Persiapan untuk ujian matematika

Percobaan

Pelajaran 9 Fungsi trigonometri terbalik.

Praktik

Ringkasan pelajaran

Terutama, kemampuan untuk bekerja dengan fungsi busur akan berguna bagi kita ketika memecahkan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri.

Tugas yang sekarang akan kita pertimbangkan dibagi menjadi dua jenis: menghitung nilai fungsi trigonometri terbalik dan mengonversinya menggunakan properti dasar.

Menghitung nilai fungsi busur

Mari kita mulai dengan menghitung nilai fungsi busur.

Tugas 1. Hitung.

Seperti yang Anda lihat, semua argumen fungsi busur positif dan tabel, yang berarti bahwa kita dapat mengembalikan nilai sudut dari bagian pertama tabel nilai fungsi trigonometri untuk sudut dari ke . Rentang sudut ini termasuk dalam rentang nilai masing-masing fungsi busur, jadi kita cukup menggunakan tabel, menemukan nilai fungsi trigonometri di dalamnya dan mengembalikan sudut mana yang sesuai.

sebuah)

b)

di)

G)

Menjawab. .

Tugas #2. Menghitung

.

Dalam contoh ini, kita sudah melihat argumen negatif. Kesalahan tipikal dalam hal ini adalah dengan hanya menghapus minus dari bawah fungsi dan cukup mengurangi tugas ke yang sebelumnya. Namun, ini mungkin tidak dapat dilakukan dalam semua kasus. Mari kita ingat kembali bagaimana di bagian teoretis pelajaran kita menetapkan paritas semua fungsi busur. Yang ganjil adalah arcsine dan arctangent, yaitu, minusnya dihilangkan, dan arccosine dan arccotangent adalah fungsi dari bentuk umum, untuk menyederhanakan minus dalam argumen mereka memiliki rumus khusus. Setelah perhitungan, untuk menghindari kesalahan, kami memeriksa apakah hasilnya termasuk dalam rentang nilai.

Ketika argumen fungsi disederhanakan menjadi bentuk positif, kami menuliskan nilai sudut yang sesuai dari tabel.

Mungkin timbul pertanyaan, mengapa tidak menuliskan nilai sudut yang bersesuaian, misalnya langsung dari tabel? Pertama, karena tabel sebelumnya lebih sulit diingat daripada sebelumnya, dan kedua, karena tidak ada nilai negatif sinus di dalamnya, dan nilai negatif garis singgung akan memberikan sudut yang salah menurut meja. Lebih baik memiliki pendekatan satu ukuran untuk semua solusi daripada bingung dengan banyak pendekatan yang berbeda.

Tugas #3. Hitung.

a) Kesalahan tipikal dalam hal ini adalah mulai menghilangkan minus dan menyederhanakan sesuatu. Hal pertama yang harus diperhatikan adalah bahwa argumen arcsine berada di luar cakupan

Oleh karena itu, entri ini tidak masalah, dan arcsine tidak dapat dihitung.

b) Kesalahan standar dalam hal ini adalah mereka mengacaukan nilai argumen dan fungsi dan memberikan jawabannya. Ini tidak benar! Tentu saja, muncul gagasan bahwa dalam tabel nilainya sesuai dengan kosinus, tetapi dalam kasus ini bingung bahwa fungsi busur dihitung bukan dari sudut, tetapi dari nilai fungsi trigonometri. Bukan itu .

Selain itu, karena kami telah menemukan apa sebenarnya argumen dari arc cosinus, perlu untuk memeriksa apakah itu termasuk dalam domain definisi. Untuk melakukan ini, ingatlah itu , yaitu, yang berarti bahwa arc cosinus tidak masuk akal dan tidak dapat dihitung.

Omong-omong, misalnya, ekspresi masuk akal, karena, tetapi karena nilai cosinus sama dengan bukan tabel, maka tidak mungkin menghitung arc cosinus menggunakan tabel.

Menjawab. Ekspresi tidak masuk akal.

Dalam contoh ini, kami tidak mempertimbangkan arctangent dan arccotangent, karena mereka tidak memiliki ruang lingkup terbatas dan nilai-nilai fungsinya adalah untuk argumen apa pun.

Tugas #4. Menghitung .

Faktanya, tugas direduksi menjadi yang pertama, kita hanya perlu menghitung nilai kedua fungsi secara terpisah, dan kemudian menggantinya ke ekspresi aslinya.

Argumen tangen busur adalah tabular dan hasilnya dalam kisaran.

Argumen arccosine tidak tabular, tetapi ini seharusnya tidak membuat kita takut, karena berapa pun arccosine sama, nilainya ketika dikalikan dengan nol akan menghasilkan nol. Satu catatan penting tetap: perlu untuk memeriksa apakah argumen arccosine termasuk dalam domain definisi, karena jika tidak, maka seluruh ekspresi tidak akan masuk akal, terlepas dari fakta bahwa itu berisi perkalian dengan nol. Tapi , jadi kita bisa berargumen bahwa itu masuk akal dan kita mendapatkan nol dalam jawabannya.

Mari kita berikan contoh lain di mana perlu untuk dapat menghitung satu fungsi busur, mengetahui nilai yang lain.

Tugas #5. Hitung jika diketahui .

Tampaknya perlu terlebih dahulu menghitung nilai x dari persamaan yang ditunjukkan, dan kemudian mensubstitusikannya ke dalam ekspresi yang diinginkan, yaitu, ke dalam kotangen busur, tetapi ini tidak perlu.

Mari kita ingat kembali rumus di mana fungsi-fungsi ini saling berhubungan:

Dan kami akan mengungkapkan darinya apa yang kami butuhkan:

Untuk memastikannya, Anda dapat memeriksa bahwa hasilnya terletak pada kisaran kotatangen busur.

Transformasi fungsi busur menggunakan sifat dasarnya

Sekarang mari kita beralih ke serangkaian tugas di mana kita harus menggunakan transformasi fungsi busur menggunakan properti dasarnya.

Tugas #6. Menghitung .

Untuk solusinya, kami akan menggunakan properti utama dari fungsi busur yang ditunjukkan, hanya perlu memeriksa batasan yang sesuai dengannya.

sebuah)

b) .

Menjawab. sebuah) ; b) .

Tugas #7. Hitung.

Kesalahan umum dalam kasus ini adalah dengan segera menulis 4. Seperti yang kami tunjukkan dalam contoh sebelumnya, untuk menggunakan properti utama dari fungsi busur, perlu untuk memeriksa batasan yang sesuai pada argumennya. Kami berurusan dengan properti:

pada

Tetapi . Hal utama pada tahap keputusan ini adalah untuk tidak berpikir bahwa ekspresi yang ditentukan tidak masuk akal dan tidak dapat dihitung. Bagaimanapun, quadruple, yang merupakan argumen dari tangen, kita dapat mengurangi dengan mengurangi periode tangen, dan ini tidak akan mempengaruhi nilai ekspresi. Setelah melakukan tindakan seperti itu, kami akan memiliki kesempatan untuk mengurangi argumen sehingga memasuki kisaran yang ditentukan.

Karena, oleh karena itu, , karena .

Tugas #8. Menghitung.

Dalam contoh ini, kita berurusan dengan ekspresi yang mirip dengan properti utama dari arcsine, tetapi hanya berisi kofungsi. Itu harus dibawa ke bentuk sinus arcsine atau cosinus arccosine. Karena lebih mudah mengubah fungsi trigonometri langsung daripada fungsi terbalik, mari kita beralih dari sinus ke kosinus menggunakan rumus "satuan trigonometri".

Seperti yang sudah kita ketahui:

Dalam kasus kami, dalam peran . Untuk kenyamanan, pertama-tama kita hitung .

Sebelum mensubstitusikannya ke dalam rumus, kita cari tahu tandanya, yaitu tanda sinus asal. Kita harus menghitung sinus dari nilai arc cosinus, berapa pun nilai ini, kita tahu bahwa itu terletak dalam jangkauan. Rentang ini sesuai dengan sudut kuartal pertama dan kedua, di mana sinus positif (periksa sendiri menggunakan lingkaran trigonometri).

Pada sesi latihan hari ini, kita melihat perhitungan dan transformasi ekspresi yang mengandung fungsi trigonometri terbalik

Perbaiki materi dengan bantuan simulator

Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Mesin 4 Mesin 5

Pelajaran 32-33. Fungsi trigonometri terbalik

09.07.2015 6432 0

Target: pertimbangkan fungsi trigonometri terbalik, penggunaannya untuk menulis solusi persamaan trigonometri.

I. Komunikasi topik dan tujuan pelajaran

II. Mempelajari materi baru

1. Fungsi trigonometri terbalik

Mari kita mulai topik ini dengan contoh berikut.

Contoh 1

Mari kita selesaikan persamaannya: a) sin x = 1/2; b) dosa x \u003d a.

a) Pada sumbu ordinat, sisihkan nilai 1/2 dan plot sudutnya x 1 dan x2, dimana dosa x = 1/2. Dalam hal ini, x1 + x2 = , dari mana x2 = – x 1 . Menurut tabel nilai fungsi trigonometri, kami menemukan nilai x1 = /6, makaKami memperhitungkan periodisitas fungsi sinus dan menuliskan solusi persamaan ini:dimana k Z .

b) Jelas bahwa algoritma untuk menyelesaikan persamaan dosa x = a sama dengan paragraf sebelumnya. Tentu saja, sekarang nilai a diplot sepanjang sumbu y. Ada kebutuhan untuk entah bagaimana menunjuk sudut x1. Kami setuju untuk menunjukkan sudut seperti itu dengan simbol busur dosa sebuah. Maka solusi dari persamaan ini dapat ditulis sebagaiKedua rumus ini dapat digabungkan menjadi satu: di mana

Fungsi trigonometri terbalik lainnya diperkenalkan dengan cara yang sama.

Sangat sering perlu untuk menentukan nilai sudut dari nilai fungsi trigonometri yang diketahui. Masalah seperti itu multinilai - ada jumlah sudut tak terbatas yang fungsi trigonometrinya sama dengan nilai yang sama. Oleh karena itu, berdasarkan kemonotonan fungsi trigonometri, fungsi trigonometri terbalik berikut diperkenalkan untuk menentukan sudut secara unik.

Arcsinus dari a (arcsin , yang sinusnya sama dengan a, yaitu

Busur kosinus suatu bilangan sebuah (arccos a) - sudut seperti itu dari interval, yang kosinusnya sama dengan a, mis.

Tangen busur suatu bilangan a(arctg a) - sudut seperti itu dari intervalyang tangennya adalah a, mis.tg a = a.

Tangen busur suatu bilangan a(arctg a) - sudut seperti itu dari interval (0; ), yang kotangennya sama dengan a, mis. ctg a = a.

Contoh 2

Mari kita temukan:

Mengingat definisi fungsi trigonometri terbalik, kita mendapatkan:

Contoh 3

Menghitung

Misalkan sudut a = arcsin 3/5, maka menurut definisi sin a = 3/5 dan . Oleh karena itu, kita perlu menemukan karena sebuah. Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, kita mendapatkan:Hal ini diperhitungkan bahwa cos a 0. Jadi,

Properti Fungsi	Fungsi
	y = busur x	y = busur x	y = busur x	y = arcctg x
Domain	x [-1; satu]	x [-1; satu]	x (-∞; +∞)	x (-∞ +∞)
Jarak nilai	y [-π/2 ; /2]	y	y (-π/2 ; /2 )	y (0; )
Keseimbangan	aneh	Tidak genap maupun ganjil	aneh	Tidak genap maupun ganjil
Fungsi nol (y = 0)	Ketika x = 0	Untuk x = 1	Ketika x = 0	y 0
Interval konstan	y > 0 untuk x (0; 1], pada< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 untuk x [-1; satu)	y > 0 untuk x (0; +∞), pada< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 untuk x (-∞; +∞)
Nada datar	meningkat	berkurang	meningkat	berkurang
Hubungan dengan fungsi trigonometri	dosa y \u003d x	cos y = x	tg y = x	ctg y=x
Jadwal

Mari kita berikan sejumlah contoh tipikal yang terkait dengan definisi dan sifat dasar fungsi trigonometri terbalik.

Contoh 4

Tentukan domain dari fungsi tersebut

Agar fungsi y dapat didefinisikan, pertidaksamaan harusyang ekuivalen dengan sistem pertidaksamaanPenyelesaian pertidaksamaan pertama adalah interval x∈ (-∞; +∞), yang kedua - Interval ini dan merupakan solusi untuk sistem pertidaksamaan, dan oleh karena itu domain dari fungsi

Contoh 5

Cari luas daerah perubahan fungsi

Pertimbangkan perilaku fungsi z \u003d 2x - x2 (lihat gambar).

Dapat dilihat bahwa z (-∞; 1]. Mengingat bahwa argumen z fungsi invers tangen bervariasi dalam batas-batas yang ditentukan, dari data dalam tabel kita peroleh bahwaJadi, area perubahan

Contoh 6

Buktikan fungsi y = arctg x aneh. BiarlahKemudian tg a \u003d -x atau x \u003d - tg a \u003d tg (- a), dan Oleh karena itu, - a \u003d arctg x atau \u003d - arctg X. Jadi, kita melihat bahwayaitu, y(x) adalah fungsi ganjil.

Contoh 7

Kami menyatakan dalam hal semua fungsi trigonometri terbalik

Biarlah Jelas bahwa Kemudian sejak

Mari kita perkenalkan sudut Sebagai kemudian

Demikian pula, oleh karena itu dan

Jadi,

Contoh 8

Mari kita buat grafik fungsi y \u003d cos (arsin x).

Tunjukkan a \u003d arcsin x, maka Kami memperhitungkan bahwa x \u003d sin a dan y \u003d cos a, yaitu x 2 + y2 = 1, dan pembatasan pada x (x∈ [-satu; 1]) dan y (y 0). Maka grafik fungsi y = cos(arsin x) adalah setengah lingkaran.

Contoh 9

Mari kita buat grafik fungsi y \u003d arccos (cosx).

Karena fungsi cos x perubahan pada segmen [-1; 1], maka fungsi y didefinisikan pada seluruh sumbu real dan berubah pada interval . Kita akan ingat bahwa y = arccos(cosx) \u003d x pada segmen; fungsi y genap dan periodik dengan periode 2π. Mengingat bahwa fungsi memiliki sifat-sifat ini karena x , Sekarang mudah untuk merencanakan.

Kami mencatat beberapa persamaan yang berguna:

Contoh 10

Temukan nilai terkecil dan terbesar dari fungsi Menunjukkan kemudian Dapatkan fungsi Fungsi ini memiliki minimum pada titik z = /4, dan sama dengan Nilai maksimum fungsi tercapai pada titik z = -π/2, dan sama dengan Jadi, dan

Contoh 11

Ayo selesaikan persamaannya

Kami memperhitungkan bahwa Maka persamaannya menjadi seperti:atau di mana Dengan definisi tangen busur, kita mendapatkan:

2. Penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana

Sama halnya dengan contoh 1, Anda bisa mendapatkan solusi untuk persamaan trigonometri paling sederhana.

persamaan	Keputusan
tgx = a
ctg x = a

Contoh 12

Ayo selesaikan persamaannya

Karena fungsi sinus ganjil, kami menulis persamaan dalam bentukSolusi untuk persamaan ini:di mana kita menemukan?

Contoh 13

Ayo selesaikan persamaannya

Menurut rumus di atas, kami menulis solusi persamaan:dan menemukan

Perhatikan bahwa dalam kasus tertentu (a = 0; ±1) saat menyelesaikan persamaan sin x = a dan cos x \u003d tetapi lebih mudah dan lebih nyaman untuk menggunakan bukan rumus umum, tetapi tulis solusi berdasarkan lingkaran satuan:

untuk persamaan sin x = 1 solusi

untuk persamaan sin x \u003d 0 solusi x \u003d k;

untuk persamaan sin x = -1 solusi

untuk persamaan cos x = 1 solusi x = 2π k;

untuk persamaan cos x = 0 solusi

untuk persamaan cos x = -1 solusi

Contoh 14

Ayo selesaikan persamaannya

Karena dalam contoh ini ada kasus khusus persamaan, kami menulis solusinya menggunakan rumus yang sesuai:di mana kita menemukan?

AKU AKU AKU. Pertanyaan kontrol (survei frontal)

1. Mendefinisikan dan membuat daftar sifat-sifat utama fungsi trigonometri terbalik.

2. Berikan grafik fungsi trigonometri terbalik.

3. Penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana.

IV. Tugas dalam pelajaran

15, nomor 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12(b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

16, nomor 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

17, nomor 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Pekerjaan Rumah

15, nomor 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (d); 16(b); 18 (c, d); 19 (d); 22;

16, nomor 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18(b); 19 (a, b);

17, no.3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. tugas kreatif

1. Temukan ruang lingkup fungsi:

Jawaban:

2. Temukan rentang fungsi:

Jawaban:

3. Gambarkan fungsinya:

VII. Menyimpulkan pelajaran

Badan Federal untuk Pendidikan Federasi Rusia

SEI HPE "Universitas Negeri Mari"

Jurusan Matematika dan MPM

Tugas kursus

Fungsi trigonometri terbalik

Dilakukan:

murid

33 grup JNF

Yashmetova L.N.

Pengawas:

Ph.D. Asisten profesor

Borodina M.V.

Yoshikar-Ola

Pendahuluan……………………………………………………………………………….3

Bab I. Definisi fungsi trigonometri terbalik.

1.1. Fungsi y=busur dosa x……………………………………………………........4

1.2. Fungsi y=arccos x…………………………………………………….......5

1.3. Fungsi y=arctg x………………………………………………………….6

1.4. Fungsi y=arcctg x…………………………………………………….......7

Bab II. Solusi persamaan dengan fungsi trigonometri terbalik.

Hubungan dasar untuk fungsi trigonometri terbalik ... .8

Menyelesaikan Persamaan yang Mengandung Fungsi Trigonometri Terbalik………………………………………………………………………………..11

Perhitungan nilai fungsi trigonometri terbalik .................... 21

Kesimpulan………………………………………………………………………….25

Daftar literatur yang digunakan ………………………………………….26

pengantar

Dalam banyak masalah, ada kebutuhan untuk menemukan tidak hanya nilai fungsi trigonometri untuk sudut tertentu, tetapi juga, sebaliknya, sudut atau busur untuk nilai tertentu dari beberapa fungsi trigonometri.

Masalah dengan fungsi trigonometri terbalik terdapat dalam tugas USE (terutama banyak di bagian B dan C). Misalnya, pada bagian B dari Unified State Examination, diperlukan untuk menemukan nilai tangen yang sesuai dengan nilai sinus (cosinus) atau menghitung nilai ekspresi yang berisi nilai tabular dari fungsi trigonometri terbalik. Mengenai jenis tugas ini, kami mencatat bahwa tugas-tugas seperti itu di buku teks sekolah tidak cukup untuk membentuk keterampilan yang solid dalam pelaksanaannya.

Itu. tujuan dari kursus ini adalah untuk mempertimbangkan fungsi trigonometri terbalik dan sifat-sifatnya, dan belajar bagaimana memecahkan masalah dengan fungsi trigonometri terbalik.

Untuk mencapai tujuan, kita perlu menyelesaikan tugas-tugas berikut:

Untuk mempelajari dasar-dasar teoritis fungsi trigonometri terbalik,

Tunjukkan penerapan pengetahuan teoretis dalam praktik.

BabSaya. Definisi fungsi trigonometri terbalik

1.1. Fungsi y =busur dosax

Pertimbangkan fungsinya
. (1)

Dalam interval ini, fungsinya monoton (naik dari -1 ke 1), oleh karena itu, ada fungsi invers

,
. (2)

Untuk setiap nilai yang diberikan pada(nilai sinus) dari interval [-1,1] sesuai dengan satu nilai yang terdefinisi dengan baik X(nilai busur) dari span
. Melewati notasi yang diterima secara umum, kita mendapatkan

Di mana
. (3)

Ini adalah spesifikasi analitik dari fungsi yang berbanding terbalik dengan fungsi (1). Fungsi (3) disebut arcsinus argumen . Grafik fungsi ini adalah kurva simetris terhadap grafik fungsi , Dimana , terhadap garis-bagi dari sudut koordinat I dan III.

Mari kita sajikan sifat-sifat fungsi, di mana .

Properti 1. Luas daerah perubahan nilai fungsi : .

Properti 2. Fungsinya ganjil, mis.

Properti 3. Fungsi, di mana , memiliki akar tunggal
.

Properti 4. Jika kemudian
; jika , kemudian.

Properti 5. Fungsinya monoton: saat argumen meningkat dari -1 ke 1, nilai fungsi meningkat dari
sebelum
.

1.2. Fungsikamu = ardengankarenax

Pertimbangkan fungsinya
, . (4)

Dalam interval ini, fungsinya monoton (menurun dari +1 menjadi -1), yang berarti ada fungsi invers untuk itu

, , (5)

itu. setiap nilai (nilai kosinus) dari interval [-1,1] sesuai dengan satu nilai yang terdefinisi dengan baik (nilai busur) dari interval . Melewati notasi yang diterima secara umum, kita mendapatkan

, . (6)

Ini adalah spesifikasi analitik dari fungsi yang berbanding terbalik dengan fungsi (4). Fungsi (6) disebut busur kosinus argumen X. Grafik fungsi ini dapat dibangun berdasarkan sifat-sifat grafik fungsi yang saling terbalik.

Fungsi , dimana , memiliki sifat-sifat berikut.

Properti 1. Area perubahan nilai fungsi:
.

Properti 2. Kuantitas
dan
berhubungan dengan rasio

Properti 3. Fungsi memiliki akar tunggal
.

Properti 4. Fungsi tidak menerima nilai negatif.

Properti 5. Fungsinya monoton: saat argumen meningkat dari -1 ke +1, nilai fungsi turun dari ke 0.

1.3. Fungsikamu = arctgx

Pertimbangkan fungsinya
,
. (7)

Perhatikan bahwa fungsi ini didefinisikan untuk semua nilai yang terletak secara ketat di dalam interval dari ke ; itu tidak ada di ujung interval ini, karena nilainya

- titik putus dari garis singgung.

untuk sementara
fungsinya monoton (bertambah dari -
sebelum
), oleh karena itu, untuk fungsi (1) ada fungsi invers:

,
, (8)

itu. untuk setiap nilai yang diberikan (nilai tangen) dari interval
sesuai dengan satu nilai yang terdefinisi dengan baik (besarnya busur) dari interval .

Melewati notasi yang diterima secara umum, kita mendapatkan

,
. (9)

Ini adalah spesifikasi analitik dari fungsi yang berbanding terbalik dengan (7). Fungsi (9) disebut tangen busur argumen X. Perhatikan bahwa ketika
nilai fungsi
, dan kapan

, yaitu Grafik fungsi memiliki dua asimtot:
dan.

Fungsi , , memiliki sifat-sifat berikut.

Properti 1. Rentang nilai fungsi
.

Properti 2. Fungsinya ganjil, mis. .

Properti 3. Fungsi ini memiliki akar tunggal.

Properti 4. Jika sebuah
, kemudian

; jika , kemudian
.

Properti 5. Fungsinya monoton: saat argumen dari ke meningkat, nilai fungsi meningkat dari ke +.

1.4. Fungsikamu = arcctgx

Pertimbangkan fungsinya
,
. (10)

Fungsi ini didefinisikan untuk semua nilai yang terletak dalam interval dari 0 hingga ; itu tidak ada di ujung interval ini, karena nilai dan adalah titik diskontinuitas kotangen. Pada interval (0,) fungsinya monoton (berkurang dari ke), oleh karena itu, untuk fungsi (1) terdapat fungsi invers

, (11)

itu. untuk setiap nilai yang diberikan (nilai kotangen) dari interval (
) sesuai dengan satu nilai yang terdefinisi dengan baik (besarnya busur) dari interval (0,). Beralih ke notasi yang diterima secara umum, kita terhubung oleh relasi Abstrak >> Matematika dengan trigonometri fungsi. Ke membalik trigonometri fungsi biasanya disebut sebagai enam fungsi: arcsinus...

Dialektika perkembangan konsep fungsi dalam matematika sekolah

Tesis >> Pedagogi

... . Membalik trigonometri fungsi. Tujuan utamanya adalah untuk mempelajari properti trigonometri fungsi, mengajar siswa untuk membangun grafik mereka. Pertama trigonometri fungsi ...

Bagaimana konsep itu muncul dan berkembang? fungsi

Abstrak >> Matematika

Bagaimana persamaan ini termasuk membalik trigonometri fungsi, cycloid bukan aljabar... dan juga notasinya trigonometri) membalik trigonometri, eksponensial dan logaritma fungsi. Seperti fungsi disebut dasar. Segera...

Bagian: Matematika

Fungsi trigonometri terbalik banyak digunakan dalam kalkulus.

Tugas-tugas yang berkaitan dengan fungsi trigonometri terbalik sering menyebabkan kesulitan yang signifikan bagi siswa sekolah menengah. Ini disebabkan, pertama-tama, oleh fakta bahwa dalam buku teks dan manual yang ada, tugas-tugas seperti itu tidak terlalu diperhatikan, dan jika siswa entah bagaimana masih mengatasi tugas menghitung nilai fungsi trigonometri terbalik, maka persamaan dan ketidaksetaraan yang mengandung fungsi-fungsi ini, sering membingungkan mereka. Yang terakhir ini tidak mengherankan, karena praktis tidak ada buku teks (termasuk buku teks untuk kelas dengan studi mendalam tentang matematika) yang menjelaskan metode untuk memecahkan bahkan persamaan dan ketidaksetaraan paling sederhana dari jenis ini. Program yang diusulkan dikhususkan untuk metode untuk memecahkan persamaan dan ketidaksetaraan dan transformasi ekspresi yang mengandung fungsi trigonometri terbalik.

Ini akan berguna bagi guru yang bekerja di kelas atas - baik pendidikan umum dan matematika, serta untuk siswa yang tertarik dengan matematika.

Kursus ini memperluas kursus dasar matematika, memberikan kesempatan untuk berkenalan dengan pertanyaan matematika yang menarik. Pertanyaan-pertanyaan yang tercakup dalam kursus berada di luar cakupan kursus matematika yang diperlukan. Namun, mereka terkait erat dengan hidangan utama. Oleh karena itu, mata kuliah pilihan ini akan memberikan kontribusi bagi peningkatan dan pengembangan pengetahuan dan keterampilan matematika siswa.

Saat mengadakan kelas, bentuk tradisional, seperti kuliah dan seminar, harus digunakan, tetapi bentuk organisasi seperti diskusi, debat, presentasi, penulisan esai harus dikedepankan.

Pilihan untuk sertifikasi akhir dapat berupa: tes, tes, menulis esai tentang topik yang diusulkan oleh guru; tugas individu di mana perlu untuk melakukan penelitian independen, tes tematik.

Tujuan kursus adalah untuk menciptakan kondisi untuk pelaksanaan pelatihan khusus; pembentukan sistem integral dari pengetahuan matematika dan dasar untuk melanjutkan pendidikan matematika di universitas dari berbagai profil.

Tujuan kursus:

• memperluas cakupan pengetahuan matematika siswa;
• memperluas pemahaman siswa tentang fungsi trigonometri terbalik;
• menggeneralisasi metode utama untuk menyelesaikan persamaan, pertidaksamaan yang mengandung fungsi trigonometri terbalik;
• pertimbangkan metode untuk membangun grafik fungsi trigonometri terbalik.

Persyaratan untuk tingkat pelatihan siswa.

• Siswa harus tahu:
  – definisi fungsi trigonometri terbalik, sifat-sifatnya;
  – rumus dasar;
  – metode untuk memecahkan persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung fungsi trigonometri terbalik;
  – metode untuk merencanakan grafik fungsi: y=arcsinx, y= arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.
• Siswa harus mampu:
  - menerapkan sifat dan rumus dasar fungsi trigonometri terbalik;
  – memecahkan persamaan dan pertidaksamaan paling sederhana;
  – melakukan transformasi ekspresi yang mengandung fungsi trigonometri terbalik;
  – menerapkan berbagai metode untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan;
  – memecahkan persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter yang mengandung fungsi trigonometri terbalik;
  - membangun grafik fungsi trigonometri terbalik.

Perencanaan kursus tematik yang diberikan adalah teladan. Guru dapat memvariasikan jumlah jam yang dialokasikan untuk mempelajari topik individu, dengan mempertimbangkan tingkat persiapan siswa.

Perencanaan tematik

	Subjek	Jumlah jam	Bentuk kegiatan belajar
	Fungsi trigonometri terbalik dan sifat-sifatnya. Nilai fungsi trigonometri terbalik.		Pekerjaan mandiri dengan literatur pendidikan, seminar.
	Grafik fungsi trigonometri terbalik.		Kerja praktek.
	Mengonversi ekspresi yang mengandung fungsi trigonometri terbalik.		Parsing dan analisis solusi. Pengujian.
	Penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan trigonometri paling sederhana.		Sesi seminar.
	Metode untuk memecahkan persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung fungsi trigonometri terbalik.		Parsing dan analisis solusi. Sengketa. Uji.
	Solusi persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung parameter.		Parsing dan analisis solusi. Diskusi.
	Generalisasi pengulangan		Pengembangan dan perlindungan proyek.
	Kontrol kursus terakhir.		Uji. Perlindungan abstrak.

“Fungsi trigonometri terbalik, grafiknya. Nilai fungsi trigonometri terbalik”.

Definisi fungsi trigonometri terbalik, sifat-sifatnya. Menemukan nilai fungsi trigonometri terbalik.

"Grafik fungsi trigonometri terbalik".

Fungsikamu= arcsinx, kamu= sebuahrccosx, kamu= arctgx, kamu= arcctgx, grafik mereka.

"Konversi ekspresi yang mengandung fungsi trigonometri terbalik".

Perhitungan nilai fungsi trigonometri dari nilai fungsi trigonometri terbalik. Memeriksa validitas persamaan yang mengandung fungsi trigonometri terbalik. Menyederhanakan Ekspresi yang Mengandung Gambarfungsi trigonometri padat» .

"Penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana dan pertidaksamaan yang mengandung fungsi trigonometri terbalik".

Persamaan:arcsinx= a,arccosx= a,arctgx= a,arcctgx= a.
Ketidaksetaraan:arcsinx> sebuah,arccosx> sebuah,arctgx> sebuah,arcctgx> sebuah,arcsinx<а, arccosx<а, arctgx<а, arcctgx<а.

"Metode untuk memecahkan persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung fungsi trigonometri terbalik".

Persamaan dan pertidaksamaan, yang bagian kiri dan kanannya merupakan fungsi trigonometri terbalik dengan nama yang sama. Persamaan dan pertidaksamaan yang bagian kiri dan kanannya merupakan kebalikan fungsi trigonometri. Substitusi variabel. Menggunakan monotonisitas dan keterbatasan fungsi trigonometri terbalik.

“Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan yang Mengandung Parameter”.

Metode untuk memecahkan persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung parameter.

"Pengulangan umum".

Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan tingkat yang berbeda.

Kontrol akhir kursus (2 jam).

Kegiatan pengendalian dapat direpresentasikan dalam bentuktes dalam beberapa varian dan tingkat kerumitan yang berbeda. Perlindungan abstrak pada topik yang diberikan.

Sastra untuk siswa:

1. Kramor V.S., Mikhailov P.A. fungsi trigonometri. – M.: Pencerahan, 1983.
2. Litvinenko VN, Mordkovich AG Lokakarya tentang pemecahan masalah matematika. – M.: Pencerahan, 1984.
3. Tsypkin A. G., Pinsky A. I. Buku Pegangan tentang metode pemecahan masalah untuk sekolah menengah. – M.: Nauka, 1983.
4. CD disk 1C: Tutor.Matematika. 1 bagian.
5. Sumber daya internet: Koleksi abstrak.

Sastra untuk guru:

1. Ershov V., Raykhmist R.B. Konstruksi grafik fungsi. – M.: Pencerahan, 1984.
2. Vasil'eva V. A., Kudrina T. D., Molodozhnikova R. N. Manual metodologis dalam matematika untuk pelamar ke universitas. – M.: MAI, 1992.
3. Ershova A.P., Goloborodko V.V. Aljabar. Awal dari analisis. – M.: ILEKSA, 2003.
4. Kumpulan soal matematika untuk ujian kompetitif di universitas teknik / Ed. M.I.Skanavi. - L.: Sekolah Tinggi, 2003.
5. Jurnal "Matematika di sekolah".