Pertimbangkan urutan percobaan independen $n$, di mana setiap peristiwa $A$ dapat terjadi dengan probabilitas $p$, atau tidak terjadi — dengan probabilitas $q=1-p$. Dilambangkan dengan P n (k) probabilitas kejadian $A$ terjadi tepat $k$ kali dari $n$ yang mungkin.

Dalam hal ini, nilai P n(k ) dapat ditemukan menggunakan teorema Bernoulli (lihat pelajaran "Skema Bernoulli. Contoh pemecahan masalah"):

Teorema ini bekerja dengan baik, tetapi memiliki kekurangan. Jika $n$ cukup besar, carilah nilainya P n (k) menjadi tidak realistis karena banyaknya komputasi. Dalam hal ini berfungsi Teorema lokal de Moivre-Laplace, yang memungkinkan Anda menemukan nilai perkiraan probabilitas:

Teorema de Moivre-Laplace lokal. Jika pada skema Bernoulli bilangan $n$ besar dan bilangan $p$ berbeda dari 0 dan 1, maka:

Fungsi ( x) disebut fungsi Gaussian. Nilainya telah lama dihitung dan dimasukkan dalam tabel yang dapat digunakan bahkan dalam ujian dan ujian.

Fungsi Gaussian memiliki dua properti yang perlu diingat saat bekerja dengan tabel nilai:

1. φ (− x) = φ ( x) - Fungsi Gaussian - genap;
2. Untuk nilai besar x kami memiliki: ( x) ≈ 0.

Teorema de Moivre-Laplace lokal memberikan perkiraan yang sangat baik dari rumus Bernoulli jika jumlah percobaan n cukup besar. Tentu saja, kata-kata "jumlah percobaan cukup besar" sangat arbitrer, dan sumber yang berbeda memberikan angka yang berbeda. Sebagai contoh:

1. Persyaratan umum adalah: n p q> 10. Mungkin ini batas minimalnya;
2. Yang lain menyarankan bahwa rumus ini hanya berfungsi untuk $n > 100$ dan n p q > 20.

Menurut saya, cukup melihat kondisi masalahnya saja. Jika Anda dapat melihat bahwa teorema Bernoulli standar tidak berfungsi karena banyaknya perhitungan (misalnya, tidak ada yang akan menghitung angka 58! atau 45!), jangan ragu untuk menggunakan Teorema Moivre-Laplace Lokal.

Selain itu, semakin dekat nilai probabilitas $q$ dan $p$ dengan 0,5, semakin akurat rumusnya. Dan, sebaliknya, untuk nilai garis batas (ketika $p$ mendekati 0 atau 1), teorema Moivre-Laplace Lokal memberikan kesalahan besar, berbeda secara signifikan dari teorema Bernoulli yang sebenarnya.

Namun, hati-hati! Banyak tutor dalam matematika yang lebih tinggi sendiri membuat kesalahan dalam perhitungan tersebut. Faktanya adalah bahwa bilangan yang cukup kompleks yang mengandung akar kuadrat aritmatika dan pecahan disubstitusikan ke dalam fungsi Gaussian. Angka ini harus ditemukan bahkan sebelum substitusi ke dalam fungsi. Mari kita pertimbangkan semuanya pada tugas-tugas tertentu:

Tugas. Peluang memiliki anak laki-laki adalah 0,512. Tentukan peluang bahwa di antara 100 bayi yang baru lahir akan ada tepat 51 anak laki-laki.

Jadi, total tes menurut skema Bernoulli n= 100. Selain itu, p = 0,512, q= 1 p = 0,488.

Sejauh n= 100 adalah bilangan yang cukup besar, kita akan bekerja sesuai dengan teorema Lokal de Moivre-Laplace. perhatikan itu n p q= 100 0,512 0,488 25 > 20. Kita memiliki:

Karena kita membulatkan nilainya n p q ke bilangan bulat, jawabannya juga bisa dibulatkan: 0,07972 0,08. Tidak masuk akal untuk memperhitungkan angka-angka lainnya.

Tugas. Pertukaran telepon melayani 200 pelanggan. Untuk setiap pelanggan, probabilitas dia akan menelepon stasiun dalam satu jam adalah 0,02. Temukan probabilitas bahwa tepat 5 pelanggan akan menelepon dalam satu jam.

Menurut skema Bernoulli, n= 200, p = 0,02, q= 1 - p = 0,98. perhatikan itu n= 200 bukan bilangan lemah, jadi kami menggunakan teorema Lokal De Moivre-Laplace. Pertama, mari kita temukan n p q\u003d 200 0,02 0,98 4. Tentu saja, 4 terlalu kecil, sehingga hasilnya tidak akurat. Namun, kami memiliki:

Mari kita bulatkan jawaban ke tempat desimal kedua: 0,17605 0,18. Masih tidak masuk akal untuk memperhitungkan lebih banyak karakter, karena kami membulatkan n p q= 3,92 4 (sampai kuadrat eksak).

Tugas. Toko itu menerima 1.000 botol vodka. Peluang sebuah botol pecah dalam perjalanan adalah 0,003. Tentukan peluang toko tersebut menerima tepat dua botol pecah.

Menurut skema Bernoulli, kita memiliki: n= 1000, p = 0,003, q= 0,997. Dari sini n p q= 2,991 1,73 2 (pilih kuadrat tepat terdekat). Sejak nomor n= 1000 cukup besar, kita substitusikan semua bilangan ke dalam rumus teorema Lokal Moivre-Laplace:

Kami sengaja meninggalkan hanya satu tempat desimal (pada kenyataannya, itu akan menjadi 0,1949 ...), karena kami awalnya menggunakan perkiraan yang agak kasar. Khususnya: 2.991 1.73 2 . Triple dalam pembilang di dalam fungsi Gaussian muncul dari ekspresi n p = 1000 0,003 = 3.

Jika peluang suatu kejadian terjadi dalam setiap pengujian adalah konstan dan memenuhi pertidaksamaan ganda
, dan jumlah percobaan bebas cukup besar, maka peluangnya
dapat dihitung dengan menggunakan rumus perkiraan berikut:

(14) ,

di mana batas-batas integral ditentukan oleh persamaan

Rumus (14) semakin akurat, semakin banyak jumlah pengujian dalam eksperimen ini.

Berdasarkan persamaan (13), rumus (14) dapat ditulis ulang sebagai

(15)
.

(16)
(NFL)

Kami mencatat sifat paling sederhana dari fungsi
:

Properti terakhir terkait dengan properti fungsi Gaussian
.

Fungsi
aneh. Memang, setelah perubahan variabel

=


;

Untuk memeriksa properti kedua, cukup membuat gambar. Secara analitik, ini terkait dengan apa yang disebut integral Poisson tak wajar.

Ini mengikuti langsung dari ini bahwa untuk semua nomor
dapat diasumsikan bahwa
oleh karena itu, semua nilai fungsi ini terletak di segmen [-0,5; 0,5], sedangkan yang terkecil adalah
maka fungsinya perlahan tumbuh dan menghilang, mis.
dan kemudian meningkat menjadi
Oleh karena itu, pada seluruh garis nyata adalah fungsi yang meningkat secara ketat, yaitu. jika
kemudian

Perlu dicatat bahwa kesimpulan dari properti 2 untuk fungsi
dibenarkan berdasarkan integral Poisson tak wajar.

Komentar. Saat memecahkan masalah yang memerlukan penerapan teorema integral Moivre-Laplace, tabel khusus digunakan. Tabel memberikan nilai untuk argumen positif dan untuk
; untuk nilai
Anda harus menggunakan tabel yang sama, dengan mempertimbangkan kesetaraan

Selanjutnya, untuk menggunakan tabel fungsi
, kita ubah persamaan (15), sebagai berikut:

Dan berdasarkan properti 2 (ganjil
), dengan mempertimbangkan paritas integran, kita peroleh

=
.

Jadi, peluang suatu kejadian akan muncul di tes independen setidaknya sekali dan tidak lebih kali, dihitung dengan rumus:

(17)

;

Contoh 12. Probabilitas mengenai target dengan satu tembakan adalah 0,75. Temukan probabilitas bahwa dengan 300 tembakan, target akan terkena setidaknya 150 dan paling banyak 250 kali.

Keputusan: Di Sini
,
,
,
,
. Menghitung

,
,

,
.

Substitusikan ke dalam rumus integral Laplace, kita peroleh

Dalam prakteknya, selain persamaan (16), sering digunakan rumus lain yang disebut “ integral probabilitas» atau fungsi Laplace (lihat lebih detail di Bab 2., Bagian 9., T.9.).

(I.V. atau F.L.)

Untuk fungsi ini, persamaannya benar:

Oleh karena itu, ini terkait dengan fungsi yang ditabulasi
dan oleh karena itu ada juga tabel nilai perkiraan (lihat lampiran di akhir buku).

Contoh 13 Probabilitas bahwa bagian tersebut tidak lulus pemeriksaan Departemen Kontrol Kualitas adalah 0,2. Temukan probabilitas bahwa di antara 400 bagian yang dipilih secara acak dari bagian yang tidak diverifikasi akan ada 70 hingga 100 bagian.

Keputusan. Sesuai tugas
,
,
.
,
. Mari kita gunakan teorema integral Moivre-Laplace:

,

Mari kita hitung batas bawah dan batas atas integrasi:

Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan nilai tabel fungsi
;

kita mendapatkan probabilitas yang diinginkan

.

Sekarang kita memiliki kesempatan, sebagai aplikasi dari teorema limit yang dipertimbangkan, untuk membuktikan teorema yang terkenal « hukum bilangan besar dalam bentuk Bernoulli »

Hukum Bilangan Besar (LLN dalam bentuk Bernoulli)

Hukum bilangan besar pertama yang paling sederhana secara historis adalah teorema

I. Bernoulli. Teorema Bernoulli mengungkapkan bentuk paling sederhana dari manifestasi hukum bilangan besar. Ini memperkuat kemungkinan teoretis dari perhitungan perkiraan probabilitas suatu peristiwa menggunakan frekuensi relatifnya, yaitu. memperkuat sifat stabilitas dari frekuensi relatif.

Biarkan itu diadakan percobaan independen, di mana masing-masing probabilitas suatu peristiwa terjadi adalah sama dengan
dan frekuensi relatif di setiap seri tes adalah

Pertimbangkan masalahnya:dalam kondisi pengujian sesuai dengan skema Bernoulli dan dengan jumlah pengujian independen yang cukup besartentukan peluang penyimpangan frekuensi relatif
dari probabilitas konstan terjadinya suatu peristiwa dalam nilai absolut tidak melebihi angka yang diberikan
Dengan kata lain, cari peluangnya:

dengan jumlah tes independen yang cukup besar.

Teorema (ZBCh J. Bernoulli 1713)Di bawah kondisi di atas, untuk setiap tidak peduli seberapa kecil
, kita memiliki persamaan limit

(19)
.

Bukti. Mari kita buktikan pernyataan penting ini berdasarkan teorema integral Moivre – Laplace. Menurut definisi, frekuensi relatifnya adalah

TETAPI
peluang terjadinya suatu kejadian dalam satu tes. Mari kita buat persamaan berikut untuk sembarang
dan cukup besar :

(20)

.

Memang sesuai dengan kondisi
Sangat mudah untuk melihat bahwa ada ketimpangan ganda. Menunjukkan

(21)
.

Kemudian, kita akan memiliki ketidaksetaraan

Oleh karena itu, untuk probabilitas yang diinginkan . Sekarang, untuk kasus
kami menggunakan persamaan

;

dan mempertimbangkan keanehan
kita mendapatkan

== 2
.

Kesetaraan (20) diperoleh.

Ini mengikuti langsung dari rumus (20) bahwa pada
(dengan mempertimbangkan
dimana), kita memperoleh persamaan limit (20).

Contoh 14
. Temukan probabilitas bahwa di antara 400 bagian yang dipilih secara acak, frekuensi relatif kemunculan bagian yang tidak standar menyimpang dari
dalam nilai absolut tidak lebih dari 0,03.

Keputusan. Menurut kondisi masalah, diperlukan untuk menemukan

Dengan rumus (3) kita memiliki

=2
.

Dengan mempertimbangkan nilai tabular dari fungsi
kita mendapatkan

.

Arti dari hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut: jika kita mengambil jumlah sampel yang cukup besar

rincian, maka di setiap sampel ada sekitar penyimpangan "frekuensi" relatif oleh

95,44% dan nilai
sampel ini dari probabilitas
, modulo tidak melebihi 0,03.

Pertimbangkan contoh lain di mana Anda ingin menemukan nomor
.

Contoh 15 Probabilitas bahwa suatu bagian tidak standar adalah
. Berapa banyak bagian yang harus dipilih sehingga dengan probabilitas 0,9999 dapat dikatakan bahwa frekuensi relatif bagian tidak standar (di antara yang dipilih) menyimpang dari modulo tidak lebih dari 0,03. Temukan kuantitas ini

Keputusan. Di sini, sesuai dengan kondisi
.

Diperlukan untuk mendefinisikan
. Dengan rumus (13) kita memiliki

.

Sejauh,

Menurut tabel, kami menemukan bahwa nilai ini sesuai dengan argumen
. Dari sini,
. Arti dari hasil ini adalah bahwa frekuensi relatif akan disimpulkan

antara angka. Dengan demikian, jumlah bagian non-standar dalam 99,99% sampel akan berada di antara 101,72 (7% dari angka 1444) dan 187,72 (13% dari angka 1444).

Jika kita hanya mengambil satu sampel dari 1444 bagian, maka dengan keyakinan besar kita dapat mengharapkan bahwa jumlah bagian non-standar tidak kurang dari 101 dan tidak lebih dari 188, sementara pada saat yang sama kecil kemungkinannya akan ada lebih sedikit. dari 101 atau lebih dari 188.

Perlu dicatat bahwa teorema Bernoulli juga menyatakan: dengan peningkatan tak terbatas dalam jumlah percobaan, frekuensi kejadian acak konvergen dalam probabilitas dengan probabilitas sebenarnya dari peristiwa yang sama, yaitu perkiraan dari bawah valid

(22)
;
,

asalkan peluang suatu kejadian dari tes ke tes tetap tidak berubah dan sama
di mana
.

Ketimpangan (22) adalah konsekuensi langsung dari pertidaksamaan Chebyshev yang terkenal (lihat di bawah topik "Teorema batas teori probabilitas" "Teorema Chebyshev"). Kami akan kembali ke ZBC ini nanti. Lebih mudah untuk memperoleh perkiraan probabilitas dari bawah dan perkiraan dua sisi untuk jumlah kejadian yang diperlukan dari suatu peristiwa, sehingga probabilitas dari modulus perbedaan antara frekuensi relatif dan probabilitas sebenarnya memenuhi kendala yang diberikan dari acara yang sedang dipertimbangkan.

Contoh 16 Sebuah koin dilempar 1000 kali. Perkirakan dari bawah probabilitas penyimpangan frekuensi kemunculan "lambang" dari probabilitas kemunculannya kurang dari 0,1.

Keputusan. Dengan syarat di sini

Berdasarkan pertidaksamaan (4), diperoleh

Oleh karena itu, pertidaksamaan
setara dengan pertidaksamaan ganda

Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa probabilitas jumlah pukulan "lambang" dalam interval (400; 600) lebih besar dari

Contoh 17. Sebuah guci berisi 1000 bola putih dan 2000 bola hitam. Diekstraksi (dengan pengembalian) 300 bola. Perkirakan dari bawah probabilitas bahwa jumlah bola yang terambil m(dan mereka harus putih) memenuhi ketidaksamaan ganda 80< m <120.

Keputusan. Pertidaksamaan ganda untuk besaran m tulis ulang dalam bentuk:

Oleh karena itu, diperlukan pendugaan peluang terpenuhinya pertidaksamaan

Karena itu,

.

Teorema integral Laplace

Dalil. Jika peluang p terjadinya kejadian A pada setiap percobaan konstan dan berbeda dari nol dan satu, maka peluang banyaknya m kejadian A dalam n percobaan bebas adalah antara a dan b (inklusif), dengan a jumlah percobaan yang cukup besar n, kira-kira sama dengan

Rumus integral Laplace, serta rumus lokal Moivre-Laplace, semakin akurat, semakin banyak n dan semakin mendekati 0,5 nilainya p dan q. Perhitungan dengan rumus ini memberikan kesalahan yang tidak signifikan ketika kondisi terpenuhi npq 20, meskipun kondisinya npq > 10.

Fungsi F( x) ditabulasi (lihat Lampiran 2). Untuk menggunakan tabel ini, Anda perlu mengetahui sifat-sifat fungsi ( x):

1. Fungsi ( x) ganjil, yaitu F(- x) = – F( x).

2. Fungsi ( x) meningkat secara monoton, dan sebagai x → +∞ ( x) → 0,5 (dalam praktiknya, kita dapat mengasumsikan bahwa sudah di x 5 F( x) ≈ 0,5).

Contoh 3.4. Dengan menggunakan kondisi Contoh 3.3, hitung probabilitas bahwa dari 300 hingga 360 (termasuk) siswa akan berhasil lulus ujian pada percobaan pertama.

Keputusan. Kami menerapkan teorema integral Laplace ( npq 20). Kami menghitung:

= –2,5; = 5,0;

P 400 (300 ≤ m 360) = F(5.0) – F(–2.5).

Dengan memperhatikan sifat-sifat fungsi ( x) dan menggunakan tabel nilainya, kami menemukan: (5.0) = 0,5; F(–2.5) = – F(2.5) = – 0.4938.

Kita mendapatkan P 400 (300 ≤ m ≤ 360) = 0,5 – (– 0,4938) = 0,9938. ◄

Mari kita tuliskan konsekuensi dari teorema integral Laplace.

Konsekuensi 1. Jika peluang p terjadinya kejadian A dalam setiap percobaan adalah konstan dan berbeda dari nol dan satu, maka untuk sejumlah n percobaan bebas yang cukup besar, peluang munculnya kejadian A dalam jumlah m berbeda dari hasil kali np tidak lebih dari > 0

.

(3.8)

Contoh 3.5. Dengan menggunakan kondisi Contoh 3.3, tentukan peluang bahwa dari 280 hingga 360 siswa akan berhasil lulus ujian teori peluang pada percobaan pertama.

Keputusan. Hitung Probabilitas R 400 (280 ≤ m 360) dapat serupa dengan contoh sebelumnya menggunakan rumus integral Laplace utama. Tetapi lebih mudah untuk melakukan ini jika Anda memperhatikan bahwa batas-batas interval 280 dan 360 adalah simetris terhadap nilai np=320. Kemudian, berdasarkan Corollary 1, kita peroleh

= = ≈

≈ = 2Ф(5.0) 2 0,5 1,

itu. hampir pasti antara 280 dan 360 siswa akan lulus ujian pada percobaan pertama.

Konsekuensi 2. Jika peluang p terjadinya peristiwa A dalam setiap percobaan konstan dan berbeda dari nol dan satu, maka untuk sejumlah n percobaan bebas yang cukup besar, peluang frekuensi m/n kejadian A terletak dalam rentang dari ke (inklusif) sama dengan

,

(3.9)

di mana

, .

(3.10)

Contoh 3.6. Menurut statistik, rata-rata 87% bayi baru lahir hidup sampai usia 50 tahun. Tentukan peluang bahwa dari 1000 bayi baru lahir proporsi (frekuensi) dari mereka yang bertahan hidup sampai 50 tahun akan berada dalam kisaran 0,9 sampai 0,95.

Keputusan. Peluang seorang bayi yang baru lahir akan hidup sampai usia 50 tahun adalah R= 0,87. Sebagai n= 1000 besar (yaitu kondisi npq= 1000 0,87 0,13 = 113,1 20 terpenuhi), maka kita menggunakan Corollary 2 dari teorema integral Laplace. Kami menemukan:

2,82, = 7,52.

= 0,5 – 0,4976 = 0,0024. ◄

Konsekuensi 3. Jika probabilitas p terjadinya peristiwa A dalam setiap percobaan adalah konstan dan berbeda dari nol dan satu, maka untuk sejumlah n percobaan independen yang cukup besar, probabilitas bahwa frekuensi m/n kejadian A berbeda dari probabilitasnya p sebesar tidak lebih dariΔ > 0 (dalam nilai absolut) sama dengan

.

(3.11)

Contoh 3.7. Di bawah kondisi masalah sebelumnya, temukan probabilitas bahwa dari 1000 bayi baru lahir, proporsi (frekuensi) mereka yang bertahan hidup hingga 50 tahun akan berbeda dari probabilitas kejadian ini tidak lebih dari 0,04 (dalam nilai absolut).

Keputusan. Menggunakan akibat wajar 3 dari teorema integral Laplace, kita menemukan:

= 2F(3,76) = 2 0,4999 = 0,9998.

Karena ketidaksetaraan sama dengan ketidaksetaraan , hasilnya berarti hampir pasti bahwa dari 83 hingga 91% bayi yang baru lahir dari 1000 akan hidup hingga 50 tahun. ◄

Kami sebelumnya telah menetapkan bahwa untuk percobaan independen probabilitas suatu angka m kejadian acara TETAPI di n tes ditemukan dengan rumus Bernoulli. Jika n besar, maka digunakan rumus Laplace asimtotik. Namun, rumus ini tidak cocok jika probabilitas kejadiannya kecil ( R 0,1). Pada kasus ini ( n Bagus, R kecil) terapkan teorema Poisson

Rumus Poisson

Dalil. Jika peluang p terjadinya kejadian A pada setiap percobaan cenderung nol (p → 0) dengan peningkatan tak terbatas dalam jumlah n percobaan (n → ), dan hasil kali np cenderung ke bilangan konstan (np → ), maka probabilitas P n (m) bahwa kejadian A akan muncul m kali dalam n percobaan independen memenuhi persamaan batas

Probabilitas bahwa dalam n percobaan independen, di mana masing-masing probabilitas terjadinya suatu peristiwa sama dengan p (0< p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
Tabel nilai fungsi (x); untuk nilai x negatif, digunakan tabel yang sama (fungsi (x) genap: (-x) = (x)).

Acaranya bisa datang sekali. Peluang terjadinya peristiwa tersebut adalah . Tentukan peluang kejadian:
akan datang sekali;
lebih sedikit sekali;
paling sedikit sekali;
lagi sekali;
tidak lagi sekali;
paling sedikit Dan tidak lagi sekali;
datang setidaknya sekali.
Keluaran untuk melaporkan:
Kemungkinan besar nomor;
Probabilitas frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa menyimpang dari probabilitasnya dalam nilai absolut tidak lebih dari .

Contoh 1. Di masing-masing dari 700 percobaan independen, peristiwa A terjadi dengan probabilitas konstan 0,35. Tentukan peluang terjadinya peristiwa A: a) tepat 270 kali; b) kurang dari 270 dan lebih dari 230 kali; c) lebih dari 270 kali.
Keputusan. Karena jumlah percobaan n = 700 cukup besar, kami menggunakan rumus Laplace.
a) Diketahui: n = 700, p = 0,35, k = 270.
Temukan P 700 (270). Kami menggunakan teorema Laplace lokal.
Kami menemukan:

Kami menemukan nilai fungsi (x) dari tabel:

b) Diketahui: n = 700, p = 0,35, a = 230, b = 270.
Temukan P 700 (230< k < 270).
Kami menggunakan teorema integral Laplace (23), (24). Kami menemukan:

Kami menemukan nilai fungsi (x) dari tabel:

c) Diketahui: n = 700, p = 0,35, a = 270, b = 700.
Cari P 700 (k > 270).
Kita punya:

Contoh #2. Dalam proses kondisi tunak di pabrik tenun, ada 10 putus benang per 100 spindel per jam. Tentukan: a) probabilitas bahwa 7 ulir putus akan terjadi pada 80 spindel dalam satu jam; b) jumlah putus benang yang paling mungkin pada 80 spindel per jam.
Keputusan. Probabilitas statistik putusnya utas dalam satu jam adalah p = 10/100 = 0,1 dan, oleh karena itu, q = 1 - 0,1 = 0,9; n = 80; k = 7.
Karena n besar, teorema Laplace lokal (23) digunakan. Kami menghitung:

Mari kita gunakan properti (-x) = (x), cari (0,37) 0,3726, lalu hitung probabilitas yang diperlukan:

Jadi, probabilitas bahwa 7 ulir putus akan terjadi pada 80 spindel dalam satu jam adalah kira-kira 0,139.
Angka yang paling mungkin k 0 dari terjadinya suatu peristiwa selama tes berulang ditentukan oleh rumus (14). Menemukan: 7.1< k 0 < 8,1. Поскольку k 0 может быть только целым числом, то k 0 = 8.

Contoh #3. Probabilitas bahwa sebagian dari kelas pertama adalah 0,4. Dibuat 150 bagian. Temukan probabilitas bahwa di antara mereka ada 68 bagian dari kelas pertama.

Contoh #4. Probabilitas suatu kejadian yang terjadi pada setiap percobaan bebas adalah p.
Tentukan peluang terjadinya suatu kejadian sebanyak n kali jika dilakukan m percobaan.
Berikan jawabanmu pada tiga angka penting terdekat.
p=0,75, n=87, m=120

Teorema integral Moivre-Laplace . Jika peluang p terjadinya peristiwa A dalam setiap percobaan konstan dan berbeda dari 0 dan 1, maka peluang banyaknya m terjadinya peristiwa A dalam n percobaan bebas terletak dalam batas-batas dari a sampai b (inklusif) , dengan jumlah n yang cukup besar, kira-kira sama dengan

Di mana
- fungsi (atau integral dari probabilitas) dari Laplace;

,
.

Rumus tersebut disebut rumus integral Moivre-Laplace. Semakin besar n, semakin akurat rumus ini. Di bawah kondisi npq 20, rumus integral
, serta lokal, biasanya memberikan kesalahan dalam menghitung probabilitas yang memuaskan untuk praktik.

Fungsi (х) ditabulasikan (lihat tabel). Untuk menggunakan tabel ini, Anda perlu tahu sifat fungsi :

Fungsi (х) ganjil, mis. F(-x) = -F(x).

Fungsi (х) meningkat secara monoton, apalagi, sebagai x → +∞ (х) → 1 (dalam praktiknya, kita dapat mengasumsikan bahwa untuk x > 4 (х) 1).

Contoh . Di beberapa daerah, dari setiap 100 keluarga, 80 memiliki lemari es. Hitung peluang bahwa dari 300 hingga 360 keluarga (termasuk) dari 400 keluarga memiliki lemari es.

Keputusan. Kami menerapkan teorema integral Moivre-Laplace (npq = 64 20). Mari kita definisikan dulu:

,

.

Sekarang menurut rumus
, dengan mempertimbangkan sifat-sifat (х), kita peroleh

(sesuai tabel F(2.50) = 0.9876, F(5.0) 1)

1. Konsekuensi dari teorema integral Moivre-Laplace (dengan derivasi). Contoh.

Pertimbangkan konsekuensi dari teorema integral Moivre-Laplace.

Konsekuensi. Jika peluang p terjadinya kejadian A dalam setiap percobaan konstan dan berbeda dari 0 dan 1, maka dengan sejumlah n percobaan bebas yang cukup besar, peluang bahwa:

a) banyaknya m kejadian A berbeda dari hasil kali np tidak lebih dari >
;

b) frekuensi kejadian A terletak dalam rentang dari hingga (inklusif), mis.
, Di mana
,
.

c) frekuensi peristiwa A berbeda dari probabilitasnya p tidak lebih dari > 0 (dalam nilai absolut), mis.
.

1) Ketimpangan
setara dengan pertidaksamaan ganda pr - E ~ m ~ pr + E. Oleh karena itu, dengan rumus integral
:

.

2) Ketimpangan
setara dengan pertidaksamaan a m ≤ b untuk a = nα dan b = nβ. Mengganti dalam rumus
dan
,
nilai a dan b dengan ekspresi yang diperoleh, kami memperoleh rumus yang akan dibuktikan
dan
,
.

3) Ketimpangan
setara dengan pertidaksamaan
. Mengganti dalam rumus

, kita peroleh rumus yang akan dibuktikan
.

Contoh . Menurut statistik, rata-rata 87% bayi baru lahir hidup sampai usia 50 tahun. Tentukan peluang bahwa dari 1000 bayi baru lahir, proporsi (frekuensi) dari mereka yang bertahan hidup sampai usia 50 tahun akan: a) berkisar antara 0,9 sampai 0,95; b) akan berbeda dari probabilitas kejadian ini tidak lebih dari 0,04 (dalam nilai absolut)?

Keputusan. a) Peluang p bahwa seorang bayi baru lahir akan hidup sampai usia 50 tahun adalah 0,87. Karena n = 1000 besar (kondisi npq = 1000 0,87 0,13 = 113,1 20 terpenuhi), maka kita menggunakan akibat wajar dari teorema integral Moivre-Laplace. Mari kita definisikan dulu:

,
. Sekarang menurut rumus
:

B) Menurut rumus
:

Karena ketidaksetaraan
setara dengan pertidaksamaan
, hasil yang diperoleh berarti hampir dapat dipastikan bahwa dari 0,83 hingga 0,91 jumlah bayi baru lahir dari 1000 akan hidup hingga 50 tahun.

Konsep "variabel acak" dan deskripsinya. Diskrit variabel acak dan hukum distribusinya (seri). Mandiri variabel acak. Contoh.

Di bawah variabel acak dipahami sebagai variabel yang, dalam hasil pengujian tersebut, tergantung pada kasusnya, mengambil salah satu dari himpunan nilainya yang mungkin (yang mana tidak diketahui sebelumnya).

Contoh variabel acak : 1) jumlah anak yang lahir pada siang hari di Moskow; 2) jumlah produk cacat dalam batch tertentu; 3) jumlah tembakan sebelum pukulan pertama; 4) jangkauan terbang proyektil artileri; 5) konsumsi listrik untuk pr-tion per bulan.

Variabel acak disebut diskrit (terputus-putus) , jika himpunan nilainya terbatas, atau tak terbatas, tetapi dapat dihitung.

Di bawah variabel acak kontinu kita akan memahami suatu besaran yang himpunan nilainya tak terhingga tak terhingga adalah interval tertentu (terhingga atau tak terhingga) dari sumbu numerik.

Jadi, dalam contoh 1-3 di atas kita memiliki variabel acak diskrit (dalam contoh 1 dan 2 - dengan himpunan nilai yang berhingga; dalam contoh 3 - dengan himpunan nilai yang tak hingga, tetapi dapat dihitung); dan dalam contoh 4 dan 5 - variabel acak kontinu.

Untuk variabel acak diskrit sekelompok nilai yang mungkin dari variabel acak, mis. fungsi
, hingga atau terhitung, untuk kontinu- tak terbatas dan tak terhitung.

Variabel acak dilambangkan dengan huruf kapital dari alfabet Latin X, Y, Z, ..., dan nilainya - dengan huruf kecil yang sesuai x, y, z, ....

Variabel acak dikatakan "didistribusikan" menurut hukum distribusi yang diberikan atau "dibawah" oleh hukum distribusi ini.

Untuk variabel acak diskrit hukum distribusi m.b. diberikan dalam bentuk tabel, analitis (dalam bentuk rumus) dan grafis.

Bentuk paling sederhana untuk menentukan hukum distribusi variabel acak diskrit X adalah tabel (matriks), yang mencantumkan dalam urutan menaik semua nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitas yang sesuai, mis.

Atau
.

Tabel seperti ini disebut dekat distribusi variabel acak diskrit .

Kejadian X=x 1 , X=x 2 ,…,X=x n , terdiri dari fakta bahwa, sebagai hasil dari pengujian, variabel acak X akan mengambil nilai x 1 , x 2 , ... , x n, masing-masing, tidak konsisten dan satu-satunya yang mungkin (karena dalam tabel mencantumkan semua nilai yang mungkin dari variabel acak), mis. membentuk kelompok yang lengkap. Oleh karena itu, jumlah peluangnya sama dengan 1. Jadi, untuk sembarang variabel acak diskrit
.

Seri distribusi dapat berupa digambarkan secara grafis, jika nilai variabel acak diplot di sepanjang sumbu absis, dan probabilitas yang sesuai di sepanjang sumbu ordinat. Hubungan titik-titik yang diperoleh membentuk garis putus-putus, yang disebut poligon atau poligon dari distribusi probabilitas .

Dua variabel acak disebut mandiri , jika hukum distribusi salah satunya tidak berubah tergantung pada nilai apa yang mungkin diambil oleh nilai lainnya. Jadi, jika variabel acak diskrit X dapat mengambil nilai x i (i = 1, 2, ..., n), dan variabel acak Y dapat mengambil nilai y j (j = 1, 2, ..., m), maka nilai independensi variabel acak diskrit X dan Y berarti independensi kejadian X = x i dan Y = y untuk sembarang i = 1, 2, ... , n dan j = 1 , 2, ..., m. Jika tidak, variabel acak disebut bergantung .

Misalnya , jika ada tiket untuk dua lotere moneter yang berbeda, maka variabel acak X dan Y, masing-masing, yang menyatakan kemenangan untuk setiap tiket (dalam satuan moneter), akan menjadi mandiri, karena untuk setiap kemenangan pada tiket satu lotere (misalnya, ketika X = x i), hukum distribusi kemenangan pada tiket lain (Y) tidak akan berubah.

Jika variabel acak X dan Y menyatakan kemenangan pada tiket lotere uang yang sama, maka dalam hal ini X dan Y adalah dependen, karena setiap kemenangan pada satu tiket (X = x i) menyebabkan perubahan probabilitas kemenangan pada tiket lainnya (Y), yaitu e. untuk perubahan dalam hukum distribusi W.

Operasi matematika pada variabel acak diskrit topeng dan contoh konstruksi hukum distribusi untuk KH, X" 1 , X + K, XV sesuai dengan distribusi kasus independen yang diberikan nilai-nilai X dan U.

Mari kita definisikan operasi matematika atas variabel acak diskrit.

Biarkan dua variabel acak diberikan:

Produk kX dari variabel acak X dengan nilai konstanta k adalah variabel acak yang mengambil nilai kx i dengan probabilitas yang sama p i (i = 1,2,...,n).

m kekuatan variabel acak X, yaitu
, disebut variabel acak yang mengambil nilai dengan probabilitas yang sama p i (i = 1,2,...,n).

Jumlah (selisih atau hasil kali) variabel acak X dan Y disebut variabel acak yang mengambil semua nilai yang mungkin berbentuk i+уj (хj-уj atau j yj), di mana i = l,2,...,n; j = 1,2,...,m, dengan probabilitas pij bahwa variabel acak X mengambil nilai xi dan y nilai yj:

Jika variabel acak X dan Y independen, mis. setiap kejadian X=хi, Y=yj saling bebas, maka dengan teorema perkalian peluang untuk kejadian bebas

3 catatan . Definisi operasi di atas pada variabel acak diskrit perlu diklarifikasi: karena dalam sejumlah kasus nilainya sama ,
,
dapat diperoleh dengan cara yang berbeda untuk xi yang berbeda, yj dengan probabilitas pi, pij, kemudian probabilitas nilai berulang tersebut ditemukan dengan menambahkan probabilitas yang diperoleh pi atau pij.

Jenis operasi	Nilai ekspresi S/V	Nilai exv
		Jangan berubah
		Jangan berubah