Cara mencari titik yang simetris pada garis. Masalah paling sederhana dengan garis lurus di pesawat

Perumusan masalah. Tentukan koordinat titik yang simetris dengan titik relatif terhadap pesawat.

Rencana solusi.

1. Kami menemukan persamaan garis lurus yang tegak lurus terhadap bidang tertentu dan melalui suatu titik . Karena garis tegak lurus terhadap bidang yang diberikan, maka vektor normal bidang dapat diambil sebagai vektor arahnya, yaitu

Maka persamaan garis lurus menjadi

2. Temukan titik persimpangan garis dan pesawat (lihat Soal 13).

3. Titik adalah titik tengah segmen, di mana titik adalah titik yang simetris dengan titik , Itu sebabnya

Tugas 14. Temukan sebuah titik yang simetris dengan sebuah titik terhadap bidang.

Persamaan garis lurus yang melalui sebuah titik yang tegak lurus bidang tertentu adalah:

Temukan titik potong garis dan bidang.

Di mana - titik perpotongan garis dan bidang adalah titik tengah segmen, oleh karena itu

Itu. .

Koordinat bidang homogen. Transformasi affine di pesawat.

Biarlah M X dan pada

M(X, padaSaya (X, pada, 1) dalam ruang (Gbr. 8).

Saya (X, pada

Saya (X, pada hu.

(hx, hy, h), h 0,

Komentar

h(Sebagai contoh, h

Memang, mengingat h

Komentar

Contoh 1

b) di ujung (Gbr. 9).

langkah pertama.

langkah ke-2. Rotasi sudut

matriks dari transformasi yang sesuai.

langkah ke-3. Transfer ke vektor A(a, b)

matriks dari transformasi yang sesuai.

Contoh 3

 sepanjang sumbu x dan

langkah pertama.

matriks dari transformasi yang sesuai.

langkah ke-2.

langkah ke-3.

akhirnya mendapatkan

Komentar

[R],[D],[M],[T],

Biarlah M- titik sewenang-wenang dari pesawat dengan koordinat X dan pada dihitung sehubungan dengan sistem koordinat bujursangkar yang diberikan. Koordinat homogen dari titik ini adalah setiap rangkap tiga dari bilangan bukan nol secara simultan x 1, x 2, x 3, dikaitkan dengan bilangan x dan y yang diberikan oleh hubungan berikut:

Saat memecahkan masalah grafik komputer, koordinat homogen biasanya diperkenalkan sebagai berikut: titik arbitrer M(X, pada) pesawat diberi titik Saya (X, pada, 1) dalam ruang (Gbr. 8).

Perhatikan bahwa sembarang titik pada garis yang menghubungkan titik asal, titik 0(0, 0, 0), dengan titik Saya (X, pada, 1) dapat diberikan oleh tiga kali lipat dari bentuk (hx, hy, h).

Vektor dengan koordinat hx,hy adalah vektor arah dari garis lurus yang menghubungkan titik 0 (0, 0, 0) dan Saya (X, pada, satu). Garis ini memotong bidang z = 1 di titik (x, y, 1), yang secara unik menentukan titik (x, y) dari bidang koordinat hu.

Jadi, antara titik arbitrer dengan koordinat (x, y) dan himpunan tiga kali lipat bilangan berbentuk

(hx, hy, h), h 0,

a (satu-ke-satu) korespondensi dibuat, yang memungkinkan kita untuk menganggap angka hx, hy, h sebagai koordinat baru dari titik ini.

Komentar

Koordinat homogen banyak digunakan dalam geometri proyektif memungkinkan untuk secara efektif menggambarkan apa yang disebut elemen yang tidak tepat (pada dasarnya mereka di mana bidang proyektif berbeda dari bidang Euclidean biasa). Rincian lebih lanjut tentang fitur baru yang disediakan oleh koordinat homogen yang diperkenalkan dibahas di bagian keempat bab ini.

Dalam geometri proyektif, untuk koordinat homogen, notasi berikut diterima:

x: y: 1, atau, lebih umum, x 1: x 2: x 3

(ingat bahwa di sini mutlak diperlukan bahwa angka-angka x 1, x 2, x 3 pada saat yang sama tidak hilang).

Penggunaan koordinat homogen ternyata nyaman bahkan ketika memecahkan masalah yang paling sederhana.

Pertimbangkan, misalnya, masalah yang terkait dengan penskalaan. Jika perangkat tampilan hanya berfungsi dengan bilangan bulat (atau jika perlu hanya bekerja dengan bilangan bulat), maka untuk nilai arbitrer h(Sebagai contoh, h= 1) titik dengan koordinat homogen

tidak bisa dibayangkan. Namun, dengan pilihan h yang masuk akal, dimungkinkan untuk memastikan bahwa koordinat titik ini adalah bilangan bulat. Khususnya, untuk h = 10, untuk contoh yang sedang dipertimbangkan, kita memiliki

Mari kita pertimbangkan kasus lain. Agar hasil transformasi tidak menyebabkan overflow aritmatika, untuk titik dengan koordinat (80000 40000 1000) dapat diambil, misalnya, h=0,001. Hasilnya, kami mendapatkan (80 40 1).

Contoh-contoh yang diberikan menunjukkan kegunaan menggunakan koordinat homogen dalam perhitungan. Namun, tujuan utama memperkenalkan koordinat homogen dalam grafik komputer adalah kemudahannya yang tidak diragukan dalam menerapkan transformasi geometris.

Dengan bantuan tiga kali lipat koordinat homogen dan matriks orde ketiga, setiap transformasi affine dari pesawat dapat dijelaskan.

Memang, mengingat h= 1, bandingkan dua entri: ditandai dengan * dan matriks berikut:

Sangat mudah untuk melihat bahwa setelah mengalikan ekspresi di sisi kanan relasi terakhir, kita mendapatkan kedua rumus (*) dan persamaan numerik yang benar 1=1.

Komentar

Terkadang dalam literatur notasi lain digunakan - notasi menurut kolom:

Notasi ini setara dengan notasi garis di atas (dan diperoleh darinya dengan transposisi).

Unsur-unsur matriks arbitrer dari transformasi affine tidak membawa makna geometris eksplisit. Oleh karena itu, untuk melaksanakan pemetaan tertentu, yaitu untuk menemukan elemen-elemen dari matriks yang sesuai menurut deskripsi geometrik yang diberikan, diperlukan teknik khusus. Biasanya, konstruksi matriks ini, sesuai dengan kompleksitas masalah yang sedang dipertimbangkan dan dengan kasus-kasus tertentu yang dijelaskan di atas, dibagi menjadi beberapa tahap.

Pada setiap tahap, matriks dicari, sesuai dengan satu atau lain kasus A, B, C, atau D di atas, yang memiliki sifat geometris yang terdefinisi dengan baik.

Mari kita tuliskan matriks-matriks yang bersesuaian dari orde ketiga.

A. Matriks rotasi, (rotasi)

B. Matriks Dilatasi

B. Matriks Refleksi

D. Matriks Transfer (terjemahan)

Pertimbangkan contoh transformasi affine dari pesawat.

Contoh 1

Bangun matriks rotasi di sekitar titik A (a,b) di ujung (Gbr. 9).

langkah pertama. Transfer ke vektor - A (-a, -b) untuk menyelaraskan pusat rotasi dengan titik asal;

matriks dari transformasi yang sesuai.

langkah ke-2. Rotasi sudut

matriks dari transformasi yang sesuai.

langkah ke-3. Transfer ke vektor A(a, b) untuk mengembalikan pusat rotasi ke posisi sebelumnya;

matriks dari transformasi yang sesuai.

Kami mengalikan matriks dalam urutan yang sama seperti yang ditulis:

Hasilnya, kami mendapatkan bahwa transformasi yang diinginkan (dalam notasi matriks) akan terlihat seperti ini:

Unsur-unsur matriks yang dihasilkan (terutama pada baris terakhir) tidak mudah diingat. Pada saat yang sama, masing-masing dari tiga matriks dikalikan dapat dengan mudah dibangun dari deskripsi geometrik pemetaan yang sesuai.

Contoh 3

Bangun Matriks Peregangan dengan Faktor Peregangan sepanjang sumbu x dan sepanjang sumbu y dan berpusat di titik A (a, b).

langkah pertama. Transfer ke vektor -А(-а, -b) untuk mencocokkan pusat peregangan dengan titik asal;

matriks dari transformasi yang sesuai.

langkah ke-2. Peregangan di sepanjang sumbu koordinat dengan koefisien dan , masing-masing; matriks transformasi memiliki bentuk

langkah ke-3. Transfer ke vektor A(a, b) untuk mengembalikan pusat peregangan ke posisi sebelumnya; matriks dari transformasi yang sesuai adalah

Perkalian matriks dengan urutan yang sama

akhirnya mendapatkan

Komentar

Berdebat dengan cara yang sama, yaitu memecah transformasi yang diusulkan menjadi tahap-tahap yang didukung oleh matriks[R],[D],[M],[T], seseorang dapat membangun matriks dari setiap transformasi affine dari deskripsi geometrisnya.

Pergeseran diimplementasikan dengan penambahan, dan penskalaan dan rotasi dengan perkalian.

Transformasi skala (pelebaran) relatif terhadap asal memiliki bentuk:

atau dalam bentuk matriks:

di mana Dx,Dkamu adalah faktor penskalaan sepanjang sumbu, dan

- matriks skala.

Untuk D > 1, terjadi pemuaian, untuk 0<=D<1- сжатие

Putar Transform relatif terhadap asal memiliki bentuk:

atau dalam bentuk matriks:

di mana adalah sudut rotasi, dan

- matriks rotasi.

Komentar: Kolom dan baris dari matriks rotasi adalah vektor satuan yang saling ortogonal. Memang, kuadrat dari panjang vektor baris sama dengan satu:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 dan (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

dan produk skalar dari vektor baris adalah

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Karena produk skalar dari vektor A · B = |A| ·| B| ·cosψ, dimana | A| - panjang vektor A, |B| - panjang vektor B, dan adalah sudut positif terkecil di antara keduanya, maka dari persamaan 0 hasil kali skalar dua vektor baris dengan panjang 1 diperoleh sudut antara keduanya adalah 90° .

Oh-oh-oh-oh-oh ... yah, nyaring, seolah-olah Anda membaca kalimat itu sendiri =) Namun, relaksasi akan membantu, terutama karena saya membeli aksesori yang cocok hari ini. Karena itu, mari kita lanjutkan ke bagian pertama, saya harap, pada akhir artikel saya akan menjaga suasana hati yang ceria.

Susunan timbal balik dari dua garis lurus

Kasus ketika aula bernyanyi bersama dalam paduan suara. Dua garis bisa:

1) pertandingan;

2) sejajar: ;

3) atau berpotongan di satu titik: .

Bantuan untuk boneka : harap diingat tanda matematika persimpangan , itu akan sangat sering terjadi. Entri berarti bahwa garis berpotongan dengan garis di titik.

Bagaimana cara menentukan posisi relatif dari dua garis?

Mari kita mulai dengan kasus pertama:

Dua garis bertepatan jika dan hanya jika koefisien masing-masing sebanding, yaitu, ada sejumlah "lambda" sehingga persamaan

Mari kita pertimbangkan garis lurus dan buat tiga persamaan dari koefisien yang sesuai: . Dari setiap persamaan dapat disimpulkan bahwa, oleh karena itu, garis-garis ini bertepatan.

Memang, jika semua koefisien persamaan kalikan dengan -1 (ubah tanda), dan semua koefisien persamaan dikurangi dengan 2, Anda mendapatkan persamaan yang sama: .

Kasus kedua ketika garis sejajar:

Dua garis dikatakan sejajar jika dan hanya jika koefisien-koefisiennya pada variabel-variabelnya sebanding: , tetapi.

Sebagai contoh, perhatikan dua garis lurus. Kami memeriksa proporsionalitas koefisien yang sesuai untuk variabel:

Namun, jelas bahwa .

Dan kasus ketiga, ketika garis berpotongan:

Dua garis berpotongan jika dan hanya jika koefisien variabelnya TIDAK proporsional, yaitu, TIDAK ada nilai "lambda" yang persamaannya terpenuhi

Jadi, untuk garis lurus kita akan membuat sistem:

Dari persamaan pertama diperoleh bahwa , dan dari persamaan kedua : , maka, sistem tidak konsisten(tidak ada solusi). Dengan demikian, koefisien pada variabel tidak proporsional.

Kesimpulan: garis berpotongan

Dalam masalah praktis, skema solusi yang baru saja dipertimbangkan dapat digunakan. Omong-omong, ini sangat mirip dengan algoritma untuk memeriksa vektor untuk kolinearitas, yang kami pertimbangkan dalam pelajaran. Konsep linear (non) ketergantungan vektor. Dasar vektor. Tetapi ada paket yang lebih beradab:

Contoh 1

Cari tahu posisi relatif garis:

Keputusan berdasarkan studi tentang mengarahkan vektor garis lurus:

a) Dari persamaan kita menemukan vektor arah garis: .

, sehingga vektor-vektornya tidak segaris dan garis-garisnya berpotongan.

Untuk jaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan petunjuk di persimpangan jalan:

Sisanya melompati batu dan mengikuti, langsung ke Kashchei the Deathless =)

b) Tentukan vektor arah dari garis-garis tersebut:

Garis-garis tersebut memiliki vektor arah yang sama, yang berarti keduanya sejajar atau sama. Di sini determinan tidak diperlukan.

Jelas, koefisien yang tidak diketahui adalah proporsional, sedangkan .

Mari kita cari tahu apakah persamaan itu benar:

Dengan demikian,

c) Tentukan vektor arah dari garis-garis tersebut:

Mari kita hitung determinannya, yang terdiri dari koordinat vektor-vektor ini:
, oleh karena itu, vektor arah adalah collinear. Garis-garisnya sejajar atau berhimpitan.

Faktor proporsionalitas "lambda" mudah dilihat langsung dari rasio vektor arah collinear. Namun, itu juga dapat ditemukan melalui koefisien persamaan itu sendiri: .

Sekarang mari kita cari tahu apakah persamaan itu benar. Kedua suku bebas adalah nol, jadi:

Nilai yang dihasilkan memenuhi persamaan ini (angka berapa pun umumnya memenuhinya).

Dengan demikian, garis bertepatan.

Menjawab:

Segera Anda akan belajar (atau bahkan telah belajar) untuk memecahkan masalah yang dipertimbangkan secara lisan secara harfiah dalam hitungan detik. Dalam hal ini, saya tidak melihat alasan untuk menawarkan sesuatu untuk solusi independen, lebih baik meletakkan satu batu bata penting lagi di fondasi geometris:

Bagaimana cara menggambar garis yang sejajar dengan garis yang diberikan?

Karena ketidaktahuan akan tugas paling sederhana ini, Nightingale the Robber menghukum dengan berat.

Contoh 2

Garis lurus diberikan oleh persamaan . Tuliskan persamaan garis sejajar yang melalui titik tersebut.

Keputusan: Menunjukkan baris yang tidak dikenal dengan huruf. Apa yang dikatakan kondisi tentang itu? Garis melewati titik. Dan jika garis-garisnya sejajar, maka jelas bahwa vektor pengarah garis "ce" juga cocok untuk membangun garis "te".

Kami mengambil vektor arah dari persamaan:

Menjawab:

Geometri contoh terlihat sederhana:

Verifikasi analitis terdiri dari langkah-langkah berikut:

1) Kami memeriksa bahwa garis memiliki vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak disederhanakan dengan benar, maka vektor akan kolinear).

2) Periksa apakah titik memenuhi persamaan yang dihasilkan.

Verifikasi analitis dalam banyak kasus mudah dilakukan secara lisan. Lihatlah dua persamaan dan banyak dari Anda akan segera mengetahui bagaimana garis sejajar tanpa menggambar apa pun.

Contoh untuk pemecahan diri hari ini akan kreatif. Karena Anda masih harus bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, Anda tahu, adalah pecinta semua jenis teka-teki.

Contoh 3

Tuliskan persamaan garis yang melalui sebuah titik yang sejajar dengan garis jika

Ada cara yang rasional dan tidak terlalu rasional untuk menyelesaikannya. Cara terpendek adalah di akhir pelajaran.

Kami melakukan sedikit pekerjaan dengan garis paralel dan akan kembali lagi nanti. Kasus garis yang bertepatan kurang menarik, jadi mari kita pertimbangkan masalah yang Anda ketahui dari kurikulum sekolah:

Bagaimana cara mencari titik potong dua garis?

Jika lurus berpotongan di titik , maka koordinatnya adalah penyelesaiannya sistem persamaan linear

Bagaimana cara menemukan titik potong garis? Memecahkan sistem.

Ini untukmu arti geometris dari sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui adalah dua garis lurus yang berpotongan (paling sering) pada sebuah bidang.

Contoh 4

Cari titik potong garis

Keputusan: Ada dua cara untuk memecahkan - grafis dan analitis.

Cara grafisnya adalah dengan menggambar garis-garis yang diberikan dan mencari tahu titik potongnya langsung dari gambar:

Inilah poin kami: . Untuk memeriksa, Anda harus mengganti koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis lurus, mereka harus cocok di sana dan di sana. Dengan kata lain, koordinat titik adalah solusi dari sistem . Faktanya, kami mempertimbangkan cara grafis untuk menyelesaikannya sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.

Metode grafis, tentu saja, tidak buruk, tetapi ada kelemahan yang nyata. Tidak, intinya bukan siswa kelas tujuh yang memutuskan seperti ini, intinya butuh waktu untuk membuat gambar yang benar dan TEPAT. Selain itu, beberapa garis tidak begitu mudah untuk dibuat, dan titik perpotongan itu sendiri mungkin berada di suatu tempat di kerajaan ketiga puluh di luar lembar buku catatan.

Oleh karena itu, lebih bijaksana untuk mencari titik potong dengan metode analitik. Mari kita selesaikan sistemnya:

Untuk menyelesaikan sistem, metode penambahan persamaan termwise digunakan. Untuk mengembangkan keterampilan yang relevan, kunjungi pelajaran Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan?

Menjawab:

Verifikasinya sepele - koordinat titik persimpangan harus memenuhi setiap persamaan sistem.

Contoh 5

Temukan titik potong garis jika mereka berpotongan.

Ini adalah contoh do-it-yourself. Lebih mudah untuk membagi masalah menjadi beberapa tahap. Analisis kondisi menunjukkan bahwa perlu:
1) Tulis persamaan garis lurus.
2) Tulis persamaan garis lurus.
3) Cari tahu posisi relatif dari garis.
4) Jika garis-garis tersebut berpotongan, maka tentukan titik potongnya.

Pengembangan algoritma tindakan adalah tipikal untuk banyak masalah geometris, dan saya akan berulang kali fokus pada hal ini.

Solusi lengkap dan jawaban di akhir tutorial:

Sepasang sepatu belum aus, saat kita sampai pada bagian kedua dari pelajaran:

Garis tegak lurus. Jarak dari titik ke garis.
Sudut antar garis

Mari kita mulai dengan tugas yang khas dan sangat penting. Pada bagian pertama, kami belajar cara membuat garis lurus sejajar dengan yang diberikan, dan sekarang gubuk di kaki ayam akan berubah 90 derajat:

Bagaimana cara menggambar garis yang tegak lurus dengan garis yang diberikan?

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan . Tuliskan persamaan garis tegak lurus yang melalui sebuah titik.

Keputusan: Diketahui dengan asumsi bahwa . Akan lebih baik untuk menemukan vektor arah garis lurus. Karena garisnya tegak lurus, triknya sederhana:

Dari persamaan kita "menghilangkan" vektor normal: , yang akan menjadi vektor pengarah garis lurus.

Kami membuat persamaan garis lurus dengan titik dan vektor pengarah:

Menjawab:

Mari kita buka sketsa geometrisnya:

Hmmm... Langit jingga, laut jingga, unta jingga.

Verifikasi analitis dari solusi:

1) Ekstrak vektor arah dari persamaan dan dengan bantuan perkalian titik dari vektor kami menyimpulkan bahwa garis memang tegak lurus: .

Omong-omong, Anda dapat menggunakan vektor normal, bahkan lebih mudah.

2) Periksa apakah titik memenuhi persamaan yang dihasilkan .

Verifikasi, sekali lagi, mudah dilakukan secara verbal.

Contoh 7

Temukan titik potong garis tegak lurus, jika persamaan diketahui dan titik.

Ini adalah contoh do-it-yourself. Ada beberapa tindakan dalam tugas, jadi akan lebih mudah untuk mengatur solusi poin demi poin.

Perjalanan seru kami berlanjut:

Jarak dari titik ke garis

Di depan kita ada jalur sungai yang lurus dan tugas kita adalah mencapainya dengan cara terpendek. Tidak ada hambatan, dan rute yang paling optimal adalah pergerakan di sepanjang garis tegak lurus. Artinya, jarak dari suatu titik ke garis adalah panjang segmen yang tegak lurus.

Jarak dalam geometri secara tradisional dilambangkan dengan huruf Yunani "ro", misalnya: - jarak dari titik "em" ke garis lurus "de".

Jarak dari titik ke garis dinyatakan dengan rumus

Contoh 8

Tentukan jarak titik ke garis

Keputusan: yang Anda butuhkan hanyalah mengganti angka dengan hati-hati ke dalam rumus dan melakukan perhitungan:

Menjawab:

Mari kita jalankan gambarnya:

Jarak yang ditemukan dari titik ke garis sama persis dengan panjang ruas merah. Jika Anda membuat gambar di atas kertas kotak-kotak dengan skala 1 unit. \u003d 1 cm (2 sel), maka jaraknya dapat diukur dengan penggaris biasa.

Pertimbangkan tugas lain sesuai dengan gambar yang sama:

Tugasnya adalah menemukan koordinat titik , yang simetris dengan titik terhadap garis . Saya mengusulkan untuk melakukan tindakan sendiri, namun, saya akan menguraikan algoritme solusi dengan hasil antara:

1) Temukan garis yang tegak lurus dengan garis.

2) Temukan titik potong garis: .

Kedua tindakan dibahas secara rinci dalam pelajaran ini.

3) Titik adalah titik tengah ruas. Kita tahu koordinat tengah dan salah satu ujungnya. Oleh rumus untuk koordinat tengah segmen Temukan .

Tidak akan berlebihan untuk memeriksa bahwa jaraknya juga sama dengan 2,2 unit.

Kesulitan di sini mungkin muncul dalam perhitungan, tetapi di menara kalkulator mikro banyak membantu, memungkinkan Anda menghitung pecahan biasa. Telah menyarankan berkali-kali dan akan merekomendasikan lagi.

Bagaimana cara mencari jarak antara dua garis sejajar?

Contoh 9

Hitunglah jarak antara dua garis sejajar

Ini adalah contoh lain untuk solusi independen. Sedikit petunjuk: ada banyak cara untuk menyelesaikannya. Pembekalan di akhir pelajaran, tetapi lebih baik coba tebak sendiri, saya pikir Anda berhasil membubarkan kecerdikan Anda dengan baik.

Sudut antara dua garis

Apapun sudutnya, maka kusennya:

Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus diambil sebagai sudut LEBIH KECIL, yang darinya secara otomatis mengikuti sehingga tidak dapat tumpul. Pada gambar, sudut yang ditunjukkan oleh busur merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis yang berpotongan. Dan tetangganya yang “hijau” atau berorientasi berlawanan sudut merah tua.

Jika garis-garisnya tegak lurus, maka salah satu dari 4 sudut dapat diambil sebagai sudut di antara mereka.

Bagaimana sudut-sudutnya berbeda? Orientasi. Pertama, arah "menggulir" sudut pada dasarnya penting. Kedua, sudut berorientasi negatif ditulis dengan tanda minus, misalnya jika .

Mengapa saya mengatakan ini? Tampaknya Anda bisa bertahan dengan konsep sudut yang biasa. Faktanya adalah bahwa dalam rumus yang dengannya kita akan menemukan sudut, hasil negatif dapat dengan mudah diperoleh, dan ini seharusnya tidak mengejutkan Anda. Sudut dengan tanda minus tidak lebih buruk, dan memiliki makna geometris yang sangat spesifik. Dalam gambar untuk sudut negatif, sangat penting untuk menunjukkan orientasinya (searah jarum jam) dengan panah.

Bagaimana cara mencari sudut antara dua garis? Ada dua rumus kerja:

Contoh 10

Tentukan sudut antar garis

Keputusan dan Metode satu

Pertimbangkan dua garis lurus yang diberikan oleh persamaan dalam bentuk umum:

Jika lurus tidak tegak lurus, kemudian berorientasi sudut di antara mereka dapat dihitung menggunakan rumus:

Mari kita perhatikan penyebutnya - ini persis produk skalar vektor arah garis lurus:

Jika , maka penyebut rumus hilang, dan vektor-vektornya akan ortogonal dan garis-garisnya akan tegak lurus. Itulah sebabnya reservasi dibuat tentang garis-garis yang tidak tegak lurus dalam formulasi.

Berdasarkan hal di atas, solusinya mudah diformalkan dalam dua langkah:

1) Hitung produk skalar dari mengarahkan vektor garis lurus:
jadi garisnya tidak tegak lurus.

2) Kami menemukan sudut antara garis dengan rumus:

Menggunakan fungsi invers, mudah untuk menemukan sudut itu sendiri. Dalam hal ini, kami menggunakan keanehan dari tangen busur (lihat Gambar. Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar):

Menjawab:

Dalam jawabannya, kami menunjukkan nilai yang tepat, serta nilai perkiraan (lebih disukai dalam derajat dan radian), dihitung menggunakan kalkulator.

Nah, minus, jadi minus, tidak apa-apa. Berikut adalah ilustrasi geometris:

Tidak mengherankan bahwa sudut itu ternyata memiliki orientasi negatif, karena dalam kondisi soal, angka pertama adalah garis lurus dan "pelintiran" sudut dimulai dengan tepat darinya.

Jika Anda benar-benar ingin mendapatkan sudut positif, Anda perlu menukar garis lurus, yaitu, ambil koefisien dari persamaan kedua , dan ambil koefisien dari persamaan pertama . Singkatnya, Anda harus mulai dengan direct .

Biarkan beberapa garis lurus yang diberikan oleh persamaan linier dan titik yang diberikan oleh koordinatnya (x0, y0) dan tidak terletak pada garis lurus ini diberikan. Diperlukan untuk menemukan titik yang simetris terhadap titik tertentu sehubungan dengan garis lurus tertentu, yaitu, akan bertepatan dengannya, jika pesawat secara mental bengkok menjadi dua di sepanjang garis lurus ini.

Petunjuk

1. Jelas bahwa kedua titik - diberikan dan diinginkan - harus terletak pada garis lurus yang sama, dan garis ini harus tegak lurus dengan yang diberikan. Jadi, bagian pertama dari masalahnya adalah menemukan persamaan garis lurus yang tegak lurus terhadap beberapa garis tertentu dan pada saat yang sama melalui titik tertentu.

2. Garis lurus dapat didefinisikan dengan dua cara. Persamaan kanonik garis lurus terlihat seperti ini: Ax + By + C = 0, di mana A, B, dan C adalah konstanta. Juga, garis lurus dapat ditentukan menggunakan fungsi linier: y \u003d kx + b, di mana k adalah eksponen sudut, b adalah perpindahan.Kedua metode ini dapat dipertukarkan, dan diizinkan untuk berpindah dari satu ke yang lain. Jika Ax + By + C = 0, maka y = – (Ax + C)/B. Dengan kata lain, dalam fungsi linier y = kx + b, eksponen sudut k = -A/B, dan offset b = -C/B. Untuk tugas yang ada, lebih nyaman untuk bernalar berdasarkan persamaan kanonik dari garis lurus.

3. Jika dua garis saling tegak lurus, dan persamaan garis pertama adalah Ax + By + C = 0, maka persamaan garis ke-2 adalah Bx - Ay + D = 0, di mana D adalah konstanta. Untuk menemukan nilai D tertentu, perlu diketahui juga melalui titik mana garis tegak lurus itu lewat. Dalam hal ini adalah titik (x0, y0), sehingga D harus memenuhi persamaan: Bx0 – Ay0 + D = 0, yaitu D = Ay0 – Bx0.

4. Kemudian, setelah garis tegak lurus ditemukan, perlu untuk menghitung koordinat titik perpotongannya dengan yang diberikan. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan linier: Ax + By + C = 0, Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0. Solusinya akan memberikan angka (x1, y1) yang berfungsi sebagai koordinat titik perpotongan garis.

5. Titik yang diinginkan harus terletak pada garis yang terdeteksi, dan jaraknya ke titik perpotongan harus sama dengan jarak dari titik perpotongan ke titik (x0, y0). Koordinat titik yang simetris dengan titik (x0, y0) dapat dicari dengan menyelesaikan sistem persamaan: Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0,?((x1 - x0)^2 + (y1 - y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Tapi mari kita membuatnya lebih mudah. Jika titik (x0, y0) dan (x, y) berada pada jarak yang sama dari titik (x1, y1), dan ketiga titik terletak pada garis lurus yang sama, maka: x - x1 = x1 - x0,y - y1 = y1 - y0 Akibatnya, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Mensubstitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan kedua dari sistem pertama dan menyederhanakan ekspresi, mudah untuk memastikan bahwa sisi kanannya menjadi sama dengan sisi kiri. Selain itu, tidak masuk akal untuk mempertimbangkan persamaan pertama lebih dekat, karena diketahui bahwa titik (x0, y0) dan (x1, y1) memenuhinya, dan titik (x, y) pasti terletak pada garis yang sama. .

1) Temukan garis yang tegak lurus dengan garis.

2) Temukan titik potong garis: .

Kedua tindakan dibahas secara rinci dalam pelajaran ini.

3) Titik adalah titik tengah ruas. Kita tahu koordinat tengah dan salah satu ujungnya. Oleh rumus untuk koordinat tengah segmen Temukan .

Tidak akan berlebihan untuk memeriksa bahwa jaraknya juga sama dengan 2,2 unit.

Bagaimana cara mencari jarak antara dua garis sejajar?

Contoh 9

Hitunglah jarak antara dua garis sejajar

Sudut antara dua garis

Jika garis-garisnya tegak lurus, maka salah satu dari 4 sudut dapat diambil sebagai sudut di antara mereka.

Bagaimana sudut-sudutnya berbeda? Orientasi. Pertama, arah "menggulir" sudut pada dasarnya penting. Kedua, sudut berorientasi negatif ditulis dengan tanda minus, misalnya jika .

Bagaimana cara mencari sudut antara dua garis? Ada dua rumus kerja:

Contoh 10

Tentukan sudut antar garis

Keputusan dan Metode satu

Pertimbangkan dua garis lurus yang diberikan oleh persamaan dalam bentuk umum:

Jika lurus tidak tegak lurus, kemudian berorientasi sudut di antara mereka dapat dihitung menggunakan rumus:

Mari kita perhatikan penyebutnya - ini persis produk skalar vektor arah garis lurus:

Berdasarkan hal di atas, solusinya mudah diformalkan dalam dua langkah:

1) Hitung produk skalar dari mengarahkan vektor garis lurus:

2) Kami menemukan sudut antara garis dengan rumus:

Menggunakan fungsi invers, mudah untuk menemukan sudut itu sendiri. Dalam hal ini, kami menggunakan keanehan dari tangen busur (lihat Gambar. Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar):

Menjawab:

Dalam jawabannya, kami menunjukkan nilai yang tepat, serta nilai perkiraan (lebih disukai dalam derajat dan radian), dihitung menggunakan kalkulator.

Saya tidak akan menyembunyikan, saya sendiri memilih garis lurus agar sudutnya positif. Itu lebih indah, tapi tidak lebih.

Untuk memeriksa solusinya, Anda dapat mengambil busur derajat dan mengukur sudutnya.

Metode dua

Jika garis diberikan oleh persamaan dengan kemiringan dan tidak tegak lurus, kemudian berorientasi sudut di antara mereka dapat ditemukan dengan menggunakan rumus:

Kondisi tegak lurus garis lurus dinyatakan dengan persamaan, dari mana, dengan cara, hubungan yang sangat berguna dari koefisien kemiringan garis tegak lurus berikut: , yang digunakan dalam beberapa masalah.

Algoritma solusi mirip dengan paragraf sebelumnya. Tapi pertama-tama, mari kita tulis ulang baris kita dalam bentuk yang diperlukan:

Jadi, koefisien kemiringan:

1) Periksa apakah garis-garisnya tegak lurus:
jadi garisnya tidak tegak lurus.

2) Kami menggunakan rumus:

Menjawab:

Metode kedua cocok untuk digunakan ketika persamaan garis awalnya ditetapkan dengan kemiringan. Perlu dicatat bahwa jika setidaknya satu garis lurus sejajar dengan sumbu y, maka rumus tersebut tidak berlaku sama sekali, karena untuk garis lurus tersebut kemiringannya tidak ditentukan (lihat artikel Persamaan garis lurus pada bidang).

Ada juga solusi ketiga. Idenya adalah untuk menghitung sudut antara vektor arah garis menggunakan rumus yang dibahas dalam pelajaran Hasil kali titik dari vektor:

Di sini kita tidak berbicara tentang sudut yang berorientasi, tetapi "hanya tentang sudut", yaitu, hasilnya pasti akan positif. Tangkapannya adalah Anda bisa mendapatkan sudut tumpul (bukan yang Anda butuhkan). Dalam hal ini, Anda harus membuat reservasi bahwa sudut antara garis adalah sudut yang lebih kecil, dan kurangi busur kosinus yang dihasilkan dari radian "pi" (180 derajat).

Mereka yang ingin dapat memecahkan masalah dengan cara ketiga. Tapi saya tetap menyarankan untuk tetap berpegang pada pendekatan berorientasi sudut pertama, karena ini banyak digunakan.

Contoh 11

Temukan sudut di antara garis-garis itu.

Ini adalah contoh do-it-yourself. Cobalah untuk menyelesaikannya dengan dua cara.

Entah bagaimana dongeng itu mati di sepanjang jalan .... Karena tidak ada Kashchei yang Abadi. Ada saya, dan tidak terlalu dikukus. Sejujurnya, saya pikir artikelnya akan lebih panjang. Tapi tetap saja, saya akan mengambil topi yang baru dibeli dengan kacamata dan berenang di air danau September. Sempurna menghilangkan kelelahan dan energi negatif.

Sampai jumpa lagi!

Dan ingat, Baba Yaga belum dibatalkan =)

Solusi dan jawaban:

Contoh 3:Keputusan : Tentukan vektor arah garis lurus :

Kami akan menyusun persamaan garis lurus yang diinginkan menggunakan titik dan vektor arah . Karena salah satu koordinat vektor arah adalah nol, persamaan tulis ulang dalam bentuk:

Menjawab :

Contoh 5:Keputusan :
1) persamaan garis lurus buat dua poin :

2) persamaan garis lurus buat dua poin :

3) Koefisien yang sesuai untuk variabel di luar proporsi: , sehingga garis berpotongan.
4) Temukan titik :

Catatan : di sini persamaan pertama sistem dikalikan 5, kemudian persamaan ke-2 dikurangi suku dengan suku dari persamaan ke-1.
Menjawab :

Garis lurus dalam ruang selalu dapat didefinisikan sebagai garis perpotongan dua bidang yang tidak sejajar. Jika persamaan satu bidang adalah persamaan bidang kedua, maka persamaan garis lurus diberikan sebagai

di sini non-kolinier
. Persamaan ini disebut persamaan umum garis lurus dalam ruang.

Persamaan kanonik garis lurus

Setiap vektor bukan nol yang terletak pada garis tertentu atau sejajar dengannya disebut vektor pengarah garis ini.

Jika titik diketahui
vektor garis dan arahnya
, maka persamaan kanonik garis memiliki bentuk:

. (9)

Persamaan parametrik garis lurus

Biarkan persamaan kanonik garis diberikan

Dari sini, kita memperoleh persamaan parametrik dari garis lurus:

(10)

Persamaan ini berguna untuk menemukan titik potong garis dan bidang.

Persamaan garis yang melalui dua titik
dan
seperti:

Sudut antar garis

Sudut antar garis

dan

sama dengan sudut antara vektor arahnya. Oleh karena itu, dapat dihitung dengan rumus (4):

Kondisi garis sejajar:

Kondisi tegak lurus bidang:

Jarak suatu titik dari garis lurus

P poin yang diberikan
dan langsung

Dari persamaan kanonik garis, titik diketahui
, milik garis, dan vektor arahnya
. Maka jarak titik
dari garis lurus sama dengan tinggi jajar genjang yang dibangun di atas vektor dan
. Karena itu,

Kondisi perpotongan garis

Dua garis tidak sejajar

berpotongan jika dan hanya jika

Susunan bersama antara garis lurus dan bidang.

Biarkan garis lurus
dan datar. Injeksi di antara mereka dapat ditemukan dengan rumus

Soal 73. Tuliskan persamaan kanonik garis tersebut

(11)

Keputusan. Untuk menuliskan persamaan kanonik garis lurus (9), perlu diketahui titik mana pun yang termasuk dalam garis lurus dan vektor pengarah garis lurus tersebut.

Mari kita cari vektornya sejajar dengan garis yang diberikan. Karena harus tegak lurus terhadap vektor-vektor normal dari bidang-bidang ini, mis.

,
, kemudian

Dari persamaan umum garis lurus, kita mendapatkan bahwa
,
. Kemudian

Sejak titik
setiap titik garis, maka koordinatnya harus memenuhi persamaan garis, dan salah satunya dapat ditentukan, misalnya,
, kami menemukan dua koordinat lainnya dari sistem (11):

Dari sini,
.

Dengan demikian, persamaan kanonik dari garis yang diinginkan memiliki bentuk:

atau
.

Soal 74.

dan
.

Keputusan. Dari persamaan kanonik garis pertama, koordinat titik diketahui
milik garis, dan koordinat vektor arah
. Dari persamaan kanonik garis kedua, koordinat titik juga diketahui
dan koordinat vektor arah
.

Jarak antara garis sejajar sama dengan jarak titik
dari baris kedua. Jarak ini dihitung dengan rumus

Mari kita cari koordinat vektor
.

Hitung hasil kali vektor
:

Soal 75. Temukan titik titik simetris
relatif lurus

Keputusan. Kami menulis persamaan bidang yang tegak lurus terhadap garis yang diberikan dan melalui titik . Sebagai vektor normalnya kita dapat mengambil vektor pengarah sebagai garis lurus. Kemudian
. Karena itu,

Ayo cari titik
titik perpotongan garis yang diberikan dan bidang P. Untuk melakukan ini, kita menulis persamaan parametrik garis menggunakan persamaan (10), kita memperoleh

Karena itu,
.

Biarlah
titik simetris ke titik
tentang baris ini. Lalu intinya
titik tengah
. Untuk mencari koordinat titik kami menggunakan rumus untuk koordinat tengah segmen:

,
,
.

Jadi,
.

Soal 76. Tuliskan persamaan bidang yang melalui garis lurus
dan

a) melalui titik
;

b. tegak lurus bidang.

Keputusan. Mari kita tuliskan persamaan umum dari garis lurus ini. Untuk melakukan ini, pertimbangkan dua persamaan:

Ini berarti bahwa bidang yang diinginkan milik pensil bidang dengan generator dan persamaannya dapat ditulis dalam bentuk (8):

a) temukan
dan dari kondisi bahwa pesawat melewati titik
, oleh karena itu, koordinatnya harus memenuhi persamaan bidang. Substitusikan koordinat titik
ke dalam persamaan balok pesawat:

Nilai yang ditemukan
kita substitusikan ke persamaan (12). kita memperoleh persamaan bidang yang diinginkan:

b) temukan
dan dari kondisi bahwa bidang yang diinginkan tegak lurus terhadap bidang tersebut. Vektor normal suatu bidang tertentu
, vektor normal bidang yang diinginkan (lihat persamaan untuk bundel bidang (12).