Skema Courant-Isakson-Ries(KIR), yang terkadang juga dikaitkan dengan nama S.K. Godunov, ternyata ketika , 
. Urutan perkiraannya adalah. Skema KIR stabil secara kondisional, yaitu. ketika kondisi Courant terpenuhi 
. Mari kita sajikan persamaan perbedaan untuk skema Courant-Isakson-Ries pada titik internal domain komputasi:
Skema ini, disebut juga skema dengan perbedaan melawan arah angin (dalam literatur Inggris - melawan arah angin), dapat ditulis dalam bentuk
Keuntungannya adalah penghitungan area ketergantungan solusi yang lebih akurat. Jika kita memperkenalkan notasi
maka kedua skema tersebut dapat ditulis dalam bentuk berikut:
(bentuk aliran persamaan selisih);
(di sini istilah dengan perbedaan kedua disorot dengan jelas, yang memberikan stabilitas pada skema);
(persamaan dalam peningkatan terbatas).
Mari kita pertimbangkan juga metode koefisien tidak pasti untuk membuat skema perbedaan, sudut kanan orde ketelitian pertama untuk persamaan transpor
Skema tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk
Skema Courant-Isakson-Rees berkaitan erat dengan metode karakteristik numerik. Mari kita beri gambaran singkat tentang gagasan metode tersebut.
Dua skema terakhir yang diperoleh (dengan tanda kecepatan transfer yang berbeda) dapat diinterpretasikan sebagai berikut. Mari kita buat suatu karakteristik yang melewati simpul (t n + 1, x m), yang nilainya harus ditentukan, dan memotong lapisan t n di titik tersebut 
. Untuk lebih pastinya, kita asumsikan bahwa laju transfer c adalah positif.
Melakukan interpolasi linier antara node x m - 1 dan x m pada lapisan bawah tepat waktu, kita peroleh
Selanjutnya, kita pindahkan nilai u n (x") sepanjang karakteristik tanpa mengubah ke lapisan atas t n + 1, yaitu kita masukkan 
. Wajar jika menganggap nilai terakhir sebagai solusi perkiraan persamaan homogen transfer. Pada kasus ini
atau, berpindah dari nomor Courant lagi ke parameter grid,
itu. dengan menggunakan metode lain kita sampai pada skema “sudut kiri” yang sudah diketahui, stabil untuk . Bila titik potong karakteristik yang meninggalkan simpul (t n + 1, x m, dengan lapisan ke-n pada waktunya terletak di sebelah kiri simpul (t n, x m - 1). Maka, untuk mencari penyelesaiannya bukan lagi interpolasi, melainkan ekstrapolasi yang ternyata tidak stabil.
Ketidakstabilan skema "sudut kanan" untuk c > 0 juga terlihat jelas. Untuk membuktikan hal ini, seseorang dapat menggunakan fitur spektral atau kondisi Courant, Friedrichs dan Levy. Alasan serupa dapat dilakukan untuk kasus c< 0 и схемы "правый уголок".
Tidak stabil sirkuit empat titik ternyata kapan 
, urutan perkiraannya. Persamaan grid untuk skema selisih akan berbentuk sebagai berikut:
Skema Lax-Wendroff terjadi ketika 
. Urutan perkiraan skema Lax-Wendroff adalah 
. Skema ini stabil pada kondisi Courant .
Skema ini dapat diperoleh baik dengan metode koefisien yang tidak dapat ditentukan, atau dengan memperhitungkan suku terdepan dari kesalahan perkiraan secara lebih akurat. Mari kita perhatikan proses derivasi skema Lax-Wendroff secara lebih rinci. Melakukan studi tentang skema perkiraan empat titik sebelumnya (dan studi ini cukup mendasar dan bertujuan untuk memperluas fungsi proyeksi ke grid solusi eksak dari masalah diferensial dalam deret Taylor), kita memperoleh yang utama jangka waktu kesalahannya
Saat menurunkan ekspresi untuk suku utama kesalahan aproksimasi, konsekuensi dari persamaan transpor diferensial asli digunakan
Yang diperoleh dengan membedakan persamaan asli (3.3) terlebih dahulu terhadap waktu t, kemudian terhadap koordinat x dan mengurangkan salah satu relasi yang dihasilkan dari relasi lainnya.
Selanjutnya, penggantian turunan kedua pada suku kedua di ruas kanan dengan ketelitian O(h 2), kita memperoleh skema selisih baru yang mendekati skema aslinya persamaan diferensial dengan presisi . Persamaan grid untuk skema Lax-Wendroff pada node internal grid komputasi adalah
Skema enam poin implisit terjadi pada q = 0; ketika urutan perkiraannya , pada .
Bagian kedua buku ini dikhususkan untuk konstruksi dan studi skema perbedaan persamaan diferensial biasa. Pada saat yang sama, kami akan memperkenalkan konsep dasar konvergensi, perkiraan dan stabilitas dalam teori skema perbedaan, yang bersifat umum. Keakraban dengan konsep-konsep ini, yang diperoleh sehubungan dengan persamaan diferensial biasa, akan memungkinkan di masa depan, ketika mempelajari skema perbedaan persamaan diferensial parsial, untuk fokus pada banyak fitur dan kesulitan yang menjadi ciri dari kelas masalah yang sangat beragam ini.
BAB 4. CONTOH DASAR SKEMA PERBEDAAN
Dalam bab ini kita akan melihat contoh pengantar skema perbedaan, yang dimaksudkan hanya untuk pengenalan awal dengan konsep dasar teori.
§ 8. Konsep urutan akurasi dan perkiraan
1. Urutan keakuratan skema perbedaan.
Bagian ini dikhususkan untuk masalah konvergensi solusi persamaan perbedaan ketika menyempurnakan mesh ke solusi persamaan diferensial yang didekatinya. Kami akan membatasi diri di sini untuk mempelajari dua skema perbedaan untuk solusi numerik dari masalah tersebut
Mari kita mulai dengan skema selisih paling sederhana berdasarkan penggunaan persamaan selisih
Mari kita bagi segmen tersebut menjadi beberapa langkah dengan panjang h. Lebih mudah untuk memilih di mana N adalah bilangan bulat. Titik pembagiannya kita beri nomor dari kiri ke kanan, jadi. Nilai yang diperoleh dari skema selisih pada suatu titik akan dilambangkan dengan Tetapkan nilai awal. Mari kita jelaskan. Persamaan selisih (2) mengandung arti adanya relasi
dari mana kita menemukan solusi persamaan (2) pada kondisi awal:
Solusi tepat untuk masalah (1) berbentuk . Itu mengambil nilainya
Sekarang mari kita cari perkiraan nilai kesalahan dari solusi perkiraan (3). Kesalahan ini pada intinya akan terjadi
Kami tertarik pada bagaimana penurunannya seiring dengan bertambahnya jumlah titik partisi, atau, yang sama, seiring dengan berkurangnya langkah grid perbedaan. Untuk mengetahuinya, mari kita nyatakan dalam bentuk
Dengan demikian, persamaan (3) akan berbentuk
yaitu, kesalahan (5) cenderung nol pada dan besarnya kesalahan adalah pangkat satu langkah.
Atas dasar ini, mereka mengatakan bahwa skema perbedaan memiliki akurasi urutan pertama (jangan bingung dengan urutan persamaan perbedaan yang ditentukan dalam § 1).
Sekarang mari kita selesaikan soal (1) menggunakan persamaan selisih
Hal ini tidak sesederhana kelihatannya pada pandangan pertama. Faktanya adalah bahwa skema yang dipertimbangkan adalah persamaan perbedaan orde kedua, yaitu memerlukan spesifikasi dua kondisi awal, sedangkan persamaan integral (1) adalah persamaan orde pertama dan untuk itu kita hanya menentukan . Itu wajar untuk dikatakan.
Tidak jelas bagaimana cara menanyakannya. Untuk memahami hal ini, kita akan menggunakan bentuk penyelesaian persamaan (7) yang eksplisit (lihat § 3 rumus):
Ekspansi (9) menurut rumus Taylor dari akar-akar persamaan karakteristik memungkinkan kita memberikan perkiraan representasi untuk Mari kita lakukan secara rinci penurunan representasi tersebut -
Dari dulu
Kami tidak akan melakukan perhitungan serupa untuk , tetapi kami akan segera menuliskan hasilnya:
Mengganti ekspresi perkiraan ke dalam rumus (8), kita memperoleh
Kita akan memperoleh semua kesimpulan lebih lanjut dengan mempelajari rumus ini.
Perhatikan bahwa jika koefisien cenderung ke batas berhingga b, maka suku pertama di sisi kanan persamaan (12) cenderung ke solusi yang diinginkan untuk masalah (1).
Bagian No. 10. Solusi numerik persamaan diferensial parsial
Skema perbedaan untuk persamaan tipe elips |
|
Berbagai masalah nilai batas dan perkiraan kondisi batas |
|
Konstruksi skema perbedaan dalam kasus masalah Dirichlet untuk persamaan Poisson |
|
Metode sapuan matriks |
|
Metode berulang untuk menyelesaikan skema perbedaan untuk masalah Dirichlet |
|
Persamaan tipe parabola. Metode beda hingga eksplisit dan implisit |
|
Metode penyapuan persamaan parabola |
|
Indeks subjek |
Skema perbedaan. Konsep dasar
Misalkan D adalah daerah perubahan tertentu pada variabel bebas x,y, dibatasi oleh suatu kontur. Mereka mengatakan bahwa persamaan diferensial linier orde kedua untuk fungsi U(x, y) diberikan di domain D jika untuk setiap titik di domain D hubungan berikut berlaku:
∂2U |
∂2U |
∂2U |
|||||||||
∂x2 |
∂x2 |
||||||||||
G(x, y)U = f(x, y), |
|||||||||||
dimana a(x, y), b(x, y), . . . - koefisien, f(x, y) - suku bebas persamaan. Fungsi-fungsi ini diketahui dan biasanya dianggap terdefinisi dalam domain tertutup D = D +.
Grafik solusi mewakili permukaan dalam ruang Oxyz.
Kembali Pertama Sebelumnya Berikutnya Terakhir Ke Indeks
Mari kita nyatakan δ(x, y) = b2 − ac. Persamaan L(U) = f disebut elips, parabola atau |
hiperbolik dalam D jika kondisi δ(x, y) terpenuhi< 0, δ(x, y) = 0, δ(x, y) >0 untuk |
semua (x, y) D. |
Tergantung pada jenis persamaan diferensial, nilai batas awal ditetapkan secara berbeda |
(10.1): |
Persamaan Poisson (persamaan tipe elips) |
∂2 kamu ∂2 kamu |
∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y) |
Kembali Pertama Sebelumnya Berikutnya Terakhir Ke Indeks |
Persamaan panas (persamaan tipe parabola)
∂U = ∂ 2 U + f(x, t) ∂t ∂x2
Persamaan gelombang (persamaan tipe hiperbolik)
∂2 kamu ∂2 kamu
∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y)
Konvergensi, perkiraan dan stabilitas skema perbedaan
Misalkan U adalah penyelesaian persamaan diferensial
diberikan dalam D. Perhatikan himpunan tertentu Dh = (Mh) yang terdiri dari titik-titik terisolasi Mh yang termasuk dalam daerah tertutup D = D +. Banyaknya titik dalam Dh akan ditandai dengan nilai h; semakin kecil h, semakin besar jumlah poin di Dh. Himpunan Dh disebut grid, dan titik Mh Dh disebut node grid. Fungsi yang didefinisikan pada node disebut fungsi grid. Mari kita nyatakan dengan U ruang fungsi V (x, y) kontinu di D. Misalkan Uh menyatakan ruang yang dibentuk oleh himpunan fungsi kisi Vh (x, y) yang didefinisikan pada Dh. Pada metode grid, spasi U diganti dengan spasi Uh.
Misalkan U(x, y) adalah solusi eksak persamaan ((10.2)) dan U(x, y) milik U. Mari kita ajukan masalah mencari nilai Uh (x, y). Nilai-nilai ini bersama-sama membentuk tabel yang berisi jumlah nilai
Kembali Pertama Sebelumnya Berikutnya Terakhir Ke Indeks
sama dengan jumlah poin dalam Dh. Jarang sekali permasalahan yang diajukan secara tepat dapat diselesaikan. Sebagai aturan, dimungkinkan untuk menghitung beberapa nilai grid U(h) yang relatif dapat diasumsikan demikian
U(h) ≈ Uh (x, y).
Besaran U(h) disebut perkiraan nilai grid dari solusi U(x, y). Untuk menghitungnya, kita membangun sistem persamaan numerik, yang akan kita tulis dalam bentuk
Lh (U(h) ) = fh , |
||||||||||||||
ada perbedaan operator, |
sesuai dengan operator |
|||||||||||||
dibentuk oleh F dengan cara yang sama seperti U |
dibentuk menurut U. Kita sebut rumus (10.3) selisihnya |
|||||||||||||
skema. Misalkan norma k · kU h dan k · kF h masing-masing dimasukkan dalam ruang linier Uh dan Fh, yang merupakan analog grid dari norma k · kU dan k · kF dalam ruang aslinya. Kita akan mengatakan bahwa skema selisih (10.3) adalah konvergen jika kondisinya terpenuhi sebagai h → 0
kUh (x, y) − Uh kU h → 0.
Jika syaratnya terpenuhi
kUh (x, y) − Uh kU h 6 bab ,
dimana c adalah konstanta yang tidak bergantung pada h dan s > 0, maka kita katakan bahwa terdapat konvergensi dengan kecepatan orde s relatif terhadap h.
Mereka mengatakan bahwa skema selisih (10.3) mendekati masalah (10.2) pada solusi U(x, y) jika
Lh (Uh (x, y)) = f(h) + δf(h) dan |
δf(h) F h → 0 sebagai h → 0. |
|
Kembali Pertama Sebelumnya Berikutnya Terakhir Ke Indeks
Besaran δf(h) disebut kesalahan aproksimasi atau sisa skema selisih. Jika
δf (h) F h 6 Mh σ , dimana M adalah konstanta yang tidak bergantung pada h dan σ > 0, maka kita katakan skema selisih ( 10.3 ) pada solusi U(x, y) dengan kesalahan orde σ relatif terhadap h.
Skema selisih (3) disebut stabil jika terdapat h0 > 0 sehingga untuk semua h< h0 и любых f(h) Fh выполняются условия
Skema perbedaan (10.3) memiliki solusi unik; |
||||
kamu (h) kamu h |
f(h) F h , di mana M adalah konstanta yang tidak bergantung pada h dan f(h) . |
|||
Dengan kata lain, suatu skema perbedaan dikatakan stabil jika penyelesaiannya secara kontinyu bergantung pada data masukan. Stabilitas mencirikan sensitivitas skema terhadap berbagai jenis kesalahan; ini adalah properti internal dari masalah perbedaan dan properti ini tidak berhubungan langsung dengan masalah diferensial asli, tidak seperti konvergensi dan perkiraan. Ada hubungan antara konsep konvergensi, aproksimasi dan stabilitas. Terdiri dari fakta bahwa konvergensi muncul dari perkiraan dan stabilitas.
Teorema 1 Biarkan skema perbedaannya L h (U h (x, y)) = f (h) mendekati masalahnya L(U) = f pada solusi U(x, y) dengan orde s relatif terhadap h dan berkelanjutan. Kemudian skema ini akan konvergen, dan urutan konvergensinya akan bertepatan dengan urutan pendekatannya, yaitu. itu akan menjadi penilaian yang adil
Uh (x, y) − Uh U h 6 khs , |
||
dimana k adalah konstanta yang tidak bergantung pada h.
Bukti . Menurut definisi perkiraan yang kita miliki
Contoh 1. Skema perbedaan persamaan Poisson tipe elips.
Mari kita pertimbangkan konstruksi skema selisih untuk masalah nilai batas pertama persamaan tersebut A kamu = f(x,y) pada suatu luas persegi panjang yang sisi-sisinya sejajar sumbu koordinat. Biarkan persegi panjang ini dihubungkan dengan kotak seragam dengan langkah-langkahnya jam x Dan hai .
Masalah nilai batas
dapat ditulis dalam bentuk operator:
Perhatikan bahwa entri ini juga mencakup kondisi batas.
Mengganti operator diferensial dengan operator selisih, kita memperoleh persamaannya
yang mendekati persamaan diferensial asli dengan orde kedua 0(jam 2 + jam 2) akurasi dan beroperasi di semua titik internal wilayah.
Perbedaan analogi kondisi batas akan berbentuk
Perkiraan perbedaan persamaan diferensial bersama dengan analogi perbedaan kondisi batas membentuk skema perbedaan persamaan Poisson.
Dengan analogi masalah nilai batas, skema selisih dapat dituliskan dalam bentuk operator:
dimana dalam L/, persamaan selisih dan syarat batas selisih disertakan:
Persamaan selisih tersebut menghubungkan nilai fungsi grid pada lima titik pembentuk pola perbedaan untuk persamaan ini. Untuk kasus ini, pola ini disebut menyeberang. Kita dapat membayangkan pola lain untuk persamaan ini.
Kita akan memperoleh solusi perkiraan untuk masalah nilai batas diferensial jika kita menentukan nilai fungsi grid di semua node internal domain. Untuk melakukan ini, perlu untuk bersama-sama menyelesaikan sistem persamaan linier aljabar, yang dimensinya sama dengan jumlah simpul internal suatu wilayah. Dalam hal ini, kita berbicara tentang skema perbedaan implisit. Nilai apa pun yang kami minati Uij dapat ditentukan hanya dari solusi seluruh masalah perbedaan.
Mengenai sistem persamaan, kami mencatat dua keadaan.
- 1. Sistem mempunyai dimensi yang sangat tinggi (M - 1) x (N- 1), dan metode tradisional untuk penyelesaian eksak (misalnya, metode Gauss) memerlukan penyelesaian sejumlah operasi aljabar yang sebanding dengan pangkat ketiga dari dimensi sistem.
- 2. Matriks sistem mempunyai banyak elemen nol (matriks lepas). Keadaan ini memungkinkan untuk mengembangkan metode ekonomis untuk solusi perkiraan.
Rumusan masalah perbedaan yang dipertimbangkan adalah tipikal persamaan elips. Dalam dinamika gas, ini adalah bentuk persamaan fungsi aliran atau potensial kecepatan. Pada bagian lain kita akan melihat metode yang efisien untuk menyelesaikan skema perbedaan tersebut.
Beras. 2.8.
PRI M 2. Skema perbedaan persamaan parabola paling sederhana (konduktivitas termal non-stasioner dalam batang dengan satuan panjang).
Pertimbangkan masalah berikut:
Perhatikan bahwa dalam kasus persamaan parabola kita mempunyai daerah terbuka. Ketika menyusun skema perbedaan, muncul beberapa pilihan untuk menghubungkan turunan perbedaan dalam ruang dan waktu.
Mari kita integrasikan persamaan tersebut dalam satu langkah waktu:
Bergantung pada rumus kuadratur yang kita gunakan untuk menghitung integral di ruas kanan, kita akan memperoleh skema selisih yang berbeda (Gbr. 2.9).
Dengan menghubungkan turunan perbedaan waktu dengan turunan spasial yang ditentukan P-lapisan waktu, kita dapatkan
'skema perbedaan' yang eksplisit
Hal ini setara dengan perhitungan perkiraan integral pada ruas kanan (2.12), tetapi menggunakan metode persegi panjang kiri.
Beras. 2.9. Grid dan templat untuk persamaan panas: A - area dan jaringan; B- templat skema eksplisit; V- templat skema implisit; G- templat dari keluarga sirkuit enam titik; D- templat diagram
"melompati"
Rumus di atas juga berisi metode penyelesaian persamaan grid:
Nilai fungsi kisi pada lapisan waktu berikutnya
ditentukan melalui nilai gf yang diketahui sebelumnya. Bergerak secara berurutan berlapis-lapis dari kondisi awal milik mereka, 0) = kamu(x), solusinya dapat ditemukan di seluruh domain komputasi. Pola perbedaan untuk skema ini ditunjukkan pada Gambar. 2.9, B.
Memperkirakan integral melalui nilai integran pada lapisan P+1, kami menggunakan templat perbedaan seperti Gambar. 2.9, b, dan analogi selisih persamaan diferensial berbentuk
Untuk mencari nilai fungsi grid pada lapisan waktu berikutnya, saat menggunakan skema selisih ini, perlu diselesaikan secara bersama-sama persamaan bentuk (2.14) sebanyak jumlah node internal yang terletak di P - Lapisan sementara ke-1-1. Dengan mempertimbangkan kondisi batas = / n+1, Mg Г +1 = m n+1, sistem memungkinkan kita untuk membangun solusi pada lapisan waktu berikutnya dengan nilai fungsi grid yang diketahui pada lapisan waktu sebelumnya. Dengan berpindah dari nilai awal berlapis-lapis, yang masing-masingnya perlu menyelesaikan sistem persamaan, dimungkinkan untuk membangun solusi perkiraan di seluruh domain.
Skema perbedaan yang dipertimbangkan adalah sebuah contoh skema perbedaan implisit, ini disebut skema melihat ke depan atau skema yang murni implisit.
Pola perbedaan enam poin menghasilkan serangkaian skema perbedaan, yang mana dua skema sebelumnya merupakan kasus khusus:
Pada sebuah = 0 kami memiliki skema eksplisit, dengan a = saya- implisit dengan muka, dengan A> 0 - implisit. Pada A - 0,5 kita memperoleh yang simetris, yang dikenal luas dalam praktik komputasi Diagram Crank Nicholson.
Skema di atas, tentu saja, tidak menghabiskan seluruh variasi skema perbedaan berdasarkan perkiraan perbedaan operator diferensial. Berikut adalah contoh skema perbedaan eksplisit berdasarkan pemusatan turunan waktu, skema yang menggunakan fungsi grid pada tiga lapisan waktu:
Pola perbedaan menangkap tiga lapisan waktu. Skema ini memiliki perkiraan urutan kedua baik dalam waktu maupun dalam variabel spasial dan bersifat eksplisit. Skema ini memiliki sejumlah kelemahan signifikan, yang sebagian besar dapat dihilangkan dengan penggantian Dan” dalam perkiraan turunan spasial dengan nilai rata-rata pada dua lapisan waktu:
Dengan demikian diperoleh skema tiga lapis yang eksplisit
ditelepon Skema Dufortpe-Frankel, dan tidak adanya nilai fungsi grid di node pusat menjelaskan nama “leapfrog”, yang terkadang digunakan untuk skema semacam ini.
Dengan menggunakan contoh, ditunjukkan bahwa untuk masalah nilai batas yang sama dimungkinkan untuk menulis beberapa skema perbedaan yang berbeda, yaitu. Peneliti memiliki pilihan yang cukup banyak. Kondisi apa yang harus dipenuhi oleh skema perbedaan agar solusi perbedaan sesuai dengan solusi masalah diferensial awal? Masalah ini akan dibahas pada bagian berikutnya.
Dengan menggunakan templat untuk setiap simpul internal di wilayah solusi, persamaan panas didekati
Dari sini kita menemukan:
Dengan menggunakan kondisi awal dan batas, nilai fungsi grid ditemukan di semua node pada tingkat waktu nol.
Kemudian menggunakan relasi
nilai fungsi ini ditemukan di semua node internal pada level waktu pertama, setelah itu kita menemukan nilai di node batas
Hasilnya, kami menemukan nilai fitur di semua node pada level pertama kali. Setelah ini, dengan menggunakan hubungan ini kita menemukan semua nilai lainnya, dll.
Dalam skema selisih yang dipertimbangkan, nilai fungsi yang diinginkan pada tingkat waktu berikutnya ditemukan secara langsung, secara eksplisit menggunakan rumus
Oleh karena itu, skema selisih yang dipertimbangkan dengan menggunakan pola ini disebut skema perbedaan eksplisit . Akurasinya sangat tinggi.
Skema perbedaan ini mudah digunakan, namun memiliki kelemahan yang signifikan. Ternyata skema perbedaannya jelas mempunyai solusi yang stabil hanya jika itu, jika syaratnya terpenuhi :
Skema perbedaan eksplisit stabil secara kondisional . Jika kondisi tersebut tidak terpenuhi, maka kesalahan perhitungan kecil, misalnya yang terkait dengan pembulatan data komputer, menyebabkan perubahan tajam dalam solusi. Solusinya menjadi tidak dapat digunakan. Kondisi ini menerapkan pembatasan langkah waktu yang sangat ketat, yang mungkin tidak dapat diterima karena peningkatan waktu komputasi yang signifikan untuk menyelesaikan masalah ini.
Pertimbangkan skema perbedaan menggunakan pola yang berbeda
Metode 36
Skema perbedaan implisit untuk persamaan panas.
Mari kita substitusikan ke dalam persamaan konduksi panas:
Relasi ini ditulis untuk setiap node internal pada tingkat waktu dan dilengkapi dengan dua relasi yang menentukan nilai pada node batas. Hasilnya adalah sistem persamaan untuk menentukan nilai fungsi yang tidak diketahui pada tingkat waktu.
Skema penyelesaian masalah tersebut adalah sebagai berikut:
Dengan menggunakan kondisi awal dan kondisi batas, nilai fungsi ditemukan pada tingkat waktu nol. Kemudian, dengan menggunakan relasi dan syarat batas tersebut, dibangun sistem persamaan aljabar linier untuk mencari nilai fungsi pada tingkat waktu pertama, setelah itu sistem dibangun kembali menggunakan relasi tersebut, dan ditemukan nilainya. pada tingkat kedua kalinya, dll.
Perbedaan dari skema eksplisit- nilai pada level waktu berikutnya tidak dihitung secara langsung menggunakan rumus yang sudah jadi, tetapi ditemukan dengan menyelesaikan sistem persamaan, yaitu. nilai-nilai yang tidak diketahui ditemukan secara implisit dengan menyelesaikan SLAE. Oleh karena itu, skema perbedaan disebut implisit. Berbeda dengan eksplisit, implisit benar-benar stabil.
Topik No.9
Masalah optimasi.
Masalah-masalah ini adalah salah satu masalah terpenting dalam matematika terapan. Maksudnya optimasi memilih opsi terbaik dari semua solusi yang mungkin untuk suatu masalah tertentu. Untuk itu perlu dirumuskan permasalahan yang sedang dipecahkan secara matematis, memberikan makna kuantitatif pada konsep baik atau buruk. Biasanya, selama proses solusi, perlu untuk menemukan nilai parameter yang dioptimalkan. Parameter ini disebut desain. Dan jumlah parameter desain menentukan dimensi masalah.
Penilaian kuantitatif terhadap solusi dilakukan dengan menggunakan fungsi tertentu tergantung pada parameter desain. Fungsi ini disebut target . Dibangun sedemikian rupa sehingga nilai paling optimal sesuai dengan nilai maksimum (minimum).
- fungsi objektif.
Kasus paling sederhana adalah ketika fungsi tujuan bergantung pada satu parameter dan ditentukan oleh rumus eksplisit. Ada beberapa fungsi target.
Misalnya, ketika merancang sebuah pesawat terbang, penting untuk memastikan keandalan maksimum, bobot dan biaya minimum, dll. Jika demikian, masukkan sistem prioritas . Setiap fungsi tujuan diberi pengali target tertentu, sehingga menghasilkan fungsi tujuan yang digeneralisasi (fungsi trade-off).
Biasanya, solusi optimal dibatasi oleh sejumlah kondisi yang berkaitan dengan fungsi fisik dari masalah tersebut. Kondisi tersebut dapat berupa kesetaraan maupun kesenjangan
Teori dan metode penyelesaian masalah optimasi dengan adanya batasan menjadi bahan penelitian di salah satu cabang matematika terapan - pemrograman matematika.
Jika fungsi tujuan adalah linier terhadap parameter desain dan batasan yang dikenakan pada parameter juga linier, maka masalah pemrograman linier . Mari kita pertimbangkan metode untuk memecahkan masalah optimasi satu dimensi.
Diperlukan untuk mencari nilai di mana fungsi tujuan memiliki nilai maksimum. Jika fungsi tujuan ditentukan secara analitis dan ekspresi turunannya dapat ditemukan, maka solusi optimal akan dicapai pada ujung segmen atau pada titik di mana turunannya hilang. Ini adalah titik-titik kritis dan. Penting untuk menemukan nilai fungsi tujuan di semua titik kritis dan memilih nilai maksimum.
Secara umum, berbagai metode pencarian digunakan untuk mencari solusi. Akibatnya, segmen yang berisi solusi optimal menyempit.
Mari kita lihat beberapa metode pencarian. Mari kita asumsikan bahwa fungsi tujuan pada interval tersebut mempunyai satu maksimum. Dalam hal ini, membaginya dengan titik-titik simpul yang jumlahnya adalah , fungsi tujuan dihitung pada titik-titik simpul tersebut. Misalkan nilai maksimum fungsi tujuan berada pada titik simpul, maka kita dapat berasumsi bahwa solusi optimal terletak pada interval tersebut. Akibatnya, segmen yang berisi solusi optimal menjadi menyempit. Segmen baru yang dihasilkan dibagi lagi menjadi beberapa bagian, dan seterusnya. Dengan setiap partisi, segmen yang berisi solusi optimal dikurangi satu faktor.
Mari kita asumsikan bahwa langkah-langkah penyempitan telah dilakukan. Kemudian ruas asal dikurangi satu faktor.
Artinya, kita melakukannya saat sedang berjalan (*)
Dalam hal ini, fungsi tujuan dihitung.
Diperlukan untuk mencari nilai sedemikian rupa sehingga diperoleh ekspresi (*) yang paling kecil
sejumlah perhitungan.
Metode 37
Metode setengah pembagian.
Mari pertimbangkan metode pencarian untuk . Disebut metode separuh, karena pada setiap langkah segmen yang mengandung solusi optimal dibelah dua.
Efisiensi pencarian dapat ditingkatkan dengan memilih secara khusus titik-titik di mana fungsi tujuan dihitung pada langkah penyempitan tertentu.
Metode 38
Metode bagian emas.
Salah satu cara yang efektif adalah metode rasio emas. Bagian emas suatu segmen adalah titik dimana kondisinya terpenuhi
Ada dua poin seperti itu: =0,382 +0,618
0,618 +0,382 .
Ruas tersebut dibagi dengan titik-titik dan kemudian ditemukan suatu titik yang fungsi tujuannya maksimum. Hasilnya, ditemukan segmen termodifikasi dengan panjang 0,618( - ).
Salah satu nilai bagian emas untuk segmen yang menyempit sudah diketahui, sehingga pada setiap langkah selanjutnya perlu menghitung fungsi tujuan hanya pada satu titik (titik kedua dari bagian emas).
Metode 39
Metode pendakian (penurunan) koordinat demi koordinat.
Mari kita beralih ke masalah optimasi dalam kasus di mana fungsi tujuan bergantung pada beberapa nilai parameter. Metode pencarian yang paling sederhana adalah metode pendakian (penurunan) koordinat demi koordinat.
