Konsep fungsi logaritma

Pertama, mari kita ingat apa itu logaritma.

Definisi 1

Logaritma suatu bilangan $b\in R$ ke basis $a$ ($a>0,\ a\ne 1$) adalah bilangan $c$ yang harus dinaikkan bilangan $a$ untuk mendapatkan bilangan tersebut $b$.

Pertimbangkan fungsi eksponensial $f\left(x\right)=a^x$, di mana $a >1$. Fungsi ini meningkat, kontinu dan memetakan sumbu real ke interval $(0,+\infty)$. Kemudian, dengan teorema keberadaan fungsi kontinu invers, pada himpunan $Y=(0,+\infty)$ memiliki fungsi invers $x=f^(-1)(y)$, yang juga kontinu dan meningkat dalam $Y $ dan memetakan interval $(0,+\infty)$ ke seluruh sumbu nyata. Fungsi invers ini disebut fungsi logaritma pada basis $a\ (a >1)$ dan dinotasikan $y=((log)_a x\ )$.

Sekarang perhatikan fungsi eksponensial $f\left(x\right)=a^x$, di mana $0

Jadi, kami telah mendefinisikan fungsi logaritmik untuk semua nilai yang mungkin dari basis $a$. Mari kita pertimbangkan kedua kasus ini secara terpisah.

1%24"> Fungsi $y=((log)_a x\ ),\ a >1$

Mempertimbangkan properti fungsi ini.

Tidak ada perpotongan dengan sumbu $Oy$.

Fungsinya positif untuk $x\in (1,+\infty)$ dan negatif untuk $x\in (0,1)$

$y"=\frac(1)(xlna)$;

Poin minimum dan maksimum:

Fungsi meningkat di seluruh domain definisi;

$y^("")=-\frac(1)(x^2lna)$;

\[-\frac(1)(x^2lna)Fungsinya cembung pada seluruh domain definisi;

$(\mathop(lim)_(x\ke 0) y\ )=-\infty ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) y\ )=+\infty ,\ $;

Grafik fungsi (Gbr. 1).

Gambar 1. Grafik fungsi $y=((log)_a x\ ),\ a >1$

Fungsi $y=((log)_a x\ ), \ 0

Pertimbangkan sifat-sifat fungsi ini.

Domain definisi adalah interval $(0,+\infty)$;

Rentang nilai adalah semua bilangan real;

Fungsinya bukan genap maupun ganjil.

Titik potong dengan sumbu koordinat:

Tidak ada perpotongan dengan sumbu $Oy$.

Untuk $y=0$, $((log)_a x\ )=0,\ x=1.$ Perpotongan dengan sumbu $Ox$: (1,0).

Fungsinya positif untuk $x\in (0,1)$ dan negatif untuk $x\in (1,+\infty)$

$y"=\frac(1)(xlna)$;

Poin minimum dan maksimum:

\[\frac(1)(xlna)=0-akar\ tidak\]

Tidak ada poin maksimum atau minimum.

$y^("")=-\frac(1)(x^2lna)$;

Interval kecembungan dan kecekungan:

\[-\frac(1)(x^2lna)>0\]

Grafik fungsi (Gbr. 2).

Contoh penelitian dan konstruksi fungsi logaritma

Contoh 1

Jelajahi dan buat grafik fungsi $y=2-((log)_2 x\ )$

Domain definisi adalah interval $(0,+\infty)$;

Rentang nilai adalah semua bilangan real;

Fungsinya bukan genap maupun ganjil.

Titik potong dengan sumbu koordinat:

Tidak ada perpotongan dengan sumbu $Oy$.

Untuk $y=0$, $2-((log)_2 x\ )=0,\ x=4.$ Perpotongan dengan sumbu $Ox$: (4,0).

Fungsinya positif untuk $x\in (0,4)$ dan negatif untuk $x\in (4,+\infty)$

$y"=-\frac(1)(xln2)$;

Poin minimum dan maksimum:

\[-\frac(1)(xln2)=0-akar\ tidak\]

Tidak ada poin maksimum atau minimum.

Fungsi menurun di seluruh domain definisi;

$y^("")=\frac(1)(x^2ln2)$;

Interval kecembungan dan kecekungan:

\[\frac(1)(x^2ln2) >0\]

Fungsinya cekung di seluruh domain definisi;

$(\mathop(lim)_(x\ke 0) y\ )=+\infty ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) y\ )=-\infty ,\ $;

Gambar 3

Fungsi logaritma dilambangkan

y yang sesuai dengan nilai x disebut bilangan asli x. Menurut definisi, relasi (1) setara dengan

(e - ). Karena e y > 0 untuk sembarang y real, maka fungsi logaritma hanya didefinisikan untuk x > 0. Dalam pengertian yang lebih umum, fungsi logaritma disebut fungsi

di mana a > 0 (a 1) adalah sembarang. Namun, dalam analisis matematis, fungsi InX memiliki fitur khusus; log fungsi a X direduksi dengan rumus:

dimana M = 1/Dalam a. Fungsi logaritmik adalah salah satu yang utama; jadwalnya Nasi. satu) disebut . Fungsi logaritma dasar mengikuti sifat-sifat yang sesuai dari fungsi eksponensial dan logaritma; misalnya Fungsi logaritma memenuhi persamaan fungsional

Beras. 1 sampai Seni. fungsi logaritma.

untuk 1< х, 1 справедливо разложение Логарифмическая функция в степенной ряд:

log(1 + x) = x

Banyak yang dinyatakan dalam fungsi logaritma; Sebagai contoh

,

.

Fungsi logaritma selalu ditemui dalam analisis matematika dan aplikasinya.

Fungsi logaritma sudah dikenal pada abad ke-17. Untuk pertama kalinya, hubungan antar variabel, yang dinyatakan dengan fungsi logaritmik, dipertimbangkan oleh J. (1614). Dia mewakili hubungan antara angka dan logaritma mereka menggunakan dua titik yang bergerak sepanjang garis lurus paralel ( Nasi. 2). Salah satunya (Y) bergerak beraturan, mulai dari C, dan yang lain (X), mulai dari A, bergerak sebanding dengannya ke B. Jika kita menempatkan SU = y, XB = x, maka, menurut definisi ini, dx / dy = kx, dari mana .

Fungsi logaritmik pada fungsi kompleks adalah fungsi bernilai banyak (bernilai tak hingga) yang didefinisikan untuk semua z 0 yang dilambangkan dengan Lnz. Cabang yang jelas dari fungsi ini, didefinisikan sebagai

Inz = In½ z½ + i arg z,

Halaman 1

Fungsi logaritma (80) melakukan pemetaan terbalik dari seluruh bidang w dengan potongan menjadi strip - i / /: i, permukaan Riemann berlembar tak hingga ke bidang z - lengkap.

Fungsi logaritma: y logax, di mana basis logaritmanya adalah bilangan positif-a, tidak sama dengan satu.

Fungsi logaritmik memainkan peran khusus dalam pengembangan dan analisis algoritma, sehingga perlu dipertimbangkan secara lebih rinci. Karena kita sering berurusan dengan hasil analitik di mana faktor konstan dihilangkan, kita menggunakan notasi log TV, menghilangkan basis. Mengubah basis logaritma mengubah nilai logaritma hanya dengan faktor konstan, namun, nilai khusus dari basis logaritma muncul dalam konteks tertentu.

Fungsi logaritma adalah kebalikan dari eksponensial. Grafiknya (Gbr. 247) diperoleh dari grafik fungsi eksponensial (dengan alas yang sama) dengan menekuk gambar di sepanjang garis bagi sudut koordinat pertama. Grafik dari setiap fungsi invers juga diperoleh.

Fungsi logaritma kemudian diperkenalkan sebagai kebalikan dari eksponensial. Sifat-sifat kedua fungsi diturunkan tanpa kesulitan dari definisi ini. Definisi inilah yang disetujui oleh Gauss, yang pada saat yang sama menyatakan ketidaksetujuan dengan penilaian yang diberikan kepadanya dalam ulasan Göttingen Scientific News. Pada saat yang sama, Gauss mendekati masalah dari sudut pandang yang lebih luas daripada da Cunha. Yang terakhir membatasi dirinya untuk mempertimbangkan fungsi eksponensial dan logaritmik di wilayah nyata, sementara Gauss memperluas definisinya ke variabel kompleks.

Fungsi logaritma y logax monoton di seluruh domain definisinya.

Fungsi logaritma kontinu dan terdiferensiasikan di seluruh domain definisi.

Fungsi logaritma meningkat secara monoton jika a I, Ketika 0 a 1, fungsi logaritma dengan basis a menurun secara monoton.

Fungsi logaritma didefinisikan hanya untuk nilai positif x dan satu-ke-satu menampilkan interval (0; 4 - oc.

Fungsi logaritma y loga x adalah fungsi invers dari fungsi eksponensial yax.

Fungsi logaritma: y ogax, di mana basis logaritma a adalah bilangan positif yang tidak sama dengan satu.

Fungsi logaritmik dikombinasikan dengan baik dengan konsep fisik sifat mulur polietilen dalam kondisi di mana laju regangan rendah. Dalam hal ini, mereka bertepatan dengan persamaan Andraade, sehingga kadang-kadang digunakan untuk memperkirakan data eksperimen.

Fungsi logaritma, atau logaritma natural, u Dalam z, ditentukan dengan memecahkan persamaan transendental r ei terhadap u. Dalam kisaran nilai nyata x dan y, di bawah kondisi x 0, persamaan ini mengakui solusi yang unik.

Bagian logaritma sangat penting dalam kursus sekolah "Analisis Matematika". Tugas untuk fungsi logaritma didasarkan pada prinsip lain selain tugas untuk pertidaksamaan dan persamaan. Pengetahuan tentang definisi dan sifat dasar dari konsep logaritma dan fungsi logaritma akan memastikan keberhasilan solusi dari masalah USE yang umum.

Sebelum melanjutkan untuk menjelaskan apa itu fungsi logaritma, ada baiknya merujuk pada definisi logaritma.

Mari kita lihat contoh spesifik: a log a x = x, di mana a 0, a 1.

Properti utama logaritma dapat didaftar dalam beberapa poin:

Logaritma

Logaritma adalah operasi matematika yang memungkinkan penggunaan sifat-sifat suatu konsep untuk menemukan logaritma suatu bilangan atau ekspresi.

Contoh:

Fungsi logaritma dan sifat-sifatnya

Fungsi logaritma memiliki bentuk

Kami segera mencatat bahwa grafik suatu fungsi dapat meningkat untuk a 1 dan menurun untuk 0 a 1. Bergantung pada ini, kurva fungsi akan memiliki satu atau lain bentuk.

Berikut adalah sifat dan metode untuk memplot grafik logaritma:

• domain dari f(x) adalah himpunan semua bilangan positif, mis. x dapat mengambil nilai apapun dari interval (0; + );
• Fungsi ODZ - himpunan semua bilangan real, mis. y bisa sama dengan angka berapa pun dari interval (- ; +∞);
• jika basis logaritma a > 1, maka f(x) meningkat pada seluruh domain definisi;
• jika basis logaritmanya adalah 0 a 1, maka F menurun;
• fungsi logaritma bukan genap maupun ganjil;
• kurva grafik selalu melalui titik dengan koordinat (1;0).

Membangun kedua jenis grafik itu sangat sederhana, mari kita lihat prosesnya menggunakan contoh

Pertama, Anda perlu mengingat sifat-sifat logaritma sederhana dan fungsinya. Dengan bantuan mereka, Anda perlu membuat tabel untuk nilai x dan y tertentu. Kemudian, pada sumbu koordinat, titik-titik yang diperoleh harus ditandai dan dihubungkan dengan garis halus. Kurva ini akan menjadi grafik yang dibutuhkan.

Fungsi logaritma adalah kebalikan dari fungsi eksponensial yang diberikan oleh y= a x . Untuk memverifikasi ini, cukup menggambar kedua kurva pada sumbu koordinat yang sama.

Jelas, kedua garis adalah bayangan cermin satu sama lain. Dengan membuat garis lurus y = x, Anda dapat melihat sumbu simetri.

Untuk menemukan jawaban masalah dengan cepat, Anda perlu menghitung nilai titik untuk y = log 2⁡ x, dan kemudian cukup pindahkan titik asal titik koordinat tiga divisi ke bawah sumbu OY dan 2 divisi ke kiri sepanjang sumbu OX.

Sebagai buktinya, kita akan membuat tabel perhitungan titik-titik dari grafik y = log 2 (x + 2) -3 dan membandingkan nilai yang diperoleh dengan gambar tersebut.

Seperti yang Anda lihat, koordinat dari tabel dan titik-titik pada grafik cocok, oleh karena itu, transfer sepanjang sumbu dilakukan dengan benar.

Contoh pemecahan masalah USE tipikal

Sebagian besar tugas tes dapat dibagi menjadi dua bagian: menemukan domain definisi, menentukan jenis fungsi menurut gambar grafik, menentukan apakah fungsi naik / turun.

Untuk jawaban cepat untuk tugas, perlu dipahami dengan jelas bahwa f(x) meningkat jika eksponen logaritma a > 1, dan menurun - ketika 0 a 1. Namun, tidak hanya basis, tetapi juga argumen dapat sangat mempengaruhi bentuk kurva fungsi.

F(x) yang diberi tanda centang adalah jawaban yang benar. Keraguan dalam hal ini disebabkan oleh contoh 2 dan 3. Tanda “-” di depan log berubah naik menjadi berkurang dan sebaliknya.

Oleh karena itu, grafik y=-log 3⁡ x berkurang di seluruh domain definisi, dan y= -log (1/3) x meningkat, meskipun basisnya adalah 0 a ‹ 1.

Menjawab: 3,4,5.

Menjawab: 4.

Jenis tugas ini dianggap mudah dan diperkirakan 1-2 poin.

Tugas 3.

Tentukan apakah fungsi tersebut turun atau naik dan tunjukkan ruang lingkup definisinya.

Y = log 0,7 (0,1x-5)

Karena basis logaritma kurang dari satu tetapi lebih besar dari nol, fungsi x menurun. Menurut sifat-sifat logaritma, argumen juga harus lebih besar dari nol. Mari selesaikan pertidaksamaan:

Menjawab: domain definisi D(x) adalah interval (50; + ).

Menjawab: 3, 1, sumbu OX, ke kanan.

Tugas tersebut diklasifikasikan sebagai rata-rata dan diperkirakan 3-4 poin.

Tugas 5. Temukan rentang untuk suatu fungsi:

Diketahui dari sifat-sifat logaritma bahwa argumen hanya bisa positif. Oleh karena itu, kami menghitung luas nilai yang dapat diterima dari fungsi tersebut. Untuk melakukan ini, perlu untuk memecahkan sistem dua pertidaksamaan.

Properti utama logaritma, grafik logaritma, domain definisi, himpunan nilai, rumus dasar, kenaikan dan penurunan diberikan. Menemukan turunan dari logaritma dipertimbangkan. Selain integral, ekspansi dan representasi deret pangkat melalui bilangan kompleks.

Definisi logaritma

Logaritma dengan basis a adalah fungsi y (x) = log x, invers ke fungsi eksponensial dengan basis a: x (y) = a y.

logaritma desimal adalah logaritma ke basis angka 10 : log x log 10 x.

logaritma natural adalah logaritma ke basis e: ln x log e x.

2,718281828459045... ;
.

Grafik logaritma diperoleh dari grafik fungsi eksponensial dengan refleksi cermin tentang garis lurus y \u003d x. Di sebelah kiri adalah grafik fungsi y (x) = log x untuk empat nilai dasar logaritma:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 dan a = 1/8 . Grafik tersebut menunjukkan bahwa untuk a > 1 logaritma meningkat secara monoton. Ketika x meningkat, pertumbuhan melambat secara signifikan. Pada 0 < a < 1 logaritma menurun secara monoton.

Sifat-sifat logaritma

Domain, kumpulan nilai, naik, turun

Logaritma adalah fungsi monoton, sehingga tidak memiliki ekstrem. Properti utama logaritma disajikan dalam tabel.

Domain	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Jarak nilai	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Nada datar	meningkat secara monoton	berkurang secara monoton
Nol, y= 0	x= 1	x= 1
Titik potong dengan sumbu y, x = 0	Tidak	Tidak
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Nilai pribadi

Logaritma basis 10 disebut logaritma desimal dan ditandai seperti ini:

logaritma dasar e ditelepon logaritma natural:

Rumus logaritma dasar

Sifat-sifat logaritma berikut dari definisi fungsi invers:

Properti utama logaritma dan konsekuensinya

Rumus pengganti dasar

Logaritma adalah operasi matematika mengambil logaritma. Saat mengambil logaritma, produk faktor dikonversi menjadi jumlah suku.

Potensiasi adalah operasi matematika kebalikan dari logaritma. Saat mempotensiasi, basis yang diberikan dinaikkan ke kekuatan ekspresi di mana potensiasi dilakukan. Dalam hal ini, jumlah istilah diubah menjadi produk faktor.

Bukti rumus dasar logaritma

Rumus yang terkait dengan logaritma mengikuti dari rumus untuk fungsi eksponensial dan dari definisi fungsi invers.

Pertimbangkan properti fungsi eksponensial
.
Kemudian
.
Terapkan properti fungsi eksponensial
:
.

Mari kita buktikan rumus perubahan basis.
;
.
Pengaturan c = b , kita memiliki:

Fungsi terbalik

Kebalikan dari logaritma dasar a adalah fungsi eksponen dengan eksponen a.

Jika kemudian

Jika kemudian

Turunan dari logaritma

Turunan dari modulo logaritma x :
.
Turunan dari orde ke-n:
.
Turunan rumus > > >

Untuk menemukan turunan dari logaritma, itu harus direduksi menjadi basis e.
;
.

Integral

Integral logaritma dihitung dengan mengintegrasikan bagian : .
Jadi,

Ekspresi dalam bilangan kompleks

Perhatikan fungsi bilangan kompleks z:
.
Mari kita nyatakan bilangan kompleks z melalui modul r dan argumen φ :
.
Kemudian, dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kita memperoleh:
.
Atau

Namun, argumen φ tidak didefinisikan dengan jelas. Jika kita menempatkan
, di mana n adalah bilangan bulat,
maka itu akan menjadi nomor yang sama untuk yang berbeda n.

Oleh karena itu, logaritma, sebagai fungsi dari variabel kompleks, bukanlah fungsi bernilai tunggal.

Ekspansi seri daya

Untuk , ekspansi terjadi:

Referensi:
DI. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.