Petunjuk
menghancurkan lingkaran menjadi empat bagian yang sama sangat sederhana, itu adalah tugas yang sepele. Untuk melakukan ini, Anda hanya perlu menggambar dua garis tengah yang saling tegak lurus. Titik-titik pada perpotongan garis-garis tersebut dengan lingkaran yu dan dia menjadi empat bagian. Lebih umum untuk membagi lingkaran bukan empat, tetapi delapan bagian yang sama. Untuk melakukan ini, Anda perlu membagi busur, yang merupakan seperempat lingkaran, menjadi dua bagian yang sama. Kemudian ambil kompas dan sebarkan ke jarak yang ditunjukkan pada gambar berdasarkan warna. Sekarang tinggal menunda jarak ini dari masing-masing dari empat poin yang diperoleh sebelumnya.
Untuk memecahkan lingkaran menjadi tiga bagian yang sama, rentangkan kaki ke jari-jari lingkaran. Setelah itu, pasang jarum kompas di setiap titik perpotongan garis aksial dan lingkaran. Gambar garis tipis untuk membantu lingkaran. Tiga bagian yang sama dengan titik persimpangan dan lingkaran bantu, serta titik yang terletak pada garis, atau lebih tepatnya di ujung yang berlawanan.
Dan jika Anda perlu berbagi lingkaran menjadi enam bagian yang sama, maka Anda perlu melakukan hampir semuanya sama. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa ini harus diulang untuk garis tengah lainnya. Dalam hal ini, Anda mendapatkan enam poin pada lingkaran sekaligus, seperti yang ditunjukkan pada gambar.
Seringkali perlu untuk berpisah lingkaran menjadi lima bagian yang sama. Ini juga tidak sulit untuk dilakukan. Pertama, Anda perlu membagi jari-jari pada garis tengah menjadi dua bagian yang sama. Pada titik inilah jarum kompas dibutuhkan. Stylus harus ditarik kembali ke titik perpotongan lingkaran dan garis tengah yang tegak lurus terhadapnya. Anda dapat dengan jelas melihat ini pada gambar. Di atasnya, jarak ini ditunjukkan dengan warna merah. Letakkan jarak ini pada lingkaran. Anda harus mulai dari garis tengah, dan kemudian mentransfer jarum ke titik persimpangan baru yang dihasilkan. untuk memecahkan lingkaran untuk sepuluh bagian, ulangi semua langkah di atas di cermin.
Terkadang, untuk pembuatan stensil, templat, gambar, pola, kerajinan, perlu dipisahkan untuk 6 bagian.
Misalnya, kita perlu membuat template untuk bunga berbentuk bintang berujung enam.
Bagi yang lupa geometri, saya ingatkan bahwa ada dua cara membagi lingkaran menjadi 6 bagian:
- Melalui busur derajat.
- Melalui kompas.
1. Cara membagi lingkaran menjadi 6 bagian menggunakan busur derajat
Membagi lingkaran dengan busur derajat sangat mudah.
Kami menggambar garis yang menghubungkan pusat dan titik mana pun (misalnya, titik 1) pada lingkaran. Dari garis ini, menggunakan busur derajat, kami menyisihkan sudut 60, 120, 180 derajat. Kami menempatkan titik pada lingkaran (misalnya, poin 2, 3, 4) Kami membuka busur derajat dan membagi bagian lain dari lingkaran dengan cara yang sama.
2. Cara membagi lingkaran menjadi 6 bagian menggunakan kompas
Kebetulan tidak ada busur derajat di tangan. Kemudian lingkaran dapat dibagi menjadi 6 bagian yang sama dengan menggunakan kompas.
Kami menggambar lingkaran, misalnya, dengan jari-jari 5 cm (lingkaran merah). Tanpa mengubah jari-jari, kami memindahkan kaki kompas ke lingkaran (titik 1) dan menggambar lingkaran lain. Kami mendapatkan dua titik potong lingkaran hitam dan merah 6 dan 2.
Kami memindahkan kaki kompas ke titik 2 dan menggambar lingkaran lagi. Kami mendapatkan poin 3.
Gerakkan kaki kompas ke titik 3. Gambarlah sebuah lingkaran lagi.
Jadi, kita terus membagi lingkaran sampai kita membaginya menjadi 6 bagian yang sama.
Membagi lingkaran menjadi bagian yang sama, membangun poligon beraturan
Membagi lingkaran menjadi 4 dan 8 bagian sama besar
Ujung diameter yang saling tegak lurusACdanBD(Gbr. 1) bagi lingkaran yang berpusat di titikHAImenjadi 4 bagian yang sama. Dengan menghubungkan ujung diameter ini, Anda bisa mendapatkan persegiAmatahariD.
Jika sudutSOAantara diameter yang saling tegak lurusAEdanDenganG(Gbr. 2) bagi menjadi dua dan gambar diameter yang saling tegak lurusD.H.danbf, maka ujung-ujungnya akan membagi lingkaran yang berpusat di titikHAImenjadi 8 bagian yang sama. Dengan menghubungkan ujung diameter ini, Anda bisa mendapatkan segi delapan biasaABCD EFGH.
Beras. 1 Gambar. 2
Pembagian lingkaran menjadi 3, 6 dan 12 bagian
Untuk membagi lingkaran menjadi 6 bagian yang sama, gunakan persamaan sisi segi enam biasa dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi. Diberikan lingkaran yang berpusat di satu titikHAI(Gbr. 3) dan radiusR, kemudian dari ujung salah satu diameternya (titikTETAPIdanD), seperti dari pusat, gambar busur lingkaran dengan jari-jariR. Titik potong busur ini dengan lingkaran yang diberikan akan membaginya menjadi 6 bagian yang sama. Hubungkan titik-titik yang ditemukan secara konsisten, dapatkan segi enam yang benarABCDEF.
Jika lingkaran berada di tengah dengan titikHAI(Gbr. 4) harus dibagi menjadi 3 bagian yang sama, kemudian dengan jari-jari yang sama dengan jari-jari lingkaran ini, busur harus ditarik hanya dari satu ujung diameter, misalnya, sebuah titikD. poinPADAdanDenganperpotongan busur ini dengan lingkaran tertentu, serta titikTETAPIbagi yang terakhir menjadi 3 bagian yang sama. Dengan menghubungkan titik-titikTETAPI, PADAdanDengan, Anda bisa mendapatkan segitiga sama sisiABC.
Beras. 3 Gambar. 4
Untuk membagi lingkaran menjadi 12 bagian, pembagian lingkaran menjadi 6 bagian diulang dua kali (Gbr. 5), menggunakan ujung diameter yang saling tegak lurus sebagai pusat: titikTETAPIdanG, DdanJ. Titik potong busur yang ditarik dengan lingkaran tertentu akan membaginya menjadi 12 bagian. Dengan menghubungkan titik-titik yang dibangun, Anda bisa mendapatkan dodecagon yang benar.
Beras. 5
Pembagian lingkaran menjadi 5 bagian
HAI(Gbr. 6) menjadi 5 bagian, lanjutkan sebagai berikut. Salah satu jari-jari lingkaran, misalnyaom, dibagi dua dengan metode yang dijelaskan sebelumnya. Dari tengah segmenomdotNradiusR1 , sama dengan segmenTETAPIN, menggambar busur lingkaran dan menandai titikRperpotongan busur ini dengan diameter yang memiliki jari-jariom. Segmen garisARsama dengan sisi segi lima biasa tertulis dalam lingkaran. Jadi dari akhirTETAPIdiameter tegak lurusom, radiusR2 , sama dengan segmenAR, menggambar busur lingkaran. poinPADAdanEpersimpangan busur ini dengan lingkaran yang diberikan memungkinkan untuk menandai dua simpul dari segi lima.
Dua atasan lagiDengandanD) adalah titik potong busur lingkaran dengan jari-jariR2 berpusat pada titikPADAdanEdengan lingkaran yang diberikan berpusat pada titik-titikHAI. Simpul dari segi lima biasaABCDEbagilah lingkaran yang diberikan menjadi 5 bagian yang sama.
Beras. 6
Pembagian lingkaran menjadi 7 bagian
Untuk membagi lingkaran yang berpusat di satu titikHAI(Gbr. 6) menjadi 7 bagian, perlu menggambar busur bantu dari titik 1 dengan jari-jariR, sama dengan jari-jari lingkaran yang diberikan, yang memotong lingkaran di titikM. Dari satu titikNSaya menurunkan garis tegak lurus ke garis tengah horizontal. Dari satu titikTETAPIdengan radius sama dengan radiusM N, buat 7 serif di sekitar lingkaran dan dapatkan tujuh poin yang diinginkan, sambungkan yang mendapatkan segi enam biasaABCDEFG.
Beras. 7
Membagi lingkaran menjadi jumlah yang berubah-ubah dari bagian yang sama
Jika tidak ada opsi yang dipertimbangkan sebelumnya yang memenuhi kondisi tugas, maka teknik digunakan yang memungkinkan Anda untuk membagi lingkaran menjadi sejumlah bagian yang sama dan membangun poligon biasa yang tertulis di dalamnya dengan jumlah sisi yang berubah-ubah.
Pertimbangkan konstruksi seperti itu dengan menggunakan contoh membagi lingkaran yang berpusat pada suatu titikHAI(Gbr. 8a) menjadi 7 bagian yang sama. Pertama, Anda perlu menggambar dua diameter yang saling tegak lurus, salah satunya, misalnya, melewati sebuah titikTETAPI, harus dibagi menjadi 7 bagian yang sama, dibatasi oleh poin 1 ... 7. Dari satu titikTETAPI, seperti dari pusat, radiusRsama dengan diameter lingkaran yang diberikan, perlu untuk menggambar busur, persimpangan yang dengan kelanjutan diameter kedua akan menentukan titik-titikR1 danR2 . Kemudian melalui titik-titikR1 danR2 (Gbr. 8b), dan titik genap yang diperoleh dengan membagi diameterA7(poin 2. 4 dan 6), tarik garis lurus. poinPADA, Dengan, DdanE, F, Gperpotongan garis-garis ini dengan lingkaran dan titik tertentuTETAPIbagikan lingkaran dengan pusatHAImenjadi 7 bagian yang sama. Menghubungkan titik-titik yang dibangun secara konsisten, Anda dapat menggambar segi enam biasa yang tertulis dalam lingkaran.
Beras. delapan
Membagi lingkaran menjadi empat bagian yang sama dan membuat segi empat bertulisan beraturan(Gbr. 6).
Dua garis tengah yang saling tegak lurus membagi lingkaran menjadi empat bagian yang sama. Dengan menghubungkan titik-titik perpotongan garis-garis ini dengan lingkaran dengan garis lurus, diperoleh segi empat bertulisan beraturan.
Membagi lingkaran menjadi delapan bagian yang sama dan membangun segi delapan bertulisan biasa(Gbr. 7).
Pembagian lingkaran menjadi delapan bagian yang sama dilakukan dengan menggunakan kompas sebagai berikut.
Dari titik 1 dan 3 (titik perpotongan garis tengah dengan lingkaran) dengan radius sembarang R, busur ditarik ke persimpangan bersama, dengan jari-jari yang sama dari titik 5, dibuat takik pada busur yang ditarik dari titik 3 .
Garis-garis lurus digambar melalui titik potong serif dan pusat lingkaran sampai berpotongan dengan lingkaran di titik 2, 4, 6, 8.
Jika delapan titik yang diperoleh dihubungkan secara seri dengan garis lurus, maka akan diperoleh segi delapan bertulisan beraturan.
Membagi lingkaran menjadi tiga bagian yang sama dan membuat segitiga bertulisan biasa(Gbr. 8).
Pilihan 1.
Saat membagi lingkaran dengan kompas menjadi tiga bagian yang sama dari titik mana pun pada lingkaran, misalnya, titik A dari perpotongan garis pusat dengan lingkaran, gambar busur dengan jari-jari R sama dengan jari-jari lingkaran, dapatkan titik 2 dan 3. Titik pembagian ketiga (titik 1) akan terletak di ujung yang berlawanan dari diameter , melewati titik A. dengan menghubungkan titik 1, 2 dan 3 secara berurutan, diperoleh segitiga bertulisan beraturan.
Pilihan 2.
Saat membangun segitiga bertulis biasa, jika salah satu simpulnya diberikan, misalnya, titik 1, ditemukan titik A. Untuk melakukan ini, sebuah diameter ditarik melalui titik tertentu (Gbr. 8). Titik A akan berada di ujung yang berlawanan dari diameter ini. Kemudian ditarik busur dengan jari-jari R sama dengan jari-jari lingkaran yang diberikan, diperoleh titik 2 dan 3.
Membagi lingkaran menjadi enam bagian yang sama dan membuat segi enam bertulisan biasa(Gbr. 9).
Saat membagi lingkaran menjadi enam bagian yang sama dengan menggunakan kompas dari dua ujung dengan diameter yang sama dengan jari-jari yang sama dengan jari-jari lingkaran yang diberikan, busur ditarik hingga berpotongan dengan lingkaran di titik 2, 6 dan 3, 5. Menghubungkan poin yang diperoleh berturut-turut, segi enam bertulis biasa diperoleh.
Membagi lingkaran menjadi dua belas bagian yang sama dan membuat dodecagon bertulisan biasa(Gbr. 10).
Saat membagi lingkaran dengan kompas dari empat ujung dua diameter lingkaran yang saling tegak lurus, sebuah busur ditarik dengan jari-jari yang sama dengan jari-jari lingkaran yang diberikan, hingga berpotongan dengan lingkaran (Gbr. 10). Dengan menghubungkan titik-titik persimpangan yang diperoleh secara berurutan, sebuah dodecagon bertulisan biasa diperoleh.
Membagi lingkaran menjadi lima bagian yang sama dan membuat segilima bertulisan biasa ( Gbr.11).
Saat membagi lingkaran dengan kompas, setengah dari setiap diameter (jari-jari) dibagi menjadi dua, diperoleh titik A. Dari titik A, seperti dari pusat, busur ditarik dengan jari-jari yang sama dengan jarak dari titik A ke titik 1, sampai berpotongan dengan paruh kedua diameter ini di titik B. Ruas 1B sama dengan tali busur yang menahan busur, yang panjangnya sama dengan 1/5 kelilingnya. Membuat serif pada lingkaran dengan jari-jari R1 sama dengan segmen 1B, lingkaran dibagi menjadi lima bagian yang sama. Titik awal A dipilih tergantung pada lokasi pentagon.
Titik 2 dan 5 dibangun dari titik 1, kemudian titik 3 dibangun dari titik 2, dan titik 4 dibangun dari titik 5. Jarak titik 3 ke titik 4 diperiksa dengan kompas; jika jarak antara titik 3 dan 4 sama dengan ruas 1B, maka konstruksi dilakukan dengan tepat.
Tidak mungkin melakukan serif secara berurutan, dalam satu arah, karena kesalahan pengukuran menumpuk dan sisi terakhir dari segi lima ternyata miring. Menghubungkan titik-titik yang ditemukan secara konsisten, diperoleh pentagon bertulisan biasa.
Membagi lingkaran menjadi sepuluh bagian yang sama dan membuat decagon bertulisan biasa(Gbr. 12).
Pembagian lingkaran menjadi sepuluh bagian yang sama dilakukan dengan cara yang sama dengan pembagian lingkaran menjadi lima bagian yang sama (Gbr. 11), tetapi pertama-tama lingkaran dibagi menjadi lima bagian yang sama, mulai dari titik 1, dan kemudian dari titik 6, terletak di ujung yang berlawanan dari diameter. Dengan menghubungkan semua titik secara seri, decagon bertulisan biasa diperoleh.
Membagi lingkaran menjadi tujuh bagian yang sama dan membuat segi enam bertulisan biasa(Gbr. 13).
Dari sembarang titik lingkaran, misalnya titik A, sebuah busur digambar dengan jari-jari lingkaran tertentu hingga berpotongan dengan lingkaran di titik B dan D suatu garis lurus.
Setengah dari segmen yang dihasilkan (dalam hal ini, segmen BC) akan sama dengan tali busur yang menutupi busur, yaitu 1/7 dari keliling. Dengan jari-jari yang sama dengan segmen BC, serif dibuat pada lingkaran dalam urutan yang ditunjukkan saat membuat pentagon biasa. Dengan menghubungkan semua titik secara seri, segi enam bertulisan biasa diperoleh.
Membagi lingkaran menjadi empat belas bagian yang sama dan membuat empat belas sudut bertulisan biasa (Gbr. 14).
Pembagian lingkaran menjadi empat belas bagian yang sama dilakukan dengan cara yang sama dengan pembagian lingkaran menjadi tujuh bagian yang sama (Gbr. 13), tetapi pertama-tama lingkaran dibagi menjadi tujuh bagian yang sama, mulai dari titik 1, dan kemudian dari titik 8, terletak di ujung yang berlawanan dari diameter. Dengan menghubungkan semua titik secara seri, mereka mendapatkan tetragon bertulisan biasa.
Dengan bantuan kompas dan penggaris, dimungkinkan untuk membagi lingkaran menjadi lebih dari beberapa bagian. Matematikawan telah membuktikan bahwa adalah mungkin untuk membagi menjadi 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, ..., 257, ... bagian, tetapi tidak menjadi 7, 9, 11, 13, 14, ... bagian .
Sayangnya, tidak ada cara tunggal untuk membagi. Mari kita lihat yang paling penting.
1) Pembagian lingkaran menjadi 6, 3, 12, 24, …, 3×2 k (k=0,1,2,3,…) sama besar.
Dimulai dengan membagi lingkaran menjadi 6 bagian. Untuk melakukan ini, dengan solusi kompas yang sama dengan yang digunakan untuk menggambar lingkaran, dari titik mana pun pada lingkaran, seperti dari pusat, perlu untuk menggambar lingkaran. Kemudian ulangi prosedurnya, dengan mengambil titik perpotongan lingkaran awal dan lingkaran baru sebagai pusatnya.
Untuk membagi lingkaran menjadi 3 bagian, Anda harus membaginya menjadi 6 bagian dan mengambil titik melalui satu (Gbr. 5a). Untuk membagi lingkaran menjadi 12 bagian, Anda harus membaginya menjadi 6 bagian dan membagi setiap busur menjadi dua, kemudian proses membagi busur menjadi dua dapat dilanjutkan tanpa batas.
Panjang tegak lurus yang dijatuhkan dari pusat lingkaran ke sisi segi enam adalah perkiraan yang baik untuk panjang sisi segi enam yang tertulis dalam lingkaran (ditunjukkan pada Gambar 5a dengan menetas). Panjang tegak lurus 0.866R, panjang sisi segi enam ≈0.868R – akurasi 2%.
2) Pembagian lingkaran menjadi 2, 4, 8, 16,…, 2 k (k=1,2,3,…) sama besar.
Anda dapat membagi lingkaran menjadi 2 bagian menggunakan penggaris dengan menggambar garis lurus melalui pusat lingkaran. Tetapi dimungkinkan untuk menunda jari-jari lingkaran dari titik mana pun dari lingkaran 3 kali. Titik awal dan titik akhir membagi dua lingkaran (diameter dapat ditarik melalui mereka - Gambar 5a). Untuk membagi lingkaran menjadi 4 bagian, busur yang dihasilkan harus dibagi menjadi dua. Eksekusi yang konsisten dari pembagian busur yang dihasilkan menjadi dua memastikan pembagian lingkaran menjadi 8, 16, dll. bagian.
3) Pembagian lingkaran menjadi 5 bagian.
Metode konstruksi yang diadopsi dalam menggambar menggunakan rasio antara sisi decagon biasa ( 10) dan segi lima biasa ( sebuah 5)- a 5 2 = R 2 + a 10 2 . Konstruksi dilakukan sebagai berikut. Mari kita menggambar 2 garis tegak lurus melalui pusat lingkaran O. A dan B adalah titik perpotongannya dengan lingkaran. Dari titik A, seperti dari pusat, kami menggambar lingkaran dengan jari-jari yang sama (kami menemukan bagian tengah segmen AO - titik C). Dari tengah ruas AO titik C, kita gambar lingkaran lain yang berjari-jari CB. Segmen BE sama dengan sisi segi lima, OE sama dengan segi empat (Gbr. 5b).
Anda dapat membagi lingkaran menjadi 5 dan 10 bagian dengan cara yang ditunjukkan pada Gambar 5c. Segmen BC adalah sisi segi lima, AC adalah sisi segi empat. Tentang sifat luar biasa dari segi lima dan dekagon dan mengapa metode konstruksi yang ditunjukkan pada Gambar 5c benar, kami akan menceritakannya di bab berikutnya.
Madrasah Kukeldash (abad XVI, Tashkent)
Gambar 5d menunjukkan penerimaan solusi geometrik perkiraan untuk masalah membagi lingkaran menjadi sejumlah bagian. Mari, misalnya, diperlukan untuk membagi lingkaran yang diberikan menjadi 7 bagian yang sama. Kami membangun segitiga sama sisi ABC pada diameter lingkaran AB dan membagi diameter AB dengan titik D dalam kaitannya dengan AD:AB=2:7 (umumnya 2:n). Untuk melakukan ini, Anda perlu menggambar garis bantu, menyisihkan n + 2 segmen identik di atasnya, menghubungkan titik ekstrem dengan titik B dan menggambar garis sejajar dengan garis BF melalui titik kedua. Gambarlah garis DC ke perpotongan dengan lingkaran. Busur AE akan menjadi bagian ke-7 dari lingkaran (dalam kasus umum, ke-n). Metode ini untuk n<11 дает погрешность не более 1%.
Algoritma untuk membagi lingkaran menjadi bagian yang sama dapat digunakan, misalnya, untuk membangun titik referensi untuk spiral - spiral Archimedes, dinamai ilmuwan besar Yunani kuno Archimedes (abad III SM), yang pertama kali mempelajari garis ini, dan spiral logaritmik .
