Secara material, hukum dasar dinamika dapat direpresentasikan sebagai

Mengalikan kedua ruas relasi ini di sebelah kiri secara vektorial dengan vektor jari-jari (Gbr. 3.9), kita peroleh

(3.32)

Di ruas kanan rumus ini kita mempunyai momen gaya relatif terhadap titik O. Kita ubah ruas kiri dengan menerapkan rumus turunan perkalian vektor

Tetapi sebagai produk vektor dari vektor paralel. Setelah ini kita dapatkan

(3.33)

Turunan pertama terhadap waktu momen momentum suatu titik terhadap suatu pusat sama dengan momen gaya terhadap pusat yang sama.

Contoh penghitungan momentum sudut suatu sistem. Hitung momen kinetik relatif terhadap titik O suatu sistem yang terdiri dari poros silinder bermassa M = 20 kg dan berjari-jari R = 0,5 m serta beban turun bermassa m = 60 kg (Gambar 3.12). Poros berputar mengelilingi sumbu Oz dengan kecepatan sudut ω = 10 s -1.

Gambar 3.12

; ;

Untuk data masukan tertentu, momentum sudut sistem

Teorema perubahan momentum sudut suatu sistem. Kami menerapkan resultan gaya eksternal dan internal pada setiap titik sistem. Untuk setiap titik sistem, Anda dapat menerapkan teorema perubahan momentum sudut, misalnya dalam bentuk (3.33)

Menjumlahkan semua titik sistem dan memperhitungkan bahwa jumlah turunannya sama dengan turunan dari jumlah tersebut, kita memperoleh

Dengan menentukan momen kinetik sistem dan sifat-sifat gaya luar dan dalam

Oleh karena itu, hubungan yang dihasilkan dapat direpresentasikan sebagai

Turunan pertama kali momentum sudut suatu sistem relatif terhadap suatu titik sama dengan momen utama gaya luar yang bekerja pada sistem relatif terhadap titik yang sama.

3.3.5. Pekerjaan paksa

1) Kerja dasar suatu gaya sama dengan hasil kali skalar gaya dan jari-jari diferensial vektor titik penerapan gaya (Gbr. 3.13)

Gambar 3.13

Ekspresi (3.36) juga dapat ditulis dalam bentuk padanan berikut

dimana adalah proyeksi gaya terhadap arah kecepatan titik penerapan gaya.

2) Kerja gaya pada perpindahan akhir

Mengintegrasikan kerja dasar gaya, kita memperoleh persamaan kerja gaya pada perpindahan akhir dari titik A ke titik B berikut ini

3) Usaha dengan gaya konstan

Jika gayanya konstan, maka dari (3.38) berikut ini

Kerja suatu gaya konstan tidak bergantung pada bentuk lintasan, tetapi hanya bergantung pada vektor perpindahan titik penerapan gaya.

4) Kerja gaya berat

Untuk gaya berat (Gbr. 3.14) dan dari (3.39) kita peroleh

Gambar 3.14

Jika perpindahan terjadi dari titik B ke titik A, maka

Secara umum

Tanda “+” menunjukkan pergerakan ke bawah dari titik penerapan gaya, tanda “-” menunjukkan ke atas.

4) Usaha gaya elastis

Misalkan sumbu pegas diarahkan sepanjang sumbu x (Gbr. 3.15), dan ujung pegas bergerak dari titik 1 ke titik 2, maka dari (3.38) kita peroleh

Jika kekakuan pegas adalah Dengan, sehingga kemudian

A (3.41)

Jika ujung pegas berpindah dari titik 0 ke titik 1, maka dalam persamaan ini kita ganti , , maka kerja gaya elastis akan berbentuk

(3.42)

dimana perpanjangan pegas.

Gambar 3.15

5) Usaha gaya yang diterapkan pada benda yang berputar. Pekerjaan saat ini.

Pada Gambar. Gambar 3.16 menunjukkan sebuah benda berputar yang diberi gaya sembarang. Selama rotasi, titik penerapan gaya ini bergerak membentuk lingkaran.

Turunan pertama momentum sudut suatu titik terhadap suatu pusat sama dengan momen gaya terhadap pusat yang sama:

Memproyeksikan (171) ke sumbu koordinat kartesius persegi panjang, kita memperoleh teorema tentang perubahan momentum sudut suatu titik relatif terhadap sumbu koordinat berikut:

,
,
. (171")

Teorema perubahan momentum sudut suatu sistem

Turunan pertama momentum sudut suatu sistem terhadap suatu titik sama dengan jumlah vektor momen gaya-gaya luar yang bekerja pada sistem terhadap titik yang sama.

, (172)

Di mana
– momen utama dari semua gaya eksternal sistem.

Memproyeksikan (172) ke sumbu koordinat kartesius persegi panjang, kita memperoleh teorema tentang perubahan momentum sudut sistem relatif terhadap sumbu koordinat ini, yaitu.

,
,
. (172")

Hukum kekekalan momen kinetik

1. Jika momen utama gaya-gaya luar sistem relatif terhadap suatu titik sama dengan nol, yaitu
, maka, menurut (79), momentum sudut sistem
relatif terhadap titik yang sama besar dan arahnya tetap, yaitu

. (173)

Kasus khusus dari teorema perubahan momentum sudut suatu sistem disebut hukum kekekalan momentum sudut. Dalam proyeksi ke sumbu koordinat kartesius persegi panjang menurut hukum ini

,
,
,

Di mana ,,– nilai konstan.

2. Jika jumlah momen semua gaya luar sistem relatif terhadap sumbu
sama dengan nol, yaitu
, lalu dari (172") berikut ini

. (174)

Karena itu, momen kinetik sistem terhadap sembarang sumbu koordinat adalah konstan jika jumlah momen gaya-gaya luar terhadap sumbu tersebut adalah nol, yang, khususnya, diamati ketika gaya luar sejajar dengan sumbu atau memotongnya. Dalam kasus tertentu suatu benda atau sistem benda yang semuanya dapat berputar pada sumbu tetap, dan jika pada waktu yang sama

,

, atau
, (175)

Di mana Dan – momen inersia suatu sistem benda dan kecepatan sudutnya relatif terhadap sumbu rotasi pada momen waktu yang berubah-ubah ;Dan – momen inersia benda dan kecepatan sudutnya pada momen waktu yang dipilih sebagai momen awal.

Persamaan diferensial rotasi benda tegar pada sumbu tetap

Dari teorema perubahan momentum sudut (172") berikut persamaan diferensial rotasi benda tegar pada sumbu tetap
:

, (176)

Di mana – sudut rotasi tubuh.

Persamaan diferensial untuk gerak rotasi benda tegar dalam kasus umum memungkinkan penyelesaian dua masalah utama: dari rotasi benda tertentu, tentukan torsi gaya luar, dan dari momen rotasi tertentu serta kondisi awal, temukan perputaran tubuh. Saat menyelesaikan soal kedua, untuk mencari sudut rotasi, perlu mengintegrasikan persamaan diferensial gerak rotasi. Metode integrasinya sangat mirip dengan metode yang dipertimbangkan untuk mengintegrasikan persamaan diferensial gerak lurus suatu titik.

Teorema perubahan momentum sudut suatu sistem yang bergerak relatif terhadap pusat massa

Biarkan sistem mekanik bergerak relatif terhadap sistem koordinat utama
. Mari kita ambil sistem koordinat bergerak
dengan titik asal di pusat massa sistem , bergerak secara translasi relatif terhadap sistem koordinat utama. Anda dapat membuktikan keabsahan rumus tersebut:

Di mana – kecepatan absolut pusat massa,
.

Besarnya
adalah momen kinetik sistem relatif terhadap pusat massa untuk gerak relatif relatif terhadap sistem koordinat yang bergerak translasi sepanjang pusat massa, yaitu sistem
.

Rumus (176) menunjukkan hal itu momentum sudut gerak absolut suatu sistem relatif terhadap suatu titik tetap sama dengan jumlah vektor momentum sudut pusat massa relatif terhadap titik yang sama, jika seluruh massa sistem terkonsentrasi pada pusat massa, dan momentum sudut sistem relatif terhadap pusat massa untuk gerak relatif sistem relatif terhadap sistem koordinat gerak yang bergerak translasi dengan pusat massa.

Teorema perubahan momentum sudut suatu sistem relatif terhadap pusat massa selama gerak relatif sistem dalam kaitannya dengan sistem koordinat yang bergerak translasi dengan pusat massa; dirumuskan dengan cara yang sama seolah-olah pusat massa adalah suatu titik tetap:

atau
, (178)

Di mana
adalah momen utama dari semua gaya luar relatif terhadap pusat massa.

Teorema umum tentang dinamika sistem benda. Teorema tentang pergerakan pusat massa, tentang perubahan momentum, tentang perubahan momentum sudut utama, tentang perubahan energi kinetik. Prinsip D'Alembert dan kemungkinan pergerakannya. Persamaan umum dinamika. Persamaan Lagrange.

Isi

Pekerjaan yang dilakukan oleh kekuatan, sama dengan hasil kali skalar vektor-vektor gaya dan perpindahan titik penerapannya yang sangat kecil:
,
yaitu, hasil kali nilai absolut vektor F dan ds dengan kosinus sudut di antara keduanya.

Usaha yang dilakukan oleh momen gaya, sama dengan hasil kali skalar vektor torsi dan sudut rotasi yang sangat kecil:
.

prinsip d'Alembert

Inti dari prinsip d'Alembert adalah mereduksi masalah dinamika menjadi masalah statika. Untuk melakukan ini, diasumsikan (atau diketahui sebelumnya) bahwa benda-benda dalam sistem mempunyai percepatan (sudut) tertentu. Selanjutnya, gaya inersia dan (atau) momen gaya inersia diperkenalkan, yang besarnya sama dan berlawanan arah dengan gaya dan momen gaya yang, menurut hukum mekanika, akan menghasilkan percepatan atau percepatan sudut tertentu.

Mari kita lihat sebuah contoh. Benda mengalami gerak translasi dan dipengaruhi oleh gaya luar. Selanjutnya kita berasumsi bahwa gaya-gaya ini menciptakan percepatan pada pusat massa sistem. Menurut teorema gerak pusat massa, pusat massa suatu benda akan mempunyai percepatan yang sama jika ada gaya yang bekerja pada benda tersebut. Selanjutnya kita perkenalkan gaya inersia:
.
Setelah ini, masalah dinamika:
.
;
.

Untuk gerak rotasi lakukan dengan cara yang sama. Biarkan benda berputar mengelilingi sumbu z dan dipengaruhi oleh momen gaya eksternal M e zk .
.
Kami berasumsi bahwa momen-momen ini menciptakan percepatan sudut ε z.
;
.

Selanjutnya kita perkenalkan momen gaya inersia M И = - J z ε z.

Setelah ini, masalah dinamika:

Berubah menjadi masalah statis:.
Prinsip kemungkinan gerakan

Prinsip kemungkinan perpindahan digunakan untuk menyelesaikan masalah statika. Dalam beberapa permasalahan, ini memberikan solusi yang lebih singkat daripada menyusun persamaan kesetimbangan. Hal ini terutama berlaku untuk sistem dengan koneksi (misalnya, sistem benda yang dihubungkan oleh benang dan balok) yang terdiri dari banyak benda Prinsip kemungkinan gerakan

Untuk keseimbangan suatu sistem mekanis dengan ikatan ideal, jumlah kerja dasar semua gaya aktif yang bekerja padanya untuk setiap kemungkinan pergerakan sistem harus sama dengan nol. Kemungkinan relokasi sistem

- ini adalah gerakan kecil di mana koneksi yang dikenakan pada sistem tidak terputus.

Prinsip D'Alembert-Lagrange merupakan gabungan antara prinsip D'Alembert dengan prinsip kemungkinan pergerakan. Artinya, ketika menyelesaikan masalah dinamis, kita memasukkan gaya inersia dan mereduksi masalah tersebut menjadi masalah statis, yang kita selesaikan dengan menggunakan prinsip kemungkinan perpindahan.

Prinsip D'Alembert-Lagrange.
Ketika suatu sistem mekanis dengan koneksi ideal bergerak, pada setiap momen waktu, jumlah kerja dasar semua gaya aktif yang diterapkan dan semua gaya inersia pada setiap kemungkinan pergerakan sistem adalah nol:
.
Persamaan ini disebut persamaan umum dinamika.

Persamaan Lagrange

Koordinat q yang digeneralisasi 1 , q 2 , ..., qn adalah himpunan n besaran yang secara unik menentukan posisi sistem.

Jumlah koordinat umum n bertepatan dengan jumlah derajat kebebasan sistem.

Kecepatan umum adalah turunan dari koordinat umum terhadap waktu t.

Kekuatan umum Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Mari kita perhatikan kemungkinan pergerakan sistem, di mana koordinat q k akan menerima pergerakan δq k.
Koordinat lainnya tetap tidak berubah. Misalkan δA k adalah usaha yang dilakukan oleh gaya luar selama gerakan tersebut. Kemudian
.

δA k = Q k δq k , atau
Jika, dengan kemungkinan pergerakan sistem, semua koordinat berubah, maka usaha yang dilakukan oleh gaya luar selama pergerakan tersebut berbentuk: δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

Maka gaya umum adalah turunan parsial dari usaha perpindahan: Untuk kekuatan potensial
.

dengan potensi Π, Persamaan Lagrange

adalah persamaan gerak sistem mekanik dalam koordinat umum:
.

Di sini T adalah energi kinetik. Ini adalah fungsi dari koordinat umum, kecepatan dan, mungkin, waktu. Oleh karena itu, turunan parsialnya juga merupakan fungsi dari koordinat umum, kecepatan, dan waktu. Selanjutnya, Anda perlu memperhitungkan bahwa koordinat dan kecepatan adalah fungsi waktu. Oleh karena itu, untuk mencari turunan total terhadap waktu, Anda perlu menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks:
Referensi:

S. M. Targ, Kursus singkat mekanika teoretis, “Sekolah Tinggi”, 2010.

Teorema perubahan momentum suatu sistem

Konsep impuls gaya memungkinkan kita merumuskan teorema tentang perubahan momentum suatu sistem untuk sistem arbitrer:

Teorema perubahan momentum sudut (momentum sudut) suatu titik material

Pertimbangkan suatu hal yang material M massa M , bergerak di bawah pengaruh kekuatan F (Gambar 3.1). Mari kita tuliskan dan bangun vektor momentum sudut (momentum kinetik) M 0 titik material relatif terhadap pusat HAI :

Gambar 3.1

Mari kita bedakan ekspresi momentum sudut (momen kinetik k 0) berdasarkan waktu:

Karena dr /dt = V , maka produk vektornya V ⊗ m⋅V (vektor kolinear V Dan m⋅V ) sama dengan nol. Dalam waktu yang bersamaan d(m⋅V) /dt = F menurut teorema momentum suatu titik material. Oleh karena itu kami mengerti

dk 0 /dt = R ⊗F , (3.3)

Di mana R ⊗F = M 0 (F) – momen gaya vektor F relatif terhadap pusat tetap HAI . Vektor k 0 ⊥ bidang ( R,M ⊗V ), dan vektornya M 0 (F) ⊥ pesawat ( R ,F ), akhirnya kita punya

dk 0 /dt = M 0 (F) . (3.4)

Persamaan (3.4) menyatakan teorema tentang perubahan momentum sudut (momentum kinetik) suatu titik material relatif terhadap pusat: turunan waktu dari momen momentum (momen kinetik) suatu titik material terhadap suatu pusat tetap sama dengan momen gaya yang bekerja pada titik tersebut relatif terhadap pusat yang sama.

Memproyeksikan persamaan (3.4) ke sumbu koordinat Cartesian, kita peroleh

dkx /dt = Mx(F); dk y /dt = Saya y(F); dk z /dt = Mz(F) . (3.5)

Persamaan (3.5) menyatakan teorema tentang perubahan momentum sudut (momentum kinetik) suatu titik material terhadap sumbu: turunan waktu dari momen momentum (momen kinetik) suatu titik material terhadap sumbu tetap sama dengan momen gaya yang bekerja pada titik tersebut relatif terhadap sumbu yang sama.

Mari kita perhatikan konsekuensi berikut dari Teorema (3.4) dan (3.5).

Akibat wajar 1. Pertimbangkan kasus ketika gaya F selama seluruh pergerakan titik melewati pusat stasioner HAI (kasus kekuatan pusat), mis. Kapan M 0 (F) = 0. Maka dari Teorema (3.4) berikut ini k 0 = konstanta ,

itu. dalam kasus gaya pusat, momentum sudut (momen kinetik) suatu titik material relatif terhadap pusat gaya ini tetap besar dan arahnya tetap (Gambar 3.2).

Gambar 3.2

Dari kondisi tersebut k 0 = konstanta maka lintasan suatu titik bergerak adalah kurva datar, yang bidangnya melewati pusat gaya ini.

Akibat wajar 2. Membiarkan Mz(F) = 0, yaitu gaya melintasi sumbu z atau sejajar dengannya. Dalam hal ini, seperti dapat dilihat dari persamaan ketiga (3.5), kz = konstanta ,

itu. jika momen gaya yang bekerja pada suatu titik relatif terhadap sumbu tetap selalu nol, maka momentum sudut (momen kinetik) titik terhadap sumbu tersebut tetap konstan.

Pertimbangkan suatu hal yang material M massa M, bergerak di bawah pengaruh kekuatan F(Gambar 3.1). Mari kita tuliskan dan bangun vektor momentum sudut (momentum kinetik) M0 titik material relatif terhadap pusat HAI:

Gambar 3.1

Mari kita bedakan persamaan momentum sudut (momen kinetik k 0) Oleh waktu:

Karena dr/dt=V, maka produk vektornya V × m∙V(vektor kolinear V Dan m∙V) sama dengan nol. Dalam waktu yang bersamaan d(m∙V)/dt=F menurut teorema momentum suatu titik material. Oleh karena itu kami mengerti

dk 0 /dt = r×F, (3.3)

Di mana r×F = M 0 (F)– momen gaya vektor F relatif terhadap pusat tetap HAI. Vektor k 0⊥ pesawat ( r, m×V), dan vektornya M0(F)⊥ pesawat ( r, F), akhirnya kita punya

dk 0 /dt = M 0 (F). (3.4)

Persamaan (3.4) menyatakan teorema tentang perubahan momentum sudut (momentum sudut) suatu titik material relatif terhadap pusat: turunan waktu dari momen momentum (momen kinetik) suatu titik material terhadap suatu pusat tetap sama dengan momen gaya yang bekerja pada titik tersebut relatif terhadap pusat yang sama.

Memproyeksikan persamaan (3.4) ke sumbu koordinat Cartesian, kita peroleh

dk x /dt = M x (F);

dk kamu /dt = Saya kamu (F);

dk z /dt = Mz (F). (3.5)

Persamaan (3.5) menyatakan teorema tentang perubahan momentum sudut (momentum kinetik) suatu titik material terhadap sumbu: turunan waktu dari momen momentum (momen kinetik) suatu titik material terhadap sumbu tetap sama dengan momen gaya yang bekerja pada titik tersebut relatif terhadap sumbu yang sama.

Mari kita perhatikan konsekuensi berikut dari Teorema (3.4) dan (3.5).

Akibat wajar 1

Pertimbangkan kasus ketika gaya F selama seluruh pergerakan titik melewati pusat stasioner HAI(kasus kekuatan pusat), mis. Kapan M 0 (F) = 0. Kemudian dari Teorema (3.4) berikut ini k 0 = konstanta, itu. dalam kasus gaya pusat, momentum sudut (momen kinetik) suatu titik material relatif terhadap pusat gaya ini tetap konstan besar dan arahnya.(Gambar 3.2).

Gambar 3.2

Dari kondisi tersebut k 0 = konstanta maka lintasan suatu titik bergerak adalah kurva datar, yang bidangnya melewati pusat gaya ini.

Akibat wajar 2

Membiarkan M z (F) = 0, yaitu gaya melintasi sumbu z atau sejajar dengannya.

Dalam hal ini, seperti dapat dilihat dari persamaan ketiga (3.5), kz = konstanta, itu. jika momen gaya yang bekerja pada suatu titik relatif terhadap sumbu tetap selalu nol, maka momentum sudut (momen kinetik) titik terhadap sumbu tersebut tetap konstan.