Garis urutan kedua.
Elips dan persamaan kanoniknya. Lingkaran
Setelah studi menyeluruh garis lurus pada pesawat kami terus mempelajari geometri dunia dua dimensi. Taruhannya digandakan dan saya mengundang Anda untuk mengunjungi galeri indah elips, hiperbola, parabola, yang merupakan perwakilan khas dari baris urutan kedua. Tur telah dimulai, dan pertama, informasi singkat tentang keseluruhan pameran di berbagai lantai museum:
Konsep garis aljabar dan urutannya
Garis pada bidang disebut aljabar, jika dalam sistem koordinat affine persamaannya memiliki bentuk , di mana adalah polinomial yang terdiri dari istilah bentuk ( adalah bilangan real, adalah bilangan bulat non-negatif).
Seperti yang Anda lihat, persamaan garis aljabar tidak mengandung sinus, cosinus, logaritma, dan beau monde fungsional lainnya. Hanya "x" dan "y" di bilangan bulat non-negatif derajat.
Urutan baris sama dengan nilai maksimum dari istilah-istilah yang termasuk di dalamnya.
Menurut teorema yang sesuai, konsep garis aljabar, serta urutannya, tidak bergantung pada pilihan sistem koordinat affine, oleh karena itu, untuk kemudahan keberadaan, kami menganggap bahwa semua perhitungan selanjutnya terjadi di Koordinat kartesius.
Persamaan Umum garis orde kedua memiliki bentuk , dimana 
adalah bilangan real arbitrer (adalah kebiasaan untuk menulis dengan pengganda - "dua"), dan koefisien tidak secara bersamaan sama dengan nol.
Jika , maka persamaan disederhanakan menjadi 
, dan jika koefisien tidak secara bersamaan sama dengan nol, maka ini tepat persamaan umum garis lurus "datar", yang mewakili baris urutan pertama.
Banyak yang mengerti arti dari istilah-istilah baru, tetapi, bagaimanapun, untuk 100% mengasimilasi materi, kami memasukkan jari-jari kami ke dalam soket. Untuk menentukan urutan baris, ulangi semua istilah persamaannya dan untuk masing-masingnya temukan jumlah kekuatan variabel yang masuk.
Sebagai contoh:
istilah tersebut mengandung "x" hingga derajat ke-1;
istilah tersebut mengandung "Y" hingga pangkat 1;
tidak ada variabel dalam istilah, sehingga jumlah kekuatan mereka adalah nol.
Sekarang mari kita cari tahu mengapa persamaan menetapkan garis kedua memesan:
istilah tersebut mengandung "x" pada derajat ke-2;
istilah memiliki jumlah derajat variabel: 1 + 1 = 2;
istilah tersebut mengandung "y" pada derajat ke-2;
semua istilah lain - lebih rendah derajat.
Nilai maksimum: 2
Jika kita menambahkan tambahan ke persamaan kita, katakanlah, , maka itu akan menentukan baris urutan ketiga. Jelas bahwa bentuk umum persamaan garis orde ke-3 berisi "kumpulan lengkap" istilah, jumlah derajat variabel yang sama dengan tiga:
, di mana koefisien tidak secara bersamaan sama dengan nol.
Dalam hal satu atau lebih istilah yang cocok ditambahkan yang mengandung 
, maka kita akan berbicara tentang baris urutan ke-4, dll.
Kita harus berurusan dengan garis aljabar dari urutan ke-3, ke-4 dan lebih tinggi lebih dari sekali, khususnya, ketika berkenalan dengan sistem koordinat kutub.
Namun, mari kita kembali ke persamaan umum dan mengingat variasi sekolah yang paling sederhana. Contohnya adalah parabola, yang persamaannya dapat dengan mudah direduksi menjadi bentuk umum, dan hiperbola dengan persamaan yang setara. Namun, tidak semuanya begitu mulus....
Kelemahan yang signifikan dari persamaan umum adalah hampir selalu tidak jelas garis mana yang didefinisikannya. Bahkan dalam kasus yang paling sederhana, Anda tidak akan segera menyadari bahwa ini adalah hiperbola. Tata letak seperti itu hanya bagus untuk penyamaran, oleh karena itu, dalam geometri analitik, masalah tipikal dipertimbangkan pengurangan persamaan garis orde ke-2 ke bentuk kanonik.
Apa bentuk kanonik dari persamaan?
Ini adalah bentuk standar persamaan yang diterima secara umum, ketika dalam hitungan detik menjadi jelas objek geometris apa yang didefinisikannya. Selain itu, bentuk kanonik sangat nyaman untuk memecahkan banyak masalah praktis. Jadi, misalnya, menurut persamaan kanonik lurus "datar", pertama, segera jelas bahwa ini adalah garis lurus, dan kedua, titik miliknya dan vektor arah terlihat jelas.
Jelas, apapun baris pesanan pertama mewakili garis lurus. Di lantai dua, tidak ada lagi petugas kebersihan yang menunggu kami, tetapi rombongan sembilan patung yang jauh lebih beragam:
Klasifikasi garis orde kedua
Dengan bantuan serangkaian tindakan khusus, persamaan garis orde kedua apa pun direduksi menjadi salah satu jenis berikut:
(dan merupakan bilangan real positif)
1) 
adalah persamaan kanonik elips;
2) adalah persamaan kanonik hiperbola;
3) 
adalah persamaan kanonik parabola;
4) – imajiner elips;
5) - sepasang garis berpotongan;
6) - pasangan imajiner garis berpotongan (dengan satu-satunya titik perpotongan nyata di titik asal);
7) - sepasang garis paralel;
8) - pasangan imajiner garis sejajar;
9) adalah sepasang garis yang bertepatan.
Beberapa pembaca mungkin mendapat kesan bahwa daftar itu tidak lengkap. Misalnya, dalam paragraf nomor 7, persamaan menetapkan pasangan langsung, sejajar sumbu, dan muncul pertanyaan: di mana persamaan yang menentukan garis sejajar sumbu y? Jawab ini tidak dianggap kanon. Garis lurus mewakili kasus standar yang sama yang diputar 90 derajat, dan entri tambahan dalam klasifikasi berlebihan, karena tidak membawa sesuatu yang baru secara fundamental.
Jadi, ada sembilan dan hanya sembilan jenis garis urutan ke-2 yang berbeda, tetapi dalam praktiknya yang paling umum adalah elips, hiperbola, dan parabola.
Mari kita lihat elipsnya dulu. Seperti biasa, saya fokus pada poin-poin yang sangat penting untuk memecahkan masalah, dan jika Anda memerlukan turunan terperinci dari rumus, bukti teorema, silakan merujuk, misalnya, ke buku teks oleh Bazylev / Atanasyan atau Aleksandrov.
Elips dan persamaan kanoniknya
Ejaan ... tolong jangan ulangi kesalahan beberapa pengguna Yandex yang tertarik dengan "cara membuat elips", "perbedaan antara elips dan oval" dan "eksentrisitas elebs".
Persamaan kanonik elips memiliki bentuk , Dimana bilangan real positif, dan . Definisi elips akan saya rumuskan nanti, namun untuk saat ini saatnya istirahat sejenak dari pembicaraan dan menyelesaikan masalah umum:
Bagaimana cara membuat elips?
Ya, ambil dan gambar saja. Tugasnya umum, dan sebagian besar siswa tidak cukup kompeten mengatasi gambar:
Contoh 1
Bangun elips yang diberikan oleh persamaan
Keputusan: pertama kita bawa persamaan ke bentuk kanonik: 
Mengapa membawa? Salah satu keuntungan dari persamaan kanonik adalah memungkinkan Anda untuk menentukan secara instan simpul elips, yang berada di titik . Sangat mudah untuk melihat bahwa koordinat masing-masing titik ini memenuhi persamaan.
Pada kasus ini : 
Segmen garis ditelepon sumbu utama elips;
segmen garis – sumbu kecil;
nomor 
ditelepon sumbu semi-mayor elips;
nomor 
– sumbu semi-kecil.
dalam contoh kita: .
Untuk membayangkan dengan cepat seperti apa elips ini atau itu, lihat saja nilai "a" dan "be" dari persamaan kanoniknya.
Semuanya baik-baik saja, rapi dan indah, tetapi ada satu peringatan: Saya menyelesaikan gambar menggunakan program. Dan Anda dapat menggambar dengan aplikasi apa pun. Namun, dalam kenyataan pahit, selembar kertas kotak-kotak tergeletak di atas meja, dan tikus-tikus menari-nari di sekitar tangan kita. Orang dengan bakat seni, tentu saja, dapat berdebat, tetapi Anda juga memiliki tikus (walaupun yang lebih kecil). Tidak sia-sia bahwa umat manusia menemukan penggaris, kompas, busur derajat, dan perangkat sederhana lainnya untuk menggambar.
Untuk alasan ini, kita tidak mungkin dapat menggambar elips secara akurat, hanya mengetahui simpulnya. Masih baik-baik saja, jika elips kecil, misalnya, dengan semiaxes. Atau, Anda dapat mengurangi skala dan, karenanya, dimensi gambar. Tetapi dalam kasus umum sangat diinginkan untuk menemukan poin tambahan.
Ada dua pendekatan untuk membangun elips - geometris dan aljabar. Saya tidak suka membangun dengan kompas dan penggaris karena algoritme pendek dan kekacauan gambar yang signifikan. Dalam keadaan darurat, silakan merujuk ke buku teks, tetapi pada kenyataannya jauh lebih rasional untuk menggunakan alat-alat aljabar. Dari persamaan elips pada draf, kami dengan cepat menyatakan: 
Persamaan tersebut kemudian dibagi menjadi dua fungsi: 
– mendefinisikan busur atas elips; 
– mendefinisikan busur bawah elips.
Elips yang diberikan oleh persamaan kanonik adalah simetris terhadap sumbu koordinat, serta terhadap titik asal. Dan itu bagus - simetri hampir selalu merupakan pertanda dari freebie. Jelas, itu cukup untuk berurusan dengan kuartal koordinat 1, jadi kita membutuhkan sebuah fungsi 
. Ini menyarankan menemukan poin tambahan dengan absis 
. Kami menekan tiga SMS di kalkulator: 
Tentu saja, menyenangkan juga bahwa jika kesalahan serius dibuat dalam perhitungan, maka ini akan segera menjadi jelas selama konstruksi.
Tandai titik pada gambar (merah), titik simetris pada busur lainnya (biru) dan hubungkan dengan hati-hati seluruh perusahaan dengan garis: 
Lebih baik menggambar sketsa awal dengan tipis dan tipis, dan baru kemudian memberi tekanan pada pensil. Hasilnya harus elips yang cukup bagus. Omong-omong, apakah Anda ingin tahu kurva apa ini?
Definisi elips. Fokus elips dan eksentrisitas elips
Elips adalah kasus khusus dari oval. Kata "lonjong" tidak boleh dipahami dalam arti filistin ("anak menggambar oval", dll.). Ini adalah istilah matematika dengan formulasi rinci. Tujuan pelajaran ini bukan untuk mempertimbangkan teori oval dan berbagai jenisnya, yang secara praktis tidak diperhatikan dalam kursus standar geometri analitik. Dan, sesuai dengan kebutuhan yang lebih saat ini, kita langsung menuju ke definisi elips yang ketat:
Elips- ini adalah himpunan semua titik pesawat, jumlah jarak ke masing-masing dari dua titik tertentu, yang disebut Trik elips, adalah nilai konstanta, secara numerik sama dengan panjang sumbu utama elips ini: .
Dalam hal ini, jarak antara fokus kurang dari nilai ini: .
Sekarang akan menjadi lebih jelas: 
Bayangkan bahwa titik biru "naik" pada elips. Jadi, tidak peduli titik elips mana yang kita ambil, jumlah panjang segmen akan selalu sama:
Mari kita pastikan bahwa dalam contoh kita nilai jumlah benar-benar sama dengan delapan. Secara mental tempatkan titik "em" di simpul kanan elips, lalu: , yang harus diperiksa.
Cara lain untuk menggambar elips didasarkan pada definisi elips. Matematika yang lebih tinggi, kadang-kadang, adalah penyebab ketegangan dan stres, jadi inilah saatnya untuk melakukan sesi pembongkaran lagi. Silakan ambil selembar kertas atau selembar karton besar dan sematkan ke meja dengan dua paku. Ini akan menjadi trik. Ikat benang hijau ke kepala kuku yang menonjol dan tarik seluruhnya dengan pensil. Leher pensil akan berada di beberapa titik, yang termasuk dalam elips. Sekarang mulailah mengarahkan pensil melintasi selembar kertas, jaga agar benang hijau tetap kencang. Lanjutkan prosesnya sampai kembali ke titik awal...bagus sekali...gambarnya bisa diserahkan untuk verifikasi oleh dokter ke guru =)
Bagaimana cara mencari fokus elips?
Dalam contoh di atas, saya menggambarkan titik fokus "siap", dan sekarang kita akan belajar cara mengekstraknya dari kedalaman geometri.
Jika elips diberikan oleh persamaan kanonik , maka fokusnya memiliki koordinat 
, dimana itu jarak dari masing-masing fokus ke pusat simetri elips.
Perhitungan lebih mudah daripada lobak kukus: 
! Dengan arti "ce" tidak mungkin untuk mengidentifikasi koordinat spesifik trik! Saya ulangi, ini adalah JARAK dari setiap fokus ke pusat(yang dalam kasus umum tidak harus ditempatkan persis di titik asal).
Dan, oleh karena itu, jarak antara fokus juga tidak dapat dikaitkan dengan posisi kanonik elips. Dengan kata lain, elips dapat dipindahkan ke tempat lain dan nilainya akan tetap tidak berubah, sedangkan fokusnya secara alami akan mengubah koordinatnya. Harap diingat hal ini saat Anda menjelajahi topik lebih lanjut.
Eksentrisitas elips dan makna geometrisnya
Eksentrisitas elips adalah rasio yang dapat mengambil nilai dalam .
Dalam kasus kami:
Mari kita cari tahu bagaimana bentuk elips bergantung pada eksentrisitasnya. Untuk ini perbaiki simpul kiri dan kanan dari elips yang dipertimbangkan, yaitu, nilai sumbu semi-mayor akan tetap konstan. Maka rumus eksentrisitas akan berbentuk: .
Mari kita mulai memperkirakan nilai eksentrisitas menjadi satu. Ini hanya mungkin jika . Apa artinya? ... trik mengingat 
. Ini berarti bahwa fokus elips akan "menyebar" sepanjang sumbu absis ke simpul samping. Dan, karena "segmen hijau bukan karet", elips pasti akan mulai rata, berubah menjadi sosis yang lebih tipis dan lebih tipis yang digantung pada sumbu.
Dengan demikian, semakin dekat eksentrisitas elips dengan satu, semakin lonjong elips tersebut.
Sekarang mari kita simulasikan proses sebaliknya: fokus elips 
pergi ke arah satu sama lain, mendekati pusat. Artinya nilai "ce" semakin kecil sehingga eksentrisitasnya cenderung nol: .
Dalam hal ini, "segmen hijau", sebaliknya, akan "menjadi ramai" dan mereka akan mulai "mendorong" garis elips ke atas dan ke bawah.
Dengan demikian, semakin dekat nilai eksentrisitas ke nol, semakin terlihat elips... lihat kasus pembatas, ketika fokus berhasil disatukan kembali di titik asal:
Lingkaran adalah kasus khusus dari elips
Memang, dalam kasus persamaan setengah sumbu, persamaan kanonik elips mengambil bentuk, yang secara refleks berubah menjadi persamaan lingkaran terkenal dari sekolah dengan pusat di titik asal jari-jari "a".
Dalam praktiknya, notasi dengan huruf "berbicara" lebih sering digunakan:. Jari-jari disebut panjang segmen, sedangkan setiap titik lingkaran dihilangkan dari pusat dengan jarak jari-jari.
Perhatikan bahwa definisi elips tetap sepenuhnya benar: fokus cocok, dan jumlah panjang segmen yang cocok untuk setiap titik pada lingkaran adalah nilai konstan. Karena jarak antara fokus adalah eksentrisitas lingkaran apa pun adalah nol.
Lingkaran dibangun dengan mudah dan cepat, cukup untuk mempersenjatai diri dengan kompas. Namun, kadang-kadang perlu untuk mengetahui koordinat beberapa titiknya, dalam hal ini kita menggunakan cara yang sudah dikenal - kita membawa persamaan ke bentuk Matan yang ceria:
adalah fungsi setengah lingkaran atas;
adalah fungsi setengah lingkaran bawah.
Kemudian kami menemukan nilai yang diinginkan, dapat dibedakan, mengintegrasikan dan melakukan hal-hal baik lainnya.
Artikel ini, tentu saja, hanya untuk referensi, tetapi bagaimana seseorang bisa hidup tanpa cinta di dunia? Tugas kreatif untuk solusi independen
Contoh 2
Tulis persamaan kanonik elips jika salah satu fokusnya dan sumbu semi-minor diketahui (pusatnya di titik asal). Temukan simpul, titik tambahan, dan buat garis pada gambar. Hitung eksentrisitasnya.
Solusi dan menggambar di akhir pelajaran
Mari tambahkan tindakan:
Putar dan terjemahkan elips
Mari kita kembali ke persamaan kanonik dari elips, yaitu, ke kondisi, teka-teki yang telah menyiksa pikiran ingin tahu sejak penyebutan pertama kurva ini. Di sini kita telah mempertimbangkan sebuah elips 
, tapi dalam prakteknya tidak bisa persamaan 
? Bagaimanapun, di sini, bagaimanapun, tampaknya seperti elips juga!
Persamaan seperti itu jarang terjadi, tetapi memang ditemukan. Dan itu mendefinisikan elips. Mari kita hilangkan mistik: 
Sebagai hasil konstruksi, elips asli kami diperoleh, diputar 90 derajat. Yaitu, 
- Ini entri non-kanonik elips 
. Catatan!- persamaan 
tidak menentukan elips lain, karena tidak ada titik (fokus) pada sumbu yang akan memenuhi definisi elips.
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang, jumlah jarak dari masing-masing titik ke dua titik tertentu F_1, dan F_2 adalah nilai konstan (2a), lebih besar dari jarak (2c) antara titik-titik yang diberikan ini (Gbr. 3.36, a). Definisi geometris ini menyatakan sifat fokus elips.
Sifat fokus elips
Titik F_1 dan F_2 disebut titik fokus elips, jarak antara keduanya 2c=F_1F_2 adalah panjang fokus, titik tengah O ruas F_1F_2 adalah pusat elips, angka 2a adalah panjang sumbu utama elips elips (masing-masing, angka a adalah semiaxis utama dari elips). Segmen F_1M dan F_2M yang menghubungkan titik sembarang M dari elips dengan fokusnya disebut jari-jari fokus titik M . Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada elips disebut tali busur elips.
Rasio e=\frac(c)(a) disebut eksentrisitas elips. Dari definisi (2a>2c) diperoleh bahwa 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Definisi geometris dari elips, mengekspresikan properti fokusnya, setara dengan definisi analitisnya - garis yang diberikan oleh persamaan kanonik elips:
Memang, mari kita perkenalkan sistem koordinat persegi panjang (Gbr. 3.36, c). Pusat O dari elips diambil sebagai asal dari sistem koordinat; garis lurus yang melalui fokus (sumbu fokus atau sumbu pertama elips), kita akan mengambil sebagai sumbu absis (arah positif di atasnya dari titik F_1 ke titik F_2); garis lurus yang tegak lurus sumbu fokus dan melalui pusat elips (sumbu kedua elips) diambil sebagai sumbu y (arah pada sumbu y dipilih sehingga sistem koordinat persegi panjang Oxy benar ).
Mari kita rumuskan persamaan elips menggunakan definisi geometrisnya, yang menyatakan sifat fokus. Dalam sistem koordinat yang dipilih, kami menentukan koordinat fokus F_1(-c,0),~F_2(c,0). Untuk titik sewenang-wenang M(x,y) milik elips, kami memiliki:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Menulis persamaan ini dalam bentuk koordinat, kita mendapatkan:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Kami mentransfer radikal kedua ke sisi kanan, kuadratkan kedua sisi persamaan dan berikan suku-suku serupa:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Membagi dengan 4, kita kuadratkan kedua sisi persamaan:
A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
menunjukkan b=\sqrt(a^2-c^2)>0, kita mendapatkan b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Membagi kedua bagian dengan a^2b^2\ne0 , kita sampai pada persamaan kanonik elips:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Oleh karena itu, sistem koordinat yang dipilih adalah kanonik.
Jika fokus elips bertepatan, maka elips tersebut adalah lingkaran (Gbr. 3.36.6), karena a=b. Dalam hal ini, sembarang sistem koordinat persegi panjang dengan asal di titik O\equiv F_1\equiv F_2, dan persamaan x^2+y^2=a^2 adalah persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari a .
Dengan penalaran ke belakang, dapat ditunjukkan bahwa semua titik yang koordinatnya memenuhi persamaan (3.49), dan hanya titik-titik tersebut, termasuk tempat kedudukan titik-titik yang disebut elips. Dengan kata lain, definisi analitik elips setara dengan definisi geometrisnya, yang menyatakan properti fokus elips.
Properti direktori dari elips
Direktriks elips adalah dua garis lurus yang sejajar dengan sumbu ordinat sistem koordinat kanonik pada jarak yang sama \frac(a^2)(c) darinya. Untuk c=0 , ketika elips adalah lingkaran, tidak ada directrix (kita dapat mengasumsikan bahwa directrix dihilangkan tak terhingga).
Elips dengan eksentrisitas 0
Memang, misalnya, untuk fokus F_2 dan directrix d_2 (Gbr. 3.37.6) kondisinya \frac(r_2)(\rho_2)=e dapat ditulis dalam bentuk koordinat:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\kanan)
Menyingkirkan irasionalitas dan mengganti e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, kita sampai pada persamaan kanonik elips (3,49). Penalaran serupa dapat dilakukan untuk fokus F_1 dan direktriks d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Persamaan elips dalam koordinat kutub
Persamaan elips dalam sistem koordinat kutub F_1r\varphi (Gbr.3.37,c dan 3.37(2)) berbentuk
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
di mana p=\frac(b^2)(a) adalah parameter fokus elips.
Faktanya, mari kita pilih fokus kiri F_1 dari elips sebagai kutub sistem koordinat kutub, dan sinar F_1F_2 sebagai sumbu kutub (Gbr. 3.37, c). Kemudian untuk sembarang titik M(r,\varphi) , menurut definisi geometris (properti fokus) dari elips, kita memiliki r+MF_2=2a . Kami menyatakan jarak antara titik M(r,\varphi) dan F_2(2c,0) (lihat poin 2 dari komentar 2.8):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(selaras)
Oleh karena itu, dalam bentuk koordinat, persamaan elips F_1M+F_2M=2a berbentuk
R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Kami mengisolasi radikal, kuadratkan kedua sisi persamaan, bagi dengan 4 dan berikan suku-suku serupa:
R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\kanan)\!\cdot r=a^2-c^2.
Kami menyatakan jari-jari kutub r dan membuat substitusi e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Arti geometris dari koefisien dalam persamaan elips
Mari kita cari titik potong elips (lihat Gambar 3.37, a) dengan sumbu koordinat (simpul zlips). Mensubstitusikan y=0 ke dalam persamaan, kita menemukan titik potong elips dengan sumbu absis (dengan sumbu fokus): x=\pm a . Oleh karena itu, panjang ruas sumbu fokus yang berada di dalam elips adalah sama dengan 2a. Segmen ini, seperti disebutkan di atas, disebut sumbu utama elips, dan angka a adalah setengah sumbu utama elips. Mengganti x=0 , kita mendapatkan y=\pm b . Oleh karena itu, panjang ruas sumbu kedua elips yang berada di dalam elips adalah sama dengan 2b. Ruas ini disebut sumbu minor elips, dan angka b disebut sumbu minor elips.
Betulkah, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, dan persamaan b=a hanya diperoleh dalam kasus c=0 ketika elips adalah lingkaran. Sikap k=\frac(b)(a)\leqslant1 disebut faktor kontraksi elips.
Keterangan 3.9
1. Garis x=\pm a,~y=\pm b membatasi persegi panjang utama pada bidang koordinat, di mana elips berada (lihat Gambar 3.37, a).
2. Sebuah elips dapat didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang diperoleh dengan mengecilkan diameter lingkaran.
Memang, biarkan dalam sistem koordinat persegi panjang Oxy persamaan lingkaran memiliki bentuk x^2+y^2=a^2 . Ketika dikompresi ke sumbu x dengan faktor 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Mensubstitusikan x=x" dan y=\frac(1)(k)y" ke dalam persamaan lingkaran, kita memperoleh persamaan untuk koordinat bayangan M"(x",y") dari titik M(x ,y) : (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\kanan)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} karena b=k\cdot a . Ini adalah persamaan kanonik elips. 3. Sumbu koordinat (sistem koordinat kanonik) adalah sumbu simetri elips (disebut sumbu utama elips), dan pusatnya adalah pusat simetri. Memang, jika titik M(x,y) termasuk elips . maka titik M"(x,-y) dan M""(-x,y) , simetris dengan titik M terhadap sumbu koordinat, juga termasuk elips yang sama. 4. Dari persamaan elips dalam sistem koordinat kutub r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(lihat Gambar 3.37, c), arti geometris dari parameter fokus diklarifikasi - ini adalah setengah panjang tali busur elips yang melewati fokusnya tegak lurus terhadap sumbu fokus ( r = p di \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Eksentrisitas e mencirikan bentuk elips, yaitu perbedaan antara elips dan lingkaran. Semakin besar e, semakin memanjang elips, dan semakin dekat e ke nol, semakin dekat elips dengan lingkaran (Gbr. 3.38, a). Memang, mengingat bahwa e=\frac(c)(a) dan c^2=a^2-b^2 , kita dapatkan E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\kanan )\^2=1-k^2,
!} di mana k adalah faktor kontraksi elips, 0 6. Persamaan \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 untuk sebuah
7. Persamaan \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b mendefinisikan elips yang berpusat pada titik O "(x_0, y_0), yang sumbunya sejajar dengan sumbu koordinat (Gbr. 3.38, c). Persamaan ini direduksi menjadi persamaan kanonik menggunakan terjemahan paralel (3.36). Untuk a=b=R persamaan (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 menggambarkan lingkaran dengan jari-jari R berpusat di titik O"(x_0,y_0) . Persamaan parametrik elips dalam sistem koordinat kanonik memiliki bentuk \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Memang, dengan mensubstitusi ekspresi ini ke dalam persamaan (3.49), kita sampai pada identitas trigonometri utama \cos^2t+\sin^2t=1 . Contoh 3.20. menggambar elips \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 dalam sistem koordinat kanonik Oxy. Temukan semiaxes, panjang fokus, eksentrisitas, rasio aspek, parameter fokus, persamaan directrix. Keputusan. Membandingkan persamaan yang diberikan dengan persamaan kanonik, kami menentukan semiaxis: a=2 - semiaxis mayor, b=1 - semiaxis minor elips. Kami membangun persegi panjang utama dengan sisi 2a=4,~2b=2 berpusat di titik asal (Gbr.3.39). Mengingat simetri elips, kami memasukkannya ke dalam persegi panjang utama. Jika perlu, kami menentukan koordinat beberapa titik elips. Sebagai contoh, dengan mensubstitusikan x=1 ke dalam persamaan elips, kita peroleh \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ segi empat y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Oleh karena itu, titik-titik dengan koordinat \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- milik elips. Hitung rasio kompresi k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); Focal length 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); keanehan e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parameter fokus p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Kami membuat persamaan directrix: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Definisi 7.1. Himpunan semua titik pada bidang yang jumlah jaraknya ke dua titik tetap F1 dan F2 adalah konstanta tertentu disebut elips. Definisi elips memberikan cara berikut untuk membangunnya secara geometris. Kami memperbaiki dua titik F 1 dan F 2 pada bidang, dan menunjukkan nilai konstanta non-negatif dengan 2a. Biarkan jarak antara titik F 1 dan F 2 sama dengan 2c. Bayangkan bahwa seutas benang yang tidak dapat diperpanjang dengan panjang 2a dipasang di titik F 1 dan F 2, misalnya, dengan bantuan dua jarum. Jelas bahwa ini hanya mungkin untuk a c. Tarik benang dengan pensil, buat garis, yang akan menjadi elips (Gbr. 7.1). Jadi, himpunan yang dideskripsikan tidak kosong jika a c. Ketika a = c, elips adalah segmen dengan ujung F 1 dan F 2, dan ketika c = 0, mis. jika titik-titik tetap yang ditentukan dalam definisi elips bertepatan, itu adalah lingkaran dengan jari-jari a. Dengan membuang kasus-kasus yang merosot ini, kita selanjutnya akan mengasumsikan, sebagai suatu peraturan, bahwa a > c > 0. Titik-titik tetap F 1 dan F 2 dalam definisi 7.1 dari elips (lihat Gambar 7.1) disebut trik elips, jarak antara mereka, dilambangkan dengan 2c, - Focal length, dan segmen F 1 M dan F 2 M, menghubungkan titik sembarang M pada elips dengan fokusnya, - radius fokus. Bentuk elips sepenuhnya ditentukan oleh panjang fokus |F 1 F 2 | = 2с dan parameter a, dan posisinya pada bidang - oleh sepasang titik F 1 dan F 2 . Dari definisi elips, elips simetris terhadap garis lurus yang melalui fokus F 1 dan F 2, serta tentang garis lurus yang membagi segmen F 1 F 2 menjadi dua dan tegak lurus terhadapnya (Gbr. 7.2, a). Garis-garis ini disebut sumbu elips. Titik O dari perpotongannya adalah pusat simetri elips, dan disebut pusat elips, dan titik potong elips dengan sumbu simetri (titik A, B, C dan D pada Gambar 7.2, a) - titik sudut elips. Bilangan a disebut sumbu semi-mayor dari elips, dan b = (a 2 - c 2) - its sumbu semi-kecil. Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk c > 0, sumbu utama a sama dengan jarak dari pusat elips ke titik-titiknya yang berada pada sumbu yang sama dengan fokus elips (simpul A dan B pada Gambar 7.2, a), dan semisumbu minor b sama dengan jarak dari pusat elips ke dua simpul lainnya (simpul C dan D pada Gambar 7.2, a). persamaan elips. Pertimbangkan beberapa elips pada bidang dengan fokus pada titik F 1 dan F 2 , sumbu utama 2a. Misal 2c adalah panjang fokus, 2c = |F 1 F 2 | Kami memilih sistem koordinat persegi panjang Oxy pada bidang sehingga asalnya bertepatan dengan pusat elips, dan fokusnya berada di absis(Gbr. 7.2, b). Sistem koordinat ini disebut resmi untuk elips yang sedang dipertimbangkan, dan variabel yang sesuai adalah resmi. Dalam sistem koordinat yang dipilih, fokus memiliki koordinat F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Dengan menggunakan rumus jarak antar titik, kita tuliskan kondisinya |F 1 M| + |F 2 M| = 2a dalam koordinat: ((x - c) 2 + y 2) + ((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2) Persamaan ini tidak nyaman karena mengandung dua radikal kuadrat. Jadi mari kita ubah. Kami mentransfer radikal kedua dalam persamaan (7.2) ke sisi kanan dan kuadratkan: (x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 . Setelah membuka kurung dan mengurangi suku yang sama, kita peroleh ((x + c) 2 + y 2) = a + x dimana = c/a. Kami mengulangi operasi kuadrat untuk menghilangkan radikal kedua: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + 2 x 2, atau, dengan nilai parameter yang dimasukkan , (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Karena a 2 - c 2 = b 2 > 0, maka x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4) Persamaan (7.4) dipenuhi oleh koordinat semua titik yang terletak pada elips. Tetapi ketika menurunkan persamaan ini, digunakan transformasi yang tidak ekuivalen dari persamaan asli (7.2) - dua kuadrat yang menghilangkan radikal kuadrat. Mengkuadratkan suatu persamaan adalah transformasi yang ekuivalen jika kedua sisi memuat besaran-besaran dengan tanda yang sama, tetapi kami tidak memeriksa ini dalam transformasi kami. Kami mungkin tidak memeriksa kesetaraan transformasi jika kami mempertimbangkan hal berikut. Sepasang titik F 1 dan F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, pada bidang mendefinisikan keluarga elips dengan fokus pada titik-titik ini. Setiap titik bidang, kecuali titik-titik segmen F 1 F 2 , termasuk dalam beberapa elips dari keluarga yang ditunjukkan. Dalam hal ini, tidak ada dua elips yang berpotongan, karena jumlah jari-jari fokus secara unik menentukan elips tertentu. Jadi, keluarga elips tanpa persimpangan yang dijelaskan mencakup seluruh bidang, kecuali untuk titik-titik segmen F 1 F 2 . Pertimbangkan satu set titik yang koordinatnya memenuhi persamaan (7.4) dengan nilai parameter a yang diberikan. Bisakah himpunan ini didistribusikan di antara beberapa elips? Beberapa titik dari himpunan termasuk elips dengan sumbu semi-mayor a. Misalkan suatu titik pada himpunan ini terletak pada elips dengan sumbu semi-mayor a. Maka koordinat titik ini mengikuti persamaan itu. persamaan (7.4) dan (7.5) memiliki solusi yang sama. Namun, mudah untuk memverifikasi bahwa sistem untuk a tidak memiliki solusi. Untuk melakukan ini, cukup untuk mengecualikan, misalnya, x dari persamaan pertama: yang setelah transformasi mengarah ke persamaan tidak memiliki solusi untuk a, karena . Jadi, (7.4) adalah persamaan elips dengan sumbu semi mayor a > 0 dan sumbu semi minor b = (a 2 - c 2) > 0. Disebut persamaan kanonik elips. Pemandangan elips. Metode geometris membangun elips yang dibahas di atas memberikan gambaran yang cukup tentang penampilan elips. Tetapi bentuk elips juga dapat diselidiki dengan bantuan persamaan kanoniknya (7.4). Misalnya, dengan mempertimbangkan y 0, Anda dapat menyatakan y dalam bentuk x: y = b√(1 - x 2 /a 2), dan, setelah memeriksa fungsi ini, buat grafiknya. Ada cara lain untuk membuat elips. Lingkaran dengan jari-jari a yang berpusat di titik asal sistem koordinat kanonik elips (7.4) dijelaskan oleh persamaan x 2 + y 2 = a 2 . Jika dikompresi dengan koefisien a/b > 1 sepanjang sumbu y, maka Anda mendapatkan kurva yang dijelaskan oleh persamaan x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, yaitu elips. Catatan 7.1. Jika lingkaran yang sama ditekan dengan koefisien a/b eksentrisitas elips. Perbandingan jarak fokus elips dengan sumbu utama disebut eksentrisitas elips dan dilambangkan dengan . Untuk elips yang diberikan persamaan kanonik (7.4), = 2c/2a = /a. Jika pada (7.4) parameter a dan b berhubungan dengan pertidaksamaan a Untuk c = 0, ketika elips berubah menjadi lingkaran, dan = 0. Dalam kasus lain, 0 Persamaan (7.3) ekuivalen dengan persamaan (7.4) karena persamaan (7.4) dan (7.2) ekuivalen. Oleh karena itu, (7.3) juga merupakan persamaan elips. Selain itu, relasi (7.3) menarik karena memberikan rumus bebas radikal sederhana untuk panjang |F 2 M| salah satu jari-jari fokus titik M(x; y) dari elips: |F 2 M| = a + x. Rumus serupa untuk jari-jari fokus kedua dapat diperoleh dari pertimbangan simetri atau dengan mengulangi perhitungan di mana, sebelum mengkuadratkan persamaan (7.2), radikal pertama dipindahkan ke ruas kanan, dan bukan ruas kedua. Jadi, untuk sembarang titik M(x; y) pada elips (lihat Gambar 7.2) |F 1 M | = a - x, |F 2 M| = a + x, (7.6) dan masing-masing persamaan tersebut merupakan persamaan elips. Contoh 7.1. Mari kita cari persamaan kanonik elips dengan semi-mayor axis 5 dan eksentrisitas 0,8 dan membangunnya. Mengetahui semiaxis mayor dari elips a = 5 dan eksentrisitas = 0,8, kita menemukan semiaxis minornya b. Karena b \u003d √ (a 2 - c 2), dan c \u003d εa \u003d 4, maka b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Jadi persamaan kanonik memiliki bentuk x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Untuk membangun elips, akan lebih mudah untuk menggambar persegi panjang yang berpusat di titik asal sistem koordinat kanonik, yang sisi-sisinya sejajar dengan sumbu simetri elips dan sama dengannya sumbu yang sesuai (Gbr. 7.4). Persegi panjang ini berpotongan dengan sumbu elips pada simpulnya A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), dan elips itu sendiri tertulis di dalamnya. pada gambar. 7.4 juga menunjukkan fokus F 1.2 (±4; 0) dari elips. Sifat geometris elips. Mari kita tulis ulang persamaan pertama pada (7.6) sebagai |F 1 M| = (а/ε - x)ε. Perhatikan bahwa nilai a / - x untuk a > c adalah positif, karena fokus F 1 tidak termasuk dalam elips. Nilai ini adalah jarak ke garis vertikal d: x = a/ε dari titik M(x; y) di sebelah kiri garis ini. Persamaan elips dapat ditulis sebagai |F 1 M|/(а/ε - x) = Ini berarti bahwa elips ini terdiri dari titik-titik M (x; y) dari bidang yang rasio panjang jari-jari fokus F 1 M dengan jarak ke garis lurus d adalah nilai konstan yang sama dengan (Gbr. 7.5). Garis d memiliki "ganda" - garis vertikal d", simetris dengan d sehubungan dengan pusat elips, yang diberikan oleh persamaan x \u003d -a / . Sehubungan dengan d", elips adalah dijelaskan dengan cara yang sama seperti sehubungan dengan d. Kedua garis d dan d" disebut elips directrix. Arahan elips tegak lurus terhadap sumbu simetri elips, di mana fokusnya berada, dan dipisahkan dari pusat elips dengan jarak a / \u003d a 2 / c (lihat Gambar 7.5) . Jarak p dari direktriks ke fokus terdekat disebut parameter fokus elips. Parameter ini sama dengan p \u003d a / - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c Elips memiliki sifat geometris penting lainnya: jari-jari fokus F 1 M dan F 2 M membuat sudut yang sama dengan garis singgung elips di titik M (Gbr. 7.6). Properti ini memiliki arti fisik yang jelas. Jika sumber cahaya ditempatkan pada fokus F 1, maka berkas cahaya yang muncul dari fokus ini, setelah dipantulkan dari elips, akan berjalan sepanjang radius fokus kedua, karena setelah dipantulkan akan membentuk sudut yang sama terhadap kurva seperti sebelum dipantulkan. . Dengan demikian, semua sinar yang meninggalkan fokus F 1 akan terkonsentrasi di fokus kedua F 2 dan sebaliknya. Berdasarkan interpretasi ini, properti ini disebut sifat optik elips. Kurva orde kedua pada bidang disebut garis yang didefinisikan oleh persamaan di mana koordinat variabel x dan kamu terkandung dalam derajat kedua. Ini termasuk elips, hiperbola, dan parabola. Bentuk umum persamaan kurva orde dua adalah sebagai berikut: di mana A, B, C, D, E, F- angka dan setidaknya salah satu koefisien A, B, C tidak sama dengan nol. Ketika memecahkan masalah dengan kurva orde kedua, persamaan kanonik dari elips, hiperbola, dan parabola paling sering dipertimbangkan. Mudah untuk melewatinya dari persamaan umum, contoh 1 masalah dengan elips akan dikhususkan untuk ini. Definisi elips. Elips adalah himpunan semua titik pada bidang, yang jumlah jarak ke titik-titiknya, yang disebut fokus, adalah konstan dan lebih besar dari jarak antara fokus. Fokus ditandai seperti pada gambar di bawah ini. Persamaan kanonik elips adalah: di mana sebuah dan b (sebuah > b) - panjang setengah sumbu, yaitu, setengah panjang segmen yang dipotong oleh elips pada sumbu koordinat. Garis lurus yang melalui titik fokus elips adalah sumbu simetrinya. Sumbu simetri lain dari elips adalah garis lurus yang melewati tengah segmen tegak lurus terhadap segmen ini. Dot HAI perpotongan garis-garis ini berfungsi sebagai pusat simetri elips, atau hanya pusat elips. Sumbu absis elips berpotongan di titik ( sebuah, HAI) dan (- sebuah, HAI), dan sumbu y berada di titik ( b, HAI) dan (- b, HAI). Keempat titik ini disebut simpul elips. Segmen antara simpul elips pada sumbu absis disebut sumbu utama, dan pada sumbu ordinat - sumbu minor. Segmen mereka dari atas ke tengah elips disebut semiaxes. Jika sebuah sebuah = b, maka persamaan elips berbentuk . Ini adalah persamaan untuk lingkaran dengan jari-jari sebuah, dan lingkaran adalah kasus khusus dari elips. Elips dapat diperoleh dari lingkaran berjari-jari sebuah, jika Anda mengompresnya menjadi sebuah/b kali sepanjang sumbu Oy
. Contoh 1 Periksa apakah garis yang diberikan oleh persamaan umum Keputusan. Kami membuat transformasi persamaan umum. Kami menerapkan transfer istilah bebas ke sisi kanan, pembagian suku demi suku persamaan dengan angka yang sama dan pengurangan pecahan: Menjawab. Persamaan yang dihasilkan adalah persamaan kanonik elips. Oleh karena itu, garis ini adalah elips. Contoh 2 Tulis persamaan kanonik elips jika semiax nya masing-masing adalah 5 dan 4. Keputusan. Kami melihat rumus untuk persamaan kanonik elips dan pengganti: sumbu semi-mayor adalah sebuah= 5 , semisumbu minornya adalah b= 4 . Kami mendapatkan persamaan kanonik elips: Titik dan ditandai dengan warna hijau pada sumbu utama, di mana ditelepon Trik. ditelepon keanehan elips. Sikap b/sebuah mencirikan "oblateness" dari elips. Semakin kecil rasio ini, semakin elips diperpanjang sepanjang sumbu utama. Namun, derajat pemanjangan elips lebih sering dinyatakan dalam eksentrisitas, yang rumusnya diberikan di atas. Untuk elips yang berbeda, eksentrisitas bervariasi dari 0 hingga 1, selalu tetap kurang dari satu. Contoh 3 Tulis persamaan kanonik elips jika jarak antara fokusnya adalah 8 dan sumbu utama adalah 10. Keputusan. Kami membuat kesimpulan sederhana: Jika sumbu utama adalah 10, maka setengahnya, yaitu setengah sumbu sebuah = 5
, Jika jarak antara fokus adalah 8, maka jumlah c koordinat fokusnya adalah 4. Substitusi dan hitung: Hasilnya adalah persamaan kanonik elips: Contoh 4 Tulis persamaan kanonik elips jika sumbu utamanya adalah 26 dan eksentrisitasnya adalah . Keputusan. Sebagai berikut dari kedua ukuran sumbu utama dan persamaan eksentrisitas, semisumbu utama elips sebuah= 13 . Dari persamaan eksentrisitas, kita nyatakan bilangan c, diperlukan untuk menghitung panjang setengah sumbu minor: Kami menghitung kuadrat dari panjang semiaxis minor: Kami membuat persamaan kanonik elips: Contoh 5 Tentukan fokus elips yang diberikan oleh persamaan kanonik. Keputusan. Perlu menemukan nomor c, yang mendefinisikan koordinat pertama dari fokus elips: Kami mendapatkan fokus elips: Contoh 6 Fokus elips terletak pada sumbu Sapi simetris tentang asal. Tulis persamaan kanonik elips jika: 1) jarak antara fokus adalah 30, dan sumbu utama adalah 34 2) sumbu minor adalah 24, dan salah satu fokusnya berada di titik (-5; 0) 3) eksentrisitas, dan salah satu fokusnya berada di titik (6; 0) Jika - titik sembarang elips (ditandai dengan warna hijau pada gambar di bagian kanan atas elips) dan - jarak ke titik ini dari fokus, maka rumus jaraknya adalah sebagai berikut: Untuk setiap titik yang termasuk dalam elips, jumlah jarak dari fokus adalah nilai konstan yang sama dengan 2 sebuah. Garis lurus didefinisikan oleh persamaan ditelepon direktur elips (dalam gambar - garis merah di sepanjang tepinya). Dari dua persamaan di atas dapat disimpulkan bahwa untuk setiap titik elips di mana dan adalah jarak titik ini ke direktriks dan . Contoh 7 Diberikan sebuah elips. Tulis persamaan untuk direktriksnya. Keputusan. Kami melihat ke dalam persamaan directrix dan menemukan bahwa diperlukan untuk menemukan eksentrisitas elips, yaitu . Semua data untuk ini. Kami menghitung: Kami mendapatkan persamaan direktriks elips: Contoh 8 Tulis persamaan kanonik elips jika fokusnya adalah titik dan direktriksnya adalah garis. Kuliah Aljabar dan Geometri. Semester 1. Kuliah 15. Elips. Bab 15 barang 1. Definisi dasar. Definisi. Elips adalah GMT suatu bidang, jumlah jaraknya ke dua titik tetap pada bidang, yang disebut fokus, adalah nilai konstan. Definisi. Jarak dari titik sembarang M pada bidang ke fokus elips disebut jari-jari fokus titik M. Sebutan: Menurut definisi elips, titik M adalah titik elips jika dan hanya jika perhatikan itu Menurut definisi elips, fokusnya adalah titik tetap, sehingga jarak di antara mereka juga merupakan nilai konstan untuk elips yang diberikan. Definisi. Jarak fokus elips disebut panjang fokus. Penamaan: Dari segitiga Dilambangkan dengan b angka yang sama dengan Definisi. Sikap disebut eksentrisitas elips. Mari kita perkenalkan sistem koordinat pada bidang yang diberikan, yang akan kita sebut kanonik untuk elips. Definisi. Sumbu di mana fokus elips terletak disebut sumbu fokus. Mari kita buat PDSC kanonik untuk elips, lihat Gbr.2. Kami memilih sumbu fokus sebagai sumbu absis, dan menggambar sumbu ordinat melalui tengah segmen Maka fokus memiliki koordinat butir 2. Persamaan kanonik elips. Dalil. Dalam sistem koordinat kanonik untuk elips, persamaan elips memiliki bentuk: Bukti. Kami akan melakukan pembuktian dalam dua tahap. Pada tahap pertama, kita akan membuktikan bahwa koordinat setiap titik yang terletak pada elips memenuhi persamaan (4). Pada tahap kedua, kita akan membuktikan bahwa setiap solusi persamaan (4) memberikan koordinat titik yang terletak pada elips. Dari sini akan mengikuti bahwa persamaan (4) dipenuhi oleh titik-titik itu dan hanya titik-titik pada bidang koordinat yang terletak pada elips. Dari sini dan dari definisi persamaan kurva, maka akan mengikuti bahwa persamaan (4) adalah persamaan elips. 1) Biarkan titik M(x, y) menjadi titik elips, mis. jumlah jari-jari fokusnya adalah 2a: Kami menggunakan rumus untuk jarak antara dua titik pada bidang koordinat dan menemukan jari-jari fokus titik M yang diberikan menggunakan rumus ini: Mari pindahkan satu akar ke sisi kanan persamaan dan kuadratkan: Mengurangi, kita mendapatkan: Kami memberikan yang serupa, kurangi 4 dan isolasi radikal: Kami persegi Buka kurung dan persingkat dari mana kita mendapatkan: Dengan menggunakan persamaan (2), kita peroleh: Membagi persamaan terakhir dengan 2) Sekarang biarkan sepasang angka (x, y) memenuhi persamaan (4) dan biarkan M(x, y) menjadi titik yang sesuai pada bidang koordinat Oxy. Kemudian dari (4) berikut: Kami mengganti persamaan ini ke dalam ekspresi untuk jari-jari fokus titik M: Di sini kita telah menggunakan persamaan (2) dan (3). Dengan demikian, Sekarang perhatikan bahwa berikut dari persamaan (4) bahwa Dari sini, pada gilirannya, mengikuti bahwa Ini mengikuti dari persamaan (5) bahwa Teorema telah terbukti. Definisi. Persamaan (4) disebut persamaan kanonik elips. Definisi. Sumbu koordinat kanonik untuk elips disebut sumbu utama elips. Definisi. Asal usul sistem koordinat kanonik untuk elips disebut pusat elips. butir 3. Sifat elips. Dalil. (Sifat elips.) 1. Dalam sistem koordinat kanonik untuk elips, semua titik elips berada pada persegi panjang 2. Poin terletak pada 3. Elips adalah kurva yang simetris terhadap sumbu utama mereka. 4. Pusat elips adalah pusat simetrinya. Bukti. 1, 2) Segera mengikuti dari persamaan kanonik elips. 3, 4) Misalkan M(x, y) adalah titik sembarang dari elips. Maka koordinatnya memenuhi persamaan (4). Tetapi kemudian koordinat titik-titik juga memenuhi persamaan (4), dan, akibatnya, mereka adalah titik-titik elips, yang darinya pernyataan teorema mengikuti. Teorema telah terbukti. Definisi. Besaran 2a disebut sumbu utama elips, besaran a disebut sumbu utama elips. Definisi. Besaran 2b disebut sumbu minor elips, besaran b disebut sumbu minor elips. Definisi. Titik potong elips dengan sumbu utamanya disebut simpul elips. Komentar. Sebuah elips dapat dibangun dengan cara berikut. Di pesawat, kami "memukul paku" ke dalam trik dan mengikatkan seutas benang ke dalamnya Dari definisi eksentrisitas berikut bahwa Kami memperbaiki angka a dan membiarkan c cenderung nol. Kemudian di Ayo berjuang sekarang butir 4. Persamaan parametrik elips. Dalil. Biarlah adalah persamaan parametrik elips dalam sistem koordinat kanonik untuk elips. Bukti. Cukup dibuktikan bahwa sistem persamaan (6) ekuivalen dengan persamaan (4), yaitu. mereka memiliki himpunan solusi yang sama. 1) Biarkan (x, y) menjadi solusi arbitrer dari sistem (6). Bagi persamaan pertama dengan a, persamaan kedua dengan b, kuadratkan kedua persamaan dan tambahkan: Itu. setiap solusi (x, y) dari sistem (6) memenuhi persamaan (4). 2) Sebaliknya, misalkan pasangan (x, y) merupakan solusi dari persamaan (4), yaitu. Dari persamaan ini maka titik dengan koordinat Dari definisi sinus dan cosinus, langsung mengikuti bahwa Teorema telah terbukti. Komentar. Elips dapat diperoleh sebagai hasil dari "kompresi" seragam dari lingkaran dengan jari-jari a ke sumbu absis. Biarlah Dengan transformasi ini, setiap titik lingkaran "melewati" ke titik lain pada bidang, yang memiliki absis yang sama, tetapi ordinat yang lebih kecil. Mari kita nyatakan ordinat lama dari suatu titik dalam bentuk yang baru: dan substitusikan ke persamaan lingkaran: Dari sini kita mendapatkan: Dari sini dapat disimpulkan bahwa jika, sebelum transformasi "kompresi", titik M(x, y) terletak pada lingkaran, yaitu. koordinatnya memenuhi persamaan lingkaran, kemudian setelah transformasi "kompresi", titik ini "lewat" ke titik barang 5. Bersinggungan dengan elips. Dalil. Biarlah Maka persamaan garis singgung elips ini di titik Bukti. Cukuplah untuk mempertimbangkan kasus ketika titik singgung terletak pada kuartal pertama atau kedua dari bidang koordinat: Mari kita gunakan persamaan garis singgung grafik fungsi di mana Kami mengganti nilai turunan yang ditemukan ke dalam persamaan tangen (10): dari mana kita mendapatkan: Ini menyiratkan: Mari kita bagi persamaan ini menjadi Masih perlu dicatat bahwa Persamaan tangen (8) dibuktikan dengan cara yang sama pada titik singgung yang terletak di kuartal ketiga atau keempat dari bidang koordinat. Dan, akhirnya, kita dapat dengan mudah melihat bahwa persamaan (8) memberikan persamaan garis singgung di titik-titik Teorema telah terbukti. butir 6. Sifat cermin dari elips. Dalil. Garis singgung elips memiliki sudut yang sama dengan jari-jari fokus titik singgung. Biarlah Teorema menyatakan bahwa Persamaan ini dapat diartikan sebagai persamaan sudut datang dan pemantulan berkas cahaya dari elips yang dilepaskan dari fokusnya. Properti ini disebut properti cermin elips: Seberkas cahaya yang dipancarkan dari fokus elips, setelah dipantulkan dari cermin elips, melewati fokus elips yang lain. Bukti teorema. Untuk membuktikan persamaan sudut (11), kita buktikan keserupaan segitiga Persamaan parametrik elips
Kontrol ActiveX harus diaktifkan untuk membuat perhitungan!
Elips diberikan oleh persamaan kanonik
, sebuah elips.
.
.
Kami terus memecahkan masalah pada elips bersama-sama
,
.
adalah fokus elips, 
adalah jari-jari fokus titik M.
adalah nilai konstan. Konstanta ini biasanya dilambangkan sebagai 2a:
.
(1)
.
.
mengikuti itu 
, yaitu
.
, yaitu
.
(2)
(3)
tegak lurus dengan sumbu fokus.
,
.
.
(4)
.
,
, dari mana kita mendapatkan:
.
:
.
, kita memperoleh persamaan (4), p.t.d.
.
.
. Juga, 
.
atau 
dan karena 
, maka pertidaksamaan berikut:
.
atau 
dan
,
.
(5)
, yaitu titik M(x,y) adalah titik elips, dll.
,
.
. Kemudian kami mengambil pensil dan menggunakannya untuk meregangkan benang. Kemudian kami memindahkan ujung pensil di sepanjang bidang, memastikan bahwa utasnya dalam keadaan kencang.
,
dan 
. Dalam batas yang kita dapatkan
atau 
adalah persamaan lingkaran.
. Kemudian 
,
dan kita melihat bahwa pada limit elips berdegenerasi menjadi segmen garis 
dalam notasi Gambar 3.
adalah bilangan real arbitrer. Maka sistem persamaan
,
(6)
.
.
terletak pada lingkaran dengan radius satuan yang berpusat di titik asal, yaitu adalah titik lingkaran trigonometri, yang sesuai dengan beberapa sudut 
:
,
, di mana 
, maka pasangan (x, y) adalah solusi untuk sistem (6), dll.
adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik asal. "Pemampatan" lingkaran ke sumbu absis tidak lebih dari transformasi bidang koordinat, yang dilakukan sesuai dengan aturan berikut. Untuk setiap titik M(x, y) kita berkorespondensi dengan sebuah titik pada bidang yang sama 
, di mana 
,
adalah faktor "kompresi".
.
.
(7)
, yang koordinatnya memenuhi persamaan elips (7). Jika kita ingin mendapatkan persamaan elips dengan semi-sumbu minor b, maka kita perlu mengambil faktor kompresi
.
- titik sembarang dari elips
.
seperti:
.
(8)
. Persamaan elips di setengah bidang atas memiliki bentuk:
.
(9)
pada intinya 
:
adalah nilai turunan dari fungsi ini di titik 
. Elips pada kuartal pertama dapat dilihat sebagai grafik fungsi (8). Mari kita cari turunannya dan nilainya pada titik kontak:
,
. Di sini kami telah mengambil keuntungan dari fakta bahwa titik sentuh 
adalah titik elips dan oleh karena itu koordinatnya memenuhi persamaan elips (9), yaitu.
.
,
:
.
, karena dot 
milik elips dan koordinatnya memenuhi persamaannya.
,
:
atau 
, dan 
atau 
.
- titik kontak 
,
adalah jari-jari fokus titik singgung, P dan Q adalah proyeksi fokus pada garis singgung yang ditarik ke elips di titik 
.
.
(11)
dan 
, di mana sisi 
dan 
akan serupa. Karena segitiga siku-siku, itu cukup untuk membuktikan kesetaraan
