Pada memperkirakan probabilitas terjadinya peristiwa acak apa pun, sangat penting untuk memiliki gagasan yang baik sebelumnya apakah probabilitas () terjadinya peristiwa yang menarik bagi kita bergantung pada bagaimana peristiwa lain berkembang.

Dalam kasus skema klasik, ketika semua hasil memiliki kemungkinan yang sama, kita sudah dapat memperkirakan nilai probabilitas dari peristiwa individu yang menarik bagi kita sendiri. Kita dapat melakukan ini bahkan jika kejadian tersebut merupakan kumpulan kompleks dari beberapa hasil dasar. Dan jika beberapa peristiwa acak terjadi secara bersamaan atau berurutan? Bagaimana hal ini mempengaruhi kemungkinan peristiwa yang menarik bagi kita?

Jika saya melempar dadu beberapa kali dan ingin mendapatkan angka enam dan saya tidak beruntung sepanjang waktu, apakah itu berarti saya harus meningkatkan taruhan saya karena, menurut teori probabilitas, saya akan beruntung? Sayangnya, teori probabilitas tidak mengatakan hal semacam itu. Tidak ada dadu, tidak ada kartu, tidak ada koin tidak ingat apa yang mereka tunjukkan terakhir kali. Tidak masalah bagi mereka sama sekali apakah untuk pertama kalinya atau untuk kesepuluh kalinya hari ini saya menguji nasib saya. Setiap kali saya berguling lagi, saya hanya tahu satu hal: dan kali ini kemungkinan menggulung "enam" lagi adalah seperenam. Tentu saja, ini tidak berarti bahwa nomor yang saya butuhkan tidak akan pernah jatuh. Ini hanya berarti bahwa kekalahan saya setelah lemparan pertama dan setelah lemparan lainnya adalah kejadian bebas.

Peristiwa A dan B disebut mandiri, jika implementasi salah satunya tidak memengaruhi probabilitas kejadian lainnya dengan cara apa pun. Misalnya, peluang mengenai sasaran dengan senjata pertama dari dua tidak bergantung pada apakah senjata lain mengenai sasaran, jadi peristiwa "senjata pertama mengenai sasaran" dan "senjata kedua mengenai sasaran" adalah independen.

Jika dua kejadian A dan B saling bebas, dan peluang masing-masingnya diketahui, maka peluang munculnya kejadian A dan kejadian B secara bersamaan (dilambangkan dengan AB) dapat dihitung dengan menggunakan teorema berikut.

Teorema perkalian peluang untuk kejadian bebas

P(AB) = P(A)*P(B)- kemungkinan serentak dua mandiri acara adalah kerja probabilitas dari peristiwa-peristiwa ini.

Contoh.Probabilitas mengenai sasaran saat menembakkan meriam pertama dan kedua masing-masing sama: p 1 = 0,7; hal2 = 0,8. Temukan peluang memukul dengan satu tembakan oleh kedua senjata secara bersamaan.

Keputusan: Seperti yang telah kita lihat, peristiwa A (ditembak oleh senjata pertama) dan B (ditembak oleh senjata kedua) adalah independen, yaitu. P (AB) \u003d P (A) * P (B) \u003d p 1 * p 2 \u003d 0,56.

Apa yang terjadi pada perkiraan kami jika peristiwa awal tidak independen? Mari kita ubah sedikit contoh sebelumnya.

Contoh.Dua penembak dalam kompetisi menembak sasaran, dan jika salah satu dari mereka menembak dengan akurat, maka lawan mulai gugup, dan hasilnya memburuk. Bagaimana mengubah situasi sehari-hari ini menjadi masalah matematika dan menguraikan cara untuk menyelesaikannya? Secara intuitif jelas bahwa perlu entah bagaimana memisahkan dua skenario, untuk menyusun, pada kenyataannya, dua skenario, dua tugas yang berbeda. Dalam kasus pertama, jika lawan meleset, skenarionya akan menguntungkan bagi atlet yang gugup dan akurasinya akan lebih tinggi. Dalam kasus kedua, jika lawan benar-benar menyadari peluangnya, kemungkinan memukul target untuk atlet kedua berkurang.

Untuk memisahkan skenario yang mungkin (sering disebut hipotesis) dari perkembangan kejadian, kita akan sering menggunakan skema "pohon probabilitas". Diagram ini memiliki arti yang mirip dengan pohon keputusan, yang mungkin sudah Anda tangani. Setiap cabang adalah skenario yang terpisah, hanya sekarang ia memiliki arti sendiri dari apa yang disebut bersyarat probabilitas (q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).

Skema ini sangat nyaman untuk analisis peristiwa acak yang berurutan.

Masih mengklarifikasi satu pertanyaan penting lagi: di mana nilai awal probabilitas masuk situasi nyata ? Lagi pula, teori probabilitas tidak bekerja dengan koin dan dadu yang sama, bukan? Biasanya perkiraan ini diambil dari statistik, dan ketika statistik tidak tersedia, kami melakukan penelitian sendiri. Dan kita sering kali harus memulainya bukan dengan mengumpulkan data, tetapi dengan pertanyaan tentang informasi apa yang biasanya kita butuhkan.

Contoh.Di kota dengan 100.000 penduduk, misalkan kita perlu memperkirakan ukuran pasar untuk produk non-esensial baru, seperti kondisioner rambut yang diwarnai. Mari kita pertimbangkan skema "pohon probabilitas". Dalam hal ini, kita perlu memperkirakan nilai probabilitas pada setiap "cabang". Jadi, perkiraan kami tentang kapasitas pasar:

1) 50% dari semua penduduk kota adalah perempuan,

2) dari semua wanita, hanya 30% yang sering mewarnai rambut,

3) dari jumlah tersebut, hanya 10% yang menggunakan balsem untuk rambut berwarna,

4) dari jumlah tersebut, hanya 10% yang dapat mengumpulkan keberanian untuk mencoba produk baru,

5) 70% dari mereka biasanya membeli semuanya bukan dari kami, tetapi dari pesaing kami.

Keputusan: Menurut hukum perkalian probabilitas, kami menentukan probabilitas peristiwa yang menarik bagi kami A \u003d (seorang penduduk kota membeli balsem baru ini dari kami) \u003d 0,00045.

Kalikan nilai probabilitas ini dengan jumlah penduduk kota. Akibatnya, kami hanya memiliki 45 pembeli potensial, dan mengingat bahwa satu botol produk ini cukup untuk beberapa bulan, perdagangan tidak terlalu ramai.

Namun, ada manfaat dari penilaian kami.

Pertama, kita dapat membandingkan perkiraan ide bisnis yang berbeda, mereka akan memiliki "garpu" yang berbeda pada diagram, dan, tentu saja, nilai probabilitasnya juga akan berbeda.

Kedua, seperti yang telah kita katakan, variabel acak tidak disebut acak karena tidak bergantung pada apapun sama sekali. Hanya dia akurat nilainya tidak diketahui sebelumnya. Kita tahu bahwa rata-rata jumlah pembeli dapat ditingkatkan (misalnya, dengan mengiklankan produk baru). Jadi masuk akal untuk fokus pada "garpu" di mana distribusi probabilitas tidak terlalu cocok untuk kita, pada faktor-faktor yang dapat kita pengaruhi.

Pertimbangkan contoh kuantitatif lain dari penelitian perilaku konsumen.

Contoh. Rata-rata 10.000 orang mengunjungi pasar makanan per hari. Peluang seorang pengunjung pasar masuk ke paviliun susu adalah 1/2. Diketahui, di anjungan ini rata-rata terjual 500 kg aneka produk per hari.

Bisakah dikatakan bahwa rata-rata pembelian di paviliun beratnya hanya 100 g?

Diskusi. Tentu saja tidak. Jelas bahwa tidak semua orang yang memasuki paviliun akhirnya membeli sesuatu di sana.

Seperti yang ditunjukkan pada diagram, untuk menjawab pertanyaan tentang berat pembelian rata-rata, kita harus menemukan jawaban atas pertanyaan, berapa probabilitas seseorang yang memasuki paviliun membeli sesuatu di sana. Jika kami tidak memiliki data seperti itu, tetapi kami membutuhkannya, kami harus mendapatkannya sendiri, setelah mengamati pengunjung paviliun selama beberapa waktu. Misalkan pengamatan kita menunjukkan bahwa hanya seperlima dari pengunjung paviliun yang membeli sesuatu.

Segera setelah perkiraan ini diperoleh oleh kami, tugas menjadi sederhana. Dari 10.000 orang yang datang ke pasar, 5.000 akan pergi ke paviliun produk susu, hanya akan ada 1.000 pembelian, berat pembelian rata-rata 500 gram. Sangat menarik untuk dicatat bahwa untuk membangun gambaran lengkap tentang apa yang terjadi, logika "percabangan" bersyarat harus didefinisikan pada setiap tahap penalaran kita sejelas jika kita bekerja dengan situasi "konkret", dan bukan dengan probabilitas.

Tugas untuk self-test

1. Misalkan ada rangkaian listrik yang terdiri dari n elemen yang dihubungkan seri, yang masing-masing beroperasi secara independen dari yang lain.

Probabilitas p tidak gagal dari setiap elemen diketahui. Tentukan peluang operasi yang benar dari seluruh bagian rangkaian (peristiwa A).

2. Siswa mengetahui 20 dari 25 soal ujian. Tentukan peluang bahwa siswa tersebut mengetahui tiga pertanyaan yang diberikan oleh penguji kepadanya.

3. Produksi terdiri dari empat tahap berturut-turut, yang masing-masing mengoperasikan peralatan yang probabilitas kegagalannya dalam bulan berikutnya berturut-turut adalah p 1 , p 2 , p 3 dan p 4 . Tentukan peluang bahwa dalam sebulan tidak akan ada penghentian produksi karena kegagalan peralatan.

Kebutuhan akan tindakan pada probabilitas terjadi ketika probabilitas beberapa peristiwa diketahui, dan probabilitas peristiwa lain yang terkait dengan peristiwa ini perlu dihitung.

Penjumlahan peluang digunakan ketika diperlukan untuk menghitung peluang kombinasi atau jumlah logis dari peristiwa acak.

Jumlah acara A dan B menunjuk A + B atau A ∪ B. Jumlah dua kejadian adalah kejadian yang terjadi jika dan hanya jika paling sedikit satu kejadian terjadi. Ini berarti bahwa A + B- suatu peristiwa yang terjadi jika dan hanya jika suatu peristiwa terjadi selama pengamatan A atau acara B, atau pada saat yang sama A dan B.

Jika acara A dan B saling tidak konsisten dan probabilitasnya diberikan, probabilitas bahwa salah satu dari peristiwa ini akan terjadi sebagai hasil dari satu percobaan dihitung menggunakan penambahan probabilitas.

Teorema penjumlahan peluang. Probabilitas bahwa salah satu dari dua peristiwa yang saling bertentangan akan terjadi sama dengan jumlah peluang dari peristiwa-peristiwa ini:

Misalnya, dua tembakan dilepaskan saat berburu. Peristiwa TETAPI– memukul bebek dari tembakan pertama, acara PADA– pukulan dari tembakan kedua, event ( TETAPI+ PADA) - pukulan dari tembakan pertama atau kedua atau dari dua tembakan. Jadi jika dua peristiwa TETAPI dan PADA adalah peristiwa yang tidak kompatibel, maka TETAPI+ PADA- terjadinya setidaknya satu dari peristiwa ini atau dua peristiwa.

Contoh 1 Sebuah kotak berisi 30 bola dengan ukuran yang sama: 10 merah, 5 biru, dan 15 putih. Hitung peluang terambilnya bola berwarna (bukan putih) tanpa melihat.

Keputusan. Mari kita asumsikan bahwa acara TETAPI– “bola merah diambil”, dan acara PADA- "Bola biru diambil." Kemudian acaranya adalah “diambil bola berwarna (bukan putih). Tentukan peluang suatu kejadian TETAPI:

dan acara PADA:

Acara TETAPI dan PADA- saling bertentangan, karena jika diambil satu bola, maka bola yang berbeda warna tidak dapat diambil. Oleh karena itu, kami menggunakan penambahan probabilitas:

Teorema penambahan peluang untuk beberapa kejadian yang tidak sesuai. Jika kejadian-kejadian tersebut merupakan himpunan kejadian yang lengkap, maka jumlah peluangnya sama dengan 1:

Jumlah peluang kejadian yang berlawanan juga sama dengan 1:

Kejadian-kejadian yang berlawanan membentuk suatu himpunan kejadian yang lengkap, dan peluang terjadinya himpunan kejadian yang lengkap adalah 1.

Probabilitas kejadian yang berlawanan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil. p dan q. Secara khusus,

dari mana rumus berikut untuk probabilitas peristiwa yang berlawanan mengikuti:

Contoh 2 Target di dasbor dibagi menjadi 3 zona. Probabilitas penembak tertentu akan menembak target di zona pertama adalah 0,15, di zona kedua - 0,23, di zona ketiga - 0,17. Tentukan peluang penembak mengenai sasaran dan peluang penembak meleset dari sasaran.

Solusi: Temukan peluang penembak mengenai sasaran:

Temukan probabilitas bahwa penembak meleset dari sasaran:

Tugas yang lebih sulit di mana Anda perlu menerapkan penambahan dan perkalian probabilitas - di halaman "Berbagai tugas untuk penambahan dan perkalian probabilitas" .

Penjumlahan peluang kejadian bersama-sama

Dua peristiwa acak dikatakan bersama jika terjadinya satu peristiwa tidak menghalangi terjadinya peristiwa kedua dalam pengamatan yang sama. Misalnya, saat melempar dadu, kejadiannya TETAPI dianggap sebagai kemunculan angka 4, dan peristiwa PADA- menjatuhkan nomor genap. Karena angka 4 adalah bilangan genap, maka kedua kejadian tersebut kompatibel. Dalam praktiknya, ada tugas untuk menghitung probabilitas terjadinya salah satu peristiwa yang saling terkait.

Teorema penjumlahan peluang kejadian bersama. Probabilitas bahwa salah satu kejadian bersama akan terjadi sama dengan jumlah probabilitas dari kejadian-kejadian ini, dari mana probabilitas terjadinya umum dari kedua kejadian dikurangkan, yaitu produk dari probabilitas. Rumus peluang kejadian gabungan adalah sebagai berikut:

Karena peristiwa TETAPI dan PADA cocok, acara TETAPI+ PADA terjadi jika salah satu dari tiga kemungkinan peristiwa terjadi: atau AB. Menurut teorema penambahan kejadian yang tidak kompatibel, kami menghitung sebagai berikut:

Peristiwa TETAPI terjadi jika salah satu dari dua peristiwa yang tidak kompatibel terjadi: atau AB. Namun, peluang terjadinya satu peristiwa dari beberapa peristiwa yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang semua peristiwa ini:

Demikian pula:

Mengganti ekspresi (6) dan (7) ke dalam ekspresi (5), kami memperoleh rumus probabilitas untuk kejadian gabungan:

Saat menggunakan rumus (8), harus diperhitungkan bahwa peristiwa TETAPI dan PADA dapat:

• saling independen;
• saling bergantung.

Rumus peluang kejadian yang saling bebas:

Rumus peluang kejadian saling bergantung:

Jika acara TETAPI dan PADA tidak konsisten, maka kebetulan mereka adalah kasus yang mustahil dan, dengan demikian, P(AB) = 0. Rumus peluang keempat untuk kejadian yang tidak sesuai adalah sebagai berikut:

Contoh 3 Dalam balap mobil, saat mengemudi di mobil pertama, kemungkinan menang, saat mengemudi di mobil kedua. Mencari:

• probabilitas bahwa kedua mobil akan menang;
• probabilitas bahwa setidaknya satu mobil akan menang;

1) Peluang mobil pertama menang tidak bergantung pada hasil mobil kedua, jadi kejadiannya TETAPI(mobil pertama menang) dan PADA(mobil kedua menang) - acara independen. Tentukan peluang kedua mobil menang:

2) Temukan peluang bahwa salah satu dari dua mobil akan menang:

Tugas yang lebih sulit di mana Anda perlu menerapkan penambahan dan perkalian probabilitas - di halaman "Berbagai tugas untuk penambahan dan perkalian probabilitas" .

Selesaikan sendiri masalah penjumlahan probabilitas, lalu lihat solusinya

Contoh 4 Dua koin dilempar. Peristiwa A- hilangnya lambang pada koin pertama. Peristiwa B- hilangnya lambang pada koin kedua. Tentukan peluang suatu kejadian C = A + B .

perkalian probabilitas

Perkalian probabilitas digunakan ketika probabilitas produk logis dari peristiwa yang akan dihitung.

Dalam hal ini, kejadian acak harus independen. Dua kejadian dikatakan saling bebas jika terjadinya satu kejadian tidak mempengaruhi peluang terjadinya kejadian kedua.

Teorema perkalian peluang untuk kejadian bebas. Probabilitas terjadinya dua peristiwa independen secara bersamaan TETAPI dan PADA sama dengan produk dari probabilitas kejadian-kejadian ini dan dihitung dengan rumus:

Contoh 5 Uang logam dilempar tiga kali berturut-turut. Hitunglah peluang bahwa lambang itu akan rontok sebanyak tiga kali.

Keputusan. Probabilitas bahwa lambang akan jatuh pada pelemparan koin pertama, kedua kalinya, dan ketiga kalinya. Temukan probabilitas bahwa lambang akan rontok semua tiga kali:

Selesaikan masalah untuk mengalikan probabilitas sendiri, dan kemudian lihat solusinya

Contoh 6 Ada sebuah kotak dengan sembilan bola tenis baru. Tiga bola diambil untuk permainan, setelah permainan mereka dimasukkan kembali. Saat memilih bola, mereka tidak membedakan antara bola yang dimainkan dan yang belum dimainkan. Berapa probabilitas bahwa setelah tiga permainan tidak akan ada bola yang belum dimainkan di dalam kotak?

Contoh 7 32 huruf alfabet Rusia ditulis pada kartu alfabet yang dipotong. Lima kartu diambil secara acak, satu demi satu, dan diletakkan di atas meja sesuai urutan kemunculannya. Tentukan peluang bahwa huruf-huruf tersebut akan membentuk kata "akhir".

Contoh 8 Dari setumpuk kartu penuh (52 lembar), empat kartu dikeluarkan sekaligus. Temukan peluang bahwa keempat kartu ini memiliki jenis yang sama.

Contoh 9 Masalah yang sama seperti pada contoh 8, tetapi setiap kartu dikembalikan ke dek setelah ditarik.

Tugas yang lebih kompleks, di mana Anda perlu menerapkan penambahan dan perkalian probabilitas, serta menghitung produk dari beberapa peristiwa, di halaman "Berbagai tugas untuk penambahan dan perkalian probabilitas" .

Probabilitas bahwa setidaknya satu dari peristiwa yang saling bebas akan terjadi dapat dihitung dengan mengurangkan produk dari peluang dari peristiwa yang berlawanan dari 1, yaitu, dengan rumus:

Contoh 10 Kargo dikirim melalui tiga moda transportasi: sungai, kereta api dan transportasi jalan. Probabilitas bahwa kargo akan dikirimkan melalui angkutan sungai adalah 0,82, dengan kereta api 0,87, melalui jalan darat 0,90. Tentukan peluang bahwa barang akan dikirim oleh setidaknya salah satu dari tiga moda transportasi.

Pembaca telah memperhatikan dalam presentasi kami seringnya penggunaan konsep "probabilitas".

Ini adalah ciri khas logika modern yang bertentangan dengan logika kuno dan abad pertengahan. Ahli logika modern memahami bahwa semua pengetahuan kita hanya sedikit banyak bersifat probabilistik, dan tidak pasti, seperti yang biasa dipikirkan oleh para filsuf dan teolog. Dia tidak terlalu khawatir bahwa inferensi induktif hanya memberikan kemungkinan pada kesimpulannya, karena dia tidak mengharapkan apa-apa lagi. Namun, dia akan ragu jika dia menemukan alasan untuk meragukan bahkan kemungkinan kesimpulannya.

Jadi dua masalah telah menjadi jauh lebih penting dalam logika modern daripada di masa lalu. Pertama, itu adalah sifat probabilitas, dan kedua, pentingnya induksi. Mari kita bahas masalah ini secara singkat.

Ada, masing-masing, dua jenis probabilitas - pasti dan tidak terbatas.

Probabilitas jenis tertentu terjadi dalam teori probabilitas matematika, di mana masalah seperti melempar dadu atau melempar koin dibahas. Itu terjadi di mana pun ada beberapa kemungkinan, dan tidak satu pun dari mereka yang lebih disukai daripada yang lain. Jika Anda melempar koin, koin itu harus mendarat dengan kepala atau ekor, tetapi keduanya tampaknya sama-sama mungkin. Oleh karena itu, kemungkinan kepala dan ekor adalah 50%, satu diambil sebagai keandalan. Demikian pula, jika Anda melempar dadu, itu bisa jatuh di salah satu dari enam wajah, dan tidak ada alasan untuk memilih salah satu dari mereka, jadi peluang masing-masing adalah 1/6. Kampanye asuransi menggunakan probabilitas semacam ini dalam pekerjaan mereka. Mereka tidak tahu bangunan mana yang akan terbakar, tetapi mereka tahu berapa persen bangunan yang terbakar setiap tahun. Mereka tidak tahu berapa lama seseorang akan hidup, tetapi mereka tahu rata-rata harapan hidup pada periode tertentu. Dalam semua kasus seperti itu, perkiraan probabilitas itu sendiri tidak hanya mungkin, kecuali dalam arti bahwa semua pengetahuan hanya mungkin. Perkiraan probabilitas itu sendiri mungkin memiliki tingkat probabilitas yang tinggi. Jika tidak, perusahaan asuransi akan bangkrut.

Upaya besar telah dilakukan untuk meningkatkan kemungkinan induksi, tetapi ada alasan untuk percaya bahwa semua upaya ini sia-sia. Karakteristik probabilitas dari inferensi induktif hampir selalu, seperti yang saya katakan di atas, tak tentu.

Sekarang saya akan menjelaskan apa itu.

Sudah menjadi hal yang sepele untuk menyatakan bahwa semua pengetahuan manusia itu salah. Jelas bahwa kesalahannya berbeda. Jika saya mengatakan itu Budha hidup pada abad ke-6 sebelum kelahiran Kristus, kemungkinan kesalahan akan sangat tinggi. Jika saya mengatakan itu Caesar terbunuh, kemungkinan kesalahan akan kecil.

Jika saya mengatakan bahwa perang besar sedang berlangsung, maka kemungkinan kesalahan sangat kecil sehingga hanya seorang filsuf atau ahli logika yang dapat mengakui keberadaannya. Contoh-contoh ini berkaitan dengan peristiwa sejarah, tetapi gradasi serupa ada sehubungan dengan hukum ilmiah. Beberapa dari mereka memiliki karakter hipotesis yang eksplisit, di mana tidak ada yang akan memberikan status yang lebih serius mengingat kurangnya data empiris yang mendukung mereka, sementara yang lain tampak begitu yakin sehingga praktis tidak ada keraguan di pihak ilmuwan tentang mereka. kebenaran. (Ketika saya mengatakan "kebenaran", yang saya maksud adalah "kebenaran perkiraan", karena setiap hukum ilmiah tunduk pada beberapa modifikasi.)

Probabilitas adalah sesuatu antara apa yang kita yakini dan apa yang kurang lebih cenderung kita akui, jika kata ini dipahami dalam pengertian teori matematika tentang probabilitas.

Akan lebih tepat untuk berbicara tentang derajat kepastian atau derajat keandalan . Ini adalah konsep yang lebih luas dari apa yang saya sebut "probabilitas tertentu" yang juga lebih penting."

Bertrand Russell, Seni Menggambar Kesimpulan / Seni Berpikir, M., House of Intellectual Books, 1999, hlm. 50-51.

• Probabilitas - tingkat (ukuran relatif, penilaian kuantitatif) dari kemungkinan terjadinya beberapa peristiwa. Ketika alasan untuk beberapa peristiwa yang mungkin benar-benar terjadi lebih besar daripada alasan yang berlawanan, maka peristiwa ini disebut kemungkinan, jika tidak - tidak mungkin atau tidak mungkin. Dominasi alasan positif di atas yang negatif, dan sebaliknya, dapat mencapai tingkat yang berbeda-beda, sebagai akibatnya probabilitas (dan ketidakmungkinan) lebih besar atau lebih kecil. Oleh karena itu, probabilitas sering dinilai pada tingkat kualitatif, terutama dalam kasus di mana penilaian kuantitatif yang kurang lebih akurat tidak mungkin atau sangat sulit. Berbagai gradasi "tingkat" probabilitas dimungkinkan.

  Studi tentang probabilitas dari sudut pandang matematika adalah disiplin khusus - teori probabilitas. Dalam teori probabilitas dan statistik matematika, konsep probabilitas diformalkan sebagai karakteristik numerik dari suatu peristiwa - ukuran probabilitas (atau nilainya) - ukuran pada serangkaian peristiwa (bagian dari serangkaian peristiwa dasar), mengambil nilai​ dari

  (\gaya tampilan 0)

  (\gaya tampilan 1)

  Berarti

  (\gaya tampilan 1)

  Sesuai dengan acara yang valid. Suatu peristiwa yang tidak mungkin memiliki probabilitas 0 (kebalikannya umumnya tidak selalu benar). Jika peluang suatu kejadian terjadi adalah

  (\gaya tampilan p)

  Maka probabilitas tidak terjadinya sama dengan

  (\gaya tampilan 1-p)

  Secara khusus, probabilitas

  (\gaya tampilan 1/2)

  Berarti peluang yang sama untuk terjadinya dan tidak terjadinya suatu peristiwa.

  Definisi klasik dari probabilitas didasarkan pada konsep ekuiprobabilitas hasil. Probabilitas adalah rasio jumlah hasil yang mendukung peristiwa tertentu dengan jumlah total kemungkinan hasil yang sama. Misalnya, peluang mendapatkan "kepala" atau "ekor" dalam pelemparan koin secara acak adalah 1/2, jika diasumsikan bahwa hanya dua kemungkinan ini yang terjadi dan kemungkinannya sama. "Definisi" probabilitas klasik ini dapat digeneralisasi untuk kasus jumlah nilai yang mungkin tak terbatas - misalnya, jika suatu peristiwa dapat terjadi dengan probabilitas yang sama di titik mana pun (jumlah poin tidak terbatas) dari beberapa area terbatas ruang (bidang), maka probabilitas itu akan terjadi di beberapa bagian dari area yang diizinkan ini sama dengan rasio volume (luas) bagian ini dengan volume (luas) area semua titik yang mungkin .

  "Definisi" empiris dari probabilitas terkait dengan frekuensi terjadinya suatu peristiwa, berdasarkan fakta bahwa dengan jumlah percobaan yang cukup besar, frekuensinya harus cenderung pada tingkat kemungkinan objektif dari peristiwa ini. Dalam presentasi modern teori probabilitas, probabilitas didefinisikan secara aksiomatis, sebagai kasus khusus dari teori abstrak ukuran suatu himpunan. Namun, hubungan antara ukuran abstrak dan probabilitas, yang menyatakan tingkat kemungkinan suatu peristiwa, adalah frekuensi pengamatannya.

  Deskripsi probabilistik dari fenomena tertentu telah menyebar luas dalam ilmu pengetahuan modern, khususnya dalam ekonometrika, fisika statistik sistem makroskopik (termodinamika), di mana bahkan dalam kasus deskripsi deterministik klasik tentang gerak partikel, deskripsi deterministik dari keseluruhan sistem partikel secara praktis tidak mungkin dan sesuai. Dalam fisika kuantum, proses yang dijelaskan itu sendiri bersifat probabilistik.

Ini adalah rasio jumlah pengamatan di mana peristiwa tersebut terjadi dengan jumlah total pengamatan. Penafsiran semacam itu dapat diterima dalam kasus sejumlah besar pengamatan atau eksperimen. Misalnya, jika sekitar setengah dari orang yang Anda temui di jalan adalah wanita, maka Anda dapat mengatakan bahwa peluang orang yang Anda temui di jalan adalah seorang wanita adalah 1/2. Dengan kata lain, frekuensi kemunculannya dalam serangkaian pengulangan independen yang panjang dari eksperimen acak dapat berfungsi sebagai perkiraan probabilitas suatu peristiwa.

Probabilitas dalam matematika

Dalam pendekatan matematika modern, probabilitas klasik (yaitu, bukan kuantum) diberikan oleh aksioma Kolmogorov. Probabilitas adalah ukuran P, yang diatur pada set X, yang disebut ruang peluang. Ukuran ini harus memiliki sifat-sifat berikut:

Ini mengikuti dari kondisi ini bahwa ukuran probabilitas P juga memiliki properti aditif: jika set A 1 dan A 2 tidak berpotongan, maka . Untuk membuktikannya, Anda harus meletakkan semuanya A 3 , A 4 , … sama dengan himpunan kosong dan menerapkan sifat aditif yang dapat dihitung.

Ukuran probabilitas mungkin tidak didefinisikan untuk semua himpunan bagian dari himpunan X. Cukuplah untuk mendefinisikannya pada aljabar sigma yang terdiri dari beberapa himpunan bagian dari himpunan X. Dalam hal ini, kejadian acak didefinisikan sebagai himpunan bagian yang dapat diukur dari ruang X, yaitu, sebagai elemen dari aljabar sigma.

Rasa probabilitas

Ketika kami menemukan bahwa alasan beberapa fakta yang mungkin benar-benar terjadi lebih besar daripada alasan yang berlawanan, kami mempertimbangkan fakta ini mungkin, sebaliknya - menakjubkan. Dominasi basis positif di atas basis negatif, dan sebaliknya, dapat mewakili serangkaian derajat yang tidak terbatas, sebagai akibatnya kemungkinan(dan ketidakmungkinan) itu terjadi lagi atau lebih sedikit .

Fakta tunggal yang rumit tidak memungkinkan perhitungan yang tepat dari tingkat probabilitasnya, tetapi bahkan di sini penting untuk menetapkan beberapa subdivisi besar. Jadi, misalnya, di bidang hukum, ketika fakta pribadi yang harus diadili ditetapkan berdasarkan kesaksian saksi, itu selalu tetap, secara tegas, hanya kemungkinan, dan perlu untuk mengetahui seberapa signifikan kemungkinan ini; dalam hukum Romawi, pembagian empat kali lipat diterima di sini: masa percobaan(di mana probabilitas praktis berubah menjadi keaslian), Lebih jauh - percobaan dikurangi plena, kemudian - probatio semiplena mayor dan akhirnya probatio semiplena minor .

Selain pertanyaan tentang kemungkinan kasus, mungkin muncul, baik di bidang hukum maupun di bidang moralitas (dengan sudut pandang etika tertentu), pertanyaan tentang seberapa besar kemungkinan suatu fakta tertentu merupakan pelanggaran terhadap hukum umum. Pertanyaan ini, yang menjadi motif utama dalam yurisprudensi agama Talmud, memunculkan teologi moral Katolik Roma (terutama sejak akhir abad ke-16) ke konstruksi sistematis yang sangat kompleks dan literatur yang sangat besar, dogmatis dan polemik (lihat Probabilisme ).

Konsep probabilitas mengakui ekspresi numerik tertentu dalam penerapannya hanya pada fakta-fakta seperti yang merupakan bagian dari deret homogen tertentu. Jadi (dalam contoh paling sederhana), ketika seseorang melempar koin seratus kali berturut-turut, kami menemukan di sini satu seri umum atau besar (jumlah semua jatuhnya koin), yang terdiri dari dua pribadi atau lebih kecil, dalam hal ini kasus secara numerik sama, seri (jatuh " elang" dan jatuh "ekor"); Probabilitas bahwa kali ini koin akan jatuh ekor, yaitu, bahwa anggota baru dari baris umum ini akan menjadi milik ini dari dua baris yang lebih kecil, sama dengan pecahan yang menyatakan rasio numerik antara baris kecil ini dan yang lebih besar, yaitu 1/2, yaitu, probabilitas yang sama dimiliki oleh satu atau yang lain dari dua deret privat. Dalam contoh yang kurang sederhana, kesimpulan tidak dapat ditarik langsung dari data masalah itu sendiri, tetapi membutuhkan induksi sebelumnya. Jadi, misalnya, ditanya: berapa probabilitas bayi yang baru lahir untuk hidup sampai 80 tahun? Di sini harus ada deret umum atau besar dari sejumlah orang yang diketahui lahir dalam kondisi yang sama dan meninggal pada usia yang berbeda (angka ini harus cukup besar untuk menghilangkan penyimpangan acak, dan cukup kecil untuk mempertahankan homogenitas deret tersebut, karena untuk a orang, lahir, misalnya, di St. Petersburg dalam keluarga budaya kaya, seluruh penduduk kota yang berjumlah jutaan, sebagian besar terdiri dari orang-orang dari berbagai kelompok yang dapat mati sebelum waktunya - tentara, jurnalis , pekerja dalam profesi berbahaya - mewakili kelompok yang terlalu heterogen untuk definisi probabilitas yang sebenarnya); biarkan seri umum ini terdiri dari sepuluh ribu nyawa manusia; itu termasuk baris yang lebih kecil yang mewakili jumlah mereka yang hidup sampai usia ini atau itu; salah satu baris yang lebih kecil ini mewakili jumlah mereka yang hidup sampai usia 80 tahun. Tetapi tidak mungkin untuk menentukan ukuran seri yang lebih kecil ini (dan juga yang lainnya). sebuah prioritas; ini dilakukan dengan cara induktif murni, melalui statistik. Misalkan studi statistik telah menetapkan bahwa dari 10.000 orang Petersburg dari kelas menengah, hanya 45 yang bertahan sampai usia 80; dengan demikian, baris yang lebih kecil ini terkait dengan baris yang lebih besar sebagai 45 hingga 10.000, dan peluang seseorang untuk menjadi bagian dari baris yang lebih kecil ini, yaitu, untuk hidup sampai usia 80 tahun, dinyatakan sebagai pecahan 0,0045. Studi probabilitas dari sudut pandang matematika merupakan disiplin khusus, teori probabilitas.

Lihat juga

Catatan

literatur

• Alfred Reny. Surat tentang Probabilitas / terjemahan. dari Hung. D. Saas dan A. Crumley, ed. B.V.Gnedenko. M.: Mir. 1970
• Gnedenko B.V. Kursus probabilitas. M., 2007. 42 hal.
• Kuptsov V.I. Determinisme dan probabilitas. M., 1976. 256 hal.

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Sinonim:

Antonim:

Lihat apa "Probabilitas" di kamus lain:

Umum ilmiah dan filosofis. kategori yang menunjukkan tingkat kuantitatif kemungkinan terjadinya peristiwa acak massal di bawah kondisi pengamatan yang tetap, yang mencirikan stabilitas frekuensi relatifnya. Dalam logika, derajat semantik ... ... Ensiklopedia Filsafat

PROBABILITAS, angka dalam rentang dari nol sampai satu, inklusif, mewakili kemungkinan peristiwa ini terjadi. Probabilitas suatu peristiwa didefinisikan sebagai rasio banyaknya peluang suatu peristiwa dapat terjadi dengan jumlah semua kemungkinan ... ... Kamus ensiklopedis ilmiah dan teknis

Kemungkinan besar .. Kamus sinonim dan ekspresi Rusia serupa artinya. di bawah. ed. N. Abramova, M.: Kamus Rusia, 1999. probabilitas, kemungkinan, probabilitas, peluang, kemungkinan objektif, maza, penerimaan, risiko. Semut. ketidakmungkinan ... ... Kamus sinonim

kemungkinan- Ukuran bahwa suatu peristiwa dapat terjadi. Catatan Definisi matematis probabilitas adalah "bilangan real antara 0 dan 1 yang terkait dengan kejadian acak." Jumlah tersebut mungkin mencerminkan frekuensi relatif dalam serangkaian pengamatan ... ... Buku Pegangan Penerjemah Teknis

Kemungkinan- "karakteristik numerik matematis dari tingkat kemungkinan terjadinya peristiwa apa pun dalam kondisi spesifik tertentu yang dapat diulangi dalam jumlah yang tidak terbatas." Berdasarkan klasik ini …… Kamus Ekonomi dan Matematika

- (probabilitas) Kemungkinan terjadinya suatu peristiwa atau hasil tertentu. Ini dapat direpresentasikan sebagai skala dengan pembagian dari 0 hingga 1. Jika probabilitas suatu peristiwa adalah nol, kemunculannya tidak mungkin. Dengan probabilitas sama dengan 1, permulaan ... Daftar istilah bisnis