Definisi 1. bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 yang hanya habis dibagi dengan dirinya sendiri dan 1.

Dengan kata lain, suatu bilangan prima jika hanya memiliki dua pembagi alami yang berbeda.

Definisi 2. Setiap bilangan asli yang memiliki pembagi lain selain dirinya sendiri dan satu disebut Angka komposit.

Dengan kata lain, bilangan asli yang bukan prima disebut bilangan komposit. Definisi 1 menyiratkan bahwa bilangan komposit memiliki lebih dari dua pembagi alami. Angka 1 bukanlah bilangan prima atau komposit. hanya memiliki satu pembagi 1 dan, selain itu, banyak teorema tentang bilangan prima tidak berlaku untuk kesatuan.

Ini mengikuti dari Definisi 1 dan 2 bahwa setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 adalah bilangan prima atau bilangan komposit.

Di bawah ini adalah program untuk menampilkan bilangan prima hingga 5000. Isi sel, klik tombol "Buat" dan tunggu beberapa detik.

tabel bilangan prima

Penyataan 1. Jika sebuah p adalah bilangan prima dan sebuah bilangan bulat apa pun, maka sebuah dibagi dengan p, atau p dan sebuah bilangan yang relatif prima.

Betulkah. Jika sebuah p bilangan prima, maka hanya habis dibagi dirinya sendiri dan 1 jika sebuah tidak habis dibagi p, maka pembagi persekutuan terbesar sebuah dan p sama dengan 1. Maka p dan sebuah bilangan yang relatif prima.

Penyataan 2. Jika produk dari beberapa bilangan sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , ... habis dibagi bilangan prima p, maka setidaknya salah satu angka sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , ... habis dibagi p.

Betulkah. Jika tidak ada bilangan yang habis dibagi p, maka bilangan sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , ... akan menjadi bilangan prima relatif terhadap p. Tapi dari Corollary 3 () berikut produk mereka sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , ... juga coprime sehubungan dengan p, yang bertentangan dengan kondisi asersi. Oleh karena itu, setidaknya salah satu bilangan habis dibagi p.

Dalil 1. Setiap bilangan komposit selalu dapat direpresentasikan, dan terlebih lagi dengan cara yang unik, sebagai produk dari sejumlah bilangan prima yang terbatas.

Bukti. Biarlah k bilangan komposit, dan misalkan sebuah 1 adalah salah satu pembagi yang berbeda dari 1 dan dirinya sendiri. Jika sebuah sebuah 1 adalah komposit, maka ia memiliki selain 1 dan sebuah 1 dan pembagi lainnya sebuah 2. Jika sebuah sebuah 2 adalah bilangan komposit, maka ia memiliki, selain 1 dan sebuah 2 dan pembagi lainnya sebuah 3 . Berdebat dengan cara ini dan dengan mempertimbangkan bahwa angka sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , ... menurun dan deret ini berisi sejumlah suku berhingga, kita akan mencapai beberapa bilangan prima p satu . Kemudian k dapat direpresentasikan sebagai

Misalkan ada dua ekspansi dari suatu bilangan k:

Sebagai k=p 1 p 2 p 3... habis dibagi bilangan prima q 1 , maka setidaknya salah satu faktor, misalnya p 1 habis dibagi q satu . Tetapi p 1 adalah bilangan prima dan hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri. Karena itu p 1 =q 1 (karena q 1 ≠1)

Kemudian dari (2) kita dapat mengecualikan p 1 dan q 1:

Jadi, kami memastikan bahwa setiap bilangan prima yang masuk ke pemuaian pertama sebagai faktor satu kali atau lebih memasuki pemuaian kedua setidaknya dengan jumlah yang sama dan sebaliknya, setiap bilangan prima yang masuk ke pemuaian kedua sebagai faktor satu atau beberapa kali juga memasuki ekspansi pertama setidaknya sebanyak kali. Oleh karena itu, bilangan prima apa pun masuk sebagai faktor dalam kedua ekspansi dengan jumlah yang sama dan, dengan demikian, kedua ekspansi ini sama.

Penguraian bilangan komposit k dapat ditulis dalam bentuk berikut:

(3)

di mana p 1 , p 2 , ... bilangan prima berbeda, α, β, γ ... bilangan bulat positif.

Penguraian (3) disebut dekomposisi kanonik angka.

Bilangan prima dalam deret bilangan asli terjadi tidak merata. Di beberapa bagian seri ada lebih banyak, di bagian lain - lebih sedikit. Semakin jauh kita bergerak di sepanjang deret bilangan, semakin jarang bilangan prima. Pertanyaannya adalah, apakah ada bilangan prima terbesar? Euclid matematikawan Yunani kuno membuktikan bahwa ada banyak bilangan prima yang tak terhingga. Kami menyajikan bukti ini di bawah ini.

Dalil 2. Banyaknya bilangan prima tidak terbatas.

Bukti. Misalkan ada sejumlah bilangan prima yang terbatas, dan biarkan bilangan prima terbesar menjadi p. Mari kita pertimbangkan semua angka p. Dengan asumsi pernyataan tersebut, bilangan-bilangan ini harus komposit dan harus habis dibagi oleh setidaknya salah satu bilangan prima. Mari kita pilih bilangan yang merupakan produk dari semua bilangan prima ini ditambah 1:

Nomor z lagi p sebagai 2p sudah lebih p. p tidak habis dibagi oleh salah satu bilangan prima ini, karena ketika dibagi dengan masing-masing, itu memberikan sisa 1. Jadi kita sampai pada kontradiksi. Oleh karena itu, ada banyak bilangan prima yang tidak terbatas.

Teorema ini adalah kasus khusus dari teorema yang lebih umum:

Dalil 3. Biarkan deret aritmatika diberikan

Maka sembarang bilangan prima di n, juga harus dimasukkan dalam m, jadi dalam n tidak dapat memasukkan faktor prima lain yang tidak termasuk dalam m dan, terlebih lagi, faktor-faktor utama ini dalam n muncul tidak lebih dari di m.

Kebalikannya juga benar. Jika setiap faktor prima suatu bilangan n terjadi setidaknya dalam jumlah yang sama m, kemudian m dibagi dengan n.

Penyataan 3. Biarlah sebuah 1 ,sebuah 2 ,sebuah 3 ,... berbagai bilangan prima muncul di m jadi

di mana saya=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . perhatikan itu aku menerima α +1 nilai, β j menerima β +1 nilai, γ k mengambil γ +1 nilai, ... .

Pembagian bilangan asli menjadi prima dan komposit dikaitkan dengan matematikawan Yunani kuno Pythagoras. Dan jika Anda mengikuti Pythagoras, maka himpunan bilangan asli dapat dibagi menjadi tiga kelas: (1) - himpunan yang terdiri dari satu angka - satu; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) adalah himpunan bilangan prima; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) adalah himpunan bilangan komposit.

Banyak misteri yang berbeda menyembunyikan set kedua. Tapi pertama-tama, mari kita cari tahu apa itu bilangan prima. Kami membuka "Kamus Ensiklopedis Matematika" (Yu. V. Prokhorov, penerbit "Ensiklopedia Soviet", 1988) dan membaca:

“Bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang lebih besar dari satu yang tidak memiliki pembagi lain selain dirinya sendiri dan satu: 2,3,5,7,11,13,

Konsep bilangan prima adalah dasar dalam studi tentang pembagian bilangan asli; yaitu, teorema dasar aritmatika menyatakan bahwa setiap bilangan bulat positif, kecuali 1, dapat diurai secara unik menjadi produk bilangan prima (urutan faktor tidak diperhitungkan). Ada banyak bilangan prima yang tak terhingga (proposisi ini, yang disebut teorema Euclid, telah diketahui oleh matematikawan Yunani kuno, buktinya dapat ditemukan di buku 9 Elemen Euclid). P. Dirichlet (1837) menetapkan bahwa dalam deret aritmatika a+bx pada x=1. ,2,с dengan bilangan bulat koprima a dan b juga mengandung banyak bilangan prima.

Untuk menemukan bilangan prima dari 1 hingga x, yang terkenal dari abad ke-3 digunakan. SM e. saringan Eratosthenes. Mengingat barisan (*) bilangan prima dari 1 sampai x menunjukkan bahwa dengan bertambahnya x, rata-rata menjadi lebih jarang. Ada segmen panjang sewenang-wenang dari serangkaian bilangan asli, di antaranya tidak ada bilangan prima tunggal (Teorema 4). Pada saat yang sama, ada bilangan prima seperti itu, perbedaannya sama dengan 2 (yang disebut kembar). Sampai saat ini (1987) tidak diketahui apakah himpunan kembar tersebut berhingga atau tak berhingga. Tabel bilangan prima dalam 11 juta bilangan asli pertama menunjukkan kembaran yang sangat besar (misalnya, 10,006.427 dan 10.006.429).

Penjelasan tentang distribusi bilangan prima dalam deret bilangan asli merupakan masalah yang sangat sulit dalam teori bilangan. Ini diajukan sebagai studi tentang perilaku asimtotik dari suatu fungsi yang menunjukkan jumlah bilangan prima yang tidak melebihi bilangan positif x. Jelas dari teorema Euclid bahwa di. L. Euler memperkenalkan fungsi zeta pada tahun 1737.

Dia juga membuktikan bahwa

Dimana penjumlahan dilakukan untuk semua bilangan asli, dan hasil kali diambil untuk semua bilangan prima. Identitas ini dan generalisasinya memainkan peran mendasar dalam teori distribusi bilangan prima. Dari sini, L. Euler membuktikan bahwa deret dan hasil kali di p prima divergen. Selain itu, L. Euler menetapkan bahwa ada “banyak” bilangan prima, karena

Dan pada saat yang sama, hampir semua bilangan asli adalah komposit, karena di.

dan, untuk apa pun (yaitu, apa yang tumbuh sebagai fungsi). Secara kronologis, hasil signifikan berikutnya yang menyempurnakan teorema Chebyshev adalah apa yang disebut. hukum asimtotik distribusi bilangan prima (J. Hadamard, 1896, Ch. La Vallee Poussin, 1896), yang terdiri dari fakta bahwa batas rasio sama dengan 1. Selanjutnya, upaya signifikan para matematikawan diarahkan untuk menjelaskan hukum asimtotik distribusi bilangan prima. Soal-soal distribusi bilangan prima dipelajari baik dengan metode dasar maupun dengan metode analisis matematis.

Di sini masuk akal untuk membuktikan beberapa teorema yang diberikan dalam artikel.

Lemma 1. Jika gcd(a, b)=1, maka ada bilangan bulat x, y sehingga.

Bukti. Misalkan a dan b bilangan prima relatif. Pertimbangkan himpunan J dari semua bilangan asli z, dapat direpresentasikan dalam bentuk, dan pilih bilangan d terkecil di dalamnya.

Buktikan a habis dibagi d. Bagi a dengan d dengan sisa: dan biarkan. Karena memiliki bentuk, maka

Kami melihat itu.

Karena kita berasumsi bahwa d adalah bilangan terkecil di J, kita memiliki kontradiksi. Jadi a habis dibagi d.

Dengan cara yang sama, kita buktikan bahwa b habis dibagi d. Jadi d=1. Lemmanya terbukti.

Teorema 1. Jika bilangan a dan b adalah koprima dan hasil kali bx habis dibagi a, maka x habis dibagi a.

Bukti 1. Kita harus membuktikan bahwa ax habis dibagi b dan gcd(a,b)=1, maka x habis dibagi b.

Dengan Lemma 1, ada x, y sehingga. Kemudian, jelas, habis dibagi b.

Bukti 2. Pertimbangkan himpunan J dari semua bilangan asli z sedemikian rupa sehingga zc habis dibagi b. Biarkan d menjadi angka terkecil di J. Sangat mudah untuk melihatnya. Sama halnya dengan pembuktian Lemma 1, kita buktikan bahwa a habis dibagi d dan b habis dibagi d

Lemma 2. Jika bilangan q,p1,p2,pn adalah bilangan prima dan hasil kali habis dibagi q, maka salah satu bilangan pi sama dengan q.

Bukti. Pertama-tama, perhatikan bahwa jika bilangan prima p habis dibagi q, maka p=q. Ini segera menyiratkan penegasan lemma untuk n=1. Untuk n=2 mengikuti langsung dari Teorema 1: jika p1p2 habis dibagi bilangan prima q u, maka p2 habis dibagi q (yaitu).

Kami membuktikan lemma untuk n=3 sebagai berikut. Misalkan p1 p2 p3 habis dibagi q. Jika p3 = q, maka semuanya terbukti. Jika, maka menurut Teorema 1, p1 p2 habis dibagi q. Jadi, kita telah mereduksi kasus n=3 menjadi kasus yang sudah dipertimbangkan n=2.

Demikian pula, dari n=3 kita dapat pergi ke n=4, lalu ke n=5, dan secara umum, dengan asumsi bahwa n=k pernyataan lemma terbukti, kita dapat dengan mudah membuktikannya untuk n=k+1. Ini meyakinkan kita bahwa lemma benar untuk semua n.

Teorema dasar aritmatika. Setiap bilangan asli dapat didekomposisi menjadi faktor prima dengan cara yang unik.

Bukti. Misalkan ada dua faktorisasi bilangan a menjadi faktor prima:

Karena ruas kanan habis dibagi q1, ruas kiri persamaan juga harus habis dibagi q1. Menurut Lemma 2, salah satu bilangan sama dengan q1. Mari kita batalkan kedua sisi persamaan dengan q1.

Mari kita lakukan alasan yang sama untuk q2, lalu untuk q3, untuk qi. Pada akhirnya, semua faktor di sebelah kanan akan berkurang dan akan tetap 1. Secara alami, tidak ada yang tersisa di sebelah kiri kecuali satu. Oleh karena itu kami menyimpulkan bahwa dua ekspansi dan dapat berbeda hanya dalam urutan faktor. Teorema telah terbukti.

teorema Euclid. Banyaknya bilangan prima tidak terbatas.

Bukti. Asumsikan barisan bilangan prima berhingga, dan bilangan prima terakhir dilambangkan dengan huruf N. Buatlah produk

Mari kita tambahkan 1. Kita dapatkan:

Bilangan ini, sebagai bilangan bulat, harus mengandung setidaknya satu faktor prima, yaitu, harus dapat dibagi oleh setidaknya satu bilangan prima. Tetapi semua bilangan prima, dengan asumsi, tidak melebihi N, sedangkan bilangan M + 1 tidak habis dibagi tanpa sisa oleh salah satu bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan N - setiap kali sisanya adalah 1. Teorema terbukti.

Teorema 4. Bagian dari bilangan komposit antara bilangan prima dapat memiliki panjang berapa pun. Sekarang kita akan membuktikan bahwa deret tersebut terdiri dari n bilangan komposit berurutan.

Angka-angka ini langsung satu demi satu dalam deret alami, karena masing-masing angka berikutnya lebih banyak 1 dari yang sebelumnya. Tetap membuktikan bahwa mereka semua komposit.

nomor pertama

Genap, karena kedua sukunya mengandung faktor 2. Dan bilangan genap yang lebih besar dari 2 adalah komposit.

Bilangan kedua terdiri dari dua suku yang masing-masing merupakan kelipatan dari 3. Oleh karena itu, bilangan ini komposit.

Demikian pula, kami menetapkan bahwa angka berikutnya adalah kelipatan 4. Dengan kata lain, setiap angka dalam deret kami berisi faktor yang berbeda dari satu dan dirinya sendiri; karena itu komposit. Teorema telah terbukti.

Setelah mempelajari bukti teorema, kami melanjutkan pembahasan artikel. Dalam teksnya, saringan Eratosthenes disebutkan sebagai cara untuk menemukan bilangan prima. Mari kita baca tentang metode ini dari kamus yang sama:

“Ayakan Eratosthenes adalah metode yang dikembangkan oleh Eratosthenes yang memungkinkan Anda menyaring bilangan komposit dari deret alami. Inti dari saringan Eratosthenes adalah sebagai berikut. Satuan dicoret. Nomor dua sederhana. Semua bilangan asli yang habis dibagi 2 dicoret Nomor 3 - bilangan pertama yang tidak disilangkan akan menjadi prima. Selanjutnya, semua bilangan asli yang habis dibagi 3. Angka 5 - angka berikutnya yang tidak disilangkan - akan menjadi prima. Melanjutkan perhitungan serupa, seseorang dapat menemukan segmen panjang sewenang-wenang dari urutan bilangan prima. Saringan Eratosthenes sebagai metode teoretis untuk mempelajari teori bilangan dikembangkan oleh W. Brun (1919).

Berikut adalah bilangan terbesar yang saat ini diketahui sebagai bilangan prima:

Angka ini memiliki sekitar tujuh ratus tempat desimal. Perhitungan yang menemukan bahwa bilangan ini adalah bilangan prima dilakukan pada komputer modern.

“Fungsi zeta Riemann, -fungsi, adalah fungsi analitik dari variabel kompleks, untuk >1, ditentukan oleh deret Dirichlet yang konvergen secara mutlak dan seragam:

Untuk >1, representasi dalam bentuk produk Euler adalah valid:

(2) di mana p melewati semua bilangan prima.

Identitas deret (1) dan produk (2) merupakan salah satu sifat utama dari fungsi zeta. Hal ini memungkinkan seseorang untuk mendapatkan berbagai hubungan yang menghubungkan fungsi zeta dengan fungsi teori bilangan yang paling penting. Oleh karena itu, fungsi zeta berperan besar dalam teori bilangan.

Fungsi zeta diperkenalkan sebagai fungsi dari variabel nyata oleh L. Euler (1737, publ. 1744), yang menunjukkan lokasinya dalam produk (2). Kemudian fungsi zeta dipertimbangkan oleh P. Dirichlet dan terutama berhasil oleh P. L. Chebyshev sehubungan dengan studi tentang hukum distribusi bilangan prima. Namun, sifat paling mendalam dari fungsi zeta ditemukan setelah karya B. Riemann, yang untuk pertama kalinya pada tahun 1859 menganggap fungsi zeta sebagai fungsi dari variabel kompleks, ia juga memperkenalkan nama "fungsi zeta" dan penamaan """.

Tetapi muncul pertanyaan: aplikasi praktis apa yang ada untuk semua pekerjaan ini pada bilangan prima? Memang, hampir tidak ada gunanya bagi mereka, tetapi ada satu bidang di mana bilangan prima dan sifat-sifatnya diterapkan hingga hari ini. Ini adalah kriptografi. Di sini, bilangan prima digunakan dalam sistem enkripsi tanpa transfer kunci.

Sayangnya, hanya ini yang diketahui tentang bilangan prima. Masih banyak misteri yang tersisa. Misalnya, tidak diketahui apakah himpunan bilangan prima yang dapat direpresentasikan sebagai dua kuadrat adalah tak hingga.

"NOMOR PRIME NON-SEDERHANA".

Saya memutuskan untuk melakukan sedikit riset untuk menemukan jawaban atas beberapa pertanyaan tentang bilangan prima. Pertama-tama, saya telah menyusun program yang mencetak semua bilangan prima berurutan kurang dari 1.000.000.000. Selain itu, saya telah menyusun program yang menentukan apakah bilangan yang dimasukkan adalah bilangan prima. Untuk mempelajari masalah bilangan prima, saya membuat grafik yang menandai ketergantungan nilai bilangan prima pada bilangan urut. Sebagai rencana penelitian lebih lanjut, saya memutuskan untuk menggunakan artikel oleh I. S. Zeltser dan B. A. Kordemsky "Amusing flocks of bilangan prima." Para penulis mengidentifikasi jalur penelitian berikut:

1. 168 tempat dari seribu bilangan asli pertama ditempati oleh bilangan prima. Dari jumlah tersebut, 16 angka adalah palindromik - masing-masing sama dengan kebalikannya: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.

Hanya ada 1061 bilangan prima empat digit, dan tidak ada satupun yang palindromik.

Ada banyak bilangan palindromik sederhana lima digit. Mereka termasuk keindahan seperti: 13331, 15551, 16661, 19991. Tidak diragukan lagi, ada kawanan jenis ini: ,. Tetapi berapa banyak salinan dalam setiap kawanan seperti itu?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

Dapat dilihat bahwa jumlah angka-angka dari angka-angka dan habis dibagi 3, oleh karena itu angka-angka ini sendiri juga habis dibagi 3.

Adapun bilangan-bilangan yang berbentuk, di antaranya bilangan 72227, 75557, 76667, 78887, 79997 adalah bilangan prima.

2. Pada seribu bilangan pertama terdapat lima "kuartet" yang terdiri dari bilangan prima berurutan, angka terakhir yang membentuk barisan 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109 ), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

Berapa banyak kuartet seperti itu di antara bilangan prima n-digit untuk n>3?

Menggunakan program yang saya tulis, saya menemukan kuartet yang terlewatkan oleh penulis: (479, 467, 463, 461) dan kuartet untuk n = 4, 5, 6. Untuk n = 4, ada 11 kuartet

3. Sekelompok sembilan bilangan prima: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 - menarik bukan hanya karena merupakan barisan aritmatika dengan selisih 210, tetapi juga karena dapat masuk ke dalam sembilan sel sehingga persegi ajaib terbentuk dengan konstanta yang sama dengan selisih dua bilangan prima: 3119 - 2:

Selanjutnya, anggota kesepuluh dari deret yang sedang dipertimbangkan, 2089, juga merupakan bilangan prima. Jika Anda menghapus nomor 199 dari kawanan, tetapi memasukkan 2089, maka dalam komposisi ini kawanan dapat membentuk kotak ajaib - topik untuk pencarian.

Perlu dicatat bahwa ada kotak ajaib lain yang terdiri dari bilangan prima:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

Persegi yang diusulkan penasaran karena

1. Ini adalah kotak ajaib 7x7;

2. Berisi kotak ajaib 5x5;

3. Kotak ajaib 5x5 berisi kotak ajaib 3x3;

4. Semua kotak ini memiliki satu nomor pusat yang sama - 3407;

5. Semua 49 angka yang termasuk dalam bujur sangkar 7x7 diakhiri dengan angka 7;

6. Semua 49 angka yang termasuk dalam kotak 7x7 adalah bilangan prima;

7. Masing-masing dari 49 angka yang termasuk dalam kotak 7x7 dapat direpresentasikan sebagai 30n + 17.

Program yang digunakan ditulis oleh saya dalam bahasa pemrograman Dev-C++ dan saya memberikan teksnya di lampiran (lihat file dengan ekstensi .cpp). Selain semua hal di atas, saya menulis sebuah program yang menguraikan bilangan asli berurutan menjadi faktor prima (lihat Pembagi 1. cpp) dan program yang hanya menguraikan bilangan yang dimasukkan menjadi faktor prima (lihat Pembagi 2. cpp). Karena program-program ini dalam bentuk terkompilasi memakan terlalu banyak ruang, hanya teks mereka yang diberikan. Namun, siapa pun dapat mengompilasinya jika mereka memiliki program yang tepat.

BIOGRAFI ILMUWAN YANG TERLIBAT DALAM MASALAH ANGKA PRIME

EUCLIDE

(sekitar 330 SM - sekitar 272 SM)

Sangat sedikit informasi yang dapat diandalkan yang telah disimpan tentang kehidupan ahli matematika paling terkenal dari Zaman Kuno. Diyakini bahwa ia belajar di Athena, yang menjelaskan perintah briliannya tentang geometri yang dikembangkan oleh sekolah Plato. Namun, rupanya, dia tidak akrab dengan tulisan-tulisan Aristoteles. Dia mengajar di Alexandria, di mana dia mendapatkan pujian yang tinggi atas kegiatan mengajarnya pada masa pemerintahan Ptolemy I Soter. Ada legenda bahwa raja ini menuntut untuk mengungkapkan kepadanya cara untuk mencapai kesuksesan yang cepat dalam matematika, yang Euclid menjawab bahwa tidak ada cara kerajaan dalam geometri (kisah serupa, bagaimanapun, juga diceritakan tentang Menchem, yang diduga diminta hampir sama oleh Alexander Agung). Tradisi telah melestarikan ingatan Euclid sebagai orang yang baik hati dan sederhana. Euclid adalah penulis risalah tentang berbagai topik, tetapi namanya dikaitkan terutama dengan salah satu risalah yang disebut "Awal". Ini adalah tentang kumpulan karya matematikawan yang bekerja sebelum dia (yang paling terkenal di antaranya adalah Hippocrates dari Kos), yang hasilnya ia sempurnakan berkat kemampuannya untuk menggeneralisasi dan ketekunan.

EULER (EULER) LEONARD

(Basel, Swiss 1707 - St. Petersburg, 1783)

Matematikawan, mekanik dan fisikawan. Lahir di keluarga pendeta miskin Paul Euler. Dia menerima pendidikan pertama dari ayahnya, dan pada 1720–24 di Universitas Basel, di mana dia menghadiri kuliah matematika oleh I. Bernoulli.

Pada akhir 1726, Euler diundang ke St Petersburg Academy of Sciences dan Mei 1727 tiba di St Petersburg. Di akademi yang baru diorganisir, Euler menemukan kondisi yang menguntungkan untuk kegiatan ilmiah, yang memungkinkannya untuk segera mulai belajar matematika dan mekanika. Selama 14 tahun periode pertama hidupnya di St. Petersburg, Euler menyiapkan sekitar 80 karya untuk diterbitkan dan lebih dari 50 diterbitkan. Di St. Petersburg, ia belajar bahasa Rusia.

Euler berpartisipasi dalam banyak kegiatan Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg. Dia memberikan kuliah kepada mahasiswa universitas akademik, berpartisipasi dalam berbagai ujian teknis, mengerjakan kompilasi peta Rusia, dan menulis "Panduan untuk Aritmatika" yang tersedia untuk umum (1738–40). Atas instruksi khusus dari Akademi, Euler mempersiapkan publikasi Naval Science (1749), sebuah karya mendasar tentang teori pembuatan kapal dan navigasi.

Pada 1741, Euler menerima tawaran raja Prusia Frederick II untuk pindah ke Berlin, di mana reorganisasi Akademi Ilmu Pengetahuan akan dilakukan. Di Akademi Ilmu Pengetahuan Berlin, Euler menduduki jabatan direktur kelas matematika dan anggota dewan, dan setelah kematian presiden pertamanya, P. Maupertuis, selama beberapa tahun (sejak 1759) dia benar-benar memimpin akademi tersebut. Selama 25 tahun hidupnya di Berlin, ia menyiapkan sekitar 300 karya, di antaranya sejumlah monografi besar.

Selama tinggal di Berlin, Euler tidak berhenti bekerja secara intensif untuk Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg, mempertahankan gelar anggota kehormatannya. Dia melakukan korespondensi ilmiah dan ilmiah-organisasi yang luas, khususnya, dia berkorespondensi dengan M. Lomonosov, yang sangat dia hargai. Euler mengedit departemen matematika dari badan ilmiah akademik Rusia, di mana selama ini ia menerbitkan artikel yang hampir sama banyaknya dengan "Memoirs" dari Akademi Ilmu Pengetahuan Berlin. Dia aktif berpartisipasi dalam pelatihan matematikawan Rusia; calon akademisi S. Kotelnikov, S. Rumovsky dan M. Sofronov dikirim ke Berlin untuk belajar di bawah kepemimpinannya. Euler memberikan bantuan besar kepada Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg, memperoleh literatur ilmiah dan peralatan untuk itu, bernegosiasi dengan kandidat untuk posisi di akademi, dll.

Pada 17 Juli (28), 1766, Euler dan keluarganya kembali ke St. Petersburg. Meski usianya sudah lanjut dan hampir mengalami kebutaan total, ia bekerja dengan produktif hingga akhir hayatnya. Selama 17 tahun tinggal keduanya di St. Petersburg, ia menyiapkan sekitar 400 karya, di antaranya beberapa buku besar. Euler terus berpartisipasi dalam pekerjaan organisasi akademi. Pada 1776, dia adalah salah satu ahli dalam proyek jembatan lengkung tunggal melintasi Neva, yang diusulkan oleh I. Kulibin, dan dari seluruh komisi, dia sendiri yang memberikan dukungan luas untuk proyek tersebut.

Jasa Euler sebagai ilmuwan terkemuka dan penyelenggara penelitian ilmiah sangat dihargai selama masa hidupnya. Selain akademi St. Petersburg dan Berlin, ia adalah anggota lembaga ilmiah terbesar: Akademi Ilmu Pengetahuan Paris, Royal Society of London, dan lainnya.

Salah satu keunggulan pekerjaan Euler adalah produktivitasnya yang luar biasa. Hanya selama masa hidupnya, sekitar 550 buku dan artikelnya diterbitkan (daftar karya Euler berisi sekitar 850 judul). Pada tahun 1909, Swiss Natural Science Society mulai menerbitkan karya lengkap Euler, yang selesai pada tahun 1975; terdiri dari 72 jilid. Yang sangat menarik adalah korespondensi ilmiah kolosal Euler (sekitar 3.000 surat), yang sejauh ini hanya diterbitkan sebagian.

Lingkaran studi Euler sangat luas, mencakup semua departemen matematika dan mekanika kontemporer, teori elastisitas, fisika matematika, optik, teori musik, teori mesin, balistik, ilmu kelautan, bisnis asuransi, dll. Sekitar 3/5 karya Euler milik matematika, sisanya 2/5 terutama untuk aplikasinya. Ilmuwan itu mensistematisasikan hasil-hasilnya dan hasil-hasil yang diperoleh orang lain dalam sejumlah monografi klasik, yang ditulis dengan sangat jelas dan dilengkapi dengan contoh-contoh yang berharga. Ini adalah, misalnya, "Mekanika, atau Ilmu Gerak, Dinyatakan Secara Analitik" (1736), "Pengantar Analisis" (1748), "Kalkulus Diferensial" (1755), "Teori Gerak Benda Kaku" (1765 ), "Aritmatika Universal" (1768-69), yang melewati sekitar 30 edisi dalam 6 bahasa, "Kalkulus Integral" (1768-94), dll. Pada abad XVIII. dan sebagian pada abad ke-19. Surat-surat yang tersedia untuk umum tentang Berbagai Masalah Fisik dan Filsafat, yang ditulis untuk seorang putri Jerman tertentu, mendapatkan popularitas yang luar biasa. (1768–74), yang melewati lebih dari 40 edisi dalam 10 bahasa. Sebagian besar isi monograf Euler kemudian dimasukkan dalam buku teks untuk sekolah menengah atas dan sebagian. Tidak mungkin untuk membuat daftar semua teorema, metode, dan rumus Euler yang sampai sekarang digunakan, yang hanya sedikit yang muncul dalam literatur di bawah namanya [misalnya, metode garis putus-putus Euler, substitusi Euler, konstanta Euler, persamaan Euler, rumus Euler, Fungsi Euler, Bilangan Euler, Rumus Euler - Maclaurin, Rumus Euler-Fourier, Karakteristik Euler, Integral Euler, Sudut Euler].

Dalam "Mekanika" Euler pertama kali menguraikan dinamika suatu titik dengan bantuan analisis matematis: pergerakan bebas suatu titik di bawah aksi berbagai gaya baik dalam ruang hampa maupun dalam media dengan hambatan; pergerakan suatu titik di sepanjang garis tertentu atau di sepanjang permukaan tertentu; gerakan di bawah pengaruh kekuatan pusat. Pada tahun 1744 ia pertama kali merumuskan dengan benar prinsip mekanis tindakan terkecil dan menunjukkan aplikasi pertamanya. Dalam The Theory of Motion of a Rigid Body, Euler mengembangkan kinematika dan dinamika benda tegar dan memberikan persamaan untuk rotasinya di sekitar titik tetap, meletakkan dasar bagi teori giroskop. Dalam teorinya tentang kapal, Euler memberikan kontribusi yang berharga bagi teori stabilitas. Yang penting adalah penemuan Euler dalam mekanika langit (misalnya, dalam teori gerak bulan), dan mekanika kontinum (persamaan dasar gerak fluida ideal dalam bentuk Euler dan dalam variabel Lagrange, gas osilasi dalam pipa, dll.). Dalam optik, Euler (1747) memberikan rumus untuk lensa bikonveks dan mengusulkan metode untuk menghitung indeks bias suatu medium. Euler menganut teori gelombang cahaya. Dia percaya bahwa warna yang berbeda sesuai dengan panjang gelombang cahaya yang berbeda. Euler mengusulkan cara untuk menghilangkan aberasi kromatik lensa dan memberikan metode untuk menghitung komponen optik mikroskop. Euler mengabdikan serangkaian luas karya, dimulai pada 1748, untuk fisika matematika: masalah getaran string, pelat, membran, dll Semua studi ini merangsang pengembangan teori persamaan diferensial, metode perkiraan analisis, dan khusus . fungsi, geometri diferensial, dll. Banyak penemuan matematika Euler terkandung secara tepat dalam karya-karya ini.

Pekerjaan utama Euler sebagai ahli matematika adalah pengembangan analisis matematika. Dia meletakkan dasar dari beberapa disiplin matematika yang hanya dalam masa pertumbuhan atau sama sekali tidak ada dalam kalkulus yang sangat kecil dari I. Newton, G. Leibniz, dan Bernoulli bersaudara. Dengan demikian, Euler adalah orang pertama yang memperkenalkan fungsi argumen kompleks dan mempelajari sifat-sifat fungsi dasar dasar dari variabel kompleks (fungsi eksponensial, logaritmik, dan trigonometri); khususnya, ia menurunkan rumus yang menghubungkan fungsi trigonometri dengan eksponensial. Karya Euler dalam arah ini menandai awal dari teori fungsi variabel kompleks.

Euler adalah pencipta kalkulus variasi, dijelaskan dalam karya “Metode untuk menemukan garis lengkung dengan sifat maksimum atau minimum. » (1744). Metode yang digunakan Euler pada tahun 1744 untuk menurunkan kondisi yang diperlukan untuk ekstrem suatu fungsional, persamaan Euler, adalah prototipe metode langsung kalkulus variasi abad ke-20. Euler menciptakan teori persamaan diferensial biasa sebagai disiplin independen dan meletakkan dasar bagi teori persamaan diferensial parsial. Di sini ia memiliki sejumlah besar penemuan: metode klasik penyelesaian persamaan linier dengan koefisien konstanta, metode variasi konstanta arbitrer, penjelasan sifat dasar persamaan Riccati, integrasi persamaan linier dengan koefisien variabel menggunakan deret tak hingga, kriteria solusi khusus, doktrin faktor integrasi, berbagai metode perkiraan dan sejumlah teknik untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial. Euler menyusun bagian penting dari hasil ini dalam "Kalkulus Integral" -nya.

Euler juga memperkaya kalkulus diferensial dan integral dalam arti sempit (misalnya teori perubahan variabel, teorema fungsi homogen, konsep integral ganda, dan perhitungan banyak integral khusus). Dalam "Kalkulus Diferensial", Euler menyatakan dan mendukung dengan contoh keyakinannya dalam kemanfaatan menggunakan deret divergen dan metode yang diusulkan untuk penjumlahan umum deret, mengantisipasi gagasan teori ketat modern deret divergen, yang dibuat pada pergantian abad ke-19 dan ke-20. Selain itu, Euler memperoleh banyak hasil konkret dalam teori deret. Dia membuka apa yang disebut. rumus penjumlahan Euler-Maclaurin, mengusulkan transformasi deret yang menyandang namanya, menentukan jumlah dari sejumlah besar deret, dan memperkenalkan jenis deret penting baru ke dalam matematika (misalnya, deret trigonometri). Studi Euler pada teori pecahan lanjutan dan proses tak terbatas lainnya berdampingan di sini.

Euler adalah pendiri teori fungsi khusus. Dia pertama kali mulai mempertimbangkan sinus dan kosinus sebagai fungsi, dan bukan sebagai segmen dalam lingkaran. Dia memperoleh hampir semua ekspansi klasik dari fungsi dasar menjadi deret dan produk tak hingga. Dalam karyanya, teori fungsi diciptakan. Dia menyelidiki sifat-sifat integral elips, fungsi hiperbolik dan silinder, fungsi , beberapa fungsi , logaritma integral, dan kelas penting polinomial khusus.

Menurut P. Chebyshev, Euler meletakkan dasar untuk semua penelitian yang merupakan bagian umum dari teori bilangan. Dengan demikian, Euler membuktikan sejumlah pernyataan yang dibuat oleh P. Fermat (misalnya, teorema kecil Fermat), mengembangkan dasar-dasar teori residu daya dan teori bentuk kuadrat, menemukan (tetapi tidak membuktikan) hukum timbal balik kuadrat, dan mempelajari sejumlah masalah dalam analisis Diophantine. Dalam karya tentang pembagian bilangan menjadi istilah dan teori bilangan prima, Euler adalah orang pertama yang menggunakan metode analisis, sehingga menjadi pencipta teori bilangan analitik. Secara khusus, ia memperkenalkan fungsi dan membuktikan apa yang disebut. Identitas Euler yang menghubungkan bilangan prima dengan semua bilangan asli.

Kelebihan Euler juga bagus di bidang matematika lainnya. Dalam aljabar, ia memiliki karya pada solusi persamaan derajat yang lebih tinggi dalam radikal dan pada persamaan dalam dua yang tidak diketahui, serta yang disebut. Identitas empat persegi Euler. Euler membuat kemajuan yang signifikan dalam geometri analitik, terutama dalam teori permukaan orde kedua. Dalam geometri diferensial, ia mempelajari secara rinci sifat-sifat garis geodesik, untuk pertama kalinya menerapkan persamaan kurva alami, dan yang paling penting, ia meletakkan dasar-dasar teori permukaan. Dia memperkenalkan konsep arah utama pada suatu titik di permukaan, membuktikan ortogonalitasnya, memperoleh formula untuk kelengkungan setiap bagian normal, mulai mempelajari permukaan yang dapat dikembangkan, dll .; dalam satu karya yang diterbitkan secara anumerta (1862), ia sebagian mengantisipasi penelitian K. Gauss pada geometri intrinsik permukaan. Euler juga menangani pertanyaan individu tentang topologi dan membuktikan, misalnya, teorema penting pada polihedra cembung. Euler sang matematikawan sering digambarkan sebagai "kalkulator" yang brilian. Memang, ia adalah ahli perhitungan dan transformasi formal yang tak tertandingi; dalam karya-karyanya, banyak rumus dan simbol matematika menerima tampilan modern (misalnya, ia memiliki sebutan untuk e dan ). Namun, Euler juga memperkenalkan sejumlah ide mendalam ke dalam sains, yang sekarang secara ketat dibuktikan dan berfungsi sebagai model untuk kedalaman penetrasi ke dalam subjek penelitian.

Menurut P. Laplace, Euler adalah seorang guru matematikawan pada paruh kedua abad ke-18.

DIRICHLET PETER GUSTAV

(Düren, sekarang Jerman, 1805 - Göttingen, ibid., 1859)

Dia belajar di Paris, memelihara hubungan persahabatan dengan ahli matematika yang luar biasa, khususnya dengan Fourier. Setelah menerima gelarnya, ia menjadi profesor di universitas Breslau (1826 - 1828), Berlin (1828 - 1855) dan Göttingen, di mana ia menjadi kepala departemen matematika setelah kematian ilmuwan Carl Friedrich Gauss. Kontribusinya yang paling menonjol untuk sains menyangkut teori bilangan, terutama studi tentang deret. Ini memungkinkan dia untuk mengembangkan teori deret yang diajukan oleh Fourier. Dia menciptakan versinya sendiri dari bukti teorema Fermat, menggunakan fungsi analitik untuk memecahkan masalah aritmatika, dan memperkenalkan kriteria konvergensi untuk deret. Di bidang analisis matematis ia meningkatkan definisi dan konsep suatu fungsi, di bidang mekanika teoretis ia berfokus pada studi stabilitas sistem dan konsep potensial Newtonian.

CHEBYSHEV PAFNUTIY LVOVYCH

Matematikawan Rusia, pendiri sekolah ilmiah St. Petersburg, akademisi Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg (1856). Karya-karya Chebyshev meletakkan dasar bagi pengembangan banyak cabang matematika baru.

Karya Chebyshev yang paling banyak adalah di bidang analisis matematis. Dia, khususnya, subjek disertasi untuk hak kuliah, di mana Chebyshev menyelidiki keterpaduan ekspresi irasional tertentu dalam fungsi aljabar dan logaritma. Chebyshev juga mengabdikan sejumlah karya lain untuk integrasi fungsi aljabar. Dalam salah satunya (1853), teorema terkenal tentang kondisi keterpaduan dalam fungsi dasar binomial diferensial diperoleh. Bidang penelitian penting dalam analisis matematis adalah karyanya tentang konstruksi teori umum polinomial ortogonal. Alasan penciptaannya adalah interpolasi parabola dengan metode kuadrat terkecil. Penyelidikan Chebyshev pada masalah momen dan rumus kuadratur berdampingan dengan lingkaran ide yang sama. Dengan mempertimbangkan pengurangan perhitungan, Chebyshev mengusulkan (1873) untuk mempertimbangkan rumus kuadratur dengan koefisien yang sama (integrasi perkiraan). Penelitian tentang rumus kuadrat dan teori interpolasi terkait erat dengan tugas-tugas yang ditetapkan untuk Chebyshev di departemen artileri komite ilmiah militer.

Dalam teori probabilitas, Chebyshev dikreditkan dengan pengenalan sistematis untuk pertimbangan variabel acak dan penciptaan teknik baru untuk membuktikan teorema batas teori probabilitas - yang disebut. metode momen (1845, 1846, 1867, 1887). Dia membuktikan hukum bilangan besar dalam bentuk yang sangat umum; Pada saat yang sama, buktinya mencolok dalam kesederhanaan dan unsurnya. Chebyshev tidak menyelesaikan studi tentang kondisi konvergensi fungsi distribusi jumlah variabel acak independen dengan hukum normal. Namun, A. A. Markov berhasil melakukan ini dengan beberapa tambahan metode Chebyshev. Tanpa turunan yang ketat, Chebyshev juga menguraikan kemungkinan penyempurnaan teorema limit ini dalam bentuk ekspansi asimtotik dari fungsi distribusi jumlah suku bebas dalam pangkat n21/2, di mana n adalah jumlah suku. Karya Chebyshev tentang teori probabilitas merupakan tahap penting dalam perkembangannya; selain itu, mereka adalah dasar di mana sekolah teori probabilitas Rusia tumbuh, yang pada awalnya terdiri dari siswa langsung Chebyshev.

Riemann Georg Friedrich Bernhard

(Breselenz, Lower Saxony, 1826 - Selaska, dekat Intra, Italia 66)

matematikawan Jerman. Pada tahun 1846 ia memasuki Universitas Göttingen: ia mendengarkan ceramah K. Gauss, banyak di antaranya yang gagasannya dikembangkan olehnya kemudian. Pada 1847–1949 ia menghadiri kuliah di Universitas Berlin; pada tahun 1849 dia kembali ke Göttingen, di mana dia menjadi teman dekat dengan kolaborator Gauss, fisikawan W. Weber, yang membangkitkan minatnya yang mendalam dalam pertanyaan-pertanyaan tentang ilmu alam matematika.

Pada tahun 1851 ia mempertahankan tesis doktornya "Dasar-dasar teori umum fungsi satu variabel kompleks." Dari 1854 Privatdozent, dari 1857 profesor di Universitas Göttingen.

Karya Riemann memiliki pengaruh besar pada perkembangan matematika pada paruh kedua abad ke-19. dan pada abad ke-20. Dalam disertasi doktoralnya, Riemann meletakkan dasar bagi arah geometris teori fungsi analitik; dia memperkenalkan apa yang disebut permukaan Riemann, yang penting dalam studi fungsi multinilai, mengembangkan teori pemetaan konformal dan, sehubungan dengan ini, memberikan ide dasar topologi, mempelajari kondisi keberadaan fungsi analitik di dalam wilayah dari berbagai jenis (yang disebut prinsip Dirichlet), dll. Metode yang dikembangkan oleh Riemann banyak digunakan dalam karya-karya selanjutnya tentang teori fungsi aljabar dan integral, pada teori analitik persamaan diferensial (khususnya, persamaan yang mendefinisikan fungsi hipergeometrik) , pada teori bilangan analitik (misalnya, Riemann menunjukkan hubungan antara distribusi bilangan prima dan sifat-sifat fungsi , khususnya dengan distribusi nolnya dalam domain kompleks - yang disebut hipotesis Riemann, teori yang keabsahannya belum terbukti), dll.

Dalam sejumlah makalah, Riemann menyelidiki perluasan fungsi ke dalam deret trigonometri dan, sehubungan dengan ini, menentukan kondisi yang diperlukan dan cukup untuk keterpaduan dalam pengertian Riemann, yang penting untuk teori himpunan dan fungsi dari variabel nyata. . Riemann juga mengusulkan metode untuk mengintegrasikan persamaan diferensial parsial (misalnya, menggunakan apa yang disebut invarian Riemann dan fungsi Riemann).

Dalam kuliahnya yang terkenal tahun 1854 "On the Hypotheses Underlying Geometry" (1867), Riemann memberikan gagasan umum tentang ruang matematika (dalam kata-katanya, "manifold"), termasuk ruang fungsional dan topologi. Di sini ia menganggap geometri dalam arti luas sebagai doktrin manifold n-dimensi kontinu, yaitu, kumpulan objek homogen apa pun, dan, menggeneralisasi hasil Gauss pada geometri intrinsik permukaan, ia memberikan konsep umum elemen linier (perbedaan jarak antara titik-titik manifold), dengan demikian mendefinisikan apa yang disebut ruang Finsler. Secara lebih rinci, Riemann mempertimbangkan apa yang disebut ruang Riemann, menggeneralisasi ruang geometri Euclid, Lobachevsky, dan geometri elips Riemann, yang dicirikan oleh jenis elemen linier khusus, dan mengembangkan teori kelengkungannya. Membahas penerapan ide-idenya ke ruang fisik, Riemann mengajukan pertanyaan tentang "penyebab sifat metrik" itu, seolah-olah mengantisipasi apa yang telah dilakukan dalam teori relativitas umum.

Ide dan metode yang diusulkan oleh Riemann membuka jalan baru dalam pengembangan matematika dan menemukan aplikasi dalam mekanika dan teori relativitas umum. Ilmuwan itu meninggal pada tahun 1866 karena TBC.

Bilangan berbeda: alami, alami, rasional, bilangan bulat dan pecahan, positif dan negatif, kompleks dan prima, ganjil dan genap, nyata, dll. Dari artikel ini Anda dapat mempelajari apa itu bilangan prima.

Angka apa yang disebut kata bahasa Inggris "sederhana"?

Sangat sering, anak sekolah tidak tahu bagaimana menjawab salah satu pertanyaan matematika yang tampaknya paling sederhana, tentang apa itu bilangan prima. Mereka sering mengacaukan bilangan prima dengan bilangan asli (yaitu, angka yang digunakan orang saat menghitung objek, sementara di beberapa sumber mereka mulai dari nol, dan di sumber lain - dari satu). Tetapi ini adalah dua konsep yang sama sekali berbeda. Bilangan prima adalah bilangan asli, yaitu bilangan bulat dan bilangan positif yang lebih besar dari satu dan hanya memiliki 2 pembagi asli. Dalam hal ini, salah satu pembagi ini adalah angka yang diberikan, dan yang kedua adalah unit. Misalnya, tiga adalah bilangan prima karena tidak habis dibagi oleh bilangan lain selain dirinya sendiri dan satu.

bilangan komposit

Lawan dari bilangan prima adalah bilangan komposit. Mereka juga alami, juga lebih besar dari satu, tetapi tidak memiliki dua, tetapi lebih banyak pembagi. Jadi, misalnya, angka 4, 6, 8, 9, dll. adalah bilangan asli, komposit, tetapi bukan bilangan prima. Seperti yang Anda lihat, ini sebagian besar adalah angka genap, tetapi tidak semua. Tetapi “dua” adalah bilangan genap dan “bilangan pertama” dalam deret bilangan prima.

selanjutnya

Untuk membangun serangkaian bilangan prima, perlu untuk membuat pilihan dari semua bilangan asli, dengan mempertimbangkan definisinya, yaitu, Anda harus bertindak dengan kontradiksi. Penting untuk mempertimbangkan masing-masing bilangan positif alami pada subjek apakah ia memiliki lebih dari dua pembagi. Mari kita coba membangun deret (urutan) yang terdiri dari bilangan prima. Daftarnya dimulai dengan dua, lalu muncul tiga, karena hanya dapat dibagi dengan dirinya sendiri dan satu. Pertimbangkan nomor empat. Apakah ia memiliki pembagi selain empat dan satu? Ya, angka itu adalah 2. Jadi empat bukan bilangan prima. Lima juga prima (selain 1 dan 5, tidak habis dibagi bilangan lain), tetapi enam habis dibagi. Dan secara umum, jika Anda mengikuti semua bilangan genap, Anda akan melihat bahwa selain “dua”, tidak ada satupun yang prima. Dari sini kita menyimpulkan bahwa bilangan genap, kecuali dua, bukanlah bilangan prima. Penemuan lain: semua bilangan yang habis dibagi tiga, kecuali rangkap tiga itu sendiri, baik genap maupun ganjil, juga bukan bilangan prima (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, dst). Hal yang sama berlaku untuk bilangan yang habis dibagi lima dan tujuh. Semua set mereka juga tidak sederhana. Mari kita rangkum. Jadi, semua bilangan ganjil, kecuali satu dan sembilan, termasuk dalam bilangan satu digit sederhana, dan hanya “dua” dari bilangan genap. Puluhan itu sendiri (10, 20,... 40, dst.) bukan bilangan prima. Bilangan prima dua-digit, tiga-digit, dll. dapat didefinisikan berdasarkan prinsip-prinsip di atas: jika mereka tidak memiliki pembagi selain dirinya sendiri dan satu.

Teori tentang sifat-sifat bilangan prima

Ada ilmu yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat, termasuk bilangan prima. Ini adalah cabang matematika, yang disebut lebih tinggi. Selain sifat-sifat bilangan bulat, ia juga berurusan dengan aljabar, bilangan transendental, serta fungsi dari berbagai asal yang terkait dengan aritmatika bilangan-bilangan ini. Dalam studi ini, selain metode dasar dan aljabar, metode analitik dan geometrik juga digunakan. Secara khusus, studi tentang bilangan prima berkaitan dengan "Teori Bilangan".

Bilangan prima adalah "blok pembangun" bilangan asli

Dalam aritmatika ada teorema yang disebut teorema utama. Menurutnya, setiap bilangan asli, kecuali satu, dapat direpresentasikan sebagai produk, yang faktor-faktornya adalah bilangan prima, dan urutan faktornya adalah unik, yang berarti bahwa metode representasinya unik. Ini disebut penguraian bilangan asli menjadi faktor prima. Ada nama lain untuk proses ini - faktorisasi angka. Berasal dari ini, bilangan prima dapat disebut "bahan bangunan", "balok" untuk membangun bilangan asli.

Cari bilangan prima. Tes Kesederhanaan

Banyak ilmuwan dari waktu yang berbeda mencoba menemukan beberapa prinsip (sistem) untuk menemukan daftar bilangan prima. Ilmu pengetahuan mengetahui sistem yang disebut saringan Atkin, saringan Sundartam, saringan Eratosthenes. Namun, mereka tidak memberikan hasil yang signifikan, dan tes sederhana digunakan untuk menemukan bilangan prima. Algoritma juga diciptakan oleh matematikawan. Mereka disebut tes primality. Misalnya, ada tes yang dikembangkan oleh Rabin dan Miller. Ini digunakan oleh kriptografer. Ada juga tes Kayala-Agrawala-Saskena. Namun, meskipun akurasinya cukup, sangat sulit untuk menghitung, yang mengurangi nilai praktisnya.

Apakah himpunan bilangan prima memiliki limit?

Fakta bahwa himpunan bilangan prima adalah tak terhingga ditulis dalam buku "Awal" oleh ilmuwan Yunani kuno Euclid. Dia mengatakan ini: “Mari kita bayangkan sejenak bahwa bilangan prima memiliki batas. Lalu mari kita kalikan satu sama lain, dan tambahkan satu ke produk. Bilangan yang diperoleh sebagai hasil dari operasi sederhana ini tidak dapat habis dibagi oleh salah satu deret bilangan prima, karena sisanya akan selalu satu. Dan ini berarti ada beberapa bilangan lain yang belum termasuk dalam daftar bilangan prima. Oleh karena itu, asumsi kami tidak benar, dan himpunan ini tidak dapat memiliki batas. Selain bukti Euclid, ada rumus yang lebih modern yang diberikan oleh ahli matematika Swiss abad kedelapan belas Leonhard Euler. Menurutnya, jumlah, kebalikan dari jumlah n angka pertama, tumbuh tanpa batas dengan pertumbuhan angka n. Dan berikut adalah rumus teorema tentang distribusi bilangan prima: (n) tumbuh seperti n / ln (n).

Berapakah bilangan prima terbesar?

Semua sama Leonard Euler mampu menemukan bilangan prima terbesar untuk masanya. Ini adalah 2 31 - 1 = 2147483647. Namun, pada tahun 2013, angka terbesar lain yang paling akurat dalam daftar bilangan prima dihitung - 2 57885161 - 1. Ini disebut bilangan Mersenne. Ini berisi sekitar 17 juta angka desimal. Seperti yang Anda lihat, jumlah yang ditemukan oleh seorang ilmuwan dari abad kedelapan belas beberapa kali lebih kecil dari ini. Seharusnya begitu, karena Euler melakukan perhitungan ini secara manual, tetapi orang sezaman kita mungkin dibantu oleh komputer. Apalagi angka ini diperoleh di Departemen Matematika di salah satu departemen Amerika. Angka yang dinamai menurut nama ilmuwan ini melewati uji primalitas Luc-Lehmer. Namun, sains tidak ingin berhenti di situ. Electronic Frontier Foundation, yang didirikan pada tahun 1990 di Amerika Serikat (EFF), telah menawarkan hadiah uang untuk menemukan bilangan prima yang besar. Dan jika sampai tahun 2013 hadiah diberikan kepada para ilmuwan yang akan menemukannya dari antara 1 dan 10 juta angka desimal, hari ini angka ini telah mencapai dari 100 juta menjadi 1 miliar. Hadiahnya berkisar antara 150 hingga 250 ribu dolar AS.

Nama-nama bilangan prima khusus

Angka-angka yang ditemukan berkat algoritme yang dibuat oleh ilmuwan tertentu dan lulus uji kesederhanaan disebut khusus. Berikut adalah beberapa di antaranya:

1. Mersin.

4. Cullen.

6. Mills dkk.

Kesederhanaan angka-angka ini, dinamai ilmuwan di atas, ditetapkan dengan menggunakan tes berikut:

1. Lucas-Lemer.

2. Pepina.

3. Risel.

4. Billhart - Lehmer - Selfridge dan lainnya.

Ilmu pengetahuan modern tidak berhenti di situ, dan mungkin dalam waktu dekat dunia akan mengetahui nama-nama orang yang berhasil memenangkan hadiah sebesar 250.000 dolar dengan menemukan bilangan prima terbesar.

Daftar pembagi. Menurut definisi, nomor n prima hanya jika tidak habis dibagi 2 dan bilangan bulat apa pun selain 1 dan dirinya sendiri. Rumus di atas menghilangkan langkah-langkah yang tidak perlu dan menghemat waktu: misalnya, setelah memeriksa apakah suatu bilangan habis dibagi 3, tidak perlu memeriksa apakah bilangan itu habis dibagi 9.

• Fungsi lantai(x) membulatkan x ke bilangan bulat terdekat yang kurang dari atau sama dengan x.

Pelajari tentang aritmatika modular. Operasi "x mod y" (mod adalah kependekan dari kata Latin "modulo", yang berarti "modul") berarti "bagi x dengan y dan temukan sisanya". Dengan kata lain, dalam aritmatika modular, setelah mencapai nilai tertentu, yang disebut modul, angka "berubah" kembali ke nol. Misalnya, jam mengukur waktu dalam modulus 12: jam menunjukkan jam 10, 11, dan 12 dan kemudian kembali ke 1.

• Banyak kalkulator memiliki kunci mod. Akhir bagian ini menunjukkan cara menghitung fungsi ini secara manual untuk jumlah besar.

Pelajari tentang perangkap Teorema Kecil Fermat. Semua angka yang kondisi pengujiannya tidak terpenuhi adalah gabungan, tetapi angka yang tersisa hanya mungkin dianggap sederhana. Jika Anda ingin menghindari hasil yang salah, cari n dalam daftar "bilangan Carmichael" (bilangan komposit yang memenuhi tes ini) dan "bilangan Fermat pseudo-prime" (angka-angka ini memenuhi kondisi pengujian hanya untuk beberapa nilai sebuah).

Jika nyaman, gunakan tes Miller-Rabin. Meskipun metode ini agak rumit untuk perhitungan manual, metode ini sering digunakan dalam program komputer. Ini memberikan kecepatan yang dapat diterima dan memberikan lebih sedikit kesalahan daripada metode Fermat. Bilangan komposit tidak akan dianggap sebagai bilangan prima jika perhitungan dilakukan lebih dari nilai sebuah. Jika Anda secara acak memilih nilai yang berbeda sebuah dan untuk semuanya tes akan memberikan hasil positif, kita dapat mengasumsikan dengan tingkat kepercayaan yang cukup tinggi bahwa n adalah bilangan prima.

Untuk bilangan besar, gunakan aritmatika modular. Jika Anda tidak memiliki kalkulator mod, atau jika kalkulator Anda tidak dirancang untuk menangani bilangan sebesar itu, gunakan properti daya dan aritmatika modular untuk mempermudah penghitungan. Di bawah ini adalah contoh untuk 3 50 (\gaya tampilan 3^(50)) mod 50:

• Tulis ulang ekspresi dalam bentuk yang lebih nyaman: mod 50. Saat menghitung secara manual, penyederhanaan lebih lanjut mungkin diperlukan.
• (3 25 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Di sini kita telah memperhitungkan properti perkalian modular.
• 3 25 (\gaya tampilan 3^(25)) mod 50 = 43.
• (3 25 (\displaystyle (3^(25))) mod 50 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
• = 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
• = 49 (\displaystyle=49).

Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya habis dibagi dirinya sendiri dan satu.

Sisa angka disebut komposit.

Bilangan asli sederhana

Tetapi tidak semua bilangan asli adalah bilangan prima.

Bilangan asli sederhana hanya mereka yang hanya habis dibagi oleh diri mereka sendiri dan oleh satu.

Contoh bilangan prima:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

Bilangan bulat sederhana

Oleh karena itu hanya bilangan asli yang merupakan bilangan prima.

Ini berarti bahwa bilangan prima harus alami.

Tetapi semua bilangan asli juga bilangan bulat.

Jadi, semua bilangan prima adalah bilangan bulat.

Contoh bilangan prima:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

bilangan prima genap

Hanya ada satu bilangan prima genap, yaitu dua.

Semua bilangan prima lainnya ganjil.

Mengapa bilangan genap yang lebih besar dari dua tidak bisa menjadi bilangan prima?

Tetapi karena setiap bilangan genap yang lebih besar dari dua akan habis dibagi dengan sendirinya, bukan dengan satu, tetapi oleh dua, yaitu, bilangan tersebut akan selalu memiliki tiga pembagi, dan mungkin lebih.