Dalam topik ini, kami akan menganalisis rumus-rumus yang dapat diperoleh dengan menggunakan batas luar biasa kedua (topik yang ditujukan langsung ke batas luar biasa kedua berada). Mari saya ingatkan Anda tentang dua formulasi limit luar biasa kedua yang akan dibutuhkan di bagian ini: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e $ dan $\lim_(x \ke\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$.
Biasanya saya memberikan rumus tanpa pembuktian, tetapi untuk halaman ini, saya rasa saya akan membuat pengecualian. Faktanya adalah bahwa bukti konsekuensi dari batas luar biasa kedua berisi beberapa trik yang berguna dalam solusi langsung dari masalah. Nah, dan, secara umum, diinginkan untuk mengetahui bagaimana formula ini atau itu terbukti. Ini memungkinkan Anda untuk lebih memahami struktur internalnya, serta batas penerapannya. Tapi karena buktinya mungkin tidak menarik bagi semua pembaca, saya akan menyembunyikannya di bawah catatan setelah setiap akibat wajar.
Konsekuensi #1
\begin(persamaan) \lim_(x\ke\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\end(persamaan)Bukti akibat wajar #1: tampilkan\sembunyikan
Karena untuk $x\ke 0$ kita memiliki $\ln(1+x)\ke 0$, maka dalam batas yang dipertimbangkan ada ketidaktentuan dari bentuk $\frac(0)(0)$. Untuk mengungkapkan ketidakpastian ini, mari kita nyatakan ekspresi $\frac(\ln(1+x))(x)$ sebagai berikut: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$. Sekarang mari kita tambahkan faktor $\frac(1)(x)$ ke pangkat $(1+x)$ dan terapkan batas luar biasa kedua:
$$ \lim_(x\ke\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ ke\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$
Kami lagi memiliki ketidakpastian bentuk $\frac(0)(0)$. Kami akan mengandalkan formula yang telah kami buktikan. Karena $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$, maka $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.
$$ \lim_(x\ke\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\ke\ 0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$
Konsekuensi #2
\begin(persamaan) \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\end(persamaan)Bukti akibat wajar #2: tampilkan\sembunyikan
Karena untuk $x\ke 0$ kita memiliki $e^x-1\to 0$, maka dalam batas yang dipertimbangkan ada ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$. Untuk mengungkapkan ketidakpastian ini, mari kita ubah variabel, yang menunjukkan $t=e^x-1$. Sejak $x\ke 0$, maka $t\ke 0$. Selanjutnya, dari rumus $t=e^x-1$ kita mendapatkan: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.
$$ \lim_(x\ke\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \kanan|=\kiri | \begin(selaras) & t=e^x-1;\; t\ke 0.\\ & x=\ln(1+t).\end (sejajar) \kanan|= \lim_(t\ke 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\ke 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$
Kami lagi memiliki ketidakpastian bentuk $\frac(0)(0)$. Kami akan mengandalkan formula yang telah kami buktikan. Karena $a^x=e^(x\ln a)$, maka:
$$ \lim_(x\ke\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\ke 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\ke 0 )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$
Konsekuensi #3
\begin(persamaan) \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)=\alpha \end(persamaan)Bukti akibat wajar #3: tampilkan\sembunyikan
Sekali lagi, kita berurusan dengan ketidakpastian bentuk $\frac(0)(0)$. Karena $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$, kita peroleh:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \kanan)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$
Contoh 1
Hitung limit $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$.
Kami memiliki ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$. Untuk mengungkapkan ketidakpastian ini, kita akan menggunakan rumus . Agar sesuai dengan batasan kita pada rumus ini, harus diingat bahwa ekspresi pangkat $e$ dan penyebut harus cocok. Dengan kata lain, sinus dalam penyebut tidak memiliki tempat. Penyebutnya harus $9x$. Juga, ketika memecahkan contoh ini, batas luar biasa pertama akan digunakan.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\ke\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \kanan) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ ke\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \kanan)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$
Menjawab: $\lim_(x\ke\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.
Contoh #2
Hitung limit $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$.
Kita memiliki ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$ (ingat bahwa $\ln\cos 0=\ln 1=0$). Untuk mengungkapkan ketidakpastian ini, kita akan menggunakan rumus . Pertama, perhatikan bahwa $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ (lihat daftar fungsi trigonometri). Sekarang $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, jadi penyebutnya adalah $-2\sin^2 \frac(x ) (2)$ (agar sesuai dengan contoh kita dengan ). Dalam solusi lebih lanjut, batas luar biasa pertama akan digunakan.
$$ \lim_(x\ke\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\ke\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\kanan)^2 \kanan)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$
Menjawab: $\lim_(x\ke\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.
Sekarang, dengan ketenangan pikiran, kita beralih ke pertimbangan batas yang indah.
seperti .
Alih-alih variabel x, berbagai fungsi dapat hadir, yang utama adalah bahwa mereka cenderung 0.
Kita perlu menghitung batasnya
Seperti yang Anda lihat, batas ini sangat mirip dengan batas luar biasa pertama, tetapi ini tidak sepenuhnya benar. Secara umum, jika Anda melihat dosa dalam batas, maka Anda harus segera memikirkan apakah mungkin untuk menggunakan batas luar biasa pertama.
Menurut aturan kami No. 1, kami mengganti nol untuk x:
Kami mendapatkan ketidakpastian.
Sekarang mari kita coba mengatur secara mandiri batas luar biasa pertama. Untuk melakukan ini, kami akan melakukan kombinasi sederhana:
Jadi kita atur pembilang dan penyebutnya agar 7x menonjol. Batas luar biasa yang akrab telah muncul. Dianjurkan untuk menyorotnya ketika memutuskan:
Kami mengganti solusi dari contoh luar biasa pertama dan mendapatkan:
Sederhanakan pecahan:
Jawaban: 7/3.
Seperti yang Anda lihat, semuanya sangat sederhana.
Memiliki bentuk 
, di mana e = 2,718281828… adalah bilangan irasional.
Alih-alih variabel x, berbagai fungsi dapat hadir, yang utama adalah mereka cenderung .
Kita perlu menghitung batasnya
Di sini kita melihat adanya derajat di bawah tanda batas, yang berarti bahwa batas luar biasa kedua dapat diterapkan.
Seperti biasa, kami akan menggunakan aturan nomor 1 - pengganti sebagai ganti x:
Dapat dilihat bahwa untuk x alas derajat adalah , dan eksponennya adalah 4x > , yaitu kita mendapatkan ketidakpastian bentuk:
Mari kita gunakan batas luar biasa kedua untuk mengungkapkan ketidakpastian kita, tetapi pertama-tama kita perlu mengaturnya. Seperti yang Anda lihat, perlu untuk mencapai kehadiran dalam indikator, yang untuknya kami menaikkan basis ke kekuatan 3x, dan pada saat yang sama ke kekuatan 1/3x, sehingga ekspresi tidak berubah:
Jangan lupa untuk menyoroti batas luar biasa kami:
Ini benar-benar batas yang indah!
Jika Anda memiliki pertanyaan tentang batas indah pertama dan kedua jangan ragu untuk bertanya kepada mereka di komentar.
Kami akan menjawab semua orang sesegera mungkin.
Anda juga dapat bekerja dengan seorang guru tentang topik ini.
Kami dengan senang hati menawarkan layanan untuk memilih tutor yang memenuhi syarat di kota Anda. Mitra kami akan segera memilih guru yang baik untuk Anda dengan persyaratan yang menguntungkan bagi Anda.
Tidak cukup informasi? - Kamu bisa !
Anda dapat menulis perhitungan matematis di buku catatan. Jauh lebih menyenangkan untuk menulis di buku catatan individu dengan logo (http://www.blocnot.ru).
Ada beberapa batasan indah, tetapi yang paling terkenal adalah batasan indah pertama dan kedua. Hal yang luar biasa tentang batas-batas ini adalah bahwa mereka banyak digunakan dan dapat digunakan untuk menemukan batas-batas lain yang dihadapi dalam berbagai masalah. Inilah yang akan kita lakukan dalam bagian praktis dari pelajaran ini. Untuk memecahkan masalah dengan mengurangi ke batas luar biasa pertama atau kedua, tidak perlu mengungkapkan ketidakpastian yang terkandung di dalamnya, karena nilai batas ini telah lama disimpulkan oleh ahli matematika hebat.
Batas luar biasa pertama disebut batas rasio sinus dari busur kecil tak terhingga ke busur yang sama, dinyatakan dalam ukuran radian:
Mari kita beralih ke pemecahan masalah pada batas luar biasa pertama. Catatan: jika fungsi trigonometri berada di bawah tanda limit, ini hampir merupakan tanda pasti bahwa ekspresi ini dapat direduksi menjadi limit luar biasa pertama.
Contoh 1 Temukan batasnya.
Keputusan. Pergantian sebagai gantinya x nol mengarah ke ketidakpastian:
.
Penyebutnya adalah sinus, oleh karena itu, ekspresinya dapat direduksi menjadi batas luar biasa pertama. Mari kita mulai transformasi:
.
Di penyebut - sinus tiga x, dan di pembilang hanya ada satu x, yang berarti Anda perlu mendapatkan tiga x di pembilang. Untuk apa? Untuk menyajikan 3 x = sebuah dan dapatkan ekspresinya.
Dan kita sampai pada variasi dari batas luar biasa pertama:
karena tidak masalah huruf (variabel) apa dalam rumus ini, bukan X.
Kami mengalikan x dengan tiga dan langsung membagi:
.
Sesuai dengan batas luar biasa pertama yang dicatat, kami mengganti ekspresi pecahan:
Sekarang kita akhirnya bisa memecahkan batas ini:
.
Contoh 2 Temukan batasnya.
Keputusan. Substitusi langsung lagi-lagi mengarah pada ketidakpastian "nol bagi dengan nol":
.
Untuk mendapatkan limit luar biasa pertama, perlu bahwa x di bawah tanda sinus pada pembilang dan hanya x pada penyebut dengan koefisien yang sama. Biarkan koefisien ini sama dengan 2. Untuk melakukan ini, mari kita bayangkan koefisien saat ini di x seperti di bawah ini, melakukan tindakan dengan pecahan, kita mendapatkan:
.
Contoh 3 Temukan batasnya.
Keputusan. Saat mensubstitusi, kita kembali mendapatkan ketidakpastian "nol dibagi nol":
.
Anda mungkin sudah mengerti bahwa dari ekspresi asli Anda bisa mendapatkan batas luar biasa pertama dikalikan dengan batas luar biasa pertama. Untuk melakukan ini, kami menguraikan kuadrat x di pembilang dan sinus di penyebut menjadi faktor yang sama, dan untuk mendapatkan koefisien yang sama untuk x dan sinus, kami membagi x di pembilang dengan 3 dan langsung kalikan dengan 3. Kita peroleh:
.
Contoh 4 Temukan batasnya.
Keputusan. Sekali lagi kita mendapatkan ketidakpastian "nol dibagi nol":
.
Kita dapat memperoleh rasio dari dua batas luar biasa pertama. Kami membagi pembilang dan penyebut dengan x. Kemudian, agar koefisien pada sinus dan di x bertepatan, kami mengalikan x atas dengan 2 dan langsung membaginya dengan 2, dan mengalikan x bawah dengan 3 dan langsung membaginya dengan 3. Kami mendapatkan:
Contoh 5 Temukan batasnya.
Keputusan. Dan lagi, ketidakpastian "nol dibagi nol":
Kita ingat dari trigonometri bahwa garis singgung adalah rasio sinus terhadap kosinus, dan kosinus nol sama dengan satu. Kami melakukan transformasi dan mendapatkan:
.
Contoh 6 Temukan batasnya.
Keputusan. Fungsi trigonometri di bawah tanda batas sekali lagi menunjukkan gagasan untuk menerapkan batas luar biasa pertama. Kami mewakilinya sebagai rasio sinus terhadap cosinus.
Dari artikel di atas, Anda dapat mengetahui apa batasannya dan apa yang dimakan - ini SANGAT penting. Mengapa? Anda mungkin tidak mengerti apa itu determinan dan menyelesaikannya dengan sukses, Anda mungkin tidak mengerti sama sekali apa itu turunan dan menemukannya di "lima". Tetapi jika Anda tidak mengerti apa itu batas, maka akan sulit untuk menyelesaikan tugas-tugas praktis. Juga, tidak akan berlebihan untuk membiasakan diri dengan sampel desain keputusan dan rekomendasi saya untuk desain. Semua informasi disajikan dengan cara yang sederhana dan mudah diakses.
Dan untuk tujuan pelajaran ini, kita membutuhkan bahan metodologis berikut: Batas Luar Biasa dan Rumus trigonometri. Mereka dapat ditemukan di halaman. Yang terbaik adalah mencetak manual - jauh lebih nyaman, selain itu, mereka sering harus diakses secara offline.
Apa yang luar biasa tentang batas yang luar biasa? Keajaiban batas-batas ini terletak pada kenyataan bahwa mereka telah dibuktikan oleh para ahli matematika terkenal yang paling hebat, dan keturunan yang bersyukur tidak harus menderita dari batas-batas yang mengerikan dengan setumpuk fungsi trigonometri, logaritma, dan derajat. Artinya, ketika menemukan batasannya, kami akan menggunakan hasil yang sudah jadi yang telah terbukti secara teoritis.
Ada beberapa batasan yang luar biasa, tetapi dalam praktiknya, siswa paruh waktu dalam 95% kasus memiliki dua batasan yang luar biasa: Batas luar biasa pertama, Batas luar biasa kedua. Perlu dicatat bahwa ini adalah nama-nama yang ditetapkan secara historis, dan ketika, misalnya, mereka berbicara tentang "batas luar biasa pertama", yang mereka maksudkan dengan ini adalah hal yang sangat spesifik, dan bukan batas acak yang diambil dari langit-langit.
Batas luar biasa pertama
Pertimbangkan batasan berikut: (alih-alih huruf asli "dia" saya akan menggunakan huruf Yunani "alpha", ini lebih nyaman dalam hal penyajian materi).
Menurut aturan kami untuk menemukan batas (lihat artikel Batas. Contoh solusi) kami mencoba mengganti nol ke dalam fungsi: di pembilang kami mendapatkan nol (sinus nol adalah nol), di penyebut, tentu saja, juga nol. Jadi, kita dihadapkan pada ketidakpastian bentuk, yang untungnya tidak perlu diungkapkan. Dalam perjalanan analisis matematis, terbukti bahwa:
Fakta matematika ini disebut Batas luar biasa pertama. Saya tidak akan memberikan bukti analitik dari limit, tetapi kami akan mempertimbangkan makna geometrisnya dalam pelajaran tentang fungsi sangat kecil.
Seringkali dalam tugas-tugas praktis, fungsi dapat diatur secara berbeda, ini tidak mengubah apa pun:
– batas luar biasa pertama yang sama.
Tetapi Anda tidak dapat mengatur ulang pembilang dan penyebutnya sendiri! Jika suatu limit diberikan dalam bentuk , maka harus diselesaikan dalam bentuk yang sama, tanpa mengatur ulang apapun.
Dalam praktiknya, tidak hanya variabel yang dapat bertindak sebagai parameter, tetapi juga fungsi dasar, fungsi kompleks. Yang penting itu cenderung nol.
Contoh:
, , 
, 
Di Sini , , , 
, dan semuanya berdengung - batas luar biasa pertama berlaku.
Dan inilah entri berikutnya - bid'ah:
Mengapa? Karena polinomial tidak cenderung ke nol, ia cenderung ke lima.
Omong-omong, pertanyaannya adalah untuk pengisian ulang, tetapi berapa batasnya 
? Jawabannya dapat ditemukan di akhir pelajaran.
Dalam praktiknya, tidak semuanya begitu mulus, hampir tidak pernah seorang siswa akan ditawari untuk memecahkan batas gratis dan mendapatkan kredit yang mudah. Hmmm... Saya menulis baris-baris ini, dan sebuah pemikiran yang sangat penting muncul di benak - lagi pula, tampaknya lebih baik mengingat definisi dan rumus matematika "bebas" dengan hati, ini bisa menjadi bantuan yang sangat berharga dalam ujian, ketika masalahnya akan diputuskan antara "dua" dan "tiga", dan guru memutuskan untuk mengajukan pertanyaan sederhana kepada siswa atau menawarkan untuk memecahkan contoh paling sederhana ("mungkin dia (a) masih tahu apa?!").
Mari beralih ke contoh praktis:
Contoh 1
Temukan batasnya
Jika kita melihat sebuah sinus dalam limit, maka ini harus segera mengarahkan kita untuk berpikir tentang kemungkinan menerapkan limit luar biasa pertama.
Pertama, kami mencoba mengganti 0 dalam ekspresi di bawah tanda batas (kami melakukan ini secara mental atau pada konsep):
Jadi, kita memiliki ketidaktentuan bentuk , nya pastikan untuk menunjukkan dalam mengambil keputusan. Ekspresi di bawah tanda batas terlihat seperti batas luar biasa pertama, tetapi ini tidak cukup, itu di bawah sinus, tetapi dalam penyebut.
Dalam kasus seperti itu, kita perlu mengatur batas luar biasa pertama kita sendiri, menggunakan perangkat buatan. Garis penalarannya bisa sebagai berikut: “di bawah sinus yang kita miliki, yang berarti bahwa kita juga perlu memasukkan penyebutnya”.
Dan ini dilakukan dengan sangat sederhana:
Artinya, penyebutnya dikalikan secara artifisial dalam hal ini dengan 7 dan dibagi dengan tujuh yang sama. Sekarang rekor tersebut telah mengambil bentuk yang familiar.
Saat tugas dibuat dengan tangan, disarankan untuk menandai batas indah pertama dengan pensil sederhana:
Apa yang terjadi? Faktanya, ekspresi yang dilingkari telah berubah menjadi satu unit dan menghilang dalam produk: 
Sekarang tinggal menyingkirkan pecahan tiga lantai: 
Yang sudah lupa penyederhanaan pecahan bertingkat, silahkan refresh materi di buku referensi Rumus Matematika Sekolah Panas .
Siap. Jawaban akhir:
Jika Anda tidak ingin menggunakan tanda pensil, maka solusinya dapat diformat seperti ini:
“
Kami menggunakan batas luar biasa pertama 
“
Contoh 2
Temukan batasnya
Sekali lagi kita melihat pecahan dan sinus pada limitnya. Kami mencoba untuk mengganti nol di pembilang dan penyebut:
Memang, kami memiliki ketidakpastian dan, oleh karena itu, kami perlu mencoba mengatur batas luar biasa pertama. Pada pelajaran Batas. Contoh solusi kita mempertimbangkan aturan bahwa ketika kita memiliki ketidakpastian , maka kita perlu memfaktorkan pembilang dan penyebut menjadi faktor. Di sini - hal yang sama, kami akan menyajikan derajat sebagai produk (pengganda):
Serupa dengan contoh sebelumnya, kami menguraikan dengan pensil batas-batas yang indah (di sini ada dua di antaranya), dan menunjukkan bahwa mereka cenderung satu:
Sebenarnya, jawabannya sudah siap:
Dalam contoh berikut, saya tidak akan melakukan seni di Paint, saya pikir cara membuat solusi dengan benar di buku catatan - Anda sudah mengerti.
Contoh 3
Temukan batasnya
Kami mengganti nol dalam ekspresi di bawah tanda batas:
Telah diperoleh suatu ketidakpastian yang perlu diungkapkan. Jika ada tangen di limit, maka hampir selalu diubah menjadi sinus dan cosinus sesuai dengan rumus trigonometri yang terkenal (omong-omong, mereka melakukan hal yang sama dengan kotangen, lihat materi metodologis Rumus trigonometri panas Di halaman Rumus matematika, tabel dan bahan referensi).
Pada kasus ini:
Kosinus nol sama dengan satu, dan mudah untuk menghilangkannya (jangan lupa untuk menandai bahwa itu cenderung satu):
Jadi, jika dalam limit kosinusnya adalah MULTIPLIER, maka, secara kasar, itu harus diubah menjadi satu unit, yang menghilang dalam produk.
Di sini semuanya menjadi lebih sederhana, tanpa perkalian dan pembagian. Batas luar biasa pertama juga berubah menjadi kesatuan dan menghilang dalam produk:
Akibatnya, tak terhingga diperoleh, itu terjadi.
Contoh 4
Temukan batasnya
Kami mencoba untuk mengganti nol di pembilang dan penyebut:
Ketidakpastian yang diperoleh (cosinus nol, seperti yang kita ingat, sama dengan satu)
Kami menggunakan rumus trigonometri. Perhatikan! Untuk beberapa alasan, batasan menggunakan rumus ini sangat umum.
Kami mengambil pengganda konstan di luar ikon batas:
Mari kita atur batas luar biasa pertama:
Di sini kami hanya memiliki satu batas luar biasa, yang berubah menjadi satu dan menghilang dalam produk:
Mari kita singkirkan tiga cerita:
Batas sebenarnya diselesaikan, kami menunjukkan bahwa sinus yang tersisa cenderung nol:
Contoh 5
Temukan batasnya 
Contoh ini lebih rumit, coba cari tahu sendiri:
Beberapa batas dapat dikurangi menjadi batas luar biasa pertama dengan mengubah variabel, Anda dapat membaca tentang ini nanti di artikel Batasi Metode Penyelesaian.
Batas luar biasa kedua
Dalam teori analisis matematis dibuktikan bahwa:
Fakta ini disebut batas luar biasa kedua.
Referensi: 
adalah bilangan irasional.
Tidak hanya variabel yang dapat bertindak sebagai parameter, tetapi juga fungsi yang kompleks. Hanya penting bahwa ia berusaha untuk tak terbatas.
Contoh 6
Temukan batasnya
Ketika ekspresi di bawah tanda batas berkuasa - ini adalah tanda pertama bahwa Anda perlu mencoba menerapkan batas luar biasa kedua.
Tetapi pertama-tama, seperti biasa, kami mencoba mengganti angka yang sangat besar ke dalam ekspresi, menurut prinsip apa ini dilakukan, itu dianalisis dalam pelajaran Batas. Contoh solusi.
Sangat mudah untuk melihat bahwa ketika dasar derajat, dan eksponen - , yaitu, ada ketidakpastian bentuk:
Ketidakpastian ini baru saja terungkap dengan bantuan batas luar biasa kedua. Tetapi, seperti yang sering terjadi, batas luar biasa kedua tidak terletak di atas piring perak, dan itu harus diatur secara artifisial. Anda dapat beralasan sebagai berikut: dalam contoh ini, parameter berarti bahwa kita juga perlu mengatur dalam indikator. Untuk melakukan ini, kami menaikkan basis ke kekuatan, dan agar ekspresi tidak berubah, kami menaikkannya ke kekuatan:
Saat tugas dibuat dengan tangan, kami menandai dengan pensil:
Hampir semuanya sudah siap, gelar yang mengerikan telah berubah menjadi surat yang cantik:
Pada saat yang sama, ikon batas itu sendiri dipindahkan ke indikator:
Contoh 7
Temukan batasnya
Perhatian! Jenis batasan ini sangat umum, harap pelajari contoh ini dengan cermat.
Kami mencoba untuk mengganti angka yang sangat besar dalam ekspresi di bawah tanda batas:
Hasilnya adalah ketidakpastian. Tetapi batas luar biasa kedua berlaku untuk ketidakpastian bentuk. Apa yang harus dilakukan? Anda perlu mengonversi basis derajat. Kami berpendapat seperti ini: dalam penyebut kita memiliki , yang berarti bahwa kita juga perlu mengatur dalam pembilang.
Temukan batasan yang luar biasa sulit tidak hanya bagi banyak siswa tahun pertama, tahun kedua studi yang mempelajari teori limit, tetapi juga bagi beberapa guru.
Rumus batas luar biasa pertama
Konsekuensi dari batas luar biasa pertama
tulis rumusnya
1. 2. 3. 4. Tetapi dengan sendirinya, rumus umum batas luar biasa tidak membantu siapa pun dalam ujian atau ujian. Intinya adalah tugas-tugas nyata dibangun sehingga rumus-rumus yang tertulis di atas masih perlu dicapai. Dan sebagian besar siswa yang melewatkan kelas, mempelajari kursus ini melalui korespondensi atau memiliki guru yang tidak selalu mengerti apa yang mereka jelaskan, tidak dapat menghitung contoh paling dasar hingga batas yang luar biasa. Dari rumus batas luar biasa pertama, kita melihat bahwa mereka dapat digunakan untuk menyelidiki ketidakpastian seperti nol dibagi nol untuk ekspresi dengan fungsi trigonometri. Pertama-tama mari kita perhatikan serangkaian contoh tentang limit luar biasa pertama, dan kemudian kita akan mempelajari limit luar biasa kedua.
Contoh 1. Tentukan limit fungsi sin(7*x)/(5*x)
Solusi: Seperti yang Anda lihat, fungsi di bawah limit mendekati batas luar biasa pertama, tetapi limit dari fungsi itu sendiri jelas tidak sama dengan satu. Dalam penetapan batas seperti itu, seseorang harus memilih penyebut variabel dengan koefisien yang sama yang terkandung dalam variabel di bawah sinus. Dalam hal ini, bagi dan kalikan dengan 7 
Bagi sebagian orang, perincian seperti itu akan tampak berlebihan, tetapi bagi sebagian besar siswa yang merasa sulit untuk memberikan batasan, ini akan membantu untuk lebih memahami aturan dan mempelajari materi teoretis.
Juga, jika ada bentuk kebalikan dari fungsi - ini juga merupakan batas luar biasa pertama. Dan semua karena batas luar biasa sama dengan satu
Aturan yang sama berlaku untuk konsekuensi dari 1 batas luar biasa. Oleh karena itu, jika Anda ditanya, "Berapa batas luar biasa pertama?" Anda harus menjawab tanpa ragu-ragu bahwa itu adalah satu kesatuan.
Contoh 2. Tentukan limit fungsi sin(6x)/tan(11x)
Solusi: Untuk memahami hasil akhir, kami menulis fungsi dalam bentuk 
Untuk menerapkan aturan batas yang luar biasa, kalikan dan bagi dengan faktor
Selanjutnya, kita menulis limit hasil kali fungsi dalam bentuk hasil kali limit 
Tanpa rumus yang rumit, kami menemukan limit dari beberapa fungsi trigonometri. Untuk mempelajari rumus-rumus sederhana, coba temukan dan temukan limit pada 2 dan 4, rumus akibat wajar 1 dari limit yang luar biasa. Kami akan mempertimbangkan tugas yang lebih kompleks.
Contoh 3. Hitung limit (1-cos(x))/x^2
Solusi: Saat memeriksa dengan substitusi, kami mendapatkan ketidakpastian 0/0 . Banyak yang tidak tahu bagaimana mengurangi contoh seperti itu menjadi 1 batas yang luar biasa. Di sini Anda harus menggunakan rumus trigonometri 
Dalam hal ini, batasnya akan diubah menjadi bentuk yang jelas 
Kami telah berhasil mengurangi fungsi ke kuadrat dari batas yang luar biasa.
Contoh 4. Temukan limitnya
Solusi: Saat mengganti, kami mendapatkan fitur yang sudah dikenal 0/0 . Namun, variabel mendekati Pi , bukan nol. Oleh karena itu, untuk menerapkan limit luar biasa pertama, kita akan melakukan perubahan seperti itu pada variabel x, sehingga variabel baru menjadi nol. Untuk melakukan ini, kami menyatakan penyebut sebagai variabel baru Pi-x=y 
Jadi, dengan menggunakan rumus trigonometri, yang diberikan dalam tugas sebelumnya, contohnya dikurangi menjadi 1 batas luar biasa.
Contoh 5 Hitung Batas 
Solusi: Pada awalnya tidak jelas bagaimana menyederhanakan limit. Tapi jika ada contoh, maka harus ada jawaban. Fakta bahwa variabel menuju kesatuan memberikan, ketika mensubstitusi, singularitas dari bentuk nol dikalikan dengan tak terhingga, sehingga garis singgung harus diganti dengan rumus 
Setelah itu, kita mendapatkan ketidakpastian yang diinginkan 0/0. Selanjutnya, kami melakukan perubahan variabel pada limit, dan menggunakan periodisitas kotangen 
Pergantian terakhir memungkinkan kita untuk menggunakan Corollary 1 dari limit yang luar biasa.
Batas luar biasa kedua sama dengan eksponen
Ini adalah klasik yang dalam masalah nyata tidak selalu mudah untuk mencapai batas.
Untuk perhitungan yang Anda perlukan batas adalah konsekuensi dari batas luar biasa kedua:
1. 
2. 
3. 
4.
Berkat batas luar biasa kedua dan konsekuensinya, seseorang dapat menjelajahi ketidakpastian seperti nol dibagi nol, satu pangkat tak terhingga, dan tak terhingga dibagi tak terhingga, dan bahkan hingga derajat yang sama. 
Mari kita mulai dengan beberapa contoh sederhana.
Contoh 6 Tentukan limit suatu fungsi
Solusi: Langsung terapkan 2 batas luar biasa tidak akan berfungsi. Pertama-tama, Anda perlu memutar indikatornya sehingga memiliki bentuk kebalikan dari suku dalam tanda kurung 
Ini adalah teknik reduksi ke 2 limit luar biasa dan, sebenarnya, turunan dari rumus 2 konsekuensi limit.
Contoh 7 Tentukan limit suatu fungsi
Solusi: Kami memiliki tugas untuk rumus 3 akibat wajar 2 dari batas luar biasa. Substitusi nol memberikan singularitas dalam bentuk 0/0. Untuk menaikkan limit di bawah aturan, kita putar penyebutnya sehingga variabel memiliki koefisien yang sama seperti pada logaritma 
Hal ini juga mudah dipahami dan dilakukan pada ujian. Kesulitan siswa dalam menghitung limit diawali dengan tugas-tugas berikut.
Contoh 8 Hitung limit fungsi[(x+7)/(x-3)]^(x-2) 
Solusi: Kami memiliki singularitas tipe 1 pangkat tak terhingga. Jika Anda tidak percaya, Anda dapat mengganti infinity alih-alih "x" di mana-mana dan lihat sendiri. Untuk menaikkan di bawah aturan, kami membagi pembilang dengan penyebut dalam tanda kurung, untuk ini pertama-tama kami melakukan manipulasi 
Substitusikan ekspresi ke dalam limit dan ubah menjadi 2 limit yang luar biasa 
Batasnya adalah eksponen pangkat 10. Konstanta yang merupakan istilah dengan variabel baik dalam tanda kurung maupun derajat tidak berkontribusi pada "cuaca" apa pun - ini harus diingat. Dan jika guru bertanya kepada Anda - "Mengapa Anda tidak menyalakan indikator?" (Untuk contoh ini di x-3 ), kemudian katakan bahwa "Ketika variabel cenderung tak terhingga, tambahkan 100 padanya, atau kurangi 1000, dan limitnya akan tetap sama!".
Ada cara kedua untuk menghitung batas jenis ini. Kami akan membicarakannya di tugas berikutnya.
Contoh 9 Temukan batasnya 
Solusi: Sekarang kita keluarkan variabel dalam pembilang dan penyebut dan mengubah satu fitur menjadi fitur lainnya. Untuk mendapatkan nilai akhir, kami menggunakan rumus Akibat wajar 2 dari batas luar biasa 
Contoh 10 Tentukan limit suatu fungsi
Solusi: Tidak semua orang dapat menemukan batas yang diberikan. Untuk menaikkan batas menjadi 2, bayangkan bahwa sin (3x) adalah variabel, dan Anda perlu mengubah eksponennya 
Selanjutnya, kami menulis indikator sebagai gelar dalam derajat 
Argumen perantara dijelaskan dalam tanda kurung. Sebagai hasil dari penggunaan batas luar biasa pertama dan kedua, kami mendapatkan pangkat pangkat tiga.
Contoh 11. Hitung limit fungsi dosa(2*x)/log(3*x+1)
Solusi: Kami memiliki ketidakpastian dalam bentuk 0/0. Selain itu, kita melihat bahwa fungsi tersebut harus dikonversi ke penggunaan kedua batas luar biasa. Mari kita lakukan transformasi matematika sebelumnya 
Selanjutnya, tanpa kesulitan, batas mengambil nilainya 
Ini adalah bagaimana Anda akan merasa nyaman pada tes, tes, modul jika Anda belajar cara cepat melukis fungsi dan menguranginya ke batas luar biasa pertama atau kedua. Jika sulit bagi Anda untuk mengingat cara-cara menemukan limit di atas, maka Anda selalu dapat memesan pekerjaan kontrol pada limit dari kami.
Untuk melakukan ini, isi formulir, tentukan data dan lampirkan file dengan contoh. Kami telah membantu banyak siswa - kami juga dapat membantu Anda!
