Volume tetrahedron.Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan beberapa tugas dengan piramida. Seperti yang Anda ketahui, tetrahedron juga merupakan piramida. HAI definisi tetrahedron:

Tetrahedron adalah polihedron paling sederhana, ia memiliki 4 wajah, yang merupakan segitiga. Tetrahedron memiliki 4 simpul, 3 tepi bertemu ke setiap simpul, dan ada total 6 tepi.Tetrahedron yang wajahnya segitiga sama sisi disebut reguler.

Volume piramida (dan karenanya tetrahedron):

S adalah luas alas piramid h - ketinggian piramida

Mari kita menghitung volume tetrahedron biasa dengan tepi sama dengan a.

Maka luas setiap wajah akan sama (dalam hal ini, alas ABC):

Hitung tinggi SO Perhatikan segitiga siku-siku SOC:

* Diketahui bahwa garis bagi suatu segitiga dibagi dengan titik potong dengan perbandingan 1 banding 2.

Mari kita hitung CM. Menurut teorema Pythagoras:

Karena itu:

Dengan demikian, volume tetrahedron akan sama dengan:

Arti dari tugas yang dipertimbangkan di bawah ini adalah sebagai berikut - semua tepi piramida, atau hanya tingginya, meningkat beberapa kali. Jelas bahwa ini juga meningkatkan luas permukaannya. Selanjutnya, Anda perlu menghitung berapa kali peningkatan ini terjadi.

1. Jika hanya ketinggian piramida yang bertambah dan ada pertanyaan tentang perubahan volume, maka jelas bahwa itu meningkat secara proporsional dengan volume awal piramida, karena ketergantungannya linier. Sederhananya, volume meningkat dengan jumlah yang sama dengan peningkatan ketinggian.

2. Jika kita berbicara tentang meningkatkan semua tepi piramida beberapa kali, maka di sini perlu dipahami bahwa hasilnya adalah piramida yang mirip dengan yang asli, dan wajahnya juga mirip dengan wajah yang sesuai. piramida yang dihasilkan.

Saya akan membiarkan diri saya, pada saat ini, pada masalah kesamaan figur dan tubuh, untuk menyarankan agar Anda beralih ke teori yang ditetapkan dalam buku teks. Dalam waktu dekat saya pasti akan memposting artikel terpisah tentang topik ini.

Adapun kelompok tugas yang disajikan, saya perhatikan bahwa menggunakan properti kesamaan, tugas tersebut diselesaikan hampir dalam satu langkah.

Inilah yang perlu Anda ingat dan ketahui:

Artinya, jika kita menambah semua tepi piramida sebanyak k kali, maka rasio luas salah satu wajahnya dengan luas permukaan asli yang sesuai dengannya akan sama dengan k 2 . Secara alami, rasio total luas permukaan piramida tersebut juga akan sama dengan k 2 .

Sebaik:

Artinya, jika kita menambah semua tepi piramida sebanyak k kali, maka rasio volume piramida yang dihasilkan dengan volume yang asli akan sama dengan k 3 . Pertimbangkan tugas-tugasnya:

Berapa kali volume tetrahedron beraturan akan bertambah jika semua sisinya bertambah enam belas kali?

Tetrahedron adalah piramida yang semua wajahnya adalah segitiga sama sisi.

Piramida ini dan piramida yang diperoleh dengan meningkatkan semua tepinya sebanyak 16 kali akan serupa, koefisien kesamaan masing-masing akan sama dengan 16.

Volume benda serupa terkait sebagai pangkat tiga dari koefisien kesamaan.Artinya, seperti yang telah disebutkan, volume piramida yang dihasilkan sama dengan produk pangkat tiga dari koefisien kesamaan dan volume piramida asli:

Tentukan berapa kali volume akan meningkat, temukan rasio volume:

Jadi, jika semua sisinya bertambah 16 kali, maka volumenya akan bertambah 4096 kali.

* Anda dapat memecahkan masalah dengan cara lain. Tentukan tepi tetrahedron sebagai sebuah, kemudian nyatakan tingginya. Setelah itu, tentukan volume piramida menggunakan rumus, lalu cari perbandingan volume yang dihasilkan. Tetapi jalan seperti itu akan sangat panjang dan akan membutuhkan lebih banyak waktu untuk diselesaikan.

Jawaban: 4096

Berapa kali volume piramida akan bertambah jika tingginya bertambah dua belas kali?

Volume piramida sama dengan sepertiga dari produk luas alas dan tinggi:

S- daerah dasar

h- ketinggian piramida

Dengan peningkatan tinggi 12 kali, volume piramida juga akan meningkat 12 kali (ini adalah hubungan garis lurus):

Jawaban: 12

Berapa kali luas permukaan tetrahedron biasa jika semua tepinya bertambah lima kali?

Perhatikan bahwa luas permukaan tetrahedron sama dengan jumlah luas keempat permukaannya, yang merupakan segitiga beraturan.

Cara pertama:

Mari kita tentukan luas permukaan tetrahedron asli dan yang diperbesar, lalu cari rasio luasnya.

Biarkan tepi tetrahedron menjadi sebuah, maka luas wajah akan sama dengan:

*Gunakan segitiga.

Jadi luas permukaan tetrahedron asli akan sama dengan:

Jika tepi tetrahedron bertambah 5 kali lipat, maka luas permukaan akan berubah sebagai berikut:

perbandingan luasnya adalah:

Jadi, jika tepi tetrahedron bertambah lima kali lipat, luas permukaannya akan bertambah 25 kali lipat.

Cara kedua:

Diketahui bahwa dengan peningkatan (penurunan) dimensi linier suatu gambar sebanyak k kali, diperoleh angka yang serupa, luasnya terkait sebagai kuadrat dari koefisien kesamaan, yaitu:

k adalah koefisien kesamaan

Dalam soal ini k=5.

Artinya, dengan menggunakan properti kesamaan, masalahnya diselesaikan secara lisan:

*Luas setiap muka piramida akan bertambah 25 kali, yang berarti luas permukaan seluruh piramida juga akan bertambah 25 kali lipat.

Jawaban: 25

27172. Berapa kali luas permukaan piramida akan bertambah jika semua tepinya digandakan?

Tugas ini tidak berbeda dari yang sebelumnya. Tidak masalah apakah kita berbicara tentang tetrahedron, piramida, kubus, paralelepiped, atau polihedron lainnya. Jika dikatakan bahwa semua tepi dinaikkan dengan jumlah yang sama, maka wajah yang dihasilkan dari tubuh "baru" akan serupa dengan wajah yang sesuai dari tubuh asli. Dan ini berarti pertambahan luas permukaan akan terjadi pada k 2 kali (di mana k adalah koefisien kesamaan).

GUNAKAN tes dalam matematika.

Demo #8.

Menyelesaikan tugas yang paling sulit dari kelompok B.

DALAM 3. Jajar genjang dan persegi panjang memiliki sisi yang sama. Temukan sudut lancip jajar genjang jika luasnya setengah dari luas persegi panjang. Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Keputusan.

Rumus luas jajar genjang:

S = sebuah . b. sinα, dimana sebuah, b adalah sisi jajar genjang, sin adalah sudut di antara mereka.

Rumus luas persegi panjang:

S = sebuah . b, di mana sebuah, b- sisi-sisi persegi panjang.

1) Luas persegi panjang adalah dua kali luas jajaran genjang jika sisi-sisinya sama. Yaitu:

sebuah . b = 2 (sebuah . b. sinα).

2) Hitung sinus sudut :

sebuah . b
sinα = ———— = 1/2.
2(sebuah . b)

3) Ingat lingkaran bilangan: jika sinus suatu sudut adalah 1/2, maka sudut ini sendiri adalah 30 °. Jadi tugas terpecahkan.

Menjawab: 30.

JAM 10. Ada 56 atlet yang mengikuti kejuaraan senam: 27 dari Rusia, 22 dari Amerika Serikat, dan sisanya dari China. Urutan penampilan pesenam ditentukan oleh undian. Tentukan peluang atlet yang bertanding pertama kali berasal dari Cina.

Keputusan.

7 pesenam Cina berpartisipasi dalam kejuaraan (56 - 27 - 22 = 7).

Ini berarti bahwa kemungkinan seorang wanita Cina akan berbicara lebih dulu adalah 7 dari 56. Kami menyusun proporsi ini dan menerjemahkannya ke dalam pecahan desimal, yang akan menjadi jawabannya:

7/56 = 0,125.

Menjawab: 0,125.

AT 11. Berapa kali volume tetrahedron beraturan akan bertambah jika semua sisinya bertambah delapan kali?

Keputusan.

Rumus volume tetrahedron:

V = 2/12. sebuah 3 , dimana sebuah adalah panjang tepi tetrahedron.

Kita melihat bahwa volume tetrahedron hanya bergantung pada panjang tepinya. Artinya, jika kita membandingkan dua tetrahedra dengan ukuran yang berbeda, ternyata: berapa kali lagi? sebuah 3 dari satu tetrahedron dibandingkan dengan yang lain, volumenya sama beberapa kali lebih besar. Jadi masalahnya mudah dipecahkan.

Biarlah sebuah= 1. Kemudian a 3 = 1.

Mari kita tambah panjang tepinya sebanyak 8 kali - sekarang mari sebuah= 8. Mari kita lihat apa yang terjadi dalam kasus ini:

8 3 = 512.

Kesimpulan: dengan peningkatan tepi tetrahedron sebanyak 8 kali, volumenya akan meningkat 512 kali.

Menjawab: 512.

PADA 12. Ketergantungan volume permintaan q(unit per bulan) untuk produk perusahaan monopoli dari harga p(seribu rubel) diberikan oleh rumus q= 50−5p. Pendapatan perusahaan untuk bulan ini r(seribu rubel) dihitung dengan rumus r(p) = pq. Tentukan harga tertinggi p, di mana pendapatan bulanan r(p) akan berjumlah 120 ribu rubel. Berikan jawaban Anda dalam ribuan rubel.

Keputusan.

Pertama, mari kita tuliskan apa yang kita ketahui dari masalah:

r(p) = 120,

q= 50−5p.

Ke dalam rumus pendapatan r(p) = pq kami mengganti dua nilai ini, melakukan pengurangan dan mendapatkan persamaan kuadrat:

p(50−5p) = 120,

50p - 5p 2 = 120,

5p 2 + 50p = 120,

5p 2 + 50p - 120 = 0,

5p 2 - 50p + 120 = 0,

p 2 - 10p + 24 = 0.

Memecahkan persamaan kuadrat, kita mendapatkan dua akarnya:

p 1 = 4, p 2 = 6.

Kita perlu menentukan harga tertinggi - yaitu, dari dua nilai p pilih yang kedua: 6 (seribu rubel).

Menjawab: 6.

B13. Melalui laut, dua kapal kargo kering mengikuti jalur paralel dalam satu arah: yang pertama panjangnya 120 meter, yang kedua panjangnya 80 meter. Pertama, kapal curah kedua tertinggal di belakang kapal curah pertama, dan pada suatu saat, jarak dari buritan kapal curah pertama ke haluan kapal kedua adalah 400 meter. 12 menit setelah itu, kapal curah pertama tertinggal di belakang kapal curah kedua sehingga jarak dari buritan kapal curah kedua ke haluan kapal pertama adalah 600 meter. Berapa kilometer per jam kecepatan kapal kargo pertama lebih kecil dari kecepatan kapal kedua?

Keputusan.

Penting untuk dipahami: yang pertama tidak diam, keduanya bergerak. Sangat penting untuk membayangkan dua kapal kargo kering bergerak agar tidak membuat kesalahan atau melakukan tindakan yang tidak perlu, yang juga akan mengarah pada jawaban yang salah.

1) Jadi, kapal kargo kering kedua bergerak lebih cepat dan dalam 12 menit menyusul kapal kargo kering pertama sejauh 600 meter, sambil mengatasi kelambatan 400 meter, dan panjang kapal kargo kering pertama, dan jarak yang sama dengannya sendiri panjang. Akibatnya, ia pindah relatif ke kapal kargo kering pertama dengan jumlah semua nilai ini:

80 + 400 + 120 + 600 = 1200 (m).

12 menit - 1200 m

60 menit - X m.

Dari sini:

X= 60 . 1200:12 = 6000 m atau 6 km.

Jadi, kecepatan kapal pengangkut curah kedua adalah 6 km/jam lebih cepat dari kecepatan kapal pengangkut yang pertama.

Masalah terpecahkan.

Menjawab: 6.

Halo teman-teman terkasih! Pada artikel ini, kita akan mempertimbangkan beberapa masalah di mana kita berbicara tentang volume kerucut. Dalam artikel terakhir, kami memiliki beberapa tugas. Esensinya sederhana - ada syarat untuk mengurangi (meningkatkan) ketinggian kerucut atau jari-jari ke yang tertentu. Pertanyaannya adalah bagaimana volume telah berubah.Sekali lagi, rumus volume kerucut:

Pertama, pertimbangkan masalahnya, lalu berikan beberapa rekomendasi untuk solusinya.

27094. Berapa kali volume kerucut berkurang jika tingginya dikurangi 3 kali?

Jelas, jika kita mengurangi tinggi dengan faktor tiga, maka volumenya juga akan berkurang dengan faktor tiga (hubungannya lurus). Secara formal, ini dapat ditulis sebagai berikut:

Jawaban: 3

27095. Berapa kali volume kerucut bertambah jika jari-jari alasnya bertambah 1,5 kali?

Mari kita tingkatkan radius 1,5 kali:

Volume akan meningkat 2,25 kali.

Jawaban: 2.25

* Artinya, kita dapat menyimpulkan:

Jika jari-jari alas kerucut diubah (ditambah atau dikurangi) sebanyak n kali, maka volumenya akan bertambah atau berkurang masing-masing n 2 kali. Lihat entri resmi:

Mari kita atur tugas seperti itu.Bagaimana volume kerucut berubah jika tinggi kerucut bertambah 10 kali dan jari-jarinya berkurang 4 kali.

Volume kerucut adalah:

Tambah tinggi 10 dan kurangi radius 4 :

Nilai 0,625 menunjukkan bahwa volume akan berkurang. Artinya, volume kerucut yang dihasilkan akan menjadi 0,625 volume kerucut asli.

Perubahan ini juga dapat dinyatakan sebagai berikut.

Bagilah volume kerucut asli dengan volume kerucut yang dihasilkan dan tentukan berapa kali pengurangan akan terjadi:

Artinya, volume kerucut akan berkurang 1,6 kali.

Kita dapat mengatakan ini - volume kerucut yang dihasilkan 1,6 lebih kecil dari yang asli.

Ringkasan kecil!

Seperti yang Anda lihat, tugasnya sangat sederhana. Inti dari proses penyelesaian adalah "mengurangi" rumus volume kerucut yang dihasilkan menjadi bentuk berikut:

*Artinya, sehingga volume yang dihasilkan dinyatakan dalam volume kerucut asli.

Tentu saja, jika kita hanya berbicara tentang mengubah ketinggian, maka masalah seperti itu dapat diselesaikan secara lisan (hubungan langsung).

Masalah kedua (di mana hanya radiusnya yang berubah) dengan pengalaman juga dapat diselesaikan secara lisan, tetapi lebih baik untuk menuliskan proses perhitungan secara rinci.

Tugas di mana kita berbicara tentang mengubah kedua nilai pada ujian tidak diharapkan, tetapi bersiaplah untuk berjaga-jaga.

Di masa depan, kami pasti akan mempertimbangkan teknik yang sangat nyaman digunakan saat menyelesaikan tugas seperti itu. Kami akan berbicara tidak hanya tentang kerucut, tetapi juga tentang tubuh lain, jangan lewatkan, berlangganan buletin.

Itu saja. Semoga sukses untuk Anda!

Hormat kami, Alexander Krutitskikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu situs ini di jejaring sosial.