GELAR DENGAN INDIKATOR RASIONAL,

FUNGSI DAYA IV

79. Mengekstraksi akar dari sebuah karya dan hasil bagi

Teorema 1. Akar P pangkat dari hasil kali bilangan positif sama dengan hasil kali akar-akarnya P -tingkat faktor, yaitu, ketika sebuah > 0, b > 0 dan alami P

n √ab = n √sebuah n √b . (1)

Bukti. Ingatlah bahwa akar P pangkat dari bilangan positif ab ada bilangan positif P -derajat yang sama dengan ab . Oleh karena itu, membuktikan persamaan (1) sama dengan membuktikan persamaan

(n √sebuah n √b ) n = ab .

Dengan properti dari tingkat produk

(n √sebuah n √b ) n = (n √sebuah ) n (n √b ) n =.

Tetapi menurut definisi root P derajat ( n √sebuah ) n = sebuah , (n √b ) n = b .

Jadi ( n √sebuah n √b ) n = ab . Teorema telah terbukti.

Persyaratan sebuah > 0, b > 0 penting hanya untuk genap P , karena untuk negatif sebuah dan b dan bahkan P akar n √sebuah dan n √b tidak terdefinisikan. Jika P ganjil, maka rumus (1) berlaku untuk sembarang sebuah dan b (baik positif maupun negatif).

Contoh: 16 121 = 16 121 = 4 11 = 44.

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

Rumus (1) berguna saat menghitung akar, ketika ekspresi akar direpresentasikan sebagai produk kuadrat eksak. Sebagai contoh,

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

Kami membuktikan Teorema 1 untuk kasus ketika tanda radikal di sisi kiri rumus (1) adalah produk dari dua bilangan positif. Faktanya, teorema ini benar untuk sejumlah faktor positif, yaitu, untuk semua alam k > 2:

Konsekuensi. Membaca identitas ini dari kanan ke kiri, kita mendapatkan aturan berikut untuk mengalikan akar dengan eksponen yang sama;

Untuk mengalikan akar dengan eksponen yang sama, cukup dengan mengalikan ekspresi akar, membiarkan eksponen akar tetap sama.

Misalnya, 3 8 6 = 3 8 6 = 144 = 12.

Teorema 2. Akar P pangkat dari pecahan yang pembilang dan penyebutnya bilangan positif sama dengan hasil bagi pembagian akar yang sama derajat dari pembilangnya dengan akar yang sama dari penyebutnya, yaitu ketika sebuah > 0 dan b > 0

(2)

Membuktikan persamaan (2) berarti menunjukkan bahwa

Menurut aturan menaikkan pecahan ke pangkat dan menentukan akarnya n gelar yang kami miliki:

Dengan demikian teorema terbukti.

Persyaratan sebuah > 0 dan b > 0 penting hanya untuk genap P . Jika P ganjil, maka rumus (2) juga berlaku untuk nilai negatif sebuah dan b .

Konsekuensi. Membaca identitas dari kanan ke kiri, kita mendapatkan aturan berikut untuk membagi akar dengan eksponen yang sama:

Untuk membagi akar dengan eksponen yang sama, cukup dengan membagi ekspresi akar, membiarkan eksponen akar tetap sama.

Sebagai contoh,

Latihan

554. Dimana dalam pembuktian Teorema 1 kita menggunakan fakta bahwa sebuah dan b positif?

Mengapa dengan ganjil? P rumus (1) juga berlaku untuk bilangan negatif sebuah dan b ?

Pada nilai apa? X data kesetaraan benar (No. 555-560):

555. x 2 - 9 = x -3 x + 3 .

556. 4 √ (x - 2) (8 - x ) = 4 x - 2 4 √ 8 - x

557. 3 √ (X + 1) (X - 5) = 3 x +1 3 x - 5 .

558. √ X (X + 1) (X + 2) = √ X √ (X + 1) √ (X + 2)

559. √ (x - a ) 3 = (√ x - a ) 3 .

560. 3 √ (X - 5) 2 = (3 √ X - 5 ) 2 .

561. Hitung:

sebuah) √ 173 2 - 52 2 ; di) √ 200 2 - 56 2 ;

b) √ 3732 - 2522; G) √ 242,5 2 - 46,5 2 .

562. Dalam sebuah segitiga siku-siku, sisi miringnya adalah 205 cm, dan salah satu kakinya adalah 84 cm. Temukan kaki yang lain.

563. Berapa kali:

555. X > 3. 556. 2 < X < 8. 557. X - nomor berapa pun. 558. X > 0. 559. X > sebuah . 560. X - nomor berapa pun. 563. a) Tiga kali.

Pada bagian ini, kita akan mempertimbangkan akar kuadrat aritmatika.

Dalam kasus ekspresi radikal literal, kita akan menganggap bahwa huruf-huruf yang terdapat di bawah tanda akar menunjukkan bilangan non-negatif.

1. Akar pekerjaan.

Mari kita pertimbangkan contoh seperti itu.

Di sisi lain, perhatikan bahwa nomor 2601 adalah produk dari dua faktor, dari mana akarnya mudah diekstraksi:

Ambil akar kuadrat dari setiap faktor dan kalikan akar-akar ini:

Kami mendapatkan hasil yang sama ketika kami mengambil akar dari produk di bawah akar, dan ketika kami mengambil akar dari setiap faktor secara terpisah dan mengalikan hasilnya.

Dalam banyak kasus, cara kedua untuk menemukan hasilnya lebih mudah, karena Anda harus mengambil akar dari bilangan yang lebih kecil.

Teorema 1. Untuk mengekstrak akar kuadrat dari produk, Anda dapat mengekstraknya dari setiap faktor secara terpisah dan mengalikan hasilnya.

Kami akan membuktikan teorema untuk tiga faktor, yaitu, kami akan membuktikan validitas persamaan:

Kami akan melakukan pembuktian dengan verifikasi langsung, berdasarkan definisi akar aritmatika. Katakanlah kita perlu membuktikan persamaan:

(A dan B adalah bilangan non-negatif). Dengan definisi akar kuadrat, ini berarti bahwa

Oleh karena itu, cukup untuk menguadratkan sisi kanan persamaan yang akan dibuktikan dan memastikan bahwa ekspresi akar dari sisi kiri diperoleh.

Mari kita terapkan alasan ini pada bukti persamaan (1). Mari kita kuadratkan sisi kanan; tetapi hasil kali berada di ruas kanan, dan dengan mengkuadratkan hasil kali, cukup dengan mengkuadratkan setiap faktor dan mengalikan hasilnya (lihat 40);

Ternyata ekspresi radikal, berdiri di sisi kiri. Oleh karena itu, persamaan (1) adalah benar.

Kami telah membuktikan teorema untuk tiga faktor. Tetapi alasannya akan tetap sama jika ada 4 faktor dan seterusnya di bawah akar. Teorema ini benar untuk sejumlah faktor.

Hasilnya mudah ditemukan secara lisan.

2. Akar pecahan.

Menghitung

Penyelidikan.

Di sisi lain,

Mari kita buktikan teoremanya.

Teorema 2. Untuk mengekstrak akar dari suatu pecahan, Anda dapat mengekstrak akar secara terpisah dari pembilang dan penyebut dan membagi hasil pertama dengan yang kedua.

Diperlukan untuk membuktikan validitas persamaan:

Untuk pembuktiannya, kami menerapkan metode pembuktian teorema sebelumnya.

Mari kita kuadratkan sisi kanan. Akan memiliki:

Kami mendapatkan ekspresi radikal di sisi kiri. Oleh karena itu, persamaan (2) adalah benar.

Jadi kami telah membuktikan identitas berikut:

dan merumuskan aturan yang sesuai untuk mengekstrak akar kuadrat dari produk dan hasil bagi. Terkadang ketika melakukan transformasi perlu untuk menerapkan identitas ini, membacanya "dari kanan ke kiri".

Menata ulang sisi kiri dan kanan, kami menulis ulang identitas yang terbukti sebagai berikut:

Untuk mengalikan akar, Anda dapat mengalikan ekspresi akar dan mengekstrak akar dari produk.

Untuk memisahkan akar, Anda dapat membagi ekspresi radikal dan mengekstrak akar dari hasil bagi.

3. Akar derajat.

Menghitung

Pada artikel ini, kami akan menganalisis yang utama sifat akar. Mari kita mulai dengan sifat-sifat akar kuadrat aritmatika, berikan formulasinya dan berikan buktinya. Setelah itu, kita akan membahas sifat-sifat akar aritmatika derajat ke-n.

Navigasi halaman.

Sifat akar kuadrat

Di bagian ini, kita akan berurusan dengan hal-hal utama berikut: sifat-sifat akar kuadrat aritmatika:

Dalam setiap persamaan tertulis, bagian kiri dan kanan dapat dipertukarkan, misalnya persamaan dapat ditulis ulang sebagai . Dalam bentuk "terbalik" ini, sifat-sifat akar kuadrat aritmatika diterapkan ketika penyederhanaan ekspresi sesering dalam bentuk "langsung".

Pembuktian dua sifat pertama didasarkan pada definisi akar kuadrat aritmatika dan pada . Dan untuk membenarkan properti terakhir dari akar kuadrat aritmatika, Anda harus ingat.

Jadi mari kita mulai dengan bukti properti akar kuadrat aritmatika dari produk dua bilangan non-negatif: . Untuk melakukan ini, menurut definisi akar kuadrat aritmatika, cukup untuk menunjukkan bahwa adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan a b . Ayo lakukan. Nilai ekspresi adalah non-negatif sebagai produk dari bilangan non-negatif. Properti tingkat produk dua angka memungkinkan kita untuk menulis kesetaraan , dan karena dengan definisi akar kuadrat aritmatika dan , maka .

Demikian pula, terbukti bahwa akar kuadrat aritmatika dari produk dari k faktor non-negatif a 1 , a 2 , …, a k sama dengan produk dari akar kuadrat aritmatika dari faktor-faktor ini. Betulkah, . Dari persamaan ini maka .

Berikut beberapa contohnya: dan .

Sekarang mari kita buktikan properti dari akar kuadrat aritmatika dari hasil bagi: . Properti dari hasil bagi kekuatan alami memungkinkan kita untuk menulis kesetaraan , sebuah , sedangkan ada bilangan non-negatif. Ini adalah buktinya.

Misalnya, dan .

Saatnya membongkar properti dari akar kuadrat aritmatika kuadrat dari suatu angka, dalam bentuk persamaan ditulis sebagai . Untuk membuktikannya, perhatikan dua kasus: untuk a≥0 dan untuk a<0 .

Jelas bahwa untuk a≥0 persamaan itu benar. Juga mudah untuk melihat bahwa untuk<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 dan (−a) 2 =a 2 . Dengan demikian, , yang harus dibuktikan.

Berikut beberapa contohnya: dan .

Properti akar kuadrat yang baru saja dibuktikan memungkinkan kita untuk membenarkan hasil berikut, di mana a adalah bilangan real apa pun, dan m adalah sembarang. Memang, properti eksponensial memungkinkan kita untuk mengganti derajat a 2 m dengan ekspresi (a m) 2 , maka .

Sebagai contoh, dan .

Sifat-sifat akar ke-n

Mari kita daftar dulu yang utama sifat-sifat akar ke-n:

Semua persamaan tertulis tetap berlaku jika sisi kiri dan kanan dipertukarkan di dalamnya. Dalam bentuk ini, mereka juga sering digunakan, terutama ketika menyederhanakan dan mengubah ekspresi.

Pembuktian semua sifat bersuara dari akar didasarkan pada definisi akar aritmatika derajat ke-n, pada sifat-sifat derajat dan pada definisi modul bilangan. Mari kita buktikan mereka dalam urutan prioritas.

Mari kita mulai dengan buktinya sifat-sifat akar ke-n suatu produk . Untuk a dan b non-negatif, nilai ekspresi juga non-negatif, seperti produk bilangan non-negatif. Properti produk dari kekuatan alam memungkinkan kita untuk menulis kesetaraan . Dengan definisi akar aritmatika derajat ke-n dan, oleh karena itu, . Ini membuktikan properti yang dipertimbangkan dari root.

Properti ini dibuktikan dengan cara yang sama untuk produk dari k faktor: untuk bilangan non-negatif a 1 , a 2 , …, a n dan .

Berikut adalah contoh penggunaan properti akar derajat ke-n produk: dan .

Ayo buktikan properti akar dari hasil bagi. Untuk a≥0 dan b>0, kondisi terpenuhi, dan .

Mari kita tunjukkan contoh: dan .

Kami melanjutkan. Ayo buktikan properti dari akar ke-n dari suatu bilangan pangkat n. Artinya, kami akan membuktikan bahwa untuk setiap a nyata dan m alami . Untuk a≥0 kita memiliki dan , yang membuktikan persamaan , dan persamaan jelas sekali. Untuk sebuah<0 имеем и (transisi terakhir valid karena properti pangkat dengan eksponen genap), yang membuktikan persamaan , dan benar karena fakta bahwa ketika berbicara tentang akar derajat ganjil, kami mengambil untuk sembarang bilangan non-negatif c .

Berikut adalah contoh penggunaan properti root yang diurai: dan .

Kami melanjutkan ke bukti properti root dari root. Mari kita tukar bagian kanan dan kiri, yaitu, kita akan membuktikan validitas persamaan , yang berarti validitas persamaan aslinya. Untuk bilangan non-negatif a, akar kuadrat dari bentuknya adalah bilangan non-negatif. Mengingat properti menaikkan kekuatan ke kekuatan, dan menggunakan definisi akar, kita dapat menulis rantai persamaan bentuk . Ini membuktikan properti yang dipertimbangkan dari root dari root.

Properti akar dari akar dari akar dibuktikan dengan cara yang sama, dan seterusnya. Betulkah, .

Sebagai contoh, dan .

Mari kita buktikan berikut ini properti pengurangan eksponen akar. Untuk melakukan ini, berdasarkan definisi akar, cukup untuk menunjukkan bahwa ada bilangan non-negatif yang, ketika dipangkatkan n m, sama dengan a m . Ayo lakukan. Jelaslah bahwa jika bilangan a non-negatif, maka akar ke-n dari bilangan a adalah bilangan non-negatif. Di mana , yang melengkapi bukti.

Berikut adalah contoh penggunaan properti root yang diurai: .

Mari kita buktikan sifat-sifat berikut, sifat-sifat akar derajat bentuk . Jelas bahwa untuk a≥0 derajatnya adalah bilangan non-negatif. Selain itu, kekuatan ke-n sama dengan a m , memang, . Ini membuktikan properti yang dipertimbangkan dari gelar.

Sebagai contoh, .

Mari kita lanjutkan. Mari kita buktikan bahwa untuk sembarang bilangan positif a dan b yang bersyarat a , yaitu a≥b . Dan ini bertentangan dengan kondisi a

Misalnya, kami memberikan pertidaksamaan yang benar .

Akhirnya, tinggal membuktikan properti terakhir dari akar ke-n. Mari kita buktikan dulu bagian pertama dari sifat ini, yaitu, kita akan membuktikan bahwa untuk m>n dan 0 . Kemudian, karena sifat-sifat derajat dengan eksponen alami, ketidaksetaraan , yaitu, a n a m . Dan pertidaksamaan yang dihasilkan untuk m>n dan 0

Demikian pula, dengan kontradiksi, terbukti bahwa untuk m>n dan a>1 kondisi terpenuhi.

Mari kita berikan contoh penerapan sifat terbukti dari akar dalam bilangan konkret. Misalnya pertidaksamaan dan benar.

Bibliografi.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 8 sel. institusi pendidikan.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan Analisis Awal: Buku Ajar untuk Kelas 10-11 Institusi Pendidikan Umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).

Informasi subjek: Perkenalkan teorema akar kuadrat untuk pecahan. Konsolidasi pengetahuan yang diperoleh siswa pada topik: "Akar kuadrat aritmatika", "Akar kuadrat dari gelar", "Akar kuadrat dari produk". Memperkuat keterampilan menghitung cepat.

Aktivitas-komunikasi: pengembangan dan pembentukan keterampilan berpikir logis siswa, ucapan yang benar dan kompeten, reaksi cepat.

Berorientasi nilai: membangkitkan minat siswa dalam mempelajari topik ini dan mata pelajaran ini. Kemampuan untuk menerapkan pengetahuan yang diperoleh dalam kegiatan praktis dan dalam mata pelajaran lain.

1. Ulangi definisi akar kuadrat aritmatika.

2. Ulangi teorema akar kuadrat dari derajat.

3. Ulangi teorema akar kuadrat dari produk.

4. Mengembangkan keterampilan berhitung lisan.

5. Mempersiapkan siswa mempelajari topik “akar kuadrat suatu pecahan” dan menguasai materi geometri.

6. Menceritakan tentang sejarah asal mula akar aritmatika.

Bahan dan peralatan didaktik: peta pelajaran didaktik (Lampiran 1), papan tulis, kapur, kartu untuk tugas individu (dengan mempertimbangkan kemampuan individu siswa), kartu untuk menghitung lisan, kartu untuk pekerjaan mandiri.

Selama kelas:

1. Momen organisasi: menuliskan topik pelajaran, menetapkan tujuan dan sasaran pelajaran (untuk siswa).

Pelajaran topik: Akar kuadrat dari pecahan.

Tujuan pelajaran: hari ini dalam pelajaran kita akan mengulangi definisi akar kuadrat aritmatika, teorema pada akar kuadrat dari derajat dan akar kuadrat dari produk. Dan mari berkenalan dengan teorema pada akar kuadrat dari pecahan.

Tujuan pelajaran:

1) ulangi dengan bantuan mental menghitung definisi akar kuadrat dan teorema pada akar kuadrat dari derajat dan produk;

2) selama hitungan lisan, beberapa orang akan menyelesaikan tugas di kartu;

3) penjelasan materi baru;

4) latar belakang sejarah;

5) pelaksanaan tugas kerja mandiri (dalam bentuk tes).

2. Survei frontal:

1) penghitungan lisan: ambil akar kuadrat dari ekspresi berikut:

a) menggunakan definisi akar kuadrat, hitung:;;; ;

b) nilai tabel: ; ;;;;; ;

c) akar kuadrat dari hasil kali ;;;;

d) akar pangkat dua dari derajat;;;;; ;

e) keluarkan faktor persekutuan dari kurung :;; ;.

2) pekerjaan individu pada kartu: Lampiran 2.

3. Centang D/Z:

4. Penjelasan materi baru:

Tulis tugas untuk siswa di papan tulis sesuai dengan opsi “hitung akar kuadrat dari pecahan”:

Opsi 1: =

Opsi 2: =

Jika mereka menyelesaikan tugas pertama: tanyakan bagaimana mereka melakukannya?

Opsi 1: disajikan dalam bentuk kotak dan diterima. Buatlah kesimpulan.

Opsi 2: mempresentasikan pembilang dan penyebut menggunakan definisi derajat dalam bentuk dan diterima.

Berikan lebih banyak contoh, misalnya menghitung akar kuadrat dari suatu pecahan; ; .

Gambarkan analogi dalam bentuk literal:

Masukkan teorema.

Dalil. Jika a lebih besar atau sama dengan 0, c lebih besar dari 0, maka akar dari pecahan a / b sama dengan pecahan yang pembilangnya adalah akar dari a dan penyebutnya adalah akar dari b, yaitu Akar pecahan sama dengan akar pembilang dibagi dengan akar penyebut.

Mari kita buktikan bahwa 1) akar a dibagi dengan akar c lebih besar dari atau sama dengan 0

Bukti. 1) Karena akar a lebih besar atau sama dengan 0 dan akar c lebih besar dari 0 maka akar a dibagi dengan akar c lebih besar atau sama dengan 0.

2)

5. Konsolidasi materi baru: dari buku teks Sh. A. Alimov: No. 362 (1.3); 363 (2.3); 364 (2.4); 365 (2.3)

6. Referensi sejarah.

Akar aritmatika berasal dari kata Latin radix - root, radikalis - root

Dimulai pada abad ke-13, matematikawan Italia dan Eropa lainnya menunjukkan akar kata dengan kata Latin radix (disingkat r). Pada tahun 1525, dalam buku H. Rudolph "Penghitungan cepat dan indah dengan bantuan aturan aljabar yang terampil, biasanya disebut Koss", penunjukan V untuk akar kuadrat muncul; akar pangkat tiga dilambangkan VVV. Pada tahun 1626, matematikawan Belanda A. Girard memperkenalkan sebutan V, VV, VVV, dll., yang segera digantikan oleh tanda r, sementara garis horizontal ditempatkan di atas ekspresi radikal. Penunjukan modern dari akar pertama kali muncul dalam buku Geometry oleh René Descartes, yang diterbitkan pada tahun 1637.

8. Pekerjaan Rumah: No. 362 (2.4); 363 (1.4); 364 (1.3); 365 (1.4)

Akar kuadrat dari a adalah bilangan yang kuadratnya adalah a. Misalnya, angka -5 dan 5 adalah akar kuadrat dari angka 25. Artinya, akar persamaan x^2=25 adalah akar kuadrat dari angka 25. Sekarang Anda perlu mempelajari cara bekerja dengan operasi akar kuadrat: pelajari sifat dasarnya.

Akar kuadrat dari produk

(a*b)=√a*√b

Akar kuadrat dari produk dua angka non-negatif sama dengan produk dari akar kuadrat dari angka-angka ini. Misalnya, (9*25) = 9*√25 =3*5 =15;

Penting untuk dipahami bahwa properti ini juga berlaku untuk kasus ketika ekspresi radikal adalah produk dari tiga, empat, dll. pengganda non-negatif.

Terkadang ada formulasi lain dari properti ini. Jika a dan b adalah bilangan non-negatif, persamaan berikut berlaku: (a*b) =√a*√b. Sama sekali tidak ada perbedaan di antara mereka, Anda dapat menggunakan salah satu atau kata-kata lainnya (mana yang lebih nyaman untuk diingat).

Akar kuadrat dari pecahan

Jika a>=0 dan b>0, maka persamaan berikut ini benar:

(a/b)=√a/√b.

Misalnya, (9/25) = 9/√25 =3/5;

Properti ini juga memiliki formulasi yang berbeda, menurut saya, lebih nyaman untuk diingat.
Akar kuadrat dari hasil bagi sama dengan hasil bagi dari akar-akarnya.

Perlu dicatat bahwa rumus ini bekerja dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri. Artinya, jika perlu, kita dapat mewakili produk dari akar sebagai akar dari produk. Hal yang sama berlaku untuk properti kedua.

Seperti yang Anda lihat, properti ini sangat berguna, dan saya ingin memiliki properti yang sama untuk penjumlahan dan pengurangan:

(a+b)=√a+√b;

(a-b)=√a-√b;

Tapi sayangnya properti seperti itu berbentuk persegi tidak memiliki akar, sehingga tidak dapat dilakukan dalam perhitungan..