102. Klarifikasi awal.

Pada bagian sebelumnya, kita telah membahas pecahan dengan semua penyebut yang mungkin dan menyebutnya pecahan biasa. Kami tertarik pada setiap pecahan yang muncul dalam proses pengukuran atau pembagian, apa pun penyebut yang kami peroleh.

Sekarang, dari seluruh himpunan pecahan, kita akan memilih pecahan dengan penyebut: 10, 100, 1.000, 10.000, dll., yaitu pecahan tersebut, yang penyebutnya hanya angka yang diwakili oleh kesatuan (1) diikuti oleh nol (satu atau beberapa). Pecahan seperti itu disebut desimal.

Berikut adalah contoh desimal:

Kami telah bertemu dengan pecahan desimal sebelumnya, tetapi tidak menunjukkan sifat khusus yang melekat di dalamnya. Sekarang kita akan menunjukkan bahwa mereka memiliki beberapa sifat yang luar biasa, yang menyederhanakan semua perhitungan dengan pecahan.

103. Gambar pecahan desimal tanpa penyebut.

Pecahan desimal biasanya ditulis tidak dengan cara yang sama seperti pecahan biasa, tetapi menurut aturan penulisan bilangan bulat.

Untuk memahami cara menulis pecahan desimal tanpa penyebut, Anda perlu mengingat bagaimana bilangan bulat ditulis dalam sistem desimal. Jika, misalnya, kita menulis angka tiga digit hanya dengan menggunakan angka 2, yaitu angka 222, maka masing-masing angka tersebut akan memiliki arti khusus tergantung pada tempat yang ditempatinya dalam angka tersebut. Dua yang pertama dari kanan berarti satuan, yang kedua untuk puluhan, dan yang ketiga untuk ratusan. Jadi, setiap digit di sebelah kiri digit lain menunjukkan satuan sepuluh kali lebih besar dari yang ditunjukkan oleh digit sebelumnya. Jika ada digit yang hilang, maka nol ditulis sebagai gantinya.

Jadi, dalam bilangan bulat, unit berada di tempat pertama di sebelah kanan, puluhan di tempat kedua, dll.

Sekarang mari kita ajukan pertanyaan kategori satuan apa yang akan diperoleh jika misalnya kita berada di bilangan 222 dengan Baik sisi kita akan menambahkan satu nomor lagi. Untuk menjawab pertanyaan ini, Anda perlu memperhitungkan bahwa dua yang terakhir (yang pertama dari kanan) menunjukkan satuan.

Oleh karena itu, jika setelah deuce, yang menunjukkan satuan, kita, mundur sedikit, menulis beberapa nomor lain, misalnya 3, maka itu akan menunjukkan satuan, sepuluh kali lebih kecil dari yang sebelumnya, dengan kata lain, itu akan menunjukkan persepuluh unit; hasilnya adalah angka yang mengandung 222 unit utuh dan 3 persepuluh unit.

Merupakan kebiasaan untuk menempatkan koma di antara bilangan bulat dan bagian pecahan dari angka tersebut, yaitu, tulis seperti ini:

Jika setelah tiga kali lipat dalam angka ini kita tambahkan angka lain, misalnya 4, maka itu berarti 4 seperseratus pecahan dari satu unit; nomor akan terlihat seperti:

dan diucapkan: dua ratus dua puluh dua koma, tiga puluh empat ratus.

Digit baru, misalnya 5, ditugaskan ke nomor ini, memberi kita seperseribu: 222.345 (dua ratus dua puluh dua koma tiga ratus empat puluh lima ribu).

Untuk lebih jelasnya, susunan bilangan bilangan bulat dan bilangan pecahan dapat disajikan dalam bentuk tabel:

Jadi, kami telah menjelaskan bagaimana pecahan desimal ditulis tanpa penyebut. Mari kita tulis beberapa pecahan ini.

Untuk menulis pecahan tanpa penyebut 5/10, Anda harus memperhitungkan bahwa ia tidak memiliki bilangan bulat dan, oleh karena itu, tempat bilangan bulat harus ditempati oleh nol, yaitu 5/10 = 0,5.

Pecahan 2 9/100 tanpa penyebut akan ditulis seperti ini: 2.09, yaitu, nol harus menggantikan persepuluhan. Jika kita melewatkan 0, kita akan mendapatkan pecahan yang sama sekali berbeda, yaitu 2,9, yaitu dua bilangan bulat dan sembilan persepuluh.

Jadi, saat menulis pecahan desimal, Anda perlu menyatakan bilangan bulat dan angka pecahan yang hilang dengan nol:

0,325 - tidak ada bilangan bulat,
0,012 - tidak ada bilangan bulat dan tidak ada persepuluh,
1.208 - tidak ada perseratus,
0.20406 - tidak ada bilangan bulat, tidak ada perseratus, dan tidak ada perseribu.

Angka-angka di sebelah kanan titik desimal disebut tempat desimal.

Untuk menghindari kesalahan saat menulis pecahan desimal, Anda harus ingat bahwa setelah titik desimal pada gambar pecahan desimal harus ada angka sebanyak nol dalam penyebut jika kita menulis pecahan ini dengan penyebut, yaitu.

0,1 \u003d 1 / 10 (penyebut memiliki satu nol dan satu digit setelah titik desimal);

104. Menetapkan nol ke pecahan desimal.

Pada paragraf sebelumnya telah dijelaskan bagaimana pecahan desimal tanpa penyebut ditampilkan. Nol sangat penting saat menulis pecahan desimal. Setiap pecahan desimal biasa memiliki nol di tempat bilangan bulat untuk menunjukkan bahwa pecahan tersebut tidak memiliki bilangan bulat. Kami sekarang akan menulis beberapa desimal yang berbeda menggunakan angka: 0, 3 dan 5.

0,35 - 0 bilangan bulat, 35 perseratus,
0,035 - 0 bilangan bulat, 35 perseribu,
0,305 - 0 bilangan bulat, 305 per seribu,
0,0035 - 0 bilangan bulat, 35 per sepuluh ribu.

Sekarang mari kita cari tahu apa arti dari nol yang ditempatkan di akhir pecahan desimal, yaitu di sebelah kanan.

Jika kita mengambil bilangan bulat, misalnya 5, beri koma setelahnya, lalu tulis nol setelah koma, maka nol ini berarti nol persepuluh. Oleh karena itu, nol yang diberikan ke kanan ini tidak akan mempengaruhi nilai angka, mis.

Sekarang mari kita ambil angka 6.1 dan tambahkan nol padanya di sebelah kanan, kita mendapatkan 6.10, yaitu kita memiliki 1/10 setelah titik desimal, dan menjadi 10/100, tetapi 10/100 sama dengan 1/10. Ini berarti bahwa nilai angka tidak berubah, dan dari penugasan ke kanan nol, hanya jenis angka dan pengucapan yang berubah (6,1 - enam koma sepersepuluh; 6,10 - enam koma sepuluh perseratus).

Dengan alasan yang sama, kita dapat memastikan bahwa pemberian nol ke kanan ke pecahan desimal tidak mengubah nilainya. Oleh karena itu, kita dapat menulis persamaan berikut:

1 = 1,0,
2,3 = 2,300,
6.7 = 6.70000 dst.

Jika kita menetapkan nol di sebelah kiri pecahan desimal, maka mereka tidak akan memiliki arti apa pun. Memang, jika kita menulis nol di sebelah kiri angka 4.6, maka angka tersebut akan berbentuk 04.6. Dimana nol? Itu berdiri di tempat puluhan, yaitu, ini menunjukkan bahwa tidak ada puluhan dalam angka ini, tetapi ini jelas bahkan tanpa nol.

Namun, harus diingat bahwa terkadang angka nol diberikan pada pecahan desimal di sebelah kanan. Misalnya, ada empat pecahan: 0,32; 2.5; 13.1023; 5.238. Kami menetapkan nol di sebelah kanan untuk pecahan yang memiliki tempat desimal lebih sedikit setelah titik desimal: 0,3200; 2.5000; 13.1023; 5.2380.

Untuk apa? Menetapkan nol ke kanan, kami mendapat empat digit setelah titik desimal untuk setiap angka, yang berarti bahwa setiap pecahan akan memiliki penyebut 10.000, dan sebelum menetapkan nol, penyebut pecahan pertama adalah 100, yang kedua 10, yang ketiga 10.000 dan 1.000 keempat. Jadi, dengan menetapkan nol, kami menyamakan jumlah tempat desimal dari pecahan kami, yaitu, membawanya ke penyebut yang sama. Oleh karena itu, pengurangan pecahan desimal ke penyebut yang sama dilakukan dengan menetapkan nol untuk pecahan ini.

Di sisi lain, jika beberapa pecahan desimal memiliki nol di sebelah kanan, maka kita dapat membuangnya tanpa mengubah nilainya, misalnya: 2,60 = 2,6; 3,150 = 3,15; 4.200 = 4.2.

Bagaimana seharusnya seseorang memahami pembuangan angka nol di sebelah kanan pecahan desimal? Ini setara dengan pengurangannya, dan ini dapat dilihat jika kita menulis pecahan desimal ini dengan penyebut:

105. Perbandingan besaran pecahan desimal.

Saat menggunakan pecahan desimal, sangat penting untuk dapat membandingkan pecahan satu sama lain dan menjawab pertanyaan mana yang sama, mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil. Membandingkan desimal dilakukan secara berbeda dari membandingkan bilangan bulat. Misalnya, bilangan bulat dua digit selalu lebih besar dari bilangan satu digit, tidak peduli berapa banyak yang ada dalam bilangan satu digit; angka tiga angka lebih dari angka dua angka, dan terlebih lagi angka satu angka. Tetapi ketika membandingkan pecahan desimal, akan menjadi kesalahan untuk menghitung semua tanda yang digunakan untuk menulis pecahan.

Mari kita ambil dua pecahan: 3,5 dan 2,5, dan bandingkan ukurannya. Mereka memiliki tempat desimal yang sama, tetapi pecahan pertama memiliki 3 bilangan bulat, dan pecahan kedua memiliki 2. Pecahan pertama lebih besar dari yang kedua, mis.

Mari kita ambil pecahan lainnya: 0,4 dan 0,38. Untuk membandingkan pecahan ini, akan berguna untuk menetapkan nol di sebelah kanan pecahan pertama. Kemudian kita akan membandingkan pecahan 0,40 dan 0,38. Masing-masing memiliki dua digit setelah koma, yang berarti bahwa pecahan ini memiliki penyebut yang sama 100.

Kita hanya perlu membandingkan pembilangnya, tetapi pembilangnya 40 lebih besar dari 38. Jadi pecahan pertama lebih besar dari pecahan kedua, yaitu.

Pecahan pertama memiliki lebih dari sepersepuluh daripada yang kedua, namun, pecahan kedua memiliki 8 perseratus lebih banyak, tetapi mereka kurang dari sepersepuluh, karena 1/10 \u003d 10/100.

Sekarang mari kita bandingkan pecahan seperti ini: 1,347 dan 1,35. Kami menetapkan nol di sebelah kanan pecahan kedua dan membandingkan pecahan desimal: 1,347 dan 1,350. Bagian bilangan bulatnya sama, jadi Anda hanya perlu membandingkan bagian pecahan: 0,347 dan 0,350. Penyebut pecahan ini adalah umum, tetapi pembilang pecahan kedua lebih besar dari pembilang pertama, yang berarti bahwa pecahan kedua lebih besar dari yang pertama, yaitu 1,35\u003e 1,347.

Terakhir, mari kita bandingkan dua pecahan lagi: 0,625 dan 0,62473. Kami menambahkan dua nol ke pecahan pertama sehingga angkanya sama, dan membandingkan pecahan yang dihasilkan: 0,62500 dan 0,62473. Penyebutnya sama, tetapi pembilang pecahan pertama 62 500 lebih besar dari pembilang pecahan kedua 62473. Oleh karena itu, pecahan pertama lebih besar dari pecahan kedua, yaitu 0,625\u003e 0,62473.

Berdasarkan uraian di atas, kita dapat menarik kesimpulan sebagai berikut: dari dua pecahan desimal, pecahan yang lebih banyak bilangan bulatnya lebih besar; ketika bilangan bulat sama, pecahan itu lebih besar, di mana jumlah persepuluh lebih besar; ketika bilangan bulat dan persepuluh sama, pecahan itu lebih besar, di mana jumlah perseratus lebih besar, dll.

106. Menambah dan mengurangi pecahan desimal sebanyak 10, 100, 1.000, dst. kali.

Kita sudah tahu bahwa menambahkan nol ke desimal tidak mempengaruhi nilainya. Ketika kami mempelajari bilangan bulat, kami melihat bahwa setiap nol yang ditempatkan di sebelah kanan meningkatkan jumlahnya sebanyak 10 kali. Tidak sulit untuk memahami mengapa ini terjadi. Jika kita mengambil bilangan bulat, misalnya 25, dan menambahkan nol di sebelah kanannya, maka jumlahnya akan bertambah 10 kali lipat, angka 250 adalah 10 kali lebih besar dari 25. Ketika nol muncul di sebelah kanan, angka 5, yang digunakan untuk menunjukkan satuan, sekarang mulai menunjukkan puluhan, dan angka 2, yang dulu berarti puluhan, sekarang berarti ratusan. Jadi, berkat munculnya nol, angka lama diganti dengan yang baru, menjadi lebih besar, mereka pindah satu tempat ke kiri. Ketika perlu untuk meningkatkan pecahan desimal, misalnya, 10 kali, maka kita juga harus memindahkan angka satu tempat ke kiri, tetapi gerakan seperti itu tidak dapat dicapai dengan nol. Pecahan desimal terdiri dari bagian bilangan bulat dan bagian pecahan, dipisahkan dengan koma. Di sebelah kiri titik desimal adalah angka bilangan bulat terendah, di sebelah kanan adalah angka pecahan tertinggi. Pertimbangkan pecahan:

Bagaimana kita bisa memindahkan angka-angka di dalamnya, setidaknya satu tempat, yaitu, dengan kata lain, bagaimana kita bisa meningkatkannya 10 kali? Jika kita memindahkan koma satu tempat ke kanan, maka pertama-tama ini akan mempengaruhi nasib lima: jatuh dari area bilangan pecahan ke area bilangan bulat. Nomor tersebut kemudian akan berbentuk: 12345.678. Perubahan terjadi dengan semua nomor lain, dan tidak hanya dengan lima. Semua angka yang termasuk dalam angka mulai memainkan peran baru, berikut ini terjadi (lihat tabel):

Semua peringkat mengubah nama mereka, dan semua unit peringkat, bisa dikatakan, naik satu tempat. Dari ini, seluruh jumlah meningkat 10 kali lipat. Jadi, memindahkan koma satu karakter ke kanan akan menambah angka sebanyak 10 kali.

Mari kita lihat beberapa contoh lagi:

1) Ambil pecahan 0,5 dan pindahkan koma satu tempat ke kanan; kita mendapatkan angka 5, yaitu 10 kali lebih dari 0,5, karena sebelumnya lima berarti sepersepuluh dari satu unit, dan sekarang itu berarti seluruh unit.

2) Pindahkan koma pada angka 1.234 dua digit ke kanan; jumlahnya menjadi 123.4. Angka ini 100 kali lebih besar dari yang sebelumnya, karena di dalamnya angka 3 mulai menunjukkan satuan, angka 2 - puluhan, dan angka 1 - ratusan.

Jadi, untuk menambah pecahan desimal sebesar 10, Anda perlu memindahkan koma di dalamnya satu tempat ke kanan; untuk meningkatkannya sebanyak 100 kali, Anda perlu memindahkan koma dua tempat ke kanan; untuk meningkatkan 1.000 kali - tiga digit ke kanan, dll.

Jika pada saat yang sama tidak ada cukup tanda untuk nomor tersebut, maka angka nol diberikan di sebelah kanan. Misalnya, mari kita naikkan pecahan 1,5 kali 100 kali dengan memindahkan koma dua digit; kita mendapatkan 150. Mari kita naikkan pecahan 0,6 kali 1.000 kali; kita dapat 600.

kembali jika diperlukan mengurangi pecahan desimal sebanyak 10, 100, 1.000, dll. kali, maka Anda perlu memindahkan koma ke kiri di dalamnya dengan satu, dua, tiga, dll. karakter. Biarkan pecahan 20.5 diberikan; mari kita kurangi 10 kali lipat; untuk melakukan ini, kita pindahkan koma satu tanda ke kiri, pecahan akan berbentuk 2.05. Mari kita kurangi pecahan 0,015 sebanyak 100 kali; kita mendapatkan 0,00015. Mari kita kurangi angka 334 sebanyak 10 kali; kita mendapatkan 33.4.

Pecahan ditulis dalam bentuk 0.8; 0,13; 2.856; 5.2; 0,04 disebut desimal. Faktanya, pecahan desimal adalah representasi sederhana dari pecahan biasa. Notasi ini mudah digunakan untuk semua pecahan yang penyebutnya 10, 100, 1000, dan seterusnya.

Perhatikan contoh (0,5 dibaca sebagai, nol koma lima);

(0,15 dibaca sebagai, nol koma lima belas perseratus);

(5.3 dibaca sebagai, lima koma tiga).

Perhatikan bahwa dalam notasi pecahan desimal, koma memisahkan bagian bilangan bulat dari bilangan pecahan, bagian bilangan bulat dari pecahan biasa adalah 0. Notasi bagian pecahan dari pecahan desimal mengandung digit sebanyak yang ada adalah nol pada penyebut dari pecahan biasa yang sesuai.

Pertimbangkan sebuah contoh, , , .

Dalam beberapa kasus, mungkin perlu untuk mempertimbangkan bilangan asli sebagai pecahan desimal, di mana bagian pecahan sama dengan nol. Merupakan kebiasaan untuk menuliskan bahwa, 5 = 5.0; 245 = 245.0 dan seterusnya. Perhatikan bahwa dalam notasi desimal dari bilangan asli, satuan dari angka penting paling kecil adalah 10 kali lebih kecil dari satuan angka paling penting yang berdekatan. Pecahan desimal memiliki sifat yang sama. Oleh karena itu, segera setelah titik desimal muncul tempat kesepuluh, lalu tempat keseratus, lalu tempat perseribu, dan seterusnya. Di bawah ini adalah nama-nama digit angka 31.85431, dua kolom pertama adalah bagian bilangan bulat, kolom yang tersisa adalah bagian pecahan.

Pecahan ini dibaca tiga puluh satu koma delapan puluh lima ribu empat ratus tiga puluh satu ratus ribu.

Penjumlahan dan pengurangan desimal

Cara pertama adalah mengubah desimal menjadi persamaan dan menambahkannya.

Seperti yang terlihat dari contoh, cara ini sangat merepotkan dan lebih baik menggunakan cara kedua, yang lebih tepat, tanpa mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa. Untuk menambahkan dua desimal:

• menyamakan jumlah digit setelah titik desimal dalam istilah;
• tulis suku di bawah satu sama lain sehingga setiap digit suku kedua berada di bawah digit yang sesuai dengan suku pertama;
• menambahkan angka yang dihasilkan dengan cara yang sama seperti menambahkan bilangan asli;
• letakkan koma di bawah koma dalam istilah dalam jumlah yang dihasilkan.

Pertimbangkan contoh:

• menyamakan jumlah angka yang dikurangi dan dikurangi setelah koma;
• tulis pengurangan di bawah minuend sehingga setiap bit dari subtrahend berada di bawah bit yang sesuai dari minuend;
• pengurangan dengan cara yang sama seperti pengurangan bilangan asli;
• letakkan koma di bawah koma di minuend dan kurangi di selisih yang dihasilkan.

Pertimbangkan contoh:

Dalam contoh yang dibahas di atas, dapat dilihat bahwa penambahan dan pengurangan pecahan desimal dilakukan sedikit demi sedikit, yaitu, dengan cara yang sama seperti kita melakukan operasi serupa dengan bilangan asli. Ini adalah keuntungan utama dari notasi desimal untuk pecahan.

perkalian desimal

Untuk mengalikan pecahan desimal dengan 10, 100, 1000, dan seterusnya, koma harus dipindahkan ke kanan dalam pecahan ini, masing-masing, dengan 1, 2, 3, dan seterusnya, angka-angkanya. Oleh karena itu, jika koma dipindahkan ke kanan dengan angka 1, 2, 3 dan seterusnya, maka fraksi akan meningkat masing-masing 10, 100, 1000 dan seterusnya. Untuk mengalikan dua desimal:

• kalikan mereka sebagai bilangan asli, abaikan koma;
• dalam produk yang dihasilkan, pisahkan sebanyak mungkin angka dengan koma di sebelah kanan sebanyak setelah koma di kedua faktor bersama-sama.

Ada kasus ketika produk berisi lebih sedikit digit daripada yang diperlukan untuk dipisahkan dengan koma, jumlah nol yang diperlukan ditambahkan ke kiri sebelum produk ini, dan kemudian koma dipindahkan ke kiri dengan jumlah digit yang diperlukan.

Perhatikan contoh: 2 * 4 = 8, lalu 0,2 * 0,4 = 0,08; 23 * 35 = 805, lalu 0,023 * 0,35 = 0,00805.

Ada kasus ketika salah satu faktornya sama dengan 0,1; 0,01; 0,001 dan seterusnya, akan lebih mudah untuk menggunakan aturan berikut.

• Untuk mengalikan desimal dengan 0,1; 0,01; 0,001 dan seterusnya, koma harus dipindahkan ke kiri dalam pecahan desimal ini, masing-masing, dengan angka 1, 2, 3 dan seterusnya.

Perhatikan contoh: 2,65 * 0,1 = 0,265; 457,6 * 0,01 = 4,576.

Sifat perkalian bilangan asli juga berlaku untuk pecahan desimal.

• ab=ba- sifat komutatif perkalian;
• (ab)c = a(bc)- sifat asosiatif perkalian;
• a (b + c) = ab + ac adalah sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Pembagian desimal

Diketahui bahwa jika kita membagi bilangan asli sebuah ke bilangan asli b berarti menemukan bilangan asli seperti itu c, yang jika dikalikan dengan b memberikan nomor sebuah. Aturan ini tetap benar jika setidaknya salah satu dari angka a, b, c adalah desimal.

Pertimbangkan sebuah contoh, Anda ingin membagi 43,52 dengan 17 sudut, mengabaikan koma. Dalam hal ini, koma dalam pribadi harus ditempatkan tepat sebelum digit pertama setelah titik desimal dalam dividen digunakan.

Ada kasus ketika dividen kurang dari pembagi, maka bagian bilangan bulat dari hasil bagi sama dengan nol. Pertimbangkan sebuah contoh:

Mari kita lihat contoh menarik lainnya.

Proses pembagian dihentikan karena jumlah dividen sudah habis, dan sisanya belum menerima nol. Diketahui bahwa pecahan desimal tidak akan berubah jika sejumlah nol diberikan padanya di sebelah kanan. Kemudian menjadi jelas bahwa jumlah dividen tidak dapat berakhir.

Untuk membagi pecahan desimal dengan 10, 100, 1000 dan seterusnya, Anda perlu memindahkan titik desimal ke kiri dalam pecahan ini dengan angka 1, 2, 3 dan seterusnya. Perhatikan sebuah contoh: 5,14: 10 = 0,514; 2: 100 = 0,02; 37,51: 1000 = 0,03751.

Jika dividen dan pembagi dinaikkan secara bersamaan sebanyak 10, 100, 1000 kali dan seterusnya, maka hasil bagi tidak akan berubah.

Mari kita perhatikan sebuah contoh: 39,44: 1,6 = 24,65 mari kita naikkan pembagian dan pembagi sebanyak 10 kali 394.4: 16 = 24,65 Dapat dikatakan bahwa membagi pecahan desimal dengan bilangan asli pada contoh kedua lebih mudah.

Untuk membagi desimal dengan desimal, Anda perlu:

• pindahkan koma dalam pembagian dan pembagi ke kanan sebanyak angka yang terdapat setelah titik desimal pada pembagi;
• dibagi dengan bilangan asli.

Perhatikan sebuah contoh: 23.6: 0.02 perhatikan bahwa ada dua tempat desimal di pembagi, oleh karena itu kami mengalikan kedua angka dengan 100 dan kami mendapatkan 2360: 2 = 1180 kami membagi hasilnya dengan 100 dan kami mendapatkan jawaban 11,80 atau 23,6: 0, 02 = 11,8.

Perbandingan Desimal

Ada dua cara untuk membandingkan desimal. Metode satu, Anda perlu membandingkan dua pecahan desimal 4,321 dan 4,32, menyamakan jumlah tempat desimal dan mulai membandingkan sedikit demi sedikit, persepuluhan dengan persepuluhan, perseratus dengan perseratus, dan seterusnya, sebagai hasilnya, kami mendapatkan 4.321\u003e 4.320.

Cara kedua untuk membandingkan pecahan desimal dilakukan dengan menggunakan perkalian, kalikan contoh di atas dengan 1000 dan bandingkan 4321\u003e 4320. Metode mana yang lebih nyaman, semua orang memilih sendiri.

Sebagai:

± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 …

di mana ± adalah tanda pecahan: + atau -,

, - titik desimal, yang berfungsi sebagai pemisah antara bagian bilangan bulat dan pecahan dari bilangan tersebut,

dk- angka desimal.

Pada saat yang sama, urutan digit sebelum koma (di sebelah kirinya) memiliki akhir (seperti min 1-per digit), dan setelah koma (di sebelah kanan) dapat berhingga (sebagai opsi, mungkin tidak ada angka setelah koma sama sekali), dan tak terbatas.

Nilai desimal ± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 … adalah bilangan real:

yang sama dengan jumlah suku berhingga atau tak berhingga.

Representasi bilangan real menggunakan pecahan desimal merupakan generalisasi dari notasi bilangan bulat dalam sistem bilangan desimal. Representasi desimal dari bilangan bulat tidak memiliki digit setelah titik desimal, dan dengan demikian, representasi ini terlihat seperti ini:

± d m … d 1 d 0 ,

Dan ini bertepatan dengan catatan angka kita dalam sistem angka desimal.

Desimal- ini adalah hasil pembagian 1 menjadi 10, 100, 1000 dan seterusnya bagian. Pecahan ini cukup nyaman untuk perhitungan, karena mereka didasarkan pada sistem posisi yang sama di mana penghitungan dan notasi bilangan bulat dibangun. Karena itu, notasi dan aturan untuk pecahan desimal hampir sama dengan bilangan bulat.

Saat menulis pecahan desimal, Anda tidak perlu menandai penyebutnya, itu ditentukan oleh tempat yang ditempati oleh gambar yang sesuai. Pertama, tulis bagian bilangan bulat dari angka tersebut, lalu letakkan titik desimal di sebelah kanan. Digit pertama setelah titik desimal menunjukkan jumlah persepuluh, yang kedua - jumlah perseratus, yang ketiga - jumlah perseribu, dan seterusnya. Angka-angka setelah koma adalah tempat desimal.

Sebagai contoh:

Salah satu kelebihan pecahan desimal adalah dapat dengan sangat mudah diubah menjadi pecahan biasa: bilangan setelah koma (kita adalah 5047) adalah pembilang; penyebut sama dengan n derajat 10, dimana n- jumlah tempat desimal (kami memiliki ini n=4):

Ketika tidak ada bagian bilangan bulat dalam pecahan desimal, maka kita menempatkan nol di depan titik desimal:

Sifat-sifat pecahan desimal.

1. Desimal tidak berubah ketika nol ditambahkan ke kanan:

13.6 =13.6000.

2. Desimal tidak berubah ketika angka nol di akhir desimal dihilangkan:

0.00123000 = 0.00123.

Perhatian! Nol yang BUKAN di akhir desimal tidak boleh dihilangkan!

3. Pecahan desimal bertambah 10, 100, 1000, dan seterusnya saat kita memindahkan titik desimal ke lubang 1, 2, 2, dan seterusnya ke posisi kanan, masing-masing:

3.675 → 367.5 (fraksi telah meningkat seratus kali lipat).

4. Pecahan desimal menjadi kurang dari sepuluh, seratus, seribu, dan seterusnya saat kita memindahkan titik desimal ke 1-sumur, 2, 3, dan seterusnya ke posisi kiri, masing-masing:

1536,78 → 1,53678 (pecahan menjadi seribu kali lebih kecil).

Jenis desimal.

Desimal dibagi dengan terakhir, tak berujung dan desimal periodik.

Akhir desimal - ini adalah pecahan yang berisi jumlah digit terbatas setelah titik desimal (atau tidak ada sama sekali), mis. terlihat seperti itu:

Bilangan real dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal hingga hanya jika bilangan ini rasional dan jika ditulis sebagai pecahan tak tereduksi p/q penyebut q tidak memiliki pembagi prima selain 2 dan 5.

Desimal tak terbatas.

Berisi kelompok angka yang berulang tak terhingga yang disebut Titik. Periode ditulis dalam tanda kurung. Misalnya, 0,12345123451234512345… = 0.(12345).

Desimal periodik- ini adalah pecahan desimal tak terbatas di mana urutan angka setelah titik desimal, mulai dari tempat tertentu, adalah kelompok angka yang berulang secara berkala. Dengan kata lain, pecahan periodik adalah desimal yang terlihat seperti ini:

Pecahan seperti itu biasanya ditulis secara singkat seperti ini:

Grup nomor b 1 … b l, yang berulang adalah periode pecahan, banyaknya angka pada kelompok ini adalah panjang periode.

Jika dalam pecahan periodik periodenya tepat setelah koma, maka pecahan tersebut adalah periodik murni. Bila ada bilangan di antara koma dan periode 1, maka pecahannya adalah periodik campuran, dan sekelompok angka setelah titik desimal hingga tanda periode 1 - pecahan praperiode.

Misalnya, pecahan 1,(23) = 1,2323… adalah periodik murni, dan pecahan 0,1(23)=0,12323… adalah periodik campuran.

Sifat utama pecahan periodik, karena itu mereka dibedakan dari seluruh himpunan pecahan desimal, terletak pada kenyataan bahwa pecahan periodik dan hanya mereka yang mewakili bilangan rasional. Lebih tepatnya, berikut ini terjadi:

Setiap desimal berulang tak terbatas mewakili bilangan rasional. Sebaliknya, bila suatu bilangan rasional didekomposisi menjadi pecahan desimal tak hingga, maka pecahan ini bersifat periodik.

Pada artikel ini, kita akan memahami apa itu pecahan desimal, fitur dan properti apa yang dimilikinya. Pergi!

Pecahan desimal adalah kasus khusus dari pecahan biasa (di mana penyebutnya adalah kelipatan 10).

Definisi

Desimal adalah pecahan yang penyebutnya berupa bilangan-bilangan yang terdiri dari satu dan sejumlah nol yang mengikutinya. Artinya, ini adalah pecahan dengan penyebut 10, 100, 1000, dst. Jika tidak, pecahan desimal dapat dicirikan sebagai pecahan dengan penyebut 10 atau salah satu dari pangkat sepuluh.

Contoh pecahan:

, ,

Pecahan desimal ditulis berbeda dari pecahan biasa. Operasi dengan pecahan ini juga berbeda dengan operasi dengan yang biasa. Aturan untuk operasi pada mereka sebagian besar dekat dengan aturan untuk operasi pada bilangan bulat. Ini, khususnya, menentukan relevansinya dalam memecahkan masalah praktis.

Representasi pecahan dalam notasi desimal

Tidak ada penyebut dalam notasi desimal, ini menampilkan nomor pembilang. Secara umum, pecahan desimal ditulis sebagai berikut:

di mana X adalah bagian bilangan bulat dari pecahan, Y adalah bagian pecahannya, "," adalah titik desimal.

Untuk representasi yang benar dari pecahan biasa sebagai desimal, harus benar, yaitu, dengan bagian bilangan bulat yang disorot (jika mungkin) dan pembilang yang lebih kecil dari penyebut. Kemudian, dalam notasi desimal, bagian bilangan bulat ditulis sebelum titik desimal (X), dan pembilang pecahan biasa ditulis setelah titik desimal (Y).

Jika pembilang menyatakan suatu bilangan yang jumlah angkanya lebih kecil dari angka nol penyebutnya, maka pada bagian Y angka yang hilang pada notasi desimal diisi dengan angka nol di depan angka-angka pembilangnya.

Contoh:

Jika pecahan biasa kurang dari 1, mis. tidak memiliki bagian bilangan bulat, maka 0 ditulis dalam bentuk desimal untuk X.

Di bagian pecahan (Y), setelah angka penting terakhir (selain nol), angka nol yang berubah-ubah dapat dimasukkan. Itu tidak mempengaruhi nilai pecahan. Dan sebaliknya: semua nol di akhir bagian pecahan dari pecahan desimal dapat dihilangkan.

Membaca desimal

Bagian X dibaca dalam kasus umum sebagai berikut: "X bilangan bulat."

Bagian Y dibaca sesuai dengan angka pada penyebut. Untuk penyebut 10, Anda harus membaca: "Y persepuluh", untuk penyebut 100: "Y seperseratus", untuk penyebut 1000: "Y seperseribu" dan seterusnya ...

Pendekatan lain untuk membaca dianggap lebih benar, berdasarkan penghitungan jumlah digit bagian pecahan. Untuk melakukan ini, Anda perlu memahami bahwa digit pecahan terletak di bayangan cermin sehubungan dengan digit bagian bilangan bulat dari pecahan.

Nama-nama untuk bacaan yang benar diberikan dalam tabel:

Berdasarkan ini, pembacaan harus didasarkan pada korespondensi dengan nama kategori digit terakhir dari bagian pecahan.

• 3.5 berbunyi "tiga koma lima"
• 0,016 berbunyi seperti "nol koma enam belas per seribu"

Mengubah pecahan biasa sewenang-wenang menjadi desimal

Jika penyebut pecahan biasa adalah 10 atau pangkat sepuluh, maka pecahan tersebut diubah seperti dijelaskan di atas. Dalam situasi lain, transformasi tambahan diperlukan.

Ada 2 cara untuk menerjemahkan.

Cara terjemahan pertama

Pembilang dan penyebut harus dikalikan dengan bilangan bulat sehingga penyebutnya adalah 10 atau salah satu dari pangkat sepuluh. Dan kemudian pecahan direpresentasikan dalam notasi desimal.

Cara ini berlaku untuk pecahan yang penyebutnya hanya terurai menjadi 2 dan 5. Jadi, pada contoh sebelumnya . Jika ada faktor prima lain dalam ekspansi (misalnya, ), maka Anda harus menggunakan metode ke-2.

Cara kedua terjemahan

Cara kedua adalah membagi pembilang dengan penyebut dalam kolom atau kalkulator. Bagian bilangan bulat, jika ada, tidak terlibat dalam transformasi.

Aturan pembagian panjang yang menghasilkan pecahan desimal dijelaskan di bawah ini (lihat Membagi Desimal).

Ubah desimal menjadi biasa

Untuk melakukan ini, bagian pecahannya (di sebelah kanan koma) harus ditulis sebagai pembilang, dan hasil membaca bagian pecahan harus ditulis sebagai angka yang sesuai dalam penyebut. Selanjutnya, jika memungkinkan, Anda perlu mengurangi fraksi yang dihasilkan.

Desimal Akhir dan Tak Terbatas

Pecahan desimal disebut final, bagian pecahan yang terdiri dari jumlah digit yang terbatas.

Semua contoh di atas berisi persis pecahan desimal akhir. Namun, tidak setiap pecahan biasa dapat direpresentasikan sebagai desimal akhir. Jika metode translasi ke-1 untuk pecahan tertentu tidak dapat diterapkan, dan metode ke-2 menunjukkan bahwa pembagian tidak dapat diselesaikan, maka hanya pecahan desimal tak terbatas yang dapat diperoleh.

Tidak mungkin untuk menulis pecahan tak hingga dalam bentuk lengkapnya. Dalam bentuk yang tidak lengkap, pecahan seperti itu dapat direpresentasikan:

1. sebagai hasil pengurangan ke jumlah tempat desimal yang diinginkan;
2. dalam bentuk pecahan periodik.

Pecahan disebut periodik, di mana, setelah titik desimal, urutan digit yang berulang tanpa batas dapat dibedakan.

Pecahan yang tersisa disebut non-periodik. Untuk pecahan non-periodik, hanya metode representasi pertama (pembulatan) yang diperbolehkan.

Contoh pecahan periodik: 0.8888888 ... Ada angka 8 berulang di sini, yang, jelas, akan berulang tanpa batas, karena tidak ada alasan untuk berasumsi sebaliknya. Nomor ini disebut periode pecahan.

Pecahan periodik adalah murni dan campuran. Pecahan desimal adalah murni, di mana periode dimulai segera setelah titik desimal. Pecahan campuran memiliki 1 atau lebih angka sebelum koma.

54.33333 ... - pecahan desimal murni periodik

2.5621212121 ... - pecahan campuran periodik

Contoh penulisan desimal tak hingga:

Contoh ke-2 menunjukkan cara membentuk periode dengan benar dalam pecahan periodik.

Mengubah desimal periodik menjadi biasa

Untuk mengubah pecahan periodik murni menjadi periode biasa, tuliskan dalam pembilangnya, dan tuliskan dalam penyebutnya suatu bilangan yang terdiri dari sembilan yang sama dengan banyaknya angka pada periode tersebut.

Desimal berulang campuran diterjemahkan sebagai berikut:

1. Anda perlu membentuk angka yang terdiri dari angka setelah titik desimal sebelum titik, dan titik pertama;
2. dari angka yang dihasilkan kurangi angka setelah titik desimal sebelum titik. Hasilnya akan menjadi pembilang dari pecahan biasa;
3. dalam penyebut, Anda harus memasukkan angka yang terdiri dari jumlah sembilan sama dengan jumlah digit periode, diikuti oleh nol, yang jumlahnya sama dengan jumlah digit angka setelah titik desimal sebelum periode pertama.

Perbandingan Desimal

Pecahan desimal awalnya dibandingkan dengan seluruh bagiannya. Semakin besar adalah pecahan yang memiliki bagian bilangan bulat yang lebih besar.

Jika bagian bilangan bulatnya sama, maka angka-angka dari angka yang sesuai dari bagian pecahan dibandingkan, mulai dari yang pertama (dari persepuluhan). Prinsip yang sama berlaku di sini: pecahan yang lebih besar, yang memiliki peringkat persepuluh yang lebih besar; jika angka persepuluhnya sama, angka perseratusnya dibandingkan, dan seterusnya.

Sejauh

, karena dengan bagian bilangan bulat yang sama dan sepersepuluh yang sama di bagian pecahan, pecahan ke-2 memiliki lebih banyak perseratus.

Penjumlahan dan pengurangan desimal

Desimal ditambahkan dan dikurangkan dengan cara yang sama seperti bilangan bulat, menulis angka yang sesuai satu di bawah yang lain. Untuk melakukan ini, Anda harus memiliki titik desimal di bawah satu sama lain. Kemudian unit (puluhan, dll.) dari bagian bilangan bulat, serta persepuluh (perseratus, dll.) dari bagian pecahan akan cocok. Digit yang hilang dari bagian pecahan diisi dengan nol. Secara langsung Proses penjumlahan dan pengurangan dilakukan dengan cara yang sama seperti pada bilangan bulat.

perkalian desimal

Untuk mengalikan pecahan desimal, Anda harus menuliskannya satu di bawah yang lain, sejajar dengan digit terakhir dan tidak memperhatikan lokasi titik desimal. Maka Anda perlu mengalikan angka dengan cara yang sama seperti saat mengalikan bilangan bulat. Setelah menerima hasilnya, Anda harus menghitung ulang jumlah digit setelah titik desimal di kedua pecahan dan pisahkan jumlah total digit pecahan dalam jumlah yang dihasilkan dengan koma. Jika tidak ada cukup angka, mereka diganti dengan nol.

Mengalikan dan membagi desimal dengan 10 n

Tindakan ini sederhana dan turun untuk memindahkan titik desimal. P Saat mengalikan, koma dipindahkan ke kanan (fraksi bertambah) dengan jumlah digit yang sama dengan jumlah nol dalam 10 n, di mana n adalah pangkat bilangan bulat yang berubah-ubah. Artinya, sejumlah digit ditransfer dari bagian pecahan ke bilangan bulat. Saat membagi, masing-masing, koma dipindahkan ke kiri (jumlahnya berkurang), dan beberapa digit dipindahkan dari bagian bilangan bulat ke bagian pecahan. Jika tidak ada cukup digit untuk ditransfer, maka digit yang hilang diisi dengan nol.

Membagi desimal dan bilangan bulat dengan bilangan bulat dan desimal

Membagi desimal dengan bilangan bulat sama dengan membagi dua bilangan bulat. Selain itu, hanya posisi titik desimal yang harus diperhitungkan: saat menghapus digit angka yang diikuti dengan koma, koma harus diletakkan setelah digit saat ini dari jawaban yang dihasilkan. Maka Anda harus terus membagi sampai Anda mendapatkan nol. Jika tidak ada cukup tanda dalam dividen untuk pembagian lengkap, angka nol harus digunakan sebagai tanda tersebut.

Demikian pula, 2 bilangan bulat dibagi menjadi kolom jika semua digit dari dividen telah dihancurkan, dan pembagian penuh belum selesai. Dalam hal ini, setelah pembongkaran digit terakhir dari dividen, titik desimal ditempatkan dalam jawaban yang dihasilkan, dan nol digunakan sebagai digit yang dihancurkan. Itu. dividen di sini, pada kenyataannya, direpresentasikan sebagai pecahan desimal dengan bagian pecahan nol.

Untuk membagi pecahan desimal (atau bilangan bulat) dengan angka desimal, perlu untuk mengalikan dividen dan pembagi dengan angka 10 n, di mana jumlah nol sama dengan jumlah digit setelah titik desimal di pembagi. Dengan cara ini, mereka menghilangkan titik desimal dalam pecahan yang ingin Anda bagi. Selanjutnya, proses pembagiannya sama seperti yang dijelaskan di atas.

Representasi grafis dari desimal

Secara grafis, pecahan desimal diwakili oleh garis koordinat. Untuk ini, segmen tunggal juga dibagi menjadi 10 bagian yang sama, seperti halnya sentimeter dan milimeter disimpan pada penggaris secara bersamaan. Ini memastikan bahwa desimal ditampilkan secara akurat dan dapat dibandingkan secara objektif.

Agar pembagian longitudinal pada segmen tunggal menjadi sama, orang harus mempertimbangkan dengan cermat panjang segmen tunggal itu sendiri. Itu harus sedemikian rupa sehingga kenyamanan pembagian tambahan dapat dipastikan.

pecahan

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Pecahan di sekolah menengah tidak terlalu mengganggu. Untuk saat ini. Sampai Anda menemukan eksponen dengan eksponen rasional dan logaritma. Dan disana…. Anda menekan, Anda menekan kalkulator, dan itu menunjukkan semua papan skor penuh dari beberapa angka. Anda harus berpikir dengan kepala Anda, seperti di kelas tiga.

Mari kita berurusan dengan pecahan, akhirnya! Nah, berapa banyak Anda bisa bingung di dalamnya !? Selain itu, semuanya sederhana dan logis. Jadi, apa itu pecahan?

Jenis-jenis pecahan. Transformasi.

Pecahan terdiri dari tiga jenis.

1. pecahan biasa , Sebagai contoh:

Terkadang, alih-alih garis horizontal, mereka memberi garis miring: 1/2, 3/4, 19/5, well, dan seterusnya. Di sini kita akan sering menggunakan ejaan ini. Angka teratas disebut pembilang, lebih rendah - penyebut. Jika Anda terus-menerus mengacaukan nama-nama ini (itu terjadi ...), katakan pada diri sendiri frasa dengan ungkapan: " zzzz ingat! zzzz penyebut - keluar zzzz kamu!" Lihat, semuanya akan diingat.)

Tanda hubung, yang mendatar, yang miring, berarti divisi angka atas (pembilang) ke angka bawah (penyebut). Dan itu saja! Alih-alih tanda hubung, sangat mungkin untuk meletakkan tanda pembagian - dua titik.

Ketika pembagian mungkin sepenuhnya, itu harus dilakukan. Jadi, alih-alih pecahan "32/8", jauh lebih menyenangkan untuk menulis angka "4". Itu. 32 dibagi 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Saya tidak berbicara tentang pecahan "4/1". Yang juga hanya "4". Dan jika tidak habis dibagi, kita biarkan sebagai pecahan. Terkadang Anda harus melakukan kebalikannya. Buatlah pecahan dari bilangan bulat. Tapi lebih lanjut tentang itu nanti.

2. desimal , Sebagai contoh:

Dalam formulir inilah Anda perlu menuliskan jawaban untuk tugas "B".

3. angka campuran , Sebagai contoh:

Angka campuran praktis tidak digunakan di sekolah menengah. Untuk bekerja dengan mereka, mereka harus dikonversi ke pecahan biasa. Tapi Anda pasti perlu tahu bagaimana melakukannya! Dan kemudian nomor seperti itu akan muncul dalam teka-teki dan menggantung ... Dari awal. Tapi kami ingat prosedur ini! Sedikit lebih rendah.

Paling serbaguna pecahan biasa. Mari kita mulai dengan mereka. Omong-omong, jika ada semua jenis logaritma, sinus, dan huruf lain dalam pecahan, ini tidak mengubah apa pun. Dalam arti bahwa segalanya tindakan dengan ekspresi pecahan tidak berbeda dari tindakan dengan pecahan biasa!

Sifat dasar pecahan.

Jadi ayo pergi! Pertama-tama, saya akan mengejutkan Anda. Seluruh variasi transformasi pecahan disediakan oleh satu properti! Itulah yang disebut sifat dasar pecahan. Ingat: Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan (dibagi) dengan bilangan yang sama, pecahan tersebut tidak akan berubah. Itu:

Jelas bahwa Anda dapat menulis lebih lanjut, sampai Anda membiru di wajah. Jangan biarkan sinus dan logaritma membingungkan Anda, kami akan membahasnya lebih lanjut. Hal utama yang harus dipahami adalah bahwa semua ekspresi yang berbeda ini adalah pecahan yang sama . 2/3.

Dan kita membutuhkannya, semua transformasi ini? Dan bagaimana! Sekarang Anda akan melihat sendiri. Pertama, mari kita gunakan sifat dasar pecahan untuk singkatan pecahan. Tampaknya hal itu dasar. Kami membagi pembilang dan penyebut dengan angka yang sama dan hanya itu! Tidak mungkin salah! Tapi... manusia adalah makhluk yang kreatif. Anda dapat membuat kesalahan di mana-mana! Apalagi jika Anda harus mengurangi bukan pecahan seperti 5/10, tetapi ekspresi pecahan dengan segala macam huruf.

Cara mengurangi pecahan dengan benar dan cepat tanpa melakukan pekerjaan yang tidak perlu dapat ditemukan di Bagian khusus 555.

Siswa normal tidak perlu repot membagi pembilang dan penyebut dengan angka (atau ekspresi) yang sama! Dia hanya mencoret semuanya sama dari atas dan bawah! Di sinilah kesalahan khas mengintai, kesalahan besar, jika Anda suka.

Misalnya, Anda perlu menyederhanakan ekspresi:

Tidak ada yang perlu dipikirkan, kami mencoret huruf "a" dari atas dan deuce dari bawah! Kita mendapatkan:

Semuanya benar. Tapi sungguh kamu berbagi keseluruhan pembilang dan keseluruhan penyebut "a". Jika Anda terbiasa mencoret saja, maka, terburu-buru, Anda dapat mencoret "a" dalam ekspresi

dan dapatkan lagi

Yang pasti salah. Karena disini keseluruhan pembilang pada "a" sudah tidak dibagikan! Pecahan ini tidak dapat direduksi. Omong-omong, singkatan seperti itu, um ... tantangan serius bagi guru. Ini tidak dimaafkan! Ingat? Saat mengurangi, perlu untuk membagi keseluruhan pembilang dan keseluruhan penyebut!

Mengurangi pecahan membuat hidup jauh lebih mudah. Anda akan mendapatkan pecahan di suatu tempat, misalnya 375/1000. Dan bagaimana bekerja dengannya sekarang? Tanpa kalkulator? Kalikan, katakan, tambahkan, persegi!? Dan jika Anda tidak terlalu malas, tetapi dengan hati-hati kurangi lima, dan bahkan lima, dan bahkan ... saat sedang dikurangi, singkatnya. Kami mendapatkan 3/8! Jauh lebih bagus, bukan?

Sifat dasar pecahan memungkinkan Anda mengubah pecahan biasa menjadi desimal dan sebaliknya tanpa kalkulator! Ini penting untuk ujian, kan?

Cara mengubah pecahan dari satu bentuk ke bentuk lainnya.

Sangat mudah dengan desimal. Seperti yang didengar, demikian pula tertulis! Katakanlah 0,25. Ini titik nol, dua puluh lima perseratus. Jadi kita tulis: 25/100. Kami mengurangi (membagi pembilang dan penyebut dengan 25), kami mendapatkan pecahan biasa: 1/4. Semuanya. Itu terjadi, dan tidak ada yang dikurangi. Seperti 0,3. Ini adalah tiga persepuluh, yaitu. 3/10.

Bagaimana jika bilangan bulat bukan nol? Tidak apa-apa. Tuliskan seluruh pecahan tanpa koma di pembilang, dan di penyebut - apa yang didengar. Misalnya: 3.17. Ini adalah tiga keseluruhan, tujuh belas perseratus. Kami menulis 317 di pembilang, dan 100 di penyebut, kami mendapatkan 317/100. Tidak ada yang dikurangi, itu berarti segalanya. Ini adalah jawabannya. Watson dasar! Dari semua hal di atas, kesimpulan yang bermanfaat: pecahan desimal apa pun dapat diubah menjadi pecahan biasa .

Tetapi konversi terbalik, biasa ke desimal, beberapa tidak dapat dilakukan tanpa kalkulator. Tapi Anda harus! Bagaimana Anda akan menuliskan jawaban pada ujian !? Kami dengan cermat membaca dan menguasai proses ini.

Apa itu pecahan desimal? Dia memiliki penyebut selalu bernilai 10 atau 100 atau 1000 atau 10.000 dan seterusnya. Jika pecahan biasa Anda memiliki penyebut seperti itu, tidak ada masalah. Misalnya, 4/10 = 0,4. Atau 7/100 = 0,07. Atau 12/10 = 1.2. Dan jika dalam jawaban tugas bagian "B" ternyata 1/2? Apa yang akan kita tulis sebagai tanggapan? desimal diperlukan...

Kita ingat sifat dasar pecahan ! Matematika memungkinkan Anda untuk mengalikan pembilang dan penyebut dengan angka yang sama. Untuk siapa pun, omong-omong! Kecuali nol, tentu saja. Mari gunakan fitur ini untuk keuntungan kita! Apa yang bisa dikalikan dengan penyebut, mis. 2 sehingga menjadi 10, atau 100, atau 1000 (lebih kecil lebih baik, tentu saja...)? 5, jelas. Jangan ragu untuk mengalikan penyebutnya (ini adalah kita perlu) dengan 5. Tapi, pembilangnya juga harus dikalikan 5. Ini sudah matematika tuntutan! Kami mendapatkan 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Itu saja.

Namun, segala macam penyebut muncul. Misalnya, pecahan 3/16 akan jatuh. Cobalah, cari tahu apa yang harus dikalikan 16 untuk mendapatkan 100, atau 1000... Tidak berhasil? Kemudian Anda cukup membagi 3 dengan 16. Jika tidak ada kalkulator, Anda harus membagi di sudut, di selembar kertas, seperti yang diajarkan di kelas dasar. Kami mendapatkan 0,1875.

Dan ada beberapa penyebut yang sangat buruk. Misalnya, pecahan 1/3 tidak dapat diubah menjadi desimal yang baik. Baik pada kalkulator dan selembar kertas, kami mendapatkan 0,33333333 ... Ini berarti bahwa 1/3 menjadi pecahan desimal yang tepat tidak menerjemahkan. Sama seperti 1/7, 5/6 dan seterusnya. Banyak dari mereka tidak dapat diterjemahkan. Oleh karena itu kesimpulan lain yang berguna. Tidak setiap pecahan biasa dikonversi ke desimal. !

Omong-omong, ini adalah informasi yang berguna untuk pemeriksaan diri. Di bagian "B" sebagai tanggapan, Anda perlu menuliskan pecahan desimal. Dan Anda mendapat, misalnya, 4/3. Pecahan ini tidak diubah ke desimal. Ini berarti bahwa di suatu tempat di sepanjang jalan Anda membuat kesalahan! Kembalilah, periksa solusinya.

Jadi, dengan pecahan biasa dan desimal diurutkan. Masih berurusan dengan angka campuran. Untuk bekerja dengan mereka, mereka semua harus dikonversi ke pecahan biasa. Bagaimana cara melakukannya? Anda dapat menangkap siswa kelas enam dan bertanya padanya. Tapi tidak selalu ada siswa kelas enam yang siap sedia... Kita harus melakukannya sendiri. Itu tidak sulit. Kalikan penyebut bagian pecahan dengan bagian bilangan bulat dan tambahkan pembilang bagian pecahan. Ini akan menjadi pembilang dari pecahan biasa. Bagaimana dengan penyebutnya? Penyebutnya akan tetap sama. Kedengarannya rumit, tetapi sebenarnya cukup sederhana. Mari kita lihat contohnya.

Biarkan masalah yang Anda lihat dengan ngeri nomornya:

Tenang, tanpa panik, kami mengerti. Seluruh bagian adalah 1. Satu. Bagian pecahan adalah 3/7. Oleh karena itu, penyebut bagian pecahan adalah 7. Penyebut ini akan menjadi penyebut pecahan biasa. Kami menghitung pembilangnya. Kami mengalikan 7 dengan 1 (bagian bilangan bulat) dan menambahkan 3 (pembilang bagian pecahan). Kami mendapatkan 10. Ini akan menjadi pembilang dari pecahan biasa. Itu saja. Itu terlihat lebih sederhana dalam notasi matematika:

Jelas? Kemudian amankan kesuksesan Anda! Ubah ke pecahan biasa. Anda harus mendapatkan 10/7, 7/2, 23/10 dan 21/4.

Operasi terbalik - mengubah pecahan biasa menjadi bilangan campuran - jarang diperlukan di sekolah menengah. Nah, jika... Dan jika Anda - tidak di sekolah menengah - Anda dapat melihat ke dalam Bagian 555 khusus. Omong-omong, di tempat yang sama, Anda akan belajar tentang pecahan biasa.

Yah, hampir semuanya. Anda ingat jenis pecahan dan mengerti sebagai mengubahnya dari satu jenis ke jenis lainnya. Pertanyaannya tetap: mengapa lakukan? Di mana dan kapan harus menerapkan pengetahuan yang mendalam ini?

Saya menjawab. Setiap contoh itu sendiri menunjukkan tindakan yang diperlukan. Jika pada contoh pecahan biasa, desimal, dan bahkan bilangan campuran digabung menjadi satu, kita terjemahkan semuanya ke dalam pecahan biasa. Itu selalu bisa dilakukan. Nah, jika sesuatu seperti 0,8 + 0,3 ditulis, maka kami berpikir begitu, tanpa terjemahan apa pun. Mengapa kita perlu kerja ekstra? Kami memilih solusi yang nyaman kita !

Jika tugasnya penuh dengan pecahan desimal, tapi um ... semacam yang jahat, pergi ke yang biasa, coba! Lihat, semuanya akan baik-baik saja. Misalnya, Anda harus mengkuadratkan angka 0,125. Tidak begitu mudah jika Anda belum kehilangan kebiasaan menggunakan kalkulator! Anda tidak hanya perlu mengalikan angka dalam kolom, tetapi juga memikirkan di mana harus memasukkan koma! Itu pasti tidak bekerja dalam pikiran saya! Dan jika Anda pergi ke pecahan biasa?

0,125 = 125/1000. Kami mengurangi 5 (ini untuk permulaan). Kami mendapatkan 25/200. Sekali lagi pada 5. Kami mendapatkan 5/40. Oh, itu menyusut! Kembali ke 5! Kami mendapatkan 1/8. Mudah persegi (dalam pikiran Anda!) dan dapatkan 1/64. Semuanya!

Mari kita simpulkan pelajaran ini.

1. Ada tiga jenis pecahan. Bilangan biasa, desimal, dan campuran.

2. Desimal dan bilangan campuran selalu dapat diubah menjadi pecahan biasa. Terjemahan Terbalik tidak selalu tersedia.

3. Pilihan jenis pecahan untuk mengerjakan tugas tergantung pada tugas ini. Jika ada berbagai jenis pecahan dalam satu tugas, hal yang paling dapat diandalkan adalah beralih ke pecahan biasa.

Sekarang Anda bisa berlatih. Pertama, ubah pecahan desimal ini menjadi pecahan biasa:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Anda harus mendapatkan jawaban seperti ini (berantakan!):

Pada ini kita akan selesai. Dalam pelajaran ini, kami memoles poin-poin penting tentang pecahan. Namun, kebetulan tidak ada yang istimewa untuk disegarkan ...) Jika seseorang benar-benar lupa, atau belum menguasainya ... Mereka dapat pergi ke Bagian 555 khusus. Semua dasar-dasarnya dirinci di sana. Banyak tiba-tiba mengerti segalanya mulai. Dan mereka memecahkan pecahan dengan cepat).

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.