Dalam pelajaran ini, kita akan belajar bagaimana menguraikan trinomial kuadrat menjadi faktor linier. Untuk ini, perlu untuk mengingat teorema Vieta dan kebalikannya. Keterampilan ini akan membantu kita dengan cepat dan mudah menguraikan trinomial kuadrat menjadi faktor linier, dan juga menyederhanakan pengurangan pecahan yang terdiri dari ekspresi.
Jadi kembali ke persamaan kuadrat , dimana .
Apa yang kita miliki di sisi kiri disebut trinomial persegi.
Teorema itu benar: Jika adalah akar-akar trinomial kuadrat, maka identitasnya benar
Dimana adalah koefisien terkemuka, adalah akar dari persamaan.
Jadi, kami memiliki persamaan kuadrat - trinomial kuadrat, di mana akar persamaan kuadrat juga disebut akar trinomial kuadrat. Oleh karena itu, jika kita memiliki akar-akar suatu trinomial kuadrat, maka trinomial ini didekomposisi menjadi faktor-faktor linier.
Bukti:
Pembuktian fakta ini dilakukan dengan menggunakan teorema Vieta, yang telah kita bahas dalam pelajaran sebelumnya.
Mari kita ingat apa teorema Vieta memberitahu kita:
Jika adalah akar dari sebuah trinomial persegi yang , maka .
Teorema ini menyiratkan pernyataan berikut bahwa .
Kami melihat bahwa, menurut teorema Vieta, yaitu, mensubstitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus di atas, kami mendapatkan ekspresi berikut
Q.E.D.
Ingatlah bahwa kita telah membuktikan teorema bahwa jika adalah akar-akar trinomial kuadrat, maka dekomposisinya valid.
Sekarang mari kita ingat kembali contoh persamaan kuadrat, yang akarnya kita pilih menggunakan teorema Vieta. Dari fakta ini kita dapat memperoleh persamaan berikut berkat teorema terbukti:
Sekarang mari kita periksa kebenaran fakta ini hanya dengan memperluas tanda kurung:
Kami melihat bahwa kami memfaktorkan dengan benar, dan setiap trinomial, jika memiliki akar, dapat difaktorkan menurut teorema ini menjadi faktor linier menurut rumus
Namun, mari kita periksa apakah untuk persamaan apa pun faktorisasi seperti itu dimungkinkan:
Mari kita ambil persamaan misalnya. Pertama, mari kita periksa tanda diskriminan
Dan kita ingat bahwa untuk memenuhi teorema yang telah kita pelajari, D harus lebih besar dari 0, oleh karena itu, dalam hal ini, pemfaktoran menurut teorema yang dipelajari adalah tidak mungkin.
Oleh karena itu, kami merumuskan teorema baru: jika trinomial persegi tidak memiliki akar, maka ia tidak dapat didekomposisi menjadi faktor linier.
Jadi, kami telah mempertimbangkan teorema Vieta, kemungkinan menguraikan trinomial persegi menjadi faktor linier, dan sekarang kami akan memecahkan beberapa masalah.
Tugas 1
Di grup ini, kita benar-benar akan menyelesaikan masalah yang berbanding terbalik dengan yang diajukan. Kami memiliki persamaan, dan kami menemukan akarnya, terurai menjadi faktor. Di sini kita akan melakukan yang sebaliknya. Katakanlah kita memiliki akar persamaan kuadrat
Masalah kebalikannya adalah ini: tulis persamaan kuadrat sehingga akar-akarnya.
Ada 2 cara untuk menyelesaikan masalah ini.
Karena adalah akar-akar persamaan, maka 
adalah persamaan kuadrat yang akar-akarnya diberi bilangan. Sekarang mari kita buka tanda kurung dan periksa:
Ini adalah cara pertama kami membuat persamaan kuadrat dengan akar yang diberikan yang tidak memiliki akar lain, karena persamaan kuadrat memiliki paling banyak dua akar.
Metode ini melibatkan penggunaan teorema Vieta terbalik.
Jika adalah akar-akar persamaan, maka mereka memenuhi kondisi bahwa .
Untuk persamaan kuadrat tereduksi 
, , yaitu dalam hal ini , dan .
Jadi, kami telah membuat persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar yang diberikan.
Tugas #2
Anda perlu mengurangi pecahan.
Kami memiliki trinomial di pembilang dan trinomial di penyebut, dan trinomial mungkin atau mungkin tidak difaktorkan. Jika pembilang dan penyebutnya difaktorkan, maka di antara mereka mungkin ada faktor yang sama yang dapat direduksi.
Pertama-tama, perlu memfaktorkan pembilangnya.
Pertama, Anda perlu memeriksa apakah persamaan ini dapat difaktorkan, temukan diskriminannya. Sejak , maka tanda tergantung pada produk ( harus kurang dari 0), dalam contoh ini , yaitu persamaan yang diberikan memiliki akar.
Untuk menyelesaikannya, kami menggunakan teorema Vieta:
Dalam hal ini, karena kita berurusan dengan akar, akan sangat sulit untuk mengambil akarnya saja. Tetapi kita melihat bahwa koefisiennya seimbang, yaitu jika kita mengasumsikan bahwa , dan memasukkan nilai ini ke dalam persamaan, maka sistem berikut diperoleh: yaitu 5-5=0. Jadi, kami telah memilih salah satu akar persamaan kuadrat ini.
Kita akan mencari akar kedua dengan mensubstitusikan apa yang telah diketahui ke dalam sistem persamaan, misalnya , yaitu. .
Jadi, kami telah menemukan kedua akar persamaan kuadrat dan dapat mensubstitusi nilainya ke persamaan asli untuk memfaktorkannya:
Ingat masalah awal, kita perlu mengurangi pecahan.
Mari kita coba menyelesaikan masalah dengan mengganti pembilangnya.
Perlu diingat bahwa dalam hal ini penyebut tidak boleh sama dengan 0, mis.,.
Jika kondisi ini terpenuhi, maka kita telah mereduksi pecahan aslinya menjadi bentuk .
Tugas #3 (tugas dengan parameter)
Pada nilai parameter berapa jumlah akar persamaan kuadrat?
Jika akar persamaan ini ada, maka 
, pertanyaannya adalah kapan .
Faktorisasi trinomial kuadrat adalah salah satu tugas sekolah yang dihadapi semua orang cepat atau lambat. Bagaimana cara melakukannya? Apa rumus untuk memfaktorkan trinomial persegi? Mari kita membahasnya langkah demi langkah dengan contoh.
Rumus umum
Faktorisasi trinomial kuadrat dilakukan dengan menyelesaikan persamaan kuadrat. Ini adalah tugas sederhana yang dapat diselesaikan dengan beberapa metode - dengan menemukan diskriminan, menggunakan teorema Vieta, ada juga cara grafis untuk menyelesaikannya. Dua metode pertama dipelajari di sekolah menengah.
Rumus umumnya terlihat seperti ini:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)
Algoritma eksekusi tugas
Untuk memfaktorkan trinomial kuadrat, Anda perlu mengetahui teorema Wit, memiliki program untuk menyelesaikannya, dapat menemukan solusi secara grafis, atau mencari akar persamaan derajat kedua melalui rumus diskriminan. Jika trinomial kuadrat diberikan dan harus difaktorkan, algoritma tindakannya adalah sebagai berikut:
1) Samakan ekspresi asli dengan nol untuk mendapatkan persamaan.
2) Berikan istilah serupa (bila perlu).
3) Temukan akarnya dengan metode apa pun yang diketahui. Metode grafis paling baik digunakan jika diketahui sebelumnya bahwa akar-akarnya adalah bilangan bulat dan bilangan kecil. Harus diingat bahwa jumlah akar sama dengan derajat maksimum persamaan, yaitu persamaan kuadrat memiliki dua akar.
4) Nilai pengganti X menjadi ekspresi (1).
5) Tuliskan faktorisasi trinomial persegi.
Contoh
Latihan memungkinkan Anda untuk akhirnya memahami bagaimana tugas ini dilakukan. Contoh mengilustrasikan faktorisasi trinomial persegi:
anda perlu memperluas ekspresi:
Mari gunakan algoritme kami:
1) x 2 -17x+32=0
2) istilah serupa dikurangi
3) menurut rumus Vieta, sulit untuk menemukan akar untuk contoh ini, oleh karena itu lebih baik menggunakan ekspresi untuk diskriminan:
D=289-128=161=(12,69) 2
4) Substitusi akar yang kita temukan dalam rumus utama untuk ekspansi:
(x-2.155) * (x-14.845)
5) Maka jawabannya adalah:
x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)
Mari kita periksa apakah solusi yang ditemukan oleh diskriminan sesuai dengan rumus Vieta:
14,845 . 2,155=32
Untuk akar-akar ini, teorema Vieta diterapkan, mereka ditemukan dengan benar, yang berarti bahwa faktorisasi yang kami peroleh juga benar.
Demikian pula, kami memperluas 12x 2 + 7x-6.
x 1 \u003d -7 + (337) 1/2
x 2 \u003d -7- (337) 1/2
Dalam kasus sebelumnya, solusinya adalah non-integer, tetapi bilangan real, yang mudah ditemukan dengan kalkulator di depan Anda. Sekarang perhatikan contoh yang lebih kompleks di mana akarnya kompleks: faktorkan x 2 + 4x + 9. Menurut rumus Vieta, akarnya tidak dapat ditemukan, dan diskriminannya negatif. Akar akan berada di bidang kompleks.
D=-20
Berdasarkan ini, kami mendapatkan akar yang kami minati -4 + 2i * 5 1/2 dan -4-2i * 5 1/2 karena (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .
Kami mendapatkan ekspansi yang diinginkan dengan mengganti akar ke dalam rumus umum.
Contoh lain: Anda perlu memfaktorkan ekspresi 23x 2 -14x + 7.
Kami memiliki persamaan 23x 2 -14x+7 =0
D=-448
Jadi akar-akarnya adalah 14+21.166i dan 14-21.166i. Jawabannya adalah:
23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).
Mari kita beri contoh yang dapat diselesaikan tanpa bantuan diskriminan.
Biarkan perlu untuk menguraikan persamaan kuadrat x 2 -32x + 255. Jelas, itu juga dapat diselesaikan oleh diskriminan, tetapi dalam hal ini lebih cepat untuk menemukan akarnya.
x 1 = 15
x2=17
Cara x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).
Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Dengan menggunakan rumus (59.8) untuk akar-akar persamaan di atas, kita peroleh
(persamaan pertama jelas, yang kedua diperoleh setelah perhitungan sederhana, yang akan dilakukan pembaca secara mandiri; lebih mudah menggunakan rumus untuk mengalikan jumlah dua angka dengan perbedaannya).
Pengikut
teorema Vieta. Jumlah akar persamaan kuadrat yang diberikan sama dengan koefisien kedua dengan tanda yang berlawanan, dan produk mereka sama dengan suku bebas.
Dalam kasus persamaan kuadrat tak tereduksi, kita harus mensubstitusikan ekspresi rumus (60.1) ke dalam rumus (60.1) dan mengambil bentuk
Contoh 1. Buatlah persamaan kuadrat berdasarkan akar-akarnya:
Solusi, a) Kami menemukan persamaan memiliki bentuk
Contoh 2. Temukan jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan tanpa menyelesaikan persamaan itu sendiri.
Keputusan. Jumlah dan hasil kali akar-akarnya diketahui. Kami mewakili jumlah akar kuadrat dalam bentuk
dan dapatkan
Dari formula Vieta mudah untuk mendapatkan formula
mengungkapkan aturan untuk memfaktorkan trinomial persegi.
Memang, kami menulis rumus (60.2) dalam bentuk
Sekarang kita punya
yang perlu Anda dapatkan.
Turunan rumus Vieta di atas akrab bagi pembaca dari kursus aljabar sekolah menengah. Derivasi lain dapat diberikan, menggunakan teorema Bezout dan faktorisasi polinomial (§§ 51, 52).
Biarkan akar-akar persamaan tersebut, menurut aturan umum (52.2), trinomial di ruas kiri persamaan difaktorkan:
Memperluas tanda kurung di sisi kanan persamaan yang identik ini, kita peroleh
dan membandingkan koefisien pada kekuatan yang sama akan memberi kita rumus Vieta (60.1).
Keuntungan dari derivasi ini adalah dapat juga diterapkan pada persamaan dengan derajat yang lebih tinggi untuk mendapatkan ekspresi koefisien persamaan dalam bentuk akar-akarnya (tanpa mencari akarnya sendiri!). Misalnya, jika akar-akar persamaan kubik tereduksi
intinya adalah bahwa menurut kesetaraan (52.2) kita menemukan
(dalam kasus kami, Membuka tanda kurung di sisi kanan persamaan dan mengumpulkan koefisien pada berbagai derajat, kami memperoleh
Dalam pelajaran ini, kita akan belajar bagaimana menguraikan trinomial kuadrat menjadi faktor linier. Untuk ini, perlu untuk mengingat teorema Vieta dan kebalikannya. Keterampilan ini akan membantu kita dengan cepat dan mudah menguraikan trinomial kuadrat menjadi faktor linier, dan juga menyederhanakan pengurangan pecahan yang terdiri dari ekspresi.
Jadi kembali ke persamaan kuadrat , dimana .
Apa yang kita miliki di sisi kiri disebut trinomial persegi.
Teorema itu benar: Jika adalah akar-akar trinomial kuadrat, maka identitasnya benar
Dimana adalah koefisien terkemuka, adalah akar dari persamaan.
Jadi, kami memiliki persamaan kuadrat - trinomial kuadrat, di mana akar persamaan kuadrat juga disebut akar trinomial kuadrat. Oleh karena itu, jika kita memiliki akar-akar suatu trinomial kuadrat, maka trinomial ini didekomposisi menjadi faktor-faktor linier.
Bukti:
Pembuktian fakta ini dilakukan dengan menggunakan teorema Vieta, yang telah kita bahas dalam pelajaran sebelumnya.
Mari kita ingat apa teorema Vieta memberitahu kita:
Jika adalah akar dari sebuah trinomial persegi yang , maka .
Teorema ini menyiratkan pernyataan berikut bahwa .
Kami melihat bahwa, menurut teorema Vieta, yaitu, mensubstitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus di atas, kami mendapatkan ekspresi berikut
Q.E.D.
Ingatlah bahwa kita telah membuktikan teorema bahwa jika adalah akar-akar trinomial kuadrat, maka dekomposisinya valid.
Sekarang mari kita ingat kembali contoh persamaan kuadrat, yang akarnya kita pilih menggunakan teorema Vieta. Dari fakta ini kita dapat memperoleh persamaan berikut berkat teorema terbukti:
Sekarang mari kita periksa kebenaran fakta ini hanya dengan memperluas tanda kurung:
Kami melihat bahwa kami memfaktorkan dengan benar, dan setiap trinomial, jika memiliki akar, dapat difaktorkan menurut teorema ini menjadi faktor linier menurut rumus
Namun, mari kita periksa apakah untuk persamaan apa pun faktorisasi seperti itu dimungkinkan:
Mari kita ambil persamaan misalnya. Pertama, mari kita periksa tanda diskriminan
Dan kita ingat bahwa untuk memenuhi teorema yang telah kita pelajari, D harus lebih besar dari 0, oleh karena itu, dalam hal ini, pemfaktoran menurut teorema yang dipelajari adalah tidak mungkin.
Oleh karena itu, kami merumuskan teorema baru: jika trinomial persegi tidak memiliki akar, maka ia tidak dapat didekomposisi menjadi faktor linier.
Jadi, kami telah mempertimbangkan teorema Vieta, kemungkinan menguraikan trinomial persegi menjadi faktor linier, dan sekarang kami akan memecahkan beberapa masalah.
Tugas 1
Di grup ini, kita benar-benar akan menyelesaikan masalah yang berbanding terbalik dengan yang diajukan. Kami memiliki persamaan, dan kami menemukan akarnya, terurai menjadi faktor. Di sini kita akan melakukan yang sebaliknya. Katakanlah kita memiliki akar persamaan kuadrat
Masalah kebalikannya adalah ini: tulis persamaan kuadrat sehingga akar-akarnya.
Ada 2 cara untuk menyelesaikan masalah ini.
Karena adalah akar-akar persamaan, maka adalah persamaan kuadrat yang akar-akarnya diberi bilangan. Sekarang mari kita buka tanda kurung dan periksa:
Ini adalah cara pertama kami membuat persamaan kuadrat dengan akar yang diberikan yang tidak memiliki akar lain, karena persamaan kuadrat memiliki paling banyak dua akar.
Metode ini melibatkan penggunaan teorema Vieta terbalik.
Jika adalah akar-akar persamaan, maka mereka memenuhi kondisi bahwa .
Untuk persamaan kuadrat tereduksi , , yaitu dalam hal ini , dan .
Jadi, kami telah membuat persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar yang diberikan.
Tugas #2
Anda perlu mengurangi pecahan.
Kami memiliki trinomial di pembilang dan trinomial di penyebut, dan trinomial mungkin atau mungkin tidak difaktorkan. Jika pembilang dan penyebutnya difaktorkan, maka di antara mereka mungkin ada faktor yang sama yang dapat direduksi.
Pertama-tama, perlu memfaktorkan pembilangnya.
Pertama, Anda perlu memeriksa apakah persamaan ini dapat difaktorkan, temukan diskriminannya. Sejak , maka tanda tergantung pada produk ( harus kurang dari 0), dalam contoh ini , yaitu persamaan yang diberikan memiliki akar.
Untuk menyelesaikannya, kami menggunakan teorema Vieta:
Dalam hal ini, karena kita berurusan dengan akar, akan sangat sulit untuk mengambil akarnya saja. Tetapi kita melihat bahwa koefisiennya seimbang, yaitu jika kita mengasumsikan bahwa , dan memasukkan nilai ini ke dalam persamaan, maka sistem berikut diperoleh: yaitu 5-5=0. Jadi, kami telah memilih salah satu akar persamaan kuadrat ini.
Kita akan mencari akar kedua dengan mensubstitusikan apa yang telah diketahui ke dalam sistem persamaan, misalnya , yaitu. .
Jadi, kami telah menemukan kedua akar persamaan kuadrat dan dapat mensubstitusi nilainya ke persamaan asli untuk memfaktorkannya:
Ingat masalah awal, kita perlu mengurangi pecahan.
Mari kita coba menyelesaikan masalah dengan mengganti pembilangnya.
Perlu diingat bahwa dalam hal ini penyebut tidak boleh sama dengan 0, mis.,.
Jika kondisi ini terpenuhi, maka kita telah mereduksi pecahan aslinya menjadi bentuk .
Tugas #3 (tugas dengan parameter)
Pada nilai parameter berapa jumlah akar persamaan kuadrat?
Jika akar persamaan ini ada, maka , pertanyaannya adalah kapan .
Trinomial persegi adalah polinomial berbentuk ax^2+bx+c, di mana x adalah variabel, a, b dan c adalah beberapa bilangan, dan a tidak sama dengan nol.
Sebenarnya, hal pertama yang perlu kita ketahui untuk memfaktorkan trinomial bernasib buruk adalah teorema. Terlihat seperti ini: “Jika x1 dan x2 adalah akar-akar trinomial kuadrat ax^2+bx+c, maka ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)”. Tentu saja, ada juga bukti dari teorema ini, tetapi ini memerlukan beberapa pengetahuan teoretis (jika kita menghilangkan faktor a dalam polinomial ax^2+bx+c kita mendapatkan ax^2+bx+c=a(x^ 2+(b/a) x + c/a) Dengan teorema Viette x1+x2=-(b/a), x1*x2=c/a, maka b/a=-(x1+x2), c/a =x1*x2. , x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)- x2(x-x1 )= (x-x1)(x-x2), jadi ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) Kadang-kadang guru membuat Anda mempelajari buktinya, tetapi jika itu tidak diperlukan, saya menyarankan Anda untuk hanya mengingat formula akhir.
2 langkah
Mari kita ambil contoh trinomial 3x^2-24x+21. Hal pertama yang perlu kita lakukan adalah menyamakan trinomial dengan nol: 3x^2-24x+21=0. Akar persamaan kuadrat yang dihasilkan masing-masing akan menjadi akar trinomial.
3 langkah
Selesaikan persamaan 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Jadi, mari kita putuskan. Siapa yang tidak tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat, lihat instruksi saya dengan 2 cara menyelesaikannya menggunakan contoh persamaan yang sama. Kami mendapatkan akar x1=7, x2=1.
4 langkah
Sekarang kita memiliki akar trinomial, kita dapat dengan aman mensubstitusinya ke dalam rumus =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
kita peroleh: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Anda dapat menghilangkan istilah a dengan memasukkannya ke dalam tanda kurung: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
sebagai hasilnya kita mendapatkan: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Catatan: masing-masing faktor yang diperoleh ((x-7), (3x-3) adalah polinomial tingkat pertama. Itu seluruh dekomposisi =) Jika Anda meragukan jawaban yang Anda dapatkan, Anda selalu dapat memeriksanya dengan mengalikan tanda kurung.
5 langkah
Verifikasi solusi. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Sekarang kami tahu pasti bahwa solusi kami benar! Saya harap instruksi saya membantu seseorang =) Semoga berhasil dengan studi Anda!
- Dalam kasus kami, dalam persamaan D > 0 dan kami mendapatkan masing-masing 2 akar. Jika itu D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
- Jika suatu trinomial kuadrat tidak memiliki akar-akar, maka trinomial tersebut tidak dapat difaktorkan ke dalam faktor-faktor yang merupakan polinomial derajat pertama.
