Matriks berukuran m kali n.

Matriks ukuran m kali n adalah himpunan mn bilangan real atau elemen struktur lain (polinomial, fungsi, dll), ditulis dalam bentuk tabel persegi panjang, yang terdiri dari m baris dan n kolom dan diambil berbentuk bulat atau persegi panjang atau ganda tanda kurung lurus. Dalam hal ini, bilangan-bilangan itu sendiri disebut elemen matriks dan setiap elemen dikaitkan dengan dua bilangan - nomor baris dan nomor kolom.Matriks berukuran n kali n disebut persegi matriks orde ke-n, yaitu jumlah baris sama dengan jumlah kolom. Segitiga - matriks persegi yang semua elemen di bawah atau di atas diagonal utamanya sama dengan nol, disebut matriks persegi diagonal , jika semua elemen di luar diagonalnya sama dengan nol. Skalar matriks - matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya sama. Kasus khusus dari matriks skalar adalah matriks identitas. Diagonal matriks yang semua elemen diagonalnya sama dengan 1 disebut lajang matriks dan dilambangkan dengan simbol I atau E. Matriks yang semua elemennya nol disebut batal matriks dan dilambangkan dengan simbol O.

Mengalikan matriks A dengan suatu bilangan λ (simbol: λ A) terdiri dari membangun matriks B, yang unsur-unsurnya diperoleh dengan mengalikan setiap unsur matriks A dengan angka ini, yaitu setiap elemen matriks B sama

Sifat-sifat perkalian matriks dengan suatu bilangan

1. 1*SEBUAH = SEBUAH; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

Penambahan matriks A + B adalah operasi mencari matriks C, yang semua elemennya sama dengan jumlah berpasangan semua elemen matriks yang bersesuaian A Dan B, yaitu setiap elemen matriks C sama

Sifat-sifat penjumlahan matriks

5.komutatifitas) a+b=b+a

6. asosiatif.

7.penjumlahan dengan matriks nol;

8. adanya matriks yang berlawanan (sama tetapi terdapat minus di mana-mana sebelum setiap bilangan)

Perkalian matriks - ada operasi perhitungan matriks C, yang unsur-unsurnya sama dengan jumlah hasil kali unsur-unsur pada baris yang bersesuaian dari faktor pertama dan kolom faktor kedua.

Jumlah kolom dalam matriks A harus sesuai dengan jumlah baris matriks B. Jika matriks A mempunyai dimensi, B- , lalu dimensi produknya AB = C Ada .

Sifat-sifat perkalian matriks

1.associativity; (lihat di atas)

2. hasil kali tidak bersifat komutatif;

3. hasil kali bersifat komutatif jika terjadi perkalian dengan matriks identitas;

4.kewajaran hukum distributif; SEBUAH*(B+C)=A*B+A*C.

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

2. Penentu matriks persegi orde pertama dan ke-n

Penentu suatu matriks adalah polinomial elemen-elemen matriks persegi (yaitu, matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama dengan

Penentuan melalui pemuaian pada baris pertama

Untuk matriks orde pertama penentu adalah satu-satunya elemen dari matriks itu sendiri:

Untuk matriks determinan didefinisikan sebagai

Untuk sebuah matriks, determinannya ditentukan secara rekursif:

, di mana merupakan minor tambahan pada elemen tersebut A 1J. Rumus ini disebut perluasan garis.

Secara khusus rumus untuk menghitung determinan suatu matriks adalah:

= A 11 A 22 A 33 − A 11 A 23 A 32 − A 12 A 21 A 33 + A 12 A 23 A 31 + A 13 A 21 A 32 − A 13 A 22 A 31

Sifat-sifat determinan

Ketika menambahkan kombinasi linier dari baris (kolom) lain ke baris (kolom) mana pun, determinannya tidak berubah.

§ Jika dua baris (kolom) suatu matriks berhimpitan, maka determinannya sama dengan nol.

§ Jika dua (atau beberapa) baris (kolom) suatu matriks bergantung linier, maka determinannya sama dengan nol.

§ Jika dua baris (kolom) suatu matriks disusun ulang, maka determinannya dikalikan (-1).

§ Faktor persekutuan unsur-unsur suatu deret determinan dapat dikeluarkan dari tanda determinan.

§ Jika paling sedikit satu baris (kolom) matriks bernilai nol, maka determinannya sama dengan nol.

§ Jumlah hasil kali semua elemen suatu baris dengan komplemen aljabarnya sama dengan determinan.

§ Jumlah hasil kali semua elemen deret apa pun dengan komplemen aljabar elemen-elemen yang bersesuaian pada deret paralel sama dengan nol.

§ Penentu hasil kali matriks persegi berorde sama sama dengan hasil kali determinannya (lihat juga rumus Binet-Cauchy).

§ Dengan menggunakan notasi indeks, determinan matriks 3x3 dapat didefinisikan dengan menggunakan simbol Levi-Civita dari relasi:

Matriks terbalik.

Matriks terbalik - matriks seperti itu SEBUAH−1, jika dikalikan dengan matriks aslinya A menghasilkan matriks identitas E:

Bersyarat adanya:

Suatu matriks persegi dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut non-singular, yaitu determinannya tidak sama dengan nol. Untuk matriks bukan persegi dan matriks singular tidak terdapat matriks invers.

Rumus untuk menemukan

Jika matriksnya dapat dibalik, maka untuk mencari matriks inversnya dapat menggunakan salah satu cara berikut:

a) Menggunakan matriks penjumlahan aljabar

C T- matriks penjumlahan aljabar yang ditransposisikan;

Matriks yang dihasilkan A−1 dan akan menjadi kebalikannya. Kompleksitas algoritma bergantung pada kompleksitas algoritma untuk menghitung determinan O det dan sama dengan O(n²)·O det.

Dengan kata lain, invers matriks sama dengan satu dibagi determinan matriks asal dan dikalikan dengan matriks transposisi penjumlahan aljabar (minor dikalikan (-1) pangkat ruang yang ditempatinya) dari elemen matriks aslinya.

4. Sistem persamaan linear. Solusi sistem. Kompatibilitas dan ketidakcocokan sistem. metode matriks untuk menyelesaikan sistem n persamaan linier dengan n variabel. teorema Krammer.

Sistem M persamaan linear dengan N tidak dikenal(atau, sistem linier) dalam aljabar linier adalah sistem persamaan bentuk

(1)

Di Sini X 1 , X 2 , …, xn- hal yang tidak diketahui yang perlu ditentukan. A 11 , A 12 , …, satu hal- koefisien sistem - dan B 1 , B 2 , … bm- anggota bebas - diasumsikan diketahui. Indeks koefisien ( sebuah ij) sistem menunjukkan bilangan persamaan ( Saya) dan tidak diketahui ( J), dimana koefisien ini masing-masing berada.

Sistem (1) disebut homogen, jika semua suku bebasnya sama dengan nol ( B 1 = B 2 = … = bm= 0), jika tidak - heterogen.

Sistem (1) disebut persegi, jika nomor M persamaan sama dengan angka tersebut N tidak dikenal.

Larutan sistem (1) - set N angka C 1 , C 2 , …, c n, sehingga substitusi masing-masing c saya alih-alih x saya menjadi sistem (1) mengubah semua persamaannya menjadi identitas.

Sistem (1) disebut persendian, jika ia memiliki setidaknya satu solusi, dan non-bersama, jika dia tidak memiliki solusi tunggal.

Sistem gabungan tipe (1) mungkin mempunyai satu atau lebih solusi.

Solusi C 1 (1) , C 2 (1) , …, c n(1) dan C 1 (2) , C 2 (2) , …, c n(2) sistem gabungan bentuk (1) disebut bermacam-macam, jika setidaknya salah satu persamaan dilanggar:

C 1 (1) = C 1 (2) , C 2 (1) = C 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Bentuk matriks

Suatu sistem persamaan linear dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks sebagai:

AX = B.

Jika kolom suku bebas ditambahkan pada matriks A di sebelah kanan, maka matriks yang dihasilkan disebut diperluas.

Metode langsung

Metode Cramer (aturan Cramer)- metode untuk menyelesaikan sistem kuadrat persamaan aljabar linier dengan determinan bukan nol dari matriks utama (dan untuk persamaan tersebut terdapat solusi unik). Dinamakan setelah Gabriel Cramer (1704–1752), yang menemukan metode ini.

Deskripsi metode

Untuk sistem N persamaan linear dengan N tidak diketahui (di atas bidang arbitrer)

jika determinan matriks sistem Δ berbeda dari nol, penyelesaiannya ditulis dalam bentuk

(kolom ke-i matriks sistem diganti dengan kolom suku bebas).
Dalam bentuk lain, aturan Cramer dirumuskan sebagai berikut: untuk setiap koefisien c 1, c 2, ..., c n persamaan berikut berlaku:

Dalam bentuk ini, rumus Cramer valid tanpa asumsi bahwa Δ berbeda dari nol; bahkan koefisien sistem tidak perlu menjadi elemen ring integral (determinan sistem bahkan dapat berupa pembagi nol di cincin koefisien). Kita juga dapat berasumsi bahwa salah satu himpunan tersebut B 1 ,B 2 ,...,bn Dan X 1 ,X 2 ,...,xn, atau satu set C 1 ,C 2 ,...,c n tidak terdiri dari elemen cincin koefisien sistem, tetapi beberapa modul di atas cincin ini.

5. Minor dari urutan ke-k. Peringkat matriks. Transformasi dasar matriks. Teorema Kronecker-Capelli tentang kondisi kompatibilitas sistem persamaan linier. Metode eliminasi variabel (Gaussian) untuk sistem persamaan linear.

Minor matriks A adalah determinan matriks orde persegi k(yang disebut juga orde minor ini), yang elemen-elemennya muncul dalam matriks A pada perpotongan baris dengan angka dan kolom dengan angka.

Pangkat sistem baris matriks (kolom). A Dengan M garis dan N kolom adalah jumlah maksimum baris (kolom) yang bukan nol.

Beberapa baris (kolom) dikatakan bebas linier jika tidak ada satupun baris (kolom) yang dapat dinyatakan secara linier dalam bentuk baris-baris lainnya. Pangkat sistem baris selalu sama dengan pangkat sistem kolom, dan bilangan ini disebut pangkat matriks.

Kronecker - Teorema Capelli (kriteria konsistensi sistem persamaan aljabar linier) -

suatu sistem persamaan aljabar linier konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks utamanya sama dengan pangkat matriks yang diperluas (dengan suku bebas), dan sistem mempunyai solusi unik jika pangkatnya sama dengan bilangan tersebut yang tidak diketahui, dan solusi yang jumlahnya tak terhingga jika ranknya lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui.

metode Gauss - metode klasik untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier (SLAE). Ini adalah metode eliminasi variabel secara berurutan, ketika, dengan menggunakan transformasi dasar, sistem persamaan direduksi menjadi sistem ekuivalen berbentuk langkah (atau segitiga), dari mana semua variabel lain ditemukan secara berurutan, dimulai dari yang terakhir (dengan angka) variabel.

6. Segmen dan vektor terarah. Konsep dasar aljabar vektor. Jumlah vektor dan hasil kali vektor dan bilangan. Kondisi koordinasi vektor. Sifat-sifat operasi linier pada vektor.

Operasi pada vektor

Tambahan

Operasi penjumlahan vektor geometri dapat didefinisikan dengan berbagai cara, bergantung pada situasi dan jenis vektor yang dipertimbangkan:

Dua vektor kamu, ay dan vektor jumlah mereka

Aturan segitiga. Untuk menjumlahkan dua vektor dan menurut aturan segitiga, kedua vektor tersebut dipindahkan sejajar satu sama lain sehingga awal salah satunya bertepatan dengan akhir yang lain. Kemudian jumlah vektor diberikan oleh sisi ketiga dari segitiga yang dihasilkan, dan awalnya bertepatan dengan awal vektor pertama, dan ujungnya dengan akhir vektor kedua.

Aturan jajaran genjang. Untuk menjumlahkan dua vektor dan menurut aturan jajar genjang, kedua vektor tersebut dipindahkan sejajar satu sama lain sehingga titik asal keduanya bertepatan. Kemudian jumlah vektor diberikan oleh diagonal jajar genjang yang dibangun di atasnya, dimulai dari titik asal yang sama.

Dan modulus (panjang) dari jumlah vektor ditentukan oleh teorema kosinus dimana adalah sudut antara vektor-vektor ketika titik awal vektor yang satu berimpit dengan ujung vektor yang lain. Sekarang rumusnya juga digunakan - sudut antara vektor yang muncul dari satu titik.

Karya seni vektor

Karya seni vektor vektor demi vektor adalah vektor yang memenuhi persyaratan berikut:

Sifat-sifat vektor C

§ panjang suatu vektor sama dengan hasil kali panjang vektor-vektor tersebut dan sinus sudut φ di antara keduanya

§ vektornya ortogonal terhadap masing-masing vektor dan

§ arah vektor C ditentukan oleh aturan Buravchik

Sifat-sifat produk vektor:

1. Ketika faktor-faktor disusun ulang, hasil kali vektor berubah tanda (antikomutatif), yaitu.

2. Hasil kali vektor mempunyai sifat penggabungan terhadap faktor skalar, yaitu

3. Hasil kali vektor mempunyai sifat distribusi:

Basis dan sistem koordinat pada bidang dan ruang. Penguraian vektor berdasarkan basis. Basis ortonormal dan sistem koordinat kartesius persegi panjang pada bidang dan ruang. Koordinat vektor dan titik pada bidang dan ruang. Proyeksi suatu vektor pada sumbu koordinat.

Dasar (Yunani kuno βασις, basis) - himpunan vektor dalam ruang vektor sedemikian rupa sehingga vektor apa pun dalam ruang ini dapat direpresentasikan secara unik sebagai kombinasi linier vektor dari himpunan ini - vektor dasar.

Seringkali lebih mudah untuk memilih panjang (norma) dari masing-masing vektor basis menjadi satuan, basis seperti itu disebut dinormalisasi.

Representasi vektor ruang tertentu (apa saja) sebagai kombinasi linier dari vektor basis (jumlah vektor basis dengan koefisien numerik), misalnya

atau, menggunakan tanda penjumlahan Σ:

ditelepon perluasan vektor ini atas dasar ini.

Koordinat vektor dan titik pada bidang dan ruang.

Koordinat sumbu x titik A adalah bilangan yang nilai absolutnya sama dengan panjang ruas OAx: positif jika titik A terletak pada sumbu x positif, dan negatif jika terletak pada sumbu semi negatif.

Vektor satuan atau vektor satuan adalah vektor yang panjangnya sama dengan satu dan berarah sepanjang sumbu koordinat.

Kemudian proyeksi vektor AB pada sumbu l adalah selisih x1 – x2 antara koordinat proyeksi ujung dan awal vektor pada sumbu tersebut.

8.Panjang dan arah cosinus suatu vektor, hubungan antar cosinus arah. vektor ort. Koordinat adalah jumlah vektor, hasil kali vektor dan bilangan.

Panjang vektor ditentukan oleh rumus

Arah vektor ditentukan oleh sudut α, β, γ yang dibentuknya dengan sumbu koordinat Ox, Oy, Oz. Kosinus sudut-sudut ini (yang disebut vektor kosinus arah ) dihitung menggunakan rumus:

Vektor satuan atau ort (vektor satuan dari ruang vektor yang dinormalisasi) adalah vektor yang norma (panjangnya) sama dengan satu.

Vektor satuan yang segaris dengan vektor tertentu (vektor ternormalisasi) ditentukan oleh rumus

Vektor satuan sering kali dipilih sebagai vektor basis, karena hal ini menyederhanakan penghitungan. Basis seperti itu disebut dinormalisasi. Jika vektor-vektor ini juga ortogonal, maka basis tersebut disebut basis ortonormal.

Koordinat segaris

Koordinat setara

Koordinat jumlah vektor dua vektor memenuhi hubungan:

Koordinat segaris vektor memenuhi hubungan:

Koordinat setara vektor memenuhi hubungan:

Jumlah vektor dua vektor:

Jumlah beberapa vektor:

Hasil kali vektor dan bilangan:

Perkalian silang vektor. Aplikasi geometris perkalian silang. Kondisi kolinearitas vektor. Sifat aljabar produk campuran. Menyatakan hasil kali vektor melalui koordinat faktor-faktornya.

Produk silang suatu vektor dan vektor b disebut vektor c, yang:

1. Tegak lurus terhadap vektor a dan b, yaitu c^a dan c^b;

2. Memiliki panjang yang secara numerik sama dengan luas jajar genjang yang dibangun pada vektor a dan b sebagai sisinya (lihat Gambar 17), yaitu.

3.Vektor a, b dan c membentuk tripel siku-siku.

Aplikasi Geometris:

Membangun kolinearitas vektor

Mencari luas jajar genjang dan segitiga

Menurut definisi perkalian vektor dari vektor A dan B |a xb | =|sebuah| * |b |sing, yaitu S berpasangan = |a x b |. Oleh karena itu, DS =1/2|a x b |.

Penentuan momen gaya terhadap suatu titik

Diketahui dari fisika bahwa momen gaya F relatif terhadap intinya TENTANG disebut vektor M, yang melewati titik tersebut TENTANG Dan:

1) tegak lurus terhadap bidang yang melalui titik-titik tersebut HAI, SEBUAH, B;

2) secara numerik sama dengan hasil kali gaya per lengan

3) membentuk rangkap tiga siku-siku dengan vektor OA dan A B.

Oleh karena itu, M = OA x F.

Menemukan kecepatan rotasi linier

Kecepatan v suatu titik M suatu benda tegar yang berputar dengan kecepatan sudut w mengelilingi sumbu tetap ditentukan oleh rumus Euler v =w xr, di mana r =OM, di mana O adalah suatu titik tetap pada sumbu (lihat Gambar. 21).

Kondisi kolinearitas vektor - syarat perlu dan cukup bagi kolinearitas vektor bukan nol dan vektor adalah adanya bilangan yang memenuhi persamaan.

Sifat aljabar produk campuran

Hasil kali campuran vektor-vektor tidak berubah jika faktor-faktornya disusun ulang secara melingkar dan berubah tanda menjadi kebalikannya ketika dua faktor dipertukarkan, dengan tetap mempertahankan modulusnya.

Tanda perkalian vektor " " di dalam hasil kali campuran dapat ditempatkan di antara salah satu faktornya.

Hasil kali campuran bersifat distributif terhadap salah satu faktornya: (misalnya) jika , maka

Menyatakan perkalian silang dalam bentuk koordinat

sistem koordinat yang benar

sistem koordinat kiri

12.Produk campuran vektor. Makna geometris hasil kali campuran, kondisi koplanaritas vektor. Sifat aljabar produk campuran. Menyatakan hasil kali campuran melalui koordinat faktor-faktornya.

Campuran Hasil kali rangkap tiga vektor (a,b,c) adalah hasil kali skalar vektor pertama dan hasil kali vektor vektor kedua dan ketiga.

Sifat aljabar produk vektor

Antikomutatif

Asosiatif terhadap perkalian dengan skalar

Distribusi dengan penjumlahan

Identitas Jacobi. Berjalan di R3 dan istirahat di R7

Produk vektor dari vektor basis ditemukan menurut definisi

Kesimpulan

dimana adalah koordinat vektor arah garis dan koordinat titik yang termasuk dalam garis tersebut.

Vektor normal suatu garis pada suatu bidang. Persamaan garis yang melalui suatu titik tegak lurus terhadap suatu vektor tertentu. Persamaan umum garis lurus. Persamaan garis lurus dengan koefisien sudut. Posisi relatif dua garis lurus pada suatu bidang

Normal vektor suatu garis adalah vektor bukan nol yang tegak lurus terhadap garis tersebut.

- persamaan garis yang melalui suatu titik tegak lurus terhadap suatu vektor tertentu

Kapak + Wu + C = 0- persamaan umum suatu garis.

Persamaan garis berbentuk y=kx+b

ditelepon persamaan garis lurus dengan kemiringan, dan koefisien k disebut kemiringan garis ini.

Dalil. Pada persamaan garis lurus dengan kemiringan y=kx+b

koefisien sudut k sama dengan garis singgung sudut kemiringan garis lurus terhadap sumbu absis:

Pengaturan bersama:

– persamaan umum dua garis pada bidang koordinat Oxy. Kemudian

1) jika , maka garis-garisnya bertepatan;

2) jika , maka lurus dan sejajar;

3) jika , maka garis-garisnya berpotongan.

Bukti . Kondisi ini setara dengan kolinearitas vektor-vektor normal pada garis-garis tertentu:

Oleh karena itu, jika , maka garis lurus tersebut memotong.

Jika , lalu , , dan persamaan garisnya berbentuk:

Atau , yaitu. lurus cocok. Perhatikan bahwa koefisien proporsionalitasnya adalah , jika tidak, semua koefisien persamaan umum akan sama dengan nol, dan hal ini tidak mungkin.

Jika garis-garisnya tidak berhimpitan dan tidak berpotongan, maka kasusnya tetap, yaitu. lurus paralel.

Persamaan garis dalam segmen

Jika pada persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С≠0, maka dibagi dengan –С kita peroleh: atau , dimana

Arti geometri dari koefisien adalah koefisien A adalah koordinat titik potong garis dengan sumbu Sapi, dan B– koordinat titik potong garis lurus dengan sumbu Oy.

Persamaan garis normal

Jika kedua ruas persamaan Ax + By + C = 0 dibagi dengan suatu bilangan disebut faktor normalisasi, lalu kita dapatkan

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

persamaan garis normal.

Tanda ± dari faktor normalisasi harus dipilih sehingga μ ? DENGAN< 0.

p adalah panjang garis tegak lurus yang diturunkan dari titik asal ke garis lurus, dan φ adalah sudut yang dibentuk oleh garis tegak lurus tersebut dengan arah positif sumbu Ox.

C Perlu diperhatikan bahwa tidak setiap garis dapat direpresentasikan dengan persamaan dalam segmen-segmen, misalnya garis yang sejajar sumbu atau melalui titik asal.

17. Elips. Persamaan kanonik elips. Sifat geometris dan konstruksi elips. Ketentuan khusus.

Elips - tempat kedudukan poin M Bidang Euclidean, yang merupakan jumlah jarak ke dua titik tertentu F 1 dan F 2 (disebut fokus) adalah konstan dan lebih besar dari jarak antar fokus, yaitu | F 1 M | + | F 2 M | = 2A, dan | F 1 F 2 | < 2A.

Persamaan kanonik

Untuk elips apa pun, Anda dapat menemukan sistem koordinat Kartesius sehingga elips tersebut dijelaskan dengan persamaan (persamaan kanonik elips):

Ini menggambarkan elips yang berpusat di titik asal, yang sumbunya bertepatan dengan sumbu koordinat.

Konstruksi: 1)Menggunakan kompas

2) Dua trik dan seutas benang yang diregangkan

3) Ellipsograph (Ellipsograph terdiri dari dua buah penggeser yang dapat bergerak sepanjang dua alur atau pemandu yang tegak lurus. Penggeser tersebut dipasang pada batang melalui engsel, dan ditempatkan pada jarak tetap satu sama lain di sepanjang batang. Penggeser bergerak maju dan mundur - masing-masing sepanjang alurnya sendiri, - dan ujung batang menggambarkan elips pada bidang. Sumbu setengah elips a dan b mewakili jarak dari ujung batang ke engsel pada penggeser. Biasanya jarak a dan b dapat divariasikan, dan dengan demikian mengubah bentuk dan dimensi elips yang dijelaskan)

Eksentrisitas mencirikan pemanjangan elips. Semakin dekat eksentrisitasnya ke nol, maka elipsnya semakin menyerupai lingkaran, dan sebaliknya, semakin dekat eksentrisitasnya dengan kesatuan, maka elipsnya semakin memanjang.

Parameter fokus

Persamaan kanonik

18.Hiperbola. Persamaan kanonik hiperbola. Sifat geometris dan konstruksi hiperbola. Ketentuan khusus

Hiperbola(Yunani kuno ὑπερβολή, dari bahasa Yunani kuno βαλειν - "melempar", ὑπερ - "atas") - tempat kedudukan titik M Bidang Euclidean, yang nilai mutlak selisih jaraknya M hingga dua titik yang dipilih F 1 dan F 2 (disebut fokus) terus-menerus. Lebih tepatnya,

Apalagi | F 1 F 2 | > 2A > 0.

Rasio

Untuk ciri-ciri hiperbola yang didefinisikan di atas, mereka mematuhi hubungan berikut

2. Direktriks hiperbola ditandai dengan garis-garis yang tebalnya ganda dan diberi tanda D 1 dan D 2. Keanehan ε sama dengan rasio jarak titik P pada hiperbola ke fokus dan direktriks yang sesuai (ditunjukkan dengan warna hijau). Titik puncak hiperbola ditetapkan sebagai ± A. Parameter hiperbola memiliki arti sebagai berikut:

A- jarak dari pusat C ke masing-masing simpul
B- panjang garis tegak lurus yang diturunkan dari masing-masing simpul ke asimtot
C- jarak dari pusat C ke salah satu fokus, F 1 dan F 2 ,
θ adalah sudut yang dibentuk oleh masing-masing asimtot dan sumbu yang ditarik antara simpul.

Properti

§ Untuk setiap titik yang terletak pada hiperbola, perbandingan jarak dari titik tersebut ke fokus dengan jarak dari titik yang sama ke direktriks adalah nilai konstan.

§ Hiperbola mempunyai simetri cermin terhadap sumbu real dan imajiner, serta simetri rotasi bila diputar melalui sudut 180° mengelilingi pusat hiperbola.

§ Setiap hiperbola memiliki konjugasi hiperbola, dimana sumbu nyata dan sumbu imajiner berpindah tempat, tetapi asimtotnya tetap sama. Hal ini sesuai dengan penggantiannya A Dan B di atas satu sama lain dalam rumus yang menggambarkan hiperbola. Hiperbola konjugasinya bukan merupakan hasil perputaran hiperbola awal dengan sudut 90°; kedua hiperbola berbeda bentuknya.

19. Parabola. Persamaan kanonik parabola. Sifat geometris dan konstruksi parabola. Ketentuan khusus.

Parabola - kedudukan titik-titik geometri yang berjarak sama dari suatu garis tertentu (disebut direktriks parabola) dan suatu titik tertentu (disebut fokus parabola).

Persamaan kanonik parabola dalam sistem koordinat persegi panjang:

(atau jika Anda menukar sumbu).

Properti

§ 1 Parabola adalah kurva orde kedua.

§ 2Memiliki sumbu simetri yang disebut sumbu parabola. Sumbu melewati fokus dan tegak lurus terhadap direktriks.

§ 3Properti optik. Seberkas sinar sejajar sumbu parabola, dipantulkan pada parabola, dikumpulkan pada fokusnya. Begitu pula sebaliknya, cahaya dari sumber yang terletak fokus dipantulkan oleh parabola menjadi berkas sinar yang sejajar sumbunya.

§ 4Untuk parabola, fokusnya ada di titik (0,25; 0).

Untuk parabola, fokusnya ada di titik (0; f).

§ 5 Jika fokus parabola dipantulkan relatif terhadap garis singgung, maka bayangannya terletak pada direktriks.

§ 6 Parabola adalah antipoder suatu garis.

§ Semua parabola serupa. Jarak antara fokus dan direktriks menentukan skala.

§ 7 Ketika parabola berputar mengelilingi sumbu simetri, diperoleh paraboloid elips.

Direktriks parabola

Radius fokus

20.Vektor bidang normal. Persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu tegak lurus terhadap suatu vektor tertentu. Persamaan bidang umum, kasus khusus dari persamaan bidang umum. Persamaan vektor sebuah bidang. Posisi relatif dua bidang.

Pesawat- salah satu konsep dasar geometri. Dalam penyajian geometri secara sistematis, konsep bidang biasanya diambil sebagai salah satu konsep awal, yang hanya secara tidak langsung ditentukan oleh aksioma-aksioma geometri.

Persamaan bidang dengan titik dan vektor normal
Dalam bentuk vektor

Dalam koordinat

Sudut antar bidang

Kasus khusus persamaan bidang umum.

Untuk menampilkan hukum alam dalam fisika dengan benar, diperlukan alat matematika yang sesuai.

Dalam geometri dan fisika terdapat besaran yang dicirikan oleh nilai numerik dan arah.

Dianjurkan untuk menggambarkannya sebagai segmen terarah atau vektor.

Dalam kontak dengan

Besaran tersebut memiliki awal (ditunjukkan dengan titik) dan akhir, ditandai dengan panah. Panjang suatu ruas disebut (panjang).

• kecepatan;
• percepatan;
• detak;
• memaksa;
• momen;
• kekuatan;
• bergerak;
• kekuatan medan, dll.

Koordinat pesawat

Mari kita definisikan suatu segmen pada bidang yang diarahkan dari titik A (x1,y1) ke titik B (x2,y2). Koordinatnya a (a1, a2) adalah bilangan a1=x2-x1, a2=y2-y1.

Modul dihitung menggunakan teorema Pythagoras:

Awal dari vektor nol bertepatan dengan akhir. Koordinat dan panjangnya adalah 0.

Jumlah vektor

Ada beberapa aturan untuk menghitung jumlahnya

• aturan segitiga;
• aturan poligon;
• aturan jajaran genjang.

Aturan penjumlahan vektor dapat dijelaskan dengan menggunakan permasalahan dinamika dan mekanika. Mari kita perhatikan penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dengan menggunakan contoh gaya yang bekerja pada suatu benda titik dan gerak benda yang berurutan dalam ruang.

Katakanlah sebuah benda mula-mula bergerak dari titik A ke titik B, lalu dari titik B ke titik C. Perpindahan akhir adalah ruas garis yang arahnya dari titik awal A sampai titik akhir C.

Hasil dua gerakan atau jumlah keduanya s = s1+ s2. Metode ini disebut aturan segitiga.

Anak panah tersebut disusun dalam rantai satu demi satu, melakukan perpindahan paralel jika perlu. Segmen total menutup urutannya. Permulaannya bertepatan dengan permulaan yang pertama, akhir dengan akhir yang terakhir. Dalam buku teks asing, metode ini disebut "ekor ke kepala".

Koordinat hasil c = a + b sama dengan jumlah koordinat suku-suku c (a1+ b1, a2+ b2).

Jumlah vektor sejajar (collinear) juga ditentukan oleh aturan segitiga.

Jika dua ruas asal tegak lurus satu sama lain, maka hasil penjumlahannya adalah sisi miring segitiga siku-siku yang dibangun di atasnya. Panjang penjumlahannya dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras.

Contoh:

• Kecepatan benda yang dilempar mendatar adalah tegak lurus percepatan jatuh bebas.
• Pada gerak rotasi beraturan, kecepatan linier benda tegak lurus terhadap percepatan sentripetal.

Penjumlahan tiga vektor atau lebih menghasilkan menurut aturan poligon, "ekor ke kepala"

Mari kita asumsikan bahwa gaya F1 dan F2 diterapkan pada suatu benda titik.

Pengalaman membuktikan bahwa pengaruh gabungan gaya-gaya ini setara dengan aksi satu gaya yang diarahkan sepanjang diagonal jajar genjang yang dibangun di atasnya. Gaya resultan ini sama dengan jumlah keduanya F = F1 + F 2. Metode penjumlahan di atas disebut aturan jajaran genjang.

Panjang dalam hal ini dihitung dengan rumus

Dimana θ adalah sudut antara sisi-sisinya.

Aturan segitiga dan jajar genjang dapat dipertukarkan. Dalam fisika, aturan jajar genjang lebih sering digunakan, karena besaran arah gaya, kecepatan, dan percepatan biasanya diterapkan pada satu titik benda. Dalam sistem koordinat tiga dimensi, aturan paralelepiped berlaku.

Elemen aljabar

1. Penjumlahan adalah operasi biner: hanya sepasang yang dapat dijumlahkan dalam satu waktu.
2. Komutatifitas: jumlah penataan ulang suku-suku tersebut tidak berubah a + b = b + a. Hal ini jelas dari aturan jajaran genjang: diagonalnya selalu sama.
3. Asosiatif: jumlah sembarang vektor tidak bergantung pada orde penjumlahannya (a + b) + c = a + (b + c).
4. Penjumlahan dengan vektor nol tidak mengubah arah maupun panjangnya: a +0= a .
5. Untuk setiap vektor ada di depan. Jumlahnya sama dengan nol a +(-a)=0, dan panjangnya sama.

Perkalian dengan skalar

Hasil perkalian skalar adalah vektor.

Koordinat hasil kali diperoleh dengan mengalikan koordinat aslinya dengan skalar.

Skalar adalah nilai numerik dengan tanda plus atau minus, lebih besar atau kurang dari satu.

Contoh besaran skalar dalam fisika:

• berat;
• waktu;
• mengenakan biaya;
• panjang;
• persegi;
• volume;
• kepadatan;
• suhu;
• energi.

Contoh:

Usaha merupakan hasil kali skalar gaya dan perpindahan A = Fs.

Ketika mempelajari berbagai cabang ilmu fisika, mekanika, dan ilmu teknik, ditemui besaran-besaran yang sepenuhnya ditentukan dengan menentukan nilai numeriknya. Besaran yang demikian disebut skalar atau, singkatnya, skalar.

Besaran skalar adalah panjang, luas, volume, massa, suhu benda, dan lain-lain. Selain besaran skalar, dalam berbagai soal terdapat besaran yang selain nilai numeriknya juga perlu diketahui arahnya. Besaran yang demikian disebut vektor. Contoh fisika besaran vektor dapat berupa perpindahan suatu titik material yang bergerak dalam ruang, kecepatan dan percepatan titik tersebut, serta gaya yang bekerja padanya.

Besaran vektor direpresentasikan menggunakan vektor.

Definisi vektor. Vektor adalah ruas garis lurus yang mempunyai panjang tertentu.

Sebuah vektor dicirikan oleh dua titik. Satu titik merupakan titik awal vektor, dan titik lainnya merupakan titik akhir vektor. Jika kita menyatakan awal vektor dengan sebuah titik A , dan ujung vektornya adalah sebuah titik DI DALAM , maka vektor itu sendiri dilambangkan . Vektor juga dapat dilambangkan dengan satu huruf Latin kecil dengan garis di atasnya (misalnya, ).

Secara grafis, vektor dilambangkan dengan segmen dengan panah di ujungnya.

Awal mula vektor disebut titik penerapannya. Jika intinya A adalah awal dari vektor , maka kita akan mengatakan bahwa vektor diterapkan pada titik tersebut A.

Sebuah vektor dicirikan oleh dua besaran: panjang dan arah.

Panjang vektor – jarak antara titik awal A dan titik akhir B. Nama lain panjang suatu vektor adalah modulus vektor dan ditunjukkan dengan simbol . Modulus vektor dilambangkan Vektor , yang panjangnya 1 disebut vektor satuan. Artinya, kondisi vektor satuan

Vektor yang panjangnya nol disebut vektor nol (dilambangkan dengan ). Jelasnya, vektor nol mempunyai titik awal dan titik akhir yang sama. Vektor nol tidak memiliki arah tertentu.

Definisi vektor collinear. Vektor-vektor yang terletak pada garis yang sama atau sejajar disebut segaris .

Perhatikan bahwa vektor-vektor segaris dapat memiliki panjang dan arah yang berbeda-beda.

Penentuan vektor yang sama. Dua vektor dikatakan sama jika keduanya segaris, mempunyai panjang yang sama dan arah yang sama.

Dalam hal ini mereka menulis:

Komentar. Dari definisi persamaan vektor dapat disimpulkan bahwa suatu vektor dapat dipindahkan secara paralel dengan menempatkan titik asal vektor tersebut pada titik mana pun dalam ruang (khususnya pada bidang).

Semua vektor nol dianggap sama.

Penentuan vektor yang berlawanan. Dua buah vektor disebut berlawanan jika keduanya segaris, mempunyai panjang yang sama, tetapi arahnya berlawanan.

Dalam hal ini mereka menulis:

Dengan kata lain, vektor yang berlawanan dengan vektor dilambangkan dengan .