persamaan

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan?

Di bagian ini, kita akan mengingat (atau mempelajari - sesuka orang) persamaan paling dasar. Jadi apa itu persamaan? Berbicara dalam istilah manusia, ini adalah semacam ekspresi matematika, di mana ada tanda sama dengan dan yang tidak diketahui. Yang biasanya dilambangkan dengan huruf "X". selesaikan persamaannya adalah untuk menemukan nilai-x sehingga, ketika mensubstitusi ke asli ekspresi, akan memberi kita identitas yang benar. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa identitas adalah ekspresi yang tidak menimbulkan keraguan bahkan untuk orang yang sama sekali tidak dibebani dengan pengetahuan matematika. Seperti 2=2, 0=0, ab=ab dll. Jadi bagaimana Anda memecahkan persamaan? Mari kita cari tahu.

Ada berbagai macam persamaan (saya terkejut, kan?). Tetapi semua keragamannya yang tak terbatas hanya dapat dibagi menjadi empat jenis.

4. Lainnya.)

Sisanya, tentu saja, yang paling penting, ya ...) Ini termasuk kubik, dan eksponensial, dan logaritmik, dan trigonometri, dan segala macam lainnya. Kami akan bekerja sama dengan mereka di bagian yang relevan.

Saya harus segera mengatakan bahwa kadang-kadang persamaan dari tiga jenis pertama begitu berakhir sehingga Anda tidak mengenalinya ... Tidak ada. Kita akan belajar bagaimana menenangkan mereka.

Dan mengapa kita membutuhkan keempat jenis ini? Lalu apa? persamaan linear diselesaikan dengan satu cara kotak yang lain rasional fraksional - yang ketiga, sebuah istirahat tidak terpecahkan sama sekali! Yah, bukannya mereka tidak memutuskan sama sekali, saya menyinggung matematika dengan sia-sia.) Hanya saja mereka memiliki teknik dan metode khusus mereka sendiri.

Tetapi untuk apa pun (saya ulangi - untuk setiap!) persamaan adalah dasar yang andal dan bebas masalah untuk penyelesaian. Bekerja di mana-mana dan selalu. Basis ini - Kedengarannya menakutkan, tetapi masalahnya sangat sederhana. Dan sangat (sangat!) penting.

Sebenarnya, solusi persamaan terdiri dari transformasi yang sama ini. Pada 99%. Jawab pertanyaan: " Bagaimana cara menyelesaikan persamaan?" kebohongan, hanya dalam transformasi ini. Apakah petunjuknya jelas?)

Transformasi identitas persamaan.

PADA persamaan apapun untuk menemukan yang tidak diketahui, perlu untuk mengubah dan menyederhanakan contoh aslinya. Apalagi agar saat mengubah penampilan esensi persamaan tidak berubah. Transformasi seperti itu disebut identik atau setara.

Perhatikan bahwa transformasi ini adalah hanya untuk persamaan. Dalam matematika, masih ada transformasi yang identik ekspresi. Ini adalah topik lain.

Sekarang kami akan mengulangi semua-semua-semua dasar transformasi persamaan yang identik.

Dasar karena dapat diterapkan ke setiap persamaan - linier, kuadrat, pecahan, trigonometri, eksponensial, logaritma, dll. dll.

Transformasi identik pertama: kedua sisi persamaan apa pun dapat ditambahkan (dikurangi) setiap(tetapi sama!) angka atau ekspresi (termasuk ekspresi dengan yang tidak diketahui!). Inti dari persamaan tidak berubah.

Omong-omong, Anda terus-menerus menggunakan transformasi ini, Anda hanya berpikir bahwa Anda mentransfer beberapa istilah dari satu bagian persamaan ke bagian lain dengan perubahan tanda. Jenis:

Masalahnya sudah familiar, kami memindahkan deuce ke kanan, dan kami mendapatkan:

Sebenarnya kamu diambil dari kedua sisi persamaan deuce. Hasilnya sama:

x+2 - 2 = 3 - 2

Pemindahan istilah ke kiri-kanan dengan perubahan tanda hanyalah versi singkat dari transformasi identik pertama. Dan mengapa kita membutuhkan pengetahuan yang begitu dalam? - Anda bertanya. Tidak ada dalam persamaan. Pindahkan, demi Tuhan. Hanya saja, jangan lupa untuk mengubah tandanya. Namun dalam ketimpangan, kebiasaan transferensi bisa berujung pada jalan buntu....

Transformasi identitas kedua: kedua sisi persamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan yang sama bukan nol angka atau ekspresi. Batasan yang dapat dimengerti sudah muncul di sini: adalah bodoh untuk mengalikan dengan nol, tetapi tidak mungkin untuk membagi sama sekali. Ini adalah transformasi yang Anda gunakan ketika Anda memutuskan sesuatu yang keren seperti

Dapat dimengerti, X= 2. Tapi bagaimana Anda menemukannya? Pilihan? Atau hanya menyala? Agar tidak mengambil dan menunggu wawasan, Anda perlu memahami bahwa Anda adil bagi kedua ruas persamaan dengan 5. Saat membagi sisi kiri (5x), lima dikurangi, meninggalkan X murni. Yang kami butuhkan. Dan ketika membagi sisi kanan (10) dengan lima, ternyata, tentu saja, deuce.

Itu saja.

Ini lucu, tetapi dua (hanya dua!) transformasi identik ini mendasari solusinya semua persamaan matematika. Bagaimana! Masuk akal untuk melihat contoh apa dan bagaimana, bukan?)

Contoh transformasi persamaan yang identik. Masalah utama.

Mari kita mulai dengan pertama transformasi identik. Bergerak kiri-kanan.

Contoh untuk anak kecil.)

Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan berikut:

3-2x=5-3x

Mari kita ingat mantranya: "dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan!" Mantra ini adalah instruksi untuk menerapkan transformasi identitas pertama.) Apa ekspresi dengan x di sebelah kanan? 3x? Jawabannya salah! Di sebelah kanan kami - 3x! minus tigax! Karena itu, ketika bergeser ke kiri, tandanya akan berubah menjadi plus. Mendapatkan:

3-2x+3x=5

Jadi, X disatukan. Mari kita lakukan angka. Tiga di kiri. Tanda apa? Jawaban "tanpa ada" tidak diterima!) Di depan rangkap tiga, memang, tidak ada yang ditarik. Dan ini berarti bahwa di depan rangkap tiga adalah plus. Jadi para ahli matematika setuju. Tidak ada yang tertulis, jadi plus. Oleh karena itu, rangkap tiga akan dipindahkan ke sisi kanan dengan minus. Kita mendapatkan:

-2x+3x=5-3

Ada ruang kosong yang tersisa. Di sebelah kiri - berikan yang serupa, di sebelah kanan - hitung. Jawabannya segera:

Dalam contoh ini, satu transformasi identik sudah cukup. Yang kedua tidak diperlukan. Yah, oke.)

Contoh untuk orang tua.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Dalam mempelajari aljabar, kita menemukan konsep polinomial (misalnya ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ dan seterusnya) dan pecahan aljabar (misalnya $\frac(x+5)(x )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ dll.) Kesamaan konsep-konsep ini adalah bahwa baik dalam polinomial maupun dalam pecahan aljabar ada variabel dan nilai numerik, tindakan aritmatika: penjumlahan, pengurangan, perkalian, eksponensial Perbedaan antara konsep-konsep ini adalah bahwa pembagian dengan variabel tidak dilakukan dalam polinomial, dan pembagian dengan variabel dapat dilakukan dalam pecahan aljabar.

Baik polinomial maupun pecahan aljabar disebut ekspresi aljabar rasional dalam matematika. Tetapi polinomial adalah ekspresi rasional bilangan bulat, dan ekspresi fraksional aljabar adalah ekspresi rasional fraksional.

Dimungkinkan untuk memperoleh seluruh ekspresi aljabar dari ekspresi rasional fraksional menggunakan transformasi identik, yang dalam hal ini akan menjadi properti utama pecahan - pengurangan pecahan. Mari kita periksa dalam praktiknya:

Contoh 1

Transformasi:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Keputusan: Persamaan pecahan-rasional ini dapat ditransformasikan dengan menggunakan sifat dasar pembatalan pecahan, yaitu. membagi pembilang dan penyebut dengan angka atau ekspresi yang sama selain $0$.

Pecahan ini tidak dapat segera direduksi, perlu mengubah pembilangnya.

Kami mengubah ekspresi dalam pembilang pecahan, untuk ini kami menggunakan rumus untuk kuadrat dari perbedaan: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Pecahan memiliki bentuk

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\kiri(x-2\kanan)(x-2))(x-2)\]

Sekarang kita melihat bahwa ada faktor persekutuan dalam pembilang dan penyebut - ini adalah ekspresi $x-2$, di mana kita akan mengurangi pecahan

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\kanan)(x-2))(x-2)=x-2\]

Setelah reduksi, kami memperoleh bahwa ekspresi pecahan-rasional asli $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ telah menjadi polinomial $x-2$, yaitu. keseluruhan rasional.

Sekarang mari kita perhatikan fakta bahwa ekspresi $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ dan $x-2\ $ dapat dianggap identik tidak untuk semua nilai variabel, karena agar ekspresi pecahan-rasional ada dan pengurangan oleh polinomial $x-2$ dimungkinkan, penyebut pecahan tidak boleh sama dengan $0$ (serta faktor yang kita perkecil. Dalam contoh ini, penyebut dan faktornya sama, tetapi tidak selalu demikian).

Nilai variabel yang akan ada pecahan aljabarnya disebut nilai variabel yang valid.

Kami memberikan kondisi pada penyebut pecahan: $x-2≠0$, lalu $x≠2$.

Jadi ekspresi $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ dan $x-2$ identik untuk semua nilai variabel kecuali $2$.

Definisi 1

identik sama Ekspresi adalah ekspresi yang sama untuk semua kemungkinan nilai variabel.

Transformasi identik adalah setiap penggantian ekspresi asli dengan yang identik sama Transformasi tersebut termasuk melakukan tindakan: penambahan, pengurangan, perkalian, mengambil faktor umum dari kurung, membawa pecahan aljabar ke penyebut yang sama, mengurangi pecahan aljabar, membawa seperti istilah, dll. Harus diperhitungkan bahwa sejumlah transformasi, seperti pengurangan, pengurangan suku serupa, dapat mengubah nilai variabel yang diizinkan.

Teknik yang digunakan untuk membuktikan identitas

Ubah ruas kiri identitas menjadi ruas kanan atau sebaliknya menggunakan transformasi identitas

Kurangi kedua bagian menjadi ekspresi yang sama menggunakan transformasi identik

Transfer ekspresi di satu bagian ekspresi ke bagian lain dan buktikan bahwa perbedaan yang dihasilkan sama dengan $0$

Manakah dari metode di atas yang digunakan untuk membuktikan identitas tertentu bergantung pada identitas aslinya.

Contoh 2

Buktikan identitasnya $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Keputusan: Untuk membuktikan identitas ini, kita menggunakan cara pertama di atas, yaitu, kita akan mengubah sisi kiri identitas hingga sama dengan sisi kanan.

Pertimbangkan sisi kiri identitas: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- itu adalah selisih dua polinomial. Dalam hal ini, polinomial pertama adalah kuadrat dari jumlah tiga suku.Untuk mengkuadratkan jumlah beberapa suku, kita menggunakan rumus:

\[(((a+b+c)))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Untuk melakukan ini, kita perlu mengalikan suatu bilangan dengan polinomial.Ingat bahwa untuk ini kita perlu mengalikan faktor persekutuan di luar kurung dengan setiap suku polinomial di dalam kurung.Kemudian kita dapatkan:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Sekarang kembali ke polinomial asli, itu akan berbentuk:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Perhatikan bahwa ada tanda “-” di depan braket, yang berarti bahwa ketika braket dibuka, semua tanda yang ada di dalam kurung terbalik.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Jika kita membawa istilah yang serupa, maka kita mendapatkan bahwa monomial $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ dan $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ saling meniadakan, mis. jumlah mereka sama dengan $0$.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Jadi, dengan transformasi identik, kami memperoleh ekspresi identik di sisi kiri identitas asli

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Perhatikan bahwa ekspresi yang dihasilkan menunjukkan bahwa identitas asli adalah benar.

Perhatikan bahwa dalam identitas asli, semua nilai variabel diperbolehkan, yang berarti bahwa kami telah membuktikan identitas menggunakan transformasi identik, dan itu berlaku untuk semua nilai variabel yang diizinkan.

Biarkan dua ekspresi aljabar diberikan:

Mari kita buat tabel nilai masing-masing ekspresi ini untuk nilai numerik yang berbeda dari huruf x.

Kami melihat bahwa untuk semua nilai yang diberikan pada huruf x, nilai kedua ekspresi ternyata sama. Hal yang sama akan berlaku untuk nilai x lainnya.

Untuk memverifikasi ini, kami mengubah ekspresi pertama. Berdasarkan hukum distribusi, kami menulis:

Setelah melakukan operasi yang ditunjukkan pada angka, kami mendapatkan:

Jadi, ekspresi pertama, setelah disederhanakan, ternyata sama persis dengan ekspresi kedua.

Sekarang jelas bahwa untuk setiap nilai x, nilai kedua ekspresi adalah sama.

Ekspresi yang nilainya sama untuk setiap nilai huruf yang termasuk di dalamnya disebut identik sama atau identik.

Oleh karena itu, mereka adalah ekspresi yang identik.

Mari kita membuat satu komentar penting. Mari kita ambil ekspresi:

Setelah menyusun tabel yang mirip dengan yang sebelumnya, kami akan memastikan bahwa kedua ekspresi, untuk setiap nilai x, kecuali untuk memiliki nilai numerik yang sama. Hanya ketika ekspresi kedua sama dengan 6, dan yang pertama kehilangan artinya, karena penyebutnya nol. (Ingat bahwa Anda tidak dapat membagi dengan nol.) Bisakah kita mengatakan bahwa ekspresi ini identik?

Kami sepakat sebelumnya bahwa setiap ekspresi akan dipertimbangkan hanya untuk nilai huruf yang dapat diterima, yaitu untuk nilai-nilai yang ekspresinya tidak kehilangan maknanya. Ini berarti bahwa di sini, ketika membandingkan dua ekspresi, kami hanya memperhitungkan nilai huruf yang valid untuk kedua ekspresi. Oleh karena itu, kita harus mengecualikan nilainya. Dan karena untuk semua nilai x lainnya, kedua ekspresi memiliki nilai numerik yang sama, kami berhak menganggapnya identik.

Berdasarkan apa yang telah dikatakan, kami memberikan definisi ekspresi identik berikut:

1. Ekspresi disebut identik jika memiliki nilai numerik yang sama untuk semua nilai yang dapat diterima dari huruf yang disertakan di dalamnya.

Jika kita menghubungkan dua ekspresi identik dengan tanda yang sama, maka kita mendapatkan identitas. Cara:

2. Identitas adalah persamaan yang berlaku untuk semua nilai yang dapat diterima dari huruf-huruf yang terdapat di dalamnya.

Kami telah menemukan identitas sebelumnya. Jadi, misalnya, semua persamaan adalah identitas, yang dengannya kami menyatakan hukum dasar penjumlahan dan perkalian.

Misalnya, persamaan yang menyatakan hukum komutatif penjumlahan

dan hukum perkalian asosiatif

berlaku untuk semua nilai huruf. Oleh karena itu, persamaan ini adalah identitas.

Semua persamaan aritmatika yang benar juga dianggap sebagai identitas, misalnya:

Dalam aljabar, seseorang sering kali harus mengganti ekspresi dengan ekspresi lain yang identik dengannya. Biarkan, misalnya, diperlukan untuk menemukan nilai ekspresi

Kami akan sangat memudahkan perhitungan jika kami mengganti ekspresi yang diberikan dengan ekspresi yang identik dengannya. Berdasarkan hukum distribusi, kita dapat menulis:

Tetapi angka dalam kurung berjumlah 100. Jadi, kami memiliki identitas:

Mengganti 6,53 alih-alih a di sisi kanannya, kami segera (dalam pikiran) menemukan nilai numerik (653) dari ekspresi ini.

Mengganti satu ekspresi dengan yang lain, identik dengannya, disebut transformasi identik dari ekspresi ini.

Ingatlah bahwa ekspresi aljabar apa pun untuk nilai huruf apa pun yang dapat diterima adalah beberapa

nomor. Dari sini dapat disimpulkan bahwa semua hukum dan sifat operasi aritmatika yang diberikan dalam bab sebelumnya dapat diterapkan pada ekspresi aljabar. Jadi, penerapan hukum dan sifat operasi aritmatika mengubah ekspresi aljabar yang diberikan menjadi ekspresi yang identik dengannya.

kelas 7

“Identitas. Transformasi identitas ekspresi”.

Abdulkerimova Khadizhat Makhmudovna,

guru matematika

Tujuan Pelajaran

untuk memperkenalkan dan pada awalnya mengkonsolidasikan konsep "ekspresi yang sama secara identik", "identitas", "transformasi yang identik";

untuk mempertimbangkan cara untuk membuktikan identitas, untuk berkontribusi pada pengembangan keterampilan untuk membuktikan identitas;

untuk memeriksa asimilasi siswa dari materi yang dibahas, untuk membentuk keterampilan menerapkan yang dipelajari untuk persepsi yang baru.

Jenis pelajaran: mempelajari materi baru

Peralatan : papan, buku teks, buku kerja.

P lan pelajaran

Mengatur waktu

Memeriksa pekerjaan rumah

Pembaruan pengetahuan

Studi materi baru (Pengenalan dan konsolidasi utama konsep "identitas", "transformasi identik").

Latihan pelatihan (Pembentukan konsep "identitas", "transformasi identik").

Refleksi pelajaran (Meringkas informasi teoritis yang diperoleh dalam pelajaran).

Pesan pekerjaan rumah (Menjelaskan isi pekerjaan rumah)

Selama kelas

I. Momen organisasi.

II . Memeriksa pekerjaan rumah (Depan)

AKU AKU AKU . Pembaruan pengetahuan.

Berikan contoh ekspresi numerik dan ekspresi dengan variabel

Bandingkan nilai ekspresi x+3 dan 3x pada x=-4; 1.5; 5

Nomor berapa yang tidak bisa dibagi? (0)

Hasil perkalian? (Kerja)

Bilangan dua digit terbesar? (99)

Apa produk dari -200 hingga 200? (0)

Hasil dari pengurangan. (Perbedaan)

Berapa gram dalam satu kilogram? (1000)

Sifat komutatif penjumlahan. (Jumlah tidak berubah dari penataan ulang tempat istilah)

Sifat komutatif perkalian. (Produk tidak berubah dari permutasi tempat faktor)

Sifat asosiatif penjumlahan. (Untuk menjumlahkan suatu bilangan pada jumlah dua bilangan, Anda dapat menjumlahkan bilangan kedua dan ketiga dengan bilangan pertama)

Sifat asosiatif perkalian. (untuk mengalikan hasil kali dua angka dengan angka ketiga, Anda dapat mengalikan angka pertama dengan produk kedua dan ketiga)

properti distribusi. (Untuk mengalikan angka dengan jumlah dua angka, Anda dapat mengalikan angka ini dengan setiap istilah dan menambahkan hasilnya)

IV. Penjelasan topik baru:

Tentukan nilai ekspresi pada x=5 dan y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

Kami mendapat hasil yang sama. Ini mengikuti dari sifat distributif bahwa, secara umum, untuk setiap nilai variabel, nilai ekspresi 3(x + y) dan 3x + 3y adalah sama.

Pertimbangkan sekarang ekspresi 2x + y dan 2xy. Untuk x=1 dan y=2 mereka mengambil nilai yang sama:

2x+y=2*1+2=4

2xy=2*1*2=4

Namun, Anda dapat menentukan nilai x dan y sedemikian rupa sehingga nilai ekspresi ini tidak sama. Misalnya, jika x=3, y=4, maka

2x+y=2*3+4=10

2xy=2*3*4=24

Definisi: Dua ekspresi yang nilainya sama untuk setiap nilai variabel dikatakan identik sama.

Ekspresi 3(x+y) dan 3x+3y identik sama, tetapi ekspresi 2x+y dan 2xy tidak identik sama.

Persamaan 3(x + y) dan 3x + 3y berlaku untuk semua nilai x dan y. Kesetaraan seperti itu disebut identitas.

Definisi: Kesetaraan yang berlaku untuk semua nilai variabel disebut identitas.

Persamaan numerik yang benar juga dianggap sebagai identitas. Kami sudah bertemu dengan identitas. Identitas adalah persamaan yang menyatakan sifat dasar dari tindakan pada bilangan (Siswa mengomentari setiap sifat dengan mengucapkannya).

a + b = b + a ab=ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Contoh lain dari identitas dapat diberikan (Siswa mengomentari setiap properti, mengucapkannya).

a + 0 = a

a * 1 = a

a + (-a) = 0

sebuah * (- b ) = - ab

sebuah - b = sebuah + (- b )

(- sebuah ) * (- b ) = ab

Definisi: Penggantian satu ekspresi dengan yang lain, identik sama dengan itu, disebut transformasi identik atau hanya transformasi ekspresi.

Guru:

Transformasi identik dari ekspresi dengan variabel dilakukan berdasarkan sifat-sifat operasi pada angka.

Transformasi identitas ekspresi banyak digunakan dalam menghitung nilai ekspresi dan memecahkan masalah lain. Anda sudah harus melakukan beberapa transformasi yang identik, misalnya, pengurangan suku yang serupa, perluasan tanda kurung. Ingat aturan untuk transformasi ini:

Siswa:

Untuk mendapatkan suku-suku sejenis, perlu ditambahkan koefisien-koefisiennya dan mengalikan hasilnya dengan bagian huruf biasa;

Jika ada tanda tambah di depan tanda kurung, maka tanda kurung dapat dihilangkan, dengan tetap mempertahankan tanda setiap istilah yang diapit tanda kurung;

Jika ada tanda minus sebelum tanda kurung, maka tanda kurung dapat dihilangkan dengan mengubah tanda setiap suku yang diapit tanda kurung.

Guru:

Contoh 1. Kami menyajikan istilah serupa

5x + 2x-3x=x(5+2-3)=4x

Aturan apa yang kami gunakan?

Murid:

Kami telah menggunakan aturan pengurangan suku yang sama. Transformasi ini didasarkan pada sifat distributif perkalian.

Guru:

Contoh 2. Perluas tanda kurung dalam ekspresi 2a + (b-3 c) = 2 sebuah + b – 3 c

Kami menerapkan aturan kurung buka yang didahului dengan tanda plus.

Murid:

Transformasi yang dilakukan didasarkan pada sifat asosiatif penjumlahan.

Guru:

Contoh 3. Mari kita buka tanda kurung dalam ekspresi a - (4b- c) =sebuah – 4 b + c

Kami menggunakan aturan kurung buka, yang didahului dengan tanda minus.

Properti apa yang menjadi dasar transformasi ini?

Murid:

Transformasi yang dilakukan didasarkan pada sifat distributif perkalian dan sifat asosiatif penjumlahan.

V . Berolahraga.

№85 Secara lisan

№86 Secara lisan

№88 Secara lisan

№93

№94

№90av

№96

№97

VI . Refleksi pelajaran .

Guru mengajukan pertanyaan, dan siswa menjawabnya sesuai keinginan.

Apa dua ekspresi yang disebut identik sama? Berikan contoh.

Kesetaraan apa yang disebut identitas? Berikan contoh.

Transformasi identik apa yang Anda ketahui?

VII . Pekerjaan rumah . hal.5, No. 95, 98.100 (a, c)

Konversi identitas adalah pekerjaan yang kami lakukan dengan ekspresi numerik dan alfabet, serta dengan ekspresi yang berisi variabel. Kami melakukan semua transformasi ini untuk membawa ekspresi asli ke bentuk yang nyaman untuk memecahkan masalah. Kami akan mempertimbangkan jenis utama transformasi identik dalam topik ini.

Transformasi identitas ekspresi. Apa itu?

Untuk pertama kalinya kita bertemu dengan konsep mentransformasikan identik kita dalam pelajaran aljabar di kelas 7. Kemudian pertama-tama kita berkenalan dengan konsep ekspresi yang identik sama. Mari kita berurusan dengan konsep dan definisi untuk memfasilitasi asimilasi topik.

Definisi 1

Transformasi identitas dari sebuah ekspresi adalah tindakan yang dilakukan untuk mengganti ekspresi asli dengan ekspresi yang akan sama persis dengan ekspresi aslinya.

Seringkali definisi ini digunakan dalam bentuk yang disingkat, di mana kata "identik" dihilangkan. Diasumsikan bahwa bagaimanapun kita melakukan transformasi ekspresi sedemikian rupa untuk mendapatkan ekspresi yang identik dengan yang asli, dan ini tidak perlu ditekankan secara terpisah.

Mari kita ilustrasikan definisi ini dengan contoh.

Contoh 1

Jika kita mengganti ekspresi x + 3 - 2 ke ekspresi yang identik sama x+1, maka kita melakukan transformasi identik dari ekspresi x + 3 - 2.

Contoh 2

Mengganti ekspresi 2 a 6 dengan ekspresi sebuah 3 adalah transformasi identitas, sedangkan penggantian ekspresi x ke ekspresi x2 bukanlah transformasi yang identik, karena ekspresi x dan x2 tidak identik sama.

Kami menarik perhatian Anda pada bentuk ekspresi tulisan saat melakukan transformasi yang identik. Kami biasanya menulis ekspresi asli dan ekspresi yang dihasilkan sebagai persamaan. Jadi, menulis x + 1 + 2 = x + 3 berarti ekspresi x + 1 + 2 telah direduksi menjadi bentuk x + 3 .

Eksekusi tindakan yang berurutan membawa kita ke rantai kesetaraan, yang merupakan beberapa transformasi identik yang berurutan. Jadi, kita memahami notasi x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x sebagai implementasi berurutan dari dua transformasi: pertama, ekspresi x + 1 + 2 direduksi menjadi bentuk x + 3, dan direduksi menjadi bentuk 3+x.

Transformasi identitas dan ODZ

Sejumlah ungkapan yang mulai kita pelajari di kelas 8 tidak masuk akal untuk nilai variabel apa pun. Melakukan transformasi identik dalam kasus ini mengharuskan kita untuk memperhatikan wilayah nilai variabel yang dapat diterima (ODV). Melakukan transformasi identik dapat membuat ODZ tidak berubah atau mempersempitnya.

Contoh 3

Saat melakukan transisi dari ekspresi a + (−b) ke ekspresi a-b rentang nilai variabel yang diizinkan sebuah dan b tetap sama.

Contoh 4

Transisi dari ekspresi x ke ekspresi x 2 x mengarah ke penyempitan kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel x dari himpunan semua bilangan real ke himpunan semua bilangan real, dari mana nol telah dikecualikan.

Contoh 5

Transformasi identitas dari sebuah ekspresi x 2 x ekspresi x mengarah pada perluasan rentang nilai variabel x yang dapat diterima dari himpunan semua bilangan real kecuali nol ke himpunan semua bilangan real.

Mempersempit atau memperluas rentang nilai variabel yang diizinkan saat melakukan transformasi identik penting dalam menyelesaikan masalah, karena dapat memengaruhi keakuratan perhitungan dan menyebabkan kesalahan.

Transformasi identitas dasar

Sekarang mari kita lihat apa itu transformasi identik dan bagaimana mereka dilakukan. Mari kita pilih jenis-jenis transformasi identik yang paling sering kita tangani ke dalam kelompok utama.

Selain transformasi identitas dasar, ada sejumlah transformasi yang berhubungan dengan ekspresi dari tipe tertentu. Untuk pecahan, ini adalah metode pengurangan dan pengurangan ke penyebut baru. Untuk ekspresi dengan akar dan pangkat, semua tindakan yang dilakukan berdasarkan sifat akar dan pangkat. Untuk ekspresi logaritma, tindakan yang dilakukan berdasarkan sifat-sifat logaritma. Untuk ekspresi trigonometri, semua tindakan menggunakan rumus trigonometri. Semua transformasi khusus ini dibahas secara rinci dalam topik terpisah yang dapat ditemukan di sumber kami. Untuk alasan ini, kami tidak akan membahasnya di artikel ini.

Mari kita lanjutkan ke pertimbangan transformasi identik utama.

Penataan ulang istilah, faktor

Mari kita mulai dengan mengatur ulang istilah. Kami paling sering berurusan dengan transformasi identik ini. Dan pernyataan berikut dapat dianggap sebagai aturan utama di sini: dalam jumlah berapa pun, penataan ulang istilah di tempat tidak mempengaruhi hasil.

Aturan ini didasarkan pada sifat komutatif dan asosiatif dari penjumlahan. Properti ini memungkinkan kita untuk mengatur ulang istilah di tempat dan pada saat yang sama mendapatkan ekspresi yang identik sama dengan yang asli. Itulah sebabnya penataan ulang istilah di tempat dalam jumlah adalah transformasi yang identik.

Contoh 6

Kami memiliki jumlah tiga istilah 3 + 5 + 7 . Jika kita menukar suku 3 dan 5, maka ekspresinya akan berbentuk 5 + 3 + 7. Ada beberapa opsi untuk mengatur ulang istilah dalam kasus ini. Semuanya mengarah pada perolehan ekspresi yang identik sama dengan yang asli.

Tidak hanya angka, tetapi juga ekspresi dapat bertindak sebagai istilah dalam jumlah. Mereka, seperti halnya angka, dapat diatur ulang tanpa mempengaruhi hasil akhir perhitungan.

Contoh 7

Dalam jumlah tiga suku 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 dan - 12 a dalam bentuk 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) suku a dapat disusun kembali, misalnya seperti ini (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . Selanjutnya, Anda dapat mengatur ulang suku-suku pada penyebut pecahan 1 a + b, sedangkan pecahan akan berbentuk 1 b + a. Dan ekspresi di bawah tanda akar a2 + 2a + 5 juga merupakan jumlah di mana istilah dapat dipertukarkan.

Dengan cara yang sama seperti suku-suku, dalam ekspresi asli seseorang dapat menukar faktor-faktornya dan memperoleh persamaan yang benar secara identik. Tindakan ini diatur oleh aturan berikut:

Definisi 2

Dalam produk, mengatur ulang faktor di tempat tidak mempengaruhi hasil perhitungan.

Aturan ini didasarkan pada sifat komutatif dan asosiatif perkalian, yang mengkonfirmasi kebenaran transformasi identik.

Contoh 8

Kerja 3 5 7 permutasi faktor dapat direpresentasikan dalam salah satu bentuk berikut: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 atau 3 7 5.

Contoh 9

Permutasi faktor-faktor dalam produk x + 1 x 2 - x + 1 x akan menghasilkan x 2 - x + 1 x x + 1

Ekspansi braket

Tanda kurung dapat berisi entri ekspresi numerik dan ekspresi dengan variabel. Ekspresi ini dapat diubah menjadi ekspresi yang identik sama, di mana tidak akan ada tanda kurung sama sekali atau akan ada lebih sedikit daripada ekspresi aslinya. Cara mengubah ekspresi ini disebut ekspansi kurung.

Contoh 10

Mari kita lakukan tindakan dengan tanda kurung dalam ekspresi formulir 3 + x 1 x untuk mendapatkan ekspresi yang benar-benar identik 3 + x 1 x.

Ekspresi 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x dapat diubah menjadi persamaan yang identik tanpa tanda kurung 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .

Kami membahas secara rinci aturan untuk mengonversi ekspresi dengan tanda kurung dalam topik "Ekspansi braket", yang diposting di sumber daya kami.

Pengelompokan istilah, faktor

Dalam kasus di mana kita berhadapan dengan tiga suku atau lebih, kita dapat menggunakan jenis transformasi identik seperti pengelompokan suku. Yang dimaksud dengan metode transformasi ini adalah penyatuan beberapa suku ke dalam suatu kelompok dengan cara menyusunnya kembali dan menempatkannya dalam tanda kurung.

Saat mengelompokkan, istilah dipertukarkan sedemikian rupa sehingga istilah yang dikelompokkan berada dalam rekaman ekspresi di samping satu sama lain. Setelah itu, mereka dapat diapit dalam tanda kurung.

Contoh 11

Ambil ekspresinya 5 + 7 + 1 . Jika kita mengelompokkan suku pertama dengan suku ketiga, kita peroleh (5 + 1) + 7 .

Pengelompokan faktor dilakukan dengan cara yang sama seperti pengelompokan istilah.

Contoh 12

Dalam pekerjaan 2 3 4 5 adalah mungkin untuk mengelompokkan faktor pertama dengan yang ketiga, dan faktor kedua dengan yang keempat, dalam hal ini kita sampai pada ekspresi (2 4) (3 5). Dan jika kita mengelompokkan faktor pertama, kedua dan keempat, kita akan mendapatkan ekspresi (2 3 5) 4.

Suku-suku dan faktor-faktor yang dikelompokkan dapat diwakili oleh bilangan prima dan ekspresi. Aturan pengelompokan dibahas secara rinci dalam topik "Syarat dan faktor pengelompokan".

Mengganti perbedaan dengan jumlah, produk parsial dan sebaliknya

Penggantian perbedaan dengan jumlah menjadi mungkin berkat kenalan kami dengan angka yang berlawanan. Sekarang pengurangan dari angka sebuah angka b dapat dilihat sebagai tambahan nomor sebuah angka b. Persamaan a b = a + (− b) dapat dianggap adil dan, atas dasar itu, melakukan penggantian perbedaan dengan jumlah.

Contoh 13

Ambil ekspresinya 4 + 3 − 2 , di mana perbedaan angka 3 − 2 kita dapat menulis sebagai jumlah 3 + (− 2) . Mendapatkan 4 + 3 + (− 2) .

Contoh 14

Semua perbedaan ekspresi 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 dapat diganti dengan jumlah seperti 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

Kami dapat melanjutkan ke jumlah dari perbedaan apa pun. Demikian pula, kita dapat membuat substitusi terbalik.

Penggantian pembagian dengan perkalian dengan kebalikan pembagi dimungkinkan oleh konsep bilangan timbal balik. Transformasi ini dapat ditulis sebagai a: b = a (b 1).

Aturan ini menjadi dasar aturan pembagian pecahan biasa.

Contoh 15

Pribadi 1 2: 3 5 dapat diganti dengan produk bentuk 1 2 5 3.

Demikian pula, dengan analogi, pembagian dapat diganti dengan perkalian.

Contoh 16

Dalam hal ekspresi 1+5:x:(x+3) ganti pembagian dengan x dapat dikalikan dengan 1x. Pembagian menurut x + 3 kita bisa mengganti dengan mengalikannya dengan 1x + 3. Transformasi memungkinkan kita untuk mendapatkan ekspresi yang identik dengan yang asli: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Mengganti perkalian dengan pembagian dilakukan sesuai dengan skema a b = a: (b 1).

Contoh 17

Dalam ekspresi 5 x x 2 + 1 - 3, perkalian dapat diganti dengan pembagian menjadi 5: x 2 + 1 x - 3.

Melakukan tindakan dengan angka

Melakukan operasi dengan angka tunduk pada aturan urutan operasi. Pertama, operasi dilakukan dengan pangkat bilangan dan akar bilangan. Setelah itu, kami mengganti logaritma, trigonometri, dan fungsi lainnya dengan nilainya. Kemudian tindakan dalam tanda kurung dilakukan. Dan kemudian Anda sudah dapat melakukan semua tindakan lainnya dari kiri ke kanan. Penting untuk diingat bahwa perkalian dan pembagian dilakukan sebelum penambahan dan pengurangan.

Operasi dengan angka memungkinkan Anda mengubah ekspresi asli menjadi ekspresi identik yang setara dengannya.

Contoh 18

Mari kita ubah ekspresi 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x dengan melakukan semua kemungkinan operasi dengan angka.

Keputusan

Pertama, mari kita lihat derajatnya 2 3 dan root 4 dan hitung nilainya: 2 3 = 8 dan 4 = 2 2 = 2 .

Substitusikan nilai yang diperoleh ke dalam ekspresi asli dan dapatkan: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Sekarang mari kita lakukan tanda kurung: 8 − 1 = 7 . Dan mari kita beralih ke ekspresi 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Kita hanya perlu melakukan perkalian 3 dan 7 . Kami mendapatkan: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Menjawab: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Operasi dengan bilangan dapat didahului oleh jenis transformasi identitas lainnya, seperti pengelompokan bilangan atau perluasan tanda kurung.

Contoh 19

Ambil ekspresinya 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) 2 + 11.

Keputusan

Pertama-tama, kita akan mengubah hasil bagi dalam tanda kurung 6: 3 pada artinya 2 . Didapatkan: 3 + 2 2 x (y 3 4) 2 + 11 .

Mari kita perluas tanda kurung: 3 + 2 2 x (y 3 4) 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 2 + 11.

Mari kita kelompokkan faktor numerik dalam produk, serta istilah yang berupa angka: (3 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Mari kita lakukan tanda kurung: (3 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Menjawab:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Jika kita bekerja dengan ekspresi numerik, maka tujuan dari pekerjaan kita adalah menemukan nilai ekspresi. Jika kita mengubah ekspresi dengan variabel, maka tujuan dari tindakan kita adalah untuk menyederhanakan ekspresi.

Bracketing Faktor Persekutuan

Dalam kasus di mana suku-suku dalam ekspresi memiliki faktor yang sama, maka kita dapat mengeluarkan faktor persekutuan ini dari tanda kurung. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita perlu merepresentasikan ekspresi asli sebagai produk dari faktor persekutuan dan ekspresi dalam tanda kurung, yang terdiri dari suku-suku asli tanpa faktor persekutuan.

Contoh 20

Secara numerik 2 7 + 2 3 kita bisa menghilangkan faktor persekutuannya 2 di luar tanda kurung dan dapatkan ekspresi bentuk yang benar secara identik 2 (7 + 3).

Anda dapat me-refresh memori aturan untuk menempatkan faktor umum dari tanda kurung di bagian yang sesuai dari sumber daya kami. Materi membahas secara rinci aturan untuk mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung dan memberikan banyak contoh.

Pengurangan istilah serupa

Sekarang mari kita beralih ke jumlah yang mengandung suku-suku serupa. Dua opsi dimungkinkan di sini: jumlah yang mengandung suku yang sama, dan jumlah yang sukunya berbeda dengan koefisien numerik. Operasi dengan jumlah yang mengandung suku-suku serupa disebut pengurangan suku-suku serupa. Ini dilakukan sebagai berikut: kami mengeluarkan bagian huruf biasa dari tanda kurung dan menghitung jumlah koefisien numerik dalam tanda kurung.

Contoh 21

Perhatikan ekspresi 1 + 4 x 2 x. Kita dapat mengambil bagian literal dari x dari tanda kurung dan mendapatkan ekspresi 1 + x (4 2). Mari kita hitung nilai ekspresi dalam tanda kurung dan dapatkan jumlah dari bentuk 1 + x · 2 .

Mengganti angka dan ekspresi dengan ekspresi yang sama persis

Angka dan ekspresi yang membentuk ekspresi asli dapat diganti dengan ekspresi yang identik sama dengan mereka. Transformasi ekspresi asli seperti itu mengarah ke ekspresi yang identik sama dengannya.

Contoh 22 Contoh 23

Perhatikan ekspresi 1 + a5, di mana kita dapat mengganti derajat a 5 dengan produk yang identik dengannya, misalnya, dari bentuk sebuah 4. Ini akan memberi kita ekspresi 1 + 4.

Transformasi yang dilakukan bersifat artifisial. Itu hanya masuk akal dalam persiapan untuk transformasi lainnya.

Contoh 24

Pertimbangkan transformasi jumlah 4x3 + 2x2. Disini istilahnya 4x3 kami dapat mewakili sebagai produk 2x2x2x. Akibatnya, ekspresi aslinya mengambil bentuk 2 x 2 2 x + 2 x 2. Sekarang kita dapat mengisolasi faktor persekutuan 2x2 dan keluarkan dari kurung: 2x2 (2x+1).

Penjumlahan dan pengurangan bilangan yang sama

Menambah dan mengurangi angka atau ekspresi yang sama pada saat yang sama adalah teknik transformasi ekspresi buatan.

Contoh 25

Perhatikan ekspresi x 2 + 2 x. Kita dapat menambah atau mengurangi satu darinya, yang akan memungkinkan kita untuk selanjutnya melakukan transformasi identik lainnya - untuk memilih kuadrat binomial: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter