Siswa kelas 10 Yury Kotovchikhin

Siswa mulai mempelajari persamaan dengan modul sejak kelas 6, mereka mempelajari metode penyelesaian standar menggunakan perluasan modul pada interval keteguhan ekspresi submodular. Saya memilih topik khusus ini karena saya pikir itu membutuhkan studi yang lebih dalam dan menyeluruh, tugas dengan modul menyebabkan kesulitan besar bagi siswa. Dalam kurikulum sekolah, ada tugas-tugas yang mengandung modul sebagai tugas-tugas yang semakin kompleks dan dalam ujian, oleh karena itu, kita harus siap menghadapi tugas seperti itu.

Unduh:

Pratinjau:

Institusi pendidikan kota

Sekolah menengah 5

Karya penelitian dengan topik:

« Solusi aljabar dan grafis dari persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung modulus»

Saya telah melakukan pekerjaan:

siswa kelas 10

Kotovchikhin Yuri

Pengawas:

Guru matematika

Shanta N.P.

Uryupinsk

1.Pendahuluan………………………………………………………….3

2. Konsep dan Definisi………………………………………….5

3.Bukti teorema……………………………………………..6

4. Metode untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung modul…………….7

12

4.2 Menggunakan interpretasi geometri modul untuk menyelesaikan persamaan………………………………………………………..14

4.3 Grafik fungsi paling sederhana yang mengandung tanda nilai mutlak.

………………………………………………………………………15

4.4 Solusi persamaan non-standar yang berisi modul .... 16

5.Kesimpulan……………………………………………………….17

6. Daftar literatur yang digunakan………………………………………………………………………………………………………18

Tujuan pekerjaan: siswa mulai mempelajari persamaan dengan modul sejak kelas 6, mereka mempelajari metode penyelesaian standar dengan membuka modul pada interval tanda konstan dari ekspresi submodular. Saya memilih topik khusus ini karena saya pikir itu membutuhkan studi yang lebih dalam dan menyeluruh, tugas dengan modul menyebabkan kesulitan besar bagi siswa. Dalam kurikulum sekolah, ada tugas-tugas yang mengandung modul sebagai tugas-tugas yang semakin kompleks dan dalam ujian, oleh karena itu, kita harus siap menghadapi tugas seperti itu.

1. Perkenalan:

Kata "modul" berasal dari kata Latin "modulus", yang berarti "ukuran". Ini adalah kata multi-nilai (homonym) yang memiliki banyak arti dan digunakan tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam arsitektur, fisika, teknik, pemrograman dan ilmu pasti lainnya.

Dalam arsitektur, ini adalah unit pengukuran awal yang ditetapkan untuk struktur arsitektur tertentu dan digunakan untuk menyatakan rasio berganda dari elemen-elemen penyusunnya.

Dalam rekayasa, ini adalah istilah yang digunakan di berbagai bidang teknologi yang tidak memiliki arti universal dan berfungsi untuk menunjukkan berbagai koefisien dan besaran, misalnya, modulus ikatan, modulus elastisitas, dll.

Modulus curah (dalam fisika) adalah rasio tegangan normal dalam material terhadap perpanjangan.

2. Konsep dan definisi

Modul - nilai absolut - dari bilangan real A dilambangkan dengan |A|.

Untuk mempelajari topik ini secara mendalam, Anda perlu berkenalan dengan definisi paling sederhana yang saya perlukan:

Persamaan adalah persamaan yang mengandung variabel.

Persamaan dengan modulus adalah persamaan yang memuat variabel di bawah tanda nilai mutlak (di bawah tanda modulus).

Memecahkan persamaan berarti menemukan semua akarnya, atau membuktikan bahwa tidak ada akar.

3.Bukti teorema

Teorema 1. Nilai mutlak suatu bilangan real sama dengan bilangan terbesar dari dua bilangan a atau -a.

Bukti

1. Jika bilangan a positif, maka -a negatif, yaitu -a

Misalnya, angka 5 positif, lalu -5 negatif dan -5

Dalam hal ini |a| = a, yaitu |a| cocok dengan yang lebih besar dari dua angka a dan - a.

2. Jika a negatif, maka -a positif dan a

Konsekuensi. Ini mengikuti dari teorema bahwa |-a| = |a|.

Memang, keduanya dan sama dengan yang lebih besar dari angka -a dan a, dan karena itu sama satu sama lain.

Teorema 2. Nilai absolut dari sembarang bilangan real a sama dengan akar kuadrat aritmatika dari A 2 .

Memang, jika kemudian, menurut definisi modulus suatu bilangan, kita akan memiliki lAl>0 Di sisi lain, untuk A>0, maka |a| = A 2

Jika sebuah 2

Teorema ini memungkinkan untuk mengganti |a| pada

Secara geometris |a| berarti jarak pada garis koordinat dari titik yang mewakili angka a ke titik asal.

Jika kemudian pada garis koordinat terdapat dua titik a dan -a, yang berjarak sama dari nol, yang modulnya sama.

Jika a = 0, maka pada garis koordinat |a| diwakili oleh titik 0

4. Metode penyelesaian persamaan yang mengandung modul.

Untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung tanda nilai mutlak, kita akan didasarkan pada definisi modulus bilangan dan sifat-sifat nilai mutlak bilangan. Kami akan menyelesaikan beberapa contoh dengan cara yang berbeda dan melihat cara mana yang lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung modulus.

Contoh 1. Kita selesaikan secara analitik dan grafis persamaan |x + 2| = 1.

Keputusan

Solusi analitis

cara pertama

Kami akan bernalar berdasarkan definisi modul. Jika ekspresi di bawah modulus adalah non-negatif, yaitu x + 2 0 , maka akan “meninggalkan” tanda modulus dengan tanda plus dan persamaan akan berbentuk: x + 2 = 1. Jika nilai ekspresi di bawah tanda modulus adalah negatif , maka, menurut definisi, itu akan sama dengan: atau x + 2=-1

Jadi, kita mendapatkan x + 2 = 1, atau x + 2 = -1. Memecahkan persamaan yang dihasilkan, kami menemukan: X + 2 \u003d 1 atau X + 2 + -1

X=-1 X=3

Jawaban: -3; -1.

Sekarang kita dapat menyimpulkan: jika modulus dari beberapa ekspresi sama dengan bilangan positif nyata a, maka ekspresi di bawah modulus adalah a atau -a.

Solusi grafis

Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung modul adalah metode grafis. Inti dari metode ini adalah membangun grafik dari fungsi-fungsi ini. Jika grafik berpotongan, titik potong grafik ini akan menjadi akar persamaan kita. Jika grafik tidak berpotongan, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan tidak memiliki akar. Metode ini mungkin lebih jarang digunakan daripada yang lain untuk menyelesaikan persamaan yang berisi modul, karena, pertama, membutuhkan banyak waktu dan tidak selalu rasional, dan kedua, hasil yang diperoleh ketika membuat grafik tidak selalu akurat.

Cara lain untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung modulus adalah dengan membagi garis bilangan menjadi beberapa interval. Dalam hal ini, kita perlu membagi garis bilangan sehingga, menurut definisi modul, tanda nilai absolut pada interval ini dapat dihilangkan. Kemudian, untuk setiap celah, kita harus menyelesaikan persamaan ini dan menarik kesimpulan mengenai akar yang dihasilkan (apakah memenuhi celah kita atau tidak). Akar yang memenuhi celah akan memberikan jawaban akhir.

cara ke-2

Mari kita tentukan, pada nilai x berapa, modulus sama dengan nol: |X+2|=0 , X=2

Kami mendapatkan dua interval, di mana masing-masing kami memecahkan persamaan:

Kami mendapatkan dua sistem campuran:

(1) X+2 0

X-2=1 X+2=1

Mari kita selesaikan setiap sistem:

X=-3 X=-1

Jawaban: -3; -1.

Solusi grafis

y= |X+2|, y= 1.

Solusi grafis

Untuk menyelesaikan persamaan secara grafis, perlu untuk memplot fungsi dan

Untuk memplot grafik fungsi, kami akan memplot grafik fungsi - ini adalah fungsi yang memotong sumbu OX dan sumbu OY di titik-titik.

Absis titik potong grafik fungsi akan memberikan solusi persamaan.

Grafik langsung dari fungsi y=1 berpotongan dengan grafik fungsi y=|x + 2| di titik-titik dengan koordinat (-3; 1) dan (-1; 1), oleh karena itu, solusi persamaan akan menjadi absis titik-titik:

x=-3, x=-1

Jawaban: -3;-1

Contoh 2. Selesaikan secara analitik dan grafik persamaan 1 + |x| = 0,5.

Keputusan:

Solusi analitis

Mari kita ubah persamaannya: 1 + |x| = 0,5

|x| = 0,5-1

|x|=-0,5

Jelas bahwa dalam kasus ini persamaan tidak memiliki solusi, karena, menurut definisi, modulus selalu non-negatif.

Jawaban: Tidak ada solusi.

Solusi grafis

Mari kita ubah persamaannya: : 1 + |x| = 0,5

|x| = 0,5-1

|x|=-0,5

Grafik fungsinya adalah sinar - garis-bagi dari sudut koordinat 1 dan 2. Grafik fungsi adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu OX dan melalui titik -0,5 pada sumbu OY.

Grafik tidak berpotongan, sehingga persamaan tidak memiliki solusi.

Jawaban: tidak ada solusi.

Contoh 3. Selesaikan secara analitik dan grafik persamaan |-x + 2| = 2x + 1.

Keputusan:

Solusi analitis

cara pertama

Pertama, Anda perlu mengatur rentang nilai yang valid untuk variabel. Sebuah pertanyaan alami muncul mengapa dalam contoh-contoh sebelumnya tidak perlu melakukan ini, tetapi sekarang telah muncul.

Faktanya adalah bahwa dalam contoh ini, di sisi kiri persamaan, modulus dari beberapa ekspresi, dan di sisi kanan bukanlah angka, tetapi ekspresi dengan variabel - keadaan penting inilah yang membedakan contoh ini dari yang sebelumnya.

Karena di sisi kiri ada modul, dan di sisi kanan, ekspresi yang berisi variabel, ekspresi ini harus non-negatif, yaitu rentang valid

nilai modul

Sekarang kita dapat bernalar dengan cara yang sama seperti pada Contoh 1, ketika ada bilangan positif di ruas kanan persamaan. Kami mendapatkan dua sistem campuran:

(1) -X+2≥0 dan (2) -X+2

X+2=2X+1; X-2=2X+1

Mari kita selesaikan setiap sistem:

(1) memasuki interval dan merupakan akar persamaan.

X≤2

X=⅓

(2) X>2

X=-3

X = -3 tidak termasuk dalam interval dan bukan akar persamaan.

Jawaban: .

4.1 Solusi menggunakan dependensi antara angka a dan b, modulnya dan kuadrat dari angka-angka ini.

Selain metode yang saya berikan di atas, ada kesetaraan tertentu antara angka dan modul dari angka yang diberikan, serta antara kotak dan modul dari angka yang diberikan:

|a|=|b| a=b atau a=-b

A2=b2 a=b atau a=-b

Dari ini, pada gilirannya, kita mendapatkan itu

|a|=|b| a2 = b2

Contoh 4. Selesaikan persamaan |x + 1|=|2x - 5| dalam dua cara yang berbeda.

1. Mempertimbangkan hubungan (1), kita mendapatkan:

X + 1=2x - 5 atau x + 1=-2x + 5

x - 2x=-5 - 1 x + 2x=5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

x=6 x=11/3

Akar persamaan pertama adalah x=6, akar persamaan kedua adalah x=11/3

Jadi, akar-akar persamaan awal x 1=6, x2=11/3

2. Berdasarkan relasi (2), kita peroleh

(x + 1)2=(2x - 5)2, atau x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==> persamaan memiliki 2 akar yang berbeda.

x 1 \u003d (11 - 7) / 3 \u003d 11/3

x 2 \u003d (11 + 7) / 3 \u003d 6

Seperti yang ditunjukkan oleh solusinya, akar persamaan ini juga merupakan bilangan 11/3 dan 6

Jawaban: x 1 \u003d 6, x 2 \u003d 11/3

Contoh 5. Selesaikan persamaan (2x + 3) 2 =(x - 1) 2 .

Dengan memperhitungkan relasi (2), kita memperoleh bahwa |2x + 3|=|x - 1|, dari mana menurut model dari contoh sebelumnya (dan menurut relasi (1)):

2x + 3=x - 1 atau 2x + 3=-x + 1

2x - x=-1 - 3 2x+ x=1 - 3

X=-4 x=-0,(6)

Jadi, akar-akar persamaannya adalah x1=-4, dan x2=-0,(6)

Jawaban: x1 \u003d -4, x 2 \u003d 0, (6)

Contoh 6. Selesaikan persamaan |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

Dengan menggunakan rasio, kita mendapatkan:

x - 6 \u003d x2 - 5x + 9 atau x - 6 \u003d - (x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0

D=36 - 4 15=36 - 60= -24 D=16 - 4 3=4 >0==>2 r.c.

==> tidak ada akar.

X 1 \u003d (4- 2) / 2 \u003d 1

X 2 \u003d (4 + 2) / 2 \u003d 3

Periksa: |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5(I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3(DAN)

Jawaban: x 1 = 1; x2=3

4.2 Menggunakan interpretasi geometri dari modulus untuk menyelesaikan persamaan.

Arti geometris dari modulus perbedaan besaran adalah jarak antara keduanya. Misalnya, makna geometris dari ekspresi |x - a | - panjang ruas sumbu koordinat yang menghubungkan titik-titik dengan absis a dan x. Penerjemahan masalah aljabar ke dalam bahasa geometris seringkali memungkinkan untuk menghindari solusi yang rumit.

Contoh7. Selesaikan persamaan |x - 1| + |x - 2|=1 menggunakan interpretasi geometrik dari modulus.

Kami akan berargumentasi sebagai berikut: berdasarkan interpretasi geometrik dari modulus, ruas kiri persamaan adalah jumlah jarak dari beberapa titik absis x ke dua titik tetap dengan absis 1 dan 2. Maka jelas bahwa semua poin dengan absis dari segmen memiliki properti yang diperlukan, dan poin yang terletak di luar segmen ini - tidak. Oleh karena itu jawabannya: himpunan solusi persamaan adalah segmen.

Menjawab:

Contoh8. Selesaikan persamaan |x - 1| - |x - 2|=1 1 menggunakan interpretasi geometri dari modulus.

Kami akan berdebat dengan cara yang sama dengan contoh sebelumnya, dan kami akan menemukan bahwa perbedaan jarak ke titik dengan absis 1 dan 2 sama dengan satu hanya untuk titik yang terletak pada sumbu koordinat di sebelah kanan angka 2. Oleh karena itu, solusi untuk persamaan ini tidak akan menjadi segmen antara titik 1 dan 2, dan sinar keluar dari titik 2 dan diarahkan ke arah positif sumbu OX.

Menjawab: )