Kalkulator pecahan dirancang untuk perhitungan cepat operasi dengan pecahan, ini akan membantu Anda dengan mudah menambah, mengalikan, membagi atau mengurangi pecahan.

Anak-anak sekolah modern mulai belajar pecahan sudah di kelas 5, dan setiap tahun latihan bersama mereka menjadi lebih rumit. Istilah dan kuantitas matematika yang kita pelajari di sekolah jarang berguna bagi kita di masa dewasa. Namun, pecahan, tidak seperti logaritma dan derajat, cukup umum dalam kehidupan sehari-hari (mengukur jarak, menimbang barang, dll.). Kalkulator kami dirancang untuk operasi cepat dengan pecahan.

Pertama, mari kita definisikan apa itu pecahan dan apa itu. Pecahan adalah perbandingan suatu bilangan dengan bilangan lainnya; ini adalah bilangan yang terdiri dari sejumlah pecahan dari suatu satuan.

Jenis pecahan:

• Biasa
• desimal
• Campuran

Contoh pecahan biasa:

Nilai atas adalah pembilang, bawah adalah penyebut. Tanda hubung menunjukkan kepada kita bahwa angka teratas habis dibagi angka bawah. Alih-alih format penulisan yang serupa, saat tanda hubung horizontal, Anda dapat menulis secara berbeda. Anda dapat meletakkan garis miring, misalnya:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

desimal adalah jenis pecahan yang paling populer. Mereka terdiri dari bagian bilangan bulat dan bagian pecahan, dipisahkan oleh koma.

Contoh desimal:

0,2 atau 6,71 atau 0,125

Ini terdiri dari bilangan bulat dan bagian pecahan. Untuk mengetahui nilai pecahan ini, Anda perlu menjumlahkan bilangan bulat dan pecahannya.

Contoh pecahan campuran:

Kalkulator pecahan di situs web kami dapat dengan cepat melakukan operasi matematika apa pun dengan pecahan online:

• Tambahan
• Pengurangan
• Perkalian
• Divisi

Untuk melakukan perhitungan, Anda harus memasukkan angka di bidang dan memilih tindakan. Untuk pecahan harus diisi pembilang dan penyebutnya, bilangan bulat tidak boleh ditulis (jika pecahan biasa). Jangan lupa untuk mengklik tombol "sama".

Lebih mudah bahwa kalkulator segera menyediakan proses untuk memecahkan contoh dengan pecahan, dan bukan hanya jawaban yang sudah jadi. Berkat solusi terperinci Anda dapat menggunakan materi ini dalam memecahkan masalah sekolah dan untuk menguasai materi yang dibahas dengan lebih baik.

Anda perlu menghitung contoh:

Setelah memasukkan indikator di bidang formulir, kami mendapatkan:

Untuk membuat perhitungan independen, masukkan data dalam formulir.

Kalkulator pecahan

Masukkan dua pecahan:

		+ - * :

bagian terkait.

Petunjuk

Pengurangan ke penyebut yang sama.

Biarkan pecahan a/b dan c/d diberikan.

Pembilang dan penyebut pecahan pertama dikalikan KPK / b

Pembilang dan penyebut pecahan kedua dikalikan KPK/d

Contoh ditunjukkan pada gambar.

Untuk membandingkan pecahan, mereka harus memiliki penyebut yang sama, lalu membandingkan pembilangnya. Misalnya, 3/4< 4/5, см. .

Penjumlahan dan pengurangan pecahan.

Untuk menemukan jumlah dua pecahan biasa, mereka harus direduksi menjadi penyebut yang sama, dan kemudian menambahkan pembilangnya, penyebutnya tidak berubah. Contoh penjumlahan pecahan 1/2 dan 1/3 ditunjukkan pada gambar.

Perbedaan pecahan ditemukan dengan cara yang sama, setelah menemukan penyebut yang sama, pembilang dari pecahan dikurangi, lihat gambar.

Saat mengalikan pecahan biasa, pembilang dan penyebutnya dikalikan bersama.

Untuk membagi dua pecahan, Anda memerlukan pecahan dari pecahan kedua, mis. ubah pembilang dan penyebutnya, lalu kalikan pecahan yang dihasilkan.

Video Terkait

Sumber:

• pecahan kelas 5 dengan contoh
• Tugas dasar untuk pecahan

Modul mewakili nilai absolut dari ekspresi. Tanda kurung digunakan untuk menandai modul. Nilai-nilai yang terkandung di dalamnya diambil modulo. Solusi dari modul ini adalah membuka tanda kurung sesuai dengan aturan tertentu dan menemukan himpunan nilai ekspresi. Dalam kebanyakan kasus, modul diperluas sedemikian rupa sehingga ekspresi submodul mengambil serangkaian nilai positif dan negatif, termasuk nol. Berdasarkan properti modul ini, persamaan dan ketidaksetaraan lebih lanjut dari ekspresi asli dikompilasi dan diselesaikan.

Petunjuk

Tuliskan persamaan awal dengan . Untuk itu, buka modul. Pertimbangkan setiap ekspresi submodul. Tentukan pada nilai apa dari jumlah yang tidak diketahui termasuk di dalamnya, ekspresi dalam kurung modular menghilang.

Untuk melakukan ini, samakan ekspresi submodul menjadi nol dan temukan persamaan yang dihasilkan. Tuliskan nilai yang ditemukan. Dengan cara yang sama, tentukan nilai variabel yang tidak diketahui untuk setiap modulus dalam persamaan yang diberikan.

Gambar garis bilangan dan plot nilai yang dihasilkan di atasnya. Nilai variabel dalam modul nol akan menjadi kendala dalam menyelesaikan persamaan modular.

Dalam persamaan asli, Anda perlu membuka yang modular, mengubah tanda sehingga nilai variabel sesuai dengan yang ditampilkan pada garis bilangan. Selesaikan persamaan yang dihasilkan. Periksa nilai variabel yang ditemukan terhadap batasan yang ditentukan oleh modul. Jika solusi memenuhi kondisi, itu benar. Akar yang tidak memenuhi batasan harus dibuang.

Demikian pula, perluas modul ekspresi asli, dengan mempertimbangkan tanda, dan hitung akar persamaan yang dihasilkan. Tuliskan semua akar yang diperoleh yang memenuhi pertidaksamaan kendala.

Bilangan pecahan memungkinkan Anda untuk menyatakan nilai tepat suatu besaran dengan cara yang berbeda. Dengan pecahan, Anda dapat melakukan operasi matematika yang sama dengan bilangan bulat: pengurangan, penambahan, perkalian, dan pembagian. Untuk mempelajari cara memutuskan pecahan, perlu untuk mengingat beberapa fitur mereka. Mereka tergantung pada jenisnya pecahan, kehadiran bagian bilangan bulat, penyebut yang sama. Beberapa operasi aritmatika setelah eksekusi memerlukan pengurangan bagian pecahan dari hasil.

Anda akan perlu

• - Kalkulator

Petunjuk

Perhatikan baik-baik angkanya. Jika ada desimal dan tidak beraturan di antara pecahan, terkadang lebih mudah untuk melakukan tindakan dengan desimal terlebih dahulu, dan kemudian mengubahnya menjadi bentuk yang salah. Bisakah kamu menerjemahkan? pecahan dalam bentuk ini awalnya, menulis nilai setelah titik desimal di pembilang dan menempatkan 10 di penyebut. Jika perlu, kurangi pecahan dengan membagi angka di atas dan di bawah dengan satu pembagi. Pecahan di mana seluruh bagian menonjol, mengarah ke bentuk yang salah dengan mengalikannya dengan penyebut dan menambahkan pembilang ke hasilnya. Nilai ini akan menjadi pembilang baru pecahan. Untuk mengekstrak seluruh bagian dari yang awalnya salah pecahan, bagi pembilang dengan penyebut. Tulis seluruh hasil dari pecahan. Dan sisa pembagian menjadi pembilang baru, penyebut pecahan sementara tidak berubah. Untuk pecahan dengan bagian bilangan bulat, dimungkinkan untuk melakukan tindakan secara terpisah, pertama untuk bilangan bulat dan kemudian untuk bagian pecahan. Misalnya, jumlah 1 2/3 dan 2 dapat dihitung:
- Mengubah pecahan ke bentuk yang salah:
- 1 2/3 + 2 = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Penjumlahan secara terpisah dari bagian bilangan bulat dan pecahan:
- 1 2/3 + 2 = (1+2) + (2/3 + ) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Untuk dengan nilai di bawah garis, temukan penyebut yang sama. Misalnya, untuk 5/9 dan 7/12, penyebutnya adalah 36. Untuk ini, pembilang dan penyebut dari yang pertama pecahan anda perlu mengalikan dengan 4 (akan menjadi 28/36), dan yang kedua - dengan 3 (akan menjadi 15/36). Sekarang Anda dapat melakukan perhitungan.

Jika Anda akan menghitung jumlah atau selisih pecahan, pertama-tama tuliskan penyebut yang sama di bawah garis. Lakukan tindakan yang diperlukan antara pembilang, dan tulis hasilnya di atas baris baru pecahan. Dengan demikian, pembilang barunya adalah selisih atau jumlah pembilang dari pecahan semula.

Untuk menghitung produk pecahan, kalikan pembilang pecahan dan tulis hasilnya sebagai pengganti pembilang akhir pecahan. Lakukan hal yang sama untuk penyebutnya. Saat membagi satu pecahan tulis satu pecahan di pecahan lainnya, lalu kalikan pembilangnya dengan penyebut pecahan kedua. Pada saat yang sama, penyebut yang pertama pecahan dikalikan dengan pembilang detik. Pada saat yang sama, semacam pembalikan detik pecahan(pembagi). Pecahan terakhir adalah hasil perkalian pembilang dan penyebut kedua pecahan. Mudah untuk dipelajari pecahan, ditulis dalam kondisi dalam bentuk "berlantai empat" pecahan. Jika itu memisahkan dua pecahan, tulis ulang dengan pembatas ":", dan lanjutkan dengan pembagian normal.

Untuk mendapatkan hasil akhir, kurangi pecahan yang dihasilkan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan satu bilangan bulat, yang terbesar dalam hal ini. Dalam hal ini, harus ada bilangan bulat di atas dan di bawah garis.

catatan

Jangan melakukan aritmatika dengan pecahan yang penyebutnya berbeda. Pilih suatu bilangan sedemikian rupa sehingga bila pembilang dan penyebut setiap pecahan dikalikan, maka penyebut kedua pecahan tersebut adalah sama.

Saran yang bermanfaat

Saat menulis angka pecahan, dividen ditulis di atas garis. Besaran ini disebut pembilang pecahan. Di bawah garis, pembagi, atau penyebut, dari pecahan ditulis. Misalnya, satu setengah kilogram beras dalam bentuk pecahan akan ditulis sebagai berikut: 1 kg beras. Jika penyebut suatu pecahan adalah 10, maka disebut pecahan desimal. Dalam hal ini, pembilang (dividen) ditulis di sebelah kanan seluruh bagian dipisahkan dengan koma: 1,5 kg beras. Untuk memudahkan perhitungan, pecahan seperti itu selalu dapat ditulis dalam bentuk yang salah: 1 2/10 kg kentang. Untuk menyederhanakan, Anda dapat mengurangi nilai pembilang dan penyebut dengan membaginya dengan satu bilangan bulat. Dalam contoh ini, pembagian dengan 2. Hasilnya adalah 1 1/5 kg kentang. Pastikan bahwa angka-angka yang akan Anda gunakan untuk melakukan aritmatika memiliki bentuk yang sama.

Petunjuk

Klik sekali pada item menu "Sisipkan", lalu pilih item "Simbol". Ini adalah salah satu cara termudah untuk memasukkan pecahan untuk mengirim pesan. Ini terdiri sebagai berikut. Set karakter siap memiliki pecahan. Jumlah mereka biasanya kecil, tetapi jika Anda perlu menulis , bukan 1/2 dalam teks, maka opsi ini akan menjadi yang paling optimal untuk Anda. Selain itu, jumlah karakter pecahan mungkin bergantung pada font. Misalnya, untuk font Times New Roman, ada fraksi yang sedikit lebih sedikit daripada Arial yang sama. Variasikan font untuk menemukan yang terbaik pilihan terbaik ketika datang ke ekspresi sederhana.

Klik pada item menu "Sisipkan" dan pilih sub-item "Objek". Anda akan melihat jendela dengan daftar objek yang memungkinkan untuk dimasukkan. Pilih di antara mereka Microsoft Persamaan 3.0. Aplikasi ini akan membantu Anda mengetik pecahan. Dan tidak hanya pecahan, tetapi juga ekspresi matematika kompleks yang berisi berbagai fungsi trigonometri dan elemen lainnya. Klik dua kali pada objek ini dengan tombol kiri mouse. Anda akan melihat jendela yang berisi banyak karakter.

Untuk mencetak pecahan, pilih simbol yang mewakili pecahan dengan pembilang dan penyebut kosong. Klik sekali dengan tombol kiri mouse. Menu tambahan akan muncul, menentukan skema pecahan. Mungkin ada beberapa opsi. Pilih yang paling cocok untuk Anda dan klik sekali dengan tombol kiri mouse.

Pecahan- bentuk representasi angka dalam matematika. Garis miring menunjukkan operasi pembagian. pembilang pecahan disebut dividen, dan penyebut- pembagi. Misalnya, dalam pecahan, pembilangnya adalah 5 dan penyebutnya adalah 7.

Benar Suatu pecahan disebut jika modulus pembilangnya lebih besar dari modulus penyebutnya. Jika pecahan benar, maka modulus nilainya selalu lebih kecil dari 1. Semua pecahan lainnya adalah salah.

Pecahan disebut Campuran, jika ditulis sebagai bilangan bulat dan pecahan. Ini sama dengan jumlah bilangan ini dan pecahan:

Sifat dasar pecahan

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan dengan bilangan yang sama, maka nilai pecahan tidak akan berubah, yaitu, misalnya,

Membawa pecahan ke penyebut yang sama

Untuk membawa dua pecahan ke penyebut yang sama, Anda perlu:

1. Kalikan pembilang pecahan pertama dengan penyebut kedua
2. Kalikan pembilang pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama
3. Ganti penyebut kedua pecahan dengan perkaliannya

Tindakan dengan pecahan

Tambahan. Untuk menjumlahkan dua pecahan, Anda perlu

1. Tambahkan pembilang baru dari kedua pecahan, dan biarkan penyebutnya tidak berubah

Contoh:

Pengurangan. Untuk mengurangkan satu pecahan dari pecahan lainnya,

1. Bawa pecahan ke penyebut yang sama
2. Kurangi pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan biarkan penyebutnya tidak berubah

Contoh:

Perkalian. Untuk mengalikan satu pecahan dengan pecahan lainnya, kalikan pembilang dan penyebutnya:

Divisi. Untuk membagi satu pecahan dengan pecahan lainnya, kalikan pembilang pecahan pertama dengan penyebut kedua, dan kalikan penyebut pecahan pertama dengan pembilang kedua:

Artikel ini membahas tentang operasi pada pecahan. Aturan untuk penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian atau eksponensial dari pecahan bentuk A B akan dibentuk dan dibenarkan, di mana A dan B dapat berupa angka, ekspresi numerik atau ekspresi dengan variabel. Sebagai kesimpulan, contoh solusi dengan deskripsi terperinci akan dipertimbangkan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Aturan untuk melakukan operasi dengan pecahan numerik dari bentuk umum

Pecahan numerik dari bentuk umum memiliki pembilang dan penyebut, di mana ada bilangan asli atau ekspresi numerik. Jika kita menganggap pecahan seperti 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0, 8 , 1 2 2 , 1 - 2 3 + , 2 0 , 5 ln 3 , maka jelas bahwa pembilang dan penyebut tidak hanya dapat memiliki angka, tetapi juga ekspresi dari rencana yang berbeda.

Definisi 1

Ada aturan di mana tindakan dilakukan dengan pecahan biasa. Ini juga cocok untuk pecahan bentuk umum:

• Saat mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama, hanya pembilang yang ditambahkan, dan penyebutnya tetap sama, yaitu: a d ± c d \u003d a ± c d, nilai a, c dan d 0 adalah beberapa angka atau ekspresi numerik.
• Saat menjumlahkan atau mengurangi pecahan dengan penyebut yang berbeda, perlu untuk mengurangi ke yang sama, dan kemudian menambah atau mengurangi pecahan yang dihasilkan dengan indikator yang sama. Secara harfiah terlihat seperti ini a b ± c d = a p ± c r s , dimana nilai a , b 0 , c , d 0 , p 0 , r 0 , s 0 adalah bilangan real, dan b p = d r = s. Ketika p = d dan r = b, maka a b ± c d = a d ± c d b d.
• Saat mengalikan pecahan, tindakan dilakukan dengan pembilang, setelah itu dengan penyebut, maka kita mendapatkan a b c d \u003d a c b d, di mana a, b 0, c, d 0 bertindak sebagai bilangan real.
• Saat membagi pecahan dengan pecahan, kami mengalikan yang pertama dengan kebalikan kedua, yaitu, kami menukar pembilang dan penyebut: a b: c d \u003d a b d c.

Alasan untuk aturan

Definisi 2

Ada poin matematika berikut yang harus Anda andalkan saat menghitung:

• batang pecahan berarti tanda pembagian;
• pembagian dengan angka diperlakukan sebagai perkalian dengan kebalikannya;
• penerapan properti tindakan dengan bilangan real;
• penerapan sifat dasar pecahan dan pertidaksamaan numerik.

Dengan bantuan mereka, Anda dapat membuat transformasi bentuk:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c rs ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Contoh

Pada paragraf sebelumnya, dikatakan tentang tindakan dengan pecahan. Setelah itu pecahan perlu disederhanakan. Topik ini telah dibahas secara rinci di bagian konversi pecahan.

Pertama, perhatikan contoh penjumlahan dan pengurangan pecahan berpenyebut sama.

Contoh 1

Diberikan pecahan 8 2 , 7 dan 1 2 , 7 , maka menurut aturan perlu dijumlahkan pembilangnya dan ditulis ulang penyebutnya.

Keputusan

Kemudian kita mendapatkan pecahan dalam bentuk 8 + 1 2 , 7 . Setelah melakukan penjumlahan, kita mendapatkan pecahan berbentuk 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Jadi 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Menjawab: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Ada cara lain untuk menyelesaikannya. Pertama-tama, transisi dibuat ke bentuk pecahan biasa, setelah itu kami melakukan penyederhanaan. Ini terlihat seperti ini:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Contoh 2

Mari kita kurangi pecahan 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 dari bentuk 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Karena penyebut yang sama diberikan, itu berarti bahwa kita menghitung pecahan dengan penyebut yang sama. Kami mengerti

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Ada beberapa contoh menghitung pecahan dengan penyebut yang berbeda. Poin penting adalah pengurangan ke penyebut yang sama. Tanpa ini, kita tidak akan dapat melakukan tindakan lebih lanjut dengan pecahan.

Prosesnya dari jarak jauh mengingatkan pada pengurangan menjadi penyebut yang sama. Artinya, pencarian dilakukan untuk pembagi persekutuan terkecil dalam penyebut, setelah itu faktor-faktor yang hilang ditambahkan ke pecahan.

Jika pecahan yang ditambahkan tidak memiliki faktor persekutuan, maka perkaliannya dapat menjadi satu.

Contoh 3

Perhatikan contoh penjumlahan pecahan 2 3 5 + 1 dan 1 2 .

Keputusan

Dalam hal ini, penyebut yang sama adalah produk dari penyebut. Kemudian kita dapatkan bahwa 2 · 3 5 + 1 . Kemudian, saat menetapkan faktor tambahan, kami memiliki bahwa ke pecahan pertama sama dengan 2, dan ke yang kedua 3 5 + 1. Setelah perkalian, pecahan direduksi menjadi bentuk 4 2 3 5 + 1. Pemeran umum 1 2 akan menjadi 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Kami menambahkan ekspresi pecahan yang dihasilkan dan mendapatkan itu

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Menjawab: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Ketika kita berurusan dengan pecahan dari bentuk umum, maka penyebut terkecil biasanya tidak demikian. Tidak menguntungkan untuk mengambil produk dari pembilang sebagai penyebut. Pertama, Anda perlu memeriksa apakah ada nomor yang nilainya kurang dari produk mereka.

Contoh 4

Perhatikan contoh 1 6 2 1 5 dan 1 4 2 3 5 ketika produk mereka sama dengan 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Kemudian kita ambil 12 · 2 3 5 sebagai penyebut yang sama.

Perhatikan contoh perkalian pecahan dari bentuk umum.

Contoh 5

Untuk melakukan ini, perlu mengalikan 2 + 1 6 dan 2 · 5 3 · 2 + 1.

Keputusan

Mengikuti aturan, perlu untuk menulis ulang dan menulis produk pembilang sebagai penyebut. Kami mendapatkan bahwa 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Ketika pecahan dikalikan, pengurangan dapat dilakukan untuk menyederhanakannya. Kemudian 5 3 3 2 + 1 : 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Menggunakan aturan transisi dari pembagian ke perkalian dengan timbal balik, kita mendapatkan kebalikan dari yang diberikan. Untuk melakukan ini, pembilang dan penyebut dibalik. Mari kita lihat sebuah contoh:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Setelah itu, mereka harus melakukan perkalian dan menyederhanakan pecahan yang dihasilkan. Jika perlu, singkirkan irasionalitas dalam penyebut. Kami mengerti

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Menjawab: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Paragraf ini berlaku ketika angka atau ekspresi numerik dapat direpresentasikan sebagai pecahan dengan penyebut sama dengan 1, maka operasi dengan pecahan tersebut dianggap sebagai paragraf terpisah. Misalnya, ekspresi 1 6 7 4 - 1 3 menunjukkan bahwa akar dari 3 dapat diganti dengan ekspresi 3 1 lainnya. Maka catatan ini akan terlihat seperti perkalian dua pecahan dengan bentuk 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .

Melakukan tindakan dengan pecahan yang mengandung variabel

Aturan yang dibahas dalam artikel pertama berlaku untuk operasi dengan pecahan yang mengandung variabel. Perhatikan aturan pengurangan jika penyebutnya sama.

Perlu dibuktikan bahwa A , C dan D (D tidak sama dengan nol) dapat berupa ekspresi apa pun, dan persamaan A D ± C D = A ± C D setara dengan rentang nilai validnya.

Hal ini diperlukan untuk mengambil satu set variabel ODZ. Kemudian A, C, D harus mengambil nilai yang sesuai a 0 , c 0 dan d0. Substitusi bentuk A D ± C D menghasilkan perbedaan bentuk a 0 d 0 ± c 0 d 0 , dimana, menurut aturan penjumlahan, kita memperoleh rumus bentuk a 0 ± c 0 d 0 . Jika kita mengganti ekspresi A ± C D , maka kita mendapatkan pecahan yang sama dalam bentuk a 0 ± c 0 d 0 . Dari sini kami menyimpulkan bahwa nilai terpilih yang memenuhi ODZ, A ± C D dan A D ± C D dianggap sama.

Untuk setiap nilai variabel, ekspresi ini akan sama, yaitu, mereka disebut identik sama. Ini berarti bahwa ekspresi ini dianggap sebagai persamaan yang dapat dibuktikan dari bentuk A D ± C D = A ± C D .

Contoh penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan variabel

Jika penyebutnya sama, maka pembilangnya hanya perlu dijumlahkan atau dikurangi. Pecahan ini dapat disederhanakan. Terkadang Anda harus bekerja dengan pecahan yang identik sama, tetapi pada pandangan pertama ini tidak terlihat, karena beberapa transformasi harus dilakukan. Misalnya, x 2 3 x 1 3 + 1 dan x 1 3 + 1 2 atau 1 2 sin 2 dan sin a cos a. Paling sering, penyederhanaan ekspresi asli diperlukan untuk melihat penyebut yang sama.

Contoh 6

Hitung: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 +xx+1 .

Keputusan

1. Untuk membuat perhitungan, Anda perlu mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama. Kemudian kita dapatkan bahwa x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Setelah itu, Anda dapat membuka tanda kurung dengan pengurangan istilah serupa. Kita peroleh bahwa x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Karena penyebutnya sama, pembilangnya tinggal dijumlahkan, sehingga penyebutnya: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Penambahan telah selesai. Dapat dilihat bahwa fraksi dapat dikurangi. Pembilangnya dapat dilipat menggunakan rumus jumlah kuadrat, maka kita peroleh (l g x + 2) 2 dari rumus perkalian yang disingkat. Kemudian kita mendapatkan itu
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Diberikan pecahan berbentuk x - 1 x - 1 + x x + 1 dengan penyebut yang berbeda. Setelah transformasi, Anda dapat melanjutkan ke penjumlahan.

Mari kita pertimbangkan solusi dua arah.

Metode pertama adalah bahwa penyebut pecahan pertama dikenai faktorisasi menggunakan kuadrat, dan dengan pengurangan berikutnya. Kami mendapatkan sebagian kecil dari bentuk

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Jadi x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Dalam hal ini, perlu untuk menghilangkan irasionalitas dalam penyebut.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Cara kedua adalah mengalikan pembilang dan penyebut pecahan kedua dengan x-1. Jadi, kita singkirkan irasionalitas dan lanjutkan ke penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama. Kemudian

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Menjawab: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

Dalam contoh terakhir, kami menemukan bahwa pengurangan ke penyebut yang sama tidak dapat dihindari. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyederhanakan pecahan. Untuk menambah atau mengurangi, Anda selalu perlu mencari penyebut yang sama, yang terlihat seperti produk dari penyebut dengan penambahan faktor tambahan ke pembilangnya.

Contoh 7

Hitung nilai pecahan: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Keputusan

1. Penyebut tidak memerlukan perhitungan yang rumit, jadi Anda harus memilih produk mereka dalam bentuk 3 x 7 + 2 2, kemudian ke pecahan pertama x 7 + 2 2 dipilih sebagai faktor tambahan, dan 3 ke yang kedua. Saat mengalikan, kita mendapatkan pecahan dalam bentuk x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Dapat dilihat bahwa penyebut disajikan sebagai produk, yang berarti bahwa transformasi tambahan tidak diperlukan. Penyebut yang sama akan menjadi produk dari bentuk x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Dari sini x 4 adalah faktor tambahan untuk pecahan pertama, dan ln (x + 1) ke yang kedua. Kemudian kita kurangi dan dapatkan:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. Contoh ini masuk akal ketika bekerja dengan penyebut pecahan. Penting untuk menerapkan rumus untuk perbedaan kuadrat dan kuadrat jumlah, karena mereka akan memungkinkan untuk beralih ke ekspresi bentuk 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . Dapat dilihat bahwa pecahan direduksi menjadi penyebut yang sama. Kami mendapatkan bahwa cos x - x cos x + x 2 .

Kemudian kita mendapatkan itu

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Menjawab:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Contoh perkalian pecahan dengan variabel

Dalam perkalian pecahan, pembilangnya dikalikan dengan pembilangnya dan penyebutnya dikalikan dengan penyebutnya. Kemudian Anda dapat menerapkan properti reduksi.

Contoh 8

Kalikan pecahan x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 dan 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Keputusan

Anda perlu melakukan perkalian. Kami mengerti

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 dosa (2 x - x)

Angka 3 dipindahkan ke tempat pertama untuk kenyamanan perhitungan, dan Anda dapat mengurangi pecahan dengan x 2, maka kami mendapatkan ekspresi formulir

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Menjawab: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x) .

Divisi

Pembagian pecahan mirip dengan perkalian, karena pecahan pertama dikalikan dengan kebalikan kedua. Jika kita ambil, misalnya, pecahan x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 dan dibagi dengan 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, maka ini dapat ditulis sebagai

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , kemudian ganti dengan hasil kali bentuk x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 dosa (2 x - x)

Eksponen

Mari kita lanjutkan untuk mempertimbangkan aksi dengan pecahan bentuk umum dengan eksponensial. Jika ada derajat dengan eksponen alami, maka tindakan tersebut dianggap sebagai perkalian pecahan identik. Tetapi disarankan untuk menggunakan pendekatan umum berdasarkan sifat-sifat kekuatan. Setiap ekspresi A dan C, di mana C tidak identik sama dengan nol, dan setiap r nyata pada ODZ untuk ekspresi bentuk A C r, persamaan A C r = A r C r adalah benar. Hasilnya adalah pecahan yang dipangkatkan. Misalnya, pertimbangkan:

x 0, 7 - ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0, 7 - ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Urutan operasi pecahan

Tindakan pada pecahan dilakukan sesuai dengan aturan tertentu. Dalam praktiknya, kita melihat bahwa suatu ekspresi dapat berisi beberapa pecahan atau ekspresi pecahan. Maka perlu untuk melakukan semua tindakan dalam urutan yang ketat: menaikkan pangkat, mengalikan, membagi, lalu menambah dan mengurangi. Jika ada tanda kurung, tindakan pertama dilakukan di dalamnya.

Contoh 9

Hitung 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Keputusan

Karena kita memiliki penyebut yang sama, maka 1 - x cos x dan 1 c o s x , tetapi tidak mungkin untuk mengurangi menurut aturan, pertama tindakan dalam tanda kurung dilakukan, setelah itu perkalian, dan kemudian penambahan. Kemudian, saat menghitung, kita mendapatkan itu

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Saat mengganti ekspresi ke dalam ekspresi aslinya, kita mendapatkan bahwa 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Saat mengalikan pecahan, kita memiliki: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Setelah melakukan semua substitusi, kita mendapatkan 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Sekarang Anda perlu bekerja dengan pecahan yang memiliki penyebut berbeda. Kita mendapatkan:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Menjawab: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Isi pelajaran

Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama

Penjumlahan pecahan terdiri dari dua jenis:

1. Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama
2. Penjumlahan pecahan dengan penyebut berbeda

Mari kita mulai dengan menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama. Semuanya sederhana di sini. Untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, Anda perlu menambahkan pembilangnya, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah. Misalnya, mari kita menjumlahkan pecahan dan . Kami menambahkan pembilangnya, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah:

Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita memikirkan pizza yang dibagi menjadi empat bagian. Jika Anda menambahkan pizza ke pizza, Anda mendapatkan pizza:

Contoh 2 Tambahkan pecahan dan .

Jawabannya adalah pecahan biasa. Jika akhir tugas tiba, maka sudah biasa untuk menyingkirkan pecahan yang tidak tepat. Untuk menghilangkan pecahan yang tidak tepat, Anda harus memilih seluruh bagian di dalamnya. Dalam kasus kami, bagian bilangan bulat dialokasikan dengan mudah - dua dibagi dua sama dengan satu:

Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita memikirkan pizza yang dibagi menjadi dua bagian. Jika Anda menambahkan lebih banyak pizza ke pizza, Anda mendapatkan satu pizza utuh:

Contoh 3. Tambahkan pecahan dan .

Sekali lagi, tambahkan pembilangnya, dan biarkan penyebutnya tidak berubah:

Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita memikirkan pizza yang dibagi menjadi tiga bagian. Jika Anda menambahkan lebih banyak pizza ke pizza, Anda mendapatkan pizza:

Contoh 4 Temukan nilai ekspresi

Contoh ini diselesaikan dengan cara yang persis sama seperti yang sebelumnya. Pembilang harus ditambahkan dan penyebut tidak diubah:

Mari kita coba menggambarkan solusi kita menggunakan gambar. Jika Anda menambahkan pizza ke pizza dan menambahkan lebih banyak pizza, Anda mendapatkan 1 pizza utuh dan lebih banyak pizza.

Seperti yang Anda lihat, menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama tidaklah sulit. Cukup memahami aturan berikut:

1. Untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, Anda perlu menambahkan pembilangnya, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah;

Penjumlahan pecahan dengan penyebut berbeda

Sekarang kita akan belajar cara menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda. Dalam menjumlahkan pecahan, penyebut pecahan tersebut harus sama. Tapi mereka tidak selalu sama.

Misalnya, pecahan dapat dijumlahkan karena memiliki penyebut yang sama.

Tetapi pecahan tidak dapat dijumlahkan sekaligus, karena pecahan tersebut memiliki penyebut yang berbeda. Dalam kasus seperti itu, pecahan harus direduksi menjadi penyebut (persamaan) yang sama.

Ada beberapa cara untuk mengecilkan pecahan berpenyebut sama. Hari ini kami hanya akan mempertimbangkan salah satunya, karena metode lainnya mungkin tampak rumit untuk pemula.

Inti dari metode ini terletak pada kenyataan bahwa pertama (KPK) dari penyebut kedua pecahan dicari. Kemudian KPK dibagi dengan penyebut pecahan pertama dan diperoleh faktor tambahan pertama. Mereka melakukan hal yang sama dengan pecahan kedua - KPK dibagi dengan penyebut pecahan kedua dan faktor tambahan kedua diperoleh.

Kemudian pembilang dan penyebut pecahan dikalikan dengan faktor tambahannya. Sebagai hasil dari tindakan ini, pecahan yang memiliki penyebut berbeda berubah menjadi pecahan yang memiliki penyebut yang sama. Dan kita sudah tahu cara menjumlahkan pecahan seperti itu.

Contoh 1. Tambahkan pecahan dan

Pertama-tama, kita cari kelipatan persekutuan terkecil dari kedua pecahan tersebut. Penyebut pecahan pertama adalah angka 3, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 2. Kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini adalah 6

KPK (2 dan 3) = 6

Sekarang kembali ke pecahan dan . Pertama, kita membagi KPK dengan penyebut pecahan pertama dan mendapatkan faktor tambahan pertama. KPK adalah angka 6, dan penyebut pecahan pertama adalah angka 3. Bagi 6 dengan 3, kita mendapatkan 2.

Angka 2 yang dihasilkan adalah faktor tambahan pertama. Kami menuliskannya ke pecahan pertama. Untuk melakukan ini, kami membuat garis miring kecil di atas pecahan dan menuliskan faktor tambahan yang ditemukan di atasnya:

Kami melakukan hal yang sama dengan pecahan kedua. Kami membagi KPK dengan penyebut pecahan kedua dan mendapatkan faktor tambahan kedua. KPK adalah angka 6, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 2. Bagi 6 dengan 2, kita mendapatkan 3.

Angka 3 yang dihasilkan adalah faktor tambahan kedua. Kami menulisnya ke pecahan kedua. Sekali lagi, kami membuat garis miring kecil di atas pecahan kedua dan menulis faktor tambahan yang ditemukan di atasnya:

Sekarang kita siap untuk menambahkan. Tetap mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya:

Perhatikan baik-baik apa yang telah kita capai. Kami sampai pada kesimpulan bahwa pecahan yang penyebutnya berbeda menjadi pecahan yang penyebutnya sama. Dan kita sudah tahu cara menjumlahkan pecahan seperti itu. Mari kita selesaikan contoh ini sampai akhir:

Dengan demikian contoh berakhir. Untuk menambahkan ternyata.

Mari kita coba menggambarkan solusi kita menggunakan gambar. Jika Anda menambahkan pizza ke pizza, Anda mendapatkan satu pizza utuh dan pizza keenam lainnya:

Pengurangan pecahan menjadi penyebut yang sama (sama) juga dapat digambarkan dengan menggunakan gambar. Membawa pecahan dan penyebut yang sama, kita mendapatkan pecahan dan . Kedua pecahan ini akan diwakili oleh irisan pizza yang sama. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa kali ini mereka akan dibagi menjadi bagian yang sama (dikurangi menjadi penyebut yang sama).

Gambar pertama menunjukkan pecahan (empat bagian dari enam) dan gambar kedua menunjukkan pecahan (tiga bagian dari enam). Menempatkan potongan-potongan ini bersama-sama kita mendapatkan (tujuh dari enam). Pecahan ini salah, jadi kami telah menyoroti bagian bilangan bulat di dalamnya. Hasilnya adalah (satu pizza utuh dan pizza keenam lainnya).

Perhatikan bahwa kami telah melukis contoh ini dengan terlalu banyak detail. Di lembaga pendidikan bukanlah kebiasaan untuk menulis dengan cara yang begitu rinci. Anda harus dapat dengan cepat menemukan KPK dari kedua penyebut dan faktor tambahannya, serta dengan cepat mengalikan faktor tambahan yang ditemukan oleh pembilang dan penyebut Anda. Saat di sekolah, kita harus menulis contoh ini sebagai berikut:

Tetapi ada juga sisi lain dari koin. Jika catatan rinci tidak dibuat pada tahap pertama belajar matematika, maka pertanyaan semacam itu "Dari mana angka itu berasal?", "Mengapa pecahan tiba-tiba berubah menjadi pecahan yang sama sekali berbeda? «.

Untuk mempermudah menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, Anda dapat menggunakan petunjuk langkah demi langkah berikut:

1. Cari KPK dari penyebut pecahan;
2. Bagi KPK dengan penyebut setiap pecahan dan dapatkan pengali tambahan untuk setiap pecahan;
3. Kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya;
4. Menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama;
5. Jika jawabannya ternyata pecahan biasa, maka pilih seluruh bagiannya;

Contoh 2 Temukan nilai ekspresi .

Mari kita gunakan petunjuk di atas.

Langkah 1. Cari KPK dari penyebut pecahan

Tentukan KPK dari penyebut kedua pecahan tersebut. Penyebut pecahan adalah bilangan 2, 3 dan 4

Langkah 2. Bagi KPK dengan penyebut setiap pecahan dan dapatkan pengali tambahan untuk setiap pecahan

Bagi KPK dengan penyebut pecahan pertama. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan pertama adalah angka 2. Bagi 12 dengan 2, kita mendapatkan 6. Kita mendapat faktor tambahan pertama 6. Kita menuliskannya di atas pecahan pertama:

Sekarang kita bagi KPK dengan penyebut pecahan kedua. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 3. Bagi 12 dengan 3, kita mendapatkan 4. Kita mendapat faktor tambahan kedua 4. Kita menuliskannya di atas pecahan kedua:

Sekarang kita bagi KPK dengan penyebut dari pecahan ketiga. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan ketiga adalah angka 4. Bagi 12 dengan 4, kita mendapatkan 3. Kita mendapat faktor tambahan ketiga 3. Kita menuliskannya di atas pecahan ketiga:

Langkah 3. Kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan faktor tambahan Anda

Kami mengalikan pembilang dan penyebut dengan faktor tambahan kami:

Langkah 4. Jumlahkan pecahan yang penyebutnya sama

Kami sampai pada kesimpulan bahwa pecahan yang penyebutnya berbeda berubah menjadi pecahan yang penyebutnya sama (persamaan). Tetap menambahkan pecahan ini. Menjumlahkan:

Penambahan tidak muat pada satu baris, jadi kami memindahkan ekspresi yang tersisa ke baris berikutnya. Ini diperbolehkan dalam matematika. Ketika sebuah ekspresi tidak muat pada satu baris, itu dibawa ke baris berikutnya, dan perlu untuk menempatkan tanda sama dengan (=) di akhir baris pertama dan di awal baris baru. Tanda sama dengan pada baris kedua menunjukkan bahwa ini adalah kelanjutan dari ekspresi yang ada di baris pertama.

Langkah 5. Jika jawabannya ternyata pecahan biasa, maka pilih seluruh bagian di dalamnya

Jawaban kami adalah pecahan biasa. Kita harus memilih seluruh bagian itu. Kami menyoroti:

Mendapat jawaban

Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama

Ada dua jenis pengurangan pecahan:

1. Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama
2. Pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda

Pertama, mari kita belajar cara mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama. Semuanya sederhana di sini. Untuk mengurangkan pecahan lain dari satu pecahan, Anda perlu mengurangkan pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan membiarkan penyebutnya tetap sama.

Sebagai contoh, mari kita cari nilai dari ekspresi . Untuk menyelesaikan contoh ini, pembilang pecahan kedua harus dikurangi dengan pembilang pecahan pertama, dan penyebutnya tidak diubah. Mari kita lakukan:

Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita memikirkan pizza yang dibagi menjadi empat bagian. Jika Anda memotong pizza dari pizza, Anda mendapatkan pizza:

Contoh 2 Temukan nilai ekspresi .

Sekali lagi, dari pembilang pecahan pertama, kurangi pembilang pecahan kedua, dan biarkan penyebutnya tidak berubah:

Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita memikirkan pizza yang dibagi menjadi tiga bagian. Jika Anda memotong pizza dari pizza, Anda mendapatkan pizza:

Contoh 3 Temukan nilai ekspresi

Contoh ini diselesaikan dengan cara yang persis sama seperti yang sebelumnya. Dari pembilang pecahan pertama, Anda perlu mengurangkan pembilang pecahan yang tersisa:

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit dalam mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama. Cukup memahami aturan berikut:

1. Untuk mengurangkan pecahan lain dari satu pecahan, Anda perlu mengurangkan pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah;
2. Jika jawabannya ternyata pecahan biasa, maka Anda harus memilih seluruh bagian di dalamnya.

Pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda

Misalnya, pecahan dapat dikurangkan dari pecahan, karena pecahan ini memiliki penyebut yang sama. Tetapi pecahan tidak dapat dikurangkan dari pecahan, karena pecahan ini memiliki penyebut yang berbeda. Dalam kasus seperti itu, pecahan harus direduksi menjadi penyebut (persamaan) yang sama.

Penyebut yang sama ditemukan sesuai dengan prinsip yang sama yang kita gunakan saat menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda. Pertama-tama, cari KPK dari penyebut kedua pecahan tersebut. Kemudian KPK dibagi dengan penyebut pecahan pertama dan faktor tambahan pertama diperoleh, yang ditulis di atas pecahan pertama. Demikian pula, KPK dibagi dengan penyebut pecahan kedua dan faktor tambahan kedua diperoleh, yang ditulis di atas pecahan kedua.

Pecahan kemudian dikalikan dengan faktor tambahannya. Sebagai hasil dari operasi ini, pecahan yang penyebutnya berbeda menjadi pecahan yang penyebutnya sama. Dan kita sudah tahu cara mengurangkan pecahan seperti itu.

Contoh 1 Temukan nilai ekspresi:

Pecahan ini memiliki penyebut yang berbeda, jadi Anda harus membawanya ke penyebut yang sama (persamaan).

Pertama, kita cari KPK dari penyebut kedua pecahan. Penyebut pecahan pertama adalah angka 3, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 4. Kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini adalah 12

KPK (3 dan 4) = 12

Sekarang kembali ke pecahan dan

Mari kita cari faktor tambahan untuk pecahan pertama. Untuk melakukan ini, kita membagi KPK dengan penyebut pecahan pertama. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan pertama adalah angka 3. Bagi 12 dengan 3, kita mendapatkan 4. Kita menulis empat di atas pecahan pertama:

Kami melakukan hal yang sama dengan pecahan kedua. Kami membagi KPK dengan penyebut pecahan kedua. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 4. Bagi 12 dengan 4, kita mendapatkan 3. Tulis tiga kali lipat dari pecahan kedua:

Sekarang kita siap untuk pengurangan. Tetap mengalikan pecahan dengan faktor tambahannya:

Kami sampai pada kesimpulan bahwa pecahan yang penyebutnya berbeda menjadi pecahan yang penyebutnya sama. Dan kita sudah tahu cara mengurangkan pecahan seperti itu. Mari kita selesaikan contoh ini sampai akhir:

Mendapat jawaban

Mari kita coba menggambarkan solusi kita menggunakan gambar. Jika Anda memotong pizza dari pizza, Anda mendapatkan pizza.

Ini adalah versi rinci dari solusi. Berada di sekolah, kita harus menyelesaikan contoh ini dengan cara yang lebih singkat. Solusi seperti itu akan terlihat seperti ini:

Pengurangan pecahan dan ke penyebut yang sama juga dapat digambarkan dengan menggunakan gambar. Membawa pecahan ini ke penyebut yang sama, kita mendapatkan pecahan dan . Pecahan ini akan diwakili oleh irisan pizza yang sama, tetapi kali ini akan dibagi menjadi pecahan yang sama (dikurangi menjadi penyebut yang sama):

Gambar pertama menunjukkan pecahan (delapan dari dua belas), dan gambar kedua menunjukkan pecahan (tiga dari dua belas). Dengan memotong tiga bagian dari delapan bagian, kami mendapatkan lima bagian dari dua belas. Pecahan menggambarkan lima bagian ini.

Contoh 2 Temukan nilai ekspresi

Pecahan ini memiliki penyebut yang berbeda, jadi Anda harus terlebih dahulu membawanya ke penyebut yang sama (persamaan).

Tentukan KPK dari penyebut pecahan-pecahan tersebut.

Penyebut pecahan adalah angka 10, 3 dan 5. Kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini adalah 30

KPK(10, 3, 5) = 30

Sekarang kita menemukan faktor tambahan untuk setiap pecahan. Untuk melakukan ini, kita membagi KPK dengan penyebut setiap pecahan.

Mari kita cari faktor tambahan untuk pecahan pertama. KPK adalah angka 30, dan penyebut pecahan pertama adalah angka 10. Bagi 30 dengan 10, kita mendapatkan faktor tambahan pertama 3. Kami menuliskannya di atas pecahan pertama:

Sekarang kita menemukan faktor tambahan untuk pecahan kedua. Bagi KPK dengan penyebut pecahan kedua. KPK adalah angka 30, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 3. Bagi 30 dengan 3, kita mendapatkan faktor tambahan kedua 10. Kita menulisnya di atas pecahan kedua:

Sekarang kita menemukan faktor tambahan untuk pecahan ketiga. Bagi KPK dengan penyebut pecahan ketiga. KPK adalah angka 30, dan penyebut pecahan ketiga adalah angka 5. Bagi 30 dengan 5, kita mendapatkan faktor tambahan ketiga 6. Kami menuliskannya di atas pecahan ketiga:

Sekarang semuanya siap untuk pengurangan. Tetap mengalikan pecahan dengan faktor tambahannya:

Kami sampai pada kesimpulan bahwa pecahan yang penyebutnya berbeda menjadi pecahan yang penyebutnya sama (persamaan). Dan kita sudah tahu cara mengurangkan pecahan seperti itu. Mari kita selesaikan contoh ini.

Kelanjutan contoh tidak akan muat pada satu baris, jadi kami memindahkan kelanjutan ke baris berikutnya. Jangan lupa tentang tanda sama dengan (=) di baris baru:

Jawabannya ternyata adalah pecahan yang benar, dan semuanya tampak cocok untuk kita, tetapi terlalu rumit dan jelek. Kita harus membuatnya lebih mudah. Apa yang bisa dilakukan? Anda dapat mengurangi pecahan ini.

Untuk mengurangi pecahan, Anda perlu membagi pembilang dan penyebutnya dengan (gcd) angka 20 dan 30.

Jadi, kami menemukan FPB dari angka 20 dan 30:

Sekarang kita kembali ke contoh kita dan membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan GCD yang ditemukan, yaitu dengan 10

Mendapat jawaban

Mengalikan pecahan dengan angka

Untuk mengalikan pecahan dengan angka, Anda perlu mengalikan pembilang dari pecahan yang diberikan dengan angka ini, dan membiarkan penyebutnya tetap sama.

Contoh 1. Kalikan pecahan dengan angka 1.

Kalikan pembilang pecahan dengan angka 1

Entri dapat dipahami sebagai mengambil setengah 1 kali. Misalnya, jika Anda mengambil pizza 1 kali, Anda mendapatkan pizza

Dari hukum perkalian, kita mengetahui bahwa jika perkalian dan pengali dipertukarkan, maka hasil kali tidak akan berubah. Jika ekspresi ditulis sebagai , maka hasil kali akan tetap sama dengan . Sekali lagi, aturan untuk mengalikan bilangan bulat dan pecahan berfungsi:

Entri ini dapat dipahami sebagai mengambil setengah dari unit. Misalnya, jika ada 1 pizza utuh dan kami mengambil setengahnya, maka kami akan memiliki pizza:

Contoh 2. Temukan nilai ekspresi

Kalikan pembilang pecahan dengan 4

Jawabannya adalah pecahan biasa. Mari kita ambil seluruh bagiannya:

Ekspresi dapat dipahami sebagai mengambil dua perempat 4 kali. Misalnya, jika Anda mengambil pizza 4 kali, Anda mendapatkan dua pizza utuh.

Dan jika kita menukar multiplicand dan multiplier di beberapa tempat, kita mendapatkan ekspresi. Ini juga akan sama dengan 2. Ungkapan ini dapat dipahami sebagai mengambil dua pizza dari empat pizza utuh:

Perkalian pecahan

Untuk mengalikan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebutnya. Jika jawabannya adalah pecahan biasa, Anda harus memilih seluruh bagian di dalamnya.

Contoh 1 Temukan nilai ekspresi .

Punya jawaban. Diinginkan untuk mengurangi fraksi ini. Pecahan tersebut dapat dikurangi dengan 2. Maka solusi akhirnya akan berbentuk sebagai berikut:

Ungkapan tersebut dapat dipahami sebagai mengambil pizza dari setengah pizza. Katakanlah kita memiliki setengah pizza:

Bagaimana cara mengambil dua pertiga dari setengah ini? Pertama, Anda perlu membagi setengah ini menjadi tiga bagian yang sama:

Dan ambil dua dari tiga bagian ini:

Kami akan mendapatkan pizza. Ingat seperti apa pizza yang dibagi menjadi tiga bagian:

Satu potong dari pizza ini dan dua potong yang kita ambil akan memiliki dimensi yang sama:

Dengan kata lain, kita sedang berbicara tentang ukuran pizza yang sama. Oleh karena itu, nilai ekspresinya adalah

Contoh 2. Temukan nilai ekspresi

Kalikan pembilang pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua, dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua:

Jawabannya adalah pecahan biasa. Mari kita ambil seluruh bagiannya:

Contoh 3 Temukan nilai ekspresi

Kalikan pembilang pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua, dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua:

Jawabannya ternyata adalah pecahan yang benar, tetapi akan lebih baik jika dikurangi. Untuk mengurangi pecahan ini, Anda perlu membagi pembilang dan penyebut pecahan ini dengan pembagi persekutuan terbesar (PBK) dari angka 105 dan 450.

Jadi, mari kita cari KPK dari bilangan 105 dan 450:

Sekarang kita bagi pembilang dan penyebut dari jawaban kita ke GCD yang kita temukan sekarang, yaitu dengan 15

Mewakili bilangan bulat sebagai pecahan

Setiap bilangan bulat dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Misalnya, angka 5 dapat direpresentasikan sebagai . Dari sini, lima tidak akan berubah artinya, karena ungkapan itu berarti "angka lima dibagi satu", dan ini, seperti yang Anda tahu, sama dengan lima:

Nomor terbalik

Sekarang kita akan berkenalan dengan topik yang sangat menarik dalam matematika. Ini disebut "bilangan terbalik".

Definisi. Balik ke angkasebuah adalah bilangan yang jika dikalikan dengansebuah memberikan satuan.

Mari kita substitusikan definisi ini sebagai ganti variabel sebuah nomor 5 dan coba baca definisinya:

Balik ke angka 5 adalah bilangan yang jika dikalikan dengan 5 memberikan satuan.

Apakah mungkin untuk menemukan angka yang, jika dikalikan dengan 5, menghasilkan satu? Ternyata Anda bisa. Mari kita nyatakan lima sebagai pecahan:

Kemudian kalikan pecahan ini dengan sendirinya, cukup tukar pembilang dan penyebutnya. Dengan kata lain, mari kita kalikan pecahan dengan dirinya sendiri, hanya terbalik:

Apa yang akan menjadi hasil dari ini? Jika kita terus memecahkan contoh ini, kita mendapatkan satu:

Ini berarti kebalikan dari angka 5 adalah angka, karena ketika 5 dikalikan satu, diperoleh satu.

Kebalikannya juga dapat ditemukan untuk bilangan bulat lainnya.

Anda juga dapat menemukan kebalikan dari pecahan lainnya. Untuk melakukan ini, cukup dengan membaliknya.

Pembagian pecahan dengan bilangan

Katakanlah kita memiliki setengah pizza:

Mari kita membaginya menjadi dua. Berapa banyak pizza yang akan didapat masing-masing?

Dapat dilihat bahwa setelah membagi setengah dari pizza, diperoleh dua bagian yang sama, yang masing-masing membentuk pizza. Jadi semua orang mendapat pizza.

Pembagian pecahan dilakukan secara resiprokal. Timbal balik memungkinkan Anda untuk mengganti pembagian dengan perkalian.

Untuk membagi pecahan dengan angka, Anda perlu mengalikan pecahan ini dengan kebalikan dari pembagi.

Dengan menggunakan aturan ini, kita akan menuliskan pembagian setengah pizza kita menjadi dua bagian.

Jadi, Anda perlu membagi pecahan dengan angka 2. Di sini dividen adalah pecahan dan pembagi adalah 2.

Untuk membagi pecahan dengan angka 2, Anda perlu mengalikan pecahan ini dengan kebalikan dari pembagi 2. Kebalikan dari pembagi 2 adalah pecahan. Jadi, Anda perlu mengalikannya dengan