Seperti disebutkan sebelumnya, contoh distribusi probabilitas variabel acak kontinu X adalah:
- distribusi probabilitas seragam dari variabel acak kontinu;
- distribusi probabilitas eksponensial dari variabel acak kontinu;
- distribusi normal probabilitas variabel acak kontinu.
Mari kita berikan konsep hukum distribusi seragam dan eksponensial, rumus probabilitas dan karakteristik numerik dari fungsi yang dipertimbangkan.
| Indikator | Hukum distribusi acak | Hukum distribusi eksponensial |
|---|---|---|
| Definisi | Seragam disebut distribusi probabilitas variabel acak kontinu X, yang kerapatannya tetap konstan pada interval dan berbentuk: | Sebuah eksponensial (eksponensial) disebut distribusi probabilitas variabel acak kontinu X, yang digambarkan oleh kerapatan berbentuk |
 di mana adalah nilai positif konstan |
||
| fungsi distribusi |  |
 |
| Kemungkinan memukul interval |  |
 |
| Nilai yang diharapkan |  |
|
| Penyebaran |  |
|
| Standar deviasi |  |
Contoh penyelesaian masalah dengan topik "Hukum distribusi seragam dan eksponensial"
Tugas 1.
Bus berjalan ketat sesuai jadwal. Interval gerakan 7 menit. Temukan: (a) peluang seorang penumpang yang datang ke halte akan menunggu bus berikutnya kurang dari dua menit; b) probabilitas bahwa seorang penumpang yang mendekati halte akan menunggu bus berikutnya setidaknya selama tiga menit; c) ekspektasi matematis dan simpangan baku variabel acak X - waktu tunggu penumpang.
Keputusan. 1. Berdasarkan kondisi masalah, variabel acak kontinu X=(waktu tunggu penumpang) merata antara kedatangan dua bus. Panjang interval distribusi variabel acak X sama dengan b-a=7, dimana a=0, b=7.
2. Waktu tunggu akan kurang dari dua menit jika nilai acak X berada dalam interval (5;7). Probabilitas jatuh ke dalam interval tertentu ditemukan dengan rumus: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.
3. Waktu tunggu paling sedikit tiga menit (yaitu dari tiga sampai tujuh menit) jika nilai acak X jatuh ke dalam interval (0; 4). Probabilitas jatuh ke dalam interval tertentu ditemukan dengan rumus: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.
4. Ekspektasi matematis dari variabel acak X yang kontinu dan terdistribusi secara merata - waktu tunggu penumpang, kita temukan dengan rumus: M(X)=(a+b)/2. M (X) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3.5.
5. Standar deviasi dari variabel acak X yang kontinu dan terdistribusi secara merata - waktu tunggu penumpang, kami temukan dengan rumus: (X)=√D=(b-a)/2√3. (X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2.02.
Tugas 2.
Distribusi eksponensial diberikan untuk x 0 dengan kerapatan f(x) = 5e – 5x. Diperlukan: a) tulis ekspresi untuk fungsi distribusi; b) tentukan peluang bahwa, sebagai hasil pengujian, X jatuh ke dalam interval (1; 4); c) tentukan peluang bahwa sebagai hasil dari uji X 2; d) hitung M(X), D(X), (X).
Keputusan. 1. Karena, dengan syarat, distribusi eksponensial , maka dari rumus rapat distribusi peluang variabel acak X diperoleh = 5. Maka fungsi distribusinya akan terlihat seperti:
2. Probabilitas bahwa hasil uji X jatuh ke dalam interval (1; 4) akan ditemukan dengan rumus:
P(a< X < b) = e −λa − e −λb
.
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .
3. Probabilitas bahwa sebagai hasil dari uji X 2 akan ditemukan rumus: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ =
e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).
4. Kami menemukan distribusi eksponensial:
- ekspektasi matematis menurut rumus M(X) =1/λ = 1/5 = 0,2;
- dispersi menurut rumus D (X) \u003d 1 / 2 \u003d 1/25 \u003d 0,04;
- simpangan baku menurut rumus (X) = 1/λ = 1/5 = 1.2.
Masalah ini telah lama dipelajari secara rinci, dan metode koordinat kutub, yang diusulkan oleh George Box, Mervyn Muller dan George Marsaglia pada tahun 1958, paling banyak digunakan. Metode ini memungkinkan Anda untuk mendapatkan sepasang variabel acak independen terdistribusi normal dengan mean 0 dan varians 1 sebagai berikut:
Di mana Z 0 dan Z 1 adalah nilai yang diinginkan, s \u003d u 2 + v 2, dan u dan v adalah variabel acak yang terdistribusi secara seragam pada segmen (-1, 1), dipilih sedemikian rupa sehingga kondisi 0 terpenuhi< s < 1.
Banyak yang menggunakan formula ini bahkan tanpa berpikir, dan banyak yang bahkan tidak curiga dengan keberadaannya, karena mereka menggunakan implementasi yang sudah jadi. Tetapi ada orang yang memiliki pertanyaan: “Dari mana formula ini berasal? Dan mengapa Anda mendapatkan sepasang nilai sekaligus? Berikut ini, saya akan mencoba memberikan jawaban yang jelas untuk pertanyaan-pertanyaan ini.
Untuk memulainya, izinkan saya mengingatkan Anda tentang kepadatan probabilitas, fungsi distribusi variabel acak, dan fungsi kebalikannya. Misalkan ada beberapa variabel acak, yang distribusinya diberikan oleh fungsi kepadatan f(x), yang memiliki bentuk sebagai berikut:
Artinya peluang nilai peubah acak ini berada pada selang (A,B) sama dengan luas daerah yang diarsir. Dan sebagai akibatnya, luas seluruh daerah yang diarsir harus sama dengan satu, karena bagaimanapun juga nilai variabel acak akan jatuh ke dalam domain fungsi f.
Fungsi distribusi variabel acak merupakan integral dari fungsi kerapatan. Dan dalam hal ini, bentuk perkiraannya adalah sebagai berikut:
Di sini artinya nilai variabel acak akan lebih kecil dari A dengan probabilitas B. Dan sebagai hasilnya, fungsi tidak pernah berkurang, dan nilainya terletak pada interval .
Fungsi invers adalah fungsi yang mengembalikan argumen dari fungsi asli jika Anda memasukkan nilai fungsi asli ke dalamnya. Misalnya, untuk fungsi x 2 kebalikannya adalah fungsi ekstraksi akar, untuk sin (x) adalah arcsin (x), dst.
Karena sebagian besar generator bilangan pseudo-acak hanya memberikan distribusi seragam pada output, seringkali menjadi perlu untuk mengubahnya menjadi yang lain. Dalam hal ini, ke Gaussian normal:
Dasar dari semua metode untuk mengubah distribusi seragam menjadi distribusi lain adalah metode transformasi terbalik. Ia bekerja sebagai berikut. Sebuah fungsi ditemukan yang berkebalikan dengan fungsi dari distribusi yang diperlukan, dan variabel acak yang terdistribusi secara seragam pada segmen (0, 1) diteruskan ke sana sebagai argumen. Pada output, kami memperoleh nilai dengan distribusi yang diperlukan. Agar lebih jelas, berikut gambarnya.
Dengan demikian, segmen seragam, seolah-olah, dioleskan sesuai dengan distribusi baru, diproyeksikan ke sumbu lain melalui fungsi terbalik. Tetapi masalahnya adalah bahwa integral dari densitas distribusi Gaussian tidak mudah untuk dihitung, sehingga para ilmuwan di atas harus menipu.
Ada distribusi chi-kuadrat (distribusi Pearson), yang merupakan distribusi jumlah kuadrat dari k variabel acak normal independen. Dan dalam kasus ketika k = 2, distribusi ini eksponensial.
Ini berarti bahwa jika suatu titik dalam sistem koordinat persegi panjang memiliki koordinat acak X dan Y yang terdistribusi normal, maka setelah mengubah koordinat tersebut ke sistem kutub (r, ), kuadrat jari-jari (jarak dari titik asal ke titik) akan didistribusikan secara eksponensial, karena kuadrat jari-jari adalah jumlah kuadrat dari koordinat (menurut hukum Pythagoras). Kepadatan distribusi titik-titik tersebut pada bidang akan terlihat seperti ini:
Karena sama ke segala arah, sudut akan memiliki distribusi yang seragam dalam kisaran 0 hingga 2π. Kebalikannya juga benar: jika Anda menentukan suatu titik dalam sistem koordinat kutub menggunakan dua variabel acak independen (sudut terdistribusi merata dan jari-jari terdistribusi secara eksponensial), maka koordinat persegi panjang titik ini akan menjadi variabel acak normal independen. Dan distribusi eksponensial dari distribusi seragam sudah jauh lebih mudah diperoleh, dengan menggunakan metode transformasi terbalik yang sama. Ini adalah inti dari metode kutub Box-Muller.
Sekarang mari kita dapatkan rumusnya.
(1)
Untuk memperoleh r dan , perlu dibangkitkan dua variabel acak yang terdistribusi merata pada segmen (0, 1) (sebut saja u dan v), distribusi salah satunya (misalkan v) harus diubah ke eksponensial menjadi mendapatkan radiusnya. Fungsi distribusi eksponensial terlihat seperti ini:
Fungsi kebalikannya:
Karena distribusi seragam adalah simetris, transformasi akan bekerja sama dengan fungsi
Ini mengikuti dari rumus distribusi chi-kuadrat bahwa = 0,5. Kami mengganti , v ke dalam fungsi ini dan mendapatkan kuadrat dari jari-jari, dan kemudian jari-jari itu sendiri:
Kami memperoleh sudut dengan meregangkan segmen unit ke 2π:
Sekarang kita substitusikan r dan ke dalam rumus (1) dan mendapatkan:
(2)
Formula ini siap digunakan. X dan Y akan bebas dan berdistribusi normal dengan varians 1 dan mean 0. Untuk mendapatkan distribusi dengan karakteristik lain, cukup dengan mengalikan hasil fungsi dengan standar deviasi dan menambahkan mean.
Tetapi dimungkinkan untuk menghilangkan fungsi trigonometri dengan menentukan sudut tidak secara langsung, tetapi secara tidak langsung melalui koordinat persegi panjang dari titik acak dalam lingkaran. Kemudian, melalui koordinat ini, dimungkinkan untuk menghitung panjang vektor jari-jari, dan kemudian menemukan kosinus dan sinus dengan membagi x dan y dengannya masing-masing. Bagaimana dan mengapa cara kerjanya?
Kami memilih titik acak dari terdistribusi seragam dalam lingkaran jari-jari satuan dan menunjukkan kuadrat dari panjang vektor jari-jari titik ini dengan huruf s:
Pilihan dibuat dengan menetapkan koordinat persegi panjang x dan y acak yang terdistribusi secara merata dalam interval (-1, 1), dan membuang titik-titik yang bukan milik lingkaran, serta titik pusat di mana sudut vektor radius adalah tidak terdefinisikan. Artinya, kondisi 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:
Kami mendapatkan formula, seperti di awal artikel. Kerugian dari metode ini adalah penolakan titik-titik yang tidak termasuk dalam lingkaran. Artinya, hanya menggunakan 78,5% dari variabel acak yang dihasilkan. Pada komputer lama, kurangnya fungsi trigonometri masih merupakan keuntungan besar. Sekarang, ketika satu instruksi prosesor secara bersamaan menghitung sinus dan kosinus dalam sekejap, saya pikir metode ini masih dapat bersaing.
Secara pribadi, saya punya dua pertanyaan lagi:
- Mengapa nilai s terdistribusi secara merata?
- Mengapa jumlah kuadrat dari dua variabel acak normal terdistribusi secara eksponensial?
Jika transformasi serupa dilakukan untuk variabel acak normal, maka fungsi kerapatan kuadratnya akan menjadi serupa dengan hiperbola. Dan penambahan dua kuadrat dari variabel acak normal sudah merupakan proses yang jauh lebih kompleks yang terkait dengan integrasi ganda. Dan fakta bahwa hasilnya akan menjadi distribusi eksponensial, secara pribadi, tetap bagi saya untuk memeriksanya dengan metode praktis atau menerimanya sebagai aksioma. Dan bagi mereka yang tertarik, saya sarankan Anda membiasakan diri dengan topik lebih dekat, mengambil pengetahuan dari buku-buku ini:
- Wentzel E.S. Teori probabilitas
- Knut D.E. Seni Pemrograman Volume 2
Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan contoh implementasi generator angka acak terdistribusi normal di JavaScript:
Fungsi Gauss() ( var ready = false; var second = 0.0; this.next = function(mean, dev) ( mean = mean == undefined ? 0.0: mean; dev = dev == undefined ? 1.0: dev; if ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1.0; s = u * u + v * v; ) while (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = true; return r * v * dev + mean; ) ); ) g = new Gauss(); // buat objek a = g.next(); // menghasilkan sepasang nilai dan mendapatkan yang pertama b = g.next(); // dapatkan c kedua = g.next(); // hasilkan sepasang nilai lagi dan dapatkan yang pertama
Parameter mean (harapan matematis) dan dev (standar deviasi) adalah opsional. Saya menarik perhatian Anda pada fakta bahwa logaritma itu alami.
Suatu distribusi dianggap seragam jika semua nilai variabel acak (di wilayah keberadaannya, misalnya, dalam interval) memiliki kemungkinan yang sama. Fungsi distribusi untuk variabel acak seperti itu memiliki bentuk:
Kepadatan distribusi: 
1
Beras. Grafik fungsi distribusi (kiri) dan densitas distribusi (kanan).
Distribusi seragam - konsep dan tipe. Klasifikasi dan fitur kategori "Distribusi seragam" 2017, 2018.
Distribusi diskrit dasar dari variabel acak Definisi 1. Variabel acak , dengan mengambil nilai 1, 2, …, n, memiliki distribusi seragam jika Pm = P(Х = m) = 1/n, m = 1, …, n . Sudah jelas itu. Perhatikan soal berikut: Ada N bola dalam sebuah guci, M di antaranya berwarna putih... .
Hukum distribusi variabel acak kontinu Definisi 5. Sebuah variabel acak kontinu X, mengambil nilai pada interval , memiliki distribusi seragam jika kerapatan distribusi memiliki bentuk. (1) Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa, . Jika variabel acak ... .
Suatu distribusi dianggap seragam jika semua nilai variabel acak (di wilayah keberadaannya, misalnya, dalam interval ) memiliki kemungkinan yang sama. Fungsi distribusi untuk variabel acak tersebut memiliki bentuk: Kerapatan distribusi: F(x) f(x) 1 0 a b x 0 a b x ... .
Hukum distribusi normal Seragam, eksponensial dan Fungsi kerapatan peluang dari hukum seragam adalah: (10.17) di mana a dan b diberi bilangan, a< b; a и b – это параметры равномерного закона. Найдем функцию распределения F(x)... .
Distribusi probabilitas seragam adalah yang paling sederhana dan dapat berupa diskrit atau kontinu. Distribusi seragam diskrit adalah distribusi yang probabilitas setiap nilai CB sama, yaitu: di mana N adalah angka ... .
Definisi 16. Sebuah variabel acak kontinu memiliki distribusi seragam pada interval, jika pada segmen ini kerapatan distribusi variabel acak ini konstan, dan di luarnya sama dengan nol, yaitu (45) Grafik kerapatan untuk distribusi seragam adalah ditunjukkan ...
Sebagai contoh variabel acak kontinu, pertimbangkan variabel acak X yang terdistribusi secara seragam pada interval (a; b). Kami mengatakan bahwa variabel acak X merata pada interval (a; b), jika densitas distribusinya tidak konstan pada interval ini:
Dari kondisi normalisasi, kita menentukan nilai konstanta c . Area di bawah kurva kepadatan distribusi harus sama dengan satu, tetapi dalam kasus kami ini adalah area persegi panjang dengan alas (b - ) dan tinggi c (Gbr. 1). 
Beras. 1 Kepadatan distribusi seragam
Dari sini kita menemukan nilai konstanta c: 
Jadi, kerapatan variabel acak terdistribusi seragam sama dengan 
Sekarang mari kita cari fungsi distribusi dengan rumus:
1) untuk 
2) untuk
3) untuk 0+1+0=1.
Dengan demikian, 
Fungsi distribusinya kontinu dan tidak berkurang (Gbr. 2). 
Beras. 2 Fungsi distribusi variabel acak terdistribusi seragam
Ayo temukan harapan matematis dari variabel acak terdistribusi seragam menurut rumus:
Varians distribusi seragam dihitung dengan rumus dan sama dengan
Contoh 1. Nilai pembagian skala alat ukur adalah 0,2. Pembacaan instrumen dibulatkan ke seluruh divisi terdekat. Temukan probabilitas bahwa kesalahan akan dibuat selama pembacaan: a) kurang dari 0,04; b) besar 0,02
Keputusan. Kesalahan pembulatan adalah variabel acak yang terdistribusi secara seragam selama interval antara divisi bilangan bulat yang berdekatan. Pertimbangkan interval (0; 0,2) sebagai pembagian seperti itu (Gbr. a). Pembulatan dapat dilakukan baik ke arah batas kiri - 0, dan ke arah kanan - 0,2, yang berarti bahwa kesalahan kurang dari atau sama dengan 0,04 dapat dibuat dua kali, yang harus diperhitungkan saat menghitung probabilitas: 
P = 0,2 + 0,2 = 0,4
Untuk kasus kedua, nilai kesalahan juga dapat melebihi 0,02 pada kedua batas pembagian, yaitu dapat lebih besar dari 0,02 atau kurang dari 0,18. 
Maka probabilitas kesalahan seperti ini:
Contoh #2. Diasumsikan bahwa stabilitas situasi ekonomi di negara itu (tidak adanya perang, bencana alam, dll.) selama 50 tahun terakhir dapat dinilai dari sifat distribusi populasi berdasarkan usia: dalam situasi tenang, harus seragam. Sebagai hasil dari penelitian, diperoleh data berikut untuk salah satu negara.
Apakah ada alasan untuk percaya bahwa ada situasi yang tidak stabil di negara ini?Kami melakukan keputusan menggunakan kalkulator Pengujian hipotesis. Tabel untuk menghitung indikator.
| Grup | Interval tengah, x i | Kuantitas, fi | x saya * f saya | Frekuensi kumulatif, S | |x - x cf |*f | (x - x sr) 2 *f | Frekuensi, f i /n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
rata-rata tertimbang
Indikator variasi.
Tingkat Variasi Mutlak.
Rentang variasi adalah selisih antara nilai maksimum dan minimum dari atribut deret primer.
R = X maks - X min
R=70 - 0=70
Penyebaran- mencirikan ukuran penyebaran di sekitar nilai rata-ratanya (ukuran dispersi, yaitu penyimpangan dari rata-rata).
Standar deviasi.
Setiap nilai seri berbeda dari nilai rata-rata 43 dengan tidak lebih dari 23,92
Menguji hipotesis tentang jenis distribusi.
4. Menguji hipotesis tentang distribusi seragam populasi umum.
Untuk menguji hipotesis tentang distribusi seragam X, yaitu menurut hukum: f(x) = 1/(b-a) dalam interval (a,b)
diperlukan:
1. Perkirakan parameter a dan b - ujung interval di mana kemungkinan nilai X diamati, sesuai dengan rumus (* menunjukkan perkiraan parameter):
2. Tentukan kerapatan probabilitas dari distribusi taksiran f(x) = 1/(b * - a *)
3. Temukan frekuensi teoretis:
n 1 \u003d nP 1 \u003d n \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x 1 - a *)
n 2 \u003d n 3 \u003d ... \u003d n s-1 \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. Bandingkan frekuensi empiris dan teoritis menggunakan uji Pearson, dengan asumsi jumlah derajat kebebasan k = s-3, di mana s adalah jumlah interval sampling awal; jika, bagaimanapun, kombinasi frekuensi kecil, dan karena itu intervalnya sendiri, dibuat, maka s adalah jumlah interval yang tersisa setelah kombinasi.
Keputusan:
1. Temukan taksiran parameter a * dan b * dari distribusi seragam menggunakan rumus:
2. Temukan kerapatan dari distribusi seragam yang diasumsikan:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84,42 - 1,58) = 0,0121
3. Temukan frekuensi teoritis:
n 1 \u003d n * f (x) (x 1 - a *) \u003d 1 * 0,0121 (10-1,58) \u003d 0,1
n 8 \u003d n * f (x) (b * - x 7) \u003d 1 * 0,0121 (84,42-70) \u003d 0,17
n s yang tersisa akan sama:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)
| saya | dan aku | t*i | n saya - n * saya | (n i - n* i) 2 | (n i - n * i) 2 /n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6E-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| Total | 1 | 0.0532 |
Oleh karena itu, daerah kritis untuk statistik ini selalu tangan kanan: . jika pada segmen ini densitas distribusi probabilitas variabel acak adalah konstan, yaitu jika fungsi distribusi diferensial f(x) memiliki bentuk sebagai berikut:
Distribusi ini kadang-kadang disebut hukum kerapatan seragam. Tentang besaran yang memiliki distribusi seragam pada segmen tertentu, kita akan mengatakan bahwa itu didistribusikan secara merata pada segmen ini.
Tentukan nilai konstanta c. Karena luas yang dibatasi oleh kurva distribusi dan sumbu Oh, sama dengan 1, maka
di mana dengan=1/(b-sebuah).
Sekarang fungsinya f(x)dapat direpresentasikan sebagai
Mari kita membangun fungsi distribusi
F(x ), yang kita temukan ekspresinya F (x ) pada interval [ a , b]:
Grafik fungsi f (x) dan F (x) terlihat seperti:
Mari kita cari karakteristik numerik.
Menggunakan rumus untuk menghitung ekspektasi matematis dari NSW, kita mendapatkan:
Jadi, ekspektasi matematis dari variabel acak terdistribusi merata pada interval [a , b] bertepatan dengan bagian tengah segmen ini.
Temukan varians dari variabel acak terdistribusi seragam:
dari mana segera berikut bahwa standar deviasi:
Mari kita cari peluang bahwa nilai variabel acak dengan distribusi seragam jatuh pada interval(a , b ), sepenuhnya milik segmen [sebuah,b
]:
|
|
Secara geometris, peluang ini adalah luas persegi panjang yang diarsir. angka sebuah dan
bditelepon parameter distribusi dan secara unik mendefinisikan distribusi seragam.Contoh 1. Bus dengan rute tertentu berjalan dengan ketat sesuai jadwal. Interval gerakan 5 menit. Tentukan peluang penumpang tersebut mendekati halte bus. Akan menunggu bus berikutnya kurang dari 3 menit.
Keputusan:
ST - waktu tunggu bus memiliki distribusi yang seragam. Maka probabilitas yang diinginkan akan sama dengan:
Contoh2. Tepi kubus x diukur kira-kira. Dan
Mengingat tepi kubus sebagai variabel acak terdistribusi seragam dalam interval (
sebuah,b), tentukan ekspektasi matematis dan varians volume kubus.Keputusan:
Volume kubus adalah variabel acak yang ditentukan oleh ekspresi Y \u003d X 3. Maka ekspektasi matematisnya adalah:
Penyebaran:
Layanan daring:
