Teorema jumlah sudut dalam segitiga

Jumlah sudut segitiga adalah 180°.

Bukti:

• Segitiga ABC diberikan.
• Tarik garis DK melalui titik B yang sejajar dengan alas AC.
• \angle CBK= \angle C sebagai internal yang melintang dengan DK dan AC paralel, dan garis potong BC.
• \angle DBA = \angle A internal yang melintang di DK \paralel AC dan garis potong AB. Sudut DBK lurus dan sama dengan
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Karena sudut lurus adalah 180 ^\circ , dan \angle CBK = \angle C dan \angle DBA = \angle A , kita dapatkan 180 ^\circ = \sudut A + \sudut B + \sudut C.

Teorema terbukti

Konsekuensi dari teorema tentang jumlah sudut segitiga:

1. Jumlah sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah 90 °.
2. Pada segitiga siku-siku sama kaki, setiap sudut lancip adalah 45°.
3. Pada segitiga sama sisi, setiap sudutnya adalah 60 °.
4. Dalam segitiga apa pun, semua sudutnya lancip, atau dua sudutnya lancip, dan yang ketiga tumpul atau siku-siku.
5. Besar sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berdekatan.

Teorema sudut luar segitiga

Besar sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut sisa segitiga yang tidak berdekatan dengan sudut luar tersebut.

Bukti:

• Segitiga ABC diberikan, di mana BCD adalah sudut luar.
• \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
• Dari persamaan, sudut \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• Kita mendapatkan \sudut BCD = \sudut BAC+\sudut ABC.

>> Geometri: Jumlah sudut segitiga. Selesaikan Pelajaran

TOPIK PELAJARAN: Jumlah sudut segitiga.

Tujuan Pelajaran:

• Pemantapan dan pengujian pengetahuan siswa pada topik: "Jumlah sudut segitiga";
• Bukti sifat-sifat sudut segitiga;
• Penggunaan properti ini dalam memecahkan masalah paling sederhana;
• Penggunaan materi sejarah untuk pengembangan aktivitas kognitif siswa;
• Menanamkan keterampilan akurasi dalam konstruksi gambar.

Tujuan pelajaran:

• Periksa kemampuan siswa untuk memecahkan masalah.

Rencana belajar:

1. Segi tiga;
2. Teorema tentang jumlah sudut segitiga;
3. Contoh tugas.

Segi tiga.

File: Segitiga O.gif- poligon paling sederhana yang memiliki 3 simpul (sudut) dan 3 sisi; bagian dari bidang yang dibatasi oleh tiga titik dan tiga ruas garis yang menghubungkan titik-titik tersebut secara berpasangan.
Tiga titik dalam ruang yang tidak terletak pada satu garis lurus berhubungan dengan satu dan hanya satu bidang.
Setiap poligon dapat dibagi menjadi segitiga - proses ini disebut triangulasi.
Ada bagian matematika yang sepenuhnya dikhususkan untuk mempelajari pola segitiga - Trigonometri.

Teorema tentang jumlah sudut segitiga.

File:T.gif Teorema jumlah sudut segitiga adalah teorema klasik dalam geometri Euclidean yang menyatakan bahwa jumlah sudut suatu segitiga adalah 180°.

Bukti" :

Misalkan ABC diberikan. Mari kita menggambar garis sejajar (AC) melalui titik B dan menandai titik D di atasnya sehingga titik A dan D terletak pada sisi yang berlawanan dari garis BC. Maka sudut (DBC) dan sudut (ACB) sama dengan persilangan internal yang terletak pada garis sejajar BD dan AC dan garis potong (BC). Maka jumlah sudut segitiga di titik B dan C sama dengan besar sudut (ABD). Tetapi sudut (ABD) dan sudut (BAC) pada titik sudut A segitiga ABC adalah bagian dalam satu sisi dengan garis sejajar BD dan AC dan garis potong (AB), dan jumlah mereka adalah 180°. Jadi, jumlah sudut segitiga adalah 180°. Teorema telah terbukti.

Konsekuensi.

Besar sudut luar segitiga sama dengan jumlah dua sudut segitiga yang tidak berdekatan.

Bukti:

Misalkan ABC diberikan. Titik D terletak pada garis AC sehingga A terletak di antara C dan D. Maka BAD berada di luar sudut segitiga di titik sudut A dan A + BAD = 180°. Tetapi A + B + C = 180°, dan karenanya B + C = 180° – A. Oleh karena itu BURUK = B + C. Akibat wajarnya terbukti.

Konsekuensi.

Besar sudut luar suatu segitiga lebih besar dari setiap sudut segitiga yang tidak berdekatan dengannya.

Tugas.

Sudut luar segitiga adalah sudut yang berdekatan dengan setiap sudut segitiga ini. Buktikan bahwa sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut segitiga yang tidak berdekatan.
(Gbr.1)

Keputusan:

Biarkan ABC DAC menjadi eksternal (Gbr.1). Maka DAC=180°-∠BAC (menurut sifat sudut-sudut bersebelahan), sesuai dengan teorema jumlah sudut segitiga B+∠C =180°-∠BAC. Dari persamaan ini kita mendapatkan DAC=∠B+∠C

Fakta yang menarik:

Jumlah sudut segitiga :

Dalam geometri Lobachevsky, jumlah sudut segitiga selalu kurang dari 180. Dalam geometri Euclid, selalu sama dengan 180. Dalam geometri Riemannian, jumlah sudut segitiga selalu lebih besar dari 180.

Dari sejarah matematika:

Euclid (abad III SM) dalam karya "Awal" memberikan definisi berikut: "Paralel adalah garis lurus yang berada di bidang yang sama dan, diperpanjang tanpa batas di kedua arah, tidak bertemu satu sama lain di kedua sisi" .
Posidonius (abad ke-1 SM) "Dua garis lurus terletak pada bidang yang sama, berjarak sama satu sama lain"
Ilmuwan Yunani kuno Pappus (abad III SM) memperkenalkan simbol garis sejajar - tanda =. Selanjutnya, ekonom Inggris Ricardo (1720-1823) menggunakan simbol ini sebagai tanda sama dengan.
Baru pada abad ke-18 mereka mulai menggunakan simbol garis sejajar - tanda ||.
Hubungan langsung antar generasi tidak terputus sesaat, setiap hari kita mempelajari pengalaman yang dikumpulkan oleh nenek moyang kita. Orang Yunani kuno, berdasarkan pengamatan dan pengalaman praktis, menarik kesimpulan, mengungkapkan hipotesis, dan kemudian, pada pertemuan para ilmuwan - simposium (secara harfiah "pesta") - mereka mencoba untuk membuktikan dan membuktikan hipotesis ini. Pada saat itu, pernyataan terbentuk: "Kebenaran lahir dalam perselisihan."

Pertanyaan:

1. Apa itu segitiga?
2. Apa yang dikatakan teorema jumlah segitiga?
3. Berapakah sudut luar segitiga?

Dalil. Jumlah sudut dalam segitiga sama dengan dua sudut siku-siku.

Ambil beberapa segitiga ABC (Gbr. 208). Mari kita nyatakan sudut interiornya dengan 1, 2 dan 3. Mari kita buktikan bahwa

1 + 2 + 3 = 180 °.

Mari kita menggambar melalui beberapa titik segitiga, misalnya B, garis MN sejajar dengan AC.

Di titik B, kita mendapatkan tiga sudut: 4, 2 dan 5. Jumlahnya adalah sudut lurus, oleh karena itu, itu sama dengan 180 °:

4 + 2 + 5 = 180 °.

Tetapi 4 \u003d 1 adalah sudut silang internal dengan garis paralel MN dan AC dan garis potong AB.

5 = 3 adalah sudut lintang internal dengan garis sejajar MN dan AC dan garis potong BC.

Oleh karena itu, 4 dan 5 dapat diganti dengan persamaannya 1 dan 3.

Oleh karena itu, 1 + 2 + 3 = 180°. Teorema telah terbukti.

2. Sifat sudut luar segitiga.

Dalil. Besar sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berdekatan.

Memang, dalam segitiga ABC (Gbr. 209) 1 + 2 = 180° - 3, tetapi juga BCD, sudut luar segitiga ini, yang tidak berdekatan dengan 1 dan 2, juga sama dengan 180° - 3 .

Dengan demikian:

1 + 2 = 180° - 3;

BCD = 180° - 3.

Oleh karena itu, 1 + 2= BCD.

Sifat turunan dari sudut luar segitiga memperhalus isi teorema yang telah dibuktikan sebelumnya tentang sudut luar segitiga, di mana hanya dinyatakan bahwa sudut luar segitiga lebih besar dari setiap sudut dalam segitiga yang tidak berdekatan dengannya; sekarang ditetapkan bahwa sudut luar sama dengan jumlah kedua sudut dalam yang tidak berdekatan dengannya.

3. Sifat segitiga siku-siku dengan sudut 30°.

Dalil. Kaki segitiga siku-siku yang berhadapan dengan sudut 30° sama dengan setengah sisi miring.

Biarkan sudut B sama dengan 30° pada segitiga siku-siku ACB (Gbr. 210). Maka sudut lancip lainnya adalah 60°.

Mari kita buktikan bahwa kaki AC sama dengan setengah dari sisi miring AB. Kami melanjutkan kaki AC di luar titik sudut siku-siku C dan menyisihkan segmen CM, sama dengan segmen AC. Kami menghubungkan titik M dengan titik B. Segitiga yang dihasilkan BCM sama dengan segitiga DIA. Kita melihat bahwa setiap sudut segitiga AVM sama dengan 60 °, oleh karena itu, segitiga ini sama sisi.

Kaki AC sama dengan setengah dari AM, dan karena AM sama dengan AB, kaki AC akan sama dengan setengah dari sisi miring AB.

. (Slide 1)

Jenis pelajaran: pelajaran mempelajari materi baru.

Tujuan Pelajaran:

• pendidikan:
  • Perhatikan teorema jumlah sudut segitiga,
  • menunjukkan penerapan teorema dalam memecahkan masalah.
• pendidikan:
  • menumbuhkan sikap positif siswa terhadap pengetahuan,
  • menanamkan kepercayaan pada siswa melalui pelajaran.
• pendidikan:
  • perkembangan berpikir analitis,
  • pengembangan "keterampilan untuk belajar": untuk menggunakan pengetahuan, keterampilan dan kemampuan dalam proses pendidikan,
  • pengembangan pemikiran logis, kemampuan untuk dengan jelas mengartikulasikan pemikiran mereka.

Peralatan: papan interaktif, presentasi, kartu.

SELAMA KELAS

I. Momen organisasi

- Hari ini dalam pelajaran kita akan mengingat definisi siku-siku, sama kaki, segitiga sama sisi. Mari kita ulangi sifat-sifat sudut segitiga. Dengan menggunakan sifat-sifat sudut sepihak dan sudut-sudut dalam, kita akan membuktikan teorema tentang jumlah sudut-sudut sebuah segitiga dan belajar bagaimana menerapkannya dalam memecahkan masalah.

II. secara lisan(Slide 2)

1) Temukan segitiga siku-siku, sama kaki, sama sisi pada gambar.
2) Tentukan segitiga-segitiga ini.
3) Merumuskan sifat-sifat sudut pada segitiga sama sisi dan segitiga sama kaki.

4) Pada gambar KE II NH. (slide 3)

– Tentukan garis potong untuk garis ini
– Temukan sudut satu sisi internal, sudut silang internal, beri nama propertinya

AKU AKU AKU. Penjelasan materi baru

Dalil. Jumlah sudut segitiga adalah 180o

Menurut rumusan teorema, orang-orang membuat gambar, menuliskan kondisinya, kesimpulan. Menjawab pertanyaan, buktikan teorema secara mandiri.

Diberikan: Membuktikan:

Bukti:

1. Tarik garis BD II AC melalui titik sudut segitiga B.
2. Tentukan garis potong untuk garis paralel.
3. Apa yang dapat dikatakan tentang sudut CBD dan ACB? (membuat catatan)
4. Apa yang kita ketahui tentang sudut CAB dan ABD? (membuat catatan)
5. Ganti sudut CBD dengan sudut ACB
6. Buatlah kesimpulan.

IV. Selesaikan penawaran.(Slide 4)

1.Jumlah sudut segitiga adalah...
2. Dalam sebuah segitiga, salah satu sudutnya sama besar, yang lain, sudut ketiga dari segitiga itu sama dengan ...
3. Jumlah sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah ...
4. Besar sudut segitiga siku-siku sama kaki sama dengan ...
5. Sudut-sudut segitiga sama sisi sama besar...
6. Jika sudut antara sisi-sisi segitiga sama kaki adalah 1000, maka sudut-sudut di alasnya adalah ...

V. Sedikit sejarah.(Slide 5-7)

Bukti teorema tentang jumlah sudut segitiga "Jumlah bagian dalam" sudut segitiga sama dengan dua sudut siku-siku" yang dikaitkan dengan Pythagoras (580-500 SM)
Sarjana Yunani Kuno Proclus (410-485 M),