Untuk kenyamanan mempertimbangkan fungsi daya, kita akan mempertimbangkan 4 kasus terpisah: fungsi daya dengan eksponen alami, fungsi daya dengan eksponen bilangan bulat, fungsi daya dengan eksponen rasional, dan fungsi daya dengan eksponen irasional.
Fungsi daya dengan eksponen alami
Untuk mulai dengan, kami memperkenalkan konsep gelar dengan eksponen alami.
Definisi 1
Perpangkatan bilangan real $a$ dengan eksponen natural $n$ adalah bilangan yang sama dengan hasil kali faktor $n$, yang masing-masingnya sama dengan bilangan $a$.
Gambar 1.
$a$ adalah dasar dari derajat.
$n$ - eksponen.
Pertimbangkan sekarang fungsi pangkat dengan eksponen alami, sifat dan grafiknya.
Definisi 2
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ disebut fungsi pangkat dengan eksponen natural.
Untuk kenyamanan lebih lanjut, pertimbangkan secara terpisah fungsi pangkat dengan eksponen genap $f\left(x\right)=x^(2n)$ dan fungsi daya dengan eksponen ganjil $f\left(x\right)=x^(2n- 1)$ ($n\dalam N)$.
Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen genap alami
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ adalah fungsi genap.
Cakupan -- $ \
Fungsi berkurang sebagai $x\in (-\infty ,0)$ dan meningkat sebagai $x\in (0,+\infty)$.
$f("")\left(x\kanan)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1 ))\ge 0$
Fungsinya cembung pada seluruh domain definisi.
Perilaku di ujung ruang lingkup:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]
Grafik (Gbr. 2).
Gambar 2. Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^(2n)$
Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen ganjil alami
Domain definisi adalah semua bilangan real.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ adalah fungsi ganjil.
$f(x)$ kontinu pada seluruh domain definisi.
Rentangnya adalah semua bilangan real.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Fungsi meningkat di seluruh domain definisi.
$f\kiri(x\kanan)0$, untuk $x\in (0,+\infty)$.
$f(""\kiri(x\kanan))=(\kiri(\kiri(2n-1\kanan)\cdot x^(2\kiri(n-1\kanan))\kanan))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Fungsinya cekung untuk $x\in (-\infty ,0)$ dan cembung untuk $x\in (0,+\infty)$.
Grafik (Gbr. 3).
Gambar 3. Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Fungsi daya dengan eksponen bilangan bulat
Untuk memulainya, kami memperkenalkan konsep derajat dengan eksponen bilangan bulat.
Definisi 3
Derajat bilangan real $a$ dengan eksponen bilangan bulat $n$ ditentukan oleh rumus:
Gambar 4
Pertimbangkan sekarang fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat, properti dan grafiknya.
Definisi 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ disebut fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat.
Jika derajat lebih besar dari nol, maka kita sampai pada kasus fungsi pangkat dengan eksponen alami. Kami sudah membahasnya di atas. Untuk $n=0$ kita mendapatkan fungsi linier $y=1$. Kami menyerahkan pertimbangannya kepada pembaca. Tetap mempertimbangkan sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif
Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif
Cakupannya adalah $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Jika pangkatnya genap, maka fungsinya genap; jika eksponennya genap, maka fungsinya ganjil.
$f(x)$ kontinu pada seluruh domain definisi.
Rentang nilai:
Jika pangkatnya genap, maka $(0,+\infty)$, jika ganjil, maka $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Jika eksponennya ganjil, fungsi berkurang sebagai $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Untuk eksponen genap, fungsi berkurang sebagai $x\in (0,+\infty)$. dan meningkat sebagai $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ di seluruh domain
1. Fungsi daya, sifat dan grafiknya;
2. Transformasi:
Pemindahan paralel;
Simetri tentang sumbu koordinat;
Simetri tentang asal;
Simetri terhadap garis y = x;
Peregangan dan penyusutan sepanjang sumbu koordinat.
3. Fungsi eksponensial, sifat dan grafiknya, transformasi serupa;
4. Fungsi logaritma, sifat dan grafiknya;
5. Fungsi trigonometri, sifat dan grafiknya, transformasi sejenis (y = sin x; y = cos x; y = tg x);
Fungsi: y = x\n - sifat dan grafiknya.
Fungsi daya, sifat dan grafiknya
y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / x dll. Semua fungsi ini adalah kasus khusus dari fungsi daya, yaitu fungsi y = xp, di mana p adalah bilangan real tertentu.
Sifat dan grafik fungsi daya pada dasarnya bergantung pada sifat-sifat pangkat dengan eksponen nyata, dan khususnya pada nilai-nilai yang x dan p masuk akal xp. Mari kita lanjutkan ke pertimbangan serupa dari berbagai kasus, tergantung pada
eksponen p.
- Indikator p = 2n adalah bilangan asli genap.
y=x2n, di mana n adalah bilangan asli dan memiliki sifat-sifat berikut:
- domain definisi adalah semua bilangan real, yaitu himpunan R;
- kumpulan nilai - angka non-negatif, yaitu y lebih besar dari atau sama dengan 0;
- fungsi y=x2n bahkan, karena x 2n = (-x) 2n
- fungsi menurun pada interval x< 0 dan meningkat pada interval x > 0.
Grafik Fungsi y=x2n memiliki bentuk yang sama seperti, misalnya, grafik fungsi y=x4.
2. Indikator p = 2n - 1- bilangan asli ganjil
Dalam hal ini, fungsi daya y=x2n-1, di mana adalah bilangan asli, memiliki sifat-sifat berikut:
- domain definisi - atur R;
- set nilai - set R;
- fungsi y=x2n-1 aneh karena (- x) 2n-1= x 2n-1 ;
- fungsi meningkat pada seluruh sumbu nyata.
Grafik Fungsi y=x2n-1 y=x3.
3. Indikator p=-2n, di mana n- bilangan asli.
Dalam hal ini, fungsi daya y=x-2n=1/x2n memiliki sifat-sifat berikut:
- set nilai - angka positif y>0;
- fungsi y = 1/x2n bahkan, karena 1/(-x) 2n= 1/x2n;
- fungsi meningkat pada interval x0.
Grafik fungsi y = 1/x2n memiliki bentuk yang sama seperti, misalnya, grafik fungsi y = 1/x2.
4. Indikator p = -(2n-1), di mana n- bilangan asli.
Dalam hal ini, fungsi daya y=x-(2n-1) memiliki sifat-sifat berikut:
- domain definisi adalah himpunan R, kecuali untuk x = 0;
- set nilai - set R, kecuali untuk y = 0;
- fungsi y=x-(2n-1) aneh karena (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
- fungsi menurun pada interval x< 0 dan x > 0.
Grafik Fungsi y=x-(2n-1) memiliki bentuk yang sama seperti, misalnya, grafik fungsi y = 1/x3.
