Dalam tugas No. 7 tingkat profil USE dalam matematika, perlu untuk menunjukkan pengetahuan tentang fungsi turunan dan antiturunan. Dalam kebanyakan kasus, cukup mendefinisikan konsep dan memahami arti dari turunannya.

Analisis opsi tipikal untuk tugas No. 7 GUNAKAN dalam matematika tingkat profil

Versi pertama dari tugas (versi demo 2018)

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi terdiferensiasi y = f(x). Sembilan titik ditandai pada sumbu x: x 1 , x 2 , …, x 9 . Di antara titik-titik ini, temukan semua titik di mana turunan dari fungsi y = f(x) negatif. Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah poin yang ditemukan.

Algoritma solusi:

1. Mari kita lihat grafik fungsinya.
2. Kami mencari titik di mana fungsi menurun.
3. Kami menghitung jumlah mereka.
4. Kami menuliskan jawabannya.

Keputusan:

1. Pada grafik, fungsi meningkat secara berkala, menurun secara berkala.

2. Dalam interval di mana fungsi menurun, turunannya bernilai negatif.

3. Interval ini mengandung poin x 3 , x 4 , x 5 , x sembilan. Ada 4 poin seperti itu.

Versi kedua dari tugas (dari Yaschenko, No. 4)

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y \u003d f (x). Titik -2, -1, 2, 4 ditandai pada sumbu x. Di titik manakah nilai turunan terbesar? Harap tunjukkan poin ini dalam jawaban Anda.

Algoritma solusi:

1. Mari kita lihat grafik fungsinya.
2. Kami mempertimbangkan perilaku fungsi di setiap titik dan tanda turunannya.
3. Kami menemukan poin dalam nilai terbesar dari turunan.
4. Kami menuliskan jawabannya.

Keputusan:

1. Fungsi memiliki beberapa interval turun dan naik.

2. Dimana fungsi menurun. Derivatif memiliki tanda minus. Poin-poin seperti itu termasuk di antara yang ditunjukkan. Tetapi ada titik pada grafik di mana fungsinya meningkat. Turunan mereka positif. Ini adalah titik-titik dengan absis -2 dan 2.

3. Perhatikan grafik di titik-titik dengan x=-2 dan x=2. Di titik x = 2, fungsi naik lebih curam, yang berarti garis singgung di titik ini memiliki kemiringan yang lebih besar. Oleh karena itu, pada titik dengan absis 2. Turunannya memiliki nilai terbesar.

Versi tugas ketiga (dari Yaschenko, No. 21)

Garis bersinggungan dengan grafik fungsi . Menemukan sebuah.

Algoritma solusi:

1. Kami menyamakan persamaan tangen dan fungsi.
2. Kami menyederhanakan persamaan yang diperoleh.
3. Kami menemukan diskriminan.
4. Tentukan parameternya sebuah, yang solusinya unik.
5. Kami menuliskan jawabannya.

Keputusan:

1. Koordinat titik singgung memenuhi kedua persamaan: garis singgung dan fungsi. Jadi persamaannya bisa kita samakan. Kita mendapatkan:

2. Kami menyederhanakan persamaan dengan memindahkan semua suku ke satu arah:

3. Harus ada satu solusi pada titik kontak, sehingga diskriminan dari persamaan yang dihasilkan harus sama dengan nol. Ini adalah kondisi untuk keunikan akar persamaan kuadrat.

4. Kami mendapatkan:

Jika tugas diselesaikan dengan benar, maka Anda mendapatkan 1 poin.

Sekitar 5 menit.

Untuk menyelesaikan tugas 7 dalam matematika tingkat profil, Anda perlu mengetahui:

1. Tugas dibagi menjadi beberapa jenis:
   • arti fisik turunan.
   • arti geometris turunan dan tangen;
   • penerapan turunan untuk studi fungsi;
   • primitif.
2. Pengetahuan tentang fungsi turunan dan .
3. Dan dalam kebanyakan kasus, hanya mendefinisikan konsep dan memahami arti dari turunannya.

• Turunan - laju perubahan fungsi. Derivatifnya positif pada interval dimana fungsi di tumbuh dan negatif pada interval di mana fungsi menurun.
• Titik ekstrim, maksimum dan minimum. titik ekstrim– nilai maksimum/minimum fungsi pada himpunan yang diberikan. Jika tercapai nilai maksimum, maka titik ekstrem disebut “titik maksimum”, jika tercapai nilai terkecil, maka titik ekstrem disebut “titik minimum”.
• Primitif. Fungsi F(x) disebut antiturunan dari fungsi f(x) pada interval tertentu, jika untuk semua X dari interval ini persamaan F′(x) = f(x). Operasi pencarian fungsi antiturunan disebut integrasi.
• Integrasi - operasi matematika, kebalikan dari diferensiasi, yaitu menemukan turunan. Integrasi memungkinkan Anda untuk menemukan fungsi itu sendiri dari turunan suatu fungsi.

02.01.2020

Menantu perempuan yang langka dapat membanggakan bahwa mereka memiliki hubungan yang genap dan bersahabat dengan ibu mertua mereka. Biasanya yang terjadi sebaliknya

TURUNAN-turunan fungsi kamu = f(x) didefinisikan pada beberapa interval ( sebuah, b) pada intinya x interval ini disebut batas yang rasio kenaikan fungsi cenderung f pada saat itu ke kenaikan argumen yang sesuai saat kenaikan argumen mendekati nol.

Derivatif biasanya dilambangkan sebagai berikut:

Notasi lain juga banyak digunakan:

Kecepatan instan.

Biar intinya M bergerak dalam garis lurus. Jarak s titik bergerak, dihitung dari beberapa posisi awal M 0 , tergantung waktu t, yaitu s adalah fungsi waktu t: s= f(t). Biarkan suatu saat nanti t titik bergerak M berada di kejauhan s dari posisi awal M 0, dan pada saat berikutnya t+ D t berada dalam posisi M 1 - pada jarak s+ D s dari posisi awal ( lihat gambar.).

Jadi, untuk selang waktu D t jarak s diubah dengan nilai D s. Dalam hal ini, kita katakan bahwa selama selang waktu D t besarnya s menerima kenaikan D s.

Kecepatan rata-rata dalam semua kasus tidak dapat secara akurat mencirikan kecepatan pergerakan suatu titik. M pada saat itu t. Jika, misalnya, benda di awal interval D t bergerak sangat cepat, dan pada akhirnya sangat lambat, maka kecepatan rata-rata tidak akan dapat mencerminkan fitur yang ditunjukkan dari pergerakan titik dan memberikan gambaran tentang kecepatan sebenarnya dari gerakannya saat ini. t. Untuk lebih akurat mengungkapkan kecepatan sebenarnya menggunakan kecepatan rata-rata, Anda perlu mengambil periode waktu yang lebih kecil D t. Ini paling sepenuhnya mencirikan kecepatan pergerakan suatu titik saat ini t batas di mana kecepatan rata-rata cenderung di D t® 0. Batas ini disebut kecepatan gerakan pada saat tertentu:

Jadi, kecepatan gerak pada saat tertentu adalah batas rasio pertambahan lintasan D s dengan pertambahan waktu D t ketika kenaikan waktu cenderung nol. Sebagai

Nilai geometrik turunan. Menyinggung grafik fungsi.

Konstruksi garis singgung adalah salah satu masalah yang menyebabkan lahirnya kalkulus diferensial. Karya pertama yang diterbitkan tentang kalkulus diferensial, yang ditulis oleh Leibniz, berjudul Sebuah metode baru maxima dan minima, serta garis singgung, yang jumlah pecahan atau irasional tidak menjadi kendala, dan jenis kalkulus khusus untuk ini.

Biarkan kurva menjadi grafik fungsi kamu =f(x) dalam sistem koordinat persegi panjang ( cm. Nasi.).

Untuk beberapa nilai x fungsi penting kamu =f(x). Nilai-nilai ini x dan kamu titik pada kurva M 0(x, kamu). Jika argumen x memberi kenaikan D x, maka nilai baru dari argumen x+ D x sesuai dengan nilai baru dari fungsi y+ D kamu = f(x + D x). Titik yang sesuai dari kurva akan menjadi titik M 1(x+ D x,kamu+ D kamu). Jika kita menggambar garis potong M 0M 1 dan dilambangkan dengan j sudut yang dibentuk oleh garis potong dengan arah sumbu positif Sapi, secara langsung terlihat dari gambar bahwa

Jika sekarang D x cenderung nol, maka titik M 1 bergerak sepanjang kurva, mendekati titik M 0 dan sudut j berubah dengan perubahan D x. Pada Dx® 0 sudut j cenderung ke suatu batas a dan garis yang melalui titik M 0 dan komponen dengan arah positif dari sumbu absis, sudut a, akan menjadi tangen yang diinginkan. Kemiringannya:

Karena itu, f´( x) = tga

itu. nilai turunan f´( x) untuk nilai argumen yang diberikan x sama dengan garis singgung sudut yang dibentuk oleh garis singgung grafik fungsi f(x) pada titik yang sesuai M 0(x,kamu) dengan arah sumbu positif Sapi.

Diferensiasi fungsi.

Definisi. Jika fungsi kamu = f(x) memiliki turunan di titik x = x 0, maka fungsi tersebut terdiferensialkan pada titik ini.

Kontinuitas fungsi yang memiliki turunan. Dalil.

Jika fungsi kamu = f(x) terdiferensialkan di beberapa titik x = x 0, maka kontinu pada titik ini.

Jadi, pada titik-titik diskontinuitas, fungsi tersebut tidak dapat memiliki turunan. Kesimpulan kebalikannya salah, mis. dari fakta bahwa di beberapa titik x = x 0 fungsi kamu = f(x) kontinu, tidak berarti terdiferensialkan pada titik ini. Misalnya, fungsi kamu = |x| terus menerus untuk semua x(–Ґ x x = 0 tidak memiliki turunan. Tidak ada garis singgung pada grafik pada titik ini. Ada garis singgung kanan dan garis singgung kiri, tetapi keduanya tidak berimpit.

Beberapa teorema tentang fungsi terdiferensiasi. Teorema pada akar turunan (Teorema Roll). Jika fungsi f(x) kontinu pada segmen [sebuah,b], terdiferensiasi di semua titik interior segmen ini dan di ujungnya x = sebuah dan x = b menghilang ( f(sebuah) = f(b) = 0), lalu di dalam segmen [ sebuah,b] setidaknya ada satu titik x= dengan, sebuah c b, di mana turunannya fў( x) menghilang, yaitu fў( c) = 0.

Teorema kenaikan hingga (Teorema Lagrange). Jika fungsi f(x) kontinu pada ruas [ sebuah, b] dan terdiferensiasi di semua titik interior segmen ini, kemudian di dalam segmen [ sebuah, b] setidaknya ada satu titik dengan, sebuah c b itu

f(b) – f(sebuah) = fў( c)(b– sebuah).

Teorema rasio kelipatan dua fungsi (Teorema Cauchy). Jika sebuah f(x) dan g(x) adalah dua fungsi kontinu pada segmen [sebuah, b] dan terdiferensiasi di semua titik interior segmen ini, dan gў( x) tidak menghilang di mana pun di dalam segmen ini, lalu di dalam segmen [ sebuah, b] ada titik seperti itu x = dengan, sebuah c b itu

Derivatif dari berbagai pesanan.

Biarkan fungsinya kamu =f(x) terdiferensialkan pada suatu interval [ sebuah, b]. Nilai turunan f ў( x), secara umum, tergantung pada x, yaitu turunan f ў( x) juga merupakan fungsi dari x. Ketika fungsi ini diturunkan, apa yang disebut turunan kedua dari fungsi diperoleh f(x), yang dilambangkan f ўў ( x).

turunan n- urutan fungsi f(x) disebut turunan (orde pertama) dari turunan n- 1- th dan dilambangkan dengan simbol kamu(n) = (kamu(n– 1))ў.

Diferensial dari berbagai ordo.

Diferensial fungsi kamu = f(x), di mana x adalah variabel bebas, adalah dy = f ў( x)dx, beberapa fungsi dari x, tapi dari x hanya faktor pertama yang bisa bergantung f ў( x), sedangkan faktor kedua ( dx) adalah pertambahan variabel bebas x dan tidak bergantung pada nilai variabel ini. Sebagai dy ada fungsi dari x, maka kita dapat menentukan diferensial dari fungsi ini. Diferensial dari diferensial suatu fungsi disebut diferensial orde kedua atau kedua dari fungsi ini dan dinotasikan d 2kamu:

d(dx) = d 2kamu = f ўў( x)(dx) 2 .

Diferensial n- orde disebut diferensial pertama dari diferensial n- 1- memesan:

d n y = d(d n–1kamu) = f(n)(x)dx(n).

Turunan swasta.

Jika fungsi tidak bergantung pada satu, tetapi pada beberapa argumen x saya(saya berubah dari 1 menjadi n,saya= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), kemudian dalam kalkulus diferensial konsep turunan parsial diperkenalkan, yang mencirikan laju perubahan fungsi beberapa variabel ketika hanya satu argumen yang berubah, misalnya, x saya. Turunan parsial dari orde pertama sehubungan dengan x saya didefinisikan sebagai turunan biasa, diasumsikan bahwa semua argumen kecuali x saya, menjaga nilai konstan. Untuk turunan parsial, kami memperkenalkan notasi

Turunan parsial dari orde 1 yang didefinisikan dengan cara ini (sebagai fungsi dari argumen yang sama) dapat, pada gilirannya, juga memiliki turunan parsial, ini adalah turunan parsial dari orde kedua, dll. Diambil sehubungan dengan argumen yang berbeda, turunan seperti itu disebut campuran. Turunan campuran kontinu dengan orde yang sama tidak bergantung pada orde diferensiasi dan sama satu sama lain.

Anna Chugainova

turunan fungsi pada titik tersebut disebut limit rasio pertambahan fungsi terhadap pertambahan argumen, asalkan cenderung nol.

Aturan dasar untuk menemukan turunan

Jika - dan - adalah fungsi yang dapat diturunkan di suatu titik, (yaitu fungsi yang memiliki turunan di suatu titik), maka:

Tabel turunan fungsi dasar

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Aturan diferensiasi fungsi kompleks. Jika dan, yaitu , dimana dan memiliki turunan, maka

Diferensiasi fungsi yang didefinisikan secara parametrik. Biarkan ketergantungan variabel pada variabel diberikan secara parametrik melalui parameter:

Tugas 3. Temukan turunan dari fungsi yang diberikan.

1)

Keputusan. Menerapkan aturan 2 untuk menemukan turunan dan rumus 1 dan 2 dari tabel turunan, kita memperoleh:

Keputusan. Menerapkan aturan 4 untuk menemukan turunan dan rumus 1 dan 13 dari tabel turunan, kita memperoleh:

.

Keputusan. Menerapkan aturan 3 untuk menemukan turunan dan rumus 5 dan 11 dari tabel turunan, kita memperoleh:

Keputusan. Dengan asumsi di mana, menurut rumus untuk menemukan turunan dari fungsi kompleks, kita mendapatkan:

Keputusan. Kami memiliki: Kemudian, menurut rumus untuk menemukan turunan dari suatu fungsi yang diberikan secara parametrik, kami mendapatkan:

4. Turunan dari orde yang lebih tinggi. Aturan L'Hopital.

Turunan orde kedua dari suatu fungsi disebut turunan dari turunannya, yaitu . Notasi berikut digunakan untuk turunan kedua: atau, atau.

turunan orde 1 dari suatu fungsi disebut turunan dari turunan orde ke-th. Untuk turunan orde ke-, digunakan notasi berikut: atau, atau.

aturan L'Hopital. Biarkan fungsi dan terdiferensiasi dalam lingkungan suatu titik, dan turunannya tidak hilang. Jika fungsi dan keduanya sangat kecil atau besar tak hingga pada saat yang sama, dan ada limit rasio di, maka ada juga limit rasio di. Dan

.

Aturan itu juga berlaku ketika

Perhatikan bahwa dalam beberapa kasus, pengungkapan ketidakpastian formulir atau mungkin memerlukan penerapan berulang dari aturan L'Hospital.

Lihat ketidakpastian, dll. transformasi dasar dengan mudah direduksi menjadi ketidakpastian bentuk atau.

Tugas 4. Cari limitnya menggunakan aturan L'Hopital.

Keputusan Di sini kita memiliki ketidaktentuan bentuk, karena pada. Mari kita terapkan aturan L'Hospital:

.

Setelah menerapkan aturan L'Hopital, kita kembali mendapatkan ketidakpastian bentuk, karena pada. Menerapkan aturan L'Hopital lagi, kita mendapatkan:

.

5. Penelitian fungsi

a) Fungsi naik dan turun

Fungsi tersebut disebut meningkat pada segmen , jika untuk sembarang titik dan dari segmen mana, pertidaksamaan terjadi. Jika fungsi kontinu pada interval dan pada, maka fungsi tersebut meningkat pada interval.

Fungsi tersebut disebut memudar pada segmen , jika untuk setiap titik dan dari segmen, di mana, pertidaksamaan terjadi. Jika fungsi kontinu pada interval dan pada, maka fungsi tersebut menurun pada interval.

Jika suatu fungsi hanya meningkat atau hanya menurun pada interval tertentu, maka itu disebut membosankan pada interval.

b) Fungsi ekstrem

titik minimum fungsi .

Jika ada -tetangga titik sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan berlaku untuk semua titik di lingkungan ini, maka titik tersebut disebut titik maksimum fungsi .

Titik maksimum dan minimum dari suatu fungsi disebut titik ekstrim.

Titik tersebut disebut titik stasioner jika atau tidak ada.

Jika ada -tetangga dari titik stasioner sedemikian rupa sehingga untuk dan untuk, maka - adalah titik maksimum dari fungsi tersebut.

Jika ada -tetangga dari titik stasioner sedemikian rupa sehingga untuk dan untuk, maka -titik minimum dari fungsi tersebut.

sebuah) Arah kurva. Titik belok

cembung ke atas pada interval , jika terletak di bawah garis singgung yang ditarik ke grafik fungsi di sembarang titik dalam interval ini.

Kondisi yang cukup untuk kecembungan ke atas dari grafik suatu fungsi pada suatu interval adalah pemenuhan ketidaksetaraan untuk salah satu interval yang dipertimbangkan.

Grafik fungsi yang dapat diturunkan disebut cembung ke bawah pada interval , jika terletak di atas garis singgung yang ditarik ke grafik fungsi di sembarang titik dalam interval ini.

Kondisi yang cukup untuk kecembungan ke bawah dari grafik suatu fungsi pada suatu interval adalah pemenuhan ketidaksetaraan untuk salah satu interval yang dipertimbangkan.

Titik di mana arah kecembungan grafik fungsi berubah disebut titik belok.

Titik yang ada atau tidak ada adalah absis titik belok jika memiliki tanda yang berbeda di kiri dan kanannya.

d) Asimtot

Jika jarak dari titik grafik suatu fungsi ke garis lurus tertentu cenderung nol dengan jarak tak hingga dari titik asal, maka garis lurus itu disebut asimtot dari grafik fungsi.

Jika ada bilangan sedemikian rupa, maka garisnya adalah asimtot vertikal.

Jika ada batasan , maka garisnya adalah miring (horizontal pada k=0) asimtot.

e) Studi umum fungsi

1. Lingkup fungsi

2. Titik potong grafik dengan sumbu koordinat

3. Penyelidikan suatu fungsi untuk kontinuitas, genap / ganjil dan periodisitas

4. Interval kemonotonan suatu fungsi

5. Titik ekstrem dari fungsi

6. Interval konveksitas dan titik belok dari grafik suatu fungsi

7. Asimtot dari grafik suatu fungsi

8. Grafik fungsi.

Tugas 5. Selidiki fungsi dan plot grafiknya.

Keputusan. 1) Fungsi didefinisikan pada seluruh sumbu bilangan, kecuali titik di mana penyebut pecahan menghilang. . Kami memiliki: tidak termasuk dalam ruang lingkup fungsi ini. Oleh karena itu, titik stasioner dari fungsi ini adalah titik, nilai minimum (seperti yang ditunjukkan pada gambar).

Banyak teori telah ditulis tentang makna geometris. Saya tidak akan membahas turunan dari peningkatan fungsi, saya akan mengingatkan Anda tentang hal utama untuk menyelesaikan tugas:

Turunan di titik x sama dengan kemiringan garis singgung grafik fungsi y = f (x) di titik ini, yaitu garis singgung sudut kemiringan terhadap sumbu X.

Mari segera ambil tugas dari ujian dan mulai memahaminya:

Tugas nomor 1. Angka tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f(x) dan garis singgungnya di titik dengan absis x0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0.
Siapa yang terburu-buru dan tidak ingin memahami penjelasannya: bangun segitiga seperti itu (seperti yang ditunjukkan di bawah) dan bagi sisi yang berdiri (vertikal) dengan yang berbaring (horizontal) dan Anda akan senang jika Anda tidak melupakan tandanya (jika garisnya berkurang (→ ), maka jawabannya harus dengan minus, jika garisnya bertambah (→), maka jawabannya harus positif!)

Anda perlu menemukan sudut antara garis singgung dan sumbu X, sebut saja : tarik garis lurus sejajar dengan sumbu X di mana saja melalui garis singgung grafik, kita mendapatkan sudut yang sama.

Lebih baik tidak mengambil titik x0, karena Anda akan membutuhkan kaca pembesar besar untuk menentukan koordinat yang tepat.

Mengambil segitiga siku-siku (3 opsi disarankan pada gambar), kami menemukan tgα (sudutnya sama, sesuai), yaitu. kita peroleh turunan dari fungsi f(x) di titik x0. Kenapa begitu?

Jika kita menggambar garis singgung di titik lain x2, x1, dst. tangen akan berbeda.

Mari kita kembali ke kelas 7 untuk membangun garis lurus!

Persamaan garis lurus diberikan oleh persamaan y = kx + b , di mana

k - kemiringan relatif terhadap sumbu X.

b adalah jarak antara titik potong dengan sumbu Y dan titik asal.

Turunan garis lurus selalu sama: y" = k.

Pada titik mana pun pada garis yang kita ambil turunannya, itu tidak akan berubah.

Oleh karena itu, tinggal mencari tgα (sebagaimana disebutkan di atas: kita membagi sisi berdiri dengan sisi berbaring). Kami membagi kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan, kami mendapatkan k \u003d 0,5. Namun, jika grafiknya menurun, koefisiennya negatif: k = 0,5.

Saya menyarankan Anda untuk memeriksa cara kedua:
Dua titik dapat digunakan untuk menentukan garis lurus. Temukan koordinat dua titik mana pun. Misalnya, (-2;-2) dan (2;-4):

Substitusikan dalam persamaan y = kx + b sebagai ganti y dan x koordinat titik-titik:

-2 = -2k + b

Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan b = 3, k = 0,5

Kesimpulan: Metode kedua lebih panjang, tetapi di dalamnya Anda tidak akan melupakan tandanya.

Jawaban: - 0,5

Tugas nomor 2. Angka tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x). Delapan titik ditandai pada sumbu x: x1, x2, x3, ..., x8. Berapa banyak dari titik-titik ini yang terletak pada interval peningkatan fungsi f(x) ?

Jika grafik fungsi menurun - turunannya negatif (dan sebaliknya).

Jika grafik fungsi meningkat, turunannya positif (dan sebaliknya).

Kedua frasa ini akan membantu Anda memecahkan sebagian besar masalah.

Perhatikan baik-baik gambar turunan atau fungsi diberikan kepada Anda, lalu pilih salah satu dari dua frasa.

Kami membuat grafik skematis dari fungsi tersebut. Karena kita diberikan grafik turunan, maka di mana negatif, grafik fungsi menurun, di mana positif, meningkat!

Ternyata 3 poin terletak pada area kenaikan: x4; x5; x6.

Jawaban: 3

Tugas nomor 3. Fungsi f(x) didefinisikan pada interval (-6; 4). Gambar menunjukkan grafik turunannya. Temukan absis titik di mana fungsi tersebut memiliki nilai terbesar.

Saya menyarankan Anda untuk selalu membangun bagaimana grafik fungsi berjalan, dengan panah seperti itu atau secara skematis dengan tanda (seperti pada No. 4 dan No. 5):

Jelas, jika grafik meningkat menjadi -2, maka titik maksimumnya adalah -2.

Jawaban: -2

Tugas nomor 4. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi f(x) dan dua belas titik pada sumbu x: x1, x2, ..., x12. Berapa banyak dari titik-titik ini yang merupakan turunan dari fungsi negatif?

Tugasnya terbalik, mengingat grafik fungsinya, Anda perlu membangun secara skematis seperti apa grafik turunan fungsi itu, dan menghitung berapa banyak titik yang terletak dalam kisaran negatif.

Positif: x1, x6, x7, x12.

Negatif: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Jawaban: 7

Jenis tugas lain, ketika ditanya tentang beberapa "ekstrim" yang mengerikan? Tidak akan sulit bagi Anda untuk menemukan apa itu, tetapi saya akan menjelaskan grafiknya.

Tugas nomor 5. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-16; 6). Tentukan jumlah titik ekstrem dari fungsi f(x) pada ruas [-11; 5].

Perhatikan rentang dari -11 hingga 5!

Mari kita beralih mata cerah kita ke piring: grafik turunan dari fungsi diberikan => maka ekstrim adalah titik potong dengan sumbu X.

Jawaban: 3

Tugas nomor 6. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f (x), yang didefinisikan pada interval (-13; 9). Tentukan jumlah titik maksimum dari fungsi f(x) pada ruas [-12; 5].

Perhatikan rentang dari -12 hingga 5!

Anda dapat melihat pelat dengan satu mata, titik maksimum adalah ekstrem, sehingga sebelum turunannya positif (fungsinya meningkat), dan setelahnya turunannya negatif (fungsinya menurun). Titik-titik ini dilingkari.

Panah menunjukkan bagaimana grafik fungsi berperilaku.

Jawaban: 3

Tugas nomor 7. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval (-7; 5). Tentukan banyaknya titik dimana turunan dari fungsi f(x) sama dengan 0.

Anda dapat melihat tabel di atas (turunannya adalah nol, yang berarti ini adalah titik ekstrem). Dan dalam masalah ini, grafik fungsi diberikan, yang berarti Anda perlu mencari jumlah titik belok!

Dan Anda dapat, seperti biasa: kami membuat grafik skema turunan.

Turunan adalah nol ketika grafik fungsi berubah arahnya (dari naik ke turun dan sebaliknya)

Jawaban: 8

Tugas nomor 8. Gambar menunjukkan grafik turunan fungsi f(x) didefinisikan pada interval (-2; 10). Temukan interval fungsi yang meningkat f(x). Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah poin bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Mari kita buat grafik skematis dari fungsi:

Dimana meningkat, kita mendapatkan 4 poin integer: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Jawaban: 22

Tugas nomor 9. Gambar menunjukkan grafik turunan fungsi f(x) didefinisikan pada interval (-6; 6). Tentukan banyaknya titik f(x) yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar atau berimpit dengan garis y = 2x + 13.

Kami diberikan grafik turunan! Artinya tangen kita juga harus “diterjemahkan” ke dalam turunan.

Turunan tangen: y" = 2.

Sekarang mari kita bangun kedua turunannya:

Garis singgung berpotongan di tiga titik, jadi jawaban kita adalah 3.

Jawaban: 3

Tugas nomor 10. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi f (x), dan titik-titik -2, 1, 2, 3. Di mana dari titik-titik ini adalah nilai turunan yang terkecil? Tolong tunjukkan poin ini dalam jawaban Anda.

Tugasnya agak mirip dengan yang pertama: untuk menemukan nilai turunan, Anda perlu membangun garis singgung grafik ini pada suatu titik dan menemukan koefisien k.

Jika garis menurun, k< 0.

Jika garis naik, k > 0.

Mari kita pikirkan bagaimana nilai koefisien akan mempengaruhi kemiringan garis lurus:

Dengan k = 1 atau k = 1, grafik akan berada di tengah-tengah antara sumbu x dan y.

Semakin dekat garis lurus ke sumbu X, semakin dekat koefisien k ke nol.

Semakin dekat garis ke sumbu Y, semakin dekat koefisien k hingga tak terhingga.

Pada titik -2 dan 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>di situlah nilai terkecil dari turunannya adalah

Jawaban 1

Tugas nomor 11. Garis singgung y = 3x + 9 ke grafik fungsi y = x³ + x² + 2x + 8 . Temukan absis titik kontak.

Garis akan bersinggungan dengan grafik ketika grafik memiliki titik yang sama, seperti turunannya. Samakan persamaan grafik dan turunannya:

Memecahkan persamaan kedua, kita mendapatkan 2 poin. Untuk memeriksa mana yang cocok, kita substitusikan masing-masing x ke persamaan pertama. Hanya satu yang akan melakukannya.

Saya tidak ingin menyelesaikan persamaan kubik sama sekali, tetapi persamaan kuadrat untuk jiwa yang manis.

Itu saja yang harus ditulis sebagai tanggapan, jika Anda mendapatkan dua jawaban "normal"?

Saat mensubstitusi x (x) ke dalam grafik asli y \u003d 3x + 9 dan y \u003d x³ + x² + 2x + 8, Anda harus mendapatkan Y yang sama

y= 1³+1²+2×1+8=12

Benar! Jadi x=1 akan menjadi jawabannya

Jawaban 1

Tugas nomor 12. Garis y = 5x 6 menyinggung grafik fungsi ax² + 5x 5 . Menemukan sebuah .

Demikian pula, kami menyamakan fungsi dan turunannya:

Mari kita selesaikan sistem ini sehubungan dengan variabel a dan x :

Jawaban: 25

Tugas dengan turunan dianggap salah satu yang paling sulit di bagian pertama ujian, namun, dengan sedikit perhatian dan pemahaman tentang masalah ini, Anda akan berhasil, dan Anda akan meningkatkan persentase penyelesaian tugas ini!

Menunjukkan hubungan tanda turunan dengan sifat kemonotonan fungsi.

Harap berhati-hati dalam hal berikut. Lihat, jadwal APA yang diberikan kepada Anda! Fungsi atau turunannya

Diberikan grafik turunan, maka kita hanya tertarik pada tanda fungsi dan nol. Tidak ada "bukit" dan "lubang" yang menarik bagi kami pada prinsipnya!

Tugas 1.

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi yang didefinisikan pada suatu interval. Tentukan jumlah titik bilangan bulat yang turunan fungsinya negatif.

Keputusan:

Pada gambar, area fungsi menurun disorot dalam warna:

4 nilai bilangan bulat termasuk dalam area fungsi menurun ini.

Tugas 2.

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi yang didefinisikan pada suatu interval. Tentukan jumlah titik yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar atau berhimpitan dengan garis.

Keputusan:

Karena garis singgung grafik fungsi sejajar (atau bertepatan) dengan garis lurus (atau, yang sama, ) memiliki lereng, sama dengan nol, maka garis singgung memiliki kemiringan .

Ini pada gilirannya berarti bahwa garis singgung sejajar dengan sumbu, karena kemiringan adalah garis singgung dari sudut kemiringan garis singgung terhadap sumbu.

Oleh karena itu, kami menemukan titik ekstrem pada grafik (titik maksimum dan minimum), - di dalamnya fungsi yang bersinggungan dengan grafik akan sejajar dengan sumbu.

Ada 4 poin seperti itu.

Tugas 3.

Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari suatu fungsi yang didefinisikan pada interval . Tentukan jumlah titik yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar atau berhimpitan dengan garis.

Keputusan:

Karena garis singgung grafik fungsi sejajar (atau bertepatan) dengan garis lurus yang memiliki kemiringan, maka garis singgung tersebut memiliki kemiringan.

Ini pada gilirannya berarti bahwa pada titik-titik kontak.

Oleh karena itu, kita melihat berapa banyak titik pada grafik yang memiliki ordinat sama dengan .

Seperti yang Anda lihat, ada empat poin seperti itu.

Tugas 4.

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi yang didefinisikan pada suatu interval. Tentukan jumlah titik yang turunan fungsinya adalah 0.

Keputusan:

Turunannya adalah nol pada titik-titik ekstrem. Kami memiliki 4 di antaranya:

Tugas 5.

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi dan sebelas titik pada sumbu x:. Berapa banyak dari titik-titik ini yang merupakan turunan dari fungsi negatif?

Keputusan:

Pada interval fungsi menurun, turunannya mengambil nilai negatif. Dan fungsinya berkurang di titik-titik. Ada 4 poin seperti itu.

Tugas 6.

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi yang didefinisikan pada suatu interval. Temukan jumlah titik ekstrem dari fungsi .

Keputusan:

titik ekstrim adalah poin maksimum (-3, -1, 1) dan poin minimum (-2, 0, 3).

Jumlah titik ekstrem: -3-1+1-2+0+3=-2.

Tugas 7.

Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari suatu fungsi yang didefinisikan pada interval . Temukan interval fungsi yang meningkat. Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah poin bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Keputusan:

Gambar tersebut menyoroti interval di mana turunan dari fungsi tersebut non-negatif.

Tidak ada titik integer pada interval kenaikan kecil, pada interval kenaikan ada empat nilai integer: , , dan .

Jumlah mereka:

Tugas 8.

Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari suatu fungsi yang didefinisikan pada interval . Temukan interval fungsi yang meningkat. Dalam jawaban Anda, tuliskan panjang yang terbesar.

Keputusan:

Pada gambar, semua interval di mana turunannya positif disorot, yang berarti bahwa fungsi itu sendiri meningkat pada interval ini.

Panjang yang terbesar adalah 6.

Tugas 9.

Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari suatu fungsi yang didefinisikan pada interval . Pada titik mana di segmen itu mengambil nilai terbesar.

Keputusan:

Kami melihat bagaimana grafik berperilaku pada segmen, yaitu, kami tertarik tanda turunan saja .

Tanda turunan pada adalah minus, karena grafik pada ruas ini berada di bawah sumbu.