Pemulusan mekanis berdasarkan rata-rata bergerak

Metode perataan deret waktu

Sangat sering tingkat deret waktu ekonomi berfluktuasi. Pada saat yang sama, tren perkembangan fenomena ekonomi dalam waktu disembunyikan oleh penyimpangan acak dari nilai-nilai seri dalam satu arah atau yang lain. Untuk mengidentifikasi tren dengan lebih baik pengembangan proses yang sedang dipelajari melakukan perataan (alignment) rangkaian waktu indikator ekonomi. Inti dari berbagai metode perataan turun untuk mengganti tingkat aktual dari deret waktu dengan nilai yang dihitung, yang tunduk pada fluktuasi pada tingkat yang lebih rendah. Ini berkontribusi pada manifestasi tren yang jelas.

Metode pemulusan deret waktu dibagi menjadi: dua kelompok utama:

1) keselarasan analitis menggunakan kurva yang ditarik di antara level tertentu dari rangkaian sehingga mencerminkan tren yang melekat pada rangkaian, dan pada saat yang sama membebaskannya dari fluktuasi kecil;

2) keselarasan mekanis level individu dari deret waktu menggunakan nilai aktual dari level tetangga.

Inti dari metode pemulusan analitik berdasarkan aturan matematika bahwa melalui sembarang n titik-titik yang terletak pada bidang, dimungkinkan untuk menggambar minimum polinomial (n - 1) derajat sehingga akan melewati semua titik yang ditunjuk.

Inti dari metode perataan mekanis terletak pada kenyataan bahwa beberapa tingkat dari serangkaian dinamika diambil, membentuk interval pemulusan. Bagi mereka, polinomial dipilih, yang derajatnya harus kurang dari jumlah level yang termasuk dalam interval pemulusan. Dengan menggunakan polinomial, nilai pemulusan dari tingkat seri di tengah interval pemulusan ditentukan. Selanjutnya, interval pemulusan digeser maju oleh satu pengamatan, nilai pemulusan berikutnya dihitung, dan seterusnya.

Pemulusan mekanis berdasarkan rata-rata bergerak

Metode penghalusan mekanis yang paling sederhana adalah pemulusan rata-rata bergerak sederhana. Disebut demikian karena didasarkan pada perhitungan rata-rata sederhana dari beberapa tingkatan deret. Rata-rata sederhana meluncur sepanjang deret waktu dengan langkah yang sama dengan periode pengamatan.

Pertama untuk rangkaian waktu y t interval pemulusan ditentukan m, lebih-lebih lagi m< n . Jika perlu untuk menghaluskan fluktuasi acak kecil, maka interval pemulusan diambil sebesar mungkin; interval pemulusan dikurangi jika perlu untuk mempertahankan fluktuasi yang lebih kecil. Semakin lebar interval pemulusan, semakin banyak fluktuasi yang membatalkan satu sama lain, dan tren perkembangannya lebih mulus. Semakin kuat fluktuasi, semakin lebar interval smoothing yang seharusnya. Dalam kondisi yang sama, disarankan untuk menggunakan interval pemulusan dengan panjang ganjil. Untuk yang pertama m tingkat deret waktu, rata-rata aritmatikanya dihitung; ini akan menjadi nilai pemulusan dari tingkat deret yang terletak di tengah interval pemulusan.

Untuk menghitung nilai yang dihaluskan, rumus yang digunakan:

di mana m = 2 p + 1– interval pemulusan deret waktu dengan panjang ganjil. Akibat dari prosedur ini, (n - m + 1)

Prosedur smoothing juga dapat diterapkan pada interval smoothing yang panjangnya genap. Hal ini terutama berlaku untuk analisis dan peramalan fenomena yang memiliki fluktuasi musiman. Saat menghaluskan proses musiman, interval pemulusan harus sama dengan panjang gelombang musiman. Jika tidak, akan ada distorsi pada komponen deret waktu, khususnya komponen v t. Dalam kasus ketika interval pemulusan panjang genap digunakan, mis. m = 2p, rumus yang diterapkan:

(4.2).

Akibat dari prosedur ini, (n-m) level seri yang dihaluskan.

Bagaimanapun pertama dan terakhir p nilai seri tidak dihaluskan. Nilai pemulusan yang hilang dari tingkat deret waktu ditemukan dengan menggunakan perolehan absolut rata-rata yang ditemukan untuk interval pemulusan pertama dan terakhir. Untuk memulihkan pengamatan yang hilang pada awal deret waktu, nilai peningkatan absolut rata-rata yang ditemukan untuk interval pemulusan pertama dikurangi dari nilai pemulusan pertama. Ternyata nilai smoothing dari level deret tersebut untuk yp y 1. Untuk mengembalikan pengamatan yang hilang pada akhir deret waktu, nilai peningkatan absolut rata-rata yang ditemukan untuk interval pemulusan terakhir ditambahkan ke nilai pemulusan terakhir. Ternyata nilai smoothing dari level deret tersebut untuk yn – p + 1. Kemudian algoritma tersebut diulangi sampai diperoleh nilai yang dihaluskan. y n.

Kerugian lain dari metode rata-rata bergerak sederhana adalah bahwa itu hanya dapat digunakan untuk seri dengan tren linier. Jika prosesnya ditandai dengan perkembangan non-linier dan perlu untuk menjaga tikungan tren, maka penggunaan rata-rata bergerak sederhana tidak tepat, karena. ini dapat menyebabkan distorsi yang signifikan. Dalam kasus seperti itu, metode rata-rata bergerak tertimbang digunakan.

Metode rata-rata bergerak tertimbang berbeda dari metode rata-rata bergerak sederhana di mana level yang termasuk dalam interval pemulusan dijumlahkan dengan bobot yang berbeda. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa pendekatan deret asli dalam interval pemulusan dilakukan dengan menggunakan polinomial bukan derajat pertama, seperti dalam metode rata-rata bergerak sederhana, tetapi derajat, mulai dari yang kedua. Rumus rata-rata aritmatika berbobot digunakan.

Analisis deret waktu yang mendalam membutuhkan penggunaan metode statistik matematika yang lebih kompleks. Jika ada kesalahan acak (noise) yang signifikan dalam deret waktu, salah satu dari dua metode sederhana digunakan - menghaluskan atau meratakan dengan memperbesar interval dan menghitung rata-rata kelompok. Metode ini memungkinkan Anda untuk meningkatkan visibilitas rangkaian, jika sebagian besar komponen "noise" berada di dalam interval. Namun, jika "kebisingan" tidak konsisten dengan periodisitas, distribusi tingkat indikator menjadi kasar, yang membatasi kemungkinan analisis rinci tentang perubahan fenomena dari waktu ke waktu.

Karakteristik yang lebih akurat diperoleh jika rata-rata bergerak digunakan - metode yang banyak digunakan untuk menghaluskan indikator seri rata-rata. Ini didasarkan pada transisi dari nilai awal deret ke nilai rata-rata dalam interval waktu tertentu. Dalam hal ini, interval waktu selama perhitungan setiap indikator berikutnya, seolah-olah, meluncur di sepanjang deret waktu.

Penggunaan rata-rata bergerak berguna ketika tren dalam deret waktu tidak pasti atau ketika outlier siklis (pencilan atau intervensi) sangat terpengaruh.

Semakin besar interval pemulusan, semakin halus grafik rata-rata bergerak. Ketika memilih nilai interval pemulusan, perlu untuk melanjutkan dari nilai deret dinamis dan makna yang berarti dari dinamika yang direfleksikan. Deret waktu yang besar dengan sejumlah besar titik awal memungkinkan penggunaan interval waktu perataan yang lebih besar (5, 7, 10, dll.). Jika prosedur rata-rata bergerak digunakan untuk menghaluskan deret non-musiman, maka paling sering interval pemulusan diambil sama dengan 3 atau 5. https://tvoipolet.ru/iz-moskvi-v-nyu-jork/ - a peluang bagus untuk memilih maskapai penerbangan untuk penerbangan dari Moskow ke New York

Mari kita beri contoh penghitungan jumlah rata-rata bergerak pertanian dengan hasil tinggi (lebih dari 30 kg / ha) (Tabel 10.3).

Tabel 10.3 Menghaluskan deret waktu dengan memperhalus interval dan rata-rata bergerak

tahun akuntansi	Jumlah peternakan dengan hasil tinggi	Jumlah selama tiga tahun	Bergulir lebih dari tiga tahun	rata-rata bergerak
			90,0	89,7
1984				88,7
				87,3
			87,3	87,0
				86,7
				83,0
			83,0	82,3
				82,3
				82,6
			82,7	82,7

Contoh perhitungan rata-rata bergerak:

1982 (84 + 94 + 92) / 3 = 90,0;

1983 (94 + 92 + 83) / 3 = 89,7;

1984 (92 + 83 + 91) / 3 = 88,7;

1985 (83 + 91 + 88) / 3 = 87,3.

Sebuah jadwal sedang disusun. Tahun ditunjukkan pada sumbu absis, dan jumlah pertanian dengan hasil tinggi ditunjukkan pada sumbu ordinat. Koordinat jumlah peternakan ditunjukkan pada grafik dan titik-titik yang diperoleh dihubungkan oleh garis putus-putus. Kemudian koordinat rata-rata bergerak selama bertahun-tahun ditunjukkan pada grafik dan titik-titik dihubungkan oleh garis tebal yang halus.

Metode yang lebih kompleks dan efisien adalah pemulusan (levelling) deret waktu menggunakan berbagai fungsi aproksimasi. Mereka memungkinkan Anda untuk membentuk tingkat tren umum yang mulus dan sumbu utama dinamika.

Metode pemulusan yang paling efektif dengan fungsi matematika adalah pemulusan eksponensial sederhana. Metode ini memperhitungkan semua pengamatan seri sebelumnya sesuai dengan rumus:

S t = X t + (1 - ) S t - 1 ,

dimana S t adalah setiap smoothing baru pada waktu t ; S t - 1 - nilai yang dihaluskan pada waktu sebelumnya t -1; X t adalah nilai sebenarnya dari deret pada waktu t ; - parameter pemulusan.

Jika = 1, maka pengamatan sebelumnya diabaikan sepenuhnya; ketika = 0, pengamatan saat ini diabaikan; nilai antara 0 dan 1 memberikan hasil antara. Dengan mengubah nilai parameter ini, Anda dapat memilih opsi perataan yang paling dapat diterima. Pilihan nilai optimal dilakukan dengan menganalisis gambar grafik yang diperoleh dari kurva asli dan diratakan, atau dengan mempertimbangkan jumlah kesalahan kuadrat (kesalahan) dari titik-titik yang dihitung. Penggunaan praktis metode ini harus dilakukan dengan menggunakan komputer dalam program MS Excel. Ekspresi matematis dari pola dinamika data dapat diperoleh dengan menggunakan fungsi pemulusan eksponensial.

16.02.15 Viktor Gavrilov

38133 0

Deret waktu adalah urutan nilai yang berubah seiring waktu. Saya akan mencoba berbicara tentang beberapa pendekatan sederhana namun efektif untuk bekerja dengan urutan seperti itu di artikel ini. Ada banyak contoh data tersebut - kutipan mata uang, volume penjualan, permintaan pelanggan, data dalam berbagai ilmu terapan (sosiologi, meteorologi, geologi, pengamatan dalam fisika) dan banyak lagi.

Seri adalah bentuk deskripsi data yang umum dan penting, karena memungkinkan kita untuk mengamati seluruh sejarah perubahan nilai yang menarik bagi kita. Ini memberi kita kesempatan untuk menilai perilaku "khas" kuantitas dan penyimpangan dari perilaku tersebut.

Saya dihadapkan pada tugas untuk memilih kumpulan data yang memungkinkan untuk mendemonstrasikan fitur-fitur deret waktu dengan jelas. Saya memutuskan untuk menggunakan statistik lalu lintas penumpang internasional karena kumpulan data ini cukup deskriptif dan telah menjadi semacam standar (http://robjhyndman.com/tsdldata/data/airpass.dat , sumber Time Series Data Library, R. J. Hyndman). Seri tersebut menggambarkan jumlah penumpang maskapai internasional per bulan (dalam ribuan) dari tahun 1949 hingga 1960.

Karena saya selalu memiliki alat yang menarik "" untuk bekerja dengan baris, saya akan menggunakannya. Sebelum mengimpor data ke dalam file, Anda perlu menambahkan kolom dengan tanggal sehingga nilainya terikat waktu, dan kolom dengan nama seri untuk setiap pengamatan. Di bawah ini Anda dapat melihat seperti apa file sumber saya, yang saya impor ke Platform Prognoz menggunakan wizard impor langsung dari alat analisis deret waktu.

Hal pertama yang biasanya kita lakukan dengan deret waktu adalah memplotnya pada grafik. Prognoz Platform memungkinkan Anda membuat grafik hanya dengan menyeret dan menjatuhkan rangkaian ke dalam buku kerja.

Deret waktu pada grafik

Simbol 'M' di akhir nama deret berarti deret tersebut memiliki dinamika bulanan (interval antar pengamatan adalah satu bulan).

Sudah dari grafik, kita dapat melihat bahwa seri ini menunjukkan dua fitur:

• kecenderungan- pada grafik kami, ini adalah peningkatan jangka panjang dalam nilai yang diamati. Dapat dilihat bahwa trennya hampir linier.
• musiman- pada grafik, ini adalah fluktuasi nilai secara berkala. Pada artikel berikutnya tentang topik deret waktu, kita akan belajar cara menghitung periode.

Seri kami cukup "rapi", namun, sering ada seri yang, selain dua karakteristik yang dijelaskan di atas, menunjukkan satu hal lagi - adanya "noise", yaitu. variasi acak dalam satu bentuk atau lainnya. Contoh rangkaian tersebut dapat dilihat pada grafik di bawah ini. Ini adalah sinyal sinusoidal yang dicampur dengan variabel acak.

Saat menganalisis seri, kami tertarik untuk mengidentifikasi strukturnya dan mengevaluasi semua komponen utama - tren, musim, kebisingan, dan fitur lainnya, serta kemampuan untuk membuat perkiraan perubahan besarnya di periode mendatang.

Saat bekerja dengan rangkaian, keberadaan noise sering kali menyulitkan untuk menganalisis struktur rangkaian. Untuk mengecualikan pengaruhnya dan melihat struktur rangkaian dengan lebih baik, Anda dapat menggunakan metode pemulusan rangkaian.

Metode paling sederhana untuk merapikan seri adalah rata-rata bergerak. Idenya adalah bahwa untuk sejumlah titik ganjil dalam barisan deret, ganti titik pusat dengan rata-rata aritmatika dari titik-titik yang tersisa:

di mana x saya- baris asli aku- baris yang dihaluskan.

Di bawah ini Anda dapat melihat hasil penerapan algoritma ini ke dua seri kami. Secara default, Prognoz Platform menyarankan menggunakan anti-aliasing dengan ukuran jendela 5 poin ( k dalam rumus kita di atas akan sama dengan 2). Harap dicatat bahwa sinyal yang dihaluskan tidak lagi terpengaruh oleh noise, tetapi seiring dengan noise, tentu saja, beberapa informasi berguna tentang dinamika rangkaian juga menghilang. Juga dapat dilihat bahwa seri yang dihaluskan tidak memiliki yang pertama (dan juga yang terakhir) k poin. Ini disebabkan oleh fakta bahwa pemulusan dilakukan untuk titik pusat jendela (dalam kasus kami, untuk titik ketiga), setelah itu jendela digeser satu titik, dan perhitungan diulang. Untuk seri acak kedua, saya menggunakan penghalusan dengan jendela yang sama dengan 30 untuk mengungkapkan struktur seri dengan lebih baik, karena seri adalah "frekuensi tinggi", ada banyak poin.

Metode rata-rata bergerak memiliki kelemahan tertentu:

• Rata-rata bergerak tidak efisien dalam perhitungan. Untuk setiap titik, rata-rata harus dihitung ulang dengan cara baru. Kami tidak dapat menggunakan kembali hasil yang dihitung untuk poin sebelumnya.
• Rata-rata bergerak tidak dapat diperluas ke titik pertama dan terakhir dari seri. Ini dapat menyebabkan masalah jika kita tertarik pada poin-poin ini.
• Rata-rata bergerak tidak ditentukan di luar rangkaian dan, sebagai akibatnya, tidak dapat digunakan untuk peramalan.

Penghalusan Eksponensial

Metode pemulusan yang lebih maju yang juga dapat digunakan untuk prediksi adalah pemulusan eksponensial, kadang-kadang juga disebut metode Holt-Winters setelah nama penciptanya.

Ada beberapa varian dari metode ini:

• smoothing tunggal untuk seri yang tidak memiliki tren dan musiman;
• perataan ganda untuk seri yang memiliki tren tetapi tidak ada musim;
• triple smoothing untuk seri yang memiliki tren dan musiman.

Metode pemulusan eksponensial menghitung nilai deret yang dihaluskan dengan memperbarui nilai yang dihitung pada langkah sebelumnya menggunakan informasi dari langkah saat ini. Informasi dari langkah sebelumnya dan saat ini diambil dengan bobot berbeda yang dapat dikontrol.

Dalam versi perataan tunggal yang paling sederhana, rasionya adalah:

Parameter α mendefinisikan rasio antara nilai yang tidak dihaluskan pada langkah saat ini dan nilai yang dihaluskan dari langkah sebelumnya. Pada α =1 kami hanya akan mengambil poin dari seri asli, yaitu. tidak akan terjadi smoothing. Pada α =0 seri, kami hanya akan mengambil nilai yang dihaluskan dari langkah sebelumnya, yaitu. deret tersebut akan menjadi konstanta.

Untuk memahami mengapa pemulusan disebut eksponensial, kita perlu memperluas relasi secara rekursif:

Dapat dilihat dari hubungan bahwa semua nilai seri sebelumnya berkontribusi pada nilai pemulusan saat ini, tetapi kontribusinya memudar secara eksponensial karena pertumbuhan derajat parameter α .

Namun, jika ada tren dalam data, pemulusan sederhana akan “tertinggal” (atau Anda harus mengambil nilai α mendekati 1, tapi kemudian smoothing tidak akan cukup). Anda perlu menggunakan pemulusan eksponensial ganda.

Pemulusan ganda sudah menggunakan dua persamaan - satu persamaan mengevaluasi tren sebagai perbedaan antara nilai pemulusan saat ini dan sebelumnya, kemudian menghaluskan tren dengan pemulusan sederhana. Persamaan kedua melakukan pemulusan seperti pada kasus sederhana, tetapi suku kedua menggunakan jumlah dari nilai pemulusan sebelumnya dan tren.

Pemulusan rangkap tiga mencakup komponen lain, musiman, dan menggunakan persamaan lain. Pada saat yang sama, dua varian komponen musiman dibedakan - aditif dan multiplikasi. Dalam kasus pertama, amplitudo komponen musiman adalah konstan dan tidak bergantung pada amplitudo dasar deret sepanjang waktu. Dalam kasus kedua, amplitudo berubah seiring dengan perubahan amplitudo dasar seri. Ini hanya kasus kami, seperti yang dapat dilihat dari grafik. Seiring bertambahnya deret, amplitudo fluktuasi musiman meningkat.

Karena seri pertama kami memiliki tren dan musim, saya memutuskan untuk menyesuaikan parameter pemulusan tiga kali lipat untuk itu. Di Platform Prognoz, ini cukup mudah dilakukan, karena ketika nilai parameter diperbarui, platform segera menggambar ulang grafik seri yang dihaluskan, dan secara visual Anda dapat langsung melihat seberapa baik itu menggambarkan seri asli kami. Saya menetapkan nilai-nilai berikut:

Bagaimana saya menghitung periode, kita akan lihat di artikel berikutnya tentang deret waktu.

Biasanya, nilai antara 0,2 dan 0,4 dapat dianggap sebagai perkiraan pertama. Platform Prognoz juga menggunakan model dengan parameter tambahan ɸ , yang meredam tren sehingga mendekati konstan di masa depan. Untuk ɸ Saya mengambil nilai 1, yang sesuai dengan model biasa.

Saya juga membuat perkiraan nilai seri dengan metode ini selama 2 tahun terakhir. Pada gambar di bawah, saya menandai titik awal ramalan dengan menggambar garis melaluinya. Seperti yang Anda lihat, seri asli dan yang dihaluskan bertepatan dengan cukup baik, termasuk pada periode perkiraan - tidak buruk untuk metode yang begitu sederhana!

Platform Prognoz juga memungkinkan Anda untuk secara otomatis memilih nilai parameter optimal menggunakan pencarian sistematis dalam ruang nilai parameter dan meminimalkan jumlah penyimpangan kuadrat dari seri yang dihaluskan dari aslinya.

Metode yang dijelaskan cukup sederhana, mudah diterapkan, dan titik awal yang baik untuk analisis struktur dan peramalan deret waktu.

Baca lebih lanjut tentang deret waktu di artikel berikutnya.

Sangat sering, tingkat rangkaian dinamika berfluktuasi, sedangkan tren perkembangan fenomena dalam waktu disembunyikan oleh penyimpangan acak tingkat dalam satu arah atau lainnya. Agar lebih jelas mengidentifikasi tren perkembangan proses yang diteliti, termasuk untuk penerapan lebih lanjut metode peramalan berdasarkan model tren, menghaluskan(penyelarasan) seri waktu.

Metode pemulusan deret waktu dibagi menjadi dua kelompok utama:

1. keselarasan analitis menggunakan kurva yang ditarik antara tingkat tertentu dari seri sehingga mencerminkan tren yang melekat pada seri, dan pada saat yang sama membebaskannya dari fluktuasi kecil;

2. penyelarasan mekanis level individu dari deret waktu menggunakan nilai aktual level tetangga.

Inti dari metode pemulusan mekanis adalah sebagai berikut. Beberapa level deret waktu diambil, membentuk interval pemulusan. Bagi mereka, polinomial dipilih, yang derajatnya harus kurang dari jumlah level yang termasuk dalam interval pemulusan; menggunakan polinomial, nilai baru, selaras dari level di tengah interval pemulusan ditentukan. Selanjutnya, interval pemulusan digeser satu tingkat deret ke kanan, nilai pemulusan berikutnya dihitung, dan seterusnya.

Metode penghalusan mekanis yang paling sederhana adalah metode rata-rata bergerak sederhana.

2.4.1.Metode rata-rata bergerak sederhana.

Pertama untuk deret waktu: interval pemulusan ditentukan. Jika perlu untuk menghaluskan fluktuasi acak kecil, maka interval pemulusan diambil sebesar mungkin; interval pemulusan dikurangi jika perlu untuk mempertahankan fluktuasi yang lebih kecil.

Untuk tingkat pertama dari seri, rata-rata aritmatika mereka dihitung. Ini akan menjadi nilai pemulusan dari tingkat deret yang berada di tengah interval pemulusan. Kemudian interval pemulusan digeser satu tingkat ke kanan, perhitungan mean aritmatika diulangi, dan seterusnya. Rumus berikut digunakan untuk menghitung level yang dihaluskan dari seri:

dimana (untuk ganjil ); untuk bilangan genap, rumusnya menjadi lebih rumit.

Sebagai hasil dari prosedur seperti itu, diperoleh nilai yang dihaluskan dari level seri; dalam hal ini, level pertama dan terakhir dari seri hilang (tidak dihaluskan). Kelemahan lain dari metode ini adalah hanya dapat diterapkan pada deret dengan tren linier.

2.4.2.Metode rata-rata bergerak tertimbang.

Metode rata-rata bergerak tertimbang berbeda dari metode pemulusan sebelumnya karena level yang termasuk dalam interval pemulusan ditambahkan dengan bobot yang berbeda. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa pendekatan deret dalam interval pemulusan dilakukan dengan menggunakan polinomial bukan derajat pertama, seperti dalam kasus sebelumnya, tetapi derajat yang dimulai dari yang kedua.

Rumus rata-rata aritmatika berbobot digunakan:

,

dimana bobot ditentukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. Bobot ini dihitung untuk berbagai derajat polinomial yang mendekati dan berbagai interval pemulusan.

1. untuk polinomial orde kedua dan ketiga, urutan numerik bobot untuk interval pemulusan memiliki bentuk: , dan at berbentuk: ;

2. untuk polinomial derajat keempat dan kelima dan dengan interval pemulusan, urutan bobot adalah sebagai berikut: .

Distribusi bobot selama interval pemulusan, diperoleh berdasarkan metode kuadrat terkecil, lihat diagram 1.

2.4.3.metode penghalusan eksponensial.

Metode pemulusan eksponensial termasuk dalam kelompok metode yang sama.

Keunikannya terletak pada kenyataan bahwa dalam prosedur untuk menemukan level yang dihaluskan, hanya nilai-nilai level sebelumnya dari seri yang digunakan, diambil dengan bobot tertentu, dan bobot pengamatan berkurang saat bergerak menjauh dari titik waktu di mana nilai pemulusan dari tingkat seri ditentukan.

Jika untuk deret waktu asli

nilai-nilai yang dihaluskan yang sesuai dilambangkan dengan , maka pemulusan eksponensial dilakukan sesuai dengan rumus:

di mana parameter pemulusan ; besaran disebut faktor diskon.

Dengan menggunakan hubungan perulangan yang diberikan untuk semua tingkat deret, mulai dari yang pertama dan diakhiri dengan momen waktu , dapat diperoleh bahwa rata-rata eksponensial, yaitu nilai tingkat deret yang dihaluskan dengan metode ini, adalah rata-rata tertimbang dari semua level sebelumnya.

Perataan deret waktu

Perataan deret waktu, itu. Mengganti level aktual dengan nilai terhitung yang memiliki volatilitas lebih sedikit daripada data asli adalah metode sederhana untuk mengidentifikasi tren. Transformasi yang sesuai disebut penyaringan.

Pemulusan deret waktu dilakukan dalam kasus-kasus berikut:

· Dalam representasi grafis dari deret waktu, trennya tidak terlihat jelas. Oleh karena itu, deret dihaluskan, nilai yang dihaluskan diplot pada grafik, dan, sebagai aturan, tren muncul lebih jelas;

· Metode analisis dan peramalan diterapkan, membutuhkan pemulusan deret waktu sebagai prasyarat;

Saat menghilangkan pengamatan anomali;

· Dengan peramalan langsung indikator ekonomi dan peramalan perubahan tren - "titik balik".

Metode smoothing yang ada dibagi menjadi dua kelompok:

1) Metode analitis. Untuk pemulusan, kurva digunakan yang ditarik relatif terhadap nilai sebenarnya dari seri sehingga mencerminkan tren yang melekat pada seri, dan pada saat yang sama membebaskannya dari fluktuasi kecil kecil. Kurva seperti itu juga disebut kurva pertumbuhan, mereka digunakan terutama untuk meramalkan indikator ekonomi;

2) Metode penghalusan mekanis. Setiap level individu dari seri dihaluskan menggunakan nilai aktual level yang berdekatan dengannya. Untuk memuluskan deret waktu, metode rata-rata bergerak sederhana dan tertimbang, pemulusan eksponensial sering digunakan.

Metode rata-rata bergerak sederhana mencakup langkah-langkah berikut:

1. Jumlah pengamatan yang termasuk dalam interval pemulusan ditentukan. Dalam hal ini, aturan digunakan: jika perlu untuk menghaluskan fluktuasi kecil yang kacau, maka interval pemulusan diambil sebesar mungkin dan, sebaliknya, interval pemulusan dikurangi ketika perlu untuk mempertahankan gelombang yang lebih kecil dan mendapatkan singkirkan fluktuasi berulang yang muncul secara berkala, misalnya, karena tingkat autokorelasi .

2. Dihitung nilai rata-rata pengamatan yang membentuk interval pemulusan, yang juga merupakan nilai pemulusan level yang terletak di tengah interval pemulusan, asalkan m bilangan ganjil, menurut rumus

di mana m adalah jumlah pengamatan yang termasuk dalam interval pemulusan; p adalah jumlah pengamatan yang terletak di sisi berlawanan dari yang dihaluskan.

Untuk m ganjil, nilai parameter p dihitung sebagai berikut:

Pengamatan pertama yang dihaluskan adalah t, di mana t = p+1.

3. Interval pemulusan digeser satu suku ke kanan, dan nilai pemulusan untuk pengamatan ke-(t + 1) diperoleh dengan menggunakan rumus (1). Kemudian shift dilakukan lagi, dan seterusnya.

Prosedur berlanjut sampai pengamatan terakhir dari deret waktu memasuki interval pemulusan.

Metode rata-rata bergerak sederhana dapat digunakan jika representasi grafis dari deret tersebut menyerupai garis lurus.

Dalam hal ini, dinamika perkembangan proses yang diteliti tidak terdistorsi. Namun, ketika tren dari rangkaian yang akan diratakan memiliki tikungan dan, terlebih lagi, diinginkan untuk menjaga gelombang kecil, tidak disarankan untuk menggunakan metode rata-rata bergerak sederhana untuk menghaluskan rangkaian, karena dalam hal ini:

kedua garis cembung dan cekung sejajar;

· ada pergeseran gelombang sepanjang baris;

· tanda gelombang berubah, mis. pada kurva yang menghubungkan titik-titik yang dihaluskan, alih-alih bagian cembung, yang terbentuk cekung dan sebaliknya. Yang terakhir terjadi ketika interval smoothing adalah satu setengah kali panjang gelombang.

Jadi, jika perkembangan prosesnya non-linier, maka penerapan metode rata-rata bergerak sederhana dapat menyebabkan distorsi yang signifikan dari proses yang diteliti.

Dalam kasus seperti itu, lebih dapat diandalkan untuk menggunakan metode pemulusan lainnya, seperti metode rata-rata bergerak tertimbang.

Metode rata-rata bergerak tertimbang berbeda dari yang sebelumnya karena pemulusan dalam interval dilakukan tidak sepanjang garis lurus, tetapi sepanjang kurva dengan urutan yang lebih tinggi. Hal ini disebabkan karena penjumlahan anggota-anggota deret yang termasuk dalam interval pemulusan dilakukan dengan bobot-bobot tertentu yang dihitung dengan menggunakan metode kuadrat terkecil.

Jika pemulusan dilakukan dengan menggunakan polinomial (polinomial) orde kedua dan ketiga, maka diambil bobot sebagai berikut

(-3; 12; 17; 12; - 3) untuk m=5;

(-2; 3; 6; 7; 3; - 2) untuk m=7.

Fitur skala:

1) simetris terhadap anggota pusat;

2) jumlah bobot, dengan mempertimbangkan faktor persekutuan, sama dengan satu.

Kerugian dari metode ini: pengamatan p pertama dan terakhir dari seri tetap tidak mulus.

Perhitungan indikator dinamika proses ekonomi

Perhitungan indikator dinamika proses ekonomi merupakan tahap akhir dari analisis data awal.

Untuk mengkarakterisasi dinamika perubahan indikator ekonomi, konsep autokorelasi sering digunakan, yang mencirikan tidak hanya saling ketergantungan tingkat deret yang sama terkait dengan titik pengamatan yang berbeda, tetapi juga tingkat stabilitas perkembangan proses. waktu, nilai periode peramalan yang optimal, dll.

Derajat keketatan hubungan statistik antara tingkat deret waktu, yang digeser oleh f satuan waktu, ditentukan oleh nilai koefisien korelasi r(f). Karena r(φ) mengukur kedekatan hubungan antara level-level dari deret waktu yang sama, hal itu biasa disebut koefisien autokorelasi. Dalam hal ini, f - panjang perpindahan temporal - biasanya disebut lag.

Koefisien autokorelasi dihitung dengan rumus

Dengan panjang deret yang besar, perhitungan koefisien autokorelasi dapat disederhanakan. Untuk ini, penyimpangan tidak ditemukan dari rata-rata deret berkorelasi, tetapi dari rata-rata total seluruh deret. Pada kasus ini

Urutan koefisien autokorelasi ditentukan oleh jeda waktu: orde pertama (pada = 1), orde kedua (pada = 2), dst.

Urutan koefisien autokorelasi tingkat orde pertama, kedua dan selanjutnya disebut fungsi autokorelasi. Nilainya dapat bervariasi dari -1 hingga +1, tetapi dari stasioneritas dapat disimpulkan bahwa r(f) = - r(f). Grafik fungsi autokorelasi disebut correlogram.

Analisis fungsi autokorelasi dan korelogram memungkinkan untuk menentukan lag di mana autokorelasi tertinggi, yaitu. dengan menggunakan analisis fungsi autokorelasi dan korelogram, dapat diketahui struktur deret tersebut.

Jika koefisien autokorelasi orde 1 ternyata paling tinggi, deret yang diteliti hanya mengandung tren. Jika koefisien autokorelasi orde ternyata tertinggi, maka deret tersebut mengandung osilasi siklik dengan periodisitas titik waktu. Jika tidak ada koefisien autokorelasi yang signifikan, maka salah satu dari dua asumsi dapat dibuat tentang struktur deret ini: deret tersebut tidak mengandung tren dan fluktuasi musiman, atau deret tersebut mengandung tren non-linier yang kuat, yang memerlukan tambahan analisis untuk mengidentifikasi. Oleh karena itu, disarankan untuk menggunakan tingkat koefisien autokorelasi dan fungsi autokorelasi untuk mengidentifikasi ada tidaknya komponen tren f(t) dan komponen musiman S(t) dalam deret waktu.