Pada artikel ini kita akan melihat lebih dekat konsep perkalian silang dua vektor. Kami akan memberikan definisi yang diperlukan, menulis rumus untuk mencari koordinat produk vektor, membuat daftar dan membenarkan propertinya. Setelah ini, kita akan membahas arti geometris dari produk vektor dua vektor dan mempertimbangkan solusi untuk berbagai contoh tipikal.

Navigasi halaman.

Definisi perkalian silang.

Sebelum mendefinisikan perkalian vektor, mari kita pahami orientasi rangkap tiga vektor dalam ruang tiga dimensi.

Mari kita gambarkan vektor dari satu titik. Tergantung arah vektornya, ketiganya bisa kanan atau kiri. Mari kita lihat dari ujung vektor bagaimana belokan terpendek dari vektor ke . Jika putaran terpendek terjadi berlawanan arah jarum jam, maka rangkap tiga vektornya disebut Kanan, jika tidak - kiri.

Sekarang mari kita ambil dua vektor yang tidak segaris dan . Mari kita plot vektor dan dari titik A. Mari kita buat beberapa vektor yang tegak lurus terhadap keduanya dan dan . Jelasnya, ketika membangun sebuah vektor, kita dapat melakukan dua hal, memberikannya satu arah atau sebaliknya (lihat ilustrasi).

Bergantung pada arah vektornya, triplet vektor yang terurut dapat bertangan kanan atau bertangan kiri.

Hal ini membawa kita lebih dekat pada definisi perkalian vektor. Ini diberikan untuk dua vektor yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang dalam ruang tiga dimensi.

Definisi.

Perkalian silang dua buah vektor dan , ditentukan dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi, disebut vektor sedemikian rupa sehingga

Produk silang vektor dan dilambangkan sebagai .

Koordinat hasil kali vektor.

Sekarang kita akan memberikan definisi kedua dari perkalian vektor, yang memungkinkan Anda mencari koordinatnya dari koordinat vektor yang diberikan dan.

Definisi.

Dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi produk vektor dari dua vektor Dan adalah sebuah vektor, dimana adalah vektor-vektor koordinatnya.

Definisi ini memberi kita perkalian silang dalam bentuk koordinat.

Lebih mudah untuk menyatakan hasil kali vektor sebagai determinan matriks persegi orde ketiga, yang baris pertamanya adalah vektor, baris kedua berisi koordinat vektor, dan baris ketiga berisi koordinat vektor dalam suatu bilangan tertentu. sistem koordinat persegi panjang:

Jika kita memperluas determinan ini ke dalam elemen-elemen baris pertama, kita memperoleh persamaan dari definisi produk vektor dalam koordinat (jika perlu, lihat artikel):

Perlu dicatat bahwa bentuk koordinat produk vektor sepenuhnya sesuai dengan definisi yang diberikan pada paragraf pertama artikel ini. Selain itu, kedua definisi perkalian silang ini setara. Bukti fakta ini dapat Anda lihat pada buku yang tercantum di akhir artikel.

Sifat-sifat produk vektor.

Karena hasil kali vektor dalam koordinat dapat direpresentasikan sebagai determinan matriks, hal berikut dapat dengan mudah dibenarkan berdasarkan: sifat produk silang:

Sebagai contoh, mari kita buktikan sifat antikomutatif suatu produk vektor.

A-priori Dan . Kita mengetahui bahwa nilai determinan suatu matriks akan dibalik jika dua barisnya dipertukarkan, oleh karena itu, , yang membuktikan sifat antikomutatif suatu produk vektor.

Produk vektor - contoh dan solusi.

Pada dasarnya ada tiga jenis masalah.

Dalam soal tipe pertama, panjang dua vektor dan sudut di antara keduanya diberikan, dan Anda perlu mencari panjang hasil kali vektor. Dalam hal ini rumus yang digunakan .

Contoh.

Tentukan panjang hasil kali vektor dari vektor-vektor dan , jika diketahui .

Larutan.

Kita mengetahui dari definisi bahwa panjang hasil kali vektor vektor dan sama dengan hasil kali panjang vektor dan sinus sudut di antara keduanya, oleh karena itu, .

Menjawab:

.

Soal tipe kedua berkaitan dengan koordinat vektor, di mana hasil kali vektor, panjangnya atau apa pun dicari melalui koordinat vektor yang diberikan. Dan .

Ada banyak pilihan berbeda yang mungkin ada di sini. Misalnya, bukan koordinat vektor yang dapat ditentukan, tetapi perluasannya menjadi vektor koordinat yang bentuknya dan , atau vektor dan dapat ditentukan dengan koordinat titik awal dan titik akhir.

Mari kita lihat contoh-contoh tipikal.

Contoh.

Dua vektor diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang . Temukan produk silangnya.

Larutan.

Menurut definisi kedua, hasil kali vektor dua vektor dalam koordinat ditulis sebagai:

Kita akan mendapatkan hasil yang sama jika hasil perkalian vektor ditulis dalam bentuk determinan

Menjawab:

.

Contoh.

Temukan panjang produk vektor dari vektor dan , di mana adalah vektor satuan dari sistem koordinat kartesius persegi panjang.

Larutan.

Pertama kita cari koordinat hasil kali vektornya dalam sistem koordinat persegi panjang tertentu.

Karena vektor dan memiliki koordinat dan masing-masing (jika perlu, lihat artikel koordinat vektor dalam sistem koordinat persegi panjang), maka dengan definisi kedua dari produk vektor kita memiliki

Artinya, produk vektor memiliki koordinat dalam sistem koordinat tertentu.

Kita mencari panjang suatu hasil kali vektor sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinatnya (kita memperoleh rumus panjang suatu vektor pada bagian mencari panjang suatu vektor):

Menjawab:

.

Contoh.

Dalam sistem koordinat kartesius persegi panjang, koordinat tiga titik diberikan. Temukan beberapa vektor yang tegak lurus dan pada waktu yang sama.

Larutan.

Vektor dan mempunyai koordinat dan masing-masing (lihat artikel mencari koordinat suatu vektor melalui koordinat titik). Jika kita mencari hasil perkalian vektor dari vektor-vektor dan , maka menurut definisi vektor tersebut adalah vektor yang tegak lurus terhadap dan terhadap , yaitu solusi untuk masalah kita. Mari kita temukan dia

Menjawab:

- salah satu vektor tegak lurus.

Dalam soal tipe ketiga, keterampilan menggunakan sifat-sifat perkalian vektor vektor diuji. Setelah menerapkan properti, rumus yang sesuai diterapkan.

Contoh.

Vektor-vektornya tegak lurus dan panjangnya masing-masing 3 dan 4. Temukan panjang hasil perkalian silang .

Larutan.

Berdasarkan sifat distributif suatu perkalian vektor, kita dapat menulis

Karena sifat kombinasionalnya, kita menghilangkan koefisien numerik dari tanda perkalian vektor pada ekspresi terakhir:

Hasil kali vektor dan sama dengan nol, karena Dan , Kemudian .

Karena hasil kali vektor bersifat antikomutatif, maka .

Jadi, dengan menggunakan sifat-sifat perkalian vektor, kita sampai pada persamaan .

Dengan syarat, vektor-vektor dan tegak lurus, yaitu sudut antara keduanya sama dengan . Artinya, kita memiliki semua data untuk mencari panjang yang dibutuhkan

Menjawab:

.

Arti geometris dari produk vektor.

Menurut definisi, panjang produk vektor dari vektor adalah . Dan dari pelajaran geometri SMA kita mengetahui bahwa luas suatu segitiga sama dengan setengah hasil kali panjang kedua sisi segitiga dan sinus sudut diantara keduanya. Oleh karena itu, panjang hasil kali vektor sama dengan dua kali luas segitiga yang sisi-sisinya merupakan vektor dan , jika diplot dari satu titik. Dengan kata lain, panjang hasil kali vektor vektor-vektor dan sama dengan luas jajar genjang yang sisi-sisinya dan dan sudut antara keduanya sama dengan . Inilah arti geometris dari perkalian vektor.

Dalam pelajaran ini kita akan melihat dua operasi lagi dengan vektor: produk vektor dari vektor Dan produk campuran vektor (link langsung bagi yang membutuhkan). Tidak apa-apa, terkadang hal itu terjadi untuk kebahagiaan total produk skalar vektor, semakin banyak yang dibutuhkan. Ini adalah kecanduan vektor. Tampaknya kita memasuki hutan geometri analitik. Ini salah. Pada bagian matematika tingkat tinggi ini umumnya hanya terdapat sedikit kayu, kecuali mungkin cukup untuk Pinokio. Faktanya, materinya sangat umum dan sederhana - hampir tidak lebih rumit dari materi yang sama produk skalar, tugas-tugas tipikal bahkan akan lebih sedikit. Hal utama dalam geometri analitik, seperti yang diyakini atau sudah diyakini banyak orang, adalah JANGAN MEMBUAT KESALAHAN DALAM PERHITUNGAN. Ulangi seperti mantra dan Anda akan bahagia =)

Jika vektor bersinar di suatu tempat yang jauh, seperti kilat di cakrawala, tidak masalah, mulailah dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau memperoleh kembali pengetahuan dasar tentang vektor. Pembaca yang lebih siap dapat mengenal informasi secara selektif; Saya mencoba mengumpulkan kumpulan contoh terlengkap yang sering ditemukan dalam kerja praktek

Apa yang akan membuatmu bahagia saat itu juga? Ketika saya masih kecil, saya bisa menyulap dua atau bahkan tiga bola. Itu berhasil dengan baik. Sekarang Anda tidak perlu melakukan juggling sama sekali, karena kami akan mempertimbangkannya hanya vektor spasial, dan vektor datar dengan dua koordinat akan diabaikan. Mengapa? Beginilah cara tindakan ini lahir - vektor dan produk campuran vektor didefinisikan dan bekerja dalam ruang tiga dimensi. Ini sudah lebih mudah!

Operasi ini, seperti halnya perkalian skalar, melibatkan dua vektor. Biarlah ini menjadi surat-surat yang tidak dapat binasa.

Tindakan itu sendiri dilambangkan dengan dengan cara berikut: . Ada pilihan lain, tapi saya terbiasa menyatakan perkalian vektor dari vektor dengan cara ini, dalam tanda kurung siku dengan tanda silang.

Dan segera pertanyaan: jika di produk skalar vektor dua vektor terlibat, dan di sini dua vektor juga dikalikan Apa bedanya? Perbedaan yang jelas, pertama-tama, terletak pada HASILnya:

Hasil perkalian skalar vektor adalah NOMOR:

Hasil perkalian silang vektor adalah VEKTOR: , yaitu kita mengalikan vektor-vektornya dan mendapatkan sebuah vektor lagi. Klub tertutup. Sebenarnya dari sinilah nama operasi tersebut berasal. Dalam literatur pendidikan yang berbeda, sebutannya juga bisa berbeda-beda, saya akan menggunakan surat itu.

Definisi perkalian silang

Pertama akan ada definisi dengan gambar, lalu komentar.

Definisi: Produk vektor non-kolinear vektor, diambil dalam urutan ini, disebut VEKTOR, panjang yang secara numerik sama dengan luas jajaran genjang, dibangun di atas vektor-vektor ini; vektor ortogonal terhadap vektor, dan diarahkan agar landasan mempunyai orientasi yang benar:

Mari kita uraikan definisinya sepotong demi sepotong, ada banyak hal menarik di sini!

Jadi, poin-poin penting berikut dapat disoroti:

1) Vektor asli, ditunjukkan dengan panah merah, menurut definisi tidak kolinear. Kasus vektor collinear akan lebih tepat untuk dibahas nanti.

2) Vektor diambil dalam urutan yang ditentukan secara ketat: – "a" dikalikan dengan "menjadi", bukan "menjadi" dengan "a". Hasil perkalian vektor adalah VECTOR, yang ditandai dengan warna biru. Jika vektor-vektor dikalikan dalam urutan terbalik, kita memperoleh vektor yang sama panjang dan berlawanan arah (warna raspberry). Artinya, kesetaraan itu benar .

3) Sekarang mari kita mengenal arti geometri perkalian vektor. Ini adalah poin yang sangat penting! PANJANG vektor biru (dan, oleh karena itu, vektor merah tua) secara numerik sama dengan AREA jajar genjang yang dibangun di atas vektor tersebut. Pada gambar, jajaran genjang ini diberi warna hitam.

Catatan : gambarnya skematis, dan tentu saja panjang nominal hasil kali vektor tidak sama dengan luas jajaran genjang.

Mari kita mengingat kembali salah satu rumus geometri: Luas jajar genjang sama dengan hasil kali sisi-sisi yang berdekatan dan sinus sudut di antara keduanya. Oleh karena itu, berdasarkan hal di atas, rumus menghitung PANJANG suatu produk vektor adalah valid:

Saya tekankan bahwa rumusnya adalah tentang PANJANG vektor, dan bukan tentang vektor itu sendiri. Apa arti praktisnya? Dan artinya dalam soal geometri analitik, luas jajar genjang sering ditemukan melalui konsep perkalian vektor:

Mari kita dapatkan rumus penting kedua. Diagonal jajar genjang (garis putus-putus merah) membaginya menjadi dua segitiga sama besar. Oleh karena itu, luas segitiga yang dibangun di atas vektor (arsir merah) dapat dicari dengan menggunakan rumus:

4) Fakta yang sama pentingnya adalah bahwa vektor tersebut ortogonal terhadap vektor, yaitu . Tentu saja, vektor yang arahnya berlawanan (panah raspberry) juga ortogonal terhadap vektor aslinya.

5) Vektor diarahkan sedemikian rupa dasar Memiliki Kanan orientasi. Dalam pelajaran tentang transisi ke dasar yang baru Saya berbicara dengan cukup detail tentang orientasi bidang, dan sekarang kita akan mengetahui apa itu orientasi ruang. Saya akan menjelaskannya dengan jari Anda tangan kanan. Gabungkan secara mental jari telunjuk dengan vektor dan jari tengah dengan vektor. Jari manis dan kelingking tekan ke telapak tangan Anda. Sebagai akibat ibu jari– produk vektor akan terlihat. Ini adalah basis yang berorientasi ke kanan (yang ini ada pada gambar). Sekarang ubah vektornya ( telunjuk dan jari tengah) di beberapa tempat, akibatnya ibu jari akan berputar, dan hasil kali vektor sudah terlihat ke bawah. Ini juga merupakan dasar yang berorientasi ke kanan. Anda mungkin mempunyai pertanyaan: basis manakah yang memiliki orientasi kiri? “Tetapkan” ke jari yang sama tangan kiri vektor, dan dapatkan basis kiri dan orientasi ruang kiri (dalam hal ini, ibu jari akan ditempatkan pada arah vektor bawah). Secara kiasan, pangkalan-pangkalan ini “memutar” atau mengarahkan ruang ke arah yang berbeda. Dan konsep ini tidak boleh dianggap sesuatu yang dibuat-buat atau abstrak - misalnya, orientasi ruang diubah oleh cermin paling biasa, dan jika Anda "menarik objek yang dipantulkan keluar dari kaca", maka secara umum itu adalah tidak akan mungkin untuk menggabungkannya dengan "asli". Ngomong-ngomong, dekatkan tiga jari ke cermin dan analisis pantulannya ;-)

...betapa bagusnya hal yang sekarang Anda ketahui berorientasi kanan dan kiri dasar, karena pernyataan beberapa dosen tentang perubahan orientasi itu menakutkan =)

Produk silang dari vektor-vektor collinear

Definisinya sudah dibahas secara detail, masih harus dicari tahu apa yang terjadi jika vektor-vektornya segaris. Jika vektor-vektornya segaris, maka vektor-vektor tersebut dapat ditempatkan pada satu garis lurus dan jajar genjang kita juga “melipat” menjadi satu garis lurus. Area seperti itu, seperti yang dikatakan para ahli matematika, merosot jajaran genjang sama dengan nol. Hal yang sama mengikuti rumus - sinus nol atau 180 derajat sama dengan nol, yang berarti luasnya nol

Jadi, jika , maka Dan . Perlu diketahui bahwa hasil kali vektor itu sendiri sama dengan vektor nol, namun dalam praktiknya hal ini sering diabaikan dan ditulis juga sama dengan nol.

Kasus khusus adalah perkalian silang suatu vektor dengan dirinya sendiri:

Dengan menggunakan perkalian vektor, Anda dapat memeriksa kolinearitas vektor tiga dimensi, dan kami juga akan menganalisis masalah ini, antara lain.

Untuk memecahkan contoh-contoh praktis yang mungkin Anda perlukan tabel trigonometri untuk menemukan nilai sinus darinya.

Baiklah, mari kita nyalakan apinya:

Contoh 1

a) Tentukan panjang hasil kali vektor vektor-vektor jika

b) Tentukan luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor jika

Larutan: Bukan, ini bukan salah ketik, saya sengaja membuat data awal pada klausa sama. Karena desain solusinya akan berbeda!

a) Sesuai dengan kondisi yang perlu dicari panjang vektor (perkalian silang). Menurut rumus yang sesuai:

Menjawab:

Jika Anda ditanya tentang panjang, maka dalam jawabannya kami menunjukkan dimensi - satuan.

b) Sesuai dengan kondisi yang perlu dicari persegi jajaran genjang dibangun di atas vektor. Luas jajaran genjang ini secara numerik sama dengan panjang hasil kali vektor:

Menjawab:

Harap dicatat bahwa jawabannya tidak berbicara tentang perkalian vektor sama sekali; kami ditanya tentangnya luas gambar, oleh karena itu, dimensinya adalah satuan persegi.

Kami selalu melihat APA yang perlu kami temukan sesuai kondisi, dan berdasarkan itu kami merumuskannya jernih menjawab. Ini mungkin tampak seperti literalisme, tetapi ada banyak guru yang literalis, dan tugas tersebut memiliki peluang besar untuk dikembalikan untuk direvisi. Meskipun ini bukanlah sebuah argumen yang dibuat-buat - jika jawabannya salah, maka akan ada kesan bahwa orang tersebut tidak memahami hal-hal sederhana dan/atau belum memahami esensi tugas. Poin ini harus selalu dikendalikan ketika memecahkan masalah apa pun dalam matematika tingkat tinggi, dan juga dalam mata pelajaran lain.

Kemana perginya huruf besar “en”? Pada prinsipnya, ini bisa saja dilampirkan pada solusi, tetapi untuk mempersingkat entri, saya tidak melakukan ini. Saya harap semua orang memahami hal itu dan merupakan sebutan untuk hal yang sama.

Contoh populer untuk solusi DIY:

Contoh 2

Temukan luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Rumus untuk mencari luas segitiga melalui perkalian vektor diberikan dalam komentar definisi. Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran.

Dalam praktiknya, tugas ini sangat umum; segitiga umumnya dapat menyiksa Anda.

Untuk memecahkan masalah lain kita memerlukan:

Sifat-sifat hasil kali vektor dari vektor

Kami telah mempertimbangkan beberapa properti produk vektor, namun saya akan memasukkannya ke dalam daftar ini.

Untuk vektor sembarang dan bilangan sembarang, sifat-sifat berikut ini benar:

1) Dalam sumber informasi lain, item ini biasanya tidak disorot dalam propertinya, tetapi sangat penting dalam istilah praktis. Jadi biarkan saja.

2) – properti juga dibahas di atas, kadang-kadang disebut antikomutatif. Dengan kata lain, urutan vektor itu penting.

3) – asosiatif atau asosiatif hukum produk vektor. Konstanta dapat dengan mudah dipindahkan ke luar perkalian vektor. Sebenarnya, apa yang harus mereka lakukan di sana?

4) – distribusi atau distributif hukum produk vektor. Buka bracketnya juga tidak ada masalah.

Untuk mendemonstrasikannya, mari kita lihat contoh singkat:

Contoh 3

Temukan jika

Larutan: Kondisi tersebut sekali lagi mengharuskan mencari panjang hasil kali vektor. Mari kita melukis miniatur kita:

(1) Menurut hukum asosiatif, kita mengambil konstanta di luar lingkup perkalian vektor.

(2) Kita memindahkan konstanta ke luar modul, dan modul “memakan” tanda minus. Panjangnya tidak boleh negatif.

(3) Selebihnya jelas.

Menjawab:

Saatnya menambahkan lebih banyak kayu ke dalam api:

Contoh 4

Hitung luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Larutan: Mencari luas segitiga menggunakan rumus . Tangkapannya adalah bahwa vektor “tse” dan “de” disajikan sebagai jumlah dari vektor. Algoritme di sini standar dan agak mengingatkan pada contoh No. 3 dan 4 dari pelajaran Produk titik dari vektor. Untuk lebih jelasnya, kami akan membagi solusinya menjadi tiga tahap:

1) Pada langkah pertama, kita menyatakan perkalian vektor melalui perkalian vektor, pada kenyataannya, mari kita nyatakan suatu vektor dalam bentuk vektor. Belum ada kabar mengenai panjangnya!

(1) Substitusikan ekspresi vektor-vektor tersebut.

(2) Dengan menggunakan hukum distributif, kita membuka tanda kurung menurut aturan perkalian polinomial.

(3) Dengan menggunakan hukum asosiatif, kita memindahkan semua konstanta melampaui hasil kali vektor. Dengan sedikit pengalaman, langkah 2 dan 3 dapat dilakukan secara bersamaan.

(4) Suku pertama dan suku terakhir sama dengan nol (vektor nol) karena sifat bagus. Pada suku kedua kita menggunakan sifat antikomutatif suatu produk vektor:

(5) Kami menyajikan istilah serupa.

Hasilnya, vektor tersebut ternyata dinyatakan dalam vektor, yang ingin dicapai:

2) Pada langkah kedua, kita mencari panjang hasil kali vektor yang kita butuhkan. Tindakan ini mirip dengan Contoh 3:

3) Temukan luas segitiga yang diinginkan:

Tahapan 2-3 solusinya bisa saja ditulis dalam satu baris.

Menjawab:

Masalah yang dipertimbangkan cukup umum dalam pengujian, berikut adalah contoh penyelesaiannya sendiri:

Contoh 5

Temukan jika

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran. Mari kita lihat seberapa perhatian Anda saat mempelajari contoh sebelumnya ;-)

Produk silang vektor dalam koordinat

, ditentukan dalam dasar ortonormal, dinyatakan dengan rumus:

Rumusnya sangat sederhana: di baris atas determinan kita tulis vektor koordinatnya, di baris kedua dan ketiga kita “letakkan” koordinat vektornya, dan kita masukkan dalam urutan yang ketat– pertama koordinat vektor “ve”, kemudian koordinat vektor “double-ve”. Jika vektor perlu dikalikan dalam urutan yang berbeda, maka barisnya harus ditukar:

Contoh 10

Periksa apakah vektor-vektor ruang berikut ini segaris:
A)
B)

Larutan: Pemeriksaannya didasarkan pada salah satu pernyataan dalam pelajaran ini: jika vektor-vektornya segaris, maka hasil kali vektornya sama dengan nol (vektor nol): .

a) Temukan produk vektor:

Jadi, vektor-vektornya tidak segaris.

b) Temukan produk vektor:

Menjawab: a) tidak segaris, b)

Ini mungkin semua informasi dasar tentang perkalian vektor dari vektor.

Bagian ini tidak akan terlalu besar, karena hanya ada sedikit soal yang menggunakan perkalian campuran vektor. Faktanya, semuanya akan bergantung pada definisi, makna geometris, dan beberapa rumus kerja.

Hasil kali campuran vektor adalah hasil kali tiga buah vektor:

Jadi mereka berbaris seperti kereta api dan tidak sabar untuk diidentifikasi.

Pertama, sekali lagi, definisi dan gambarannya:

Definisi: Pekerjaan campuran non-koplanar vektor, diambil dalam urutan ini, ditelepon volume paralelepiped, dibangun di atas vektor-vektor tersebut, dilengkapi dengan tanda “+” jika basisnya di kanan, dan tanda “–” jika basisnya di kiri.

Mari kita menggambar. Garis yang tidak terlihat oleh kita digambar dengan garis putus-putus:

Mari selami definisinya:

2) Vektor diambil dalam urutan tertentu, yaitu penataan ulang vektor-vektor dalam produk, seperti yang Anda duga, bukannya terjadi tanpa konsekuensi.

3) Sebelum mengomentari makna geometris, saya akan mencatat fakta yang jelas: hasil kali campuran vektor adalah ANGKA: . Dalam literatur pendidikan, desainnya mungkin sedikit berbeda, saya biasa menyatakan hasil perkalian campuran dengan , dan hasil perhitungan dengan huruf “pe”.

A-priori produk campuran adalah volume parallelepiped, dibangun di atas vektor (gambar digambar dengan vektor merah dan garis hitam). Artinya, jumlahnya sama dengan volume suatu parallelepiped tertentu.

Catatan : Gambarnya skematis.

4) Jangan khawatir lagi mengenai konsep orientasi dasar dan ruang. Arti dari bagian terakhir adalah dapat ditambahkan tanda minus pada volume. Dengan kata sederhana, produk campuran bisa menjadi negatif: .

Langsung dari definisi berikut rumus untuk menghitung volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor.

Tes No.1

vektor. Elemen aljabar yang lebih tinggi

1-20. Panjang vektor dan dan diketahui; – sudut antara vektor-vektor ini.

Hitung: 1) dan, 2).3) Tentukan luas segitiga yang dibangun dari vektor dan.

Buatlah gambar.

Larutan. Menggunakan definisi perkalian titik dari vektor:

Dan sifat-sifat hasil kali skalar: ,

1) temukan kuadrat skalar dari vektor:

yaitu, Lalu.

Dengan berpendapat serupa, kita mengerti

yaitu, Lalu.

Menurut definisi produk vektor: ,

dengan mempertimbangkan hal itu

Luas segitiga yang dibangun dari vektor-vektor dan sama dengan

21-40. Koordinat tiga simpul diketahui A, B, D genjang ABCD. Dengan menggunakan aljabar vektor, Anda memerlukan:

A(3;0;-7), B(2;4;6), D(-7;-5;1)

Larutan.

Diketahui diagonal-diagonal jajar genjang terbagi dua di titik potongnya. Oleh karena itu, koordinat titiknya E- perpotongan diagonal - temukan koordinat tengah segmen BD. Melambangkannya dengan X E ,kamu E , z E kita mengerti itu

Kita mendapatkan.

Mengetahui koordinat titik E- titik tengah diagonal BD dan koordinat salah satu ujungnya A(3;0;-7), Dengan menggunakan rumus, kami menentukan koordinat titik yang diperlukan DENGAN genjang:

Jadi, yang teratas.

2) Untuk mencari proyeksi suatu vektor ke suatu vektor, kita mencari koordinat vektor-vektor berikut: ,

sama. Proyeksi suatu vektor ke suatu vektor dicari dengan menggunakan rumus:

3) Sudut antara diagonal-diagonal jajar genjang ditentukan sebagai sudut antara vektor-vektor

Dan berdasarkan properti produk skalar:

Kemudian

4) Temukan luas jajar genjang sebagai modulus perkalian vektor:

5) Volume piramida ditemukan seperenam modulus hasil kali campuran vektor, di mana O(0;0;0), maka

Maka volume yang dibutuhkan (satuan kubik)

41-60. Matriks yang diberikan:

VC -1 +3A T

Sebutan:

Pertama, kita cari matriks invers dari matriks C.

Untuk melakukan ini, kami menemukan determinannya:

Penentunya berbeda dengan nol, oleh karena itu matriksnya non-singular dan untuk itu dapat dicari matriks inversnya C -1

Mari kita cari komplemen aljabar menggunakan rumus , dimana adalah minor dari elemen tersebut:

Kemudian , .

61–80. Selesaikan sistem persamaan linear:

metode Cramer; 2. Metode matriks.

Larutan.

a) Metode Cramer

Mari kita cari determinan sistemnya

Sejak , sistem memiliki solusi unik.

Mari kita cari determinannya dan dengan mengganti kolom pertama, kedua, ketiga pada matriks koefisien dengan kolom suku bebas masing-masing.

Menurut rumus Cramer:

B)metode matriks (menggunakan matriks terbalik).

Kami menulis sistem ini dalam bentuk matriks dan menyelesaikannya menggunakan matriks invers.

Membiarkan A– matriks koefisien untuk hal yang tidak diketahui; X– kolom matriks yang tidak diketahui X, kamu, z Dan N– kolom matriks anggota bebas:

Ruas kiri sistem (1) dapat ditulis sebagai hasil kali matriks, dan ruas kanan sebagai matriks N. Oleh karena itu kita memiliki persamaan matriks

Sejak determinan matriks A berbeda dengan nol (titik “a”), maka matriksnya A mempunyai matriks invers. Mari kita kalikan kedua ruas persamaan (2) di sebelah kiri dengan matriks, kita peroleh

Sejak dimana E adalah matriks identitas, dan , kemudian

Misalkan kita mempunyai matriks nonsingular A:

Kemudian kita mencari matriks inversnya dengan menggunakan rumus:

Di mana A aku j- komplemen aljabar suatu elemen A aku j dalam determinan matriks A, yang merupakan hasil kali (-1) i+j dan minor (determinan) n-1 pesanan diperoleh dengan menghapus saya-itu garis dan jth kolom pada determinan matriks A:

Dari sini kita mendapatkan matriks invers:

Kolom X: X=A -1 H

81–100. Memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss

Larutan. Mari kita tulis sistemnya dalam bentuk matriks yang diperluas:

Kami melakukan transformasi dasar dengan string.

Dari baris ke-2 kita kurangi baris pertama dikalikan 2. Dari baris 3 kita kurangi baris pertama dikali 4. Dari baris 4 kita kurangi baris pertama, kita peroleh matriksnya:

Selanjutnya, kita mendapatkan nol di kolom pertama dari baris berikutnya, untuk melakukan ini, kurangi baris ketiga dari baris kedua. Dari baris ketiga, kurangi baris kedua, dikalikan 2. Dari baris keempat, kurangi baris kedua, dikalikan 3. Hasilnya, kita memperoleh matriks berbentuk:

Dari baris keempat kita kurangi baris ketiga.

Mari kita tukar baris kedua dari belakang dan terakhir:

Matriks terakhir ekuivalen dengan sistem persamaan:

Dari persamaan terakhir sistem kita temukan.

Mengganti ke persamaan kedua dari belakang, kita mendapatkan .

Dari persamaan kedua sistem berikut ini

Dari persamaan pertama kita menemukan x:

Menjawab:

Tes No.2

Geometri analitik

1-20. Diberikan koordinat titik sudut segitiga ABC. Menemukan:

1) panjang sisi ADI DALAM;

2) persamaan sisi-sisinya AB Dan Matahari dan koefisien sudutnya;

3) sudut DI DALAM dalam radian akurat hingga dua digit;

4) persamaan tinggi badan CD dan panjangnya;

5) persamaan median AE

tinggi CD;

KE sejajar dengan sisinya AB,

7) membuat gambar.

SEBUAH(3;6), B(15;-3), C(13;11)

Larutan.

Menerapkan (1), kita menemukan panjang sisinya AB:

2) persamaan sisi-sisinya AB Dan Matahari dan koefisien sudutnya:

Persamaan garis lurus yang melalui titik-titik dan berbentuk

Substitusikan koordinat titik-titik tersebut ke dalam (2) A Dan DI DALAM, kita memperoleh persamaan sisinya AB:

(AB).

(SM).

3) sudut DI DALAM dalam radian dengan ketelitian dua digit.

Diketahui garis singgung sudut antara dua garis lurus yang koefisien sudutnya masing-masing sama dan dihitung dengan rumus

Sudut yang diperlukan DI DALAM dibentuk oleh garis lurus AB Dan Matahari, koefisien sudutnya ditemukan: ; . Menerapkan (3), kita dapatkan

; , atau

4) persamaan tinggi badan CD dan panjangnya.

Jarak titik C ke garis lurus AB:

5) persamaan median AE dan koordinat titik K perpotongan median ini dengan

tinggi CD.

tengah sisi matahari:

Maka persamaan AE:

Kami memecahkan sistem persamaan:

6) persamaan garis yang melalui suatu titik KE sejajar dengan sisinya AB:

Karena garis yang diinginkan sejajar dengan sisi AB, maka koefisien sudutnya akan sama dengan koefisien sudut garis lurus AB. Substitusikan koordinat titik yang ditemukan ke dalam (4) KE dan kemiringannya, kita dapatkan

; (KF).

Luas jajar genjang adalah 12 meter persegi. satuan, kedua simpulnya adalah titik SEBUAH(-1;3) Dan B(-2;4). Tentukan dua titik sudut jajar genjang lainnya jika diketahui titik potong diagonal-diagonalnya terletak pada sumbu x. Buatlah gambar.

Larutan. Misalkan titik potong diagonalnya mempunyai koordinat.

Maka jelaslah bahwa

oleh karena itu, koordinat vektornya adalah .

Kita mencari luas jajar genjang menggunakan rumus

Maka koordinat dua titik lainnya adalah .

Dalam soal 51-60 koordinat titik diberikan A dan B. Diperlukan:

Tuliskan persamaan kanonik untuk hiperbola yang melalui titik-titik ini A dan B, jika fokus hiperbola terletak pada sumbu x;

Temukan sumbu semi, fokus, eksentrisitas dan persamaan asimtot hiperbola ini;

Temukan semua titik potong hiperbola dengan lingkaran yang berpusat di titik asal, jika lingkaran tersebut melalui titik fokus hiperbola;

Buatlah hiperbola, asimtotnya, dan lingkarannya.

SEBUAH(6;-2), B(-8;12).

Larutan. Persamaan hiperbola yang diinginkan ditulis dalam bentuk kanonik

Di mana A- titik semisumbu nyata dari hiperbola, B- semi-sumbu imajiner. Mengganti koordinat titik-titik tersebut A Dan DI DALAM Dalam persamaan ini kita menemukan sumbu semi berikut:

– persamaan hiperbola: .

Setengah sumbu a=4,

panjang fokus Fokus (-8.0) dan (8.0)

Keanehan

Asyptot:

Jika sebuah lingkaran melalui titik asal, persamaannya adalah

Mengganti salah satu fokus, kita menemukan persamaan lingkaran

Temukan titik potong hiperbola dan lingkaran:

Kami membuat gambar:

Dalam soal 61-80, buatlah grafik suatu fungsi dalam sistem koordinat kutub titik demi titik, berikan nilai  melalui interval  /8 (0   2). Tentukan persamaan garis pada sistem koordinat kartesius persegi panjang (sumbu semi positif absis berimpit dengan sumbu kutub, dan kutub berimpit dengan titik asal).

Larutan. Mari kita buat garis demi titik, setelah terlebih dahulu mengisi tabel nilai dan φ.

Nomor	φ ,	φ, derajat			Nomor	φ , senang	derajat
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 kami menyimpulkan bahwa persamaan ini mendefinisikan elips: Poin diberikan A, DI DALAM , C, D . Perlu menemukan: 1. Persamaan bidang (Q), melewati titik-titik A, B, C D di pesawat (Q); 2. Persamaan garis (SAYA), melewati titik-titik DI DALAM dan D; 3. Sudut antar bidang (Q) dan lurus (SAYA); 4. Persamaan bidang (R), melewati suatu titik A tegak lurus terhadap garis lurus (SAYA); 5. Sudut antar bidang (R) Dan (Q) ; 6. Persamaan sebuah garis (T), melewati suatu titik A searah dengan vektor jari-jarinya; 7. Sudut antar garis lurus (SAYA) Dan (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),D(6;4;0) 1. Persamaan bidang (Q), melewati titik-titik A, B, C dan periksa apakah intinya terletak D pada bidang ditentukan dengan rumus Temukan: 1) . 2) Persegi genjang, dibuat pada Dan. 3) Volume paralelepiped, dibuat pada vektor, Dan. Kontrol Pekerjaan pada topik ini " Elemen teori ruang linier... Rekomendasi metodologis untuk menyelesaikan tes untuk studi paruh waktu sarjana di kualifikasi 080100. 62 ke arah Pedoman Paralelepiped dan volume piramida, dibuat pada vektor, Dan. Penyelesaian: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2)... . . . 4. TUGAS UNTUK KONTROL BEKERJA Bagian I. Linier aljabar. 1 – 10. Diberikan...