Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Pada artikel ini, kita akan berbicara tentang garis paralel, memberikan definisi, menunjuk tanda dan kondisi paralelisme. Untuk kejelasan materi teoretis, kami akan menggunakan ilustrasi dan solusi dari contoh-contoh tipikal.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definisi 1

Garis sejajar pada bidang adalah dua garis lurus pada bidang yang tidak memiliki titik persekutuan.

Definisi 2

Garis paralel dalam ruang 3D- dua garis lurus dalam ruang tiga dimensi yang terletak pada bidang yang sama dan tidak memiliki titik yang sama.

Perlu dicatat bahwa untuk menentukan garis paralel dalam ruang, klarifikasi "berbaring di bidang yang sama" sangat penting: dua garis dalam ruang tiga dimensi yang tidak memiliki titik yang sama dan tidak terletak pada bidang yang sama tidak sejajar, tetapi berpotongan.

Untuk menunjukkan garis sejajar, biasanya digunakan simbol . Artinya, jika garis a dan b yang diberikan sejajar, kondisi ini harus ditulis secara singkat sebagai berikut: a b . Secara verbal kesejajaran garis ditunjukkan sebagai berikut: garis a dan b sejajar, atau garis a sejajar dengan garis b, atau garis b sejajar dengan garis a.

Mari kita merumuskan pernyataan yang memainkan peran penting dalam topik yang diteliti.

Aksioma

Melalui suatu titik yang bukan merupakan bagian dari suatu garis, hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis tersebut. Pernyataan ini tidak dapat dibuktikan berdasarkan aksioma planimetri yang diketahui.

Dalam hal ruang, teoremanya benar:

Teorema 1

Melalui setiap titik dalam ruang yang tidak termasuk dalam garis tertentu, hanya akan ada satu garis yang sejajar dengan garis yang diberikan.

Teorema ini mudah dibuktikan berdasarkan aksioma di atas (program geometri untuk kelas 10-11).

Tanda paralelisme adalah kondisi yang cukup di mana garis paralel dijamin. Dengan kata lain, pemenuhan kondisi ini cukup untuk mengkonfirmasi fakta paralelisme.

Secara khusus, ada kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis di bidang dan di ruang angkasa. Mari kita jelaskan: yang diperlukan berarti kondisi, yang pemenuhannya diperlukan untuk garis paralel; jika tidak puas, garis tidak sejajar.

Ringkasnya, kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis adalah kondisi seperti itu, yang kepatuhannya perlu dan cukup agar garis sejajar satu sama lain. Di satu sisi, ini adalah tanda paralelisme, di sisi lain, properti yang melekat pada garis paralel.

Sebelum memberikan perumusan yang tepat tentang kondisi perlu dan cukup, kita ingat beberapa konsep tambahan lagi.

Definisi 3

garis potong adalah garis yang memotong masing-masing dari dua garis yang tidak bertepatan.

Memotong dua garis lurus, garis potong membentuk delapan sudut yang tidak diperluas. Untuk merumuskan syarat perlu dan syarat cukup, kita akan menggunakan jenis-jenis sudut seperti letak bersilang, bersesuaian, dan satu sisi. Mari kita tunjukkan mereka dalam ilustrasi:

Teorema 2

Jika dua garis pada sebuah bidang memotong sebuah garis potong, maka agar garis-garis tersebut sejajar, perlu dan cukup bahwa sudut-sudut yang bersilangan harus sama, atau sudut-sudut yang bersesuaian harus sama, atau jumlah sudut satu sisi sama dengan 180 derajat.

Mari kita ilustrasikan secara grafis kondisi perlu dan cukup untuk garis sejajar pada bidang:

Bukti dari kondisi ini ada dalam program geometri untuk kelas 7-9.

Secara umum, kondisi ini juga berlaku untuk ruang tiga dimensi, asalkan dua garis dan garis potong berada pada bidang yang sama.

Mari kita tunjukkan beberapa teorema lagi yang sering digunakan untuk membuktikan fakta bahwa garis sejajar.

Teorema 3

Dalam sebuah bidang, dua garis yang sejajar dengan sepertiga adalah sejajar satu sama lain. Fitur ini dibuktikan berdasarkan aksioma paralelisme yang disebutkan di atas.

Teorema 4

Dalam ruang tiga dimensi, dua garis sejajar dengan yang ketiga sejajar satu sama lain.

Bukti atribut dipelajari dalam program geometri kelas 10.

Kami memberikan ilustrasi teorema ini:

Mari kita tunjukkan satu lagi pasangan teorema yang membuktikan paralelisme garis.

Teorema 5

Dalam sebuah bidang, dua garis yang tegak lurus terhadap sepertiga adalah sejajar satu sama lain.

Mari kita rumuskan yang serupa untuk ruang tiga dimensi.

Teorema 6

Dalam ruang tiga dimensi, dua garis yang tegak lurus terhadap sepertiga adalah sejajar satu sama lain.

Mari kita ilustrasikan:

Semua teorema, tanda, dan kondisi di atas memungkinkan pembuktian paralelisme garis dengan metode geometri. Yaitu, untuk membuktikan paralelisme garis, seseorang dapat menunjukkan bahwa sudut-sudut yang bersesuaian adalah sama besar, atau menunjukkan fakta bahwa dua garis yang diberikan tegak lurus terhadap garis ketiga, dan seterusnya. Tetapi kami mencatat bahwa seringkali lebih mudah menggunakan metode koordinat untuk membuktikan paralelisme garis dalam bidang atau dalam ruang tiga dimensi.

Paralelisme garis dalam sistem koordinat persegi panjang

Dalam sistem koordinat persegi panjang yang diberikan, garis lurus ditentukan oleh persamaan garis lurus pada bidang dari salah satu jenis yang mungkin. Demikian pula, garis lurus yang diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang dalam ruang tiga dimensi sesuai dengan beberapa persamaan garis lurus dalam ruang.

Mari kita tulis kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis dalam sistem koordinat persegi panjang, tergantung pada jenis persamaan yang menggambarkan garis yang diberikan.

Mari kita mulai dengan kondisi garis sejajar pada bidang. Ini didasarkan pada definisi vektor arah garis dan vektor normal garis pada bidang.

Teorema 7

Agar dua garis yang tidak bertepatan sejajar pada sebuah bidang, perlu dan cukup bahwa vektor arah dari garis-garis yang diberikan harus kolinear, atau vektor normal dari garis yang diberikan adalah collinear, atau vektor arah dari satu garis adalah tegak lurus terhadap vektor normal garis lainnya.

Menjadi jelas bahwa kondisi garis sejajar pada bidang didasarkan pada kondisi vektor collinear atau kondisi tegak lurus dua vektor. Yaitu, jika a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y) adalah vektor arah garis a dan b ;

dan n b → = (n b x , n b y) adalah vektor normal garis a dan b , maka kita tuliskan syarat perlu dan cukup di atas sebagai berikut: a → = t b → a x = t b x a y = t b y atau n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y atau a → , n b → = 0 a x n b x + a y n b y = 0 , di mana t adalah bilangan real. Koordinat vektor pengarah atau langsung ditentukan oleh persamaan garis yang diberikan. Mari kita pertimbangkan contoh utama.

1. Garis a dalam sistem koordinat persegi panjang ditentukan oleh persamaan umum garis: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; garis b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Kemudian vektor normal dari garis yang diberikan akan memiliki koordinat (A 1 , B 1) dan (A 2 , B 2) masing-masing. Kami menulis kondisi paralelisme sebagai berikut:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Garis lurus a digambarkan dengan persamaan garis lurus dengan kemiringan berbentuk y = k 1 x + b 1 . Garis lurus b - y \u003d k 2 x + b 2. Maka vektor-vektor normal dari garis-garis yang diberikan masing-masing akan memiliki koordinat (k 1 , - 1) dan (k 2 , - 1), dan kita menulis kondisi paralelisme sebagai berikut:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) k 1 = t k 2 t = 1 k 1 = k 2

Jadi, jika garis sejajar pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang diberikan oleh persamaan dengan koefisien kemiringan, maka koefisien kemiringan dari garis yang diberikan akan sama. Dan pernyataan kebalikannya adalah benar: jika garis-garis yang tidak bertepatan pada sebuah bidang dalam sistem koordinat persegi panjang ditentukan oleh persamaan garis dengan koefisien kemiringan yang sama, maka garis-garis yang diberikan ini sejajar.

1. Garis a dan b dalam sistem koordinat persegi panjang diberikan oleh persamaan kanonik garis pada bidang: x - x 1 a x = y - y 1 a y dan x - x 2 b x = y - y 2 b y atau persamaan parametrik dari garis pada bidang: x = x 1 + a x y = y 1 + a y dan x = x 2 + b x y = y 2 + b y .

Maka vektor arah dari garis-garis yang diberikan adalah: a x , a y dan b x , b y berturut-turut, dan kita tuliskan kondisi paralelisme sebagai berikut:

a x = t b x a y = t b y

Mari kita lihat contoh.

Contoh 1

Diberikan dua garis: 2 x - 3 y + 1 = 0 dan x 1 2 + y 5 = 1 . Anda perlu menentukan apakah mereka paralel.

Keputusan

Kami menulis persamaan garis lurus dalam segmen dalam bentuk persamaan umum:

x 1 2 + y 5 = 1 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Kita lihat bahwa n a → = (2 , - 3) adalah vektor normal dari garis 2 x - 3 y + 1 = 0 , dan n b → = 2 , 1 5 adalah vektor normal dari garis x 1 2 + y 5 = 1 .

Vektor yang dihasilkan tidak kolinear, karena tidak ada nilai t yang persamaannya akan benar:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 t = 1 - 3 = t 1 5 t = 1 - 3 = 1 5

Dengan demikian, kondisi paralelisme garis yang diperlukan dan cukup pada bidang tidak terpenuhi, yang berarti bahwa garis-garis yang diberikan tidak sejajar.

Menjawab: garis yang diberikan tidak sejajar.

Contoh 2

Diketahui garis y = 2 x + 1 dan x 1 = y - 4 2 . Apakah mereka paralel?

Keputusan

Mari kita ubah persamaan kanonik garis lurus x 1 \u003d y - 4 2 menjadi persamaan garis lurus dengan kemiringan:

x 1 = y - 4 2 1 (y - 4) = 2 x y = 2 x + 4

Kita lihat bahwa persamaan garis y = 2 x + 1 dan y = 2 x + 4 tidak sama (jika sebaliknya, garisnya akan sama) dan gradien garisnya sama, yang berarti bahwa garis yang diberikan sejajar.

Mari kita coba memecahkan masalah secara berbeda. Pertama, kami memeriksa apakah garis yang diberikan bertepatan. Kami menggunakan titik mana pun dari garis y \u003d 2 x + 1, misalnya (0, 1) , koordinat titik ini tidak sesuai dengan persamaan garis x 1 \u003d y - 4 2, yang berarti garis tidak bertepatan.

Langkah selanjutnya adalah menentukan pemenuhan kondisi paralelisme untuk garis yang diberikan.

Vektor normal dari garis y = 2 x + 1 adalah vektor n a → = (2 , - 1) , dan vektor arah dari garis kedua yang diberikan adalah b → = (1 , 2) . Produk skalar dari vektor-vektor ini adalah nol:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Jadi, vektor-vektornya tegak lurus: ini menunjukkan kepada kita pemenuhan kondisi yang diperlukan dan cukup untuk garis asli menjadi paralel. Itu. garis yang diberikan sejajar.

Menjawab: garis-garis ini sejajar.

Untuk membuktikan kesejajaran garis dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi, digunakan kondisi perlu dan cukup berikut ini.

Teorema 8

Agar dua garis tidak bertepatan dalam ruang tiga dimensi menjadi sejajar, vektor arah dari garis-garis ini perlu dan cukup untuk menjadi segaris.

Itu. untuk persamaan garis yang diberikan dalam ruang tiga dimensi, jawaban atas pertanyaan: apakah sejajar atau tidak, ditemukan dengan menentukan koordinat vektor arah dari garis yang diberikan, serta memeriksa kondisi kolinearitasnya. Dengan kata lain, jika a → = (a x, a y, a z) dan b → = (b x, b y, b z) berturut-turut adalah vektor-vektor arah garis a dan b, maka agar sejajar, keberadaan bilangan real seperti t diperlukan, sehingga persamaan berlaku:

a → = t b → a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Contoh 3

Diketahui garis x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 dan x = 2 + 2 y = 1 z = - 3 - 6 . Hal ini diperlukan untuk membuktikan paralelisme garis-garis ini.

Keputusan

Kondisi masalah adalah persamaan kanonik dari satu garis lurus dalam ruang dan persamaan parametrik dari garis lurus lain dalam ruang. Vektor arah a → dan b → garis yang diberikan memiliki koordinat: (1 , 0 , - 3) dan (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 t = 1 2 , maka a → = 1 2 b → .

Oleh karena itu, syarat perlu dan cukup untuk garis sejajar dalam ruang terpenuhi.

Menjawab: kesejajaran garis-garis yang diberikan terbukti.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Artikel ini berisi uraian tentang garis sejajar dan tentang garis sejajar. Pertama, definisi garis sejajar pada bidang dan ruang diberikan, notasi diperkenalkan, contoh dan ilustrasi grafik garis sejajar diberikan. Selanjutnya, tanda dan kondisi paralelisme garis lurus dianalisis. Sebagai kesimpulan, solusi ditunjukkan untuk masalah khas dalam membuktikan paralelisme garis lurus, yang diberikan oleh beberapa persamaan garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang dan dalam ruang tiga dimensi.

Navigasi halaman.

Garis paralel - informasi dasar.

Definisi.

Dua garis dalam satu bidang disebut paralel jika mereka tidak memiliki poin yang sama.

Definisi.

Dua garis dalam tiga dimensi disebut paralel jika mereka terletak pada bidang yang sama dan tidak memiliki titik yang sama.

Perhatikan bahwa klausa "jika mereka terletak pada bidang yang sama" dalam definisi garis paralel dalam ruang sangat penting. Mari kita perjelas poin ini: dua garis lurus dalam ruang tiga dimensi yang tidak memiliki titik yang sama dan tidak terletak pada bidang yang sama tidak sejajar, tetapi miring.

Berikut adalah beberapa contoh garis paralel. Tepi berlawanan dari lembar notebook terletak pada garis paralel. Garis-garis lurus di mana bidang dinding rumah berpotongan dengan bidang langit-langit dan lantai adalah sejajar. Rel kereta api di permukaan tanah juga dapat dianggap sebagai jalur paralel.

Simbol "" digunakan untuk menunjukkan garis sejajar. Artinya, jika garis a dan b sejajar, maka secara singkat Anda dapat menulis a b.

Perhatikan bahwa jika garis a dan b sejajar, maka kita dapat mengatakan bahwa garis a sejajar dengan garis b, dan juga bahwa garis b sejajar dengan garis a.

Mari kita menyuarakan pernyataan yang memainkan peran penting dalam studi garis paralel pada bidang: melalui titik yang tidak terletak pada garis tertentu, melewati satu-satunya garis yang sejajar dengan yang diberikan. Pernyataan ini diterima sebagai fakta (tidak dapat dibuktikan berdasarkan aksioma planimetri yang diketahui), dan disebut aksioma garis sejajar.

Untuk kasus di ruang angkasa, teorema ini benar: melalui sembarang titik dalam ruang yang tidak terletak pada garis tertentu, melewati satu garis sejajar dengan garis yang diberikan. Teorema ini dapat dengan mudah dibuktikan dengan menggunakan aksioma garis sejajar di atas (Anda dapat menemukan buktinya di buku teks geometri kelas 10-11, yang tercantum di akhir artikel dalam daftar pustaka).

Untuk kasus di ruang angkasa, teorema ini benar: melalui sembarang titik dalam ruang yang tidak terletak pada garis tertentu, melewati satu garis sejajar dengan garis yang diberikan. Teorema ini mudah dibuktikan dengan menggunakan aksioma garis sejajar yang diberikan di atas.

Paralelisme garis - tanda dan kondisi paralelisme.

Tanda garis sejajar adalah syarat yang cukup untuk garis-garis sejajar, yaitu syarat yang pemenuhannya menjamin garis-garis sejajar. Dengan kata lain, pemenuhan syarat ini cukup untuk menyatakan fakta bahwa garis-garis itu sejajar.

Ada juga kondisi perlu dan cukup untuk garis sejajar pada bidang dan ruang tiga dimensi.

Mari kita jelaskan arti dari frasa "kondisi perlu dan cukup untuk garis sejajar".

Kami telah berurusan dengan kondisi yang cukup untuk garis paralel. Dan apa "kondisi yang diperlukan untuk garis paralel"? Dengan nama "perlu" jelas bahwa pemenuhan syarat ini diperlukan agar garis sejajar. Dengan kata lain, jika kondisi yang diperlukan untuk garis sejajar tidak terpenuhi, maka garis tidak sejajar. Dengan demikian, syarat perlu dan syarat cukup agar garis sejajar adalah suatu kondisi, yang pemenuhannya perlu dan cukup untuk garis sejajar. Artinya, di satu sisi, ini adalah tanda garis paralel, dan di sisi lain, ini adalah properti yang dimiliki garis paralel.

Sebelum menyatakan syarat perlu dan syarat cukup agar garis sejajar, ada gunanya mengingat kembali beberapa definisi bantu.

garis potong adalah garis yang memotong masing-masing dari dua garis yang tidak bertepatan.

Di persimpangan dua garis garis potong, delapan garis yang tidak digunakan terbentuk. Disebut berbaring melintang, sesuai dan sudut satu sisi. Mari kita tunjukkan pada gambar.

Dalil.

Jika dua garis pada bidang berpotongan oleh sebuah garis potong, maka untuk kesejajaran mereka perlu dan cukup bahwa sudut-sudut yang bersilangan adalah sama, atau sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, atau jumlah sudut satu sisi sama dengan 180 derajat.

Mari kita tunjukkan ilustrasi grafis dari kondisi perlu dan cukup ini untuk garis sejajar pada bidang.

Anda dapat menemukan bukti kondisi ini untuk garis paralel di buku teks geometri untuk kelas 7-9.

Perhatikan bahwa kondisi ini juga dapat digunakan dalam ruang tiga dimensi - yang utama adalah bahwa dua garis dan garis potong terletak pada bidang yang sama.

Berikut adalah beberapa teorema lagi yang sering digunakan dalam membuktikan paralelisme garis.

Dalil.

Jika dua garis pada sebuah bidang sejajar dengan garis ketiga, maka keduanya sejajar. Bukti fitur ini mengikuti aksioma garis sejajar.

Ada kondisi serupa untuk garis paralel dalam ruang tiga dimensi.

Dalil.

Jika dua garis dalam ruang sejajar dengan garis ketiga, maka keduanya sejajar. Bukti fitur ini dipertimbangkan dalam pelajaran geometri di kelas 10.

Mari kita ilustrasikan teorema bersuara.

Mari kita berikan satu teorema lagi yang memungkinkan kita untuk membuktikan paralelisme garis pada bidang.

Dalil.

Jika dua garis pada suatu bidang tegak lurus terhadap garis ketiga, maka keduanya sejajar.

Ada teorema serupa untuk garis dalam ruang.

Dalil.

Jika dua garis dalam ruang tiga dimensi tegak lurus terhadap bidang yang sama, maka keduanya sejajar.

Mari kita menggambar gambar yang sesuai dengan teorema ini.

Semua teorema yang dirumuskan di atas, tanda dan kondisi perlu dan cukup sangat cocok untuk membuktikan paralelisme garis lurus dengan metode geometri. Yaitu, untuk membuktikan paralelisme dua garis yang diberikan, perlu untuk menunjukkan bahwa mereka sejajar dengan garis ketiga, atau untuk menunjukkan kesetaraan sudut-sudut yang bersilangan, dll. Banyak dari masalah ini diselesaikan dalam pelajaran geometri di sekolah menengah. Namun, perlu dicatat bahwa dalam banyak kasus akan lebih mudah menggunakan metode koordinat untuk membuktikan paralelisme garis pada bidang atau dalam ruang tiga dimensi. Mari kita merumuskan kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis yang diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang.

Paralelisme garis dalam sistem koordinat persegi panjang.

Di bagian artikel ini, kami akan merumuskan syarat perlu dan syarat cukup untuk garis sejajar dalam sistem koordinat persegi panjang, tergantung pada jenis persamaan yang menentukan garis-garis ini, dan kami juga akan memberikan solusi terperinci untuk masalah umum.

Mari kita mulai dengan kondisi paralelisme dua garis pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang Oxy . Pembuktiannya didasarkan pada definisi vektor pengarah garis dan definisi vektor normal garis pada bidang.

Dalil.

Agar dua garis yang tidak bertepatan sejajar pada suatu bidang, perlu dan cukup bahwa vektor arah dari garis-garis ini adalah collinear, atau vektor normal dari garis-garis ini adalah collinear, atau vektor arah dari satu garis tegak lurus terhadap normal. vektor garis kedua.

Jelas, kondisi paralelisme dua garis pada bidang berkurang menjadi (vektor arah garis atau vektor normal garis) atau menjadi (vektor arah satu garis dan vektor normal garis kedua). Jadi, jika dan adalah vektor arah dari garis a dan b, dan dan adalah vektor-vektor normal garis a dan b berturut-turut, maka syarat perlu dan syarat cukup untuk garis sejajar a dan b dapat ditulis sebagai , atau , atau , Dimana t adalah beberapa bilangan real. Pada gilirannya, koordinat arah dan (atau) vektor normal dari garis lurus a dan b ditemukan dari persamaan garis lurus yang diketahui.

Secara khusus, jika garis a dalam sistem koordinat persegi panjang Oxy pada bidang mendefinisikan persamaan umum dari garis bentuk , dan garis lurus b - , maka vektor-vektor normal dari garis-garis ini memiliki koordinat dan masing-masing, dan kondisi paralelisme garis a dan b akan ditulis sebagai .

Jika garis lurus a sesuai dengan persamaan garis lurus dengan koefisien kemiringan bentuk . Oleh karena itu, jika garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang sejajar dan dapat diberikan oleh persamaan garis lurus dengan koefisien kemiringan, maka koefisien kemiringan garis akan sama. Dan sebaliknya: jika garis lurus yang tidak bertepatan pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang dapat diberikan oleh persamaan garis lurus dengan koefisien kemiringan yang sama, maka garis lurus tersebut sejajar.

Jika garis a dan garis b dalam sistem koordinat persegi panjang menentukan persamaan kanonik garis pada bidang berbentuk dan , atau persamaan parametrik garis lurus pada bidang berbentuk dan masing-masing, maka vektor arah dari garis-garis ini memiliki koordinat dan , dan kondisi paralelisme untuk garis a dan b ditulis sebagai .

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh.

Apakah garis-garisnya sejajar? dan ?

Keputusan.

Kami menulis ulang persamaan garis lurus di segmen dalam bentuk persamaan umum garis lurus: . Sekarang kita dapat melihat bahwa itu adalah vektor normal dari garis lurus , dan merupakan vektor normal dari garis lurus. Vektor-vektor ini tidak kolinear, karena tidak ada bilangan real t yang persamaannya ( ). Akibatnya, kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis pada bidang tidak terpenuhi, oleh karena itu, garis yang diberikan tidak sejajar.

Menjawab:

Tidak, garisnya tidak sejajar.

Contoh.

Apakah garis dan paralel?

Keputusan.

Kami membawa persamaan kanonik garis lurus ke persamaan garis lurus dengan kemiringan: . Jelas, persamaan garis dan tidak sama (dalam hal ini, garis yang diberikan akan sama) dan kemiringan garis sama, oleh karena itu, garis aslinya sejajar.

Mereka tidak berpotongan, tidak peduli berapa lama mereka berlanjut. Paralelisme garis dalam penulisan ditunjukkan sebagai berikut: AB|| DenganE

Kemungkinan adanya garis-garis tersebut dibuktikan dengan sebuah teorema.

Dalil.

Melalui sembarang titik yang diambil di luar garis tertentu, seseorang dapat menggambar garis sejajar dengan garis ini..

Biarlah AB baris ini dan Dengan beberapa titik diambil di luar itu. Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa Dengan kamu bisa menggambar garis lurus paralelAB. Ayo mampir AB dari satu titik Dengan tegak lurusDenganD dan kemudian kita akan DenganE^ DenganD, apa yang mungkin. Lurus CE paralel AB.

Untuk pembuktiannya, kita asumsikan sebaliknya, yaitu bahwa CE berpotongan AB dalam beberapa kasus M. Kemudian dari titik M ke garis lurus DenganD kita akan memiliki dua tegak lurus yang berbeda MD dan NONA, yang tidak mungkin. Cara, CE tidak dapat bersinggungan dengan AB, yaitu DenganE paralel AB.

Konsekuensi.

Dua buah tegak lurus (CEdanD.B.) menjadi satu garis lurus (CD) sejajar.

Aksioma garis sejajar.

Melalui titik yang sama tidak mungkin menggambar dua garis yang berbeda sejajar dengan garis yang sama.

Jadi jika garis lurus DenganD, ditarik melalui titik Dengan sejajar dengan garis lurus AB, lalu baris lainnya DenganE melalui titik yang sama Dengan, tidak bisa sejajar AB, yaitu dia melanjutkan memotong dengan AB.

Bukti dari kebenaran yang tidak begitu jelas ini ternyata tidak mungkin. Itu diterima tanpa bukti sebagai asumsi yang diperlukan (postulatum).

Konsekuensi.

1. Jika lurus(DenganE) berpotongan dengan salah satu dari paralel(SW), kemudian berpotongan dengan yang lain ( AB), karena sebaliknya melalui titik yang sama Dengan dua garis lurus yang berbeda, sejajar AB, yang tidak mungkin.

2. Jika masing-masing dari keduanya langsung (AdanB) sejajar dengan garis ketiga yang sama ( Dengan) , kemudian mereka sejajar antara mereka sendiri.

Memang, jika kita berasumsi bahwa A dan B berpotongan di beberapa titik M, maka dua garis lurus yang berbeda, sejajar satu sama lain, akan melewati titik ini. Dengan, yang tidak mungkin.

Dalil.

Jika sebuah garis lurus tegak lurus ke salah satu garis sejajar, maka garis itu tegak lurus terhadap yang lain paralel.

Biarlah AB || DenganD dan EF ^ AB.Diperlukan untuk membuktikan bahwa EF ^ DenganD.

Tegak lurusEF, berpotongan dengan AB, pasti akan berpotongan dan DenganD. Misalkan titik potongnya adalah H.

Misalkan sekarang DenganD tidak tegak lurus EH. Kemudian beberapa baris lain, misalnya HK, tegak lurus terhadap EH dan karenanya melalui titik yang sama H dua sejajar lurus AB: satu DenganD, dengan kondisi, dan lainnya HK seperti yang telah dibuktikan sebelumnya. Karena ini tidak mungkin, tidak dapat diasumsikan bahwa SW tidak tegak lurus EH.