Konstruksi segi enam biasa tertulis dalam lingkaran. Konstruksi segi enam didasarkan pada fakta bahwa sisinya sama dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi. Oleh karena itu, untuk membangun, cukup dengan membagi lingkaran menjadi enam bagian yang sama dan menghubungkan titik-titik yang ditemukan satu sama lain (Gbr. 60, a).

Sebuah segi enam biasa dapat dibangun menggunakan persegi-T dan persegi 30X60 °. Untuk melakukan konstruksi ini, kami mengambil diameter horizontal lingkaran sebagai garis bagi sudut 1 dan 4 (Gbr. 60, b), membangun sisi 1-6, 4-3, 4-5 dan 7-2, setelah itu kami tarik sisi 5-6 dan 3-2.

Konstruksi segitiga sama sisi tertulis dalam lingkaran. Simpul segitiga semacam itu dapat dibangun menggunakan kompas dan bujur sangkar dengan sudut 30 dan 60 °, atau hanya satu kompas.

Pertimbangkan dua cara untuk membangun sebuah segitiga sama sisi tertulis dalam lingkaran.

Cara pertama(Gbr. 61, a) didasarkan pada fakta bahwa ketiga sudut dari segitiga 7, 2, 3 masing-masing berisi 60 °, dan garis vertikal yang ditarik melalui titik 7 adalah tinggi dan garis bagi sudut 1. Karena sudut 0-1- 2 sama dengan 30 °, maka untuk menemukan sisi

1-2, cukup membangun sudut 30° pada titik 1 dan sisi 0-1. Untuk melakukan ini, atur kotak-T dan kotak seperti yang ditunjukkan pada gambar, gambar garis 1-2, yang akan menjadi salah satu sisi segitiga yang diinginkan. Untuk membangun sisi 2-3, atur T-persegi ke posisi yang ditunjukkan oleh garis putus-putus, dan gambar garis lurus melalui titik 2, yang akan menentukan simpul ketiga dari segitiga.

Cara kedua didasarkan pada fakta bahwa jika Anda membangun segi enam biasa yang tertulis dalam lingkaran, dan kemudian menghubungkan simpulnya melalui satu, Anda mendapatkan segitiga sama sisi.

Untuk membangun segitiga (Gbr. 61, b), kami menandai titik sudut 1 pada diameter dan menggambar garis diametris 1-4. Selanjutnya, dari titik 4 dengan jari-jari sama dengan D / 2, kami menggambarkan busur hingga berpotongan dengan lingkaran di titik 3 dan 2. Titik yang dihasilkan akan menjadi dua simpul lain dari segitiga yang diinginkan.

Konstruksi persegi tertulis dalam lingkaran. Konstruksi ini dapat dilakukan dengan menggunakan persegi dan kompas.

Metode pertama didasarkan pada fakta bahwa diagonal-diagonal bujur sangkar berpotongan di tengah lingkaran yang dibatasi dan condong ke sumbunya pada sudut 45°. Berdasarkan ini, kami memasang persegi-T dan persegi dengan sudut 45 ° seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 62, a, dan tandai titik 1 dan 3. Selanjutnya, melalui titik-titik ini, kita menggambar sisi horizontal bujur sangkar 4-1 dan 3-2 dengan bantuan persegi-T. Kemudian, dengan menggunakan persegi-T di sepanjang kaki persegi, kita menggambar sisi vertikal persegi 1-2 dan 4-3.

Metode kedua didasarkan pada fakta bahwa simpul bujur sangkar membagi dua busur lingkaran yang tertutup di antara ujung diameter (Gbr. 62, b). Kami menandai titik A, B dan C di ujung dua diameter yang saling tegak lurus, dan dari mereka dengan jari-jari y kami menggambarkan busur sampai mereka berpotongan.

Selanjutnya, melalui titik persimpangan busur, kami menggambar garis bantu, ditandai pada gambar dengan garis padat. Titik perpotongannya dengan lingkaran akan menentukan simpul 1 dan 3; 4 dan 2. Simpul dari bujur sangkar yang diinginkan yang diperoleh dengan cara ini dihubungkan secara seri satu sama lain.

Konstruksi segi lima biasa tertulis dalam lingkaran.

Untuk menuliskan segilima biasa dalam lingkaran (Gbr. 63), kami membuat konstruksi berikut.

Kami menandai titik 1 pada lingkaran dan menganggapnya sebagai salah satu simpul segi lima. Bagilah segmen AO menjadi dua. Untuk melakukan ini, dengan jari-jari AO dari titik A, kami menggambarkan busur hingga berpotongan dengan lingkaran di titik M dan B. Menghubungkan titik-titik ini dengan garis lurus, kami mendapatkan titik K, yang kemudian kami hubungkan dengan titik 1. Dengan radius sama dengan segmen A7, kami menggambarkan busur dari titik K ke persimpangan dengan garis diametris AO ​​di titik H. Menghubungkan titik 1 dengan titik H, kami mendapatkan sisi segi lima. Kemudian, dengan bukaan kompas sama dengan segmen 1H, setelah menggambarkan busur dari titik 1 ke perpotongan dengan lingkaran, kami menemukan simpul 2 dan 5. Setelah membuat serif dari simpul 2 dan 5 dengan bukaan kompas yang sama, kami memperoleh sisa simpul 3 dan 4. Kami menghubungkan titik-titik yang ditemukan secara berurutan satu sama lain.

Konstruksi segi lima biasa diberikan sisinya.

Untuk membuat segilima beraturan di sepanjang sisi yang diberikan (Gbr. 64), kami membagi segmen AB menjadi enam bagian yang sama. Dari titik A dan B dengan jari-jari AB kita gambarkan busur, yang perpotongannya akan menghasilkan titik K. Melalui titik ini dan pembagian 3 pada garis AB kita menggambar garis vertikal.

Kami mendapatkan titik 1-vertex dari segi lima. Kemudian, dengan jari-jari sama dengan AB, dari titik 1 kami menggambarkan busur ke persimpangan dengan busur yang sebelumnya ditarik dari titik A dan B. Titik persimpangan dari busur menentukan simpul dari segi lima 2 dan 5. Kami menghubungkan ditemukan simpul secara seri satu sama lain.

Konstruksi segi enam biasa tertulis dalam lingkaran.

Biarkan lingkaran dengan diameter D diberikan; Anda perlu menuliskan segi enam biasa ke dalamnya (Gbr. 65). Bagilah diameter vertikal lingkaran menjadi tujuh bagian yang sama. Dari titik 7 dengan jari-jari sama dengan diameter lingkaran D digambarkan busur sampai berpotongan dengan kelanjutan diameter horizontal di titik F. Titik F disebut kutub poligon. Mengambil titik VII sebagai salah satu simpul segi enam, kami menggambar sinar dari kutub F melalui pembagian genap diameter vertikal, perpotongannya dengan lingkaran akan menentukan simpul VI, V dan IV segi enam. Untuk mendapatkan simpul / - // - /// dari titik IV, V dan VI, kita menggambar garis mendatar sampai perpotongan dengan lingkaran. Kami menghubungkan simpul yang ditemukan secara seri satu sama lain. Segi enam dapat dibangun dengan menggambar sinar dari kutub F dan melalui pembagian ganjil dari diameter vertikal.

Metode di atas cocok untuk membangun poligon beraturan dengan sejumlah sisi.

Pembagian lingkaran menjadi sejumlah bagian yang sama juga dapat dilakukan dengan menggunakan data pada Tabel. 2, yang menunjukkan koefisien yang memungkinkan untuk menentukan dimensi sisi poligon bertulisan biasa.

Dalam menggambar, seringkali diperlukan untuk membangun poligon positif. Jadi katakanlah positif segi delapan digunakan pada rambu-rambu lalu lintas.

Anda akan perlu

• - kompas
• - penggaris
• - pensil

Petunjuk

1. Biarkan segmen diberikan sama dengan panjang sisi segi delapan yang diinginkan. Diperlukan untuk membangun oktagon sejati. Langkah pertama adalah membangun segitiga sama kaki pada segmen tertentu, menggunakan segmen sebagai alas. Untuk melakukan ini, pertama-tama buat persegi dengan sisi yang sama dengan segmen, gambar diagonal di dalamnya. Sekarang bangun garis-bagi dari sudut-sudut di diagonal (pada gambar, garis-bagi ditunjukkan dengan warna biru), di persimpangan garis-bagi, titik sudut segitiga sama kaki terbentuk, sisi-sisinya sama dengan jari-jari segitiga. lingkaran dibatasi di sekitar segi delapan yang benar.

2. Buatlah lingkaran yang berpusat di titik sudut segitiga. Jari-jari lingkaran sama dengan sisi segitiga. Sekarang sebarkan kompas ke jarak yang sama dengan nilai segmen yang diberikan. Sisihkan jarak ini pada lingkaran, mulai dari setiap ujung segmen. Gabungkan semua poin yang diperoleh menjadi segi delapan.

3. Jika sebuah lingkaran diberikan di mana segi delapan harus ditulis, maka konstruksinya akan lebih sederhana. Buat dua garis pusat yang saling tegak lurus, melewati pusat lingkaran. Di persimpangan aksial dan lingkaran, empat simpul dari segi delapan masa depan akan diperoleh. Tetap membagi jarak antara titik-titik ini pada busur lingkaran menjadi dua untuk mendapatkan empat simpul lagi.

Setia segi tiga- satu di mana semua sisi memiliki panjang yang sama. Berdasarkan definisi ini, konstruksi varietas serupa segi tiga tetapi merupakan tugas yang mudah.

Anda akan perlu

• Penggaris, selembar kertas bergaris, pensil

Petunjuk

1. Ambil selembar kertas bersih, berjajar dalam kotak, penggaris dan tandai tiga titik di atas kertas sehingga mereka berada pada jarak yang sama satu sama lain (Gbr. 1)

2. Dengan bantuan penggaris, gabungkan titik-titik yang ditandai pada lembar secara bertahap, satu demi satu, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.

Catatan!
Pada segitiga siku-siku (sama sisi), semua sudut adalah 60 derajat.

Saran yang bermanfaat
Segitiga sama sisi juga merupakan segitiga sama kaki. Jika segitiga sama kaki, maka ini berarti bahwa 2 dari 3 sisinya sama, dan sisi ketiga dianggap alas. Setiap segitiga positif adalah sama kaki, sedangkan kebalikannya tidak benar.

Segi delapan- ini pada dasarnya adalah dua kotak, diimbangi dengan 45 ° relatif satu sama lain dan disatukan di simpul oleh garis padat. Dan oleh karena itu, untuk menggambarkan sosok geometris seperti itu secara positif, Anda perlu menggambar kotak atau lingkaran dengan pensil keras, sesuai aturan, untuk melakukan tindakan selanjutnya. Penyajiannya difokuskan pada panjang sisi yang sama dengan 20 cm. Jadi, ketika menyusun gambar, perhatikan bahwa garis vertikal dan horizontal sepanjang 20 cm pas pada selembar kertas.

Anda akan perlu

• Penggaris, segitiga siku-siku, busur derajat, pensil, kompas, selembar kertas

Petunjuk

1. Cara 1. Gambarlah garis mendatar sepanjang 20 cm di bawah, setelah itu pada satu sisi, sapukan sudut siku-siku dengan busur derajat, yaitu 90°. Hal yang sama dapat dilakukan dengan dukungan segitiga siku-siku. Gambar garis vertikal dan sapukan 20 cm Lakukan manipulasi yang sama di sisi lain. Hubungkan dua titik yang diperoleh dengan garis horizontal. Hasilnya adalah sosok geometris - persegi.

2. Untuk membangun kotak ke-2 (bergeser), Anda memerlukan pusat gambar. Untuk melakukan ini, bagi setiap sisi persegi menjadi 2 bagian. Satukan dulu 2 titik dari sisi atas dan bawah yang sejajar, lalu titik-titik sisinya. Gambarlah 2 garis lurus melalui pusat bujur sangkar, tegak lurus satu sama lain. Mulai dari tengah, ukur 10 cm pada garis lurus baru, yang akan menghasilkan 4 garis lurus. Gabungkan 4 titik luar yang diperoleh satu sama lain, menghasilkan kotak ke-2. Sekarang gabungkan setiap titik dari 8 sudut yang diperoleh satu sama lain. Dengan demikian, segi delapan akan ditarik.

3. Metode 2. Ini akan membutuhkan kompas, penggaris dan busur derajat. Dari tengah lembaran dengan penyangga kompas, gambarlah sebuah lingkaran dengan diameter 20 cm (jari-jari 10 cm). Tarik garis lurus melalui titik pusat. Setelah itu, gambar garis kedua yang tegak lurus dengannya. Hal yang sama dapat dilakukan dengan bantuan busur derajat atau segitiga siku-siku. Akibatnya, lingkaran akan dibagi menjadi 4 bagian yang sama. Kemudian bagi masing-masing bagian menjadi 2 bagian lagi. Untuk ini, juga diperbolehkan menggunakan busur derajat, berukuran 45 ° atau dengan segitiga siku-siku, yang diterapkan dengan sudut lancip 45 ° dan menggambar sinar. Ukur 10 cm dari pusat pada garis lurus apa pun, sehingga Anda mendapatkan 8 "sinar" yang Anda gabungkan satu sama lain. Hasilnya adalah segi delapan.

4. Metode 3. Untuk melakukan ini, buat lingkaran dengan cara yang sama, buat garis melalui tengah. Setelah itu, ambil busur derajat, letakkan di tengah dan ukur sudutnya, mengingat setiap bagian segi delapan memiliki sudut 45° di tengah. Kemudian, pada sinar yang diterima, ukur panjang 10 cm dan gabungkan menjadi satu. Segi delapan siap.

Saran yang bermanfaat
Buat gambar dengan pensil keras, garis samping yang setelah itu akan mudah dihilangkan

Oktagon sejati adalah bangun geometris yang setiap sudutnya 135?, dan semua sisinya sama besar. Angka ini sering digunakan dalam arsitektur, misalnya, dalam konstruksi kolom, serta dalam pembuatan rambu jalan STOP. Bagaimana cara menggambar segi delapan positif?

Anda akan perlu

• - lembar lanskap;
• - pensil;
• - penggaris;
• - kompas;
• - penghapus.

Petunjuk

1. Gambarlah persegi terlebih dahulu. Setelah itu, gambarlah sebuah lingkaran sehingga persegi berada di dalam lingkaran. Sekarang gambar dua garis median aksial bujur sangkar - horizontal dan vertikal ke persimpangan dengan lingkaran. Gabungkan titik potong sumbu dengan lingkaran dan titik kontak lingkaran berbatas dengan bujur sangkar dengan segmen lurus. Jadi, dapatkan sisi-sisi segi delapan yang sebenarnya.

2. Gambarlah oktagon sejati dengan cara yang berbeda. Gambarlah lingkaran terlebih dahulu. Setelah itu, gambar garis horizontal melalui pusatnya. Tandai titik potong batas paling kanan lingkaran dengan garis horizontal. Titik ini akan menjadi pusat lingkaran lain, dengan radius sama dengan gambar sebelumnya.

3. Gambarlah garis vertikal melalui titik potong lingkaran ke-2 dengan lingkaran pertama. Letakkan kaki kompas pada perpotongan garis vertikal dan horizontal dan gambarlah sebuah lingkaran kecil dengan jari-jari yang sama dengan jarak dari pusat lingkaran kecil ke pusat lingkaran awal.

4. Gambar garis lurus melalui dua titik - pusat lingkaran awal dan titik persimpangan vertikal dan lingkaran kecil. Lanjutkan ke persimpangan dengan batas gambar aslinya. Ini akan menjadi titik puncak segi delapan. Dengan kompas, tandai satu titik lagi dengan menggambar sebuah lingkaran yang berpusat di titik perpotongan batas paling kanan lingkaran awal dengan garis horizontal dan jari-jari yang sama dengan jarak dari pusat ke titik paling dekat dari segi delapan.

5. Gambarlah garis lurus melalui dua titik - pusat lingkaran awal dan titik terakhir yang baru terbentuk. Lanjutkan garis lurus sampai berpotongan dengan batas bentuk aslinya.

6. Gabungkan dengan segmen lurus secara bertahap: titik perpotongan horizontal dengan batas kanan gambar awal, lalu searah jarum jam semua titik yang terbentuk, termasuk titik perpotongan sumbu dengan lingkaran asli.

Video Terkait

Kuklin Alexey

Karya tersebut bersifat abstrak dengan unsur kegiatan penelitian. Ini membahas berbagai cara membangun n-gon reguler. Makalah ini berisi jawaban rinci atas pertanyaan apakah selalu mungkin untuk membangun n-gon menggunakan kompas dan penggaris. Sebuah presentasi dilampirkan pada karya tersebut, yang dapat ditemukan di situs mini ini.

Unduh:

Pratinjau:

Untuk menggunakan pratinjau, buat sendiri akun Google (akun) dan masuk: https://accounts.google.com

Pratinjau:

https://accounts.google.com

Teks slide:

Konstruksi poligon beraturan Pekerjaan diselesaikan oleh: siswa kelas 9 "B" MBOU SLTP No. 10 Kuklin Alexey

Poligon Beraturan Poligon beraturan adalah poligon cembung yang semua sisi dan sudutnya sama besar. Pergi ke contoh Poligon cembung adalah poligon yang semua titiknya terletak pada sisi yang sama dari setiap garis yang melalui dua simpul yang berdekatan.

Kembali Poligon reguler

Pendiri bagian matematika pada poligon biasa adalah ilmuwan Yunani kuno. Salah satunya adalah Archimedes dan Euclid.

Bukti keberadaan n-gon beraturan Jika n (jumlah sudut poligon) lebih besar dari 2, maka poligon demikian ada. Mari kita coba membangun 8-gon dan membuktikannya. Bukti

Ambil lingkaran dengan radius sembarang yang berpusat di titik O. Bagilah menjadi sejumlah busur yang sama, dalam kasus kami 8. Untuk melakukan ini, gambarkan jari-jari sehingga kita mendapatkan 8 busur, dan sudut antara dua jari-jari terdekat adalah 360 °: jumlah sisi (dalam kasus kami 8), masing-masing, setiap sudut akan sama dengan 45 °.

3. Dapatkan poin A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8. Kami menghubungkan mereka satu per satu dan mendapatkan segi delapan biasa. Kembali

Membangun poligon beraturan dengan sisi menggunakan rotasi Poligon beraturan dapat dibangun dengan mengetahui sudutnya. Kita tahu bahwa jumlah sudut n-gon cembung adalah 180°(n - 2). Dari sini, sudut poligon dapat dihitung dengan membagi jumlah dengan n. Bangunan Sudut

Sudut kanan: 3-gon adalah 60° 4-gon adalah 90° 5-gon adalah 108° 6-gon adalah 120° 8-gon adalah 135° 9-gon adalah 140° 10-gon adalah 144° 12-gon adalah 150 ° Besaran derajat sudut segitiga beraturan Kembali

Pratinjau:

Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google (akun) dan masuk: https://accounts.google.com

Teks slide:

Pada tahun 1796, salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa, Carl Friedrich Gauss, menunjukkan kemungkinan membangun n-gon reguler jika persamaan berlaku, di mana n adalah jumlah sudut dan k adalah bilangan asli apa pun. Jadi, ternyata dalam 30 adalah mungkin untuk membagi lingkaran menjadi 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30 bagian yang sama. Pada tahun 1836, Vanzel membuktikan bahwa poligon beraturan yang tidak memenuhi persamaan ini tidak dapat dibangun menggunakan penggaris dan kompas. teorema Gauss

Konstruksi segitiga Mari kita buat lingkaran yang berpusat di titik O. Mari kita buat lingkaran lain dengan jari-jari yang sama melalui titik O.

3. Hubungkan pusat lingkaran dan salah satu titik persimpangannya, dapatkan poligon beraturan. Kembali Menggambar segitiga

Konstruksi segi enam 1. Mari kita buat lingkaran yang berpusat di titik O. 2. Buat garis lurus melalui pusat lingkaran. 3. Gambarlah busur lingkaran yang berjari-jari sama berpusat di titik perpotongan garis lurus dengan lingkaran sampai berpotongan dengan lingkaran.

4. Gambar garis lurus melalui pusat lingkaran awal dan titik potong busur dengan lingkaran ini. 5. Kami menghubungkan titik potong semua garis dengan lingkaran asli dan mendapatkan segi enam biasa. Konstruksi segi enam

Konstruksi segiempat Mari kita buat sebuah lingkaran yang berpusat di titik O. Mari kita menggambar 2 diameter yang saling tegak lurus. Dari titik-titik di mana diameter menyentuh lingkaran, kami menggambar lingkaran lain dengan radius tertentu sampai mereka berpotongan (lingkaran).

Konstruksi segi empat 4. Gambarlah garis lurus melalui titik potong lingkaran. 5. Kami menghubungkan titik-titik perpotongan garis dan lingkaran dan mendapatkan segiempat beraturan.

Membangun segi delapan Anda dapat membangun poligon biasa yang memiliki sudut 2 kali lebih banyak dari yang diberikan. Mari kita membangun segi delapan menggunakan segi empat. Hubungkan simpul yang berlawanan dari segi empat. Mari kita menggambar garis-bagi dari sudut yang dibentuk oleh diagonal yang berpotongan.

4. Hubungkan titik-titik yang terletak pada lingkaran, sehingga diperoleh segi delapan biasa. Membangun segi delapan

Pratinjau:

Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google (akun) dan masuk: https://accounts.google.com

Teks slide:

Membangun sebuah dekagon Mari kita buat sebuah lingkaran yang berpusat di titik O. Mari kita menggambar 2 diameter yang saling tegak lurus. Bagilah jari-jari lingkaran menjadi dua dan dari titik yang dihasilkan di atasnya gambarlah sebuah lingkaran yang melewati titik O.

Konstruksi dekagon 4. Gambarlah segmen dari pusat lingkaran kecil ke titik di mana lingkaran besar menyentuh jari-jarinya. 5. Dari titik kontak lingkaran besar dan jari-jarinya, gambarlah sebuah lingkaran sehingga akan bersentuhan dengan lingkaran kecil.

Konstruksi dekagon 6. Dari titik persimpangan lingkaran besar dan yang dihasilkan, gambar lingkaran yang dibuat terakhir kali dan kita akan menggambar sampai lingkaran yang berdekatan bersentuhan. 7. Hubungkan titik-titik dan dapatkan decagon.

Membangun segilima Untuk membangun segilima biasa, Anda tidak perlu menghubungkan semua titik secara bergantian, tetapi melalui satu titik, sambil membangun sebuah dekagon biasa.

Perkiraan konstruksi segilima biasa dengan metode Dürer Mari kita buat 2 lingkaran melewati pusat satu sama lain. Mari hubungkan pusat dengan garis lurus, dapatkan salah satu sisi segi lima. Hubungkan titik potong lingkaran.

Perkiraan konstruksi segilima biasa dengan metode Dürer 4. Mari kita menggambar lingkaran lain dengan jari-jari yang sama dengan pusat di titik perpotongan dua lingkaran lainnya. 5. Mari kita menggambar 2 segmen seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Perkiraan konstruksi segilima biasa dengan metode Dürer 6. Hubungkan titik-titik kontak segmen-segmen ini dengan lingkaran dengan ujung-ujung sisi segi lima yang dibangun. 7. Mari kita membangun ke segi lima.

Perkiraan konstruksi pentagon biasa dengan metode Kovarzhik, Bion