Kalkulator batas online di situs untuk konsolidasi penuh materi yang dicakup oleh siswa dan anak sekolah dan melatih keterampilan praktis mereka. Bagaimana cara menggunakan kalkulator batas online di sumber kami? Ini dilakukan dengan sangat mudah, Anda hanya perlu memasukkan fungsi asli di bidang yang ada, pilih nilai batas yang diperlukan untuk variabel dari pemilih dan klik tombol "Solusi". Jika pada titik tertentu Anda perlu menghitung nilai batas, maka Anda harus memasukkan nilai titik ini - baik numerik atau simbolis. Kalkulator limit online akan membantu Anda menemukan nilai limit pada titik tertentu, limit dalam interval definisi fungsi, dan nilai ini, di mana nilai fungsi yang sedang dipelajari bergegas ketika argumennya cenderung ke titik tertentu, adalah solusi untuk batas. Menurut kalkulator batas online di situs kami, kami dapat mengatakan yang berikut - ada banyak analog di Internet, Anda dapat menemukan yang layak, Anda perlu mencari yang ini dengan susah payah. Namun di sini Anda akan menjumpai kenyataan bahwa satu situs dengan situs lainnya berbeda. Banyak dari mereka tidak menawarkan kalkulator batas online sama sekali, tidak seperti kami. Jika di mesin pencari terkenal, baik itu Yandex atau Google, Anda mencari situs menggunakan frasa "Kalkulator batas online", maka situs tersebut akan berada di baris pertama hasil pencarian. Ini berarti bahwa mesin pencari ini mempercayai kami, dan di situs kami hanya ada konten berkualitas tinggi, dan yang paling penting, berguna untuk siswa sekolah dan universitas! Mari kita lanjutkan berbicara tentang kalkulator batas dan secara umum tentang teori melewati batas. Sangat sering, dalam definisi limit suatu fungsi, konsep lingkungan dirumuskan. Di sini, batas-batas fungsi, serta solusi dari batas-batas ini, dipelajari hanya pada titik-titik yang membatasi domain definisi fungsi, mengetahui bahwa di setiap lingkungan titik tersebut ada titik-titik dari domain definisi fungsi. fungsi ini. Ini memungkinkan kita untuk berbicara tentang kecenderungan fungsi variabel ke titik tertentu. Jika ada limit di beberapa titik dari domain fungsi dan kalkulator limit online memberikan solusi limit terperinci dari fungsi tersebut pada titik tertentu, maka fungsi tersebut kontinu pada titik tersebut. Biarkan kalkulator batas online kami dengan solusi memberikan beberapa hasil positif, dan kami akan memeriksanya di situs lain. Ini dapat membuktikan kualitas sumber daya kami, dan, seperti yang sudah diketahui banyak orang, ini adalah yang terbaik dan layak mendapat pujian tertinggi. Bersamaan dengan ini, ada kemungkinan batasan kalkulator online dengan solusi terperinci untuk belajar dan mandiri, tetapi di bawah pengawasan ketat seorang guru profesional. Seringkali tindakan ini akan mengarah pada hasil yang diharapkan. Semua siswa hanya bermimpi bahwa kalkulator batas online dengan solusinya akan menjelaskan secara rinci tugas sulit mereka, yang diberikan oleh guru di awal semester. Tapi itu tidak begitu sederhana. Anda harus mempelajari teorinya terlebih dahulu, lalu menggunakan kalkulator gratis. Seperti batas online, kalkulator akan memberi Anda rincian entri yang Anda butuhkan, dan Anda akan puas dengan hasilnya. Tetapi titik batas dari domain definisi mungkin tidak termasuk dalam domain definisi ini, dan ini dibuktikan dengan perhitungan terperinci oleh kalkulator batas online. Contoh: kita dapat mempertimbangkan limit suatu fungsi pada ujung-ujung segmen terbuka di mana fungsi kita didefinisikan. Dalam hal ini, batas-batas segmen itu sendiri tidak termasuk dalam domain definisi. Dalam pengertian ini, sistem ketetanggaan titik ini adalah kasus khusus dari basis himpunan bagian tersebut. Kalkulator batas online dengan solusi terperinci diproduksi secara real time dan formula diterapkan untuknya dalam bentuk analitik eksplisit yang diberikan. Batas suatu fungsi menggunakan kalkulator batas online dengan solusi terperinci adalah generalisasi dari konsep batas barisan: awalnya, batas suatu fungsi pada suatu titik dipahami sebagai batas barisan elemen-elemen rentang dari fungsi yang terdiri dari gambar titik dari urutan elemen domain fungsi yang konvergen ke titik tertentu (batas yang dipertimbangkan); jika limit tersebut ada, maka fungsi tersebut dikatakan konvergen ke nilai yang ditentukan; jika limit tersebut tidak ada, maka fungsi tersebut dikatakan divergen. Secara umum, teori peralihan ke batas adalah konsep dasar dari semua analisis matematis. Semuanya didasarkan tepat pada transisi batas, yaitu, solusi rinci dari batas adalah dasar dari ilmu analisis matematika, dan kalkulator batas online meletakkan dasar untuk pembelajaran siswa. Kalkulator batas online dengan solusi terperinci di situs adalah layanan unik untuk mendapatkan jawaban yang akurat dan instan secara real time. Tidak jarang, atau lebih tepatnya sangat sering, siswa langsung mengalami kesulitan dalam menyelesaikan limit pada saat pembelajaran awal analisis matematis. Kami menjamin penyelesaian limit kalkulator online di layanan kami adalah jaminan akurasi dan mendapatkan jawaban berkualitas tinggi. Anda akan menerima jawaban detail solusi limit dengan kalkulator dalam hitungan detik, bahkan bisa langsung diucapkan . Jika Anda menentukan data yang salah, yaitu karakter yang tidak diizinkan oleh sistem, tidak apa-apa, layanan akan secara otomatis memberi tahu Anda tentang kesalahan. Perbaiki fungsi yang dimasukkan sebelumnya (atau titik batas) dan dapatkan solusi terperinci yang benar dengan kalkulator batas online. Percayai kami dan kami tidak akan pernah mengecewakan Anda. Anda dapat dengan mudah menggunakan situs dan kalkulator batas online dengan solusinya akan menjelaskan secara rinci langkah demi langkah untuk menghitung masalah. Anda hanya perlu menunggu beberapa detik dan mendapatkan jawaban yang didambakan. Untuk memecahkan batas dengan kalkulator online dengan solusi terperinci, semua teknik yang mungkin digunakan, terutama metode L'Hospital sangat sering digunakan, karena bersifat universal dan menghasilkan jawaban lebih cepat daripada metode lain untuk menghitung batas suatu fungsi . Seringkali solusi terperinci online dengan kalkulator batas diperlukan untuk menghitung jumlah urutan angka. Seperti yang Anda ketahui, untuk menemukan jumlah dari barisan numerik, Anda hanya perlu mengungkapkan jumlah parsial dari barisan ini dengan benar, dan kemudian semuanya sederhana menggunakan layanan situs gratis kami, karena penghitungan batas menggunakan kalkulator batas online kami dari jumlah parsial akan menjadi jumlah akhir dari urutan numerik. Solusi terperinci dengan kalkulator batas online menggunakan layanan situs memberi siswa cara untuk melihat kemajuan penyelesaian masalah, yang membuat pemahaman teori batas menjadi mudah dan dapat diakses oleh hampir semua orang. Tetap fokus dan jangan biarkan tindakan yang salah membuat Anda mendapat masalah dengan nilai buruk. Seperti solusi terperinci apa pun dengan kalkulator batas layanan online, masalahnya akan disajikan dalam bentuk yang nyaman dan dapat dipahami, dengan solusi terperinci, sesuai dengan semua aturan dan peraturan untuk mendapatkan solusi.. Pada saat yang sama, Anda dapat menyimpan waktu dan uang, karena kami sama sekali tidak meminta apa pun untuk itu. Di situs web kami, solusi terperinci dari kalkulator batas online selalu tersedia dua puluh empat jam sehari. Faktanya, semua kalkulator batas online dengan solusi mungkin tidak memberikan kemajuan solusi langkah demi langkah secara rinci, Anda tidak boleh melupakan ini dan mengikuti semua orang. Segera setelah batas kalkulator online dengan solusi terperinci meminta Anda untuk mengklik tombol "Solusi", maka pertama-tama periksa semuanya. yaitu periksa fungsi yang dimasukkan, juga nilai batas dan baru kemudian lanjutkan dengan tindakan. Ini akan menyelamatkan Anda dari pengalaman menyakitkan untuk perhitungan yang gagal. Dan kemudian batas kalkulator online dengan hukum terperinci akan memberikan representasi faktorial yang benar dari tindakan langkah demi langkah. Jika kalkulator batas online tiba-tiba tidak memberikan solusi terperinci, mungkin ada beberapa alasan untuk ini. Pertama, periksa ekspresi fungsi tertulis. Itu harus berisi variabel "x", jika tidak, seluruh fungsi akan diperlakukan oleh sistem sebagai konstanta. Selanjutnya, periksa nilai batas jika Anda menentukan titik tertentu atau nilai simbolis. Itu juga harus hanya berisi huruf Latin - ini penting! Kemudian Anda dapat mencoba lagi untuk menemukan solusi terperinci dari batasan online pada layanan terbaik kami, dan gunakan hasilnya. Segera setelah mereka mengatakan bahwa batasan solusi online secara rinci sangat sulit - jangan percaya, dan yang paling penting, jangan panik, semuanya diizinkan dalam kerangka kursus pelatihan. Kami menyarankan Anda, tanpa panik, mencurahkan hanya beberapa menit untuk layanan kami dan memeriksa latihan yang diberikan. Namun, jika batasan solusi online tidak dapat diselesaikan secara detail, maka Anda salah ketik, karena jika tidak, situs ini menyelesaikan hampir semua masalah tanpa banyak kesulitan. Tetapi tidak perlu berpikir bahwa Anda bisa mendapatkan hasil yang diinginkan dengan segera tanpa tenaga dan usaha. Pada setiap kebutuhan untuk mencurahkan cukup waktu untuk mempelajari materi. Hal ini dimungkinkan untuk setiap kalkulator batas online dengan solusi untuk menonjol secara rinci pada tahap membangun solusi yang terbuka dan mengasumsikan sebaliknya. Tetapi tidak masalah bagaimana mengungkapkannya, karena kami prihatin dengan proses pendekatan ilmiah itu sendiri. Sebagai hasilnya, kami akan menunjukkan bagaimana kalkulator batas dengan solusi online didasarkan secara rinci pada aspek dasar matematika sebagai ilmu. Identifikasi lima prinsip inti, dan mulailah bergerak maju. Anda akan ditanya apakah solusi kalkulator batas tersedia online dengan solusi terperinci untuk semua orang, dan Anda akan menjawab - ya, benar! Mungkin dalam pengertian ini tidak ada fokus khusus pada hasil, tetapi batas online memiliki arti yang sedikit berbeda secara detail daripada yang terlihat pada awal mempelajari disiplin. Dengan pendekatan yang seimbang, dengan keselarasan kekuatan yang tepat, Anda dapat dengan cepat menyimpulkan sendiri batas secara online.! Pada kenyataannya, kalkulator batas online dengan solusi secara rinci akan mulai secara proporsional mewakili semua langkah perhitungan langkah demi langkah lebih cepat.

Konsep limit barisan dan fungsi. Untuk mencari limit suatu barisan, dituliskan sebagai berikut: lim xn=a. Dalam barisan barisan seperti itu, xn cenderung ke a, dan n cenderung tak hingga. Suatu barisan biasanya direpresentasikan sebagai barisan, misalnya:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Urutan dibagi menjadi naik dan turun. Sebagai contoh:
xn=n^2 - urutan meningkat
yn=1/n - urutan
Jadi, misalnya, limit barisan xn=1/n^ :
batas1/n^2=0

x→
Batas ini adalah nol karena n→∞ dan barisan 1/n^2 cenderung nol.

Biasanya variabel x cenderung ke batas berhingga a, apalagi x terus-menerus mendekati a, dan nilai a konstan. Ini ditulis sebagai berikut: limx = a, sedangkan n juga dapat cenderung ke nol dan tak hingga. Ada fungsi tak hingga, bagi mereka batasnya cenderung tak terhingga. Dalam kasus lain, ketika, misalnya, fungsi memperlambat kereta, dimungkinkan untuk batas yang cenderung nol.
Batas memiliki sejumlah properti. Sebagai aturan, setiap fungsi hanya memiliki satu batas. Ini adalah properti utama dari limit. Lainnya tercantum di bawah ini:
* Jumlah limit sama dengan jumlah limit:
lim(x+y)=limx+limy
* Batas produk sama dengan produk batas:
lim(xy)=limx*limy
* Batas hasil bagi sama dengan hasil bagi dari batas:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Faktor konstanta dikeluarkan dari tanda limit:
lim(Cx)=C lim x
Diberikan fungsi 1 /x di mana x →∞, limitnya adalah nol. Jika x→0, maka limit fungsi tersebut sama dengan .
Untuk fungsi trigonometri ada aturan ini. Karena fungsi sin x selalu cenderung satu ketika mendekati nol, identitasnya berlaku untuk itu:
lim sin x/x=1

Dalam sejumlah fungsi, saat menghitung batas yang menimbulkan ketidakpastian - situasi di mana batas tidak dapat dihitung. Satu-satunya jalan keluar dari situasi ini adalah L'Hopital. Ada dua jenis ketidakpastian:
* ketidakpastian bentuk 0/0
* ketidakpastian bentuk /∞
Sebagai contoh, diberikan limit dari bentuk berikut: lim f(x)/l(x), selain itu, f(x0)=l(x0)=0. Dalam hal ini, ada ketidakpastian bentuk 0/0. Untuk menyelesaikan masalah seperti itu, kedua fungsi dibedakan, setelah itu ditemukan batas hasilnya. Untuk ketidakpastian bentuk 0/0, limitnya adalah:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (untuk x→0)
Aturan yang sama berlaku untuk ketidakpastian tipe /∞. Tetapi dalam kasus ini, persamaan berikut benar: f(x)=l(x)=∞
Dengan bantuan aturan L'Hopital, seseorang dapat menemukan nilai batas di mana ketidakpastian muncul. Syarat wajib untuk

volume - tidak adanya kesalahan dalam menemukan turunan. Jadi, misalnya, turunan dari fungsi (x^2)" sama dengan 2x. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa:
f"(x)=nx^(n-1)

Batas fungsi- nomor sebuah akan menjadi batas dari beberapa nilai variabel, jika dalam proses perubahannya nilai variabel ini mendekati tanpa batas sebuah.

Atau dengan kata lain, nomor A adalah limit dari fungsi y=f(x) pada intinya x0, jika untuk sembarang barisan titik dari domain definisi fungsi , tidak sama dengan x0, dan yang konvergen ke titik x 0 (lim x n = x0), urutan nilai fungsi yang sesuai konvergen ke nomor A.

Grafik suatu fungsi yang limitnya dengan argumen yang cenderung tak hingga adalah L:

Berarti TETAPI adalah limit (nilai batas) fungsi f(x) pada intinya x0 jika untuk setiap urutan poin , yang konvergen ke x0, tetapi yang tidak mengandung x0 sebagai salah satu elemennya (yaitu di lingkungan yang tertusuk x0), urutan nilai fungsi konvergen ke A.

Limit fungsi menurut Cauchy.

Berarti A akan batas fungsi f(x) pada intinya x0 jika untuk setiap nomor non-negatif yang diambil ke depan ε nomor yang sesuai non-negatif akan ditemukan δ = δ(ε) sedemikian rupa sehingga untuk setiap argumen x, memenuhi syarat 0 < | x - x0 | < δ , ketidaksetaraan | f(x) A |< ε .

Akan sangat sederhana jika Anda memahami esensi dari limit dan aturan dasar untuk menemukannya. Batas dari fungsi tersebut f(x) pada x bercita-cita untuk sebuah sama dengan A, ditulis seperti ini:

Selain itu, nilai yang cenderung dimiliki variabel x, bisa tidak hanya angka, tetapi juga tak terhingga (∞), terkadang +∞ atau -∞, atau mungkin tidak ada batasan sama sekali.

Untuk memahami bagaimana tentukan limit fungsi, yang terbaik adalah melihat contoh solusi.

Kita perlu menemukan batas-batas fungsi f(x) = 1/x pada:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Mari kita cari solusi dari limit pertama. Untuk melakukan ini, Anda cukup mengganti x nomor yang dicita-citakan, mis. 2, kita mendapatkan:

Tentukan limit kedua dari fungsi tersebut. Di sini, gantikan dalam bentuk murni 0 alih-alih x tidak mungkin, karena tidak dapat dibagi dengan 0. Tapi kita bisa mengambil nilai mendekati nol, misalnya 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 dan seterusnya, dengan nilai fungsi f(x) akan meningkat: 100; 1000; 10.000; 100000 dan seterusnya. Dengan demikian, dapat dipahami bahwa ketika x→ 0 nilai fungsi yang berada di bawah tanda limit akan bertambah tanpa batas, yaitu berusaha untuk tak terhingga. Yang berarti:

Mengenai batas ketiga. Situasi yang sama seperti pada kasus sebelumnya, tidak mungkin untuk menggantikan ∞ dalam bentuknya yang paling murni. Kita perlu mempertimbangkan kasus peningkatan tak terbatas x. Kami mengganti 1000 secara bergantian; 10.000; 100000 dan seterusnya, kami memiliki nilai fungsi f(x) = 1/x akan berkurang: 0,001; 0,0001; 0,00001; dan seterusnya, cenderung nol. Jadi:

Perlu untuk menghitung limit fungsi

Mulai memecahkan contoh kedua, kita melihat ketidakpastian. Dari sini kita menemukan tingkat pembilang dan penyebut tertinggi - ini adalah x 3, kami mengeluarkannya dari tanda kurung di pembilang dan penyebut dan kemudian menguranginya:

Menjawab

Langkah pertama dalam menemukan batas ini, gantikan nilai 1 sebagai pengganti x, mengakibatkan ketidakpastian . Untuk menyelesaikannya, kita dekomposisi pembilangnya menjadi faktor-faktor , kita akan melakukannya dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x - 3:

D \u003d 2 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 4 +12 \u003d 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2± 4) / 2→ x 1 \u003d -3;x2= 1.

Jadi pembilangnya adalah:

Menjawab

Ini adalah definisi dari nilai spesifiknya atau area spesifik di mana fungsi tersebut berada, yang dibatasi oleh limit.

Untuk menentukan batas, ikuti aturan:

Setelah memahami esensi dan utamanya aturan keputusan batas, Anda akan mendapatkan pemahaman dasar tentang cara menyelesaikannya.

Batas memberikan semua siswa matematika banyak masalah. Untuk mengatasi limit, terkadang Anda harus menggunakan banyak trik dan memilih dari berbagai solusi tepat yang cocok untuk contoh tertentu.

Dalam artikel ini, kami tidak akan membantu Anda memahami batas kemampuan Anda atau memahami batas kendali, tetapi kami akan mencoba menjawab pertanyaan: bagaimana memahami batas dalam matematika tingkat tinggi? Pemahaman datang dengan pengalaman, jadi pada saat yang sama kami akan memberikan beberapa contoh rinci tentang pemecahan batas dengan penjelasan.

Konsep limit dalam matematika

Pertanyaan pertama adalah: apa batas dan batas apa? Kita dapat berbicara tentang batas-batas barisan numerik dan fungsi. Kami tertarik dengan konsep limit suatu fungsi, karena dengan merekalah yang paling sering ditemui siswa. Tapi pertama-tama, definisi limit yang paling umum:

Katakanlah ada beberapa variabel. Jika nilai ini dalam proses perubahan tanpa batas mendekati angka tertentu sebuah , kemudian sebuah adalah batas dari nilai ini.

Untuk suatu fungsi yang didefinisikan dalam beberapa interval f(x)=y batasnya adalah angka A , dimana fungsi cenderung ketika X cenderung ke titik tertentu sebuah . Dot sebuah termasuk dalam interval di mana fungsi didefinisikan.

Kedengarannya rumit, tetapi ditulis dengan sangat sederhana:

Lim- dari bahasa Inggris membatasi- membatasi.

Ada juga penjelasan geometris untuk definisi limit, tetapi di sini kita tidak akan membahas teori, karena kita lebih tertarik pada sisi praktis daripada sisi teoretis dari masalah ini. Ketika kita mengatakan itu X cenderung ke suatu nilai, yang berarti bahwa variabel tidak mengambil nilai suatu bilangan, tetapi mendekatinya dengan sangat dekat.

Mari kita ambil contoh konkrit. Tantangannya adalah menemukan batasnya.

Untuk menyelesaikan contoh ini, kami mengganti nilainya x=3 menjadi sebuah fungsi. Kita mendapatkan:

Ngomong-ngomong, jika Anda tertarik, baca artikel terpisah tentang topik ini.

Dalam contoh X dapat cenderung ke nilai apa pun. Ini bisa berupa angka atau tak terhingga. Berikut adalah contoh ketika X cenderung tak terhingga:

Secara intuitif jelas bahwa semakin besar angka dalam penyebut, semakin kecil nilai yang akan diambil oleh fungsi tersebut. Jadi, dengan pertumbuhan tak terbatas X berarti 1/x akan berkurang dan mendekati nol.

Seperti yang Anda lihat, untuk menyelesaikan limit, Anda hanya perlu mengganti nilai yang akan diperjuangkan ke dalam fungsi X . Namun, ini adalah kasus yang paling sederhana. Seringkali menemukan batasnya tidak begitu jelas. Dalam batas ada ketidakpastian jenis 0/0 atau tak terhingga/tak terhingga . Apa yang harus dilakukan dalam kasus seperti itu? Gunakan trik!

Ketidakpastian dalam

Ketidakpastian bentuk infinity/infinity

Biarkan ada batas:

Jika kita mencoba mensubstitusikan infinity ke dalam fungsi, kita akan mendapatkan infinity baik dalam pembilang maupun penyebutnya. Secara umum, perlu dikatakan bahwa ada elemen seni tertentu dalam menyelesaikan ketidakpastian seperti itu: Anda perlu memperhatikan bagaimana Anda dapat mengubah fungsi sedemikian rupa sehingga ketidakpastiannya hilang. Dalam kasus kami, kami membagi pembilang dan penyebut dengan X di tingkat senior. Apa yang akan terjadi?

Dari contoh yang telah dibahas di atas, kita mengetahui bahwa suku-suku yang memiliki penyebut x akan cenderung nol. Maka solusi limitnya adalah:

Untuk mengungkap ambiguitas tipe tak terhingga/tak terhingga membagi pembilang dan penyebut dengan X ke derajat tertinggi.

Omong-omong! Untuk pembaca kami sekarang ada diskon 10% untuk

Jenis ketidakpastian lain: 0/0

Seperti biasa, substitusi ke fungsi nilai x=-1 memberi 0 pada pembilang dan penyebutnya. Perhatikan sedikit lebih dekat dan Anda akan melihat bahwa kita memiliki persamaan kuadrat di pembilangnya. Mari kita cari akarnya dan tulis:

Mari kita kurangi dan dapatkan:

Jadi, jika Anda menemukan ambiguitas tipe 0/0 - faktorkan pembilang dan penyebutnya.

Untuk memudahkan Anda dalam menyelesaikan contoh, berikut adalah tabel dengan limit dari beberapa fungsi:

Aturan L'Hopital di dalam

Cara ampuh lainnya untuk menghilangkan kedua jenis ketidakpastian. Apa inti dari metode?

Jika terdapat ketidakpastian pada limit, kita ambil turunan dari pembilang dan penyebutnya sampai ketidakpastian tersebut hilang.

Secara visual, aturan L'Hopital terlihat seperti ini:

Poin penting : limit yang harus ada turunan pembilang dan penyebutnya, bukan pembilang dan penyebutnya.

Dan sekarang contoh nyata:

Ada ketidakpastian yang khas 0/0 . Tentukan turunan pembilang dan penyebutnya:

Voila, ketidakpastian dihilangkan dengan cepat dan elegan.

Kami berharap Anda dapat menerapkan informasi ini dengan baik dalam praktik dan menemukan jawaban atas pertanyaan "bagaimana memecahkan batas dalam matematika yang lebih tinggi". Jika Anda perlu menghitung limit barisan atau limit fungsi pada suatu titik, dan tidak ada waktu untuk pekerjaan ini dari kata "mutlak", hubungi layanan siswa profesional untuk solusi cepat dan terperinci.

Batas luar biasa pertama disebut persamaan berikut:

\begin(persamaan)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(persamaan)

Karena untuk $\alpha\to(0)$ kita memiliki $\sin\alpha\to(0)$, kita katakan bahwa limit luar biasa pertama mengungkapkan ketidaktentuan dari bentuk $\frac(0)(0)$. Secara umum, dalam rumus (1), alih-alih variabel $\alpha$, di bawah tanda sinus dan dalam penyebut, ekspresi apa pun dapat ditemukan, selama dua kondisi terpenuhi:

1. Ekspresi di bawah tanda sinus dan penyebut secara bersamaan cenderung nol, mis. ada ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$.
2. Ekspresi di bawah tanda sinus dan penyebutnya sama.

Akibat wajar dari batas luar biasa pertama juga sering digunakan:

\begin(persamaan) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(persamaan) \begin(persamaan) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(persamaan) \begin(persamaan) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(persamaan)

Sebelas contoh diselesaikan di halaman ini. Contoh No. 1 dikhususkan untuk pembuktian rumus (2)-(4). Contoh #2, #3, #4 dan #5 berisi solusi dengan komentar mendetail. Contoh 6-10 berisi solusi dengan sedikit atau tanpa komentar, seperti penjelasan rinci diberikan dalam contoh sebelumnya. Saat memecahkan, beberapa rumus trigonometri digunakan, yang dapat ditemukan.

Saya perhatikan bahwa keberadaan fungsi trigonometri, ditambah dengan ketidakpastian $\frac (0) (0)$, tidak berarti bahwa batas luar biasa pertama harus diterapkan. Terkadang transformasi trigonometri sederhana sudah cukup - misalnya, lihat.

Contoh 1

Buktikan bahwa $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Karena $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, maka:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Karena $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ dan $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , kemudian:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Mari kita buat penggantinya $\alpha=\sin(y)$. Karena $\sin(0)=0$, maka dari kondisi $\alpha\to(0)$ kita mendapatkan $y\to(0)$. Selain itu, ada lingkungan nol di mana $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, jadi:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(y\ke(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\ke(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Persamaan $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ terbukti.

c) Mari kita buat penggantinya $\alpha=\tg(y)$. Karena $\tg(0)=0$, kondisi $\alpha\to(0)$ dan $y\to(0)$ adalah ekuivalen. Selain itu, ada lingkungan nol di mana $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, oleh karena itu, dengan mengandalkan hasil dari titik a), kita akan memiliki:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(y\ke(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\ke(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Persamaan $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ terbukti.

Persamaan a), b), c) sering digunakan bersama dengan limit luar biasa pertama.

Contoh #2

Hitung batas $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\kanan))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Karena $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ dan $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, mis. dan pembilang dan penyebut pecahan secara bersamaan cenderung nol, maka di sini kita berhadapan dengan ketidakpastian bentuk $\frac(0)(0)$, yaitu. selesai. Selain itu, dapat dilihat bahwa ekspresi di bawah tanda sinus dan penyebut adalah sama (yaitu, dan dipenuhi):

Jadi, kedua kondisi yang tercantum di awal halaman terpenuhi. Dari sini dapat disimpulkan bahwa rumus tersebut dapat diterapkan, yaitu. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\kanan))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Menjawab: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\kanan))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Contoh #3

Temukan $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Karena $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ dan $\lim_(x\to(0))x=0$, kita berurusan dengan ketidakpastian bentuk $\frac( 0 )(0)$, yaitu, selesai. Namun, ekspresi di bawah tanda sinus dan penyebut tidak cocok. Di sini diperlukan untuk menyesuaikan ekspresi dalam penyebut ke bentuk yang diinginkan. Kita membutuhkan ekspresi $9x$ untuk menjadi penyebut - maka itu akan menjadi benar. Pada dasarnya, kita kehilangan faktor $9$ dalam penyebutnya, yang tidak terlalu sulit untuk dimasukkan, cukup kalikan ekspresi dalam penyebut dengan $9$. Secara alami, untuk mengimbangi perkalian dengan $9, Anda harus segera membaginya dengan $9 dan membagi:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Sekarang ekspresi dalam penyebut dan di bawah tanda sinus adalah sama. Kedua kondisi untuk limit $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ terpenuhi. Oleh karena itu $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Dan ini berarti bahwa:

$$ 9\lim_(x\ke(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Menjawab: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Contoh #4

Cari $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Karena $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ dan $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, di sini kita berurusan dengan ketidaktentuan dari bentuk $\frac(0)(0)$. Namun, bentuk batas luar biasa pertama rusak. Pembilang yang berisi $\sin(5x)$ membutuhkan $5x$ dalam penyebutnya. Dalam situasi ini, cara termudah adalah membagi pembilangnya dengan $5x$, dan langsung mengalikannya dengan $5x$. Selain itu, kita akan melakukan operasi serupa dengan penyebut, mengalikan dan membagi $\tg(8x)$ dengan $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\ke(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Mengurangi $x$ dan mengeluarkan konstanta $\frac(5)(8)$ dari tanda limit, kita mendapatkan:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Perhatikan bahwa $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ sepenuhnya memenuhi persyaratan untuk batas luar biasa pertama. Untuk mencari $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ rumus berikut dapat diterapkan:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Menjawab: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Contoh #5

Cari $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Karena $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (ingat bahwa $\cos(0)=1$) dan $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, maka kita berhadapan dengan bentuk tak tentu $\frac(0)(0)$. Namun, untuk menerapkan batas luar biasa pertama, Anda harus menyingkirkan kosinus dalam pembilangnya dengan menggunakan sinus (untuk menerapkan rumus tersebut) atau garis singgung (untuk menerapkan rumus tersebut). Anda dapat melakukan ini dengan transformasi berikut:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Mari kita kembali ke batas:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\kanan) $$

Pecahan $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ sudah mendekati bentuk yang diperlukan untuk batas luar biasa pertama. Mari kita bekerja sedikit dengan pecahan $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, menyesuaikannya dengan batas luar biasa pertama (perhatikan bahwa ekspresi dalam pembilang dan di bawah sinus harus cocok):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\kanan)^2$$

Mari kita kembali ke batas yang dipertimbangkan:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\kiri(25\cos(5x)\cdot\kiri(\frac(\sin(5x))(5x)\kanan)^2\kanan)=\\ =25\cdot\lim_(x\ke( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Menjawab: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Contoh #6

Cari limit $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Karena $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ dan $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, maka kita berurusan dengan ketidakpastian $\frac(0)(0)$. Mari kita buka dengan bantuan batas luar biasa pertama. Untuk melakukan ini, mari kita beralih dari cosinus ke sinus. Karena $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, maka:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Melewati batas yang diberikan untuk sinus, kita akan memiliki:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\ke(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\kanan)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\kanan)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\kanan)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Menjawab: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Contoh #7

Hitung limit $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ yang diberikan $\alpha\neq\ beta $.

Penjelasan rinci telah diberikan sebelumnya, tetapi di sini kami hanya mencatat bahwa sekali lagi ada ketidaktentuan $\frac(0)(0)$. Mari kita beralih dari cosinus ke sinus menggunakan rumus

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Dengan menggunakan rumus di atas, kita peroleh:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\kanan| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\kanan)\cdot\sin\kiri(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\kanan))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\kanan))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\kiri(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\kanan))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Menjawab: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Contoh #8

Cari limit $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Karena $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (ingat bahwa $\sin(0)=\tg(0)=0$) dan $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, maka di sini kita berhadapan dengan ketidaktentuan dari bentuk $\frac(0)(0)$. Mari kita uraikan seperti ini:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\kanan))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\kanan)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\kanan) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Menjawab: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Contoh #9

Cari limit $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Karena $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ dan $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, maka ada ketidaktentuan dari bentuk $\frac(0)(0)$. Sebelum melanjutkan ke ekspansi, akan lebih mudah untuk mengubah variabel sedemikian rupa sehingga variabel baru cenderung nol (perhatikan bahwa variabel $\alpha \ke 0$ dalam rumus). Cara termudah adalah dengan memperkenalkan variabel $t=x-3$. Namun, untuk kemudahan transformasi lebih lanjut (manfaat ini dapat dilihat dalam penyelesaian solusi di bawah), ada baiknya melakukan penggantian berikut: $t=\frac(x-3)(2)$. Saya perhatikan bahwa kedua substitusi berlaku dalam kasus ini, hanya substitusi kedua yang memungkinkan Anda bekerja lebih sedikit dengan pecahan. Sejak $x\to(3)$, maka $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\kanan| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\ke(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\ke(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\ke(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ ke(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\ke(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\ke(0))\kiri(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\kanan) =\ lim_(t\ke(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\ke(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Menjawab: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Contoh #10

Cari limit $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

Sekali lagi kita berhadapan dengan ketidakpastian $\frac(0)(0)$. Sebelum melanjutkan ke ekspansi, akan lebih mudah untuk mengubah variabel sedemikian rupa sehingga variabel baru cenderung nol (perhatikan bahwa variabel adalah $\alpha\to(0)$ dalam rumus). Cara termudah adalah dengan memperkenalkan variabel $t=\frac(\pi)(2)-x$. Sejak $x\to\frac(\pi)(2)$, maka $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\kanan)^2) =\kiri|\frac(0)(0)\kanan| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\ke(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\kanan))(t^2) =\lim_(t\ke(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\ke(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\ke(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\ke(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\ke( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\kanan)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Menjawab: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\kanan)^2) =\frac(1)(2)$.

Contoh #11

Cari limit $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Dalam hal ini, kita tidak harus menggunakan batas luar biasa pertama. Harap diperhatikan: baik di batas pertama dan kedua, hanya ada fungsi dan angka trigonometri. Seringkali, dalam contoh semacam ini, dimungkinkan untuk menyederhanakan ekspresi yang terletak di bawah tanda batas. Dalam hal ini, setelah penyederhanaan dan pengurangan beberapa faktor tersebut, ketidakpastian menghilang. Saya memberikan contoh ini hanya dengan satu tujuan: untuk menunjukkan bahwa keberadaan fungsi trigonometri di bawah tanda batas tidak selalu berarti penerapan batas luar biasa pertama.

Karena $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (ingat bahwa $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) dan $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (ingat bahwa $\cos\frac(\pi)(2)=0$), maka kita berurusan dengan ketidakpastian dari bentuk $\frac(0)(0)$. Namun, ini tidak berarti sama sekali bahwa kita perlu menggunakan batas luar biasa pertama. Untuk mengungkapkan ketidakpastian, cukup memperhitungkan bahwa $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Ada solusi serupa dalam buku solusi Demidovich (No. 475). Untuk limit kedua, seperti pada contoh sebelumnya pada bagian ini, kita memiliki ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$. Mengapa itu muncul? Itu muncul karena $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ dan $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Kami menggunakan nilai-nilai ini untuk mengubah ekspresi dalam pembilang dan penyebut. Tujuan dari tindakan kami: tulis jumlah dalam pembilang dan penyebut sebagai produk. Omong-omong, seringkali lebih mudah untuk mengganti variabel dalam bentuk yang sama sehingga variabel baru cenderung nol (lihat, misalnya, contoh No. 9 atau No. 10 di halaman ini). Namun, dalam contoh ini, tidak ada gunanya mengganti variabel, meskipun mudah untuk mengimplementasikan penggantian variabel $t=x-\frac(2\pi)(3)$ jika diinginkan.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ ke\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\kanan )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\kanan))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\kanan))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\kanan))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\kanan)\cdot\left( -\frac(1)(2)\kanan)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

Seperti yang Anda lihat, kami tidak harus menerapkan batas luar biasa pertama. Tentu saja, ini dapat dilakukan jika diinginkan (lihat catatan di bawah), tetapi itu tidak perlu.

Apa yang akan menjadi solusi menggunakan batas luar biasa pertama? tunjukan Sembunyikan

Dengan menggunakan limit luar biasa pertama, kita peroleh:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ kanan))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\kanan) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\kiri(-\frac(1)(2)\kanan)\cdot\kiri(-\frac(1)(2)\kanan)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Menjawab: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\ke\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.