Tujuan Pelajaran:

Bersifat mendidik:

• Level 1 - ajarkan cara menyelesaikan pertidaksamaan logaritma paling sederhana, menggunakan definisi logaritma, sifat-sifat logaritma;
• Level 2 - selesaikan ketidaksetaraan logaritmik, pilih metode solusi Anda sendiri;
• Level 3 - dapat menerapkan pengetahuan dan keterampilan dalam situasi yang tidak standar.

Mengembangkan: mengembangkan memori, perhatian, berpikir logis, keterampilan membandingkan, mampu menggeneralisasi dan menarik kesimpulan

Pendidikan: untuk menumbuhkan akurasi, tanggung jawab untuk tugas yang dilakukan, saling membantu.

Metode pengajaran: lisan , visual , praktis , pencarian sebagian , pemerintahan sendiri , kontrol.

Bentuk organisasi aktivitas kognitif siswa: frontal , individu , bekerja berpasangan.

Peralatan: satu set tugas tes, catatan referensi, lembar kosong untuk solusi.

Jenis pelajaran: mempelajari materi baru.

Selama kelas

1. Momen organisasi. Tema dan tujuan pelajaran diumumkan, skema pelajaran: setiap siswa diberikan lembar evaluasi, yang diisi siswa selama pelajaran; untuk setiap pasangan siswa - bahan cetak dengan tugas, Anda harus menyelesaikan tugas berpasangan; lembar kosong untuk keputusan; lembar referensi: definisi logaritma; grafik fungsi logaritma, sifat-sifatnya; sifat-sifat logaritma; algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma.

Semua keputusan setelah penilaian diri diserahkan kepada guru.

lembar skor siswa

2. Aktualisasi pengetahuan.

Instruksi guru. Ingat definisi logaritma, grafik fungsi logaritma dan sifat-sifatnya. Untuk melakukan ini, baca teks pada hlm. 88–90, 98-101 dari buku teks “Aljabar dan awal analisis 10–11” yang diedit oleh Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin, dan lainnya.

Siswa diberikan lembaran yang di atasnya tertulis: definisi logaritma; menunjukkan grafik fungsi logaritmik, sifat-sifatnya; sifat-sifat logaritma; algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik, contoh penyelesaian pertidaksamaan logaritmik yang direduksi menjadi kuadrat.

3. Mempelajari materi baru.

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma didasarkan pada kemonotonan fungsi logaritma.

Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma:

A) Temukan domain definisi pertidaksamaan (ekspresi sublogaritma lebih besar dari nol).
B) Sajikan (jika mungkin) bagian kiri dan kanan pertidaksamaan sebagai logaritma pada basis yang sama.
C) Tentukan apakah fungsi logaritma naik atau turun: jika t>1, maka naik; jika 0 1, kemudian menurun.
D) Pergi ke pertidaksamaan yang lebih sederhana (ekspresi sublogaritma), mengingat tanda pertidaksamaan akan dipertahankan jika fungsinya meningkat, dan akan berubah jika fungsi itu menurun.

Elemen pembelajaran #1.

Tujuan: untuk memperbaiki solusi dari pertidaksamaan logaritma yang paling sederhana

Bentuk organisasi aktivitas kognitif siswa: kerja individu.

Tugas untuk pekerjaan mandiri selama 10 menit. Untuk setiap ketidaksetaraan, ada beberapa jawaban, Anda harus memilih yang benar dan memeriksa dengan kunci.

KUNCI: 13321, poin maksimum - 6 p.

Elemen pembelajaran #2.

Tujuan: untuk memperbaiki solusi pertidaksamaan logaritma dengan menerapkan sifat-sifat logaritma.

Instruksi guru. Ingat sifat dasar logaritma. Untuk melakukan ini, baca teks buku teks di halaman 92, 103-104.

Tugas untuk pekerjaan mandiri selama 10 menit.

KUNCI: 2113, jumlah poin maksimum adalah 8 b.

Elemen pembelajaran #3.

Tujuan: mempelajari penyelesaian pertidaksamaan logaritma dengan metode reduksi kuadrat.

Instruksi guru: metode mengurangi pertidaksamaan menjadi kuadrat adalah Anda perlu mengubah pertidaksamaan menjadi bentuk sedemikian rupa sehingga fungsi logaritma tertentu dilambangkan dengan variabel baru, sambil memperoleh pertidaksamaan kuadrat sehubungan dengan variabel ini.

Mari kita gunakan metode interval.

Anda telah melewati tingkat pertama asimilasi materi. Sekarang Anda harus secara mandiri memilih metode untuk menyelesaikan persamaan logaritmik, menggunakan semua pengetahuan dan kemampuan Anda.

Elemen pembelajaran nomor 4.

Tujuan: untuk mengkonsolidasikan solusi pertidaksamaan logaritmik dengan memilih cara rasional untuk menyelesaikannya sendiri.

Tugas untuk pekerjaan mandiri selama 10 menit

Elemen pembelajaran nomor 5.

Instruksi guru. Sudah selesai dilakukan dengan baik! Anda telah menguasai solusi persamaan tingkat kerumitan kedua. Tujuan dari pekerjaan Anda selanjutnya adalah untuk menerapkan pengetahuan dan keterampilan Anda dalam situasi yang lebih kompleks dan tidak standar.

Tugas untuk solusi independen:

Instruksi guru. Ini bagus jika Anda telah melakukan semua pekerjaan. Sudah selesai dilakukan dengan baik!

Nilai untuk seluruh pelajaran tergantung pada jumlah poin yang dicetak untuk semua elemen pendidikan:

• jika N 20, maka Anda mendapatkan skor "5",
• untuk 16 N 19 – skor “4”,
• untuk 8 N 15 – skor “3”,
• di N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Diperkirakan rubah untuk diserahkan kepada guru.

5. Pekerjaan rumah: jika Anda mencetak tidak lebih dari 15 b - kerjakan kesalahannya (solusi dapat diambil dari guru), jika Anda mencetak lebih dari 15 b - lakukan tugas kreatif dengan topik "Pertidaksamaan logaritma".

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi orang tertentu atau menghubunginya.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja ketika Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Pertidaksamaan logaritma

Dalam pelajaran sebelumnya, kita berkenalan dengan persamaan logaritmik dan sekarang kita tahu apa itu dan bagaimana menyelesaikannya. Dan pelajaran hari ini akan dikhususkan untuk mempelajari ketidaksetaraan logaritmik. Apa pertidaksamaan ini dan apa perbedaan antara menyelesaikan persamaan logaritmik dan pertidaksamaan?

Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang memiliki variabel di bawah tanda logaritma atau pada basisnya.

Atau, dapat juga dikatakan bahwa pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang nilainya tidak diketahui, seperti dalam persamaan logaritma, akan berada di bawah tanda logaritma.

Pertidaksamaan logaritma yang paling sederhana terlihat seperti ini:

di mana f(x) dan g(x) adalah beberapa ekspresi yang bergantung pada x.

Mari kita lihat ini menggunakan contoh berikut: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Menyelesaikan pertidaksamaan logaritma

Sebelum menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, perlu diperhatikan bahwa ketika dipecahkan, persamaan tersebut mirip dengan pertidaksamaan eksponensial, yaitu:

Pertama, ketika berpindah dari logaritma ke ekspresi di bawah tanda logaritma, kita juga perlu membandingkan basis logaritma dengan satu;

Kedua, ketika menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik menggunakan perubahan variabel, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan terhadap perubahan tersebut sampai kita mendapatkan pertidaksamaan yang paling sederhana.

Tapi kamilah yang mempertimbangkan momen serupa untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik. Sekarang mari kita lihat perbedaan yang cukup signifikan. Anda dan saya tahu bahwa fungsi logaritma memiliki domain definisi yang terbatas, jadi ketika berpindah dari logaritma ke ekspresi di bawah tanda logaritma, Anda perlu mempertimbangkan kisaran nilai yang dapat diterima (ODV).

Artinya, harus diingat bahwa ketika menyelesaikan persamaan logaritmik, pertama-tama kita dapat menemukan akar persamaan, dan kemudian memeriksa solusi ini. Tetapi penyelesaian pertidaksamaan logaritma tidak akan berhasil dengan cara ini, karena berpindah dari logaritma ke ekspresi di bawah tanda logaritma, Anda perlu menuliskan ODZ pertidaksamaan.

Selain itu, perlu diingat bahwa teori pertidaksamaan terdiri dari bilangan real, yaitu bilangan positif dan negatif, serta bilangan 0.

Misalnya, bila bilangan "a" positif, maka harus digunakan notasi berikut: a > 0. Dalam hal ini, baik jumlah dan produk dari angka-angka ini juga akan positif.

Prinsip dasar untuk menyelesaikan pertidaksamaan adalah menggantinya dengan pertidaksamaan yang lebih sederhana, tetapi yang utama adalah itu setara dengan yang diberikan. Selanjutnya, kami juga memperoleh pertidaksamaan dan menggantinya lagi dengan yang bentuknya lebih sederhana, dan seterusnya.

Memecahkan ketidaksetaraan dengan variabel, Anda perlu menemukan semua solusinya. Jika dua pertidaksamaan memiliki variabel x yang sama, maka pertidaksamaan tersebut ekuivalen, asalkan penyelesaiannya sama.

Saat melakukan tugas untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik, perlu diingat bahwa ketika a > 1, maka fungsi logaritma meningkat, dan ketika 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan logaritma

Sekarang mari kita lihat beberapa metode yang terjadi saat menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik. Untuk pemahaman dan asimilasi yang lebih baik, kami akan mencoba memahaminya menggunakan contoh-contoh spesifik.

Kita tahu bahwa pertidaksamaan logaritma paling sederhana memiliki bentuk berikut:

Dalam pertidaksamaan ini, V - adalah salah satu tanda pertidaksamaan seperti:<,>, atau .

Ketika basis logaritma ini lebih besar dari satu (a>1), membuat transisi dari logaritma ke ekspresi di bawah tanda logaritma, maka dalam versi ini tanda pertidaksamaan dipertahankan, dan pertidaksamaan akan terlihat seperti ini:

yang setara dengan sistem berikut:

Dalam kasus ketika basis logaritma lebih besar dari nol dan kurang dari satu (0

Ini setara dengan sistem ini:

Mari kita lihat lebih banyak contoh penyelesaian pertidaksamaan logaritma paling sederhana yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini:

Solusi dari contoh

Latihan. Mari kita coba menyelesaikan ketidaksetaraan ini:

Keputusan area nilai yang dapat diterima.

Sekarang mari kita coba kalikan ruas kanannya dengan:

Mari kita lihat apa yang bisa kita lakukan:

Sekarang, mari kita beralih ke transformasi ekspresi sublogaritma. Karena basis logaritma adalah 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

Dan dari sini dapat disimpulkan bahwa interval yang telah kita peroleh sepenuhnya milik ODZ dan merupakan solusi untuk ketidaksetaraan tersebut.

Inilah jawaban yang kami dapatkan:

Apa yang diperlukan untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma?

Sekarang mari kita coba menganalisis apa yang kita butuhkan untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik dengan sukses?

Pertama, fokuskan semua perhatian Anda dan cobalah untuk tidak membuat kesalahan saat melakukan transformasi yang diberikan dalam ketidaksetaraan ini. Juga, harus diingat bahwa ketika memecahkan ketidaksetaraan seperti itu, perlu untuk mencegah perluasan dan penyempitan ketidaksetaraan ODZ, yang dapat menyebabkan hilangnya atau perolehan solusi asing.

Kedua, saat menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik, Anda perlu belajar berpikir logis dan memahami perbedaan antara konsep-konsep seperti sistem pertidaksamaan dan serangkaian pertidaksamaan, sehingga Anda dapat dengan mudah memilih solusi pertidaksamaan, sambil dipandu oleh DHS-nya.

Ketiga, agar berhasil memecahkan ketidaksetaraan seperti itu, Anda masing-masing harus mengetahui dengan baik semua sifat fungsi dasar dan memahami dengan jelas artinya. Fungsi-fungsi tersebut tidak hanya mencakup logaritmik, tetapi juga rasional, pangkat, trigonometri, dll., Singkatnya, semua yang Anda pelajari selama aljabar sekolah.

Seperti yang Anda lihat, setelah mempelajari topik pertidaksamaan logaritmik, tidak ada yang sulit dalam memecahkan pertidaksamaan ini, asalkan Anda penuh perhatian dan gigih dalam mencapai tujuan Anda. Agar tidak ada masalah dalam memecahkan ketidaksetaraan, Anda perlu berlatih sebanyak mungkin, menyelesaikan berbagai tugas dan pada saat yang sama menghafal cara-cara utama untuk menyelesaikan ketidaksetaraan tersebut dan sistemnya. Dengan solusi yang tidak berhasil untuk pertidaksamaan logaritmik, Anda harus menganalisis kesalahan Anda dengan hati-hati sehingga Anda tidak mengulanginya lagi di masa mendatang.

Pekerjaan rumah

Untuk asimilasi topik yang lebih baik dan konsolidasi materi yang dibahas, selesaikan ketidaksetaraan berikut:

Di antara seluruh variasi pertidaksamaan logaritmik, pertidaksamaan dengan basis variabel dipelajari secara terpisah. Mereka diselesaikan sesuai dengan formula khusus, yang karena alasan tertentu jarang diajarkan di sekolah:

log k (x ) f (x ) log k (x ) g (x ) (f (x ) g (x )) (k (x ) 1) 0

Alih-alih gagak "∨", Anda dapat meletakkan tanda ketidaksetaraan apa pun: kurang lebih. Hal utama adalah bahwa dalam kedua ketidaksetaraan tandanya sama.

Jadi kita singkirkan logaritma dan perkecil masalahnya menjadi ketidaksetaraan rasional. Yang terakhir ini jauh lebih mudah untuk dipecahkan, tetapi ketika membuang logaritma, akar tambahan mungkin muncul. Untuk memotongnya, cukup dengan menemukan kisaran nilai yang dapat diterima. Jika Anda lupa ODZ logaritma, saya sangat menyarankan untuk mengulanginya - lihat "Apa itu logaritma".

Segala sesuatu yang terkait dengan rentang nilai yang dapat diterima harus ditulis dan diselesaikan secara terpisah:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) 1.

Keempat ketidaksetaraan ini merupakan suatu sistem dan harus dipenuhi secara bersamaan. Ketika kisaran nilai yang dapat diterima ditemukan, ia masih harus menyeberanginya dengan solusi ketidaksetaraan rasional - dan jawabannya sudah siap.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

Pertama, mari kita tulis ODZ dari logaritma:

Dua ketidaksetaraan pertama dilakukan secara otomatis, dan yang terakhir harus ditulis. Karena kuadrat suatu bilangan adalah nol jika dan hanya jika bilangan itu sendiri adalah nol, kita memperoleh:

x 2 + 1 1;
x2 0;
x 0.

Ternyata ODZ dari logaritma adalah semua bilangan kecuali nol: x (−∞ 0)∪(0; +∞). Sekarang kami memecahkan ketidaksetaraan utama:

Kami melakukan transisi dari pertidaksamaan logaritmik ke pertidaksamaan rasional. Pada pertidaksamaan asal terdapat tanda “kurang dari”, maka pertidaksamaan yang dihasilkan juga harus memiliki tanda “kurang dari”. Kita punya:

(10 (x 2 + 1)) (x 2 + 1 1)< 0;
(9 x2) x2< 0;
(3 x) (3 + x) x 2< 0.

Nol dari ekspresi ini: x = 3; x = -3; x = 0. Selain itu, x = 0 adalah akar dari perkalian kedua, yang berarti bahwa ketika melewatinya, tanda fungsi tidak berubah. Kita punya:

Kami mendapatkan x (−∞ 3)∪(3; +∞). Himpunan ini sepenuhnya terkandung dalam ODZ dari logaritma, yang berarti bahwa ini adalah jawabannya.

Transformasi pertidaksamaan logaritma

Seringkali ketidaksetaraan asli berbeda dari yang di atas. Ini mudah diperbaiki sesuai dengan aturan standar untuk bekerja dengan logaritma - lihat "Sifat dasar logaritma". Yaitu:

1. Setiap nomor dapat direpresentasikan sebagai logaritma dengan basis yang diberikan;
2. Jumlah dan selisih logaritma dengan basis yang sama dapat diganti dengan logaritma tunggal.

Secara terpisah, saya ingin mengingatkan Anda tentang kisaran nilai yang dapat diterima. Karena mungkin ada beberapa logaritma dalam pertidaksamaan asli, maka diperlukan untuk menemukan DPV dari masing-masingnya. Dengan demikian, skema umum untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma adalah sebagai berikut:

1. Temukan ODZ dari setiap logaritma yang termasuk dalam pertidaksamaan;
2. Kurangi pertidaksamaan ke standar menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan logaritma;
3. Selesaikan pertidaksamaan yang dihasilkan sesuai dengan skema di atas.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

Temukan domain definisi (ODZ) dari logaritma pertama:

Kami memecahkan dengan metode interval. Mencari angka nol pembilangnya:

3x 2 = 0;
x = 2/3.

Kemudian - nol penyebut:

x 1 = 0;
x = 1.

Kami menandai nol dan tanda pada panah koordinat:

Kami mendapatkan x (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Logaritma kedua dari ODZ akan sama. Jika Anda tidak percaya saya, Anda dapat memeriksa. Sekarang kita ubah logaritma kedua sehingga basisnya adalah dua:

Seperti yang Anda lihat, tiga kali lipat di pangkalan dan sebelum logaritma telah menyusut. Dapatkan dua logaritma dengan basis yang sama. Mari kita satukan:

log 2 (x 1) 2< 2;
log 2 (x 1) 2< log 2 2 2 .

Kami telah memperoleh ketidaksetaraan logaritmik standar. Kami menyingkirkan logaritma dengan rumus. Karena ada tanda kurang dari pada pertidaksamaan asli, ekspresi rasional yang dihasilkan juga harus lebih kecil dari nol. Kita punya:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x 1) 2 2 2)(2 1)< 0;
x 2 2x + 1 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x 3)(x + 1)< 0;
x (−1; 3).

Kami mendapat dua set:

1. ODZ: x (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Kandidat jawaban: x (−1; 3).

Tetap melewati set ini - kami mendapatkan jawaban sebenarnya:

Kami tertarik pada perpotongan himpunan, jadi kami memilih interval yang diarsir pada kedua panah. Kami mendapatkan x (−1; 2/3)∪(1; 3) - semua titik tertusuk.