Pelajaran video "Fungsi trigonometri dari argumen numerik" adalah materi visual untuk memastikan kejelasan saat menjelaskan topik dalam pelajaran. Selama demonstrasi, prinsip pembentukan nilai fungsi trigonometri dari suatu bilangan dipertimbangkan, sejumlah contoh dijelaskan yang mengajarkan cara menghitung nilai fungsi trigonometri dari suatu bilangan. Dengan bantuan manual ini, lebih mudah untuk membentuk keterampilan dalam memecahkan masalah yang relevan, untuk mencapai menghafal materi. Menggunakan manual meningkatkan efektivitas pelajaran, berkontribusi pada pencapaian tujuan pembelajaran yang cepat.

Judul topik ditampilkan di awal pelajaran. Kemudian tugasnya adalah menemukan kosinus yang sesuai dengan beberapa argumen numerik. Perlu dicatat bahwa masalah ini diselesaikan dengan sederhana dan ini dapat ditunjukkan dengan jelas. Layar menampilkan lingkaran satuan yang berpusat di titik asal. Pada saat yang sama, diketahui bahwa titik potong lingkaran dengan semi-sumbu positif sumbu absis terletak di titik A (1; 0). Contoh titik M diberikan, yang mewakili argumen t=π/3. Titik ini ditandai pada lingkaran satuan, dan garis tegak lurus terhadap sumbu absis turun darinya. Absis titik yang ditemukan adalah cosinus cos t. Dalam hal ini, absis titik tersebut adalah x=1/2. Oleh karena itu cos t=1/2.

Meringkas fakta yang dipertimbangkan, dicatat bahwa masuk akal untuk berbicara tentang fungsi s=cos t. Perlu dicatat bahwa siswa sudah memiliki beberapa pengetahuan tentang fungsi ini. Beberapa nilai cosinus cos 0=1, cos /2=0, cos /3=1/2 dihitung. Juga terkait dengan fungsi ini adalah fungsi s=sin t, s=tg t, s=ctg t. Perlu dicatat bahwa mereka memiliki nama umum untuk semua - fungsi trigonometri.

Hubungan penting ditunjukkan yang digunakan dalam menyelesaikan masalah dengan fungsi trigonometri: identitas dasar sin 2 t+ cos 2 t=1, ekspresi tangen dan kotangen dalam bentuk sinus dan cosinus tg t=sin t/cos t, di mana t≠ /2+πk untuk kϵZ, ctg t= cos t/sin t, di mana t≠πk untuk kϵZ, serta rasio tangen terhadap kotangen tg t ctg t=1 di mana t≠πk/2 untuk kϵZ.

Selanjutnya, diusulkan untuk mempertimbangkan bukti hubungan 1+ tan 2 t=1/ cos 2 t, dengan t≠π/2+πk untuk kϵZ. Untuk membuktikan identitasnya, perlu untuk menyatakan tg 2 t sebagai rasio sinus dan cosinus, dan kemudian membawa suku-suku di ruas kiri ke penyebut yang sama 1+ tg 2 t=1+sin 2 t/cos 2 t = (sin 2 t+cos 2 t )/ cos 2 t. Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, kita memperoleh 1 dalam pembilangnya, yaitu, ekspresi akhir 1/ cos 2 t. Q.E.D.

Identitas 1+ ctg 2 t=1/ sin 2 t dibuktikan dengan cara yang sama, dengan t≠πk untuk kϵZ. Seperti pada bukti sebelumnya, kotangen diganti dengan perbandingan cosinus dan sinus yang sesuai, dan kedua suku di ruas kiri direduksi menjadi penyebut yang sama 1+ ctg 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= ( sin 2 t+cos 2 t)/sin2t. Setelah menerapkan identitas trigonometri dasar ke pembilang, kita mendapatkan 1/ sin 2 t. Ini adalah ekspresi yang diinginkan.

Solusi dari contoh dipertimbangkan, di mana pengetahuan yang diperoleh diterapkan. Pada tugas pertama, Anda perlu menemukan nilai biaya, tgt, ctgt, jika sinus dari bilangan sint=4/5 diketahui, dan t termasuk dalam interval /2< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

Selanjutnya, kami mempertimbangkan solusi dari masalah serupa di mana tangen tgt=-8/15 diketahui, dan argumennya terbatas pada nilai 3π/2

Untuk mencari nilai sinus, kita menggunakan definisi tangen tgt = sint / cost. Dari sini kita menemukan sint= tgt cost=(-8/15)(15/17)=-8/17. Mengetahui bahwa kotangen adalah fungsi kebalikan dari garis singgung, kita menemukan ctgt=1/(-8/15)=-15/8.

Pelajaran video "Fungsi trigonometri dari argumen numerik" digunakan untuk meningkatkan efektivitas pelajaran matematika di sekolah. Dalam pembelajaran jarak jauh, materi ini dapat digunakan sebagai alat peraga untuk pembentukan keterampilan pemecahan masalah, di mana terdapat fungsi trigonometri suatu bilangan. Untuk memperoleh keterampilan ini, siswa dapat direkomendasikan untuk secara mandiri mempertimbangkan materi visual.

INTERPRETASI TEKS:

Topik pelajaran adalah "Fungsi trigonometri dari argumen numerik."

Setiap bilangan real t dapat diasosiasikan dengan bilangan yang didefinisikan secara unik cos t. Untuk melakukan ini, Anda harus melakukan langkah-langkah berikut:

1) pada bidang koordinat, atur lingkaran bilangan sehingga pusat lingkaran berimpit dengan titik asal, dan titik awal A lingkaran menyentuh titik (1; 0);

2) temukan titik pada lingkaran yang bersesuaian dengan bilangan t;

3) temukan absis dari titik ini. Ini adalah biaya t.

Oleh karena itu, kita akan berbicara tentang fungsi s \u003d cos t (es sama dengan cosinus te), di mana t adalah bilangan real apa pun. Kami sudah mendapat beberapa ide tentang fungsi ini:

• belajar bagaimana menghitung beberapa nilai, misalnya, cos 0=1, cos = 0, cos =, dll. (cosinus nol sama dengan satu, cosinus pi dengan dua sama dengan nol, cosinus pi dengan tiga sama dengan satu detik, dan seterusnya).
• dan karena nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen saling berhubungan, kami mendapat beberapa gagasan tentang tiga fungsi lagi: s= sint; s=tgt; s=ctgt. (es sama dengan sinus te, es sama dengan tangen te, es sama dengan kotangen te)

Semua fungsi ini disebut fungsi trigonometri dari argumen numerik t.

Dari definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen, beberapa hubungan berikut:

1)sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kuadrat te ditambah cosinus kuadrat te sama dengan satu)

2) tgt = pada t + k, kϵZ

3) ctgt = pada t πk, kϵZ (kotangen te sama dengan rasio cosinus te terhadap sinus te ketika te tidak sama dengan puncak ka, yang termasuk dalam z).

4) tgt ctgt = 1 untuk t , kϵZ

Kami membuktikan dua formula yang lebih penting:

Pertimbangkan contoh.

CONTOH 1. Cari biaya, tgt, ctgt jika sint = dan< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

Keputusan. Dari hubungan pertama, kami menemukan kuadrat kosinus te sama dengan satu dikurangi kuadrat sinus te: cos 2 t \u003d 1 - sin 2 t.

Jadi, cos 2 t = 1 -() 2 = (kosinus kuadrat dari te adalah sembilan dua puluh lima), yaitu, biaya = (kosinus dari te sama dengan tiga perlima) atau biaya = - (kosinus dari te sama dengan minus tiga perlima). Dengan syarat, argumen t milik kuartal kedua, dan di dalamnya cos t< 0 (косинус тэ отрицательный).

Jadi cosinus te sama dengan minus tiga perlima, biaya = - .

Hitung tangen te:

tgt = = (-)= - ;(singgung te sama dengan rasio sinus te terhadap kosinus te, yang berarti empat perlima dikurangi tiga perlima dan sama dengan dikurangi empat pertiga)

Dengan demikian, kami menghitung (kotangen dari angka te, karena kotangen te sama dengan rasio cosinus te dengan sinus te,) ctgt = = - .

(kotangen te dikurangi tiga perempat).

Jawaban: biaya = - , tgt= - ; ctgt = - . (Jawaban akan diisi sesuai keputusan Anda)

CONTOH 2. Diketahui bahwa tgt = - dan< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

Keputusan. Kami menggunakan rasio ini, menggantikan nilai dalam rumus ini, kami mendapatkan:

1 + (-) 2 \u003d (satu per kosinus kuadrat te sama dengan jumlah satu dan kuadrat dikurangi delapan per lima belas). Dari sini kita menemukan cos 2 t =

(kuadrat kosinus te adalah dua ratus dua puluh lima dua ratus delapan puluh sembilan). Jadi biaya = (cosinus te sama dengan lima belas tujuh belas) atau

biaya = . Dengan syarat, argumen t termasuk dalam kuartal keempat, di mana biaya>0. Oleh karena itu, biaya = .(cosenus te adalah lima belas tujuh belas)

Temukan nilai argumen sinus te. Karena dari perbandingan (tunjukkan perbandingan tgt = pada t ≠ + k, kϵZ) sinus te sama dengan hasil kali garis singgung te dengan cosinus te, maka substitusikan nilai argumen te..singgung dari te sama dengan minus delapan per lima belas .. dengan syarat, dan cosinus dari te sama dengan yang diselesaikan sebelumnya, kita dapatkan

sint = tgt biaya = (-) = - , (sinus te sama dengan minus delapan per tujuh belas)

ctgt == - . (karena kotangen te adalah kebalikan dari garis singgung, itu berarti bahwa kotangen te dikurangi lima belas delapan belas)

Definisi. Fungsi trigonometri dari argumen numerik adalah fungsi trigonometri dengan nama yang sama dari sudut yang sama dengan radian.

Mari kita perjelas definisi ini dengan contoh-contoh konkret.

Contoh 1. Hitung nilai . Di sini yang kami maksud adalah bilangan irasional abstrak. Menurut definisi. Jadi, .

Contoh 2. Hitung nilai . Di sini dengan 1,5 yang kami maksud adalah angka abstrak. Sebagaimana didefinisikan (lihat lampiran II).

Contoh 3. Hitung nilainya Sama dengan yang sebelumnya, kita peroleh (lihat Lampiran II).

Jadi, di masa depan, di bawah argumen fungsi trigonometri, kita akan memahami sudut (busur) atau hanya angka, tergantung pada masalah yang kita selesaikan. Dan dalam beberapa kasus, argumen dapat berupa nilai yang memiliki dimensi lain, seperti waktu, dll. Menyebut argumen sebagai sudut (arc), kita dapat mengartikannya sebagai bilangan yang diukur dalam radian.

Mundur ke depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili keseluruhan presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Tujuan Pelajaran:

1. Pengembangan keterampilan dan kemampuan menerapkan rumus trigonometri untuk menyederhanakan ekspresi trigonometri.
2. Implementasi prinsip pendekatan aktivitas dalam mengajar siswa, pengembangan keterampilan komunikasi dan toleransi siswa, kemampuan mendengarkan dan mendengar orang lain serta mengungkapkan pendapatnya.
3. Meningkatkan minat siswa terhadap matematika.

Jenis pelajaran: pelatihan.

Jenis pelajaran: pelajaran pengembangan keterampilan.

Bentuk studi: kelompok.

Tipe grup: kelompok duduk bersama. Murid dari berbagai tingkat pembelajaran, kesadaran dalam mata pelajaran ini, siswa yang kompatibel, yang memungkinkan mereka untuk saling melengkapi dan memperkaya.

Peralatan: papan; sepotong kapur; tabel "Trigonometer"; lembar rute; kartu dengan huruf (A, B, C.) untuk menyelesaikan tes; plat nama kru; lembar evaluasi; tabel dengan nama-nama tahapan jalan; magnet, kompleks multimedia.

Selama kelas

Siswa duduk berkelompok: 4 kelompok beranggotakan 5-6 orang. Setiap kelompok merupakan awak kendaraan dengan nama yang sesuai dengan nama fungsi trigonometri, dipimpin oleh seorang juru mudi. Setiap kru diberikan lembar rute dan tujuannya ditentukan: untuk melewati rute yang diberikan dengan sukses, tanpa kesalahan. Pelajaran disertai dengan presentasi.

I. Momen organisasi.

Guru melaporkan topik pelajaran, tujuan pelajaran, jalannya pelajaran, rencana kerja kelompok, peran juru mudi.

Pidato pengantar dari guru:

– Teman-teman! Tuliskan nomor dan topik pelajaran: "Fungsi trigonometri dari argumen numerik."

Hari ini dalam pelajaran kita akan belajar:

1. Hitung nilai fungsi trigonometri;
2. Sederhanakan ekspresi trigonometri.

Untuk ini, Anda perlu tahu:

1. Definisi fungsi trigonometri
2. Hubungan trigonometri (rumus).

Sudah lama diketahui bahwa satu kepala baik, tetapi dua lebih baik, itulah sebabnya Anda bekerja dalam kelompok hari ini. Diketahui juga bahwa jalan akan dikuasai oleh yang berjalan. Tetapi kita hidup di zaman kecepatan dan waktu sangat berharga, yang berarti kita dapat mengatakan ini: “Pengendara akan menguasai jalan”, jadi hari ini kita akan mendapat pelajaran dalam bentuk permainan Reli Matematika. Setiap kelompok adalah awak mobil yang dipimpin oleh juru mudi.

Tujuan permainan:

• berhasil menyelesaikan rute untuk setiap kru;
• mengungkapkan juara reli.

Nama kru sesuai dengan merek mobil yang Anda gunakan untuk berlari.

Awak dan pengemudi mereka diperkenalkan:

• Kru - "sinus"
• Kru - "cosinus"
• Kru - "singgung"
• Kru - "kotangen"

Moto balapan: "Cepat pelan-pelan!"

Anda harus berlari di "medan matematis" dengan banyak rintangan.

Lembar rute dikeluarkan untuk setiap kru. Awak yang mengetahui definisi dan rumus trigonometri akan mampu mengatasi rintangan.

Selama menjalankan, setiap coxswain memimpin kru, membantu dan mengevaluasi kontribusi setiap anggota kru untuk mengatasi rute dalam bentuk "plus" dan "minus" di lembar skor. Untuk setiap jawaban yang benar, kelompok menerima "+", "-" yang salah.

Anda harus mengatasi tahapan jalur berikut:

saya panggung. SDA (aturan jalan).
tahap II. Inspeksi.
tahap III. Balap lintas negara.
tahap IV. Berhenti mendadak adalah kecelakaan.
tahap V. Berhenti.
tahap VI. Selesai.
tahap VII. Hasil.

Dan di jalan!

saya panggung. SDA (aturan jalan).

1) Di setiap kru, juru mudi membagikan tiket kepada setiap anggota kru dengan pertanyaan teoritis:

1. Nyatakan definisi sinus dari bilangan t dan tanda-tandanya dalam seperempat.
2. Nyatakan definisi kosinus dari bilangan t dan tanda-tandanya dalam seperempat.
3. Sebutkan nilai terkecil dan terbesar dari sin t dan cos t.
4. Jelaskan definisi garis singgung bilangan t dan tanda-tandanya dalam seperempat.
5. Nyatakan definisi kotangen dari bilangan t dan tanda-tandanya dalam seperempat.
6. Beri tahu kami cara mencari nilai fungsi sin t dari bilangan t yang diketahui.

2) Kumpulkan formula "hancur". Ada meja di papan rahasia (lihat di bawah). Para kru harus menyesuaikan formula. Setiap tim menuliskan jawabannya di papan tulis dalam bentuk barisan huruf yang sesuai (berpasangan).

Menjawab: ab, vg, de, landak, zi, yk.

tahap II. Inspeksi.

Pekerjaan lisan: tes.

Di papan rahasia tertulis: tugas: sederhanakan ekspresi.

Jawaban ditulis di sebelahnya. Kru menentukan jawaban yang benar dalam 1 menit. dan mengambil set huruf yang sesuai.

Jawaban: S.V.A.

tahap III. Balap lintas negara.

3 menit kepada kru untuk pertemuan untuk menyelesaikan tugas, dan kemudian perwakilan kru menulis solusi di papan tulis. Ketika perwakilan kru selesai menuliskan solusi dari tugas pertama, semua siswa (bersama dengan guru) memeriksa kebenaran dan rasionalitas solusi dan menuliskannya di buku catatan. Para juru mudi mengevaluasi kontribusi setiap anggota kru dengan tanda "+" dan "-" di lembar evaluasi.

Tugas dari buku teks:

• Kru - "sinus": No. 118 g;
• Kru - "cosinus": No. 122 a;
• Kru - "singgung": No. 123 g;
• Kru - "kotangen": No. 125

tahap IV. Berhenti mendadak adalah kecelakaan.

– Mobil Anda mogok. Mobil Anda perlu diperbaiki.

Pernyataan diberikan untuk setiap kru, tetapi mengandung kesalahan. Temukan kesalahan ini dan jelaskan mengapa itu dibuat. Pernyataan menggunakan fungsi trigonometri yang sesuai dengan merek mobil Anda.

tahap V. Berhenti.

Anda lelah dan perlu istirahat. Sementara kru beristirahat, juru mudi menyimpulkan hasil awal: mereka mempertimbangkan "plus" dan "minus" dari anggota kru dan kru secara keseluruhan.

Untuk siswa:

3 atau lebih "+" - skor "5";
2 "+" - skor "4";
1 "+" - skor "3".

Untuk kru:"+" dan "-" saling membatalkan. Hanya karakter yang tersisa yang dihitung.

Tebak sandiwaranya.

Dari angka Anda mengambil suku kata pertama saya,
Yang kedua - dari kata "bangga".
Dan Anda mengendarai kuda ketiga,
Yang keempat adalah domba yang mengembik.
Suku kata kelima saya sama dengan yang pertama
Huruf terakhir dalam alfabet adalah yang keenam,
Dan jika Anda menebak dengan benar,
Kemudian dalam matematika Anda akan menerima bagian seperti ini.
(Trigonometri)

Kata "trigonometri" (dari kata Yunani "trigonon" - segitiga dan "metero" - saya mengukur) berarti "pengukuran segitiga". Munculnya trigonometri dikaitkan dengan perkembangan geografi dan astronomi - ilmu pergerakan benda langit, struktur dan perkembangan alam semesta.

Sebagai hasil dari pengamatan astronomi yang dilakukan, menjadi perlu untuk menentukan posisi tokoh-tokoh, menghitung jarak dan sudut. Karena beberapa jarak, misalnya, dari Bumi ke planet lain, tidak dapat diukur secara langsung, para ilmuwan mulai mengembangkan metode untuk menemukan hubungan antara sisi dan sudut segitiga, di mana dua simpul terletak di bumi, dan yang ketiga adalah planet atau bintang. Hubungan tersebut dapat diturunkan dengan mempelajari berbagai segitiga dan sifat-sifatnya. Itulah sebabnya perhitungan astronomi mengarah pada solusi (yaitu, menemukan elemen) dari segitiga. Inilah yang dilakukan trigonometri.

Awal mula trigonometri ditemukan di Babel kuno. Ilmuwan Babilonia mampu memprediksi gerhana matahari dan bulan. Beberapa informasi yang bersifat trigonometri ditemukan di monumen kuno orang-orang kuno lainnya.

tahap VI. Selesai.

Agar berhasil melewati garis finis, ia tetap mengencangkan dan membuat "sentak". Sangat penting dalam trigonometri untuk dapat dengan cepat menentukan nilai sin t, cost, tgt, ctg t, dimana 0 t . Tutup buku pelajaran.

Para kru secara bergantian menyebutkan nilai fungsi sin t, cost, tgt, ctg t jika:

tahap VII. Hasil.

Hasil permainan.

Juru mudi menyerahkan lembar evaluasi. Awak yang menjadi juara "Rally Matematika" ditentukan dan pekerjaan kelompok lain ditandai. Berikut ini adalah nama-nama yang mendapat nilai "5" dan "4".

Hasil pelajaran.

- Teman-teman! Apa yang kamu pelajari di kelas hari ini? (sederhanakan ekspresi trigonometri; temukan nilai fungsi trigonometri). Apa yang perlu Anda ketahui untuk ini?

• definisi dan sifat-sifat sin t, cos t, tg t, ctg t;
• hubungan yang berkaitan dengan nilai berbagai fungsi trigonometri;
• tanda-tanda fungsi trigonometri di sepanjang seperempat lingkaran numerik.
• nilai fungsi trigonometri dari kuartal pertama lingkaran numerik.

- Saya pikir Anda mengerti bahwa formula perlu diketahui dengan baik untuk menerapkannya dengan benar. Anda juga menyadari bahwa trigonometri adalah bagian yang sangat penting dari matematika, seperti yang digunakan dalam ilmu lain: astronomi, geografi, fisika, dll.

Pekerjaan rumah:

• untuk siswa yang menerima "5" dan "4": 6, no. 128a, 130a, 134a.
• untuk siswa lain: 6, #119g, #120g, #121g.

Fungsi trigonometri dari argumen numerik. Sifat dan grafik fungsi trigonometri.

definisi1: Fungsi numerik yang diberikan oleh rumus y=sin x disebut sinus.

Kurva ini disebut sinusoidal

Sifat-sifat fungsi y=sin x

2. Rentang fungsi: E(y)=[-1; satu]

3. Fungsi paritas:

y=sin x – ganjil,.

4. Periodisitas: sin(x+2πn)=sin x, di mana n adalah bilangan bulat.

Fungsi ini mengambil nilai yang sama setelah interval tertentu. Sifat suatu fungsi disebut periodisitas. Interval adalah periode fungsi.

Untuk fungsi y=sin x, periodenya adalah 2π.

Fungsi y=sin x periodik, dengan periode T=2πn, n adalah bilangan bulat.

Periode positif terkecil T=2π.

Secara matematis, ini dapat ditulis sebagai: sin(x+2πn)=sin x, di mana n adalah bilangan bulat.

definisi2: Fungsi numerik yang diberikan oleh rumus y=cosx disebut kosinus.

Sifat-sifat fungsi y=cos x

1. Lingkup fungsi: D(y)=R

2. Lingkup fungsi: E(y)=[-1;1]

3. Fungsi paritas:

y=cos x genap.

4. Periodisitas: cos(x+2πn)=cos x, di mana n adalah bilangan bulat.

Fungsi y=cos x periodik, dengan periode =2π.

Definisi 3: Fungsi numerik yang diberikan oleh rumus y=tg x disebut tangen.

Sifat-sifat fungsi y=tg x

1. Domain fungsi: D(y) - semua bilangan real kecuali /2+πk, k adalah bilangan bulat. Karena pada titik-titik ini tangen tidak terdefinisi.

2. Ruang lingkup fungsi: E(y)=R.

3. Fungsi paritas:

y=tg x ganjil.

4. Periodisitas: tg(x+πk)=tg x, di mana k adalah bilangan bulat.

Fungsi y=tg x periodik dengan periode .

Definisi 4: Fungsi numerik yang diberikan oleh rumus y=ctg x disebut kotangen.

Sifat fungsi y=ctg x

1. Domain fungsi: D(y) - semua bilangan real, kecuali k, k adalah bilangan bulat. Karena pada titik ini kotangen tidak ditentukan.