Persamaan diferensial dalam diferensial total. Persamaan diferensial total Integral lengkung restorasi diferensial total

Memiliki bentuk standar $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, dengan ruas kiri adalah diferensial total dari beberapa fungsi $F \kiri( x,y\kanan)$ disebut persamaan diferensial total.

Persamaan diferensial total selalu dapat ditulis ulang menjadi $dF\left(x,y\right)=0$, dengan $F\left(x,y\right)$ adalah fungsi sehingga $dF\left(x, y\kanan)=P\kiri(x,y\kanan)\cdot dx+Q\kiri(x,y\kanan)\cdot dy$.

Mari kita integrasikan kedua ruas persamaan $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; integral ruas kanan nol sama dengan konstanta sembarang $C$. Jadi, solusi umum persamaan ini dalam bentuk implisit adalah $F\left(x,y\right)=C$.

Agar persamaan diferensial tertentu menjadi persamaan diferensial total, syaratnya harus dan cukup $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ puas. Jika kondisi yang ditentukan terpenuhi, maka ada fungsi $F\left(x,y\right)$, yang dapat kita tulis: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, dari situ kita memperoleh dua relasi : $\frac(\ parsial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ dan $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right )$.

Kita integrasikan relasi pertama $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ ke $x$ dan dapatkan $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, dengan $U\left(y\right)$ adalah fungsi arbitrer dari $y$.

Mari kita pilih sehingga relasi kedua $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ terpenuhi. Untuk melakukan ini, kita membedakan relasi yang dihasilkan untuk $F\left(x,y\right)$ terhadap $y$ dan menyamakan hasilnya dengan $Q\left(x,y\right)$. Kita mendapatkan: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\kanan)$.

Solusi selanjutnya adalah:

dari persamaan terakhir kita menemukan $U"\left(y\right)$;
integrasikan $U"\left(y\right)$ dan temukan $U\left(y\right)$;
gantikan $U\left(y\right)$ ke persamaan $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ dan akhirnya kita mendapatkan fungsi $F\left(x,y\right)$.

Kami menemukan perbedaannya:

Kami mengintegrasikan $U"\left(y\right)$ ke $y$ dan menemukan $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Temukan hasilnya: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Kita tuliskan solusi umumnya dalam bentuk $F\left(x,y\right)=C$, yaitu:

Temukan solusi tertentu $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, di mana $y_(0) =3$, $x_(0) = 2$:

Solusi parsialnya berbentuk: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

beberapa fungsi. Jika kita mengembalikan suatu fungsi dari diferensial totalnya, kita akan menemukan integral umum persamaan diferensial tersebut. Di bawah ini kita akan membicarakannya metode memulihkan suatu fungsi dari diferensial totalnya.

Ruas kiri persamaan diferensial adalah diferensial total suatu fungsi kamu(x, kamu) = 0, jika syaratnya terpenuhi.

Karena fungsi diferensial penuh kamu(x, kamu) = 0 Ini , artinya bila syarat terpenuhi maka dinyatakan bahwa .

Kemudian, .

Dari persamaan pertama sistem kita peroleh . Kami menemukan fungsinya menggunakan persamaan kedua sistem:

Dengan cara ini kita akan menemukan fungsi yang dibutuhkan kamu(x, kamu) = 0.

Contoh.

Mari kita cari solusi umum DE .

Larutan.

Dalam contoh kita. Syarat tersebut terpenuhi karena:

Kemudian, ruas kiri persamaan diferensial awal adalah diferensial total suatu fungsi kamu(x, kamu) = 0. Kita perlu menemukan fungsi ini.

Karena adalah diferensial total dari fungsi tersebut kamu(x, kamu) = 0, Cara:

Kami berintegrasi dengan X persamaan pertama sistem dan bedakan terhadap kamu hasil:

Dari persamaan ke-2 sistem kita peroleh. Cara:

Di mana DENGAN- konstanta sewenang-wenang.

Jadi, integral umum dari persamaan yang diberikan adalah .

Ada yang kedua metode menghitung suatu fungsi dari diferensial totalnya. Ini terdiri dari mengambil integral garis dari suatu titik tetap (x 0 , kamu 0) ke suatu titik dengan koordinat variabel (x, kamu): . Dalam hal ini, nilai integral tidak bergantung pada jalur integrasi. Lebih mudah untuk mengambil jalur integrasi sebagai garis putus-putus yang hubungannya sejajar dengan sumbu koordinat.

Contoh.

Mari kita cari solusi umum DE .

Larutan.

Kami memeriksa pemenuhan kondisi:

Jadi, ruas kiri persamaan diferensial adalah diferensial lengkap suatu fungsi kamu(x, kamu) = 0. Mari kita cari fungsi ini dengan menghitung integral lengkung titik (1; 1) sebelum (x, kamu). Sebagai jalur integrasi kita mengambil garis putus-putus: bagian pertama dari garis putus-putus itu dilewatkan sepanjang garis lurus kamu = 1 dari titik (1, 1) sebelum (x, 1), ruas jalan kedua mengambil ruas garis lurus dari titik tersebut (x, 1) sebelum (x, kamu):

Jadi, solusi umum dari remote control terlihat seperti ini: .

Contoh.

Mari kita tentukan solusi umum DE.

Larutan.

Karena , artinya syaratnya tidak terpenuhi, maka ruas kiri persamaan diferensial tersebut tidak akan merupakan diferensial fungsi sepenuhnya dan perlu menggunakan metode penyelesaian kedua (persamaan ini merupakan persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan).

Dalam topik ini, kita akan melihat metode merekonstruksi suatu fungsi dari diferensial totalnya dan memberikan contoh masalah dengan analisis solusi yang lengkap.

Kebetulan persamaan diferensial (DE) berbentuk P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 dapat memuat diferensial lengkap beberapa fungsi di ruas kiri. Kemudian kita dapat mencari integral umum persamaan diferensial tersebut jika kita merekonstruksi fungsi tersebut terlebih dahulu dari diferensial totalnya.

Contoh 1

Perhatikan persamaan P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Ruas kiri berisi diferensial suatu fungsi tertentu kamu(x, kamu) = 0. Untuk melakukan ini, kondisi ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x harus dipenuhi.

Diferensial total fungsi U (x, y) = 0 berbentuk d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Dengan memperhatikan kondisi ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x kita peroleh:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Dengan mentransformasikan persamaan pertama dari sistem persamaan yang dihasilkan, kita memperoleh:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Fungsi φ (y) dapat kita cari dari persamaan kedua sistem yang diperoleh sebelumnya:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Beginilah cara kami menemukan fungsi yang diinginkan U (x, y) = 0.

Contoh 2

Temukan solusi umum persamaan diferensial (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

Larutan

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Mari kita periksa apakah kondisi ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x terpenuhi:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Kondisi kami terpenuhi.

Berdasarkan perhitungan, kita dapat menyimpulkan bahwa ruas kiri persamaan diferensial awal adalah diferensial total suatu fungsi U (x, y) = 0. Kita perlu menemukan fungsi ini.

Karena (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y adalah diferensial total dari fungsi U (x, y) = 0, maka

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Mari kita integrasikan persamaan pertama sistem terhadap x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Sekarang kita bedakan hasil yang dihasilkan terhadap y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Mengubah persamaan kedua sistem, kita memperoleh: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Artinya
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

di mana C adalah konstanta sembarang.

Kita peroleh: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Integral umum persamaan awal adalah x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Mari kita lihat metode lain untuk mencari fungsi menggunakan diferensial total yang diketahui. Ini melibatkan penggunaan integral lengkung dari titik tetap (x 0, y 0) ke titik dengan koordinat variabel (x, y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

Dalam kasus seperti itu, nilai integral tidak bergantung pada jalur integrasi. Sebagai jalur integrasi, kita dapat mengambil garis putus-putus, yang tautannya terletak sejajar dengan sumbu koordinat.

Contoh 3

Temukan solusi umum persamaan diferensial (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Larutan

Mari kita periksa apakah kondisi ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x terpenuhi:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Ternyata ruas kiri persamaan diferensial diwakili oleh diferensial total suatu fungsi U (x, y) = 0. Untuk mencari fungsi ini, perlu dihitung integral garis suatu titik (1 ; 1) sebelum (x, kamu). Mari kita ambil jalur integrasi sebagai garis putus-putus, yang bagian-bagiannya akan melewati garis lurus kamu = 1 dari titik (1, 1) ke (x, 1) dan kemudian dari titik (x, 1) ke (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Kita telah memperoleh solusi umum persamaan diferensial berbentuk x y - x y 2 + C = 0.

Contoh 4

Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Larutan

Mari kita periksa apakah kondisi ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x terpenuhi.

Karena ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, maka kondisi tersebut tidak terpenuhi. Artinya, ruas kiri persamaan diferensial tersebut bukan merupakan diferensial sempurna dari fungsi tersebut. Ini adalah persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan dan solusi lain yang cocok untuk menyelesaikannya.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Diferensial disebut persamaan bentuk

P(x, y)dx + Q(x, y)mati = 0 ,

dimana ruas kiri adalah diferensial total dari setiap fungsi dua variabel.

Mari kita nyatakan fungsi dua variabel yang tidak diketahui (inilah yang perlu dicari saat menyelesaikan persamaan diferensial total) dengan F dan kami akan segera kembali ke sana.

Hal pertama yang harus diperhatikan adalah harus ada angka nol di ruas kanan persamaan, dan tanda yang menghubungkan kedua suku di ruas kiri harus berupa tanda tambah.

Kedua, persamaan tertentu harus diperhatikan, yang menegaskan bahwa persamaan diferensial ini adalah persamaan diferensial total. Pemeriksaan ini adalah bagian wajib dari algoritma untuk menyelesaikan persamaan diferensial total (ada di paragraf kedua pelajaran ini), jadi proses mencari suatu fungsi F cukup padat karya dan penting untuk memastikan pada tahap awal bahwa kita tidak membuang waktu.

Jadi, fungsi yang tidak diketahui yang perlu dicari dilambangkan dengan F. Jumlah diferensial parsial untuk semua variabel independen menghasilkan diferensial total. Oleh karena itu, jika persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial total, maka ruas kiri persamaan tersebut adalah jumlah diferensial parsialnya. Kemudian menurut definisi

dF = P(x, y)dx + Q(x, y)mati .

Mari kita mengingat kembali rumus menghitung diferensial total suatu fungsi dua variabel:

Menyelesaikan dua persamaan terakhir, kita dapat menulis

Kami membedakan persamaan pertama terhadap variabel "y", yang kedua - terhadap variabel "x":

yang merupakan syarat agar suatu persamaan diferensial tertentu benar-benar merupakan persamaan diferensial total.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan diferensial dalam diferensial total

Langkah 1. Pastikan persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial total. Agar ekspresinya adalah diferensial total suatu fungsi F(x, kamu) perlu dan cukup sehingga . Dengan kata lain, Anda perlu mengambil turunan parsial terhadap X dan turunan parsial terhadap kamu suku lain dan jika turunannya sama, maka persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial total.

Langkah 2. Tuliskan sistem persamaan diferensial parsial yang membentuk fungsi tersebut F:

Langkah 3. Integrasikan persamaan pertama sistem - oleh X (kamu F:

,
kamu.

Pilihan alternatif (jika lebih mudah mencari integral dengan cara ini) adalah dengan mengintegrasikan persamaan kedua sistem - by kamu (X tetap konstan dan dikeluarkan dari tanda integral). Dengan cara ini fungsinya juga dikembalikan F:

,
dimana adalah fungsi yang belum diketahui X.

Langkah 4. Hasil langkah 3 (integral umum yang ditemukan) dibedakan dengan kamu(sebagai alternatif - menurut X) dan samakan dengan persamaan kedua sistem:

dan dalam versi alternatif - ke persamaan pertama sistem:

Dari persamaan yang dihasilkan kita tentukan (sebagai alternatif)

Langkah 5. Hasil dari langkah 4 adalah mengintegrasikan dan menemukan (sebagai alternatif, find ).

Langkah 6. Gantikan hasil langkah 5 ke hasil langkah 3 - ke dalam fungsi yang dipulihkan dengan integrasi parsial F. Konstanta sewenang-wenang C sering ditulis setelah tanda sama dengan - di sisi kanan persamaan. Dengan demikian kita memperoleh solusi umum persamaan diferensial dalam diferensial total. Itu, sebagaimana telah disebutkan, memiliki bentuk F(x, kamu) = C.

Contoh penyelesaian persamaan diferensial pada diferensial total

Contoh 1.

Langkah 1. persamaan dalam diferensial total X satu suku di sisi kiri ekspresi

dan turunan parsial terhadap kamu istilah lain
persamaan dalam diferensial total .

Langkah 2. F:

Langkah 3. Oleh X (kamu tetap konstan dan dikeluarkan dari tanda integral). Jadi kami mengembalikan fungsinya F:

dimana adalah fungsi yang belum diketahui kamu.

Langkah 4. kamu

Langkah 5.

Langkah 6. F. Konstanta sewenang-wenang C :
.

Kesalahan apa yang paling mungkin terjadi di sini? Kesalahan yang paling umum adalah mengambil integral parsial atas salah satu variabel sebagai integral biasa dari suatu produk fungsi dan mencoba mengintegrasikannya dengan bagian-bagian atau variabel pengganti, dan juga mengambil turunan parsial dari dua faktor sebagai turunan dari a hasil kali fungsi dan cari turunannya menggunakan rumus yang sesuai.

Hal ini harus diingat: ketika menghitung integral parsial terhadap salah satu variabel, variabel lainnya adalah konstanta dan dikeluarkan dari tanda integral, dan ketika menghitung turunan parsial terhadap salah satu variabel, variabel lainnya. juga merupakan konstanta dan turunan dari ekspresi tersebut ditemukan sebagai turunan dari variabel “akting” dikalikan dengan konstanta.

Di antara persamaan dalam diferensial total Tidak jarang kita menemukan contoh dengan fungsi eksponensial. Ini adalah contoh selanjutnya. Hal ini juga penting karena solusinya menggunakan opsi alternatif.

Contoh 2. Selesaikan persamaan diferensial

Langkah 1. Mari kita pastikan persamaannya benar persamaan dalam diferensial total . Untuk melakukan ini, kita mencari turunan parsial terhadap X satu suku di sisi kiri ekspresi

dan turunan parsial terhadap kamu istilah lain
. Turunan ini sama, artinya persamaannya adalah persamaan dalam diferensial total .

Langkah 2. Mari kita tuliskan sistem persamaan diferensial parsial yang membentuk fungsi tersebut F:

Langkah 3. Mari kita integrasikan persamaan kedua dari sistem - oleh kamu (X tetap konstan dan dikeluarkan dari tanda integral). Jadi kami mengembalikan fungsinya F:

dimana adalah fungsi yang belum diketahui X.

Langkah 4. Kami membedakan hasil langkah 3 (integral umum yang ditemukan) terhadap X

dan menyamakannya dengan persamaan pertama sistem:

Dari persamaan yang dihasilkan kita menentukan:
.

Langkah 5. Kami mengintegrasikan hasil langkah 4 dan menemukan:
.

Langkah 6. Kami mengganti hasil langkah 5 ke hasil langkah 3 - ke dalam fungsi yang dipulihkan dengan integrasi parsial F. Konstanta sewenang-wenang C tulis setelah tanda sama dengan. Jadi kita mendapatkan totalnya menyelesaikan persamaan diferensial dalam diferensial total :
.

Dalam contoh berikut, kita kembali dari opsi alternatif ke opsi utama.

Contoh 3. Selesaikan persamaan diferensial

Langkah 1. Mari kita pastikan persamaannya benar persamaan dalam diferensial total . Untuk melakukan ini, kita mencari turunan parsial terhadap kamu satu suku di sisi kiri ekspresi

dan turunan parsial terhadap X istilah lain
. Turunan ini sama, artinya persamaannya adalah persamaan dalam diferensial total .

Langkah 2. Mari kita tuliskan sistem persamaan diferensial parsial yang membentuk fungsi tersebut F:

Langkah 3. Mari kita integrasikan persamaan pertama sistem - Oleh X (kamu tetap konstan dan dikeluarkan dari tanda integral). Jadi kami mengembalikan fungsinya F:

dimana adalah fungsi yang belum diketahui kamu.

Langkah 4. Kami membedakan hasil langkah 3 (integral umum yang ditemukan) terhadap kamu

dan samakan dengan persamaan kedua sistem:

Dari persamaan yang dihasilkan kita menentukan:
.

Langkah 5. Kami mengintegrasikan hasil langkah 4 dan menemukan:

Contoh 4. Selesaikan persamaan diferensial

Langkah 1. Mari kita pastikan persamaannya benar persamaan dalam diferensial total . Untuk melakukan ini, kita mencari turunan parsial terhadap kamu satu suku di sisi kiri ekspresi

dan turunan parsial terhadap X istilah lain
. Turunan-turunan ini adalah sama, artinya persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial total.

Langkah 2. Mari kita tuliskan sistem persamaan diferensial parsial yang membentuk fungsi tersebut F:

Langkah 3. Mari kita integrasikan persamaan pertama sistem - Oleh X (kamu tetap konstan dan dikeluarkan dari tanda integral). Jadi kami mengembalikan fungsinya F:

dimana adalah fungsi yang belum diketahui kamu.

Langkah 4. Kami membedakan hasil langkah 3 (integral umum yang ditemukan) terhadap kamu

dan samakan dengan persamaan kedua sistem:

Dari persamaan yang dihasilkan kita menentukan:
.

Langkah 5. Kami mengintegrasikan hasil langkah 4 dan menemukan:

Contoh 5. Selesaikan persamaan diferensial

Definisi 8.4. Persamaan diferensial bentuk

Di mana
disebut persamaan diferensial total.

Perhatikan bahwa ruas kiri persamaan tersebut adalah diferensial total suatu fungsi
.

Secara umum persamaan (8.4) dapat direpresentasikan sebagai

Alih-alih persamaan (8.5), kita dapat mempertimbangkan persamaan tersebut

penyelesaiannya merupakan integral umum persamaan (8.4). Jadi, untuk menyelesaikan persamaan (8.4) perlu dicari fungsinya
. Sesuai dengan definisi persamaan (8.4), kita punya

(8.6)

Fungsi
kita akan mencari fungsi yang memenuhi salah satu kondisi berikut (8.6):

Di mana - fungsi sewenang-wenang yang tidak bergantung pada .

Fungsi
didefinisikan sehingga kondisi kedua dari ekspresi (8.6) terpenuhi

(8.7)

Dari ekspresi (8.7) fungsinya ditentukan
. Menggantikannya ke dalam ekspresi untuk
dan dapatkan integral umum dari persamaan aslinya.

Soal 8.3. Integrasikan Persamaan

Di Sini
.

Oleh karena itu, persamaan ini termasuk dalam jenis persamaan diferensial diferensial total. Fungsi
kami akan mencarinya dalam formulir

Di sisi lain,

Dalam beberapa kasus, kondisinya
mungkin tidak terpenuhi.

Kemudian persamaan tersebut direduksi menjadi tipe yang dipertimbangkan dengan mengalikannya dengan apa yang disebut faktor pengintegrasian, yang dalam kasus umum hanya merupakan fungsi saja. atau .

Jika suatu persamaan mempunyai faktor pengintegrasi, maka persamaan tersebut hanya bergantung pada , maka ditentukan oleh rumus

dimana hubungannya seharusnya hanya sebuah fungsi .

Demikian pula, faktor pengintegrasian hanya bergantung pada , ditentukan oleh rumus

dimana hubungannya
seharusnya hanya sebuah fungsi .

Tidak adanya variabel dalam relasi tertentu, dalam kasus pertama , dan yang kedua - variabel , adalah tanda adanya faktor pengintegrasi untuk persamaan tertentu.

Soal 8.4. Kurangi persamaan ini menjadi persamaan diferensial total.

Perhatikan hubungannya:

Topik 8.2. Persamaan diferensial linier

Definisi 8.5. Persamaan diferensial
disebut linier jika linier terhadap fungsi yang diinginkan , turunannya dan tidak mengandung hasil kali fungsi yang diinginkan dan turunannya.

Bentuk umum persamaan diferensial linier diwakili oleh hubungan berikut:

(8.8)

Jika pada relasi (8.8) ruas kanan
, maka persamaan seperti itu disebut linier homogen. Dalam kasus ketika sisi kanan
, maka persamaan seperti itu disebut linier tidak homogen.

Mari kita tunjukkan bahwa persamaan (8.8) dapat diintegrasikan ke dalam kuadratur.

Pada tahap pertama, kita mempertimbangkan persamaan linier homogen.

Persamaan tersebut merupakan persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan. Benar-benar,

;

Relasi terakhir menentukan solusi umum persamaan linier homogen.

Untuk mencari solusi umum persamaan linier tak homogen digunakan metode memvariasikan turunan suatu konstanta. Ide dari metode ini adalah bahwa solusi umum persamaan linear tak homogen memiliki bentuk yang sama dengan solusi persamaan homogen yang bersesuaian, tetapi konstanta sembarang digantikan oleh beberapa fungsi
untuk ditentukan. Jadi kita punya:

(8.9)

Mengganti ke dalam relasi (8.8) ekspresi yang bersesuaian
Dan
, kita mendapatkan

Mengganti ekspresi terakhir ke dalam relasi (8.9), kita memperoleh integral umum persamaan linier tak homogen.

Jadi, penyelesaian umum persamaan linier tak homogen ditentukan oleh dua kuadratur: penyelesaian umum persamaan linier homogen dan penyelesaian khusus persamaan linier tak homogen.

Soal 8.5. Integrasikan Persamaan