Skema uji Bernoulli. rumus Bernoulli
Mari kita lakukan beberapa tes. Selain itu, probabilitas terjadinya peristiwa $A$ di setiap percobaan tidak bergantung pada hasil dari percobaan lainnya. Percobaan-percobaan seperti itu disebut independen sehubungan dengan kejadian A. Dalam percobaan independen yang berbeda, kejadian A dapat memiliki probabilitas yang berbeda, atau satu dan sama. Kami hanya akan mempertimbangkan uji coba independen di mana peristiwa $A$ memiliki probabilitas yang sama.
Yang dimaksud dengan peristiwa kompleks adalah kombinasi peristiwa sederhana. Biarkan n percobaan dilakukan. Dalam setiap percobaan, peristiwa $A$ mungkin atau mungkin tidak terjadi. Kami berasumsi bahwa dalam setiap percobaan probabilitas terjadinya peristiwa $A$ adalah sama dan sama dengan $p$. Maka probabilitas $\overline A $ (atau tidak terjadinya A ) sama dengan $P(( \overline A ))=q=1-p$.
Biarkan diperlukan untuk menghitung probabilitas bahwa dalam n-tes acara $A$ akan terjadi k- kali dan $n-k$ kali - tidak akan datang. Probabilitas ini akan dilambangkan dengan $P_n (k)$. Selain itu, urutan kejadian $A$ tidak penting. Contoh: $(( AAA\overline A , AA\overline A A, A\overline A AA, \overline A AAA ))$
$P_5 (3)-$ dalam lima percobaan acara $A$ muncul 3 kali dan 2 tidak muncul. Probabilitas ini dapat ditemukan dengan menggunakan rumus Bernoulli.
Turunan dari rumus Bernoulli
Dengan teorema perkalian peluang kejadian bebas, peluang kejadian $A$ terjadi $k$ kali dan $n-k$ kali tidak terjadi sama dengan $p^k\cdot q^ ( n-k ) $. Dan bisa ada sebanyak mungkin kejadian kompleks seperti $C_n^k $. Karena kejadian kompleks tidak kompatibel, maka menurut teorema pada jumlah probabilitas kejadian yang tidak kompatibel, kita perlu menambahkan probabilitas semua kejadian kompleks, dan ada $C_n^k $ persisnya. Maka peluang terjadinya kejadian $A$ adalah tepat k sekali n tes, ada $P_n (( A,\,k ))=P_n (k)=C_n^k \cdot p^k\cdot q^ ( n-k ) $ rumus Bernoulli.
Contoh. Sebuah dadu dilempar 4 kali. Temukan probabilitas bahwa satu akan muncul separuh waktu.
Keputusan. $A=$ (penampilan satu)
$ P(A)=p=\frac ( 1 ) ( 6 ) \, \,P(( \overline A ))=q=1-\frac ( 1 ) ( 6 ) =\frac ( 5 ) ( 6 ) $ $ P_4 (2)=C_4^2 \cdot p^2\cdot q^ ( 4-2) =\frac ( 4! ) ( 2!\cdot 2! ) \cdot 6^2\cdot (( \frac ( 5 ) ( 6 ) ))^2=$0,115
Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk nilai yang besar n agak sulit untuk menghitung probabilitas karena jumlahnya yang besar. Ternyata probabilitas ini bisa dihitung tidak hanya dengan menggunakan rumus Bernoulli.
Jika beberapa percobaan dilakukan, dan peluang kejadian A pada setiap percobaan tidak bergantung pada hasil percobaan lainnya, maka percobaan tersebut disebut percobaan independen terhadap kejadian A .
Dalam percobaan independen yang berbeda, peristiwa A mungkin memiliki probabilitas yang berbeda atau probabilitas yang sama. Kami selanjutnya akan mempertimbangkan hanya percobaan independen seperti itu di mana acara A memiliki probabilitas yang sama.
Di bawah ini kami menggunakan konsep kompleks peristiwa, memahaminya kombinasi dari beberapa peristiwa yang terpisah, yang disebut sederhana .
Biarkan itu diproduksi n percobaan independen, di mana masing-masing peristiwa A mungkin atau mungkin tidak terjadi. Mari kita setuju untuk mengasumsikan bahwa peluang kejadian A dalam setiap percobaan adalah sama, yaitu sama dengan R . Oleh karena itu, peluang tidak terjadinya kejadian A pada setiap percobaan juga konstan dan sama dengan q = 1 - p .
Mari kita tentukan sendiri tugas menghitung probabilitas bahwa n tes, acara A akan terjadi tepat k kali dan, oleh karena itu, tidak akan terwujud n-k sekali. Penting untuk ditekankan bahwa kejadian A tidak harus berulang dengan tepat k kali dalam urutan tertentu.
Misalnya, jika kita berbicara tentang terjadinya suatu peristiwa TETAPI tiga kali dalam empat percobaan, peristiwa kompleks berikut mungkin terjadi: AAA, AAA, AAA, AAA. Rekaman AAA artinya pada percobaan pertama, kedua dan ketiga kejadian tersebut TETAPI datang, tetapi pada tes keempat tidak muncul, yaitu. sebaliknya terjadi TETAPI; entri lain memiliki arti yang sesuai.
Tunjukkan probabilitas yang diinginkan Rp (k) . Misalnya simbol R5 (3) berarti peluang bahwa dalam lima percobaan peristiwa akan terjadi tepat 3 kali dan, oleh karena itu, tidak akan terjadi 2 kali.
Masalahnya dapat diselesaikan dengan menggunakan apa yang disebut rumus Bernoulli.
Turunan dari rumus Bernoulli. Probabilitas satu peristiwa majemuk yang terdiri dari fakta bahwa dalam P acara tes TETAPI akan datang k sekali dan tidak akan datang n - k kali, menurut teorema perkalian peluang kejadian bebas sama dengan p k q n - k . Ada banyak peristiwa kompleks seperti kombinasi dari P elemen oleh k elemen, yaitu C n k .
Sejak peristiwa kompleks ini tidak cocok, kemudian sesuai dengan teorema penambahan peluang kejadian yang tidak kompatibel probabilitas yang diinginkan sama dengan jumlah probabilitas dari semua kemungkinan kejadian kompleks. Karena probabilitas dari semua kejadian kompleks ini adalah sama, probabilitas yang diinginkan (dari kejadian k waktu acara TETAPI di P tes) sama dengan probabilitas satu peristiwa kompleks, dikalikan dengan jumlahnya:
Rumus yang dihasilkan disebut rumus Bernoulli .
Contoh 1. Peluang pemakaian listrik selama satu hari tidak akan melebihi norma yang ditetapkan adalah sama dengan p = 0,75 . Tentukan peluang bahwa dalam 6 hari ke depan konsumsi listrik selama 4 hari tidak akan melebihi norma.
Keputusan. Probabilitas konsumsi listrik normal selama masing-masing dari 6 hari adalah konstan dan sama dengan p = 0,75 . Oleh karena itu, probabilitas pengeluaran listrik yang berlebihan setiap hari juga konstan dan sama dengan q \u003d 1 - p \u003d 1 - 0,75 \u003d 0,25.
Probabilitas yang diinginkan menurut rumus Bernoulli sama dengan:
Teori singkat
Teori probabilitas berkaitan dengan eksperimen yang dapat diulang (setidaknya dalam teori) dalam jumlah yang tidak terbatas. Biarkan beberapa percobaan diulang sekali, dan hasil setiap pengulangan tidak bergantung pada hasil pengulangan sebelumnya. Serangkaian pengulangan seperti itu disebut percobaan independen. Kasus khusus dari tes semacam itu adalah percobaan Bernoulli independen, yang dicirikan oleh dua kondisi:
1) hasil setiap tes adalah salah satu dari dua hasil yang mungkin, masing-masing disebut "berhasil" atau "gagal".
2) probabilitas "berhasil" di setiap tes berikutnya tidak tergantung pada hasil tes sebelumnya dan tetap konstan.
teorema Bernoulli
Jika serangkaian percobaan Bernoulli independen dibuat, di mana masing-masing "sukses" terjadi dengan probabilitas , maka probabilitas "sukses" dalam percobaan terjadi tepat satu kali dinyatakan oleh rumus:
dimana adalah probabilitas kegagalan.
- jumlah kombinasi elemen dengan (lihat rumus dasar kombinatorik)
Rumus ini disebut rumus Bernoulli.
Rumus Bernoulli memungkinkan Anda untuk menyingkirkan sejumlah besar perhitungan - penambahan dan perkalian probabilitas - dengan jumlah tes yang cukup besar.
Skema uji Bernoulli juga disebut skema binomial, dan probabilitas yang sesuai disebut binomial, yang dikaitkan dengan penggunaan koefisien binomial.
Distribusi menurut skema Bernoulli memungkinkan, khususnya, untuk menemukan jumlah kejadian yang paling mungkin dari suatu peristiwa.
Jika banyaknya percobaan n bagus, lalu nikmati:
Contoh solusi masalah
Tugas
Perkecambahan biji tanaman tertentu adalah 70%. Berapa peluang bahwa dari 10 benih yang ditaburkan: 8, paling sedikit 8; minimal 8?
Solusi dari masalah
Mari kita gunakan rumus Bernoulli:
Dalam kasus kami
Biarkan acara - dari 10 biji bertunas 8:
Biarkan acara - naik setidaknya 8 (itu berarti 8, 9 atau 10)
Biarkan acara naik setidaknya 8 (itu berarti 8,9 atau 10)
Menjawab
Medium biaya penyelesaian pekerjaan kontrol adalah 700 - 1200 rubel (tetapi tidak kurang dari 300 rubel untuk seluruh pesanan). Harga sangat dipengaruhi oleh urgensi keputusan (dari hari hingga beberapa jam). Biaya bantuan online dalam ujian / tes - dari 1000 rubel. untuk solusi tiket.
Aplikasi dapat dibiarkan langsung di obrolan, setelah sebelumnya membuang kondisi tugas dan memberi tahu Anda tentang tenggat waktu untuk menyelesaikannya. Waktu respons adalah beberapa menit.
Dalam pelajaran ini, kita akan menemukan peluang suatu peristiwa yang terjadi dalam percobaan bebas ketika percobaan diulang. . Percobaan disebut independen jika probabilitas satu atau lain hasil dari setiap percobaan tidak bergantung pada hasil apa yang dimiliki percobaan lain. . Tes independen dapat dilakukan baik di bawah kondisi yang sama dan di bawah kondisi yang berbeda. Dalam kasus pertama, probabilitas suatu peristiwa yang terjadi di semua percobaan adalah sama; dalam kasus kedua, itu bervariasi dari percobaan ke percobaan.
Contoh Tes Ulang Independen :
- salah satu node perangkat atau dua atau tiga node akan gagal, dan kegagalan setiap node tidak bergantung pada node lain, dan kemungkinan kegagalan satu node konstan dalam semua pengujian;
- bagian yang diproduksi di bawah kondisi teknologi konstan tertentu, atau tiga, empat, lima bagian, akan menjadi non-standar, dan satu bagian mungkin menjadi non-standar terlepas dari bagian lain mana pun, dan kemungkinan bahwa bagian itu akan ternyata non-standar konstan di semua tes;
- dari beberapa tembakan ke sasaran, satu, tiga atau empat tembakan mengenai sasaran terlepas dari hasil tembakan lainnya dan kemungkinan mengenai sasaran adalah konstan di semua percobaan;
- ketika koin dimasukkan, mesin akan beroperasi dengan benar satu, dua, atau beberapa kali, terlepas dari apa yang telah dilakukan penyisipan koin lainnya, dan probabilitas bahwa mesin akan beroperasi dengan benar adalah konstan di semua percobaan.
Peristiwa ini dapat digambarkan dengan satu skema. Setiap peristiwa terjadi di setiap percobaan dengan probabilitas yang sama, yang tidak berubah jika hasil dari percobaan sebelumnya diketahui. Tes semacam itu disebut independen, dan skemanya disebut Skema Bernoulli . Diasumsikan bahwa tes tersebut dapat diulang sebanyak yang diinginkan.
Jika kemungkinan p peristiwa A konstan dalam setiap percobaan, maka probabilitas bahwa dalam n acara tes independen A akan datang m kali, terletak di rumus Bernoulli :
(di mana q= 1 – p- probabilitas bahwa peristiwa itu tidak akan terjadi)
Mari kita atur tugas - untuk menemukan probabilitas bahwa suatu peristiwa jenis ini di n uji coba independen akan datang m sekali.
Rumus Bernoulli: contoh pemecahan masalah
Contoh 1 Temukan peluang bahwa di antara lima bagian yang dipilih secara acak, dua adalah standar, jika probabilitas bahwa setiap bagian standar adalah 0,9.
Keputusan. Probabilitas Peristiwa TETAPI, terdiri dari fakta bahwa bagian yang diambil secara acak adalah standar, adalah p=0.9 , dan peluang tidak baku adalah q=1–p= 0,1 . Peristiwa yang ditunjukkan dalam kondisi masalah (kami menyatakannya dengan PADA) terjadi jika, misalnya, dua bagian pertama standar, dan tiga bagian berikutnya tidak standar. Tapi acaranya PADA juga terjadi jika bagian pertama dan ketiga standar dan sisanya tidak standar, atau jika bagian kedua dan kelima standar dan sisanya non-standar. Ada kemungkinan lain untuk peristiwa itu terjadi. PADA. Salah satu dari mereka dicirikan oleh fakta bahwa dari lima bagian yang diambil, dua, menempati tempat mana pun dari lima, akan menjadi standar. Oleh karena itu, jumlah kemungkinan yang berbeda untuk terjadinya suatu peristiwa PADA sama dengan jumlah kemungkinan untuk menempatkan dua bagian standar di lima tempat, yaitu. sama dengan jumlah kombinasi lima elemen dengan dua, dan .
Probabilitas setiap kemungkinan, menurut teorema perkalian probabilitas, sama dengan produk dari lima faktor, di mana dua, sesuai dengan penampilan bagian standar, sama dengan 0,9, dan tiga sisanya, sesuai dengan penampilan non -bagian standar, sama dengan 0,1, mis. kemungkinan ini adalah . Karena sepuluh kemungkinan ini adalah peristiwa yang tidak kompatibel, dengan teorema penambahan, peluang suatu peristiwa PADA, yang kami tunjukkan
Contoh 2 Peluang bahwa mesin akan membutuhkan perhatian seorang pekerja dalam waktu satu jam adalah 0,6. Dengan asumsi bahwa kegagalan pada mesin adalah independen, temukan probabilitas bahwa selama satu jam perhatian pekerja akan dibutuhkan oleh salah satu dari empat mesin yang diservis olehnya.
Keputusan. Menggunakan rumus Bernoulli pada n=4 , m=1 , p=0,6 dan q=1–p=0.4 , kita dapatkan
Contoh 3 Untuk pengoperasian normal depo mobil, setidaknya harus ada delapan mobil di jalur, dan ada sepuluh di antaranya. Probabilitas tidak keluar setiap mobil ke garis sama dengan 0,1. Tentukan peluang operasi normal depot pada hari berikutnya.
Keputusan. Autobase akan berfungsi dengan baik (event F) jika salah satu atau delapan akan memasuki garis (acara TETAPI), atau sembilan (peristiwa PADA), atau acara sepuluh mobil (event C). Menurut teorema penjumlahan peluang,
Kami menemukan setiap istilah menurut rumus Bernoulli. Di Sini n=10 , m=8; 10 dan p\u003d 1-0.1 \u003d 0.9, karena p harus berarti probabilitas sebuah mobil memasuki garis; kemudian q= 0,1 . Akibatnya, kita mendapatkan
Contoh 4 Misalkan peluang seorang pelanggan membutuhkan sepatu pria ukuran 41 adalah 0,25. Tentukan peluang bahwa dari enam pembeli paling sedikit dua orang membutuhkan sepatu dengan ukuran 41.
Misalkan n percobaan dilakukan terhadap kejadian A. Mari kita perkenalkan event-event berikut: k -- event direalisasikan selama pengujian ke-k, $ k=1,2,\dots , n$. Maka $\bar(A)_(k) $ adalah kejadian sebaliknya (kejadian A tidak terjadi selama percobaan ke-k, $k=1,2,\dots , n$).
Apa itu uji coba sejawat dan independen?
Definisi
Pengujian disebut bertipe sama terhadap kejadian A jika probabilitas kejadian $A1, A2, \dots , An$ sama: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (yaitu, probabilitas terjadinya peristiwa A dalam satu percobaan adalah konstan di semua percobaan).
Jelas, dalam kasus ini, peluang kejadian yang berlawanan juga bertepatan: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar( A) _(n))$.
Definisi
Percobaan disebut independen terhadap kejadian A jika kejadian $A1, A2, \dots , An$ saling bebas.
Pada kasus ini
Dalam hal ini, kesetaraan dipertahankan ketika setiap peristiwa Ak diganti dengan $\bar(A)_(k) $.
Biarkan serangkaian n percobaan independen serupa dilakukan terhadap kejadian A. Kami membawa notasi: p - probabilitas acara A dalam satu tes; q adalah peluang kejadian yang berlawanan. Jadi P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ untuk sembarang k dan p+q=1.
Peluang bahwa dalam serangkaian n percobaan kejadian A akan terjadi tepat sebanyak k kali (0 k ≤ n) dihitung dengan rumus:
$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)
Persamaan (1) disebut rumus Bernoulli.
Probabilitas bahwa dalam serangkaian n percobaan bebas dari jenis kejadian A yang sama akan terjadi paling sedikit k1 kali dan paling banyak k2 kali dihitung dengan rumus:
$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)
Penerapan rumus Bernoulli untuk nilai n yang besar menyebabkan perhitungan yang rumit, jadi dalam kasus ini lebih baik menggunakan rumus lain - yang asimtotik.
Generalisasi skema Bernoulli
Pertimbangkan generalisasi skema Bernoulli. Jika dalam serangkaian n percobaan independen, yang masing-masing memiliki m pasangan yang tidak kompatibel dan kemungkinan hasil Ak dengan probabilitas yang sesuai k= k(Аk). Maka rumus distribusi polinomial berlaku:
Contoh 1
Peluang terkena flu selama epidemi adalah 0,4. Tentukan peluang bahwa dari 6 karyawan perusahaan tersebut akan jatuh sakit!
- tepat 4 karyawan;
- karyawan tidak lebih dari 4 orang.
Keputusan. 1) Jelas, untuk memecahkan masalah ini, rumus Bernoulli dapat diterapkan, di mana n=6; k=4; p=0,4; q=1-p=0.6. Menerapkan rumus (1), kita mendapatkan: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \approx 0.138$.
Untuk mengatasi masalah ini, rumus (2) dapat diterapkan, di mana k1=0 dan k2=4. Kita punya:
\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0,4^(0) \cdot 0,6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0,4 ^(1) \cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ kira-kira 0,959.) \end(array)\]
Perlu dicatat bahwa tugas ini lebih mudah diselesaikan menggunakan acara sebaliknya - lebih dari 4 karyawan jatuh sakit. Kemudian, dengan mempertimbangkan rumus (7) tentang peluang kejadian yang berlawanan, kita peroleh:
Jawaban: $\ $0,959.
Contoh 2
Sebuah guci berisi 20 bola putih dan 10 bola hitam. 4 bola diambil, dan setiap bola yang dikeluarkan dikembalikan ke guci sebelum yang berikutnya diambil dan bola di guci dicampur. Tentukan peluang bahwa dari keempat bola yang diambil akan ada 2 bola putih pada Gambar 1.
Gambar 1.
Keputusan. Misalkan kejadian A adalah -- sebuah bola putih diambil. Maka probabilitas $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .
Menurut rumus Bernoulli, probabilitas yang diperlukan adalah $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \kanan)^(2) =\frac(8)(27) $.
Jawaban: $\frac(8)(27) $.
Contoh 3
Tentukan peluang bahwa sebuah keluarga dengan 5 anak akan memiliki tidak lebih dari 3 anak perempuan. Peluang memiliki anak laki-laki dan perempuan dianggap sama.
Keputusan. Probabilitas memiliki anak perempuan $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-probabilitas memiliki anak laki-laki. Tidak lebih dari tiga anak perempuan dalam sebuah keluarga, yang berarti bahwa salah satu, atau dua, atau tiga anak perempuan lahir, atau semua anak laki-laki dalam keluarga.
Temukan probabilitas bahwa tidak ada anak perempuan dalam keluarga, satu, dua atau tiga anak perempuan lahir: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,
\ \ \
Oleh karena itu, probabilitas yang diperlukan adalah $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .
Jawaban: $\frac(13)(16)$.
Contoh 4
Penembak pertama dengan satu tembakan dapat mencapai sepuluh besar dengan probabilitas 0,6, sembilan dengan probabilitas 0,3, dan delapan dengan probabilitas 0,1. Berapa probabilitas bahwa, dengan 10 tembakan, dia akan memukul sepuluh enam kali, sembilan tiga kali, dan delapan delapan kali?
