Proporsionalitas adalah hubungan antara dua kuantitas, di mana perubahan salah satu dari mereka memerlukan perubahan yang lain dengan jumlah yang sama.

Proporsionalitas adalah langsung dan terbalik. Dalam pelajaran ini, kita akan melihat masing-masing dari mereka.

Isi pelajaran

Proporsionalitas langsung

Misalkan sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 50 km/jam. Kita ingat bahwa kecepatan adalah jarak yang ditempuh per satuan waktu (1 jam, 1 menit, atau 1 detik). Dalam contoh kita, mobil bergerak dengan kecepatan 50 km / jam, yaitu, dalam satu jam akan menempuh jarak yang sama dengan lima puluh kilometer.

Mari kita plot jarak yang ditempuh mobil dalam 1 jam.

Biarkan mobil melaju selama satu jam lagi dengan kecepatan yang sama yaitu lima puluh kilometer per jam. Maka ternyata mobil tersebut akan menempuh jarak 100 km

Seperti dapat dilihat dari contoh, penggandaan waktu menyebabkan peningkatan jarak yang ditempuh dengan jumlah yang sama, yaitu dua kali.

Besaran seperti waktu dan jarak dikatakan berbanding lurus. Hubungan antara besaran-besaran tersebut disebut proporsionalitas langsung.

Proporsionalitas langsung adalah hubungan antara dua kuantitas, di mana peningkatan salah satu dari mereka memerlukan peningkatan yang lain dengan jumlah yang sama.

dan sebaliknya, jika satu nilai berkurang beberapa kali, maka yang lain berkurang dengan jumlah yang sama.

Mari kita asumsikan bahwa pada awalnya direncanakan untuk mengendarai mobil 100 km dalam 2 jam, tetapi setelah berkendara sejauh 50 km, pengemudi memutuskan untuk istirahat. Kemudian ternyata dengan mengurangi jarak setengahnya, waktu akan berkurang dengan jumlah yang sama. Dengan kata lain, penurunan jarak yang ditempuh akan menyebabkan penurunan waktu dengan faktor yang sama.

Ciri menarik dari besaran yang berbanding lurus adalah rasionya selalu konstan. Artinya, ketika mengubah nilai besaran yang berbanding lurus, rasionya tetap tidak berubah.

Dalam contoh yang dipertimbangkan, jarak awalnya sama dengan 50 km, dan waktunya adalah satu jam. Perbandingan jarak dengan waktu adalah bilangan 50.

Tapi kami telah meningkatkan waktu gerakan sebanyak 2 kali, sehingga sama dengan dua jam. Akibatnya, jarak yang ditempuh bertambah dengan jumlah yang sama, yaitu menjadi sama dengan 100 km. Rasio seratus kilometer dengan dua jam lagi-lagi angka 50

Angka 50 disebut koefisien proporsionalitas langsung. Ini menunjukkan berapa banyak jarak yang ada per jam gerakan. PADA kasus ini koefisien memainkan peran kecepatan gerakan, karena kecepatan adalah rasio jarak yang ditempuh terhadap waktu.

Proporsi dapat dibuat dari besaran yang berbanding lurus. Misalnya, rasio dan membuat proporsi:

Lima puluh kilometer berhubungan dengan satu jam seperti seratus kilometer berhubungan dengan dua jam.

Contoh 2. Biaya dan kuantitas barang yang dibeli berbanding lurus. Jika 1 kg permen berharga 30 rubel, maka 2 kg permen yang sama berharga 60 rubel, 3 kg - 90 rubel. Dengan kenaikan biaya barang yang dibeli, kuantitasnya meningkat dengan jumlah yang sama.

Karena nilai suatu komoditi dan kuantitasnya berbanding lurus, rasionya selalu konstan.

Mari kita tuliskan perbandingan tiga puluh rubel dengan satu kilogram

Sekarang mari kita tuliskan perbandingan enam puluh rubel dengan dua kilogram. Rasio ini lagi akan sama dengan tiga puluh:

Di sini, koefisien proporsionalitas langsung adalah angka 30. Koefisien ini menunjukkan berapa rubel per kilogram permen. Dalam contoh ini, koefisien berperan sebagai harga satu kilogram barang, karena harga adalah perbandingan antara harga pokok barang dengan kuantitasnya.

Proporsionalitas terbalik

Perhatikan contoh berikut. Jarak kedua kota tersebut adalah 80 km. Pengendara sepeda motor meninggalkan kota pertama, dan dengan kecepatan 20 km/jam mencapai kota kedua dalam waktu 4 jam.

Jika kecepatan seorang pengendara sepeda motor adalah 20 km/jam, ini berarti bahwa setiap jam ia menempuh jarak yang sama dengan dua puluh kilometer. Mari kita gambarkan pada gambar jarak yang ditempuh oleh pengendara sepeda motor dan waktu gerakannya:

Dalam perjalanan pulang, kecepatan pengendara sepeda motor adalah 40 km/jam, dan ia menghabiskan waktu 2 jam untuk perjalanan yang sama.

Sangat mudah untuk melihat bahwa ketika kecepatan berubah, waktu gerakan telah berubah dengan jumlah yang sama. Selain itu, itu berubah ke arah yang berlawanan - yaitu, kecepatan meningkat, dan waktu, sebaliknya, menurun.

Besaran seperti kecepatan dan waktu disebut berbanding terbalik. Hubungan antara besaran-besaran tersebut disebut proporsionalitas terbalik.

Proporsionalitas terbalik adalah hubungan antara dua kuantitas, di mana peningkatan salah satu dari mereka menyebabkan penurunan yang lain dengan jumlah yang sama.

dan sebaliknya, jika satu nilai berkurang beberapa kali, maka yang lain meningkat dengan jumlah yang sama.

Misalnya, jika dalam perjalanan pulang kecepatan seorang pengendara sepeda motor adalah 10 km/jam, maka ia akan menempuh jarak yang sama 80 km dalam 8 jam:

Seperti dapat dilihat dari contoh, penurunan kecepatan menyebabkan peningkatan waktu tempuh dengan faktor yang sama.

Keunikan kuantitas berbanding terbalik adalah bahwa produknya selalu konstan. Artinya, ketika mengubah nilai jumlah yang berbanding terbalik, produknya tetap tidak berubah.

Dalam contoh yang dipertimbangkan, jarak antara kota adalah 80 km. Saat mengubah kecepatan dan waktu pengendara sepeda motor, jarak ini selalu tidak berubah.

Seorang pengendara sepeda motor dapat menempuh jarak ini dengan kecepatan 20 km/jam dalam 4 jam, dan dengan kecepatan 40 km/jam dalam 2 jam, dan dengan kecepatan 10 km/jam dalam 8 jam. Dalam semua kasus, produk kecepatan dan waktu sama dengan 80 km

Apakah Anda menyukai pelajarannya?
Bergabunglah dengan grup Vkontakte baru kami dan mulai menerima pemberitahuan tentang pelajaran baru

Contoh

1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6/7 = 0,8 dst.

Faktor proporsionalitas

Perbandingan tetap dari besaran-besaran yang sebanding disebut koefisien proporsionalitas. Koefisien proporsionalitas menunjukkan berapa banyak unit dari satu kuantitas jatuh pada unit lain.

Proporsionalitas langsung

Proporsionalitas langsung- ketergantungan fungsional, di mana beberapa kuantitas bergantung pada kuantitas lain sedemikian rupa sehingga rasionya tetap konstan. Dengan kata lain, variabel-variabel ini berubah secara proporsional, dalam bagian yang sama, yaitu, jika argumen telah berubah dua kali ke segala arah, maka fungsinya juga berubah dua kali dalam arah yang sama.

Secara matematis, proporsionalitas langsung ditulis sebagai rumus:

f(x) = sebuahx,sebuah = cHainst

Proporsionalitas terbalik

Proporsi terbalik- ini adalah ketergantungan fungsional, di mana peningkatan nilai independen (argumen) menyebabkan penurunan proporsional dalam nilai dependen (fungsi).

Secara matematis, proporsionalitas terbalik ditulis sebagai rumus:

Properti fungsi:

Sumber

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Contoh

1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6/7 = 0,8 dst.

Faktor proporsionalitas

Perbandingan tetap dari besaran-besaran yang sebanding disebut koefisien proporsionalitas. Koefisien proporsionalitas menunjukkan berapa banyak unit dari satu kuantitas jatuh pada unit lain.

Proporsionalitas langsung

Proporsionalitas langsung- ketergantungan fungsional, di mana beberapa kuantitas bergantung pada kuantitas lain sedemikian rupa sehingga rasionya tetap konstan. Dengan kata lain, variabel-variabel ini berubah secara proporsional, dalam bagian yang sama, yaitu, jika argumen telah berubah dua kali ke segala arah, maka fungsinya juga berubah dua kali dalam arah yang sama.

Secara matematis, proporsionalitas langsung ditulis sebagai rumus:

f(x) = sebuahx,sebuah = cHainst

Proporsionalitas terbalik

Proporsi terbalik- ini adalah ketergantungan fungsional, di mana peningkatan nilai independen (argumen) menyebabkan penurunan proporsional dalam nilai dependen (fungsi).

Secara matematis, proporsionalitas terbalik ditulis sebagai rumus:

Properti fungsi:

Sumber

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Jenis Ketergantungan

Pertimbangkan pengisian baterai. Sebagai nilai pertama, mari kita ambil waktu yang diperlukan untuk mengisi daya. Nilai kedua adalah waktu yang akan bekerja setelah pengisian. Semakin lama baterai diisi, semakin lama akan bertahan. Proses akan berlanjut hingga baterai terisi penuh.

Ketergantungan masa pakai baterai pada waktu pengisian daya

Catatan 1

Ketergantungan ini disebut lurus:

Ketika satu nilai meningkat, yang lain juga meningkat. Ketika satu nilai menurun, nilai lainnya juga menurun.

Mari kita pertimbangkan contoh lain.

Semakin banyak buku yang dibaca siswa, semakin sedikit kesalahan yang akan dia buat dalam dikte. Atau semakin tinggi Anda mendaki gunung, semakin rendah tekanan atmosfernya.

Catatan 2

Ketergantungan ini disebut membalik:

Ketika satu nilai meningkat, yang lain menurun. Ketika satu nilai berkurang, nilai lainnya meningkat.

Jadi, dalam kasus ketergantungan langsung kedua kuantitas berubah dengan cara yang sama (baik naik atau turun), dan dalam kasus ini hubungan terbalik- berlawanan (satu bertambah dan yang lain berkurang, atau sebaliknya).

Menentukan ketergantungan antar kuantitas

Contoh 1

Waktu yang dibutuhkan untuk mengunjungi seorang teman adalah $20$ menit. Dengan peningkatan kecepatan (nilai pertama) sebesar $2$ kali, kita akan menemukan bagaimana waktu (nilai kedua) yang akan dihabiskan di jalan menuju teman akan berubah.

Jelas, waktu akan berkurang $2$ kali.

Catatan 3

Ketergantungan ini disebut sebanding:

Berapa kali satu nilai berubah, berapa kali yang kedua akan berubah.

Contoh 2

Untuk sepotong roti seharga $2 di toko, Anda harus membayar 80 rubel. Jika Anda perlu membeli roti seharga $4 (jumlah roti bertambah $2 kali lipat), berapa banyak lagi yang harus Anda bayar?

Jelas, biayanya juga akan meningkat $2$ kali. Kami memiliki contoh ketergantungan proporsional.

Dalam kedua contoh, dependensi proporsional dipertimbangkan. Tetapi dalam contoh dengan roti, nilainya berubah dalam satu arah, oleh karena itu, ketergantungannya adalah lurus. Dan dalam contoh dengan perjalanan ke teman, hubungan antara kecepatan dan waktu adalah membalik. Dengan demikian, ada hubungan berbanding lurus dan hubungan berbanding terbalik.

Proporsionalitas langsung

Pertimbangkan kuantitas proporsional $2$: jumlah roti dan biayanya. Biarkan roti seharga $2$ seharga $80 rubel. Dengan peningkatan jumlah gulungan sebesar $4$ kali ($8$ gulungan), total biayanya akan menjadi $320$ rubel.

Rasio jumlah gulungan: $\frac(8)(2)=4$.

Rasio biaya gulungan: $\frac(320)(80)=4$.

Seperti yang Anda lihat, rasio ini sama satu sama lain:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definisi 1

Persamaan dua relasi disebut proporsi.

Dengan hubungan berbanding lurus, rasio diperoleh ketika perubahan nilai pertama dan kedua sama:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definisi 2

Kedua besaran tersebut disebut berbanding lurus jika, ketika mengubah (menambah atau menurunkan) salah satunya, nilai lainnya berubah (naik atau turun sesuai) dengan jumlah yang sama.

Contoh 3

Mobil menempuh $180$ km dalam $2$ jam. Hitung waktu yang diperlukannya untuk menempuh $2 kali jarak dengan kecepatan yang sama.

Larutan.

Waktu berbanding lurus dengan jarak:

$t=\frac(S)(v)$.

Berapa kali jarak akan bertambah, dengan kecepatan konstan, waktu akan bertambah dengan jumlah yang sama:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Mobil menempuh $180$ km - dalam waktu $2$ jam

Mobil menempuh $180 \cdot 2=360$ km - dalam waktu $x$ jam

Semakin jauh jarak yang ditempuh mobil, semakin lama waktu yang dibutuhkan. Oleh karena itu, hubungan antara besaran berbanding lurus.

Mari kita membuat proporsi:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Menjawab: Mobil akan membutuhkan $4$ jam.

Proporsionalitas terbalik

Definisi 3

Larutan.

Waktu berbanding terbalik dengan kecepatan:

$t=\frac(S)(v)$.

Berapa kali kecepatan bertambah, dengan lintasan yang sama, waktu berkurang dengan jumlah yang sama:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Mari kita tulis kondisi masalah dalam bentuk tabel:

Mobil menempuh $60$ km - dalam waktu $6$ jam

Sebuah mobil menempuh $120$ km - dalam waktu $x$ jam

Semakin cepat mobil, semakin sedikit waktu yang dibutuhkan. Oleh karena itu, hubungan antara besaran berbanding terbalik.

Mari kita membuat proporsi.

Karena proporsionalitas terbalik, kami mengubah rasio kedua dalam proporsi:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Menjawab: Mobil akan membutuhkan $3$ jam.

Tujuan dasar:

• memperkenalkan konsep ketergantungan kuantitas berbanding lurus dan terbalik;
• mengajarkan bagaimana memecahkan masalah menggunakan dependensi ini;
• mempromosikan pengembangan keterampilan pemecahan masalah;
• mengkonsolidasikan keterampilan memecahkan persamaan menggunakan proporsi;
• ulangi tindakan dengan pecahan biasa dan desimal;
• mengembangkan pemikiran logis siswa.

SELAMA KELAS

SAYA. Penentuan nasib sendiri untuk aktivitas(Waktu penyelenggaraan)

- Teman-teman! Hari ini dalam pelajaran kita akan berkenalan dengan masalah yang diselesaikan menggunakan proporsi.

II. Memperbarui pengetahuan dan memperbaiki kesulitan dalam kegiatan

2.1. pekerjaan lisan (3 menit)

- Temukan arti ekspresi dan temukan kata yang dienkripsi dalam jawaban.

14 - detik; 0,1 - dan; 7 - l; 0,2 - a; 17 - dalam; 25 - sampai

- Kata keluar - kekuatan. Bagus sekali!
- Moto pelajaran kita hari ini: Kekuatan ada dalam pengetahuan! Saya mencari - jadi saya belajar!
- Buat proporsi dari angka yang dihasilkan. (14:7=0.2:0.1 dll.)

2.2. Pertimbangkan hubungan antara jumlah yang diketahui (7 menit)

- lintasan yang ditempuh mobil dengan kelajuan tetap, dan waktu tempuhnya: S = v t( dengan peningkatan kecepatan (waktu), jalur meningkat);
- kecepatan mobil dan waktu yang dihabiskan di jalan: v=S:t(dengan bertambahnya waktu untuk menempuh jalan, kecepatannya berkurang);
– harga pokok barang yang dibeli pada satu harga dan kuantitasnya: C \u003d a n (dengan kenaikan (penurunan) harga, biaya pembelian meningkat (menurun);
- harga produk dan kuantitasnya: a \u003d C: n (dengan peningkatan kuantitas, harga turun)
- luas persegi panjang dan panjangnya (lebar): S = a b (dengan bertambahnya panjang (lebar), luas bertambah;
- panjang persegi panjang dan lebar: a = S: b (dengan bertambahnya panjang, lebarnya berkurang;
- jumlah pekerja yang melakukan beberapa pekerjaan dengan produktivitas tenaga kerja yang sama, dan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan ini: t \u003d A: n (dengan peningkatan jumlah pekerja, waktu yang dihabiskan untuk melakukan pekerjaan berkurang), dll .

Kami telah memperoleh dependensi di mana, dengan peningkatan satu nilai beberapa kali, yang lain segera meningkat dengan jumlah yang sama (ditunjukkan dengan panah untuk contoh) dan dependensi di mana, dengan peningkatan satu nilai beberapa kali, nilai kedua menurun sebesar jumlah yang sama berkali-kali.
Hubungan seperti itu disebut proporsi langsung dan terbalik.
Ketergantungan berbanding lurus- ketergantungan di mana dengan kenaikan (penurunan) dalam satu nilai beberapa kali, nilai kedua meningkat (menurun) dengan jumlah yang sama.
Hubungan proporsional terbalik- ketergantungan di mana dengan kenaikan (penurunan) dalam satu nilai beberapa kali, nilai kedua berkurang (naik) dengan jumlah yang sama.

AKU AKU AKU. Pernyataan tugas belajar

Apa masalah yang kita hadapi? (Belajarlah untuk membedakan antara hubungan langsung dan hubungan terbalik)
- Dia - sasaran pelajaran kita. Sekarang rumuskan tema pelajaran. (proporsionalitas langsung dan terbalik).
- Bagus sekali! Tulis topik pelajaran di buku catatan Anda. (Guru menulis topik di papan tulis.)

IV. "Penemuan" pengetahuan baru(10 menit)

Mari kita menganalisis masalah nomor 199.

1. Printer mencetak 27 halaman dalam 4,5 menit. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mencetak 300 halaman?

27 halaman - 4,5 menit.
300 hal - x?

2. Ada 48 bungkus teh dalam satu kotak, masing-masing 250 g. Berapa bungkus 150g yang akan keluar dari teh ini?

48 bungkus - 250 gram.
X? - 150 gram.

3. Mobil melaju 310 km, menghabiskan 25 liter bensin. Berapa jarak yang dapat ditempuh sebuah mobil dengan tangki penuh 40 liter?

310 km - 25 l
X? – 40 liter

4. Salah satu gigi kopling memiliki 32 gigi, dan gigi lainnya 40. Berapa putaran yang akan dilakukan gigi kedua sedangkan gigi pertama menghasilkan 215 putaran?

32 gigi - 315 rpm
40 gigi - x?

Untuk menyusun proporsi, satu arah panah diperlukan, untuk ini, dalam proporsi terbalik, satu rasio diganti dengan kebalikannya.

Di papan tulis, siswa menemukan nilai besaran, di lapangan, siswa memecahkan satu masalah pilihan mereka.

– Merumuskan aturan untuk menyelesaikan masalah dengan proporsionalitas langsung dan terbalik.

Sebuah meja muncul di papan:

V. Konsolidasi primer dalam pidato eksternal(10 menit)

Tugas di lembar:

1. Dari 21 kg biji kapas, diperoleh 5,1 kg minyak. Berapa banyak minyak yang akan diperoleh dari 7 kg biji kapas?
2. Untuk pembangunan stadion, 5 buldoser membersihkan lokasi dalam 210 menit. Berapa lama waktu yang dibutuhkan 7 buldoser untuk membersihkan daerah ini?

VI. Pekerjaan mandiri dengan self-test sesuai standar(5 menit)

Dua siswa menyelesaikan tugas No. 225 sendiri di papan tersembunyi, dan sisanya di buku catatan. Kemudian mereka memeriksa pekerjaan sesuai dengan algoritma dan membandingkannya dengan solusi di papan tulis. Kesalahan diperbaiki, penyebabnya diklarifikasi. Jika tugas selesai, kan, maka di sebelah siswa menempelkan tanda "+" untuk diri mereka sendiri.
Siswa yang melakukan kesalahan dalam pekerjaan mandiri dapat menggunakan konsultan.

VII. Inklusi dalam sistem pengetahuan dan pengulangan№ 271, № 270.

Enam orang bekerja di papan tulis. Setelah 3-4 menit, siswa yang bekerja di papan tulis mempresentasikan solusi mereka, dan sisanya memeriksa tugas dan berpartisipasi dalam diskusi mereka.

VIII. Refleksi kegiatan (hasil pembelajaran)

- Apa yang baru Anda pelajari di pelajaran?
- Apa yang Anda ulangi?
Apa algoritma untuk menyelesaikan masalah proporsi?
Sudahkah kita mencapai tujuan kita?
- Bagaimana Anda menilai pekerjaan Anda?