang sama untuk semua bilangan kecuali · k , k Z.

Fungsi dasar trigonometri

Sinus, kosinus, tangen dan kotangen adalah fungsi trigonometri dasar.

Biasanya jelas dari konteks argumen mana dari fungsi trigonometri (argumen sudut atau argumen numerik) yang kita hadapi.

Mari kembali ke data di awal definisi dan sudut alfa, yang terletak di kisaran 0 hingga 90 derajat. Definisi trigonometri sinus, cosinus, tangen, dan kotangen sepenuhnya sesuai dengan definisi geometris yang diberikan oleh rasio sisi segitiga siku-siku. Mari kita tunjukkan.

Ambil lingkaran satuan yang berpusat pada sistem koordinat Cartesian persegi panjang. Mari kita putar titik awal A (1, 0) dengan sudut hingga 90 derajat dan menggambar dari titik yang dihasilkan A 1 (x, y) tegak lurus terhadap sumbu x. Pada segitiga siku-siku yang dihasilkan, sudut A 1 O H sama dengan sudut rotasi , panjang kaki O H sama dengan absis titik A 1 (x, y) . Panjang kaki di depan sudut sama dengan ordinat titik A 1 (x, y), dan panjang sisi miring sama dengan satu, karena itu adalah jari-jari lingkaran satuan.

Sesuai dengan definisi dari geometri, sinus sudut sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring.

sin \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Ini berarti bahwa definisi sinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku melalui rasio aspek setara dengan definisi sinus sudut rotasi , dengan alfa terletak dalam kisaran 0 hingga 90 derajat.

Demikian pula, korespondensi definisi dapat ditunjukkan untuk kosinus, tangen dan kotangen.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Guru percaya bahwa setiap siswa harus dapat melakukan perhitungan, mengetahui rumus trigonometri, tetapi tidak setiap guru menjelaskan apa itu sinus dan kosinus. Apa artinya, di mana mereka digunakan? Mengapa kita berbicara tentang segitiga, tetapi sebuah lingkaran digambar di buku teks? Mari kita coba menghubungkan semua fakta bersama-sama.

Pelajaran sekolah

Pelajaran trigonometri biasanya dimulai di kelas 7 atau 8 sekolah menengah. Pada kali ini siswa dijelaskan apa itu sinus dan cosinus, mereka ditawari untuk menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan fungsi-fungsi tersebut. Kemudian, rumus dan ekspresi yang lebih kompleks muncul yang perlu dikonversi secara aljabar (rumus sudut ganda dan setengah, fungsi daya), pekerjaan dilakukan dengan lingkaran trigonometri.

Namun, guru tidak selalu dapat menjelaskan dengan jelas arti dari konsep yang digunakan dan penerapan rumus. Oleh karena itu, siswa sering kali tidak memahami inti pelajaran ini, dan informasi yang dihafal dengan cepat dilupakan. Namun, perlu sekali dijelaskan kepada siswa sekolah menengah, misalnya, hubungan antara fungsi dan gerakan osilasi, dan hubungan logis akan diingat selama bertahun-tahun, dan lelucon tentang tidak bergunanya subjek akan menjadi sesuatu yang menarik. masa lalu.

Penggunaan

Agar penasaran, mari kita lihat berbagai cabang fisika. Ingin menentukan jangkauan proyektil? Atau apakah Anda menghitung gaya gesekan antara suatu benda dan permukaan tertentu? Mengayunkan bandul, mengamati sinar yang melewati kaca, menghitung induksi? Konsep trigonometri muncul di hampir semua rumus. Jadi apa itu sinus dan cosinus?

definisi

Sinus suatu sudut adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring, cosinus adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring yang sama. Sama sekali tidak ada yang rumit di sini. Mungkin siswa biasanya bingung dengan nilai yang mereka lihat di tabel trigonometri, karena akar kuadrat muncul di sana. Ya, mendapatkan pecahan desimal dari mereka sangat tidak nyaman, tetapi siapa bilang semua bilangan dalam matematika harus genap?

Sebenarnya, Anda dapat menemukan petunjuk lucu di buku soal trigonometri: sebagian besar jawaban di sini adalah genap dan, dalam kasus terburuk, mengandung akar dua atau tiga. Kesimpulannya sederhana: jika Anda mendapatkan pecahan "bertingkat" dalam jawaban Anda, periksa kembali solusi untuk kesalahan dalam perhitungan atau penalaran. Dan kemungkinan besar Anda akan menemukannya.

Apa yang harus diingat?

Seperti dalam ilmu apapun, dalam trigonometri ada data yang harus dipelajari.

Pertama, Anda harus mengingat nilai numerik untuk sinus, cosinus dari segitiga siku-siku 0 dan 90, serta 30, 45 dan 60 derajat. Indikator-indikator ini ditemukan dalam sembilan dari sepuluh tugas sekolah. Mengintip nilai-nilai ini di buku teks, Anda akan kehilangan banyak waktu, dan tidak akan ada tempat untuk melihat kontrol atau ujian.

Harus diingat bahwa nilai kedua fungsi tidak boleh melebihi satu. Jika di mana saja dalam perhitungan Anda mendapatkan nilai di luar kisaran 0-1, hentikan dan selesaikan masalah lagi.

Jumlah kuadrat sinus dan cosinus sama dengan satu. Jika Anda telah menemukan salah satu nilai, gunakan rumus ini untuk menemukan sisanya.

Teorema

Ada dua teorema utama dalam trigonometri dasar: sinus dan cosinus.

Yang pertama mengatakan bahwa rasio setiap sisi segitiga dengan sinus dari sudut yang berlawanan adalah sama. Yang kedua adalah bahwa kuadrat dari setiap sisi dapat diperoleh dengan menjumlahkan kuadrat dari dua sisi yang tersisa dan mengurangkan dua kali produk mereka, dikalikan dengan kosinus dari sudut yang terletak di antara mereka.

Jadi, jika kita mensubstitusi nilai sudut 90 derajat ke dalam teorema kosinus, kita mendapatkan ... teorema Pythagoras. Sekarang, jika Anda perlu menghitung luas bangun yang bukan segitiga siku-siku, Anda tidak perlu khawatir lagi - kedua teorema yang dipertimbangkan akan sangat menyederhanakan penyelesaian masalah.

Tujuan dan sasaran

Studi trigonometri akan sangat disederhanakan ketika Anda menyadari satu fakta sederhana: semua tindakan yang Anda lakukan ditujukan untuk mencapai satu tujuan. Parameter segitiga apa pun dapat ditemukan jika Anda mengetahui informasi minimum tentangnya - itu bisa berupa nilai satu sudut dan panjang dua sisi atau, misalnya, tiga sisi.

Untuk menentukan sinus, cosinus, tangen dari sudut mana pun, data ini sudah cukup; dengan bantuan mereka, Anda dapat dengan mudah menghitung luas gambar. Hampir selalu, salah satu nilai yang disebutkan diperlukan sebagai jawaban, dan Anda dapat menemukannya menggunakan rumus yang sama.

Inkonsistensi dalam studi trigonometri

Salah satu pertanyaan tidak jelas yang lebih disukai siswa untuk dihindari adalah menemukan hubungan antara konsep yang berbeda dalam trigonometri. Tampaknya segitiga digunakan untuk mempelajari sinus dan cosinus sudut, tetapi untuk beberapa alasan simbol sering ditemukan pada gambar dengan lingkaran. Selain itu, ada grafik seperti gelombang yang sama sekali tidak dapat dipahami yang disebut sinusoidal, yang tidak memiliki kemiripan eksternal dengan lingkaran atau segitiga.

Selain itu, sudut diukur dalam derajat atau dalam radian, dan angka Pi, ditulis hanya sebagai 3,14 (tanpa satuan), untuk beberapa alasan muncul dalam rumus, sesuai dengan 180 derajat. Bagaimana semuanya terhubung?

Satuan

Mengapa pi persis 3,14? Apakah Anda ingat apa nilai ini? Ini adalah jumlah jari-jari yang sesuai dengan busur pada setengah lingkaran. Jika diameter lingkaran adalah 2 sentimeter, kelilingnya adalah 3,14 * 2, atau 6,28.

Poin kedua: Anda mungkin telah memperhatikan kesamaan kata "radian" dan "radius". Faktanya adalah bahwa satu radian secara numerik sama dengan nilai sudut yang diletakkan dari pusat lingkaran ke busur dengan panjang satu jari-jari.

Sekarang kami menggabungkan pengetahuan yang diperoleh dan memahami mengapa "Pi di setengah" ditulis di atas sumbu koordinat dalam trigonometri, dan "Pi" ditulis di sebelah kiri. Ini adalah nilai sudut yang diukur dalam radian, karena setengah lingkaran adalah 180 derajat, atau 3,14 radian. Dan di mana ada derajat, ada sinus dan cosinus. Segitiga mudah untuk menggambar dari titik yang diinginkan, menunda segmen ke pusat dan ke sumbu koordinat.

Mari menatap masa depan

Trigonometri, dipelajari di sekolah, berkaitan dengan sistem koordinat bujursangkar, di mana, tidak peduli betapa anehnya kedengarannya, garis adalah garis.

Tetapi ada cara yang lebih kompleks untuk bekerja dengan ruang: jumlah sudut segitiga di sini akan lebih dari 180 derajat, dan garis lurus dalam pandangan kita akan terlihat seperti busur nyata.

Mari beralih dari kata ke perbuatan! Ambil sebuah apel. Buat tiga potongan dengan pisau sehingga jika dilihat dari atas Anda mendapatkan segitiga. Keluarkan potongan apel yang dihasilkan dan lihat "tulang rusuk" di mana kulitnya berakhir. Mereka tidak lurus sama sekali. Buah di tangan Anda dapat disebut bulat secara kondisional, dan sekarang bayangkan betapa rumitnya rumusnya, yang dengannya Anda dapat menemukan area potongan. Tetapi beberapa ahli memecahkan masalah seperti itu setiap hari.

Fungsi trigonometri dalam kehidupan nyata

Pernahkah Anda memperhatikan bahwa rute terpendek untuk pesawat dari titik A ke titik B di permukaan planet kita memiliki bentuk busur yang jelas? Alasannya sederhana: Bumi itu bulat, yang berarti Anda tidak dapat menghitung banyak menggunakan segitiga - di sini Anda harus menggunakan rumus yang lebih kompleks.

Anda tidak dapat melakukannya tanpa sinus / kosinus dari sudut lancip dalam hal apa pun yang terkait dengan ruang. Sangat menarik bahwa sejumlah faktor berkumpul di sini: fungsi trigonometri diperlukan saat menghitung gerakan planet dalam lingkaran, elips, dan berbagai lintasan dengan bentuk yang lebih kompleks; proses peluncuran roket, satelit, pesawat ulang-alik, pelepasan kendaraan penelitian; mengamati bintang-bintang yang jauh dan mempelajari galaksi-galaksi yang tidak akan dapat dijangkau oleh manusia di masa mendatang.

Secara umum, bidang aktivitas seseorang yang memiliki trigonometri sangat luas dan, tampaknya, hanya akan berkembang seiring waktu.

Kesimpulan

Hari ini kita belajar atau, bagaimanapun, mengulangi apa itu sinus dan kosinus. Ini adalah konsep yang tidak perlu Anda takuti - Anda hanya ingin, dan Anda akan memahami artinya. Ingatlah bahwa trigonometri bukanlah tujuan, tetapi hanya alat yang dapat digunakan untuk memenuhi kebutuhan nyata manusia: membangun rumah, memastikan keselamatan lalu lintas, bahkan menguasai hamparan alam semesta.

Memang, sains itu sendiri mungkin tampak membosankan, tetapi begitu Anda menemukan cara untuk mencapai tujuan Anda sendiri, realisasi diri, proses belajar akan menjadi menarik, dan motivasi pribadi Anda akan meningkat.

Untuk pekerjaan rumah, cobalah mencari cara untuk menerapkan fungsi trigonometri ke bidang yang Anda minati secara pribadi. Bermimpilah, nyalakan imajinasi Anda, dan kemudian pasti akan menjadi pengetahuan baru yang berguna bagi Anda di masa depan. Dan selain itu, matematika berguna untuk perkembangan berpikir secara umum.

Di mana tugas untuk memecahkan segitiga siku-siku dipertimbangkan, saya berjanji untuk menyajikan teknik untuk menghafal definisi sinus dan kosinus. Dengan menggunakannya, Anda akan selalu dengan cepat mengingat kaki mana yang termasuk sisi miring (berdekatan atau berlawanan). Saya memutuskan untuk tidak menundanya tanpa batas waktu, bahan yang diperlukan ada di bawah, silakan baca

Faktanya adalah bahwa saya telah berulang kali mengamati bagaimana siswa di kelas 10-11 mengalami kesulitan mengingat definisi ini. Mereka ingat betul bahwa kaki mengacu pada sisi miring, tapi yang mana- lupakan dan bingung. Harga sebuah kesalahan, seperti yang Anda ketahui dalam ujian, adalah nilai yang hilang.

Informasi yang akan saya sajikan langsung ke matematika tidak ada hubungannya. Hal ini terkait dengan pemikiran figuratif, dan dengan metode koneksi verbal-logis. Itu benar, saya sendiri, sekali dan untuk semua ingatdata definisi. Jika Anda masih melupakannya, maka dengan bantuan teknik yang disajikan selalu mudah diingat.

Biarkan saya mengingatkan Anda definisi sinus dan cosinus dalam segitiga siku-siku:

Kosinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring:

sinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring:

Jadi, asosiasi apa yang ditimbulkan oleh kata kosinus dalam diri Anda?

Mungkin setiap orang memilikinya sendiriIngat tautannya:

Dengan demikian, Anda akan segera memiliki ekspresi dalam ingatan Anda -

«… rasio kaki ADJACENT dengan sisi miring».

Masalah dengan definisi kosinus diselesaikan.

Jika Anda perlu mengingat definisi sinus dalam segitiga siku-siku, kemudian mengingat definisi kosinus, Anda dapat dengan mudah menetapkan bahwa sinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring. Lagi pula, hanya ada dua kaki, jika kaki yang berdekatan "diisi" oleh kosinus, maka hanya sisi yang berlawanan yang tersisa untuk sinus.

Bagaimana dengan tangen dan kotangen? Kebingungan yang sama. Siswa tahu bahwa ini adalah rasio kaki, tetapi masalahnya adalah untuk mengingat yang mana yang mengacu - baik berlawanan dengan yang berdekatan, atau sebaliknya.

Definisi:

Garis singgung sudut lancip dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan:

Kotangens sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan yang berlawanan:

Bagaimana cara mengingat? Ada dua cara. Yang satu juga menggunakan koneksi verbal-logis, yang lain - koneksi matematis.

METODE MATEMATIKA

Ada definisi seperti itu - garis singgung sudut lancip adalah rasio sinus sudut dengan kosinusnya:

* Mengingat rumus, Anda selalu dapat menentukan bahwa tangen sudut lancip dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.

Juga.Kotangen suatu sudut lancip adalah perbandingan kosinus suatu sudut dengan sinusnya:

Jadi! Mengingat rumus ini, Anda selalu dapat menentukan bahwa:

- tangen sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan

- kotangen sudut lancip dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan kaki yang berlawanan.

METODE VERBAL-LOGIS

Tentang tangen. Ingat tautannya:

Artinya, jika Anda perlu mengingat definisi garis singgung, menggunakan koneksi logis ini, Anda dapat dengan mudah mengingat apa itu

"... rasio kaki yang berlawanan dengan yang berdekatan"

Jika menyangkut kotangen, maka mengingat definisi tangen, Anda dapat dengan mudah menyuarakan definisi kotangen -

"... rasio kaki yang berdekatan dengan yang berlawanan"

Ada teknik yang menarik untuk menghafal tangen dan kotangen di situs " tandem matematika " , Lihat.

METODE UNIVERSAL

Anda bisa menggiling saja.Tetapi seperti yang ditunjukkan oleh latihan, berkat koneksi verbal-logis, seseorang mengingat informasi untuk waktu yang lama, dan tidak hanya matematika.

Saya harap materi itu bermanfaat bagi Anda.

Hormat kami, Alexander Krutitskikh

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu situs ini di jejaring sosial.