Apa itu jajaran genjang? Jajar genjang adalah segi empat yang sisi-sisinya berhadapan sejajar berpasangan.

1. Luas jajar genjang dihitung dengan rumus:

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

di mana:
a adalah sisi jajar genjang,
h a adalah ketinggian yang ditarik ke sisi ini.

2. Jika panjang dua sisi jajaran genjang yang berdekatan dan sudut di antara keduanya diketahui, maka luas jajaran genjang dihitung dengan rumus:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Jika diagonal jajaran genjang diberikan dan sudut di antara mereka diketahui, maka luas jajaran genjang dihitung dengan rumus:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Properti Jajaran Genjang

Dalam jajar genjang, sisi-sisi yang berhadapan sama besar: \(AB = CD \) , \(BC = AD \)

Dalam jajar genjang, sudut-sudut yang berhadapan adalah: \(\sudut A = \sudut C \) , \(\sudut B = \sudut D \)

Diagonal jajar genjang di titik potong dibagi dua \(AO = OC \) , \(BO = OD \)

Diagonal jajar genjang membaginya menjadi dua segitiga yang sama besar.

Jumlah sudut jajar genjang yang berdekatan dengan satu sisi adalah 180o:

\(\sudut A + \sudut B = 180^(o) \), \(\sudut B + \sudut C = 180^(o)\)

\(\sudut C + \sudut D = 180^(o) \), \(\sudut D + \sudut A = 180^(o)\)

Diagonal dan sisi jajar genjang dihubungkan oleh hubungan berikut:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

Dalam jajar genjang, sudut antara ketinggian sama dengan sudut lancipnya: \(\sudut K B H =\sudut A \) .

Garis-bagi sudut yang berdekatan dengan salah satu sisi jajar genjang saling tegak lurus.

Garis bagi dua sudut yang berhadapan pada jajar genjang adalah sejajar.

Fitur jajaran genjang

Suatu segi empat disebut jajar genjang jika:

\(AB = CD \) dan \(AB || CD \)

\(AB = CD \) dan \(BC = AD \)

\(AO = OC \) dan \(BO = OD \)

\(\sudut A = \sudut C \) dan \(\sudut B = \sudut D \)

Javascript dinonaktifkan di browser Anda.
Kontrol ActiveX harus diaktifkan untuk membuat perhitungan!

Masukkan panjang sisi dan tinggi ke sisi :

Definisi jajar genjang

Genjang adalah segiempat yang sisi-sisi yang berhadapan sama besar dan sejajar.

Kalkulator daring

Jajar genjang memiliki beberapa sifat yang berguna yang membuatnya lebih mudah untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan gambar ini. Misalnya, satu properti adalah bahwa sudut-sudut yang berlawanan dari jajaran genjang adalah sama.

Pertimbangkan beberapa metode dan rumus, diikuti dengan memecahkan contoh sederhana.

Rumus luas jajar genjang berdasarkan alas dan tinggi

Metode mencari luas ini mungkin salah satu yang paling dasar dan sederhana, karena hampir identik dengan rumus mencari luas segitiga, dengan beberapa pengecualian. Mari kita mulai dengan kasus umum tanpa menggunakan angka.

Biarkan jajaran genjang sewenang-wenang dengan alas A A sebuah, samping bb b dan tinggi h h ditarik ke pangkalan kami. Maka rumus luas jajar genjang ini adalah :

S = a h S=a\cdot h S =sebuahh

A A sebuah- basis;
h h- tinggi.

Mari kita lihat satu masalah mudah untuk berlatih memecahkan masalah umum.

Contoh

Temukan luas jajar genjang yang alasnya sama dengan 10 (cm) dan tingginya sama dengan 5 (cm) diketahui.

Keputusan

A=10 a=10 a =1 0
jam = 5 jam = 5 h =5

Substitusi dalam rumus kami. Kita mendapatkan:
S=10 5=50 S=10\cdot 5=50S =1 0 ⋅ 5 = 5 0 (lihat persegi)

Jawaban: 50 (lihat kotak)

Rumus luas jajar genjang yang diberikan dua sisi dan sudut di antara mereka

Dalam hal ini, nilai yang diinginkan ditemukan sebagai berikut:

S = a b sin (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S =sebuahbdosa (α)

A, b a, b a , b- sisi jajaran genjang;
\alfa α - sudut antar sisi A A sebuah dan bb b.

Sekarang mari kita selesaikan contoh lain dan gunakan rumus di atas.

Contoh

Cari luas jajar genjang jika diketahui sisinya A A sebuah, yang merupakan alas dan dengan panjang 20 (lihat) dan keliling hal p, secara numerik sama dengan 100 (lihat), sudut antara sisi yang berdekatan ( A A sebuah dan bb b) sama dengan 30 derajat.

Keputusan

A=20a=20 a =2 0
p=100 p=100 p=1 0 0
= 3 0 \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Untuk menemukan jawabannya, kita tidak hanya mengetahui sisi kedua dari segi empat ini. Mari kita temukan dia. Keliling jajar genjang diberikan oleh:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p=sebuah +sebuah +b +b
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b +b
100 = 40 + 2b 100=40+2b 1 0 0 = 4 0 + 2b
60=2b 60=2b 6 0 = 2b
b=30 b=30 b=3 0

Bagian tersulit sudah berakhir, tinggal mengganti nilai kami untuk sisi dan sudut di antara mereka:
S = 20 30 sin (3 0 ) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S =2 0 ⋅ 3 0 ⋅ dosa(3 0 ∘ ) = 3 0 0 (lihat persegi)

Jawaban: 300 (lihat persegi)

Rumus luas jajar genjang yang diberikan diagonal dan sudut di antara mereka

S = 1 2 D d ⋅ sin (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S =2 1 ​ ⋅ Dddosa (α)

DD D- diagonal besar;
DD d- diagonal kecil;
\alfa α adalah sudut lancip di antara diagonal-diagonalnya.

Contoh

Diagonal jajaran genjang diberikan, sama dengan 10 (lihat) dan 5 (lihat). Sudut antara keduanya adalah 30 derajat. Hitung luasnya.

Keputusan

D=10 D=10 D=1 0
d=5 d=5 d=5
= 3 0 \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 10 5 sin (3 0 ) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S =2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ dosa(3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (lihat persegi)

daerah jajar genjang

Teorema 1

Luas jajar genjang didefinisikan sebagai produk dari panjang sisinya kali tinggi yang ditarik ke sana.

di mana $a$ adalah sisi jajaran genjang, $h$ adalah tinggi yang ditarik ke sisi ini.

Bukti.

Mari kita diberikan jajar genjang $ABCD$ dengan $AD=BC=a$. Mari menggambar ketinggian $DF$ dan $AE$ (Gbr. 1).

Gambar 1.

Jelas bahwa gambar $FDAE$ adalah persegi panjang.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\angle A=\angle BAE\]

Oleh karena itu, karena $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\triangle BAE=\triangle CDF$, dengan $I$ uji persamaan segitiga. Kemudian

Jadi sesuai dengan teorema luas persegi panjang:

Teorema telah terbukti.

Teorema 2

Luas jajar genjang didefinisikan sebagai produk dari panjang sisi-sisi yang berdekatan dikalikan sinus sudut antara sisi-sisi tersebut.

Secara matematis, ini dapat ditulis sebagai berikut:

di mana $a,\ b$ adalah sisi jajar genjang, $\alpha $ adalah sudut di antara mereka.

Bukti.

Mari kita diberikan jajar genjang $ABCD$ dengan $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Gambarlah tinggi $DF=h$ (Gbr. 2).

Gambar 2.

Dengan definisi sinus, kita mendapatkan

Karena itu

Oleh karena itu, dengan Teorema $1$:

Teorema telah terbukti.

Luas segitiga

Teorema 3

Luas segitiga didefinisikan sebagai setengah produk dari panjang sisinya dan tinggi yang ditarik padanya.

Secara matematis, ini dapat ditulis sebagai berikut:

di mana $a$ adalah sisi segitiga, $h$ adalah tinggi yang ditarik ke sisi ini.

Bukti.

Gambar 3

Jadi dengan Teorema $1$:

Teorema telah terbukti.

Teorema 4

Luas segitiga didefinisikan sebagai setengah dari hasil kali panjang sisi-sisi yang berdekatan dikalikan sinus sudut antara sisi-sisi tersebut.

Secara matematis, ini dapat ditulis sebagai berikut:

di mana $a,\ b$ adalah sisi-sisi segitiga, $\alpha $ adalah sudut di antara mereka.

Bukti.

Mari kita diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB=a$. Gambarlah tingginya $CH=h$. Mari kita bangun ke jajaran genjang $ABCD$ (Gbr. 3).

Jelas, $\triangle ACB=\triangle CDB$ oleh $I$. Kemudian

Jadi dengan Teorema $1$:

Teorema telah terbukti.

luas trapesium

Teorema 5

Luas trapesium didefinisikan sebagai setengah produk dari jumlah panjang alasnya dikalikan tingginya.

Secara matematis, ini dapat ditulis sebagai berikut:

Bukti.

Mari kita diberikan trapesium $ABCK$, di mana $AK=a,\ BC=b$. Mari kita menggambar ketinggian $BM=h$ dan $KP=h$ di dalamnya, serta diagonal $BK$ (Gbr. 4).

Gambar 4

Dengan Teorema $3$, kita peroleh

Teorema telah terbukti.

Contoh tugas

Contoh 1

Cari luas segitiga sama sisi jika panjang sisinya $a.$

Keputusan.

Karena segitiga sama sisi, semua sudutnya sama dengan $(60)^0$.

Kemudian, dengan Teorema $4$, kita peroleh

Menjawab:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Perhatikan bahwa hasil dari soal ini dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sama sisi dengan sisi tertentu.

Seperti dalam geometri Euclidean, titik dan garis adalah elemen utama dari teori bidang, sehingga jajaran genjang adalah salah satu tokoh kunci dari segi empat cembung. Dari sana, seperti benang dari bola, mengalir konsep "persegi panjang", "persegi", "belah ketupat" dan jumlah geometris lainnya.

dalam kontak dengan

Definisi jajar genjang

segi empat cembung, terdiri dari segmen-segmen, yang masing-masing pasangannya sejajar, dalam geometri dikenal sebagai jajaran genjang.

Apa yang tampak seperti jajaran genjang klasik adalah ABCD segi empat. Sisi-sisinya disebut alas (AB, BC, CD dan AD), garis tegak lurus yang ditarik dari sembarang titik ke sisi yang berlawanan dari titik ini disebut tinggi (BE dan BF), garis AC dan BD adalah diagonal.

Perhatian! Persegi, belah ketupat dan persegi panjang adalah kasus khusus jajaran genjang.

Sisi dan sudut: fitur rasio

Properti utama, pada umumnya, ditentukan oleh penunjukan itu sendiri, dibuktikan dengan teorema. Ciri-ciri tersebut adalah sebagai berikut:

1. Sisi-sisi yang berhadapan adalah identik berpasangan.
2. Sudut-sudut yang berhadapan adalah sama besar berpasangan.

Bukti: perhatikan ABC dan ADC, yang diperoleh dengan membagi segiempat ABCD dengan garis AC. BCA=∠CAD dan BAC=∠ACD, karena AC sama untuk mereka (sudut vertikal untuk BC||AD dan AB||CD, masing-masing). Ini mengikuti dari ini: ABC = ADC (kriteria kedua untuk persamaan segitiga).

Ruas AB dan BC pada ABC berpasangan dengan garis CD dan AD pada ADC, yang berarti bahwa ruas-ruas tersebut identik: AB = CD, BC = AD. Jadi, B sesuai dengan D dan keduanya sama. Karena A=∠BAC+∠CAD, C=∠BCA+∠ACD, yang juga identik berpasangan, maka A = C. Properti telah terbukti.

Ciri-ciri diagonal bangun tersebut

Fitur utama garis jajar genjang ini: titik perpotongannya membagi dua.

Bukti: Misalkan m.E adalah titik potong diagonal AC dan BD dari gambar ABCD. Mereka membentuk dua segitiga yang sepadan - ABE dan CDE.

AB=CD karena berlawanan. Menurut garis dan garis potong, ABE = CDE dan BAE = DCE.

Menurut tanda persamaan kedua, ABE = CDE. Artinya, unsur-unsur ABE dan CDE adalah: AE = CE, BE = DE dan selain itu merupakan bagian-bagian yang sepadan dari AC dan BD. Properti telah terbukti.

Fitur sudut yang berdekatan

Pada sisi yang berdekatan, jumlah sudut adalah 180°, karena mereka terletak pada sisi yang sama dari garis sejajar dan garis potong. Untuk segi empat ABCD:

A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Properti bagi-bagi:

1. , dijatuhkan ke satu sisi, tegak lurus;
2. simpul yang berlawanan memiliki garis-bagi paralel;
3. segitiga yang diperoleh dengan menggambar garis bagi akan sama kaki.

Menentukan ciri-ciri jajar genjang dengan teorema

Ciri-ciri dari gambar ini mengikuti dari teorema utamanya, yang berbunyi sebagai berikut: segi empat dianggap jajar genjang jika diagonal-diagonalnya berpotongan, dan titik ini membaginya menjadi segmen-segmen yang sama.

Bukti: Biarkan garis AC dan BD dari segiempat ABCD berpotongan di t. E. Karena AED = BEC, dan AE+CE=AC BE+DE=BD, maka AED = BEC (dengan tanda pertama persamaan segitiga). Yaitu, EAD = ECB. Mereka juga merupakan sudut persilangan interior dari garis potong AC untuk garis AD dan BC. Jadi, menurut definisi paralelisme - AD || SM. Sifat serupa dari garis BC dan CD juga diturunkan. Teorema telah terbukti.

Menghitung luas suatu bangun

Luas dari gambar ini ditemukan dalam beberapa cara salah satu yang paling sederhana: mengalikan tinggi dan alas yang digunakan untuk menggambar.

Bukti: Tarik tegak lurus BE dan CF dari simpul B dan C. ABE dan DCF sama karena AB = CD dan BE = CF. ABCD sama dengan EBCF persegi panjang, karena mereka juga terdiri dari angka proporsional: S ABE dan S EBCD, serta S DCF dan S EBCD. Oleh karena itu luas bangun geometris ini sama dengan luas persegi panjang:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Untuk menentukan rumus umum luas jajar genjang, kami menyatakan tingginya sebagai hb, dan sisi b. Masing-masing:

Cara lain untuk menemukan area

perhitungan luas melalui sisi jajar genjang dan sudut, yang mereka bentuk, adalah metode kedua yang diketahui.

,

Spr-ma - daerah;

a dan b adalah sisi-sisinya

- sudut antara segmen a dan b.

Metode ini praktis didasarkan pada yang pertama, tetapi jika tidak diketahui. selalu memotong segitiga siku-siku yang parameternya ditemukan oleh identitas trigonometri, yaitu . Mengubah rasio, kita mendapatkan . Dalam persamaan metode pertama, kami mengganti tinggi dengan produk ini dan mendapatkan bukti validitas rumus ini.

Melalui diagonal jajar genjang dan sebuah sudut, yang mereka buat ketika mereka berpotongan, Anda juga dapat menemukan area tersebut.

Bukti: AC dan BD berpotongan membentuk empat segitiga: ABE, BEC, CDE dan AED. Jumlahnya sama dengan luas segi empat ini.

Luas masing-masing ini dapat dicari dari ekspresi , dimana a=BE, b=AE, =∠AEB. Karena , maka satu nilai sinus digunakan dalam perhitungan. yaitu Karena AE+CE=AC= d 1 dan BE+DE=BD= d 2 , rumus luas berkurang menjadi:

.

Aplikasi dalam aljabar vektor

Ciri-ciri bagian penyusun segi empat ini telah ditemukan penerapannya dalam aljabar vektor, yaitu: penjumlahan dua buah vektor. Aturan jajaran genjang menyatakan bahwa jika diberikan vektordanbukanadalah collinear, maka jumlahnya akan sama dengan diagonal gambar ini, yang alasnya sesuai dengan vektor-vektor ini.

Bukti: dari awal yang dipilih secara sewenang-wenang - yaitu. - kita membangun vektor dan . Selanjutnya, kami membangun jajar genjang OASV, di mana segmen OA dan OB adalah sisi. Jadi, OS terletak pada vektor atau penjumlahan.

Rumus untuk menghitung parameter jajaran genjang

Identitas diberikan dengan ketentuan sebagai berikut:

1. a dan b, - sisi dan sudut di antara mereka;
2. d 1 dan d 2 , - diagonal dan pada titik persimpangannya;
3. h a dan h b - ketinggian diturunkan ke sisi a dan b;

Parameter	Rumus
Menemukan sisi
sepanjang diagonal dan kosinus sudut di antara mereka
diagonal dan ke samping
melalui ketinggian dan titik yang berlawanan
Mencari panjang diagonal
di sisi dan ukuran bagian atas di antara mereka
sepanjang sisi dan salah satu diagonal	 Kesimpulan Jajar genjang, sebagai salah satu tokoh kunci geometri, digunakan dalam kehidupan, misalnya, dalam konstruksi saat menghitung luas situs atau pengukuran lainnya. Oleh karena itu, pengetahuan tentang fitur pembeda dan metode untuk menghitung berbagai parameternya dapat berguna kapan saja dalam hidup.

Saat memecahkan masalah tentang topik ini, selain sifat dasar genjang dan rumus yang sesuai, Anda dapat mengingat dan menerapkan yang berikut ini:

1. Garis bagi sudut dalam jajar genjang memotong segitiga sama kaki darinya
2. Garis-bagi sudut dalam yang berdekatan dengan salah satu sisi jajar genjang saling tegak lurus
3. Garis bagi yang datang dari sudut internal yang berlawanan dari jajaran genjang, sejajar satu sama lain atau terletak pada satu garis lurus
4. Jumlah kuadrat diagonal-diagonal jajar genjang sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisinya
5. Luas jajar genjang adalah setengah hasil kali diagonal-diagonal dikalikan sinus sudut di antara keduanya.

Mari kita pertimbangkan tugas-tugas dalam solusi yang menggunakan properti ini.

Tugas 1.

Garis bagi sudut C jajar genjang ABCD memotong sisi AD di titik M dan perpanjangan sisi AB di luar titik A di titik E. Temukan keliling jajar genjang jika AE \u003d 4, DM \u003d 3.

Keputusan.

1. Segitiga CMD sama kaki. (Properti 1). Jadi, CD = MD = 3 cm.

2. Segitiga EAM adalah sama kaki.
Jadi, AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Keliling ABCD = 20 cm.

Menjawab. 20 cm

Tugas 2.

Diagonal digambar pada segi empat cembung ABCD. Diketahui luas segitiga ABD, ACD, BCD sama besar. Buktikan bahwa segi empat yang diberikan adalah jajar genjang.

Keputusan.

1. Misalkan BE adalah tinggi segitiga ABD, CF adalah tinggi segitiga ACD. Karena, sesuai dengan kondisi masalah, luas segitiga sama dan memiliki alas yang sama AD, maka tinggi segitiga ini sama. BE = CF

2. BE, CF tegak lurus AD. Titik B dan C terletak pada sisi yang sama dari garis AD. BE = CF Jadi, garis BC || IKLAN. (*)

3. Misalkan AL adalah tinggi segitiga ACD, BK adalah tinggi segitiga BCD. Karena, sesuai dengan kondisi masalah, luas segitiga sama dan mereka memiliki basis CD yang sama, maka tinggi segitiga ini sama. AL = BK.

4. AL dan BK tegak lurus terhadap CD. Titik B dan A terletak pada sisi yang sama dari garis lurus CD. AL = BK. Oleh karena itu, garis AB || CD (**)

5. Kondisi (*), (**) menyiratkan bahwa ABCD adalah jajar genjang.

Menjawab. Terbukti. ABCD adalah jajaran genjang.

Tugas 3.

Pada sisi BC dan CD jajar genjang ABCD, masing-masing titik M dan H ditandai, sehingga segmen BM dan HD berpotongan di titik O;<ВМD = 95 о,

Keputusan.

1. Dalam segitiga DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. Dalam segitiga siku-siku DHC
(

Kemudian<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Karena dalam segitiga siku-siku, kaki yang terletak di depan sudut 30 o sama dengan setengah sisi miring).

Tapi CD = AB. Maka AB : HD = 2 : 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Jawaban: AB: HD = 2:1,<А = <С = 30 о, <В =

Tugas 4.

Salah satu diagonal jajar genjang dengan panjang 4√6 membentuk sudut 60° dengan alasnya, dan diagonal kedua membentuk sudut 45° dengan alas yang sama. Temukan diagonal kedua.

Keputusan.

1. AO = 2√6.

2. Terapkan teorema sinus pada segitiga AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Jawaban: 12.

Tugas 5.

Untuk jajar genjang dengan sisi 5√2 dan 7√2, sudut yang lebih kecil antara diagonal-diagonalnya sama dengan sudut yang lebih kecil dari jajaran genjang. Hitunglah jumlah panjang diagonal-diagonalnya.

Keputusan.

Misalkan d 1, d 2 adalah diagonal jajar genjang, dan sudut antara diagonal dan sudut yang lebih kecil dari jajaran genjang adalah φ.

1. Mari kita hitung dua yang berbeda
cara wilayahnya.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Kita peroleh persamaan 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f or

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Dengan menggunakan perbandingan antara sisi dan diagonal jajar genjang, kita tulis persamaannya

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Mari kita membuat sistem:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Kalikan persamaan kedua dari sistem dengan 2 dan tambahkan ke yang pertama.

Kita peroleh (d 1 + d 2) 2 = 576. Jadi Id 1 + d 2 I = 24.

Karena d 1, d 2 adalah panjang diagonal jajar genjang, maka d 1 + d 2 = 24.

Jawaban: 24.

Tugas 6.

Sisi jajar genjang adalah 4 dan 6. Sudut lancip antara diagonal adalah 45 o. Temukan luas jajaran genjang.

Keputusan.

1. Dari segitiga AOB, dengan menggunakan teorema kosinus, kita tulis hubungan antara sisi jajar genjang dan diagonal-diagonalnya.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 2 = 64.

2. Demikian pula, kami menulis hubungan untuk segitiga AOD.

Kami memperhitungkan bahwa<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Kami mendapatkan persamaan d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 2 = 144.

3. Kami memiliki sistem
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 2 = 144.

Mengurangkan yang pertama dari persamaan kedua, kita mendapatkan 2d 1 d 2 2 = 80 atau

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin \u003d 1/2 20√2 2/2 \u003d 10.

Catatan: Dalam masalah ini dan sebelumnya, tidak ada kebutuhan untuk menyelesaikan sistem sepenuhnya, meramalkan bahwa dalam masalah ini kita memerlukan produk diagonal untuk menghitung luas.

Jawaban: 10.

Tugas 7.

Luas jajar genjang adalah 96 dan sisi-sisinya adalah 8 dan 15. Temukan kuadrat dari diagonal yang lebih kecil.

Keputusan.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Mari kita lakukan substitusi dalam rumus.

Kita mendapatkan 96 = 8 15 sin VAD. Jadi sin VAD = 4/5.

2. Cari cos BURUK. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BURUK = 1. cos 2 BURUK = 9/25.

Sesuai dengan kondisi masalah, kami menemukan panjang diagonal yang lebih kecil. BD diagonal akan lebih kecil jika sudut BAD lancip. Maka cos BURUK = 3/5.

3. Dari segitiga ABD, menggunakan teorema kosinus, kita menemukan kuadrat dari diagonal BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BURUK.

D 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Jawaban: 145.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu bagaimana memecahkan masalah geometri?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama gratis!

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.