Rumusan masalah

Tugas ini melibatkan membiasakan pengguna dengan konsep dasar metode numerik, seperti matriks determinan dan invers, dan berbagai cara untuk menghitungnya. Dalam laporan teoretis ini, dalam bahasa yang sederhana dan mudah dipahami, konsep dan definisi dasar pertama kali diperkenalkan, sebagai dasar untuk melakukan penelitian lebih lanjut. Pengguna mungkin tidak memiliki pengetahuan khusus di bidang metode numerik dan aljabar linier, tetapi akan dengan mudah dapat menggunakan hasil pekerjaan ini. Untuk lebih jelasnya, diberikan program untuk menghitung determinan matriks dengan beberapa metode yang ditulis dalam bahasa pemrograman C++. Program ini digunakan sebagai stand laboratorium untuk membuat ilustrasi laporan. Dan juga studi tentang metode untuk memecahkan sistem persamaan aljabar linier sedang dilakukan. Ketidakgunaan menghitung matriks terbalik terbukti, oleh karena itu, makalah ini memberikan cara yang lebih optimal untuk menyelesaikan persamaan tanpa menghitungnya. Dijelaskan mengapa ada begitu banyak metode yang berbeda untuk menghitung determinan dan matriks invers dan kekurangannya dianalisis. Kesalahan dalam perhitungan determinan juga dipertimbangkan dan akurasi yang dicapai diperkirakan. Selain istilah Rusia, padanan bahasa Inggris mereka juga digunakan dalam pekerjaan untuk memahami dengan nama apa untuk mencari prosedur numerik di perpustakaan dan apa arti parameternya.

Definisi dasar dan properti sederhana

penentu

Mari kita perkenalkan definisi determinan matriks persegi dengan orde apa pun. Definisi ini akan berulang, yaitu, untuk menentukan apa determinan matriks orde, Anda harus sudah mengetahui apa determinan matriks orde itu. Perhatikan juga bahwa determinan hanya ada untuk matriks persegi.

Determinan matriks bujur sangkar dilambangkan dengan atau det .

Definisi 1. penentu matriks persegi nomor urut kedua disebut .

penentu matriks orde persegi , disebut bilangan

di mana determinan matriks orde diperoleh dari matriks dengan menghapus baris pertama dan kolom dengan nomor .

Untuk kejelasan, kami menuliskan bagaimana Anda dapat menghitung determinan matriks orde keempat:

Komentar. Perhitungan sebenarnya dari determinan untuk matriks di atas orde ketiga berdasarkan definisi digunakan dalam kasus luar biasa. Sebagai aturan, perhitungan dilakukan sesuai dengan algoritma lain, yang akan dibahas nanti dan yang membutuhkan lebih sedikit pekerjaan komputasi.

Komentar. Dalam Definisi 1, akan lebih akurat untuk mengatakan bahwa determinan adalah fungsi yang didefinisikan pada matriks orde kuadrat dan mengambil nilai dalam himpunan bilangan.

Komentar. Dalam literatur, selain istilah "determinan", istilah "determinan" juga digunakan, yang memiliki arti yang sama. Dari kata "determinan" muncul sebutan det.

Mari kita perhatikan beberapa sifat determinan, yang kita rumuskan dalam bentuk pernyataan.

Pernyataan 1. Saat mentranspos matriks, determinannya tidak berubah, yaitu .

Pernyataan 2. Determinan hasil kali matriks kuadrat sama dengan hasil kali determinan faktor-faktornya, yaitu .

Pernyataan 3. Jika dua baris dalam suatu matriks ditukar, maka determinannya akan berubah tanda.

Pernyataan 4. Jika suatu matriks memiliki dua baris yang identik, maka determinannya adalah nol.

Di masa mendatang, kita perlu menambahkan string dan mengalikan string dengan angka. Kami akan melakukan operasi ini pada baris (kolom) dengan cara yang sama seperti operasi pada matriks baris (matriks kolom), yaitu elemen demi elemen. Hasilnya akan menjadi baris (kolom), yang, sebagai suatu peraturan, tidak cocok dengan baris matriks asli. Di hadapan operasi penambahan baris (kolom) dan mengalikannya dengan angka, kita juga dapat berbicara tentang kombinasi linier baris (kolom), yaitu jumlah dengan koefisien numerik.

Pernyataan 5. Jika suatu baris matriks dikalikan dengan suatu bilangan, maka determinannya akan dikalikan dengan bilangan tersebut.

Pernyataan 6. Jika matriks berisi baris nol, maka determinannya adalah nol.

Pernyataan 7. Jika salah satu baris matriks sama dengan yang lain dikalikan dengan suatu bilangan (baris-barisnya proporsional), maka determinan matriks tersebut adalah nol.

Pernyataan 8. Biarkan baris ke-i dalam matriks terlihat seperti . Kemudian , dimana matriks diperoleh dari matriks dengan mengganti baris ke-i dengan baris , dan matriks diperoleh dengan mengganti baris ke-i dengan baris .

Pernyataan 9. Jika salah satu baris matriks dijumlahkan dengan yang lain, dikalikan dengan angka, maka determinan matriks tidak akan berubah.

Pernyataan 10. Jika salah satu baris suatu matriks merupakan kombinasi linier dari baris-barisnya yang lain, maka determinan matriks tersebut adalah nol.

Definisi 2. penjumlahan aljabar ke elemen matriks disebut bilangan sama dengan , dimana determinan matriks diperoleh dari matriks dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j. Komplemen aljabar untuk elemen matriks dilambangkan dengan .

Contoh. Biarlah . Kemudian

Komentar. Dengan menggunakan penjumlahan aljabar, definisi 1 determinan dapat ditulis sebagai berikut:

Pernyataan 11. Dekomposisi determinan dalam string arbitrer.

Determinan matriks memenuhi rumus

Contoh. Menghitung .

Keputusan. Mari kita gunakan ekspansi di baris ketiga, itu lebih menguntungkan, karena di baris ketiga dua angka dari tiga adalah nol. Mendapatkan

Pernyataan 12. Untuk matriks bujur sangkar orde di , kita memiliki hubungan .

Pernyataan 13. Semua sifat determinan yang diformulasikan untuk baris (pernyataan 1 - 11) juga berlaku untuk kolom, khususnya dekomposisi determinan pada kolom ke-j adalah valid dan kesetaraan pada .

Pernyataan 14. Determinan matriks segitiga sama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal utamanya.

Konsekuensi. Determinan matriks identitas sama dengan satu, .

Kesimpulan. Sifat-sifat yang tercantum di atas memungkinkan untuk menemukan determinan matriks dengan orde yang cukup tinggi dengan jumlah perhitungan yang relatif kecil. Algoritma perhitungannya adalah sebagai berikut.

Algoritma untuk membuat nol dalam kolom. Biarkan diperlukan untuk menghitung determinan order . Jika , maka tukar baris pertama dan baris lain di mana elemen pertama tidak nol. Akibatnya, determinan , akan sama dengan determinan matriks baru dengan tanda yang berlawanan. Jika elemen pertama dari setiap baris sama dengan nol, maka matriks tersebut memiliki kolom nol dan, menurut Pernyataan 1, 13, determinannya sama dengan nol.

Jadi, kami menganggap itu sudah dalam matriks asli . Biarkan baris pertama tidak berubah. Mari kita tambahkan ke baris kedua baris pertama, dikalikan dengan angka . Maka elemen pertama dari baris kedua akan sama dengan .

Elemen yang tersisa dari baris kedua yang baru akan dilambangkan dengan , . Determinan matriks baru menurut Pernyataan 9 sama dengan . Kalikan baris pertama dengan angka dan tambahkan ke baris ketiga. Elemen pertama dari baris ketiga yang baru akan sama dengan

Elemen yang tersisa dari baris ketiga yang baru akan dilambangkan dengan , . Determinan matriks baru menurut Pernyataan 9 sama dengan .

Kami akan melanjutkan proses mendapatkan nol alih-alih elemen string pertama. Akhirnya, kami mengalikan baris pertama dengan angka dan menambahkannya ke baris terakhir. Hasilnya adalah matriks, dilambangkan dengan , yang memiliki bentuk

dan . Untuk menghitung determinan matriks, kami menggunakan ekspansi di kolom pertama

Dari dulu

Determinan matriks orde ada di ruas kanan. Kami menerapkan algoritma yang sama untuk itu, dan perhitungan determinan matriks akan direduksi menjadi perhitungan determinan matriks orde. Proses ini diulang sampai kita mencapai determinan orde kedua, yang dihitung menurut definisi.

Jika matriks tidak memiliki properti spesifik, maka tidak mungkin untuk secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan dibandingkan dengan algoritma yang diusulkan. Sisi baik lain dari algoritma ini adalah mudah untuk menulis program bagi komputer untuk menghitung determinan matriks orde besar. Dalam program standar untuk menghitung determinan, algoritma ini digunakan dengan perubahan kecil yang terkait dengan meminimalkan efek kesalahan pembulatan dan kesalahan input data dalam perhitungan komputer.

Contoh. Hitung Determinan Matriks .

Keputusan. Baris pertama dibiarkan tidak berubah. Ke baris kedua kami menambahkan yang pertama, dikalikan dengan angka:

Penentu tidak berubah. Ke baris ketiga kami menambahkan yang pertama, dikalikan dengan angka:

Penentu tidak berubah. Ke baris keempat kami menambahkan yang pertama, dikalikan dengan angka:

Penentu tidak berubah. Akibatnya, kita mendapatkan

Menggunakan algoritma yang sama, kami menghitung determinan dari matriks orde 3, yang ada di sebelah kanan. Kami membiarkan baris pertama tidak berubah, ke baris kedua kami menambahkan yang pertama, dikalikan dengan angka :

Ke baris ketiga kita tambahkan yang pertama, dikalikan dengan angka :

Akibatnya, kita mendapatkan

Menjawab. .

Komentar. Meskipun pecahan digunakan dalam perhitungan, hasilnya adalah bilangan bulat. Memang, dengan menggunakan sifat-sifat determinan dan fakta bahwa bilangan asli adalah bilangan bulat, operasi dengan pecahan dapat dihindari. Namun dalam praktik rekayasa, angka sangat jarang merupakan bilangan bulat. Oleh karena itu, sebagai suatu peraturan, elemen-elemen determinannya adalah pecahan desimal dan tidak disarankan untuk menggunakan trik apa pun untuk menyederhanakan perhitungan.

matriks terbalik

Definisi 3. Matriks disebut matriks terbalik untuk matriks persegi jika .

Ini mengikuti dari definisi bahwa matriks terbalik akan menjadi matriks persegi dengan urutan yang sama dengan matriks (jika tidak salah satu produk atau tidak akan didefinisikan).

Matriks invers suatu matriks dilambangkan dengan . Jadi, jika ada, maka .

Dari definisi matriks invers, maka matriks tersebut merupakan invers dari matriks, yaitu . Matriks dan dapat dikatakan saling invers atau saling invers.

Jika determinan suatu matriks adalah nol, maka inversnya tidak ada.

Karena untuk menemukan matriks invers penting apakah determinan matriks sama dengan nol atau tidak, kami memperkenalkan definisi berikut.

Definisi 4. Sebut saja matriks persegi merosot atau matriks khusus, jika tidak merosot atau matriks nonsingular, jika .

Penyataan. Jika matriks invers ada, maka matriks tersebut unik.

Penyataan. Jika suatu matriks bujur sangkar tidak berdegenerasi, maka inversnya ada dan (1) di mana adalah penambahan aljabar ke elemen .

Dalil. Matriks invers untuk matriks bujur sangkar ada jika dan hanya jika matriks tersebut nonsingular, matriks inversnya unik, dan rumus (1) valid.

Komentar. Perhatian khusus harus diberikan pada tempat-tempat yang ditempati oleh penambahan aljabar dalam rumus matriks terbalik: indeks pertama menunjukkan angka kolom, dan yang kedua adalah bilangan garis, di mana komplemen aljabar terhitung harus ditulis.

Contoh. .

Keputusan. Menemukan determinan

Karena , maka matriks tidak berdegenerasi, dan inversnya ada. Menemukan penjumlahan aljabar:

Kami menyusun matriks terbalik dengan menempatkan penambahan aljabar yang ditemukan sehingga indeks pertama sesuai dengan kolom, dan yang kedua sesuai dengan baris: (2)

Matriks yang dihasilkan (2) adalah jawaban dari masalah tersebut.

Komentar. Pada contoh sebelumnya, akan lebih akurat untuk menulis jawaban seperti ini:
(3)

Namun, notasi (2) lebih kompak dan lebih mudah untuk melakukan perhitungan lebih lanjut, jika ada, dengannya. Oleh karena itu, menulis jawaban dalam bentuk (2) lebih disukai jika elemen-elemen matriks adalah bilangan bulat. Dan sebaliknya, jika elemen-elemen matriks adalah pecahan desimal, maka lebih baik untuk menulis matriks invers tanpa faktor di depan.

Komentar. Saat menemukan matriks invers, Anda harus melakukan cukup banyak perhitungan dan aturan yang tidak biasa untuk mengatur penambahan aljabar dalam matriks akhir. Oleh karena itu, ada kemungkinan kesalahan yang tinggi. Untuk menghindari kesalahan, Anda harus melakukan pemeriksaan: hitung produk dari matriks asli dengan yang terakhir dalam satu urutan atau lainnya. Jika hasilnya adalah matriks identitas, maka matriks invers ditemukan dengan benar. Jika tidak, Anda perlu mencari kesalahan.

Contoh. Tentukan invers suatu matriks .

Keputusan. - ada.

Menjawab: .

Kesimpulan. Menemukan matriks invers dengan rumus (1) membutuhkan terlalu banyak perhitungan. Untuk matriks orde keempat dan lebih tinggi, ini tidak dapat diterima. Algoritma nyata untuk menemukan matriks terbalik akan diberikan nanti.

Menghitung determinan dan matriks invers menggunakan metode Gauss

Metode Gauss dapat digunakan untuk mencari determinan dan matriks invers.

Yaitu, determinan matriks sama dengan det .

Matriks invers ditemukan dengan menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan metode eliminasi Gaussian:

Dimana kolom ke-j dari matriks identitas , adalah vektor yang diinginkan.

Vektor solusi yang dihasilkan - bentuk, tentu saja, kolom-kolom matriks, karena .

Rumus untuk determinan

1. Jika matriksnya nonsingular, maka dan (produk dari elemen-elemen utama).

Karena untuk menemukan matriks invers penting apakah determinan matriks sama dengan nol atau tidak, kami memperkenalkan definisi berikut.

Definisi 14.9 Sebut saja matriks persegi merosot atau matriks khusus, jika tidak merosot atau matriks nonsingular, jika .

Penawaran 14.21 Jika matriks invers ada, maka matriks tersebut unik.

Bukti. Membiarkan dua matriks dan menjadi invers dari matriks . Kemudian

Karena itu, .

Aturan Cramer.

Biarkan persamaan matriks AX=B

Di mana ; adalah determinan yang diperoleh dari determinan D penggantian saya-kolom ke-th dengan kolom anggota bebas matriks B:

Bukti Teorema dibagi menjadi tiga bagian:

1. Solusi sistem (1) ada dan unik.

2. Persamaan (2) adalah konsekuensi dari persamaan matriks (1).

3. Persamaan (2) memerlukan persamaan matriks (1).

Karena , terdapat juga matriks invers yang unik .
Mengalikan kedua bagian dari persamaan matriks (1) di sebelah kiri dengan , kita memperoleh solusi dari persamaan ini:

keunikan matriks terbalik membuktikan bagian pertama dari teorema.

Mari kita beralih ke buktinya korespondensi satu-satu antara rumus (1) dan (2).

Dengan menggunakan rumus (4), kita memperoleh ekspresi untuk saya elemen -th. Untuk ini, Anda perlu mengalikan saya-baris matriks

per kolom B.

Mengingat bahwa saya-baris ke-th dari matriks terkait terdiri dari penambahan aljabar , kita mendapatkan hasil sebagai berikut:

Derivasi rumus Cramer selesai. Mari kita tunjukkan bahwa ekspresi

Mari kita ubah urutan penjumlahan di sisi kanan ekspresi yang dihasilkan:

di mana adalah simbol delta Kronecker.

Mengingat bahwa simbol delta menghilangkan penjumlahan dari salah satu indeks, kami mendapatkan hasil yang diperlukan:

Bilangan kompleks: Idenya adalah untuk mendefinisikan objek baru dengan bantuan objek yang sudah dikenal. Bilangan real terletak pada garis lurus. Saat melewati pesawat, kami mendapatkan bilangan kompleks. Definisi: Bilangan kompleks adalah pasangan bilangan real z = (a,b). Bilangan a = Re z disebut bagian real, dan b = Im z bagian imajiner dari bilangan kompleks z .

Operasi bilangan kompleks: Bilangan kompleks z1 z2 adalah Z1 = z2 Re z1 = Re z2 & Im z1 = Im z2. Tambahan: Z=z1+z2. Rez=Rez1+Rez2 & Imz1+ Imz2. Angka (0,0) dilambangkan dengan 0. Ini adalah elemen netral. Terbukti bahwa penambahan bilangan kompleks memiliki sifat yang mirip dengan penambahan bilangan real. (1. Z1+ z2 = z2 + z1 – komutatif; 2. Z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 – asosiatif; 3. Z1 + 0 = z1 - keberadaan nol (elemen netral); 4. z + (−z) = 0 - keberadaan elemen yang berlawanan). Perkalian: z= z1 z2⇔Re z=Re z1 Re z2-Im z1 Im z2 & Im z1=Im z1 Re z2+Im z2 Re z1. Suatu bilangan kompleks z terletak pada sumbu real jika Imz = 0 . Hasil operasi pada bilangan tersebut bertepatan dengan hasil operasi pada bilangan real biasa. Perkalian bilangan kompleks memiliki sifat-sifat tertutup, komutatif, dan asosiatif. Bilangan (1,0) dilambangkan dengan 1. Merupakan unsur netral dengan perkalian Jika a∈ R, z C , maka Re(az) = aRe z, Im(az) = a Imz . Definisi Bilangan (0,1) dilambangkan dengan saya dan disebut satuan imajiner. Dalam notasi ini, kita memperoleh representasi bilangan kompleks dalam bentuk aljabar: z = a + ib, a,b∈ R. saya = -1.(a,b)=(a,0)+(0,b) ;(a,0)+b(0,1)=a+ib=z; (a1+ib)(a2+ib2)=a1a2+i(a1b2+1-a2b1)-b1b2; (a+ib)(1+0i)=a+ib; z(a,b), z(0+i0)=0; z!=0; a 2 + b 2 > 0 (a + ib) (a-ib / a 2 + b 2) = 1. Bilangan tersebut disebut mengkonjugasikan ke z jika Re =Re z ; Aku =- saya z.

= + ; = ; z =(a+ib)(a-ib)=a 2 +b 2 Modulus bilangan z adalah bilangan real| z |= . Rumus adil| z| 2 = z Dari definisi tersebut diperoleh bahwa z 0⇔| z|≠ 0. z -1 = /|z| 2 (1)

Bentuk trigonometri bilangan kompleks: a=rcos(t); b=r sin(t). Z=a+ib=r(cos(t)+isin(t))(2) t-argumen bilangan kompleks. Z1=z2 =>|z1|=|z2|

arg(z1)-arg(z2)=2pk.

Z1=r1(cos(t1)+isin(t1), Z2=r2(cos(t2)+isin(t2)), Z3=z1 z2=T1T2(cos(t1+t2)+isin(t1+t2)( satu)

Arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2) (2)

Z!=0 z -1 = /|z| 2 =1/r(cos(-t)+i(sin(-t)) Z=r(cos(t)+istn(t))

R(cos(t)-isin(t))

Definisi: Akar derajat n dari satu adalah solusi dari persamaan z n =1 Usulan. Ada n akar kesatuan ke-n yang berbeda. Ditulis sebagai z = cos(2 k / n) + isin(2 k / n), k = 0,..., n 1 . Dalil. Dalam himpunan bilangan kompleks, persamaan selalu memiliki n solusi Z=r(cos(t)+isin(t)); z n =r n (cos(nt)+isin(nt))=1(cos(0)+isin(0))=>z n =1 .Z-bilangan bulat. K milik Z. k=2=E 2 =E n-1 E n ; E n = 1; E n+p =E p . Dengan demikian, terbukti bahwa solusi persamaan tersebut adalah simpul-simpul dari n-gon beraturan, dan salah satu simpulnya berimpit dengan 1.

akar ke-n dari z 0. Z k \u003d Z 0; Z0 =0=>Z=0; Z 0 !=0;Z=r(cos(t)-isin(t)); Z 0 \u003d r 0 (cos (t0) + isin (t0)); r0!=0; Z n \u003d r n (cos (nt) + isin (nt))

r n \u003d r 0, nt-t 0 \u003d 2pk; r=; t=(2пk+t0)/n; z= (cos((2pk+t0)/n)+isin((2pk+t0)/n)= (cos t0/n+isin t0/n)(cos(2pk/n)+isin(2pk/n) )=Z 1 E k ;z=z 1 E k ;Z 1 n =z 0, k=0, n=1

Matriks. Definisi: Matriks m × n adalah tabel persegi panjang yang berisi m baris dan n kolom, yang elemennya adalah bilangan real atau kompleks. Elemen matriks memiliki indeks ganda.

Jika m = n, maka matriks tersebut merupakan matriks bujur sangkar berorde m, dan elemen-elemen dengan indeks yang sama membentuk diagonal utama matriks tersebut.

Operasi Matriks: Definisi: Dua buah matriks A,B disebut

sama jika ukurannya sama dan A = B,1≤ i m,1≤ j n

Tambahan. Matriks dengan ukuran yang sama dipertimbangkan. Definisi:C = A + B C = A + B, i, j Menawarkan. Penjumlahan matriks bersifat komutatif, asosiatif, ada unsur netral dan untuk setiap matriks ada unsur lawannya.

Elemen netral adalah matriks nol, yang semua elemennya sama dengan 0. Dilambangkan dengan .

Perkalian. Sebuah m × n matriks A dilambangkan dengan Amn . Definisi: C mk =A mn B nk ó

C = Perhatikan bahwa, secara umum, perkalian tidak komutatif. Ketertutupan berlaku untuk matriks persegi dengan ukuran tetap. Biarkan tiga matriks Amn , Bnk , Ckr diberikan. Maka (AB)C = A(BC). Jika produk dari 3 matriks ada, maka itu adalah asosiatif.

Simbol Kronecker ij . Ini adalah 1 jika indeks cocok, dan 0 sebaliknya. Definisi. Matriks identitas I n adalah matriks bujur sangkar berorde n yang persamaannya n I n [ i | j] = ij Menawarkan. Persamaan I m A mn =A mn I n =A mn

Penjumlahan dan perkalian matriks dihubungkan oleh hukum distributivitas. A(B+C)=AB+AC; (A+B)C=AC+BC;(A(B+C)= = = +

Transposisi matriks. Matriks yang ditransposisikan adalah matriks yang diperoleh dari matriks aslinya dengan mengganti baris dengan kolom.

(A+B) T = A T + B T

(AB) T \u003d B T A T; (AB) T \u003d (AB) \u003d \u003d (B T A T)

Mengalikan matriks dengan angka. Hasil kali bilangan a dan matriks A mn disebut matriks baru B=aA

1*A=A;a(A+B)=aA+aB;(a+b)A=aA+bA;

A(BC)=(aB)C=B(aC); (ab)A=a(bA)=b(aA)

ruang linier(L) di atas medan F disebut himpunan vektor L=(α,β..)

1.α+β=β+α(komutatifitas) 2.α+(β+γ)= (α+β)+γ, (ab)α=a(bα)(asosiasi) 3.α+θ=α, 1=α(adanya netral) 4.α+(-α)=θ (berlawanan)

a(α+β)=aα+aβ, (a+b)α=aα+bα. Dokumentasi (|(a+b)α|=|a+b||α|, |aα|=|a||α|,|bα|=|b||α|, a dan b>0, |a +b|=a+b,|a|=a,|b|=b.) aα+(-a)α=θ, (a+0)α=aα

Contoh ruang linier adalah himpunan matriks berukuran tetap dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan suatu bilangan.

Sistem vektor linier disebut bergantung linier, jika 1.a 1 ,a 2 ..a n ≠0 2. a 1 1 ,a 2 2 ..a n n =θ Jika sistem tidak bergantung linier, maka sistem tidak bergantung linier. Pertimbangkan 1. n=1 1 bergantung. a 1 0, a 1 1 =θ, a 1 -1 (a 1 1)= a 1 -1∙ =θ, (a 1 -1 a 1)α 1 =1∙α 1 =α 1 ; 2. n=2 1 ,α 2 bergantung. a 1 0, a 1 1 + a 2 2 =θ, 1 = -a 1 -1 a 2 2 = b 2 2; 3.n≥2 1 ..α n tergantung. a 1 ≠0, 1 =Σ k =2 n b k α k , 1α 1 - k =2 n b k α k =θ, (1,b 2 ..b n)≠0

Menawarkan: Suatu sistem vektor yang memuat lebih dari 1 vektor bergantung linier, maka beberapa vektor dari sistem tersebut merupakan kombinasi linier dari vektor lainnya.

Jika suatu sistem vektor mengandung subsistem yang bergantung linier, maka seluruh sistem tersebut bergantung linier. Dokumentasi: (α 1 ..α n depend. Sistem: 1 ..α n ;α n +1 ..α m , a 1 1 +..+a n α n +0α n +1 +.. +0α m =θ, a 1 ..a n ,0..0≠0.) Jika sistem mengandung vektor nol, maka sistem tersebut bergantung linier. Teorema ruang linier: (Biarkan 2 sistem vektor 1 ..α m , 1 ..β n diberikan. Sistem vektor dinyatakan dalam jika setiap vektor adalah kombinasi linier α i = k =1 n a ik k , (α ) ( (β), (β) ( (γ)→ (α) ( (γ)) Dalil: Diberikan 2 sistem vektor, bebas dan, (α) ( (β)→m≤n Mari kita buktikan bahwa 1 ..α m +1 1 ..β m (α) ( (β)→(α ) tergantung (Mari kita buktikan dengan induksi. m=1: 1 =a 11 1 , 2 =a 21 1 . a 11 =0→ 1 =θ. a 11 2 – a 21 1 = a 11 a 21 1 - a 21 a 11 1 =θ. 1 = a 11 1 +.. a 1 n -1 n -1 .. n = a n 1 1 + .. a nn -1 n - 1 Jika semua koefisien =0 a 11 =a 12 =..=a 1 n -1 =0→ 1 =θ→ seluruh sistem bergantung linier a 1 n -1 0 2 = 2 – 2 1 =b 21 1 +..+b 2 n -2 β n -2 , c 2 =a 2 n -1 / a 1 n -1 , 3 ′= 3 –с 3 1 . n ′= α n –с n α 1. Dengan pra-induksi, terdapat himpunan bilangan bukan nol d 2 ..d n: d 2 2 +d 3 3 +.. d n α n =θ , d 2 ( 2 –с 2 1)+d 3 (α 3 –с 3 1)+.. d n (α n –с n α 1)=θ , (α) ( (β) , m>n →(α )tergantung jika (α) independen →m≤n)

MLNP-max.line.independent.subsystem. Biarkan sistem vektor 1 ..α n dari beberapa subsistem diberikan. i 1 ..α in disebut MLIS jika 1. 1 ..α n bebas2. i 1 ..α ir , ij tergantung. Setiap vektor sistem adalah kombinasi linier dari vektor MLLM. ( i 1 ..α ir , α ij dependen a i 1 i 1 +.. a ir ir +a ij ij =θ

a i 1 ..a ir , a ij ≠0 if a ij =0 → a i 1 i 1 +.. a ir ir =θ a i 1 ..a ir =0 kontradiksi a ij 0 ij = a ij - 1 (-a i 1 i 1 -.. a ir ir) (α 1 ..α n) ( (α i 1 ..α ir)

Konsekuensi: Setiap 2 MLIS dari satu sistem vektor mengandung jumlah vektor yang sama (α i 1 ..α ir) ( (α j 1 ..α jk) , (α j 1 ..α jk) ( (α i 1 . .α ir ) k≤r, r≤k →r=k Banyaknya vektor MLLM disebut pangkat sistem asli. Dalam kasus ruang linier (sistem vektor terdiri dari semua vektor dalam ruang), MLLM mb adalah terbatas atau tak terbatas. Kami mempertimbangkan kasus terakhir. Jumlah vektor (peringkat) adalah dimensi ruang linier. basis MLNP. Ruang segmen terarah. Dua vektor non-kolinier membentuk basis dalam ruang vektor pada bidang. 3 = 1 + 2 =a 1 1 + a 2 2 . 3 vektor bergantung linier 3 =a 1 1 + a 2 2 . Complanarity - 3 vektor sejajar dengan bidang yang sama 4 = 4 + α 5 , α 4 =a 1 1 + a 2 2 , 5 ′= a 3 3 , 4 = a 1 1 + a 2 2 + a 3 3 . Ruang string dengan panjang n. α= Menawarkan: Ruang dawai dengan panjang n berdimensi n. ( 1 =<1…0>2 =<0,1…0>.. n =<0…1>,a 1 1 + a 2 2 +.. a n ξ n =θ=<0,..0> → a 1 =a 2 =..a n =0 (kemerdekaan linier) = = b 1 1 + b 2 2 +.. b n n →ruang dawai dengan panjang n berdimensi dan n.

Peringkat matriks.

Dua sistem vektor dan disebut ekivalen jika masing-masing vektor

( (dinyatakan) dan ( .

Menawarkan. Jajaran sistem yang setara bertepatan.

i 1 , i 2 ,…, ir – MLLM , i 1 , i 2 ,…, ik – MLLM , i 1 , i 2 ,…, ir< β < β i 1 , β i 2 ,…, β ik → r<=k

Tukar tempat dan → r>=k >>> Oleh karena itu, r=k.

Definisi. Misalkan matriks A =

saya =

Peringkat matriks A adalah pangkat dari sistem vektor 1, 2,…, m, terdiri dari matriks ini >>rank(A)-rank

Dari definisi tersebut, terlihat jelas bahwa ketika kolom disusun kembali, peringkatnya tidak berubah. Mari kita tunjukkan bahwa ketika kolom disusun ulang, peringkatnya juga tidak berubah.

A'=

'i=

Ketergantungan linier:

b 1 1 + b 2 2 +…+ b m α m =θ, b 1 a 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0, b 1 ' 1 + b 2 ' 2 +…+ b m ' m , b 1 a 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0

Ini sama dengan jumlah produk dari elemen beberapa baris atau kolom dan pelengkap aljabarnya, mis. , di mana i 0 adalah tetap.
Ekspresi (*) disebut dekomposisi determinan D dalam suku-suku elemen baris dengan bilangan i 0 .

tugas layanan. Layanan ini dirancang untuk menemukan determinan matriks secara online dengan eksekusi seluruh solusi dalam format Word. Selain itu, templat solusi dibuat di Excel.

Petunjuk. Pilih dimensi matriks, klik Next.

Dimensi matriks 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ada dua cara untuk menghitung determinan: a-prioritas dan dekomposisi menurut baris atau kolom. Jika Anda ingin mencari determinan dengan membuat angka nol di salah satu baris atau kolom, maka Anda bisa menggunakan kalkulator ini.

Algoritma untuk mencari determinan

1. Untuk matriks orde n=2, determinannya dihitung dengan rumus: =a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Untuk matriks orde n=3, determinannya dihitung melalui penjumlahan aljabar atau Metode Sarrus.
3. Sebuah matriks dengan dimensi lebih besar dari tiga didekomposisi menjadi penambahan aljabar, yang determinannya (minor) dihitung. Sebagai contoh, determinan matriks orde 4 ditemukan melalui ekspansi dalam baris atau kolom (lihat contoh).

Untuk menghitung determinan yang mengandung fungsi dalam matriks, digunakan metode standar. Misalnya, hitung determinan matriks orde ke-3:

Mari kita gunakan ekspansi baris pertama.
= sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Metode untuk menghitung determinan

Menemukan determinan melalui penambahan aljabar adalah metode yang umum. Versi sederhananya adalah perhitungan determinan dengan aturan Sarrus. Namun, dengan dimensi matriks yang besar, metode berikut digunakan:

1. perhitungan determinan dengan pengurangan pesanan
2. perhitungan determinan dengan metode Gaussian (dengan mereduksi matriks menjadi bentuk segitiga).

Di Excel, untuk menghitung determinan, digunakan fungsi = MOPRED (rentang sel).

Penggunaan determinan yang diterapkan

Determinan dihitung, sebagai aturan, untuk sistem tertentu, diberikan dalam bentuk matriks persegi. Pertimbangkan beberapa jenis tugas di mencari determinan matriks. Kadang-kadang diperlukan untuk menemukan parameter yang tidak diketahui a yang determinannya sama dengan nol. Untuk melakukan ini, perlu untuk membuat persamaan untuk determinan (misalnya, menurut aturan segitiga) dan, menyamakannya dengan 0 , hitung parameter a .
dekomposisi menurut kolom (menurut kolom pertama):
Kecil untuk (1,1): Hapus baris pertama dan kolom pertama dari matriks.
Mari kita cari determinan untuk minor ini. 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6.

Mari kita tentukan minor untuk (2.1): untuk melakukan ini, kita menghapus baris kedua dan kolom pertama dari matriks.

Mari kita cari determinan untuk minor ini. 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4 . Kecil untuk (3,1): Hapus baris ke-3 dan kolom ke-1 dari matriks.
Mari kita cari determinan untuk minor ini. 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Determinan utamanya adalah: = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Mari kita cari determinannya menggunakan ekspansi menurut baris (menurut baris pertama):
Kecil untuk (1,1): Hapus baris pertama dan kolom pertama dari matriks.

Mari kita cari determinan untuk minor ini. 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6. Kecil untuk (1,2): Hapus baris ke-1 dan ke-2 dari matriks. Mari kita hitung determinan untuk minor ini. 1,2 \u003d (3 (-2) -1 1) \u003d -7. Dan untuk menemukan minor untuk (1,3) kami menghapus baris pertama dan kolom ketiga dari matriks. Mari kita cari determinan untuk minor ini. 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Kami menemukan penentu utama: \u003d (1 (-6) -0 (-7) + (-2 4)) \u003d -14

Sistem persamaan linier m dengan n tidak diketahui disebut sistem bentuk

di mana aij dan b saya (saya=1,…,m; b=1,…,n) adalah beberapa bilangan yang diketahui, dan x 1 ,…,x n- tidak dikenal. Dalam notasi koefisien aij indeks pertama saya menunjukkan jumlah persamaan, dan yang kedua j adalah jumlah yang tidak diketahui di mana koefisien ini berdiri.

Koefisien untuk yang tidak diketahui akan ditulis dalam bentuk matriks , yang akan kita sebut matriks sistem.

Angka-angka di sisi kanan persamaan b 1 ,…,b m ditelepon anggota gratis.

Agregat n angka c 1 ,…,c n ditelepon keputusan dari sistem ini, jika setiap persamaan sistem menjadi persamaan setelah memasukkan angka ke dalamnya c 1 ,…,c n alih-alih yang tidak diketahui yang sesuai x 1 ,…,x n.

Tugas kita adalah menemukan solusi untuk sistem. Dalam hal ini, tiga situasi mungkin muncul:

Sistem persamaan linear yang memiliki paling sedikit satu penyelesaian disebut persendian. Jika tidak, yaitu jika sistem tidak memiliki solusi, maka itu disebut tidak cocok.

Pertimbangkan cara untuk menemukan solusi untuk sistem.

METODE MATRIKS UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

Matriks memungkinkan untuk secara singkat menuliskan sistem persamaan linier. Biarkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui diberikan:

Perhatikan matriks sistem dan kolom matriks dari anggota yang tidak dikenal dan anggota bebas

Ayo temukan produknya

itu. sebagai hasil dari produk, kami memperoleh sisi kiri dari persamaan sistem ini. Kemudian, dengan menggunakan definisi persamaan matriks, sistem ini dapat ditulis sebagai

atau lebih pendek A∙X=B.

Di sini matriks A dan B diketahui, dan matriks X tidak dikenal. Dia perlu ditemukan, karena. elemen-elemennya adalah solusi dari sistem ini. Persamaan ini disebut persamaan matriks.

Biarkan determinan matriks berbeda dari nol | A| 0. Kemudian persamaan matriks diselesaikan sebagai berikut. Kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kiri dengan matriks A-1, invers matriks A: . Sejauh A -1 A = E dan E∙X=X, maka kita peroleh solusi persamaan matriks dalam bentuk X = A -1 B .

Perhatikan bahwa karena matriks invers hanya dapat ditemukan untuk matriks persegi, metode matriks hanya dapat menyelesaikan sistem di mana jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui. Namun, notasi matriks sistem juga dimungkinkan dalam kasus ketika jumlah persamaan tidak sama dengan jumlah yang tidak diketahui, maka matriks A tidak persegi dan oleh karena itu tidak mungkin untuk menemukan solusi untuk sistem dalam bentuk X = A -1 B.

Contoh. Memecahkan sistem persamaan.

ATURAN CRAMER

Pertimbangkan sistem 3 persamaan linier dengan tiga tidak diketahui:

Determinan orde ketiga yang sesuai dengan matriks sistem, yaitu. terdiri dari koefisien yang tidak diketahui,

ditelepon penentu sistem.

Kami menyusun tiga determinan lagi sebagai berikut: kami mengganti berturut-turut kolom 1, 2 dan 3 di determinan D dengan kolom istilah bebas

Kemudian kita dapat membuktikan hasil berikut.

Teorema (aturan Cramer). Jika determinan sistem adalah 0, maka sistem yang ditinjau memiliki satu dan hanya satu solusi, dan

Bukti. Jadi, pertimbangkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui. Kalikan persamaan pertama sistem dengan komplemen aljabar A 11 elemen 11, persamaan ke-2 - pada A21 dan ke-3 - pada 31:

Mari kita tambahkan persamaan ini:

Perhatikan masing-masing tanda kurung dan ruas kanan persamaan ini. Dengan teorema tentang perluasan determinan dalam hal elemen-elemen kolom ke-1

Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa dan .

Akhirnya, mudah untuk melihatnya

Dengan demikian, kita mendapatkan persamaan: .

Karena itu, .

Persamaan dan diturunkan dengan cara yang sama, dari mana penegasan teorema berikut.

Jadi, kita perhatikan bahwa jika determinan sistem adalah 0, maka sistem tersebut memiliki solusi unik dan sebaliknya. Jika determinan sistem sama dengan nol, maka sistem tersebut memiliki himpunan solusi tak hingga atau tidak memiliki solusi, mis. tidak kompatibel.

Contoh. Memecahkan sistem persamaan

METODE GAUSS

Metode yang dipertimbangkan sebelumnya hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem di mana jumlah persamaan bertepatan dengan jumlah yang tidak diketahui, dan determinan sistem harus berbeda dari nol. Metode Gaussian lebih universal dan cocok untuk sistem dengan sejumlah persamaan. Ini terdiri dari penghapusan berturut-turut yang tidak diketahui dari persamaan sistem.

Pertimbangkan lagi sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui:

.

Kami membiarkan persamaan pertama tidak berubah, dan dari persamaan ke-2 dan ke-3 kami mengecualikan suku-suku yang mengandung x 1. Untuk melakukan ini, kita membagi persamaan kedua dengan sebuah 21 dan kalikan dengan - sebuah 11 lalu dijumlahkan dengan persamaan pertama. Demikian pula, kami membagi persamaan ketiga menjadi sebuah 31 dan kalikan dengan - sebuah 11 dan kemudian tambahkan ke yang pertama. Akibatnya, sistem asli akan berbentuk:

Sekarang, dari persamaan terakhir, kami menghilangkan istilah yang mengandung x2. Untuk melakukannya, bagi persamaan ketiga dengan , kalikan dengan dan tambahkan ke persamaan kedua. Maka kita akan memiliki sistem persamaan:

Oleh karena itu dari persamaan terakhir mudah untuk menemukan x 3, maka dari persamaan ke-2 x2 dan akhirnya dari tanggal 1 - x 1.

Saat menggunakan metode Gaussian, persamaan dapat dipertukarkan jika perlu.

Seringkali, alih-alih menulis sistem persamaan baru, mereka membatasi diri untuk menulis matriks yang diperluas dari sistem:

dan kemudian membawanya ke bentuk segitiga atau diagonal menggunakan transformasi dasar.

Ke transformasi dasar matriks termasuk transformasi berikut:

1. permutasi baris atau kolom;
2. mengalikan string dengan angka bukan nol;
3. menambahkan ke satu baris baris lainnya.

Contoh: Memecahkan sistem persamaan menggunakan metode Gauss.

Dengan demikian, sistem memiliki jumlah solusi yang tak terbatas.

2.Jika A│=0, maka matriks A mengalami degenerasi dan matriks invers A -1 tidak ada.

Jika determinan matriks A tidak sama dengan nol, maka matriks invers ada.

3. Temukan A T ditransposisikan ke A.

4. Temukan komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks yang ditransposisikan dan buat matriks adjoint dari mereka. 5. Kita menghitung matriks invers dengan rumus: 6. Periksa kebenaran perhitungan matriks invers, berdasarkan definisinya A -1 A = A A -1 = E.

· №28

· Dalam matriks m x n, dengan menghapus setiap baris dan kolom, seseorang dapat memilih submatriks persegi dari orde ke-k, di mana k≤min(m; n). Determinan dari submatriks tersebut disebut minor orde ke-k dari matriks A.

· Rank suatu matriks A adalah orde tertinggi dari minor bukan nol dari matriks ini.

· Rank suatu matriks A dilambangkan dengan rang A atau r(A).

· Dari definisi berikut:

· 1) pangkat suatu matriks berukuran m x n tidak melebihi ukuran terkecilnya, yaitu r(A) mnt (m; n).

· 2) r(A)=0 jika dan hanya jika semua elemen matriks sama dengan nol, mis. A=0.

· 3) Untuk matriks bujur sangkar orde ke-n, r(A) = n jika dan hanya jika matriks A nonsingular.

· Dalam kasus umum, menentukan peringkat matriks dengan enumerasi semua minor cukup melelahkan. Untuk memfasilitasi tugas ini, transformasi dasar digunakan yang mempertahankan peringkat matriks:

· 1) Penolakan baris nol (kolom).

· 2) Perkalian semua elemen baris (kolom) matriks dengan bilangan bukan nol.

· 3) Mengubah urutan baris (kolom) matriks.

· 4) Menambahkan ke setiap elemen dari satu baris (kolom) elemen yang sesuai dari baris lain (kolom), dikalikan dengan angka apa pun.

· 5) Transposisi matriks.

· Dalil. Rank suatu matriks tidak akan berubah pada transformasi elementer dari matriks tersebut.

№31

— Biarkan jumlah persamaan dalam sistem (1) sama dengan jumlah variabel, mis. m=n. Maka matriks sistem tersebut persegi, dan determinannya =│А│ disebut determinan sistem.

— Misalkan tidak sama dengan nol, maka terdapat matriks invers A -1 .

— Mengalikan kedua bagian persamaan matriks di sebelah kiri dengan matriks invers A -1 kita peroleh:

— A -1 (AX) \u003d A -1 B.

Solusi sistem persamaan dengan metode matriks terbalik adalah matriks kolom:

X \u003d A -1 B.

(A -1 A)X \u003d EX \u003d X

— teorema Cramer. Misalkan adalah determinan matriks sistem A, dan j adalah determinan matriks yang diperoleh dari matriks dengan mengganti kolom ke-j dengan kolom suku bebas. Kemudian jika tidak sama dengan nol, maka sistem memiliki solusi unik yang ditentukan oleh rumus Cramer:

dimana j=1..n.

№33

—
Metode Gauss - metode penghapusan variabel berturut-turut - terdiri dari fakta bahwa, dengan bantuan transformasi dasar, sistem persamaan direduksi menjadi sistem yang setara dengan bentuk bertahap atau segitiga.

— Pertimbangkan matriks:

— matriks ini disebut matriks diperluas sistem (1), karena selain matriks sistem A, juga termasuk kolom suku bebas.

№26

— Vektor berdimensi-N adalah himpunan terurut dari n bilangan real yang ditulis sebagai X=(x 1,x 2,...x n) , di mana x i adalah komponen ke-i dari vektor X.

— Dua vektor n-dimensi adalah sama jika dan hanya jika masing-masing komponennya sama, mis. X=Y jika x i =y i , i=1…n.

Himpunan vektor dengan komponen nyata, di mana operasi penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan bilangan yang memenuhi sifat-sifat di atas, didefinisikan, disebut ruang vektor.

— Sebuah ruang vektor R disebut n-dimensi jika ada n vektor bebas linier di dalamnya, dan setiap n + 1 vektor sudah bergantung. Bilangan n disebut dimensi ruang vektor R dan dilambangkan redup(R).

№29

Operator linier

— Definisi. Jika sebuah hukum (aturan) diberikan, yang menurutnya setiap vektor x dari ruang dikaitkan dengan satu vektor y dari ruang

kemudian mereka mengatakan: bahwa operator (transformasi, pemetaan) A(x) diberikan, bertindak dari ke dan

tulis y=A(x).

— Suatu operator disebut linier jika untuk sembarang vektor x dan y dari ruang

dan sembarang bilangan , hubungan berikut berlaku:

№37

— Misalkan adalah suatu himpunan yang terdiri dari sejumlah elemen berhingga a 1 , a 2 , a 3 …a n . Grup dapat dibentuk dari berbagai elemen himpunan A. Jika setiap golongan memiliki jumlah unsur yang sama m (m dari n), maka mereka dikatakan membentuk senyawa dari n unsur dengan masing-masing m. Ada tiga jenis koneksi: penempatan, kombinasi, dan permutasi.

— koneksi, yang masing-masing mencakup semua n elemen dari himpunan A dan yang, oleh karena itu, berbeda satu sama lain hanya dalam urutan elemen disebut permutasi dari n elemen. Jumlah permutasi tersebut dilambangkan dengan simbol n .

№35

Definisi klasik probabilitas didasarkan pada konsep ekiprobababilitas peristiwa.

Kesetaraan peristiwa berarti bahwa tidak ada alasan untuk memilih salah satu dari mereka daripada yang lain.

Mari kita pertimbangkan sebuah tes, sebagai akibat dari peristiwa A yang dapat terjadi. Setiap hasil, di mana peristiwa A terjadi, disebut peristiwa yang menguntungkan A.

Probabilitas kejadian A (dilambangkan dengan P(A)) adalah rasio jumlah hasil yang menguntungkan untuk kejadian A (dilambangkan dengan k) dengan jumlah semua hasil tes - N yaitu. P(A)=k/N.

— Sifat-sifat berikut mengikuti definisi klasik dari probabilitas:

— Probabilitas suatu kejadian terletak antara nol dan satu.

— Peluang suatu kejadian tertentu sama dengan satu.

— Peluang suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol

№39, 40

— Teorema penjumlahan. Jika A dan B tidak konsisten, maka P(A + B) = P(A) + P(B)