Panjang segmen pada sumbu koordinat ditemukan dengan rumus:
Panjang segmen pada bidang koordinat dicari dengan rumus:
Untuk menemukan panjang segmen dalam sistem koordinat tiga dimensi, rumus berikut digunakan:
Koordinat tengah segmen (untuk sumbu koordinat hanya rumus pertama yang digunakan, untuk bidang koordinat - dua rumus pertama, untuk sistem koordinat tiga dimensi - ketiga rumus) dihitung dengan rumus:
Fungsi adalah korespondensi dari bentuk kamu= f(x) antar variabel, karena masing-masing mempertimbangkan nilai beberapa variabel x(argumen atau variabel independen) sesuai dengan nilai tertentu dari variabel lain, kamu(variabel dependen, terkadang nilai ini hanya disebut nilai fungsi). Perhatikan bahwa fungsi mengasumsikan bahwa satu nilai argumen X hanya ada satu nilai variabel terikat pada. Namun, nilai yang sama pada dapat diperoleh dengan berbagai X.
Lingkup fungsi adalah semua nilai dari variabel independen (argumen fungsi, biasanya X) yang fungsinya didefinisikan, mis. maknanya ada. Domain definisi ditunjukkan D(kamu). Pada umumnya, Anda sudah akrab dengan konsep ini. Cakupan suatu fungsi disebut sebagai domain nilai yang valid, atau ODZ, yang telah lama Anda temukan.
Rentang fungsi: adalah semua nilai yang mungkin dari variabel dependen dari fungsi ini. Dilambangkan E(pada).
Fungsi naik pada interval di mana nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar. Fungsi Penurunan pada interval di mana nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil.
Interval fungsi adalah interval variabel independen di mana variabel dependen mempertahankan tanda positif atau negatifnya.
fungsi nol adalah nilai-nilai argumen yang nilai fungsinya sama dengan nol. Pada titik-titik ini, grafik fungsi memotong sumbu absis (sumbu OX). Sangat sering, kebutuhan untuk menemukan nol dari suatu fungsi berarti kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan. Juga, seringkali kebutuhan untuk menemukan interval keteguhan berarti kebutuhan untuk menyelesaikan pertidaksamaan.
Fungsi kamu = f(x) disebut bahkan X
Ini berarti bahwa untuk setiap nilai argumen yang berlawanan, nilai fungsi genap adalah sama. Grafik fungsi genap selalu simetris terhadap sumbu y dari op-amp.
Fungsi kamu = f(x) disebut aneh, jika didefinisikan pada himpunan simetris dan untuk sembarang X dari domain definisi persamaan terpenuhi:
Ini berarti bahwa untuk setiap nilai argumen yang berlawanan, nilai fungsi ganjil juga berlawanan. Grafik fungsi ganjil selalu simetris terhadap titik asal.
Jumlah akar fungsi genap dan ganjil (titik potong sumbu absis OX) selalu sama dengan nol, karena untuk setiap akar positif X memiliki akar negatif X.
Penting untuk dicatat bahwa beberapa fungsi tidak harus genap atau ganjil. Ada banyak fungsi yang tidak genap maupun ganjil. Fungsi seperti ini disebut fungsi umum, dan tidak ada persamaan atau properti di atas yang berlaku untuk mereka.
Fungsi linear disebut fungsi yang dapat diberikan dengan rumus:
Grafik fungsi linier adalah garis lurus dan dalam kasus umum terlihat seperti ini (contoh diberikan untuk kasus ketika k> 0, dalam hal ini fungsi bertambah; untuk acara ini k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Grafik Fungsi Kuadrat (Parabola)
Grafik parabola diberikan oleh fungsi kuadrat:
Fungsi kuadrat, seperti fungsi lainnya, memotong sumbu OX di titik-titik akarnya: ( x satu ; 0) dan ( x 2; 0). Jika tidak ada akar, maka fungsi kuadrat tidak memotong sumbu OX, jika ada satu akar, maka di titik ini ( x 0; 0) fungsi kuadrat hanya menyentuh sumbu OX, tetapi tidak memotongnya. Fungsi kuadrat selalu berpotongan dengan sumbu OY pada suatu titik dengan koordinat: (0; c). Grafik fungsi kuadrat (parabola) mungkin terlihat seperti ini (gambar menunjukkan contoh yang jauh dari semua jenis parabola yang mungkin):
Di mana:
- jika koefisien sebuah> 0, dalam fungsi kamu = kapak 2 + bx + c, maka cabang parabola diarahkan ke atas;
- jika sebuah < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Koordinat titik parabola dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut. atasan X (p- pada gambar di atas) dari parabola (atau titik di mana trinomial persegi mencapai nilai maksimum atau minimumnya):
Atasan Y (q- pada gambar di atas) dari parabola atau maksimum jika cabang parabola diarahkan ke bawah ( sebuah < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (sebuah> 0), nilai trinomial kuadrat:
Grafik fungsi lainnya
fungsi daya
Berikut adalah beberapa contoh grafik fungsi daya:
Ketergantungan berbanding terbalik panggil fungsi yang diberikan oleh rumus:
Tergantung pada tanda nomor k Grafik berbanding terbalik dapat memiliki dua opsi mendasar:
asimtot adalah garis di mana garis grafik fungsi mendekati dekat tak terhingga, tetapi tidak berpotongan. Asimtot untuk grafik proporsionalitas terbalik yang ditunjukkan pada gambar di atas adalah sumbu koordinat, di mana grafik fungsi mendekati sangat dekat, tetapi tidak memotongnya.
Fungsi eksponensial dengan dasar sebuah panggil fungsi yang diberikan oleh rumus:
sebuah grafik fungsi eksponensial dapat memiliki dua opsi mendasar (kami juga akan memberikan contoh, lihat di bawah):
fungsi logaritma panggil fungsi yang diberikan oleh rumus:
Tergantung pada apakah jumlahnya lebih besar atau lebih kecil dari satu sebuah Grafik fungsi logaritmik dapat memiliki dua opsi mendasar:
Grafik Fungsi kamu = |x| sebagai berikut:
Grafik fungsi periodik (trigonometri)
Fungsi pada = f(x) disebut berkala, jika ada angka bukan nol seperti itu T, Apa f(x + T) = f(x), untuk siapa saja X di luar ruang lingkup fungsi f(x). Jika fungsi f(x) periodik dengan periode T, maka fungsi:
di mana: A, k, b adalah bilangan konstan, dan k tidak sama dengan nol, juga periodik dengan periode T 1 , yang ditentukan dengan rumus:
Sebagian besar contoh fungsi periodik adalah fungsi trigonometri. Berikut adalah grafik fungsi trigonometri utama. Gambar berikut menunjukkan bagian dari grafik fungsi: kamu= dosa x(seluruh grafik berlanjut ke kiri dan kanan tanpa batas), grafik fungsi kamu= dosa x ditelepon sinusoida:
Grafik Fungsi kamu= cos x ditelepon gelombang kosinus. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Karena grafik sinus, itu berlanjut tanpa batas di sepanjang sumbu OX ke kiri dan ke kanan:
Grafik Fungsi kamu=tg x ditelepon tangentoid. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Seperti grafik fungsi periodik lainnya, grafik ini berulang tanpa batas sepanjang sumbu OX ke kiri dan ke kanan.
Dan akhirnya, grafik fungsi kamu=ctg x ditelepon kotangentoid. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Seperti grafik fungsi periodik dan trigonometri lainnya, grafik ini berulang tanpa batas sepanjang sumbu OX ke kiri dan ke kanan.
Implementasi yang sukses, rajin dan bertanggung jawab dari ketiga poin ini akan memungkinkan Anda untuk menunjukkan hasil yang sangat baik pada CT, maksimal dari apa yang Anda mampu.
Menemukan kesalahan?
Jika Anda, seperti yang Anda lihat, menemukan kesalahan dalam materi pelatihan, silakan tulis melalui surat. Anda juga dapat menulis tentang kesalahan di jejaring sosial (). Dalam surat itu, tunjukkan mata pelajaran (fisika atau matematika), nama atau nomor topik atau tes, nomor tugas, atau tempat dalam teks (halaman) di mana, menurut Anda, ada kesalahan. Jelaskan juga apa dugaan kesalahan itu. Surat Anda tidak akan luput dari perhatian, kesalahannya akan diperbaiki, atau Anda akan dijelaskan mengapa itu bukan kesalahan.
Fungsi kuadrat adalah fungsi yang bentuknya:
y=a*(x^2)+b*x+c,
di mana a adalah koefisien pada derajat tertinggi dari x yang tidak diketahui,
b - koefisien pada x yang tidak diketahui,
dan c adalah anggota bebas.
Grafik fungsi kuadrat adalah kurva yang disebut parabola. Pandangan umum parabola ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Gbr.1 Tampilan umum parabola.
Ada beberapa cara berbeda untuk membuat grafik fungsi kuadrat. Kami akan mempertimbangkan yang utama dan paling umum dari mereka.
Algoritma untuk memplot grafik fungsi kuadrat y=a*(x^2)+b*x+c
1. Bangun sistem koordinat, tandai satu segmen dan beri label sumbu koordinat.
2. Tentukan arah cabang parabola (atas atau bawah).
Untuk melakukan ini, Anda perlu melihat tanda koefisien a. Jika plus - maka cabang diarahkan ke atas, jika minus - maka cabang diarahkan ke bawah.
3. Tentukan koordinat x dari puncak parabola.
Untuk melakukan ini, Anda perlu menggunakan rumus Tops = -b / 2 * a.
4. Tentukan koordinat di bagian atas parabola.
Untuk melakukannya, substitusikan nilai Atas yang ditemukan pada langkah sebelumnya dalam persamaan Atas = a * (x ^ 2) + b * x + c sebagai ganti x.
5. Letakkan titik yang dihasilkan pada grafik dan gambar sumbu simetri yang melaluinya, sejajar dengan sumbu koordinat Oy.
6. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu x.
Ini membutuhkan penyelesaian persamaan kuadrat a*(x^2)+b*x+c = 0 menggunakan salah satu metode yang diketahui. Jika persamaan tersebut tidak memiliki akar real, maka grafik fungsi tersebut tidak memotong sumbu x.
7. Tentukan koordinat titik potong grafik dengan sumbu Oy.
Untuk melakukannya, kita substitusikan nilai x = 0 ke dalam persamaan dan hitung nilai y. Kami menandai ini dan titik simetris padanya pada grafik.
8. Temukan koordinat titik sembarang A (x, y)
Untuk melakukan ini, kami memilih nilai arbitrer dari koordinat x, dan menggantinya ke dalam persamaan kami. Kami mendapatkan nilai y pada titik ini. Beri titik pada grafik. Dan juga tandai suatu titik pada grafik yang simetris dengan titik A (x,y).
9. Hubungkan titik-titik yang diperoleh pada grafik dengan garis halus dan lanjutkan grafik di luar titik ekstrem, ke ujung sumbu koordinat. Tanda tangani grafik pada keterangan, atau, jika memungkinkan, di sepanjang grafik itu sendiri.
Contoh pembuatan grafik
Sebagai contoh, mari kita plot fungsi kuadrat yang diberikan oleh persamaan y=x^2+4*x-1
1. Gambar sumbu koordinat, tanda tangani dan tandai satu segmen.
2. Nilai koefisien a=1, b=4, c= -1. Karena a \u003d 1, yang lebih besar dari nol, cabang-cabang parabola diarahkan ke atas.
3. Tentukan koordinat X puncak parabola Puncak = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Tentukan koordinat Di bagian atas parabola
Puncak = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Tandai titik tersebut dan gambarlah sumbu simetrinya.
6. Kami menemukan titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu Ox. Kami memecahkan persamaan kuadrat x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Kami menandai nilai yang diperoleh pada grafik.
7. Temukan titik potong grafik dengan sumbu Oy.
x=0; y=-1
8. Pilih sembarang titik B. Biarkan memiliki koordinat x=1.
Maka y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Kami menghubungkan poin yang diterima dan menandatangani grafik.
Tugas pada properti dan grafik fungsi kuadrat, seperti yang ditunjukkan oleh praktik, menyebabkan kesulitan serius. Ini agak aneh, karena fungsi kuadrat dilewatkan di kelas 8, dan kemudian seluruh kuartal pertama kelas 9 "disiksa" oleh sifat parabola dan grafiknya dibuat untuk berbagai parameter.
Hal ini disebabkan oleh kenyataan bahwa memaksa siswa untuk membangun parabola, mereka praktis tidak mencurahkan waktu untuk "membaca" grafik, yaitu, mereka tidak berlatih memahami informasi yang diterima dari gambar. Rupanya, diasumsikan bahwa, setelah membangun dua lusin grafik, siswa yang cerdas sendiri akan menemukan dan merumuskan hubungan antara koefisien dalam rumus dan tampilan grafik. Dalam praktiknya, ini tidak berhasil. Untuk generalisasi seperti itu, diperlukan pengalaman serius dalam penelitian mini matematika, yang tentu saja tidak dimiliki oleh sebagian besar siswa kelas sembilan. Sementara itu, di GIA mereka mengusulkan untuk menentukan tanda-tanda koefisien secara tepat sesuai jadwal.
Kami tidak akan menuntut hal yang mustahil dari anak sekolah dan hanya menawarkan salah satu algoritma untuk memecahkan masalah seperti itu.
Jadi, fungsi dari bentuk y=ax2+bx+c disebut kuadrat, grafiknya adalah parabola. Seperti namanya, komponen utamanya adalah kapak 2. Yaitu sebuah tidak boleh sama dengan nol, koefisien yang tersisa ( b dan dengan) bisa sama dengan nol.
Mari kita lihat bagaimana tanda-tanda koefisiennya mempengaruhi penampilan parabola.
Ketergantungan paling sederhana untuk koefisien sebuah. Sebagian besar anak sekolah dengan percaya diri menjawab: "jika sebuah> 0, maka cabang-cabang parabola diarahkan ke atas, dan jika sebuah < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой sebuah > 0.
y = 0,5x2 - 3x + 1
Pada kasus ini sebuah = 0,5
Dan sekarang untuk sebuah < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
Pada kasus ini sebuah = - 0,5
Pengaruh koefisien dengan juga cukup mudah untuk diikuti. Bayangkan kita ingin mencari nilai fungsi di suatu titik X= 0. Substitusikan nol ke dalam rumus:
kamu = sebuah 0 2 + b 0 + c = c. Ternyata itu y = c. Yaitu dengan adalah ordinat titik potong parabola dengan sumbu y. Biasanya, titik ini mudah ditemukan di grafik. Dan tentukan apakah terletak di atas nol atau di bawah. Yaitu dengan> 0 atau dengan < 0.
dengan > 0:
y=x2+4x+3
dengan < 0
y = x 2 + 4x - 3
Dengan demikian, jika dengan= 0, maka parabola harus melalui titik asal:
y=x2+4x
Lebih sulit dengan parameter b. Titik di mana kita akan menemukannya tidak hanya bergantung pada b tapi juga dari sebuah. Ini adalah puncak parabola. Absisnya (koordinat sumbu X) ditemukan dengan rumus x dalam \u003d - b / (2a). Dengan demikian, b = - 2x dalam. Artinya, kami bertindak sebagai berikut: pada grafik kami menemukan bagian atas parabola, tentukan tanda absisnya, yaitu, kami melihat ke kanan nol ( x masuk> 0) atau ke kiri ( x masuk < 0) она лежит.
Namun, ini tidak semua. Kita juga harus memperhatikan tanda koefisien sebuah. Artinya, untuk melihat ke mana arah cabang parabola itu. Dan hanya setelah itu, sesuai dengan rumus b = - 2x dalam tentukan tanda b.
Pertimbangkan sebuah contoh:
Cabang-cabang mengarah ke atas sebuah> 0, parabola memotong sumbu pada di bawah nol berarti dengan < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x masuk> 0. Jadi b = - 2x dalam = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: sebuah > 0, b < 0, dengan < 0.
Fungsi dari bentuk , dimana disebut fungsi kuadrat.
Grafik fungsi kuadrat parabola.
Pertimbangkan kasus:
KASUS I, PARABOLA KLASIK
yaitu , ,
Untuk membangun, isi tabel dengan mensubstitusi nilai x ke dalam rumus:
Tandai poin (0;0); (1;1); (-1;1) dll. pada bidang koordinat (semakin kecil langkah yang kita ambil nilai x (dalam hal ini langkah 1), dan semakin banyak nilai x yang kita ambil, semakin halus kurvanya), kita mendapatkan parabola:
Sangat mudah untuk melihat bahwa jika kita mengambil kasus , , , yaitu, maka kita mendapatkan parabola simetris terhadap sumbu (ox). Sangat mudah untuk memverifikasi ini dengan mengisi tabel serupa:
II KASUS, "a" BERBEDA DARI SATU
Apa yang akan terjadi jika kita mengambil , , ? Bagaimana perilaku parabola akan berubah? Dengan title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Gambar pertama (lihat di atas) dengan jelas menunjukkan bahwa titik-titik dari tabel untuk parabola (1;1), (-1;1) diubah menjadi titik (1;4), (1;-4), yaitu, dengan nilai yang sama, ordinat setiap titik dikalikan 4. Ini akan terjadi pada semua titik kunci dari tabel asli. Kami berpendapat serupa dalam kasus gambar 2 dan 3.
Dan ketika parabola "menjadi lebih lebar" parabola:
Mari kita rekap:
1)Tanda koefisien bertanggung jawab atas arah cabang. Dengan title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Nilai mutlak koefisien (modulus) bertanggung jawab atas "ekspansi", "kompresi" parabola. Semakin besar , semakin sempit parabola, semakin kecil |a|, semakin lebar parabola.
KASUS III, "C" MUNCUL
Sekarang mari kita mainkan (yaitu, kita pertimbangkan kasus ketika ), kita akan mempertimbangkan parabola dari bentuk . Mudah ditebak (Anda selalu dapat merujuk ke tabel) bahwa parabola akan bergerak naik atau turun sepanjang sumbu, tergantung pada tandanya:
KASUS IV, "b" MUNCUL
Kapan parabola akan "merobek" dari sumbu dan akhirnya akan "berjalan" di sepanjang seluruh bidang koordinat? Ketika itu berhenti menjadi sama.
Di sini, untuk membangun parabola, kita perlu rumus untuk menghitung simpul: , .
Jadi pada titik ini (seperti pada titik (0; 0) dari sistem koordinat baru) kita akan membangun sebuah parabola, yang sudah berada dalam jangkauan kita. Jika kita berurusan dengan kasus , maka dari atas kita sisihkan satu unit segmen ke kanan, satu ke atas, - titik yang dihasilkan adalah milik kita (sama seperti langkah ke kiri, langkah ke atas adalah titik kita); jika kita berhadapan dengan, misalnya, maka dari atas kita sisihkan satu ruas ke kanan, dua ke atas, dst.
Misalnya, titik sudut parabola:
Sekarang hal utama yang harus dipahami adalah bahwa pada titik ini kita akan membangun parabola sesuai dengan template parabola, karena dalam kasus kita.
Saat membuat parabola setelah mencari koordinat titik tersebut sangatLebih mudah untuk mempertimbangkan poin-poin berikut:
1) parabola harus melewati titik . Memang, mengganti x=0 ke dalam rumus, kita mendapatkan . Artinya, ordinat titik potong parabola dengan sumbu (oy), ini. Dalam contoh kita (di atas), parabola memotong sumbu y di , karena .
2) sumbu simetri parabola adalah garis lurus, maka semua titik parabola akan simetris terhadapnya. Dalam contoh kami, kami segera mengambil titik (0; -2) dan membangun parabola simetris terhadap sumbu simetri, kami mendapatkan titik (4; -2), di mana parabola akan lewat.
3) Dengan menyamakan , kita menemukan titik potong parabola dengan sumbu (ox). Untuk melakukan ini, kami memecahkan persamaan. Tergantung pada diskriminannya, kita akan mendapatkan satu (, ), dua ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Dalam contoh sebelumnya, kita memiliki akar dari diskriminan - bukan bilangan bulat, ketika membangunnya, tidak masuk akal bagi kita untuk menemukan akarnya, tetapi kita dapat dengan jelas melihat bahwa kita akan memiliki dua titik perpotongan dengan (oh) axis (karena judul = "(!LANG: Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Jadi mari kita berolahraga
Algoritma untuk membangun parabola jika diberikan dalam bentuk
1) tentukan arah cabang (a>0 - ke atas, a<0 – вниз)
2) cari koordinat titik sudut parabola dengan rumus , .
3) kami menemukan titik perpotongan parabola dengan sumbu (oy) dengan istilah bebas, kami membangun titik simetris dengan yang diberikan sehubungan dengan sumbu simetri parabola (perlu dicatat bahwa itu terjadi tidak menguntungkan untuk menandai titik ini, misalnya, karena nilainya besar ... kita lewati titik ini ...)
4) Pada titik yang ditemukan - bagian atas parabola (seperti pada titik (0; 0) dari sistem koordinat baru), kami membangun sebuah parabola. If title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Kami menemukan titik perpotongan parabola dengan sumbu (oy) (jika mereka sendiri belum "muncul"), memecahkan persamaan
Contoh 1
Contoh 2
Catatan 1. Jika parabola awalnya diberikan kepada kita dalam bentuk , di mana ada beberapa angka (misalnya, ), maka akan lebih mudah untuk membangunnya, karena kita telah diberikan koordinat titik . Mengapa?
Mari kita ambil trinomial persegi dan pilih persegi penuh di dalamnya: Lihat, ini dia , . Kami sebelumnya menyebut bagian atas parabola, yaitu, sekarang,.
Sebagai contoh, . Kami menandai bagian atas parabola pada bidang, kami memahami bahwa cabang-cabang diarahkan ke bawah, parabola diperluas (relatif). Artinya, kami melakukan langkah 1; 3; 4; 5 dari algoritma untuk membangun parabola (lihat di atas).
Catatan 2. Jika parabola diberikan dalam bentuk yang mirip dengan ini (yaitu, direpresentasikan sebagai produk dari dua faktor linier), maka kita segera melihat titik potong parabola dengan sumbu (x). Dalam hal ini - (0;0) dan (4;0). Selebihnya, kami bertindak sesuai dengan algoritme, membuka tanda kurung.
