nilai rata-rata- ini adalah indikator generalisasi yang mencirikan populasi yang homogen secara kualitatif sesuai dengan atribut kuantitatif tertentu. Misalnya, usia rata-rata orang yang dihukum karena pencurian.
Dalam statistik yudisial, rata-rata digunakan untuk mengkarakterisasi:
Rata-rata hal pertimbangan kasus kategori ini;
Klaim ukuran sedang;
Rata-rata jumlah terdakwa per kasus;
Rata-rata jumlah kerusakan;
Beban kerja rata-rata hakim, dll.
Nilai rata-rata selalu diberi nama dan memiliki dimensi yang sama dengan atribut unit populasi yang terpisah. Setiap nilai rata-rata mencirikan populasi yang diteliti menurut satu atribut yang bervariasi, oleh karena itu, di balik rata-rata apa pun, ada serangkaian distribusi unit populasi ini menurut atribut yang dipelajari. Pilihan jenis rata-rata ditentukan oleh isi indikator dan data awal untuk menghitung rata-rata.
Semua jenis rata-rata yang digunakan dalam studi statistik terbagi dalam dua kategori:
1) rata-rata daya;
2) rata-rata struktural.
Kategori rata-rata pertama meliputi: rata-rata aritmatika, rata-rata harmonik, rata-rata geometrik dan akar rata-rata kuadrat . Kategori kedua adalah mode dan median. Selain itu, masing-masing jenis rata-rata daya yang terdaftar dapat memiliki dua bentuk: sederhana dan tertimbang . Bentuk sederhana dari rata-rata digunakan untuk mendapatkan nilai rata-rata dari sifat yang diteliti ketika perhitungan didasarkan pada statistik yang tidak dikelompokkan, atau ketika setiap varian hanya muncul satu kali dalam populasi. Rata-rata tertimbang adalah nilai yang memperhitungkan bahwa opsi untuk nilai fitur dapat memiliki angka yang berbeda, dan oleh karena itu setiap opsi harus dikalikan dengan frekuensi yang sesuai. Dengan kata lain, setiap opsi "ditimbang" berdasarkan frekuensinya. Frekuensi ini disebut bobot statistik.
rata-rata aritmatika sederhana- jenis media yang paling umum. Itu sama dengan jumlah nilai karakteristik individu dibagi dengan jumlah total nilai-nilai ini:
di mana x 1 ,x 2 , … ,x N- nilai individu dari atribut variabel (opsi), dan N - jumlah unit populasi.
Rata-rata tertimbang aritmatika digunakan bila data disajikan dalam bentuk deret distribusi atau pengelompokan. Ini dihitung sebagai jumlah produk dari opsi dan frekuensi yang sesuai, dibagi dengan jumlah frekuensi semua opsi:
di mana x saya- berarti saya-varian fitur; fi- frekuensi saya pilihan.
Dengan demikian, setiap nilai varian diberi bobot oleh frekuensinya, itulah sebabnya frekuensi kadang-kadang disebut bobot statistik.
Komentar. Ketika datang ke mean aritmatika tanpa menentukan jenisnya, mean aritmatika sederhana yang dimaksud.
Tabel 12
Keputusan. Untuk perhitungannya, kami menggunakan rumus rata-rata tertimbang aritmatika:
Jadi, rata-rata ada dua terdakwa per kasus pidana.
Jika perhitungan nilai rata-rata dilakukan menurut data yang dikelompokkan dalam bentuk deret distribusi interval, maka terlebih dahulu Anda perlu menentukan nilai median dari setiap interval x”i, kemudian menghitung nilai rata-rata dengan menggunakan pembobotan. rumus rata-rata aritmatika, di mana x" i diganti, bukan x i.
Contoh. Data usia pelaku tindak pidana pencurian disajikan dalam tabel:
Tabel 13
Tentukan usia rata-rata penjahat yang dihukum karena pencurian.
Keputusan. Untuk menentukan usia rata-rata penjahat berdasarkan deret variasi interval, Anda harus terlebih dahulu mencari nilai median dari interval tersebut. Karena deret interval dengan interval pertama dan terakhir terbuka diberikan, nilai interval ini diambil sama dengan nilai interval tertutup yang berdekatan. Dalam kasus kami, nilai interval pertama dan terakhir adalah 10.
Sekarang kita temukan usia rata-rata penjahat menggunakan rumus rata-rata aritmatika tertimbang:
Dengan demikian, rata-rata usia pelaku tindak pidana pencurian adalah kurang lebih 27 tahun.
Rata-rata harmonik sederhana adalah kebalikan dari rata-rata aritmatika dari nilai timbal balik dari atribut:
dimana 1/ x saya adalah kebalikan dari opsi, dan N adalah jumlah unit populasi.
Contoh. Untuk menentukan rata-rata beban kerja tahunan hakim pengadilan negeri ketika mempertimbangkan perkara pidana, dilakukan survei terhadap beban kerja 5 hakim pengadilan ini. Rata-rata waktu yang dihabiskan untuk satu kasus pidana untuk masing-masing hakim yang disurvei ternyata sama (dalam hari): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Temukan biaya rata-rata untuk satu kasus perkara pidana dan rata-rata beban kerja tahunan hakim pengadilan negeri ini dalam mempertimbangkan perkara pidana.
Keputusan. Untuk menentukan rata-rata waktu yang dihabiskan untuk satu kasus pidana, kami menggunakan rumus sederhana harmonik:
Untuk menyederhanakan perhitungan dalam contoh, mari kita ambil jumlah hari dalam setahun sama dengan 365, termasuk akhir pekan (ini tidak mempengaruhi metode perhitungan, dan ketika menghitung indikator serupa dalam praktiknya, perlu untuk mengganti jumlah kerja hari dalam tahun tertentu, bukan 365 hari). Maka beban kerja rata-rata tahunan untuk hakim pengadilan negeri ini ketika mempertimbangkan kasus pidana adalah: 365 (hari): 5,56 65,6 (kasus).
Jika kita menggunakan rumus rata-rata aritmatika sederhana untuk menentukan waktu rata-rata yang dihabiskan untuk satu kasus kriminal, kita akan mendapatkan:
365 (hari): 5,64 64,7 (kasus), mis. rata-rata beban kerja hakim lebih sedikit.
Mari kita periksa validitas pendekatan ini. Untuk melakukan ini, kami menggunakan data waktu yang dihabiskan untuk satu kasus pidana untuk setiap hakim dan menghitung jumlah kasus pidana yang dipertimbangkan oleh masing-masing hakim per tahun.
Kami mendapatkan sesuai:
365(hari) : 6 61 (kasus), 365(hari) : 5,6 65,2 (kasus), 365(hari) : 6,3 58 (kasus),
365(hari) : 4,9 74,5 (kasus), 365(hari) : 5,4 68 (kasus).
Sekarang kami menghitung beban kerja tahunan rata-rata untuk hakim pengadilan negeri ini ketika mempertimbangkan kasus pidana:
Itu. beban tahunan rata-rata sama dengan ketika menggunakan rata-rata harmonik.
Dengan demikian, penggunaan mean aritmatika dalam kasus ini adalah ilegal.
Dalam kasus di mana varian fitur diketahui, nilai volumetriknya (produk dari varian dengan frekuensi), tetapi frekuensi itu sendiri tidak diketahui, rumus rata-rata tertimbang harmonik diterapkan:
,
di mana x saya adalah nilai opsi sifat, dan wi adalah nilai volumetrik opsi ( w i = x i f i).
Contoh. Data harga satuan barang sejenis yang diproduksi oleh berbagai lembaga sistem pemasyarakatan, dan volume pelaksanaannya disajikan pada tabel 14.
Tabel 14
Temukan harga jual rata-rata produk tersebut.
Keputusan. Saat menghitung harga rata-rata, kita harus menggunakan rasio jumlah yang terjual dengan jumlah unit yang terjual. Kita tidak tahu jumlah unit yang terjual, tetapi kita tahu jumlah penjualan barang. Oleh karena itu, untuk mencari harga rata-rata barang yang terjual, kita menggunakan rumus rata-rata tertimbang harmonik. Kita mendapatkan
Jika Anda menggunakan rumus rata-rata aritmatika di sini, Anda bisa mendapatkan harga rata-rata yang tidak realistis:
Rata-rata geometris dihitung dengan mengekstrak akar derajat N dari produk semua nilai varian fitur:
,
di mana x 1 ,x 2 , … ,x N- nilai individu dari sifat variabel (opsi), dan
N- jumlah unit populasi.
Jenis rata-rata ini digunakan untuk menghitung tingkat pertumbuhan rata-rata deret waktu.
akar rata-rata kuadrat digunakan untuk menghitung simpangan baku, yang merupakan indikator variasi, dan akan dibahas di bawah.
Untuk menentukan struktur populasi, digunakan rata-rata khusus, yang meliputi: median dan mode , atau yang disebut rata-rata struktural. Jika mean aritmatika dihitung berdasarkan penggunaan semua varian nilai atribut, maka median dan mode mencirikan nilai varian yang menempati posisi rata-rata tertentu dalam deret peringkat (terurut). Pengurutan satuan populasi statistik dapat dilakukan secara menaik atau menurun dari varian sifat yang diteliti.
Median (Saya) adalah nilai yang sesuai dengan varian di tengah rangkaian peringkat. Jadi, median adalah varian dari deret berperingkat tersebut, yang pada kedua sisi deret tersebut harus ada jumlah unit populasi yang sama.
Untuk mencari median, pertama-tama Anda harus menentukan nomor urutnya dalam deret peringkat menggunakan rumus:
di mana N adalah volume deret (jumlah unit populasi).
Jika deret tersebut terdiri dari jumlah anggota ganjil, maka median sama dengan varian dengan jumlah N Me . Jika deret tersebut terdiri dari sejumlah anggota genap, maka median didefinisikan sebagai rata-rata aritmatika dari dua opsi yang berdekatan yang terletak di tengah.
Contoh. Diberikan suatu deret berperingkat 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Volume deret tersebut adalah N = 9 yang artinya N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Oleh karena itu, Me = 6, yaitu . pilihan kelima. Jika sebuah baris diberikan 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, mis. deret dengan jumlah anggota genap (N = 8), maka N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Jadi median sama dengan setengah jumlah opsi keempat dan kelima, mis. Saya = (9 + 11) / 2 = 10.
Dalam deret variasi diskrit, median ditentukan oleh frekuensi yang terakumulasi. Frekuensi varian, dimulai dengan yang pertama, dijumlahkan sampai jumlah median terlampaui. Nilai dari opsi yang dijumlahkan terakhir akan menjadi median.
Contoh. Carilah median jumlah terdakwa per kasus pidana dengan menggunakan data pada Tabel 12.
Keputusan. Dalam hal ini, volume deret variasi adalah N = 154, oleh karena itu, N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Menjumlahkan frekuensi opsi pertama dan kedua, kami mendapatkan: 75 + 43 = 118, mis. kami telah melampaui jumlah median. Jadi Saya = 2.
Dalam deret variasi interval dari distribusi, pertama-tama tunjukkan interval di mana median akan ditempatkan. Dia dipanggil median . Ini adalah interval pertama yang frekuensi kumulatifnya melebihi setengah volume deret variasi interval. Kemudian nilai numerik median ditentukan dengan rumus:
di mana x saya- batas bawah interval median; i - nilai interval median; S Me-1- frekuensi akumulasi interval yang mendahului median; f Saya- frekuensi interval median.
Contoh. Temukan usia rata-rata pelanggar yang dihukum karena pencurian, berdasarkan statistik yang disajikan pada Tabel 13.
Keputusan. Data statistik direpresentasikan dengan deret variasi interval, artinya kita tentukan dulu median intervalnya. Volume populasi N = 162, oleh karena itu, interval median adalah interval 18-28, karena ini adalah interval pertama, frekuensi akumulasi yang (15 + 90 = 105) melebihi setengah volume (162: 2 = 81) dari seri variasi interval. Sekarang nilai numerik median ditentukan oleh rumus di atas:
Dengan demikian, setengah dari mereka yang dihukum karena pencurian berusia di bawah 25 tahun.
Mode (Mo) sebutkan nilai atributnya, yang paling sering ditemukan dalam satuan populasi. Fashion digunakan untuk mengidentifikasi nilai dari sifat yang memiliki distribusi terbesar. Untuk deret diskrit, mode akan menjadi varian dengan frekuensi tertinggi. Misalnya, untuk deret diskrit yang disajikan pada Tabel 3 mo= 1, karena nilai opsi ini sesuai dengan frekuensi tertinggi - 75. Untuk menentukan mode deret interval, tentukan terlebih dahulu modal interval (interval yang memiliki frekuensi tertinggi). Kemudian, dalam interval ini, nilai fitur ditemukan, yang dapat berupa mode.
Nilainya ditemukan dengan rumus:
di mana x Mo- batas bawah interval modal; i - nilai interval modal; f Mo- frekuensi interval modal; f Mo-1- frekuensi interval sebelum modal; f Mo+1- frekuensi interval mengikuti modal.
Contoh. Temukan modus usia penjahat yang dihukum karena pencurian, data yang disajikan dalam tabel 13.
Keputusan. Frekuensi tertinggi sesuai dengan interval 18-28, oleh karena itu, mode harus dalam interval ini. Nilainya ditentukan oleh rumus di atas:
Dengan demikian, jumlah terbesar penjahat yang dihukum karena pencurian adalah 24 tahun.
Nilai rata-rata memberikan karakteristik generalisasi dari totalitas fenomena yang diteliti. Namun, dua populasi dengan nilai rata-rata yang sama dapat berbeda secara signifikan satu sama lain dalam hal tingkat fluktuasi (variasi) nilai sifat yang dipelajari. Misalnya, di satu pengadilan hukuman penjara berikut ditetapkan: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 tahun, dan di pengadilan lain - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7 , 8, 8, 8 tahun. Dalam kedua kasus, rata-rata aritmatika adalah 6,7 tahun. Namun, agregat ini berbeda secara signifikan satu sama lain dalam penyebaran nilai individu dari hukuman penjara yang ditetapkan relatif terhadap nilai rata-rata.
Dan untuk pengadilan pertama, di mana variasi ini cukup besar, rata-rata hukuman penjara tidak mencerminkan seluruh penduduk dengan baik. Jadi, jika nilai individu dari atribut sedikit berbeda satu sama lain, maka rata-rata aritmatika akan menjadi karakteristik indikatif yang cukup dari sifat-sifat populasi ini. Jika tidak, rata-rata aritmatika akan menjadi karakteristik yang tidak dapat diandalkan dari populasi ini dan penerapannya dalam praktik tidak efektif. Oleh karena itu, perlu memperhitungkan variasi nilai sifat yang dipelajari.
Variasi- ini adalah perbedaan nilai karakteristik di unit yang berbeda dari populasi tertentu dalam periode atau titik waktu yang sama. Istilah "variasi" berasal dari bahasa Latin - variatio, yang berarti perbedaan, perubahan, fluktuasi. Itu muncul sebagai akibat dari fakta bahwa nilai-nilai individu dari atribut dibentuk di bawah pengaruh gabungan dari berbagai faktor (kondisi), yang digabungkan dengan cara yang berbeda dalam setiap kasus individu. Untuk mengukur variasi suatu sifat, digunakan berbagai indikator absolut dan relatif.
Indikator utama variasi meliputi hal-hal berikut:
1) rentang variasi;
2) deviasi linier rata-rata;
3) dispersi;
4) standar deviasi;
5) koefisien variasi.
Mari kita bahas secara singkat masing-masing.
Variasi rentang R adalah indikator absolut yang paling mudah diakses dalam hal kemudahan perhitungan, yang didefinisikan sebagai perbedaan antara nilai atribut terbesar dan terkecil untuk unit populasi ini:
Rentang variasi (range of fluktuasis) merupakan indikator penting dari variabilitas suatu sifat, tetapi memungkinkan untuk melihat hanya penyimpangan ekstrim, yang membatasi ruang lingkupnya. Untuk karakterisasi yang lebih akurat dari variasi suatu sifat berdasarkan fluktuasinya, indikator lain digunakan.
Deviasi linier rata-rata mewakili rata-rata aritmatika dari nilai absolut dari penyimpangan nilai individu sifat dari rata-rata dan ditentukan oleh rumus:
1) untuk data yang tidak dikelompokkan
2) untuk seri variasi
Namun, ukuran variasi yang paling banyak digunakan adalah penyebaran . Ini mencirikan ukuran penyebaran nilai-nilai sifat yang dipelajari relatif terhadap nilai rata-ratanya. Varians didefinisikan sebagai rata-rata deviasi kuadrat.
varian sederhana untuk data yang tidak dikelompokkan:
.
Varian tertimbang untuk seri variasi:
Komentar. Dalam praktiknya, lebih baik menggunakan rumus berikut untuk menghitung varians:
Untuk varians sederhana
.
Untuk varian tertimbang
Standar deviasi adalah akar kuadrat dari varians:
Standar deviasi adalah ukuran keandalan mean. Semakin kecil simpangan baku, semakin homogen populasi dan semakin baik mean aritmatika mencerminkan seluruh populasi.
Ukuran dispersi yang dipertimbangkan di atas (rentang variasi, varians, standar deviasi) adalah indikator mutlak, yang tidak selalu memungkinkan untuk menilai tingkat fluktuasi suatu sifat. Dalam beberapa permasalahan perlu digunakan indeks hamburan relatif, salah satunya adalah koefisien variasi.
Koefisien variasi- dinyatakan sebagai persentase rasio simpangan baku terhadap rata-rata aritmatika:
Koefisien variasi digunakan tidak hanya untuk penilaian komparatif variasi sifat yang berbeda atau sifat yang sama dalam populasi yang berbeda, tetapi juga untuk mengkarakterisasi homogenitas populasi. Populasi statistik dianggap homogen secara kuantitatif jika koefisien variasi tidak melebihi 33% (untuk distribusi yang mendekati distribusi normal).
Contoh. Berikut data masa hukuman 50 terpidana yang diserahkan untuk menjalani hukuman yang dijatuhkan oleh pengadilan di lembaga pemasyarakatan sistem pemasyarakatan: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.
1. Buatlah deret distribusi dengan syarat hukuman penjara.
2. Cari mean, varians dan standar deviasi.
3. Menghitung koefisien variasi dan menarik kesimpulan tentang homogenitas atau heterogenitas populasi yang diteliti.
Keputusan. Untuk menyusun deret distribusi diskrit, perlu ditentukan varian dan frekuensinya. Varian dalam masalah ini adalah jangka waktu pidana penjara, dan frekuensinya adalah banyaknya varian individu. Setelah menghitung frekuensi, kami memperoleh deret distribusi diskrit berikut:
Cari mean dan variansnya. Karena data statistik diwakili oleh deret variasi diskrit, kami akan menggunakan rumus rata-rata tertimbang aritmatika dan varians untuk menghitungnya. Kita mendapatkan:
= 
= 4,1;
= 
5,21.
Sekarang kita hitung simpangan bakunya:
Kami menemukan koefisien variasi:
Akibatnya, populasi statistik secara kuantitatif heterogen.
Setiap orang di dunia modern, ketika berencana untuk mengambil pinjaman atau menyimpan sayuran untuk musim dingin, secara berkala menemukan konsep seperti "rata-rata". Mari kita cari tahu: apa itu, jenis dan kelas apa yang ada, dan mengapa itu digunakan dalam statistik dan disiplin ilmu lainnya.
Nilai rata-rata - apa itu?
Nama serupa (SV) adalah karakteristik umum dari serangkaian fenomena homogen, ditentukan oleh satu atribut variabel kuantitatif.
Namun, orang yang jauh dari definisi muskil seperti itu memahami konsep ini sebagai jumlah rata-rata dari sesuatu. Misalnya, sebelum mengambil pinjaman, seorang karyawan bank pasti akan meminta klien potensial untuk memberikan data pendapatan rata-rata untuk tahun itu, yaitu jumlah total uang yang diperoleh seseorang. Ini dihitung dengan menjumlahkan pendapatan sepanjang tahun dan membaginya dengan jumlah bulan. Dengan demikian, bank akan dapat menentukan apakah kliennya dapat melunasi utangnya tepat waktu.
Mengapa itu digunakan?
Sebagai aturan, nilai rata-rata banyak digunakan untuk memberikan karakterisasi akhir dari fenomena sosial tertentu yang bersifat massal. Mereka juga dapat digunakan untuk perhitungan yang lebih kecil, seperti dalam kasus pinjaman, pada contoh di atas.
Namun, paling sering rata-rata masih digunakan untuk tujuan global. Contoh salah satunya adalah perhitungan jumlah listrik yang dikonsumsi warga selama satu bulan kalender. Berdasarkan data yang diperoleh, selanjutnya ditetapkan norma maksimum untuk kategori penduduk yang menikmati manfaat dari negara.
Juga, dengan bantuan nilai rata-rata, masa garansi untuk layanan peralatan rumah tangga tertentu, mobil, bangunan, dll sedang dikembangkan Berdasarkan data yang dikumpulkan dengan cara ini, standar tenaga kerja dan istirahat modern pernah dikembangkan.
Faktanya, setiap fenomena kehidupan modern, yang bersifat massal, dalam satu atau lain cara pasti terkait dengan konsep yang sedang dipertimbangkan.
Aplikasi
Fenomena ini banyak digunakan di hampir semua ilmu eksakta, terutama yang bersifat eksperimental.
Menemukan rata-rata sangat penting dalam kedokteran, teknik, memasak, ekonomi, politik, dan sebagainya.
Berdasarkan data yang diperoleh dari generalisasi tersebut, mereka mengembangkan persiapan medis, program pendidikan, menetapkan upah dan gaji hidup minimum, membangun jadwal pendidikan, memproduksi furnitur, pakaian dan sepatu, barang-barang kebersihan, dan banyak lagi.
Dalam matematika, istilah ini disebut "nilai rata-rata" dan digunakan untuk menerapkan solusi untuk berbagai contoh dan masalah. Yang paling sederhana adalah penjumlahan dan pengurangan dengan pecahan biasa. Lagi pula, seperti yang Anda ketahui, untuk menyelesaikan contoh-contoh seperti itu, perlu untuk membawa kedua pecahan ke penyebut yang sama.
Juga, di ratu ilmu pasti, istilah "nilai rata-rata dari variabel acak" sering digunakan, yang artinya dekat. Bagi kebanyakan orang, ini lebih dikenal sebagai "harapan", lebih sering dipertimbangkan dalam teori probabilitas. Perlu dicatat bahwa fenomena serupa juga berlaku saat melakukan perhitungan statistik.
Nilai rata-rata dalam statistik
Namun, paling sering konsep yang diteliti digunakan dalam statistik. Seperti diketahui, ilmu ini sendiri mengkhususkan diri dalam perhitungan dan analisis karakteristik kuantitatif fenomena sosial massa. Oleh karena itu, nilai rata-rata dalam statistik digunakan sebagai metode khusus untuk mencapai tujuan utamanya - pengumpulan dan analisis informasi.
Inti dari metode statistik ini adalah mengganti nilai unik individu dari sifat yang dipertimbangkan dengan nilai rata-rata seimbang tertentu.
Contohnya adalah lelucon makanan yang terkenal. Jadi, di pabrik tertentu pada hari Selasa untuk makan siang, bosnya biasanya makan casserole daging, dan pekerja biasa makan kubis rebus. Berdasarkan data ini, kita dapat menyimpulkan bahwa, rata-rata, staf pabrik makan roti gulung kubis pada hari Selasa.
Meskipun contoh ini sedikit dilebih-lebihkan, ini menggambarkan kelemahan utama dari metode pencarian nilai rata-rata - meratakan karakteristik individu dari objek atau kepribadian.
Rata-rata digunakan tidak hanya untuk menganalisis informasi yang dikumpulkan, tetapi juga untuk merencanakan dan memprediksi tindakan lebih lanjut.
Ini juga digunakan untuk mengevaluasi hasil yang dicapai (misalnya, implementasi rencana menanam dan memanen gandum untuk musim semi-musim panas).
Bagaimana cara menghitungnya?
Meskipun, tergantung pada jenis CV, ada rumus yang berbeda untuk menghitungnya, dalam teori statistik umum, sebagai aturan, hanya satu metode untuk menghitung nilai rata-rata fitur yang digunakan. Untuk melakukan ini, pertama-tama Anda harus menjumlahkan nilai semua fenomena, dan kemudian membagi jumlah yang dihasilkan dengan jumlahnya.
Saat membuat perhitungan seperti itu, perlu diingat bahwa nilai rata-rata selalu memiliki dimensi (atau unit) yang sama sebagai unit terpisah dari populasi.
Kondisi untuk perhitungan yang benar
Rumus yang dibahas di atas sangat sederhana dan universal, sehingga hampir tidak mungkin untuk membuat kesalahan di dalamnya. Namun, selalu ada baiknya mempertimbangkan dua aspek, jika tidak, data yang diperoleh tidak akan mencerminkan keadaan sebenarnya.
kelas CB
Setelah menemukan jawaban atas pertanyaan utama: "Nilai rata-rata - berapa?", "Di mana digunakan?" dan "Bagaimana cara menghitungnya?", perlu diketahui kelas dan jenis CB apa yang ada.
Pertama-tama, fenomena ini dibagi menjadi 2 kelas. Ini adalah rata-rata struktural dan kekuatan.
Jenis daya SW
Masing-masing kelas di atas, pada gilirannya, dibagi menjadi beberapa jenis. Kelas kekuatan memiliki empat dari mereka.
- Rata-rata aritmatika adalah jenis SV yang paling umum. Ini adalah istilah rata-rata, dalam menentukan volume total atribut yang dipertimbangkan dalam kumpulan data yang didistribusikan secara merata di antara semua unit kumpulan ini.
Jenis ini dibagi menjadi subspesies: SV aritmatika sederhana dan berbobot.
- Nilai harmonik rata-rata adalah indikator yang merupakan kebalikan dari rata-rata aritmatika sederhana, dihitung dari nilai kebalikan dari karakteristik yang bersangkutan.
Ini digunakan dalam kasus di mana nilai individual dari fitur dan produk diketahui, tetapi data frekuensi tidak.
- Rata-rata geometrik paling sering digunakan dalam analisis tingkat pertumbuhan fenomena ekonomi. Itu memungkinkan untuk menjaga produk dari nilai-nilai individu dari kuantitas tertentu tidak berubah, daripada jumlahnya.
Hal ini juga terjadi menjadi sederhana dan seimbang.
- Nilai akar rata-rata kuadrat digunakan dalam penghitungan indikator individual dari indikator, seperti koefisien variasi, yang mencirikan ritme keluaran, dll.
Juga, dengan bantuannya, diameter rata-rata pipa, roda, sisi rata-rata persegi dan angka serupa dihitung.
Seperti semua jenis rata-rata SW lainnya, akar rata-rata kuadrat sederhana dan berbobot.
Jenis besaran struktural
Selain SW rata-rata, tipe struktural sering digunakan dalam statistik. Mereka lebih cocok untuk menghitung karakteristik relatif dari nilai-nilai sifat variabel dan struktur internal deret distribusi.
Ada dua jenis seperti itu.
Untuk menemukan nilai rata-rata di Excel (apakah itu numerik, tekstual, persentase atau nilai lainnya), ada banyak fungsi. Dan masing-masing memiliki karakteristik dan kelebihannya sendiri. Bagaimanapun, kondisi tertentu dapat diatur dalam tugas ini.
Misalnya, nilai rata-rata serangkaian angka di Excel dihitung menggunakan fungsi statistik. Anda juga dapat memasukkan rumus Anda sendiri secara manual. Mari kita pertimbangkan berbagai opsi.
Bagaimana menemukan rata-rata aritmatika angka?
Untuk menemukan mean aritmatika, Anda menambahkan semua angka dalam himpunan dan membagi jumlahnya dengan angka tersebut. Misalnya, nilai siswa dalam ilmu komputer: 3, 4, 3, 5, 5. Apa yang berlaku untuk seperempat: 4. Kami menemukan rata-rata aritmatika menggunakan rumus: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.
Bagaimana melakukannya dengan cepat menggunakan fungsi Excel? Ambil contoh serangkaian angka acak dalam sebuah string:
Atau: aktifkan sel dan cukup masukkan rumus secara manual: =AVERAGE(A1:A8).
Sekarang mari kita lihat apa lagi yang bisa dilakukan fungsi AVERAGE.
Temukan rata-rata aritmatika dari dua angka pertama dan tiga angka terakhir. Rumus: =AVERAGE(A1:B1;F1:H1). Hasil:
Rata-rata berdasarkan kondisi
Kondisi untuk menemukan mean aritmatika dapat berupa kriteria numerik atau kriteria teks. Kami akan menggunakan fungsi: =AVERAGEIF().
Temukan rata-rata aritmatika dari angka yang lebih besar dari atau sama dengan 10.
Fungsi: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")
Hasil penggunaan fungsi AVERAGEIF pada kondisi ">=10": Argumen ketiga - "Rentang rata-rata" - dihilangkan. Pertama, tidak wajib. Kedua, rentang yang diuraikan oleh program HANYA berisi nilai numerik. Dalam sel yang ditentukan dalam argumen pertama, pencarian akan dilakukan sesuai dengan kondisi yang ditentukan dalam argumen kedua.
Perhatian! Kriteria pencarian dapat ditentukan dalam sel. Dan dalam rumus untuk membuat referensi untuk itu.
Mari kita cari nilai rata-rata angka dengan kriteria teks. Misalnya, penjualan rata-rata produk "meja".
Fungsinya akan terlihat seperti ini: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Rentang - kolom dengan nama produk. Kriteria pencarian adalah tautan ke sel dengan kata "tabel" (Anda dapat memasukkan kata "tabel" alih-alih tautan A7). Rentang rata-rata - sel-sel dari mana data akan diambil untuk menghitung nilai rata-rata.
Sebagai hasil dari menghitung fungsi, kami memperoleh nilai berikut:
Perhatian! Untuk kriteria teks (kondisi), rentang rata-rata harus ditentukan.
Bagaimana cara menghitung harga rata-rata tertimbang di Excel?
Bagaimana kita mengetahui harga rata-rata tertimbang?
Rumus: =SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).
Dengan menggunakan rumus SUMPRODUCT, kita mengetahui total pendapatan setelah penjualan seluruh kuantitas barang. Dan fungsi SUM - meringkas jumlah barang. Dengan membagi total pendapatan dari penjualan barang dengan jumlah total unit barang, kami menemukan harga rata-rata tertimbang. Indikator ini memperhitungkan "berat" dari setiap harga. Bagiannya dalam total massa nilai.
Deviasi standar: rumus di Excel
Bedakan antara simpangan baku untuk populasi umum dan untuk sampel. Dalam kasus pertama, ini adalah akar dari varians umum. Yang kedua, dari varians sampel.
Untuk menghitung indikator statistik ini, rumus dispersi disusun. Akar diambil darinya. Tetapi di Excel ada fungsi yang sudah jadi untuk menemukan standar deviasi.
Standar deviasi terkait dengan skala sumber data. Ini tidak cukup untuk representasi figuratif dari variasi rentang yang dianalisis. Untuk mendapatkan tingkat penyebaran relatif dalam data, koefisien variasi dihitung:
simpangan baku / mean aritmatika
Rumus di Excel terlihat seperti ini:
STDEV (rentang nilai) / RATA-RATA (rentang nilai).
Koefisien variasi dihitung sebagai persentase. Oleh karena itu, kami mengatur format persentase di dalam sel.
Istilah ini memiliki arti lain, lihat artinya rata-rata.Rata-rata(dalam matematika dan statistik) kumpulan angka - jumlah semua angka dibagi dengan jumlahnya. Ini adalah salah satu ukuran tendensi sentral yang paling umum.
Itu diusulkan (bersama dengan rata-rata geometris dan rata-rata harmonik) oleh Pythagoras.
Kasus khusus dari mean aritmatika adalah mean (dari populasi umum) dan mean sampel (dari sampel).
pengantar
Tunjukkan kumpulan data X = (x 1 , x 2 , …, x n), maka mean sampel biasanya dilambangkan dengan bilah horizontal di atas variabel (x (\displaystyle (\bar (x))) , diucapkan " x dengan tanda hubung").
Huruf Yunani digunakan untuk menunjukkan mean aritmatika dari seluruh populasi. Untuk variabel acak yang nilai rata-ratanya ditentukan, adalah probabilitas berarti atau ekspektasi matematis dari variabel acak. Jika himpunan X adalah kumpulan bilangan acak dengan rata-rata probabilitas , maka untuk setiap sampel x saya dari koleksi ini = E( x saya) adalah harapan dari sampel ini.
Dalam praktiknya, perbedaan antara dan x (\displaystyle (\bar (x))) adalah bahwa adalah variabel tipikal karena Anda dapat melihat sampel daripada seluruh populasi. Oleh karena itu, jika sampel direpresentasikan secara acak (dalam istilah teori probabilitas), maka x (\displaystyle (\bar (x))) (tetapi bukan ) dapat diperlakukan sebagai variabel acak yang memiliki distribusi probabilitas pada sampel ( distribusi probabilitas rata-rata).
Kedua besaran ini dihitung dengan cara yang sama:
X = 1 n i = 1 n x i = 1 n (x 1 + + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)
Jika sebuah X adalah variabel acak, maka ekspektasi matematis X dapat dianggap sebagai rata-rata aritmatika dari nilai-nilai dalam pengukuran kuantitas yang berulang X. Ini adalah manifestasi dari hukum bilangan besar. Oleh karena itu, mean sampel digunakan untuk memperkirakan ekspektasi matematis yang tidak diketahui.
Dalam aljabar dasar, terbukti bahwa mean n+ 1 angka di atas rata-rata n angka jika dan hanya jika angka baru lebih besar dari rata-rata lama, kurang jika dan hanya jika angka baru lebih kecil dari rata-rata, dan tidak berubah jika dan hanya jika angka baru sama dengan rata-rata. Lebih n, semakin kecil perbedaan antara rata-rata baru dan lama.
Perhatikan bahwa ada beberapa "sarana" lain yang tersedia, termasuk mean hukum pangkat, mean Kolmogorov, mean harmonik, mean aritmatika-geometris, dan berbagai mean bobot (misalnya, mean bobot aritmatika, mean bobot geometrik, mean bobot harmonik) .
Contoh
- Untuk tiga angka, Anda perlu menambahkannya dan membaginya dengan 3:
- Untuk empat angka, Anda perlu menambahkannya dan membaginya dengan 4:
Atau lebih mudah 5+5=10, 10:2. Karena kita menambahkan 2 angka, artinya berapa banyak angka yang kita tambahkan, kita bagi sebanyak itu.
Variabel acak kontinu
Untuk nilai terdistribusi kontinu f (x) (\displaystyle f(x)) mean aritmatika pada interval [ a ; b ] (\displaystyle ) didefinisikan melalui integral tertentu:
F (x) [ a ; b ] = 1 b a a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)
Beberapa masalah menggunakan rata-rata
Kurangnya ketangguhan
Artikel utama: Ketangguhan dalam statistikMeskipun rata-rata aritmatika sering digunakan sebagai sarana atau tren sentral, konsep ini tidak berlaku untuk statistik yang kuat, yang berarti bahwa rata-rata aritmatika sangat dipengaruhi oleh "deviasi besar". Patut dicatat bahwa untuk distribusi dengan kemiringan besar, rata-rata aritmatika mungkin tidak sesuai dengan konsep "rata-rata", dan nilai rata-rata dari statistik yang kuat (misalnya, median) dapat menggambarkan tren pusat dengan lebih baik.
Contoh klasiknya adalah perhitungan pendapatan rata-rata. Rata-rata aritmatika dapat disalahartikan sebagai median, yang dapat mengarah pada kesimpulan bahwa ada lebih banyak orang dengan pendapatan lebih dari yang sebenarnya. Pendapatan "rata-rata" ditafsirkan sedemikian rupa sehingga pendapatan sebagian besar orang mendekati angka ini. Pendapatan "rata-rata" ini (dalam arti rata-rata aritmatika) lebih tinggi daripada pendapatan kebanyakan orang, karena pendapatan tinggi dengan penyimpangan besar dari rata-rata membuat rata-rata aritmatika sangat miring (sebaliknya, pendapatan median "menolak" kemiringan seperti itu). Namun, pendapatan "rata-rata" ini tidak mengatakan apa pun tentang jumlah orang yang mendekati pendapatan rata-rata (dan tidak mengatakan apa-apa tentang jumlah orang yang mendekati pendapatan modal). Namun, jika konsep "rata-rata" dan "mayoritas" dianggap enteng, maka orang dapat salah menyimpulkan bahwa kebanyakan orang memiliki pendapatan lebih tinggi dari yang sebenarnya. Misalnya, laporan tentang pendapatan bersih "rata-rata" di Medina, Washington, yang dihitung sebagai rata-rata aritmatika dari semua pendapatan bersih tahunan penduduk, akan memberikan angka yang sangat tinggi karena Bill Gates. Perhatikan sampel (1, 2, 2, 2, 3, 9). Rata-rata aritmatika adalah 3,17, tetapi lima dari enam nilai berada di bawah rata-rata ini.
Bunga majemuk
Artikel utama: ROIJika angka berkembang biak, tapi tidak melipat, Anda perlu menggunakan mean geometrik, bukan mean aritmatika. Paling sering, kejadian ini terjadi ketika menghitung laba atas investasi di bidang keuangan.
Misalnya, jika saham turun 10% di tahun pertama dan naik 30% di tahun kedua, maka salah menghitung kenaikan "rata-rata" selama dua tahun ini sebagai mean aritmatika (−10% + 30%) / 2 = 10%; rata-rata yang benar dalam hal ini diberikan oleh tingkat pertumbuhan tahunan majemuk, dari mana pertumbuhan tahunan hanya sekitar 8,16653826392% 8,2%.
Alasan untuk ini adalah bahwa persentase memiliki titik awal baru setiap kali: 30% adalah 30% dari angka yang kurang dari harga pada awal tahun pertama: jika saham mulai dari $30 dan turun 10%, nilainya $27 pada awal tahun kedua. Jika stok naik 30%, nilainya $35,1 pada akhir tahun kedua. Rata-rata aritmatika dari pertumbuhan ini adalah 10%, tetapi karena stok hanya tumbuh sebesar $5,1 dalam 2 tahun, peningkatan rata-rata 8,2% memberikan hasil akhir sebesar $35,1:
[$30 (1 - 0,1) (1 + 0,3) = $30 (1 + 0,082) (1 + 0,082) = $35,1]. Jika kita menggunakan rata-rata aritmatika 10% dengan cara yang sama, kita tidak akan mendapatkan nilai sebenarnya: [$30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $36,3].
Bunga majemuk pada akhir tahun 2: 90% * 130% = 117% , yaitu total kenaikan 17%, dan rata-rata bunga majemuk tahunan adalah 117% 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \kira-kira 108,2\%) , yaitu, peningkatan tahunan rata-rata 8,2%.
Petunjuk arah
Artikel utama: Statistik tujuanSaat menghitung rata-rata aritmatika dari beberapa variabel yang berubah secara siklis (misalnya, fase atau sudut), perhatian khusus harus diberikan. Misalnya, rata-rata dari 1° dan 359° adalah 1 + 359 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Jumlah ini salah karena dua alasan.
- Pertama, ukuran sudut hanya ditentukan untuk rentang dari 0° hingga 360° (atau dari 0 hingga 2π bila diukur dalam radian). Jadi, pasangan bilangan yang sama dapat ditulis sebagai (1° dan 1°) atau sebagai (1° dan 719°). Rata-rata setiap pasangan akan berbeda: 1 + (− 1 ) 2 = 0 (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 + 719 2 = 360 (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
- Kedua, dalam hal ini, nilai 0° (setara dengan 360°) akan menjadi rata-rata terbaik secara geometris, karena angka-angka tersebut menyimpang kurang dari 0° daripada nilai lainnya (nilai 0° memiliki varians terkecil). Membandingkan:
- angka 1° menyimpang dari 0° hanya sebesar 1°;
- angka 1° menyimpang dari rata-rata yang dihitung 180° sebesar 179°.
Nilai rata-rata untuk variabel siklik, dihitung menurut rumus di atas, akan digeser secara artifisial relatif terhadap rata-rata nyata ke tengah rentang numerik. Karena itu, rata-rata dihitung dengan cara yang berbeda, yaitu, angka dengan varians terkecil (titik tengah) dipilih sebagai nilai rata-rata. Juga, alih-alih mengurangkan, jarak modulo (yaitu, jarak keliling) digunakan. Misalnya, jarak modular antara 1° dan 359° adalah 2°, bukan 358° (pada lingkaran antara 359° dan 360°==0° - satu derajat, antara 0° dan 1° - juga 1°, secara total - 2 °).
4.3. Nilai rata-rata. Esensi dan makna rata-rata
Nilai rata-rata dalam statistik, indikator generalisasi disebut, yang mencirikan tingkat khas suatu fenomena dalam kondisi tempat dan waktu tertentu, yang mencerminkan besarnya atribut yang bervariasi per unit populasi yang homogen secara kualitatif. Dalam praktik ekonomi, berbagai indikator digunakan, dihitung sebagai rata-rata.
Misalnya, indikator generalisasi pendapatan pekerja di perusahaan saham gabungan (JSC) adalah pendapatan rata-rata satu pekerja, ditentukan oleh rasio dana upah dan pembayaran sosial untuk periode yang ditinjau (tahun, kuartal, bulan). ) dengan jumlah pekerja di JSC.
Menghitung rata-rata adalah salah satu teknik generalisasi yang umum; indikator rata-rata mencerminkan umum yang khas (tipikal) untuk semua unit populasi yang diteliti, sementara pada saat yang sama mengabaikan perbedaan antar unit individu. Dalam setiap fenomena dan perkembangannya ada kombinasi peluang dan membutuhkan. Saat menghitung rata-rata, karena pengoperasian hukum bilangan besar, keacakan membatalkan satu sama lain, menyeimbangkan, sehingga Anda dapat mengabstraksi dari fitur-fitur yang tidak signifikan dari fenomena tersebut, dari nilai kuantitatif atribut dalam setiap kasus tertentu. Dalam kemampuan untuk mengabstraksi dari keacakan nilai individu, fluktuasi terletak pada nilai ilmiah rata-rata sebagai meringkas karakteristik agregat.
Di mana ada kebutuhan untuk generalisasi, perhitungan karakteristik tersebut mengarah pada penggantian banyak nilai individu yang berbeda dari atribut medium indikator yang mencirikan totalitas fenomena, yang memungkinkan untuk mengidentifikasi pola-pola yang melekat dalam fenomena sosial massal, tidak terlihat dalam fenomena tunggal.
Rata-rata mencerminkan karakteristik, khas, tingkat nyata dari fenomena yang dipelajari, mencirikan tingkat ini dan perubahannya dalam ruang dan waktu.
Rata-rata adalah karakteristik ringkasan keteraturan proses di bawah kondisi di mana ia berlangsung.
4.4. Jenis rata-rata dan metode untuk menghitungnya
Pilihan jenis rata-rata ditentukan oleh kandungan ekonomi dari indikator tertentu dan data awal. Dalam setiap kasus, salah satu nilai rata-rata diterapkan: aritmatika, garmonik, geometris, kuadrat, kubik dll. Rata-rata yang terdaftar milik kelas kekuatan medium.
Selain rata-rata kekuatan hukum, dalam praktik statistik, rata-rata struktural digunakan, yang dianggap sebagai modus dan median.
Mari kita membahas lebih detail tentang sarana kekuasaan.
Rata-rata aritmatika
Jenis rata-rata yang paling umum adalah rata-rata hitung. Ini digunakan dalam kasus di mana volume atribut variabel untuk seluruh populasi adalah jumlah dari nilai atribut unit individualnya. Fenomena sosial dicirikan oleh penambahan (penjumlahan) volume atribut yang bervariasi, ini menentukan ruang lingkup rata-rata aritmatika dan menjelaskan prevalensinya sebagai indikator generalisasi, misalnya: dana upah total adalah jumlah dari upah semua pekerja, panen kotor adalah jumlah produk manufaktur dari seluruh area penaburan.
Untuk menghitung rata-rata aritmatika, Anda perlu membagi jumlah semua nilai fitur dengan jumlahnya.
Rata-rata aritmatika diterapkan dalam bentuk rata-rata sederhana dan rata-rata tertimbang. Rata-rata sederhana berfungsi sebagai bentuk awal yang menentukan.
rata-rata aritmatika sederhana sama dengan jumlah sederhana dari nilai individu dari fitur rata-rata, dibagi dengan jumlah total nilai ini (digunakan dalam kasus di mana ada nilai individu yang tidak dikelompokkan dari fitur):
di mana 
- nilai individu dari variabel (opsi); m
- jumlah unit populasi.
Batas penjumlahan lebih lanjut dalam rumus tidak akan ditunjukkan. Misalnya, diperlukan untuk mencari keluaran rata-rata seorang pekerja (tukang kunci), jika diketahui berapa suku cadang yang diproduksi oleh masing-masing 15 pekerja, yaitu diberikan sejumlah nilai individu dari sifat, pcs.:
21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.
Rata-rata aritmatika sederhana dihitung dengan rumus (4.1), 1 pc.:
Rata-rata opsi yang diulang beberapa kali, atau dikatakan memiliki bobot yang berbeda, disebut tertimbang. Bobot adalah jumlah unit dalam kelompok populasi yang berbeda (kelompok menggabungkan opsi yang sama).
Rata-rata tertimbang aritmatika- nilai rata-rata yang dikelompokkan, - dihitung dengan rumus:
, (4.2)
di mana 
- bobot (frekuensi pengulangan fitur yang sama);
-
jumlah produk dari besarnya fitur dengan frekuensinya;
-
jumlah unit populasi.
Kami akan mengilustrasikan teknik untuk menghitung rata-rata tertimbang aritmatika menggunakan contoh yang dibahas di atas. Untuk melakukan ini, kami mengelompokkan data awal dan menempatkannya di tabel. 4.1.
Tabel 4.1
Distribusi pekerja untuk pengembangan suku cadang
Menurut rumus (4.2), rata-rata tertimbang aritmatika adalah sama, potongan:
Dalam beberapa kasus, bobot dapat direpresentasikan bukan dengan nilai absolut, tetapi dengan nilai relatif (dalam persentase atau pecahan dari suatu unit). Maka rumus untuk rata-rata tertimbang aritmatika akan terlihat seperti:
di mana 
- khusus, mis. bagian dari setiap frekuensi dalam jumlah total semua
Jika frekuensi dihitung dalam pecahan (koefisien), maka 
= 1, dan rumus untuk rata-rata tertimbang secara aritmatika adalah:
Perhitungan rata-rata tertimbang aritmatika dari rata-rata kelompok 
dilakukan dengan rumus :
,
di mana f-jumlah unit di setiap grup.
Hasil penghitungan mean aritmatika mean grup disajikan pada Tabel. 4.2.
Tabel 4.2
Distribusi pekerja menurut rata-rata lama kerja
Dalam contoh ini, pilihannya bukanlah data individu tentang masa kerja pekerja individu, tetapi rata-rata untuk setiap bengkel. timbangan f adalah jumlah pekerja di toko-toko. Oleh karena itu, pengalaman kerja rata-rata pekerja di seluruh perusahaan adalah, tahun:
.
Perhitungan mean aritmatika dalam deret distribusi
Jika nilai atribut rata-rata diberikan sebagai interval ("dari - ke"), mis. deret distribusi interval, kemudian ketika menghitung nilai rata-rata aritmatika, titik tengah interval ini diambil sebagai nilai fitur dalam grup, sebagai akibatnya deret diskrit terbentuk. Perhatikan contoh berikut (Tabel 4.3).
Mari kita beralih dari deret interval ke deret diskrit dengan mengganti nilai interval dengan nilai rata-ratanya / (rata-rata sederhana
Tabel 4.3
Distribusi pekerja AO berdasarkan tingkat upah bulanan
|
Kelompok pekerja untuk |
Jumlah pekerja |
Pertengahan interval |
|
|
upah, gosok. |
pribadi, f |
menggosok., X |
|
|
900 ke atas |
|||
nilai interval terbuka (pertama dan terakhir) secara kondisional disamakan dengan interval yang berdampingan dengannya (kedua dan kedua dari belakang).
Dengan perhitungan rata-rata seperti itu, beberapa ketidakakuratan diperbolehkan, karena asumsi dibuat tentang distribusi unit atribut yang seragam dalam grup. Namun, kesalahannya akan semakin kecil, semakin sempit intervalnya dan semakin banyak unit dalam intervalnya.
Setelah titik tengah interval ditemukan, perhitungan dilakukan dengan cara yang sama seperti dalam seri diskrit - opsi dikalikan dengan frekuensi (bobot) dan jumlah produk dibagi dengan jumlah frekuensi (bobot) , ribu rubel:
.
Jadi, tingkat rata-rata remunerasi pekerja di JSC adalah 729 rubel. per bulan.
Perhitungan mean aritmatika sering dikaitkan dengan pengeluaran waktu dan tenaga yang besar. Namun, dalam beberapa kasus, prosedur untuk menghitung rata-rata dapat disederhanakan dan difasilitasi dengan menggunakan propertinya. Mari kita sajikan (tanpa bukti) beberapa sifat dasar mean aritmatika.
Properti 1. Jika semua nilai karakteristik individu (mis. semua opsi) penurunan atau peningkatan sayakali, maka nilai rata-ratanya fitur baru akan berkurang atau bertambah sesuai dengan sayasekali.
Properti 2. Jika semua varian fitur rata-rata dikurangijahit atau tambah dengan angka A, maka mean aritmatikaberkurang atau bertambah secara signifikan dengan angka yang sama A.
Properti 3. Jika bobot semua opsi rata-rata dikurangi atau meningkat menjadi ke kali, rata-rata aritmatika tidak akan berubah.
Sebagai bobot rata-rata, alih-alih indikator absolut, Anda dapat menggunakan bobot spesifik dalam total keseluruhan (saham atau persentase). Ini menyederhanakan perhitungan rata-rata.
Untuk menyederhanakan perhitungan rata-rata, mereka mengikuti jalur pengurangan nilai opsi dan frekuensi. Penyederhanaan terbesar dicapai ketika TETAPI nilai salah satu opsi pusat dengan frekuensi tertinggi dipilih sebagai / - nilai interval (untuk baris dengan interval yang sama). Nilai L disebut asal, sehingga cara menghitung rata-rata ini disebut “metode menghitung dari nol bersyarat” atau "metode momen".
Mari kita asumsikan bahwa semua opsi X pertama dikurangi dengan nomor yang sama A, dan kemudian dikurangi menjadi saya sekali. Kami mendapatkan rangkaian distribusi variasi baru dari varian baru 
.
Kemudian pilihan baru akan diungkapkan:
,
dan mean aritmatika baru mereka 
, -momen orde pertama- rumus:
.
Ini sama dengan rata-rata dari opsi asli, pertama dikurangi dengan TETAPI, dan kemudian di saya sekali.
Untuk mendapatkan rata-rata yang sebenarnya, Anda memerlukan momen urutan pertama m 1 , kalikan dengan saya dan tambahkan TETAPI:
.
Metode menghitung rata-rata aritmatika dari deret variasi ini disebut "metode momen". Metode ini diterapkan dalam baris dengan interval yang sama.
Perhitungan mean aritmatika dengan metode momen diilustrasikan oleh data pada Tabel. 4.4.
Tabel 4.4
Distribusi usaha kecil di wilayah dengan nilai aset produksi tetap (OPF) pada tahun 2000
|
Grup perusahaan berdasarkan biaya OPF, ribuan rubel |
Jumlah perusahaan f |
interval tengah, x |
|
|
|
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24 |
||||
Menemukan momen orde pertama
.
Kemudian, dengan asumsi A = 19 dan mengetahui bahwa saya= 2, hitung X, ribu rubel.:
Jenis nilai rata-rata dan metode perhitungannya
Pada tahap pemrosesan statistik, berbagai tugas penelitian dapat ditetapkan, untuk solusinya perlu memilih rata-rata yang sesuai. Dalam hal ini, perlu dipandu oleh aturan berikut: nilai-nilai yang mewakili pembilang dan penyebut rata-rata harus secara logis terkait satu sama lain.
- rata-rata daya;
- rata-rata struktural.
Mari kita perkenalkan notasi berikut:
Nilai yang rata-ratanya dihitung;
Rata-rata, di mana garis di atas menunjukkan bahwa rata-rata nilai individu terjadi;
Frekuensi (pengulangan nilai sifat individu).
Berbagai sarana diturunkan dari rumus daya rata-rata umum:
(5.1)
untuk k = 1 - rata-rata aritmatika; k = -1 - rata-rata harmonik; k = 0 - rata-rata geometrik; k = -2 - akar rata-rata kuadrat.
Rata-rata baik sederhana atau tertimbang. rata-rata tertimbang disebut besaran yang memperhitungkan bahwa beberapa varian nilai atribut mungkin memiliki angka yang berbeda, dan oleh karena itu setiap varian harus dikalikan dengan angka ini. Dengan kata lain, "bobot" adalah jumlah unit populasi dalam kelompok yang berbeda, mis. setiap opsi "ditimbang" berdasarkan frekuensinya. Frekuensi f disebut bobot statistik atau berat rata-rata.
Rata-rata aritmatika- jenis media yang paling umum. Ini digunakan ketika perhitungan dilakukan pada data statistik yang tidak dikelompokkan, di mana Anda ingin mendapatkan jumlah rata-rata. Rata-rata aritmatika adalah nilai rata-rata dari suatu fitur, setelah diterima di mana total volume fitur dalam populasi tetap tidak berubah.
Rumus rata-rata aritmatika ( sederhana) memiliki bentuk
dimana n adalah ukuran populasi.
Misalnya, gaji rata-rata karyawan suatu perusahaan dihitung sebagai rata-rata aritmatika:
Indikator penentu di sini adalah upah setiap karyawan dan jumlah karyawan perusahaan. Ketika menghitung rata-rata, jumlah total upah tetap sama, tetapi didistribusikan, seolah-olah, sama di antara semua pekerja. Misalnya, perlu untuk menghitung gaji rata-rata karyawan sebuah perusahaan kecil di mana 8 orang bekerja:
Saat menghitung rata-rata, nilai individu dari atribut yang dirata-ratakan dapat diulang, sehingga rata-rata dihitung menggunakan data yang dikelompokkan. Dalam hal ini, kita berbicara tentang menggunakan rata-rata aritmatika tertimbang, yang terlihat seperti
(5.3)
Jadi, kita perlu menghitung rata-rata harga saham perusahaan saham gabungan di bursa. Diketahui bahwa transaksi dilakukan dalam waktu 5 hari (5 transaksi), jumlah saham yang terjual dengan kurs penjualan dibagikan sebagai berikut:
1 - 800 ac. - 1010 rubel
2 - 650 ac. - 990 gosok.
3 - 700 k. - 1015 rubel.
4 - 550 ac. - 900 gosok.
5 - 850 ak. - 1150 rubel.
Rasio awal untuk menentukan harga rata-rata saham adalah rasio antara jumlah total transaksi (OSS) dengan jumlah saham yang dijual (KPA).
Kebanyakan dari semua dalam persamaan. Dalam praktiknya, kita harus menggunakan rata-rata aritmatika, yang dapat dihitung sebagai rata-rata aritmatika sederhana dan berbobot.
Rata-rata aritmatika (CA)-n jenis media yang paling umum. Ini digunakan dalam kasus di mana volume atribut variabel untuk seluruh populasi adalah jumlah dari nilai atribut unit individualnya. Fenomena sosial dicirikan oleh penambahan (penjumlahan) volume atribut yang bervariasi, ini menentukan ruang lingkup SA dan menjelaskan prevalensinya sebagai indikator generalisasi, misalnya: dana gaji umum adalah jumlah gaji semua karyawan.
Untuk menghitung SA, Anda perlu membagi jumlah semua nilai fitur dengan jumlahnya. SA digunakan dalam 2 bentuk.
Pertimbangkan dulu mean aritmatika sederhana.
1-CA sederhana (awal, bentuk definisi) sama dengan jumlah sederhana dari nilai individual fitur rata-rata, dibagi dengan jumlah total nilai ini (digunakan ketika ada nilai indeks fitur yang tidak dikelompokkan):
Perhitungan yang dilakukan dapat diringkas dalam rumus berikut:
(1)
di mana 
- nilai rata-rata atribut variabel, yaitu mean aritmatika sederhana;
berarti penjumlahan, yaitu penambahan fitur individu;
x- nilai individu dari atribut variabel, yang disebut varian;
n - jumlah unit populasi
Contoh 1, diperlukan untuk mencari keluaran rata-rata seorang pekerja (tukang kunci), jika diketahui berapa suku cadang yang diproduksi masing-masing dari 15 pekerja, yaitu diberikan sejumlah ind. nilai sifat, pcs.: 21; 20; 20; sembilan belas; 21; sembilan belas; delapan belas; 22; sembilan belas; 20; 21; 20; delapan belas; sembilan belas; 20.
SA sederhana dihitung dengan rumus (1), pcs.:
Contoh2. Mari kita hitung SA berdasarkan data bersyarat untuk 20 toko yang merupakan bagian dari perusahaan dagang (Tabel 1). Tabel 1
Distribusi toko-toko perusahaan perdagangan "Vesna" berdasarkan area perdagangan, sq. M
|
nomor toko |
nomor toko | ||
Untuk menghitung rata-rata luas toko ( 
) perlu untuk menjumlahkan area semua toko dan membagi hasilnya dengan jumlah toko:
Dengan demikian, rata-rata luas toko untuk kelompok usaha perdagangan ini adalah 71 sq.m.
Oleh karena itu, untuk menentukan SA sederhana, perlu untuk membagi jumlah semua nilai atribut yang diberikan dengan jumlah unit yang memiliki atribut ini.
2
di mana f 1
,
f 2
,
… ,f n
–
bobot (frekuensi pengulangan fitur yang sama); adalah jumlah produk dari besarnya fitur dan frekuensinya; adalah jumlah unit populasi.
(2)
Di mana X- pilihan;
f- frekuensi (berat).
Pembobotan SA adalah hasil bagi membagi jumlah produk varian dan frekuensi yang sesuai dengan jumlah semua frekuensi. Frekuensi ( f) yang muncul dalam rumus SA biasanya disebut timbangan, akibatnya SA dihitung dengan mempertimbangkan bobot disebut SA tertimbang.
Kami akan mengilustrasikan teknik untuk menghitung SA berbobot menggunakan contoh 1. Untuk melakukan ini, kami mengelompokkan data awal dan menempatkannya dalam Tabel.
Rata-rata dari data yang dikelompokkan ditentukan sebagai berikut: pertama, opsi dikalikan dengan frekuensi, kemudian produk ditambahkan dan jumlah yang dihasilkan dibagi dengan jumlah frekuensi.
Menurut rumus (2), SA tertimbang adalah, pcs.: 
P
Distribusi toko Vesna berdasarkan ruang ritel, sq. m
Dengan demikian, hasilnya sama. Namun, ini sudah akan menjadi rata-rata tertimbang aritmatika.
Dalam contoh sebelumnya, kami menghitung rata-rata aritmatika, asalkan frekuensi absolut (jumlah toko) diketahui. Namun, dalam beberapa kasus tidak ada frekuensi absolut, tetapi frekuensi relatif diketahui, atau, seperti yang biasa disebut, frekuensi yang menunjukkan proporsi atau proporsi frekuensi di seluruh populasi.
Saat menghitung penggunaan tertimbang SA frekuensi memungkinkan Anda untuk menyederhanakan perhitungan ketika frekuensi dinyatakan dalam angka multi-digit yang besar. Perhitungan dilakukan dengan cara yang sama, namun karena nilai rata-rata meningkat 100 kali lipat, hasilnya harus dibagi 100.
Maka rumus untuk rata-rata tertimbang aritmatika akan terlihat seperti:
di mana d- frekuensi, yaitu bagian dari setiap frekuensi dalam jumlah total semua frekuensi.
(3)Dalam contoh 2 kami, pertama-tama kami menentukan pangsa toko berdasarkan grup dalam jumlah total toko perusahaan "Musim Semi". Jadi, untuk kelompok pertama, berat jenis sesuai dengan 10% 
. Kami mendapatkan data berikut: Tabel3
