Fungsi kuadrat adalah fungsi yang bentuknya:
y=a*(x^2)+b*x+c,
di mana a adalah koefisien pada derajat tertinggi dari x yang tidak diketahui,
b - koefisien pada x yang tidak diketahui,
dan c adalah anggota bebas.
Grafik fungsi kuadrat adalah kurva yang disebut parabola. Pandangan umum parabola ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Gbr.1 Tampilan umum parabola.

Ada beberapa cara berbeda untuk membuat grafik fungsi kuadrat. Kami akan mempertimbangkan yang utama dan paling umum dari mereka.

Algoritma untuk memplot grafik fungsi kuadrat y=a*(x^2)+b*x+c

1. Bangun sistem koordinat, tandai satu segmen dan beri label sumbu koordinat.

2. Tentukan arah cabang parabola (atas atau bawah).
Untuk melakukan ini, Anda perlu melihat tanda koefisien a. Jika plus - maka cabang diarahkan ke atas, jika minus - maka cabang diarahkan ke bawah.

3. Tentukan koordinat x dari puncak parabola.
Untuk melakukan ini, Anda perlu menggunakan rumus Tops = -b / 2 * a.

4. Tentukan koordinat di bagian atas parabola.
Untuk melakukannya, substitusikan nilai Atas yang ditemukan pada langkah sebelumnya dalam persamaan Atas = a * (x ^ 2) + b * x + c sebagai ganti x.

5. Letakkan titik yang dihasilkan pada grafik dan gambar sumbu simetri yang melaluinya, sejajar dengan sumbu koordinat Oy.

6. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu x.
Ini membutuhkan penyelesaian persamaan kuadrat a*(x^2)+b*x+c = 0 menggunakan salah satu metode yang diketahui. Jika persamaan tersebut tidak memiliki akar real, maka grafik fungsi tersebut tidak memotong sumbu x.

7. Tentukan koordinat titik potong grafik dengan sumbu Oy.
Untuk melakukannya, kita substitusikan nilai x = 0 ke dalam persamaan dan hitung nilai y. Kami menandai ini dan titik simetris padanya pada grafik.

8. Temukan koordinat titik sembarang A (x, y)
Untuk melakukan ini, kami memilih nilai arbitrer dari koordinat x, dan menggantinya ke dalam persamaan kami. Kami mendapatkan nilai y pada titik ini. Beri titik pada grafik. Dan juga tandai suatu titik pada grafik yang simetris dengan titik A (x,y).

9. Hubungkan titik-titik yang diperoleh pada grafik dengan garis halus dan lanjutkan grafik di luar titik ekstrem, ke ujung sumbu koordinat. Tanda tangani grafik pada keterangan, atau, jika memungkinkan, di sepanjang grafik itu sendiri.

Contoh pembuatan grafik

Sebagai contoh, mari kita plot fungsi kuadrat yang diberikan oleh persamaan y=x^2+4*x-1
1. Gambar sumbu koordinat, tanda tangani dan tandai satu segmen.
2. Nilai koefisien a=1, b=4, c= -1. Karena a \u003d 1, yang lebih besar dari nol, cabang-cabang parabola diarahkan ke atas.
3. Tentukan koordinat X puncak parabola Puncak = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Tentukan koordinat Di bagian atas parabola
Puncak = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Tandai titik tersebut dan gambarlah sumbu simetrinya.
6. Kami menemukan titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu Ox. Kami memecahkan persamaan kuadrat x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Kami menandai nilai yang diperoleh pada grafik.
7. Temukan titik potong grafik dengan sumbu Oy.
x=0; y=-1
8. Pilih sembarang titik B. Biarkan memiliki koordinat x=1.
Maka y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Kami menghubungkan poin yang diterima dan menandatangani grafik.

Fungsi dari bentuk , dimana disebut fungsi kuadrat.

Grafik fungsi kuadrat parabola.

Pertimbangkan kasus:

KASUS I, PARABOLA KLASIK

yaitu , ,

Untuk membangun, isi tabel dengan mensubstitusi nilai x ke dalam rumus:

Tandai poin (0;0); (1;1); (-1;1) dll. pada bidang koordinat (semakin kecil langkah yang kita ambil nilai x (dalam hal ini, langkah 1), dan semakin banyak nilai x yang kita ambil, semakin halus kurvanya), kita mendapatkan parabola:

Sangat mudah untuk melihat bahwa jika kita mengambil kasus , , , yaitu, maka kita mendapatkan parabola simetris terhadap sumbu (ox). Sangat mudah untuk memverifikasi ini dengan mengisi tabel serupa:

II KASUS, "a" BERBEDA DARI SATU

Apa yang akan terjadi jika kita mengambil , , ? Bagaimana perilaku parabola akan berubah? Dengan title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Gambar pertama (lihat di atas) dengan jelas menunjukkan bahwa titik-titik dari tabel untuk parabola (1;1), (-1;1) diubah menjadi titik (1;4), (1;-4), yaitu, dengan nilai yang sama, ordinat setiap titik dikalikan 4. Ini akan terjadi pada semua titik kunci dari tabel asli. Kami berpendapat serupa dalam kasus gambar 2 dan 3.

Dan ketika parabola "menjadi lebih lebar" parabola:

Mari kita rekap:

1)Tanda koefisien bertanggung jawab atas arah cabang. Dengan title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Nilai mutlak koefisien (modulus) bertanggung jawab atas "ekspansi", "kompresi" parabola. Semakin besar , semakin sempit parabola, semakin kecil |a|, semakin lebar parabola.

KASUS III, "C" MUNCUL

Sekarang mari kita mainkan (yaitu, kita pertimbangkan kasus ketika ), kita akan mempertimbangkan parabola dari bentuk . Mudah ditebak (Anda selalu dapat merujuk ke tabel) bahwa parabola akan bergerak naik atau turun sepanjang sumbu, tergantung pada tandanya:

KASUS IV, "b" MUNCUL

Kapan parabola akan "merobek" dari sumbu dan akhirnya akan "berjalan" di sepanjang seluruh bidang koordinat? Ketika itu berhenti menjadi sama.

Di sini, untuk membangun parabola, kita perlu rumus untuk menghitung simpul: , .

Jadi pada titik ini (seperti pada titik (0; 0) dari sistem koordinat baru) kita akan membangun sebuah parabola, yang sudah berada dalam jangkauan kita. Jika kita berurusan dengan kasus , maka dari atas kita sisihkan satu unit segmen ke kanan, satu ke atas, - titik yang dihasilkan adalah milik kita (sama seperti langkah ke kiri, langkah ke atas adalah titik kita); jika kita berhadapan dengan, misalnya, maka dari atas kita sisihkan satu ruas ke kanan, dua ke atas, dst.

Misalnya, titik sudut parabola:

Sekarang hal utama yang harus dipahami adalah bahwa pada titik ini kita akan membangun parabola sesuai dengan template parabola, karena dalam kasus kita.

Saat membuat parabola setelah mencari koordinat titik tersebut sangatLebih mudah untuk mempertimbangkan poin-poin berikut:

1) parabola harus melewati titik . Memang, mengganti x=0 ke dalam rumus, kita mendapatkan . Artinya, ordinat titik potong parabola dengan sumbu (oy), ini. Dalam contoh kita (di atas), parabola memotong sumbu y di , karena .

2) sumbu simetri parabola adalah garis lurus, maka semua titik parabola akan simetris terhadapnya. Dalam contoh kami, kami segera mengambil titik (0; -2) dan membangun parabola simetris terhadap sumbu simetri, kami mendapatkan titik (4; -2), di mana parabola akan lewat.

3) Dengan menyamakan , kita menemukan titik potong parabola dengan sumbu (ox). Untuk melakukan ini, kami memecahkan persamaan. Tergantung pada diskriminannya, kita akan mendapatkan satu (, ), dua ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Dalam contoh sebelumnya, kita memiliki akar dari diskriminan - bukan bilangan bulat, ketika membangunnya, tidak masuk akal bagi kita untuk menemukan akarnya, tetapi kita dapat dengan jelas melihat bahwa kita akan memiliki dua titik perpotongan dengan (oh) axis (karena judul = "(!LANG: Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Jadi mari kita berolahraga

Algoritma untuk membangun parabola jika diberikan dalam bentuk

1) tentukan arah cabang (a>0 - ke atas, a<0 – вниз)

2) cari koordinat titik sudut parabola dengan rumus , .

3) kami menemukan titik perpotongan parabola dengan sumbu (oy) dengan istilah bebas, kami membangun titik simetris dengan yang diberikan sehubungan dengan sumbu simetri parabola (perlu dicatat bahwa itu terjadi tidak menguntungkan untuk menandai titik ini, misalnya, karena nilainya besar ... kita lewati titik ini ...)

4) Pada titik yang ditemukan - bagian atas parabola (seperti pada titik (0; 0) dari sistem koordinat baru), kami membuat parabola. If title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Kami menemukan titik perpotongan parabola dengan sumbu (oy) (jika mereka sendiri belum "muncul"), memecahkan persamaan

Contoh 1

Contoh 2

Catatan 1. Jika parabola awalnya diberikan kepada kita dalam bentuk , di mana ada beberapa angka (misalnya, ), maka akan lebih mudah untuk membangunnya, karena kita telah diberikan koordinat titik . Mengapa?

Mari kita ambil trinomial persegi dan pilih persegi penuh di dalamnya: Lihat, ini dia , . Kami sebelumnya menyebut bagian atas parabola, yaitu, sekarang,.

Sebagai contoh, . Kami menandai bagian atas parabola di pesawat, kami memahami bahwa cabang-cabang diarahkan ke bawah, parabola diperluas (relatif). Artinya, kami melakukan langkah 1; 3; 4; 5 dari algoritma untuk membangun parabola (lihat di atas).

Catatan 2. Jika parabola diberikan dalam bentuk yang mirip dengan ini (yaitu, direpresentasikan sebagai produk dari dua faktor linier), maka kita segera melihat titik potong parabola dengan sumbu (x). Dalam hal ini - (0;0) dan (4;0). Selebihnya, kami bertindak sesuai dengan algoritme, membuka tanda kurung.

Pelajaran aljabar ini dilakukan sebagai rekapitulasi-generalisasi dalam rangka persiapan GIA kelas 9. Ini adalah pelajaran dalam penerapan pengetahuan yang kompleks. Pelajaran harus membentuk konsep dasar fungsi kuadrat, sifat-sifatnya, grafik. Siswa harus mengetahui definisi fungsi kuadrat, dapat memplot fungsi kuadrat, mengubahnya, dan menerapkan pengetahuan ini ketika menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat

Unduh:

Pratinjau:

MOU "Sekolah Menengah No. 3 Ershov, Wilayah Saratov"

Kelas 9

Topik: "Fungsi kuadrat, grafik dan sifat-sifatnya"

Moto pelajaran: "Sulit dijadikan mudah, mudah menjadi kebiasaan, kebiasaan menyenangkan"

Guru: E.I. Kormilina

tahun ajaran 2010-2011.

Fungsi kuadrat, sifat-sifatnya dan grafiknya.

Jenis pelajaran: Pelajaran dari aplikasi pengetahuan yang kompleks.

Tujuan Pelajaran:

1. Untuk mengungkapkan tingkat pembentukan konsep fungsi kuadrat di antara siswa, sifat-sifatnya untuk memecahkan pertidaksamaan, fitur grafiknya.
2. Ciptakan kondisi untuk pembentukan kemampuan menganalisis, membandingkan, mengklasifikasikan grafik fungsi kuadrat.
3. Lanjutkan mengembangkan budaya merencanakan fungsi kuadrat.
4. Menumbuhkan rasa persahabatan, kelembutan dan disiplin.

Logika pelajaran:

1. Pembaruan pengetahuan
2. Pengulangan
3. Menampilkan contoh aplikasi dari seperangkat pengetahuan
4. Penerapan pengetahuan secara mandiri
5. Kontrol, kontrol diri
6. Koreksi

Struktur pelajaran:

1. organisasi
2. Memperbarui
3. Penerapan pengetahuan, keterampilan dan kemampuan

4. Kontrol, kontrol diri

5. Koreksi

6. Informasi tentang pekerjaan rumah

7. Menyimpulkan

8. Refleksi

Teks slide:

Fungsi kuadrat, grafiknya, dan sifat-sifatnya Moto kami adalah: "Jadikan yang sulit menjadi mudah, yang mudah menjadi akrab, yang akrab menjadi menyenangkan!"

y x 0 Grafik fungsi y = a x , 2 untuk a=1 untuk a= -1 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1 0 1 2 3 y - 9 - 4 - 1 0 - 1 - 4 - 9 - 6 -5-4-3-2-1 1 4 9 -9 -4

Mengubah Grafik Fungsi Kuadrat

Memplot fungsi y=x 2 dan y=x 2 + m.

0 m X Y m 1 1 y \u003d x 2 + m, m>0

0 X Y m 1 1 m y \u003d x 2 + m, m

Fungsi plot y \u003d x 2 dan y \u003d (x + l) 2.

0 l l X Y 1 1 y \u003d (x + l) 2, l\u003e 0

0 l l X Y 1 1 y \u003d (x + l) 2, l

Plot grafik fungsi dalam satu bidang koordinat:

Cari koordinat titik puncak parabola: Y=2(x-4)² +5 Y=-6(x-1)² Y=-x²+12 Y= x²+4 Y= (x+7)² - 9 Y=6 x² (4;5) (1;0) (0;12) (0;4) (-7;-9) (0;0)

Grafik fungsi kuadrat, sifat-sifatnya

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang dapat ditentukan dengan rumus bentuk y=ax² + bx+c, di mana x adalah variabel bebas, a, b dan c adalah beberapa bilangan (selain itu, a 0). Misalnya: y \u003d 5x ² + 6x + 3, y \u003d -7x ² + 8x-2, y \u003d 0.8x ² +5, y \u003d ¾ x ² -8x, y \u003d -12x ² fungsi kuadrat

Grafik fungsi kuadrat adalah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas (jika a > 0) atau ke bawah (jika a 0). y \u003d -7 x ² -x + 3 - grafiknya adalah parabola, cabang-cabangnya mengarah ke bawah (karena a \u003d -7, dan

Tentukan koordinat titik parabola dengan menggunakan rumus: Tandai titik ini pada bidang koordinat. Gambarkan sumbu simetri parabola melalui titik puncak parabola Temukan nol dari fungsi tersebut dan tandai pada garis bilangan Temukan koordinat dua titik tambahan dan titik-titik yang simetris Gambarlah kurva parabola. Algoritma solusi

Buat grafik fungsi y \u003d 2x ² + 4x-6, jelaskan sifat-sifatnya

X Y 1 1 -2 2 3 -1 1. D(y) = R 2. y=0 jika x= 1; -3 3. y > 0 jika x 4. y jika x y jika x 5. y naim = -8 jika x= -1 y naib tidak ada. 6. E (y): Periksa sendiri: y

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat Menggunakan Grafik Fungsi Kuadrat

Definisi: Pertidaksamaan, yang ruas kirinya merupakan polinomial derajat kedua, dan ruas kanannya nol, disebut pertidaksamaan derajat kedua. Semua pertidaksamaan kuadrat dapat direduksi menjadi salah satu bentuk berikut: 1) ax 2 + bx + c >0; 2) kapak 2 + bx + c

Pertidaksamaan mana yang akan Anda sebut pertidaksamaan tingkat kedua: 1) 6x 2 -13x>0; 2) x 2 -3 x -14>0; 3) (5+ x)(x -4)>7; 4) ; 5) 6) 8 x 2 >0; 7) (x -5) 2 -25>0;

Manakah bilangan yang merupakan solusi pertidaksamaan? 1 -3 0 -1 5 -4 -2 0,5 ? ? ? ? ? ? ? ?

Berapa jumlah akar persamaan a x 2 + b x+ c \u003d 0 dan tanda koefisien a jika grafik fungsi kuadrat yang sesuai terletak sebagai berikut: f a b c d e

Beri nama interval kekonstanan tanda suatu fungsi jika grafiknya terletak pada cara yang ditunjukkan: varian . saya pilihan. c b a a c b

Beri nama interval kekonstanan fungsi jika grafiknya terletak pada cara yang ditunjukkan: varian f(x)>0 untuk x R f(x) 0 untuk x (-∞ ;1) U (2.5;+∞ ); f(x)

Beri nama interval kekonstanan fungsi jika grafiknya terletak pada cara yang ditunjukkan: opsi f(x)>0 untuk x (-∞ ;-3) U (-3;+∞) f(x) 0 untuk x (-∞ ; 0,5) U (0,5;+∞) f(x)

Beri nama interval kekonstanan fungsi jika grafiknya terletak pada cara yang ditunjukkan opsi f (x)> 0 untuk x (-∞ ;-4) U (3; + ); f(x) 0 __________ ; f(x)

Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan derajat kedua dengan satu variabel 5x 2 +9x-2 0 (a x 2 + b x+ c 0 (y

Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan derajat kedua dengan satu variabel 5x 2 +9x-2 0 (a x 2 + b x+ c 0 (y 0 (y

Pada tabel 1, temukan solusi yang benar untuk pertidaksamaan 1, pada tabel 2 - solusi pertidaksamaan 2: 1. 2. Tabel 1 a c c d a b c d Tabel 2

Pada tabel 1, temukan solusi yang benar untuk pertidaksamaan 1, pada tabel 2, solusi pertidaksamaan 2: 1. 2. Tabel 1 a c c d a b c d Tabel 2

Pada tabel 1, temukan solusi yang benar untuk pertidaksamaan 1, pada tabel 2, solusi pertidaksamaan 2: 1. 2. Tabel 1 a c c d a b c d Tabel 2

Ringkasan pelajaran Saat menyelesaikan tugas-tugas ini, kami berhasil mensistematisasikan pengetahuan tentang penggunaan fungsi kuadrat. Matematika adalah bidang kegiatan yang bermakna, menarik, dan dapat diakses yang memberikan siswa makanan yang kaya untuk berpikir. Sifat-sifat fungsi kuadrat mendasari penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Banyak hubungan fisik diekspresikan oleh fungsi kuadrat; misalnya, sebuah batu dilemparkan ke atas dengan kecepatan v 0 pada saat t pada jarak s (t)=- q \2 t 2+ v 0 t dari permukaan bumi (di sini q adalah percepatan gravitasi); jumlah panas Q yang dilepaskan selama aliran arus dalam konduktor dengan resistansi R dinyatakan dalam kekuatan arus I dengan rumus Q \u003d RI 2. Pengetahuan tentang sifat-sifat fungsi kuadrat memungkinkan Anda menghitung jarak terbang tubuh dilemparkan vertikal ke atas atau pada sudut tertentu. Ini digunakan dalam industri pertahanan.

Tugas Kalimat yang Belum Selesai: Selesaikan salah satu dari tiga kalimat yang paling sesuai dengan kondisi Anda. "Sulit bagi saya untuk menyelesaikan tugas dan memecahkan masalah, karena ..." "Saya mudah menyelesaikan tugas dan memecahkan masalah, karena ..." "Menyenangkan dan menarik bagi saya untuk menyelesaikan tugas dan memecahkan masalah , karena ..."

Buku Pelajaran Pekerjaan Rumah No. 142; 190