pengantar

Dalam aktivitasnya, seseorang di mana pun harus menghadapi kebutuhan untuk mempelajari bentuk, ukuran, dan posisi relatif dari figur spasial. Masalah serupa dipecahkan oleh para astronom yang berurusan dengan skala terbesar, dan oleh fisikawan yang mempelajari struktur atom dan molekul. Bagian geometri di mana masalah seperti itu dipelajari disebut stereometri (dari bahasa Yunani "stereos" - volumetrik, spasial).

1.1. Aksioma dasar stereometri

Dalam stereometri, satu hal lagi ditambahkan ke konsep planimetri - bidang, dan dengan itu - aksioma yang mengatur "hubungan" bidang dengan objek geometri lainnya. Ada tiga aksioma seperti itu.

1) Aksioma 1 – Melalui tiga titik di ruang angkasa yang tidak terletak pada garis lurus yang sama, hanya ada satu bidang. (gbr.1)

Gambar 1.

2) Aksioma 2 - melalui dua titik dalam ruang hanya ada satu garis. (gbr.2)

Gambar 2.

3) Aksioma 3 - jika dua pesawat memiliki titik yang sama, maka mereka memiliki garis yang sama di mana semua titik umum dari pesawat ini terletak. (gbr.3)

Gambar 3. 1

Aksioma ketiga memainkan peran yang sangat penting dalam stereometri: membuat ruang persis tiga dimensi, karena dalam ruang empat dimensi ke atas, pesawat dapat berpotongan pada satu titik. Aksioma planimetris juga ditambahkan ke tiga yang ditunjukkan, dipikirkan kembali, dengan mempertimbangkan fakta bahwa sekarang kita tidak berurusan dengan satu, tetapi dengan beberapa bidang. Misalnya, aksioma garis lurus - satu dan hanya satu garis lurus yang dapat ditarik melalui dua titik yang berbeda - ditransfer kata demi kata ke stereometri, tetapi hanya itu yang sudah meluas ke dua titik di ruang angkasa.

Sebagai akibat wajar, kami memperoleh satu akibat wajar yang berguna langsung dari aksioma:garis yang memiliki setidaknya dua titik yang sama dengan sebuah bidang terletak seluruhnya pada bidang itu.

Aksioma ini banyak digunakan dalam konstruksi gambar dalam stereometri.

1.2. Bidang koordinat dalam stereometri.

Tidak seperti planimetri, di mana bidang ditentukan hanya oleh 2 sumbu - sumbu x (absis) dan kamu (ordinat), sumbu ke-3 ditambahkan ke stereometri - sumbu z (aplikasi) . Sumbu ini bergerak maju, seperti yang ditunjukkan pada Gbr.4. Tetapi untuk kenyamanan konstruksi, sumbu koordinat mulai digambarkan seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 5.

Gambar 4. Gambar 5.

Dalam stereometri koordinat suatu titik dalam ruang 3: absis suatu titik, ordinat suatu titik, penerapan suatu titik.

Mari kita lihat ini dengan contoh spesifik. Ruas OB, OS, OD pada Gambar 6 sama dengan 1. Maka absis titik A adalah 1, ordinat titik A adalah 1 dan penerapan titik A adalah 1. Secara simbolis dituliskan sebagai berikut:

atau ikat catatan koordinat ke titik tertentu menggunakan indeks:

Gambar 6

Setiap sumbu dianggap sebagai garis bilangan, yaitu memiliki arah positif, dan nilai negatif dari koordinat jarak diberikan ke titik-titik yang terletak pada sinar negatif (jarak diambil dengan tanda minus). Artinya, jika, misalnya, titik B tidak terletak, seperti pada gambar, pada sinar OX, tetapi pada kelanjutannya dalam arah yang berlawanan dari titik O (pada bagian negatif dari sumbu OX), maka absis X titik A akan negatif (dikurangi jarak OB). Demikian pula untuk dua sumbu lainnya.

Semua sistem koordinat persegi panjang dalam ruang tiga dimensi dibagi menjadi dua kelas - kanan (positif, istilah standar juga digunakan) dan kiri. Biasanya, secara default, mereka mencoba menggunakan sistem koordinat tangan kanan, dan ketika ditampilkan secara grafis, mereka juga ditempatkan, jika mungkin, di salah satu dari beberapa posisi (tradisional) biasa. (Gambar 6 menunjukkan sistem koordinat yang benar). Sistem koordinat kanan dan kiri tidak dapat digabungkan dengan rotasi sehingga sumbu yang sesuai (dan arahnya) bertepatan. Anda dapat menentukan kelas mana yang termasuk dalam sistem koordinat tertentu menggunakan aturan tangan kanan, aturan sekrup, dll. (arah positif sumbu dipilih sehingga ketika sumbu OX diputar berlawanan arah jarum jam sebesar 90 °, arah positifnya bertepatan dengan arah positif sumbu OY, jika rotasi ini diamati dari sisi arah positif sumbu OZ).

Untuk menggambarkan, misalnya, sebuah kubus dalam sistem koordinat tiga dimensi, Anda perlu mengetahui panjang sisi persegi ini. Sebagai contoh, mari kita membangun sebuah kubus dengan sisi 1 dan simpul O, C, T, B, D, R, A, S (Gbr. 7). Maka koordinat simpul-simpul kubus ini:

Gambar 7

Kesimpulan

Berkat adanya sistem koordinat tiga dimensi, Anda dapat membuat bangun tiga dimensi apa pun, seperti paralelepiped, piramida, prisma, dll. Sistem koordinat ini digunakan dalam fisika, astronomi, dan ilmu lain yang memerlukan akurasi konstruksi.

Bibliografi:

A. V. Pogorelov, Geometri untuk kelas 7-11, Buku teks untuk institusi pendidikan.

AL. Stereometri Werner. Kelas 7-9, Buku Ajar untuk Guru Geometri.

Atanasyan L. Geometri Kelas 10-11,

E.V. Potoskuev, L.I. Zvavich Geometri Kelas 11,Buku teks untuk lembaga pendidikan.

Bab IV. Garis dan bidang dalam ruang. Polihedra

45. Aksioma dasar stereometri

Angka spasial paling sederhana (benda): kubus, prisma, piramida, bola, kerucut, silinder, dll., Dan sifat-sifatnya dipelajari dalam kursus geometri sekolah delapan tahun. Perhatikan bahwa beberapa sifat figur spasial digunakan dalam studi vektor dalam Bab I buku teks ini.

Dalam bab ini, secara lebih rinci daripada yang telah dilakukan sebelumnya, bagian geometri yang berkaitan dengan susunan garis dan bidang dalam ruang dipelajari. Cabang geometri yang mempelajari bangun-bangun yang tersusun dalam ruang disebut stereometri.

Konsep dasar stereometri adalah titik, garis dan bidang. Ruang terdiri dari jumlah titik yang tak terbatas. Garis dan bidang terdiri dari jumlah titik yang tak terbatas dalam ruang dan tidak bertepatan dengan seluruh ruang.

Mari kita merumuskan utama aksioma stereometri. Ingatlah bahwa aksioma adalah proposisi yang diterima tanpa bukti. Aksioma geometri adalah abstraksi dari sifat-sifat yang sesuai dari dunia nyata di sekitar kita.

Kami akan berasumsi bahwa untuk setiap bidang ruang semua aksioma, definisi dan teorema planimetri terpenuhi. Selain itu, kami berasumsi bahwa aksioma stereometri berikut ini valid:

1. Hanya ada satu garis lurus yang melalui dua titik berbeda.

2. Jika dua titik yang berbeda pada suatu garis merupakan bagian dari suatu bidang, maka semua titik pada garis tersebut merupakan bagian dari bidang tersebut.

3. Melalui tiga titik yang tidak terletak pada garis yang sama, hanya ada satu bidang.

4. Jika dua bidang yang berbeda berpotongan, maka mereka berpotongan dalam garis lurus.

Dengan menggunakan aksioma ini, kami membuktikan pernyataan berikut:

1. Sebuah bidang tunggal melewati sebuah garis dan sebuah titik yang bukan miliknya.

2. Hanya ada satu bidang yang melalui dua garis berpotongan.

1. Pada garis lurus ini aku mari kita ambil dua titik A dan B (Gbr. 128). Kemudian, menurut aksioma 3, sebuah bidang melewati titik M yang diberikan dan titik A dan B R dan semua titik garis aku milik pesawat R.

Oleh karena itu, pesawat R melewati garis lurus aku dan titik M yang bukan miliknya.Tidak ada bidang lain yang demikian, karena ia harus melewati tiga titik A, B, M yang tidak terletak pada satu garis lurus, dan oleh karena itu harus berimpit dengan bidang R.

2. Memang, biarkan garis lurus 1 1 dan 1 2 berpotongan di titik M (Gbr. 129). Pada garis lurus 1 1 dan 1 2 ambil beberapa titik A dan B yang berbeda dengan titik M. Kemudian melalui ketiga titik A, B, M melewati satu-satunya bidang R. Berdasarkan aksioma 2, bidang R melewati garis yang diberikan 1 1 dan 1 2 .

Dalam artikel ini, kita akan membahas konsep garis lurus dalam ruang tiga dimensi, mempertimbangkan opsi untuk posisi relatif garis lurus, dan membahas cara utama untuk menentukan garis lurus dalam ruang. Untuk presentasi yang lebih baik, kami menyajikan ilustrasi grafis.

Navigasi halaman.

Garis dalam ruang adalah sebuah konsep.

Setelah kita memberikan definisi garis-garis sejajar dalam ruang, kita harus mengatakan tentang vektor-vektor pengarah garis lurus karena kepentingannya. Setiap vektor bukan nol yang terletak pada garis ini atau pada garis yang sejajar dengan vektor yang diberikan akan disebut vektor pengarah garis. Vektor arah garis lurus sangat sering digunakan dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan garis lurus dalam ruang.

Akhirnya, dua garis dalam ruang tiga dimensi bisa miring. Dua garis dalam ruang dikatakan berpotongan jika tidak terletak pada bidang yang sama. Susunan timbal balik dari dua garis dalam ruang ini membawa kita pada konsep sudut antara garis miring.

Metode untuk menetapkan garis lurus dalam ruang.

Ada beberapa cara untuk secara unik mendefinisikan garis lurus dalam ruang. Mari kita daftar yang utama.

Kita tahu dari aksioma bahwa garis lurus melalui dua titik, dan hanya satu. Jadi, jika kita menandai dua titik dalam ruang, maka ini akan memungkinkan kita untuk secara unik menentukan garis lurus yang melewatinya.

Jika sistem koordinat persegi panjang diperkenalkan dalam ruang tiga dimensi dan garis lurus diberikan dengan menentukan koordinat dua titiknya, maka kita memiliki kesempatan untuk membuat persamaan garis lurus yang melewati dua titik yang diberikan.

Cara kedua untuk menentukan garis dalam ruang didasarkan pada teorema: melalui setiap titik dalam ruang yang tidak terletak pada garis tertentu, melewati garis sejajar dengan yang diberikan, dan hanya satu.

Jadi, jika kita menentukan garis (atau segmen dari garis ini) dan sebuah titik yang tidak terletak di atasnya, maka kita secara unik menentukan garis yang sejajar dengan yang diberikan dan melewati titik yang diberikan.

Anda dapat menentukan titik yang dilalui garis dan vektor arahnya. Ini juga akan memungkinkan Anda untuk mengidentifikasi garis secara unik.

Jika garis lurus didefinisikan dengan cara ini sehubungan dengan sistem koordinat persegi panjang yang tetap, maka kita dapat segera menuliskan persamaan kanonik dari garis lurus dalam ruang dan persamaan parametrik dari garis lurus dalam ruang.

Cara selanjutnya untuk menentukan garis lurus dalam ruang didasarkan pada aksioma stereometri: jika dua bidang memiliki titik yang sama, maka mereka memiliki garis lurus yang sama di mana semua titik umum dari bidang ini berada.

Jadi, dengan menetapkan dua bidang yang berpotongan, kita secara unik mendefinisikan garis lurus dalam ruang.

Cara lain untuk menentukan garis dalam ruang mengikuti dari teorema (Anda dapat menemukan buktinya di buku-buku yang tercantum di akhir artikel ini): jika diberikan sebuah bidang dan sebuah titik yang tidak terletak di dalamnya, maka ada satu garis yang lewat melalui titik ini dan tegak lurus terhadap bidang yang diberikan.

Jadi, untuk menentukan garis lurus, Anda dapat menentukan bidang di mana garis yang diinginkan tegak lurus, dan titik yang dilalui garis ini.

Jika garis lurus didefinisikan dengan cara ini sehubungan dengan sistem koordinat persegi panjang yang diperkenalkan, maka akan berguna untuk memiliki materi artikel persamaan garis lurus yang melewati titik tertentu yang tegak lurus terhadap bidang tertentu.

Bibliografi.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometri. Kelas 7 - 9: buku teks untuk lembaga pendidikan.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Buku teks untuk kelas 10-11 sekolah menengah.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematika Tinggi. Volume Satu: Elemen Aljabar Linier dan Geometri Analitik.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometri analitik.

Hak Cipta oleh siswa pintar

Seluruh hak cipta.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tidak ada bagian dari www.site, termasuk materi internal dan desain eksternal, yang boleh direproduksi dalam bentuk apa pun atau digunakan tanpa izin tertulis sebelumnya dari pemegang hak cipta.

Presentasi dengan topik "Aksioma stereometri" pada geometri dalam format powerpoint. Dalam presentasi untuk anak sekolah, 7 aksioma stereometri terdaftar, tugas diberikan menggunakan aksioma ini. Penulis presentasi: Sukhorukova E.V.

Fragmen dari presentasi

• Hanya ada satu garis lurus yang melalui dua titik di ruang angkasa.
• Melalui tiga titik di ruang angkasa yang tidak termasuk dalam garis yang sama, hanya ada satu bidang
• Jika dua bidang memiliki titik yang sama, maka mereka berpotongan dalam garis lurus
• Setidaknya ada empat titik yang tidak termasuk dalam bidang yang sama
• Jika sebuah garis memiliki dua titik yang sama dengan sebuah bidang, maka garis itu terletak pada bidang itu.
• Melalui sebuah garis dan sebuah titik yang bukan miliknya hanya ada satu bidang
• Hanya ada satu bidang yang melalui dua garis berpotongan.

PERTANYAAN 1

Temukan kesalahan dalam gambar jika:

pilihan jawaban di sini.

Menjawab: a) Titik A, B, C harus berada pada garis yang sama; b) titik K, L, M harus berada dalam satu garis.

PERTANYAAN 2

Tentukan dari gambar bidang yang menggambarkan titik M dari bidang tersebut.

pertanyaan 3

Temukan kesalahan dalam gambar. Berikan penjelasan

Menjawab: titik M bukan milik AC

pertanyaan 4

Bagaimana letak bidang dan relatif terhadap satu sama lain pada gambar? Jelaskan jawabannya. Lengkapi gambar jika perlu.

Menjawab: karena bidang memiliki satu titik yang sama, maka mereka berpotongan dalam garis lurus

pertanyaan 5

Berapa banyak bidang yang dapat ditarik melalui sebuah garis?

Menjawab: banyak tak terhingga

Garis sejajar dalam ruang

• Garis dalam ruang disebut paralel jika mereka terletak pada bidang yang sama dan tidak berpotongan
• Garis yang tidak berpotongan dan tidak terletak pada bidang yang sama disebut kawin silang

• Dalam paralelepiped A…D1 menunjukkan garis paralel dan miring
• Dalam piramida ABCD, tunjukkan semua pasangan garis yang berpotongan