Petunjuk

Video Terkait

catatan

Saat menghitung sisi segitiga siku-siku, pengetahuan tentang fitur-fiturnya dapat dimainkan:
1) Jika kaki sudut siku-siku terletak di depan sudut 30 derajat, maka itu sama dengan setengah sisi miring;
2) sisi miring selalu lebih panjang dari kaki mana pun;
3) Jika sebuah lingkaran dibatasi di sekitar segitiga siku-siku, maka pusatnya harus terletak di tengah-tengah sisi miring.

Hipotenusa adalah sisi pada segitiga siku-siku yang berhadapan dengan sudut 90 derajat. Untuk menghitung panjangnya, cukup mengetahui panjang salah satu kakinya dan nilai salah satu sudut lancip segitiga.

Petunjuk

Beri tahu kami salah satu kaki dan sudut yang berdekatan dengannya. Untuk kepastian, biarkan menjadi kaki |AB| dan sudut . Kemudian kita dapat menggunakan rumus untuk rasio cosinus - cosinus trigonometri dari kaki yang berdekatan. Itu. dalam notasi kita cos = |AB| / |AC|. Dari sini kita mendapatkan panjang sisi miring |AC| = |AB| / cosα.
Jika kita mengetahui kaki |BC| dan sudut , maka kita menggunakan rumus untuk menghitung sinus sudut - sinus sudut sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring: sin = |BC| / |AC|. Kami mendapatkan bahwa panjang sisi miring ditemukan sebagai |AC| = |SM| / cosα.

Untuk kejelasan, pertimbangkan sebuah contoh. Misal panjang kaki |AB| = 15. Dan sudut = 60°. Kami mendapatkan |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Pertimbangkan bagaimana Anda dapat memeriksa hasil Anda menggunakan teorema Pythagoras. Untuk melakukan ini, kita perlu menghitung panjang kaki kedua |BC|. Menggunakan rumus tangen sudut tg = |BC| / |AC|, kita peroleh |BC| = |AB| * tg = 15 * tg 60° = 15 * 3. Selanjutnya, kita terapkan teorema Pythagoras, kita mendapatkan 15^2 + (15 * 3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Verifikasi selesai.

Saran yang bermanfaat

Setelah menghitung sisi miring, periksa apakah nilai yang dihasilkan memenuhi teorema Pythagoras.

Sumber:

• Tabel bilangan prima dari 1 hingga 10000

Kaki nama dua sisi pendek segitiga siku-siku, yang merupakan simpulnya, yang nilainya 90 °. Sisi ketiga dalam segitiga seperti itu disebut sisi miring. Semua sisi dan sudut segitiga ini saling berhubungan oleh hubungan tertentu yang memungkinkan Anda menghitung panjang kaki jika beberapa parameter lain diketahui.

Petunjuk

Gunakan teorema Pythagoras untuk kaki (A) jika Anda mengetahui panjang dua sisi lainnya (B dan C) dari segitiga siku-siku. Teorema ini menyatakan bahwa jumlah panjang kaki kuadrat sama dengan kuadrat sisi miring. Dari sini dapat disimpulkan bahwa panjang masing-masing kaki sama dengan akar kuadrat dari panjang sisi miring dan kaki kedua: A=√(C²-B²).

Gunakan definisi fungsi trigonometri langsung "sinus" untuk sudut lancip, jika Anda mengetahui nilai sudut (α) di seberang kaki yang dihitung, dan panjang sisi miring (C). Ini menyatakan bahwa sinus yang diketahui ini adalah rasio panjang kaki yang diinginkan dengan panjang sisi miring. Ini adalah bahwa panjang kaki yang diinginkan sama dengan produk dari panjang sisi miring dan sinus dari sudut yang diketahui: A=C∗sin(α). Untuk nilai yang diketahui sama, Anda dapat menggunakan kosekan dan menghitung panjang yang diinginkan dengan membagi panjang sisi miring dengan kosekan dari sudut yang diketahui A=C/cosec(α).

Gunakan definisi fungsi kosinus trigonometri langsung jika, selain panjang sisi miring (C), nilai sudut lancip (β) yang berdekatan dengan yang diperlukan juga diketahui. Kosinus sudut ini adalah rasio panjang kaki yang diinginkan dan sisi miring, dan dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa panjang kaki sama dengan produk dari panjang sisi miring dan kosinus dari sudut yang diketahui: A=C∗cos(β). Anda dapat menggunakan definisi fungsi garis potong dan menghitung nilai yang diinginkan dengan membagi panjang sisi miring dengan garis potong dari sudut yang diketahui A=C/detik(β).

Turunkan rumus yang diperlukan dari definisi serupa untuk turunan tangen fungsi trigonometri, jika, selain nilai sudut lancip (α) yang terletak di seberang kaki yang diinginkan (A), panjang kaki kedua (B) adalah diketahui. Garis singgung sudut yang berlawanan dengan kaki yang diinginkan adalah rasio panjang kaki ini dengan panjang kaki kedua. Ini berarti bahwa nilai yang diinginkan akan sama dengan produk dari panjang kaki yang diketahui dan garis singgung dari sudut yang diketahui: A=B∗tg(α). Dari besaran-besaran yang diketahui ini, rumus lain dapat diturunkan menggunakan definisi fungsi kotangen. Dalam hal ini, untuk menghitung panjang kaki, perlu dicari perbandingan panjang kaki yang diketahui dengan kotangen dari sudut yang diketahui: A=B/ctg(α).

Video Terkait

Kata "katet" datang ke bahasa Rusia dari bahasa Yunani. Dalam terjemahan yang tepat, itu berarti garis tegak lurus, yaitu tegak lurus terhadap permukaan bumi. Dalam matematika, kaki disebut sisi yang membentuk sudut siku-siku pada segitiga siku-siku. Sisi yang berhadapan dengan sudut ini disebut hipotenusa. Istilah "kaki" juga digunakan dalam arsitektur dan teknologi pengelasan.

Garis potong dari sudut ini diperoleh dengan membagi sisi miring dengan kaki yang berdekatan, yaitu secCAB=c/b. Ternyata kebalikan dari kosinus, yaitu dapat dinyatakan dengan rumus secCAB=1/cosSAB.
Kosekan sama dengan hasil bagi membagi sisi miring dengan kaki yang berlawanan dan merupakan kebalikan dari sinus. Itu dapat dihitung menggunakan rumus cosecCAB=1/sinCAB

Kedua kaki saling berhubungan dan kotangen. Dalam hal ini, garis singgung akan menjadi rasio sisi a ke sisi b, yaitu, kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan. Rasio ini dapat dinyatakan dengan rumus tgCAB=a/b. Dengan demikian, rasio terbalik akan menjadi kotangen: ctgCAB=b/a.

Rasio antara ukuran sisi miring dan kedua kaki ditentukan oleh Pythagoras Yunani kuno. Teorema, namanya, orang masih menggunakan. Dikatakan bahwa kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki, yaitu c2 \u003d a2 + b2. Dengan demikian, setiap kaki akan sama dengan akar kuadrat dari perbedaan antara kuadrat sisi miring dan kaki lainnya. Rumus ini dapat ditulis sebagai b=√(c2-a2).

Panjang kaki juga bisa diungkapkan melalui hubungan lho. Menurut teorema sinus dan cosinus, kaki sama dengan produk dari sisi miring dan salah satu fungsi ini. Anda dapat mengekspresikannya dan atau kotangen. Kaki a dapat ditemukan, misalnya, dengan rumus a \u003d b * tan CAB. Dengan cara yang persis sama, tergantung pada tangen atau , kaki kedua ditentukan.

Dalam arsitektur, istilah "kaki" juga digunakan. Itu diterapkan pada ibu kota ionik dan menembus bagian tengah punggungnya. Artinya, dalam hal ini, dengan istilah ini, tegak lurus terhadap garis yang diberikan.

Dalam teknologi pengelasan, ada "kaki las fillet". Seperti dalam kasus lain, ini adalah jarak terpendek. Di sini kita berbicara tentang celah antara salah satu bagian yang akan dilas dengan batas jahitan yang terletak di permukaan bagian lainnya.

Video Terkait

Sumber:

• apa kaki dan sisi miring pada tahun 2019

Konsep sinus (), cosinus (), tangen (), kotangen () terkait erat dengan konsep sudut. Untuk memahami dengan baik ini, pada pandangan pertama, konsep-konsep kompleks (yang menyebabkan keadaan ngeri di banyak anak sekolah), dan memastikan bahwa "iblis tidak seseram yang dia lukis", mari kita mulai dari awal dan memahami konsep sudut.

Konsep sudut: radian, derajat

Mari kita lihat gambarnya. Vektor "berputar" relatif terhadap titik dengan jumlah tertentu. Jadi ukuran rotasi ini relatif terhadap posisi awal adalah injeksi.

Apa lagi yang perlu Anda ketahui tentang konsep sudut? Nah, satuan sudut, tentu saja!

Sudut, baik dalam geometri maupun trigonometri, dapat diukur dalam derajat dan radian.

Sudut pada (satu derajat) adalah sudut pusat dalam lingkaran, berdasarkan busur lingkaran yang sama dengan bagian lingkaran. Dengan demikian, seluruh lingkaran terdiri dari "potongan" busur lingkaran, atau sudut yang dijelaskan oleh lingkaran adalah sama.

Artinya, gambar di atas menunjukkan sudut yang sama besar, yaitu sudut ini didasarkan pada busur lingkaran dengan ukuran keliling.

Sudut dalam radian adalah sudut pusat dalam lingkaran, berdasarkan busur lingkaran, yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran. Nah, apakah Anda mengerti? Jika belum, mari kita lihat gambarnya.

Jadi, gambar menunjukkan sudut yang sama dengan radian, yaitu sudut ini didasarkan pada busur lingkaran, yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran (panjang sama dengan panjang atau jari-jari sama dengan panjang busur). Jadi, panjang busur dihitung dengan rumus:

Dimana sudut pusat dalam radian.

Nah, mengetahui hal ini, dapatkah Anda menjawab berapa radian yang mengandung sudut yang dijelaskan oleh lingkaran? Ya, untuk ini Anda perlu mengingat rumus keliling lingkaran. Ini dia:

Nah, sekarang mari kita korelasikan kedua rumus ini dan dapatkan bahwa sudut yang digambarkan oleh lingkaran adalah sama. Artinya, mengkorelasikan nilai dalam derajat dan radian, kita mendapatkan itu. Masing-masing, . Seperti yang Anda lihat, tidak seperti "derajat", kata "radian" dihilangkan, karena unit pengukuran biasanya jelas dari konteksnya.

Berapa radian? Betul sekali!

Mengerti? Kemudian kencangkan ke depan:

Ada kesulitan? Kemudian lihat jawaban:

Segitiga siku-siku: sinus, cosinus, tangen, kotangen suatu sudut

Jadi, dengan konsep sudut tahu. Tapi apa sinus, cosinus, tangen, kotangen dari suatu sudut? Mari kita cari tahu. Untuk ini, segitiga siku-siku akan membantu kita.

Apa yang disebut sisi segitiga siku-siku? Itu benar, sisi miring dan kaki: sisi miring adalah sisi yang terletak di seberang sudut siku-siku (dalam contoh kita, ini adalah sisi); kaki adalah dua sisi yang tersisa dan (yang berbatasan dengan sudut kanan), apalagi jika kita menganggap kaki sehubungan dengan sudut, maka kaki adalah kaki yang berdekatan, dan kaki adalah yang berlawanan. Jadi, sekarang mari kita jawab pertanyaannya: apa itu sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari suatu sudut?

sinus suatu sudut adalah rasio kaki yang berlawanan (jauh) dengan sisi miring.

di segitiga kita.

Cosinus suatu sudut- ini adalah rasio kaki yang berdekatan (dekat) dengan sisi miring.

di segitiga kita.

Tangen sudut- ini adalah rasio kaki yang berlawanan (jauh) dengan kaki yang berdekatan (dekat).

di segitiga kita.

Kotangen suatu sudut- ini adalah rasio kaki yang berdekatan (dekat) dengan yang berlawanan (jauh).

di segitiga kita.

Definisi ini diperlukan ingat! Agar lebih mudah mengingat kaki mana yang harus dibagi dengan apa, Anda perlu memahami dengan jelas bahwa di garis singgung dan kotangens hanya kaki yang duduk, dan sisi miring hanya muncul di sinus dan kosinus. Dan kemudian Anda dapat membuat rantai asosiasi. Misalnya, yang ini:

kosinus→sentuh→sentuh→berdekatan;

Kotangen→sentuh→sentuh→berdekatan.

Pertama-tama, perlu diingat bahwa sinus, cosinus, tangen, dan kotangen sebagai rasio sisi-sisi segitiga tidak bergantung pada panjang sisi-sisi ini (pada satu sudut). Tidak percaya? Kemudian pastikan dengan melihat gambar:

Perhatikan, misalnya, kosinus suatu sudut. Menurut definisi, dari segitiga: , tetapi kita dapat menghitung kosinus suatu sudut dari segitiga: . Soalnya, panjang sisinya berbeda, tetapi nilai cosinus salah satu sudutnya sama. Dengan demikian, nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen hanya bergantung pada besar sudut.

Jika Anda memahami definisinya, lanjutkan dan perbaiki!

Untuk segitiga yang ditunjukkan pada gambar di bawah, kita temukan.

Nah, apakah Anda mendapatkannya? Kemudian coba sendiri: hitung sama untuk sudut.

Satuan (trigonometri) lingkaran

Memahami konsep derajat dan radian, kami menganggap lingkaran dengan jari-jari sama dengan. Lingkaran seperti itu disebut lajang. Hal ini sangat berguna dalam studi trigonometri. Karena itu, kami membahasnya lebih detail.

Seperti yang Anda lihat, lingkaran ini dibangun dalam sistem koordinat Cartesian. Jari-jari lingkaran sama dengan satu, sedangkan pusat lingkaran terletak di titik asal, posisi awal vektor jari-jari ditetapkan sepanjang arah positif sumbu (dalam contoh kita, ini adalah jari-jari).

Setiap titik lingkaran sesuai dengan dua angka: koordinat sepanjang sumbu dan koordinat sepanjang sumbu. Berapakah bilangan koordinat ini? Dan secara umum, apa hubungannya dengan topik yang dibahas? Untuk melakukan ini, ingat tentang segitiga siku-siku yang dipertimbangkan. Pada gambar di atas, Anda dapat melihat dua segitiga siku-siku. Pertimbangkan sebuah segitiga. Berbentuk persegi panjang karena tegak lurus dengan sumbunya.

Apa yang sama dengan dari segitiga? Betul sekali. Selain itu, kita tahu bahwa adalah jari-jari lingkaran satuan, dan oleh karena itu, . Substitusikan nilai ini ke dalam rumus kosinus kita. Inilah yang terjadi:

Dan apa yang sama dengan dari segitiga? Yah, tentu saja, ! Substitusikan nilai radius ke dalam rumus ini dan dapatkan:

Jadi, bisakah Anda memberi tahu saya apa koordinat titik yang termasuk dalam lingkaran? Yah, tidak mungkin? Dan jika Anda menyadarinya dan hanya angka? Koordinat apa yang sesuai? Yah, tentu saja, koordinatnya! Koordinat apa yang sesuai? Itu benar, koordinat! Jadi, intinya.

Dan apa yang sama dan? Itu benar, mari kita gunakan definisi tangen dan kotangen yang sesuai dan dapatkan, a.

Bagaimana jika sudutnya lebih besar? Di sini, misalnya, seperti pada gambar ini:

Apa yang berubah dalam contoh ini? Mari kita cari tahu. Untuk melakukan ini, kita kembali ke segitiga siku-siku. Pertimbangkan segitiga siku-siku: sebuah sudut (berdekatan dengan sudut). Berapakah nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut? Itu benar, kami mematuhi definisi fungsi trigonometri yang sesuai:

Nah, seperti yang Anda lihat, nilai sinus sudut masih sesuai dengan koordinat; nilai kosinus sudut - koordinat; dan nilai tangen dan kotangen dengan rasio yang sesuai. Dengan demikian, hubungan ini berlaku untuk setiap rotasi dari vektor radius.

Telah disebutkan bahwa posisi awal vektor jari-jari adalah sepanjang arah positif sumbu. Sejauh ini kita telah memutar vektor ini berlawanan arah jarum jam, tetapi apa yang terjadi jika kita memutarnya searah jarum jam? Tidak ada yang luar biasa, Anda juga akan mendapatkan sudut dengan ukuran tertentu, tetapi hanya akan negatif. Jadi, ketika memutar vektor radius berlawanan arah jarum jam, kita mendapatkan sudut positif, dan ketika berputar searah jarum jam - negatif.

Jadi, kita tahu bahwa seluruh revolusi vektor jari-jari di sekitar lingkaran adalah atau. Apakah mungkin untuk memutar vektor radius oleh atau oleh? Yah, tentu saja Anda bisa! Dalam kasus pertama, oleh karena itu, vektor radius akan membuat satu putaran penuh dan berhenti pada posisi atau.

Dalam kasus kedua, yaitu, vektor radius akan membuat tiga putaran penuh dan berhenti di posisi atau.

Jadi, dari contoh di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa sudut yang berbeda dengan atau (di mana bilangan bulat apa pun) sesuai dengan posisi yang sama dari vektor jari-jari.

Gambar di bawah menunjukkan sudut. Gambar yang sama sesuai dengan sudut, dan seterusnya. Daftar ini dapat dilanjutkan tanpa batas. Semua sudut ini dapat ditulis dengan rumus umum atau (di mana sembarang bilangan bulat)

Sekarang, mengetahui definisi fungsi trigonometri dasar dan menggunakan lingkaran satuan, coba jawab apa nilainya sama dengan:

Inilah lingkaran unit untuk membantu Anda:

Ada kesulitan? Lalu mari kita cari tahu. Jadi kita tahu bahwa:

Dari sini, kami menentukan koordinat titik-titik yang sesuai dengan ukuran sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulai secara berurutan: sudut di sesuai dengan titik dengan koordinat, oleh karena itu:

Tidak ada;

Selanjutnya, mengikuti logika yang sama, kami menemukan bahwa sudut-sudut di masing-masing sesuai dengan titik-titik dengan koordinat. Mengetahui hal ini, mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri pada titik yang sesuai. Coba sendiri dulu, baru cek jawabannya.

Jawaban:

Tidak ada

Tidak ada

Tidak ada

Tidak ada

Dengan demikian, kita dapat membuat tabel berikut:

Tidak perlu mengingat semua nilai ini. Cukup mengingat korespondensi antara koordinat titik pada lingkaran satuan dan nilai fungsi trigonometri:

Tetapi nilai-nilai fungsi trigonometri sudut dalam dan, diberikan dalam tabel di bawah ini, harus diingat:

Jangan takut, sekarang kami akan menunjukkan salah satu contohnya menghafal yang agak sederhana dari nilai-nilai yang sesuai:

Untuk menggunakan metode ini, sangat penting untuk mengingat nilai sinus untuk ketiga ukuran sudut (), serta nilai tangen sudut masuk. Mengetahui nilai-nilai ini, cukup mudah untuk mengembalikan seluruh tabel - nilai cosinus ditransfer sesuai dengan panah, yaitu:

Mengetahui hal ini, Anda dapat mengembalikan nilai untuk. Pembilang " " akan cocok dan penyebut " " akan cocok. Nilai kotangen ditransfer sesuai dengan panah yang ditunjukkan pada gambar. Jika Anda memahami ini dan mengingat diagram dengan panah, maka itu akan cukup untuk mengingat seluruh nilai dari tabel.

Koordinat titik pada lingkaran

Apakah mungkin untuk menemukan titik (koordinatnya) pada lingkaran, mengetahui koordinat pusat lingkaran, jari-jarinya, dan sudut rotasinya?

Yah, tentu saja Anda bisa! Ayo keluarkan rumus umum untuk mencari koordinat titik.

Di sini, misalnya, kami memiliki lingkaran seperti itu:

Diketahui bahwa titik adalah pusat lingkaran. Jari-jari lingkaran adalah sama. Penting untuk menemukan koordinat titik yang diperoleh dengan memutar titik demi derajat.

Seperti dapat dilihat dari gambar, koordinat titik sesuai dengan panjang segmen. Panjang segmen sesuai dengan koordinat pusat lingkaran, yaitu sama dengan. Panjang segmen dapat dinyatakan dengan menggunakan definisi kosinus:

Kemudian kita memilikinya untuk titik koordinat.

Dengan logika yang sama, kita menemukan nilai koordinat y untuk titik tersebut. Dengan demikian,

Jadi, secara umum, koordinat titik ditentukan oleh rumus:

Koordinat pusat lingkaran,

radius lingkaran,

Sudut rotasi vektor radius.

Seperti yang Anda lihat, untuk lingkaran satuan yang kami pertimbangkan, rumus-rumus ini berkurang secara signifikan, karena koordinat pusatnya nol, dan jari-jarinya sama dengan satu:

Baiklah, mari kita coba rumus-rumus ini untuk mencicipi, berlatih menemukan titik pada lingkaran?

1. Temukan koordinat titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik.

2. Temukan koordinat titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik pada.

3. Temukan koordinat titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik.

4. Titik - pusat lingkaran. Jari-jari lingkaran adalah sama. Penting untuk menemukan koordinat titik yang diperoleh dengan memutar vektor radius awal dengan.

5. Titik - pusat lingkaran. Jari-jari lingkaran adalah sama. Penting untuk menemukan koordinat titik yang diperoleh dengan memutar vektor radius awal dengan.

Kesulitan mencari koordinat titik pada lingkaran?

Selesaikan lima contoh ini (atau pahami solusinya dengan baik) dan Anda akan belajar bagaimana menemukannya!

1.

Dapat dilihat bahwa. Dan kita tahu apa yang sesuai dengan putaran penuh dari titik awal. Dengan demikian, titik yang diinginkan akan berada pada posisi yang sama seperti saat berbelok. Mengetahui hal ini, kami menemukan koordinat titik yang diinginkan:

2. Lingkaran adalah unit dengan pusat pada suatu titik, yang berarti bahwa kita dapat menggunakan rumus yang disederhanakan:

Dapat dilihat bahwa. Kita tahu apa yang sesuai dengan dua rotasi lengkap dari titik awal. Dengan demikian, titik yang diinginkan akan berada pada posisi yang sama seperti saat berbelok. Mengetahui hal ini, kami menemukan koordinat titik yang diinginkan:

Sinus dan kosinus adalah nilai tabular. Kami mengingat nilai-nilai mereka dan mendapatkan:

Dengan demikian, titik yang diinginkan memiliki koordinat.

3. Lingkaran adalah unit dengan pusat pada suatu titik, yang berarti bahwa kita dapat menggunakan rumus yang disederhanakan:

Dapat dilihat bahwa. Mari kita gambarkan contoh yang dipertimbangkan dalam gambar:

Jari-jari membuat sudut dengan sumbu sama dengan dan. Mengetahui bahwa nilai tabular cosinus dan sinus adalah sama, dan setelah menentukan bahwa cosinus di sini mengambil nilai negatif, dan sinus positif, kita memiliki:

Contoh serupa dianalisis secara lebih rinci ketika mempelajari rumus untuk mengurangi fungsi trigonometri dalam topik.

Dengan demikian, titik yang diinginkan memiliki koordinat.

4.

Sudut rotasi vektor radius (berdasarkan kondisi)

Untuk menentukan tanda-tanda sinus dan cosinus yang bersesuaian, kita membuat lingkaran satuan dan sudut:

Seperti yang Anda lihat, nilainya, yaitu positif, dan nilainya, yaitu negatif. Mengetahui nilai tabel dari fungsi trigonometri yang sesuai, kami memperoleh bahwa:

Mari kita substitusikan nilai yang diperoleh ke dalam rumus kita dan temukan koordinatnya:

Dengan demikian, titik yang diinginkan memiliki koordinat.

5. Untuk mengatasi masalah ini, kami menggunakan rumus dalam bentuk umum, di mana

Koordinat pusat lingkaran (dalam contoh kita,

Radius lingkaran (berdasarkan kondisi)

Sudut rotasi vektor radius (berdasarkan kondisi).

Substitusikan semua nilai ke dalam rumus dan dapatkan:

dan - nilai tabel. Kami mengingat dan menggantinya ke dalam rumus:

Dengan demikian, titik yang diinginkan memiliki koordinat.

RINGKASAN DAN FORMULA DASAR

Sinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berhadapan (jauh) dengan sisi miring.

Cosinus suatu sudut adalah rasio kaki yang berdekatan (dekat) dengan sisi miring.

Garis singgung suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berhadapan (jauh) dengan kaki yang bersebelahan (dekat).

Kotangen suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berdekatan (dekat) dengan kaki yang berhadapan (jauh).

Salah satu cabang matematika yang dengannya anak sekolah mengatasi kesulitan terbesar adalah trigonometri. Tidak heran: untuk menguasai bidang pengetahuan ini dengan bebas, Anda memerlukan pemikiran spasial, kemampuan menemukan sinus, kosinus, garis singgung, kotangen menggunakan rumus, menyederhanakan ekspresi, dan dapat menggunakan angka pi dalam perhitungan. Selain itu, Anda harus dapat menerapkan trigonometri saat membuktikan teorema, dan ini membutuhkan memori matematika yang dikembangkan atau kemampuan untuk menyimpulkan rantai logis yang kompleks.

Asal-usul trigonometri

Mengenal ilmu ini harus dimulai dengan definisi sinus, kosinus, dan tangen sudut, tetapi pertama-tama Anda perlu mencari tahu apa yang dilakukan trigonometri secara umum.

Secara historis, segitiga siku-siku telah menjadi objek studi utama dalam bagian ilmu matematika ini. Kehadiran sudut 90 derajat memungkinkan untuk melakukan berbagai operasi yang memungkinkan seseorang untuk menentukan nilai semua parameter gambar yang dipertimbangkan menggunakan dua sisi dan satu sudut atau dua sudut dan satu sisi. Di masa lalu, orang memperhatikan pola ini dan mulai aktif menggunakannya dalam konstruksi bangunan, navigasi, astronomi, dan bahkan seni.

Tahap pertama

Awalnya, orang berbicara tentang hubungan sudut dan sisi secara eksklusif pada contoh segitiga siku-siku. Kemudian formula khusus ditemukan yang memungkinkan untuk memperluas batas penggunaan dalam kehidupan sehari-hari dari bagian matematika ini.

Studi trigonometri di sekolah hari ini dimulai dengan segitiga siku-siku, setelah itu pengetahuan yang diperoleh digunakan oleh siswa dalam fisika dan memecahkan persamaan trigonometri abstrak, pekerjaan yang dimulai di sekolah menengah.

trigonometri bola

Kemudian, ketika sains mencapai tingkat perkembangan berikutnya, rumus dengan sinus, kosinus, tangen, kotangen mulai digunakan dalam geometri bola, di mana aturan yang berbeda berlaku, dan jumlah sudut dalam segitiga selalu lebih dari 180 derajat. Bagian ini tidak dipelajari di sekolah, tetapi perlu diketahui keberadaannya, setidaknya karena permukaan bumi, dan permukaan planet lain, adalah cembung, yang berarti bahwa setiap tanda permukaan akan "berbentuk busur" di ruang tiga dimensi.

Ambil globe dan benang. Pasang utas ke dua titik mana pun di globe sehingga kencang. Perhatikan - ia telah memperoleh bentuk busur. Dengan bentuk-bentuk seperti itulah geometri bola, yang digunakan dalam geodesi, astronomi, dan bidang teoretis dan terapan lainnya, berkaitan.

Segitiga siku-siku

Setelah mempelajari sedikit tentang cara menggunakan trigonometri, mari kembali ke trigonometri dasar untuk lebih memahami apa itu sinus, cosinus, tangen, perhitungan apa yang dapat dilakukan dengan bantuan mereka dan rumus apa yang digunakan.

Langkah pertama adalah memahami konsep-konsep yang berkaitan dengan segitiga siku-siku. Pertama, sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan sudut 90 derajat. Dia yang terpanjang. Kita ingat bahwa, menurut teorema Pythagoras, nilai numeriknya sama dengan akar jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya.

Misalnya, jika dua sisi masing-masing berukuran 3 dan 4 sentimeter, panjang sisi miringnya adalah 5 sentimeter. Ngomong-ngomong, orang Mesir kuno tahu tentang ini sekitar empat setengah ribu tahun yang lalu.

Dua sisi tersisa yang membentuk sudut siku-siku disebut kaki. Selain itu, kita harus ingat bahwa jumlah sudut dalam segitiga dalam sistem koordinat persegi panjang adalah 180 derajat.

Definisi

Akhirnya, dengan pemahaman yang kuat tentang dasar geometris, kita dapat beralih ke definisi sinus, kosinus, dan tangen suatu sudut.

Sinus suatu sudut adalah rasio kaki yang berlawanan (yaitu, sisi yang berlawanan dengan sudut yang diinginkan) dengan sisi miring. Cosinus suatu sudut adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.

Ingatlah bahwa baik sinus maupun cosinus tidak boleh lebih besar dari satu! Mengapa? Karena sisi miring secara default terpanjang. Tidak peduli berapa panjang kakinya, itu akan lebih pendek dari sisi miring, yang berarti rasio mereka akan selalu kurang dari satu. Jadi, jika Anda mendapatkan sinus atau kosinus dengan nilai lebih besar dari 1 dalam jawaban soal, cari kesalahan dalam perhitungan atau penalaran. Jawaban ini jelas salah.

Akhirnya, garis singgung suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang bersebelahan. Hasil yang sama akan memberikan pembagian sinus dengan kosinus. Lihat: sesuai dengan rumus, kita membagi panjang sisi dengan sisi miring, setelah itu kita membagi dengan panjang sisi kedua dan dikalikan dengan sisi miring. Dengan demikian, kita mendapatkan rasio yang sama seperti pada definisi tangen.

Kotangen, masing-masing, adalah rasio sisi yang berdekatan dengan sudut ke sisi yang berlawanan. Kami mendapatkan hasil yang sama dengan membagi unit dengan garis singgung.

Jadi, kami telah mempertimbangkan definisi sinus, kosinus, tangen, dan kotangen, dan kami dapat menangani rumus.

Rumus paling sederhana

Dalam trigonometri, seseorang tidak dapat melakukannya tanpa rumus - bagaimana menemukan sinus, kosinus, tangen, kotangen tanpanya? Dan inilah tepatnya yang dibutuhkan ketika memecahkan masalah.

Rumus pertama yang perlu Anda ketahui ketika mulai belajar trigonometri mengatakan bahwa jumlah kuadrat dari sinus dan cosinus suatu sudut sama dengan satu. Rumus ini merupakan konsekuensi langsung dari teorema Pythagoras, tetapi menghemat waktu jika Anda ingin mengetahui nilai sudut, bukan sisinya.

Banyak siswa tidak dapat mengingat rumus kedua, yang juga sangat populer ketika memecahkan masalah sekolah: jumlah satu dan kuadrat dari garis singgung suatu sudut sama dengan satu dibagi dengan kuadrat dari kosinus sudut. Perhatikan lebih dekat: bagaimanapun, ini adalah pernyataan yang sama seperti pada rumus pertama, hanya kedua sisi identitas yang dibagi dengan kuadrat kosinus. Ternyata operasi matematika sederhana membuat rumus trigonometri benar-benar tidak dapat dikenali. Ingat: mengetahui apa itu sinus, kosinus, tangen dan kotangen, aturan konversi dan beberapa rumus dasar, Anda dapat setiap saat secara mandiri memperoleh rumus yang lebih kompleks yang diperlukan pada selembar kertas.

Rumus sudut ganda dan penambahan argumen

Dua rumus lagi yang perlu Anda pelajari terkait dengan nilai sinus dan kosinus untuk jumlah dan perbedaan sudut. Mereka ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Harap dicatat bahwa dalam kasus pertama, sinus dan kosinus dikalikan dua kali, dan pada kasus kedua, produk berpasangan dari sinus dan kosinus ditambahkan.

Ada juga rumus yang terkait dengan argumen sudut ganda. Mereka sepenuhnya diturunkan dari yang sebelumnya - sebagai latihan, cobalah untuk mendapatkannya sendiri, ambil sudut alfa sama dengan sudut beta.

Terakhir, perhatikan bahwa rumus sudut ganda dapat dikonversi untuk menurunkan derajat sinus, kosinus, alfa tangen.

Teorema

Dua teorema utama dalam trigonometri dasar adalah teorema sinus dan teorema kosinus. Dengan bantuan teorema ini, Anda dapat dengan mudah memahami cara menemukan sinus, kosinus, dan tangen, dan karenanya luas gambar, dan ukuran setiap sisi, dll.

Teorema sinus menyatakan bahwa sebagai hasil dari membagi panjang masing-masing sisi segitiga dengan nilai sudut yang berlawanan, kita mendapatkan angka yang sama. Selain itu, angka ini akan sama dengan dua jari-jari lingkaran yang dibatasi, yaitu lingkaran yang berisi semua titik dari segitiga yang diberikan.

Teorema kosinus menggeneralisasi teorema Pythagoras, memproyeksikannya ke sembarang segitiga. Ternyata dari jumlah kuadrat kedua sisi, kurangi produknya, dikalikan dengan kosinus ganda dari sudut yang berdekatan dengannya - nilai yang dihasilkan akan sama dengan kuadrat sisi ketiga. Jadi, teorema Pythagoras ternyata merupakan kasus khusus dari teorema kosinus.

Kesalahan karena kurangnya perhatian

Bahkan mengetahui apa itu sinus, cosinus dan tangen, mudah untuk membuat kesalahan karena linglung atau kesalahan dalam perhitungan yang paling sederhana. Untuk menghindari kesalahan seperti itu, mari berkenalan dengan yang paling populer.

Pertama, Anda tidak boleh mengubah pecahan biasa menjadi desimal sampai hasil akhir diperoleh - Anda dapat membiarkan jawabannya sebagai pecahan biasa, kecuali jika kondisinya menyatakan sebaliknya. Transformasi seperti itu tidak bisa disebut kesalahan, tetapi harus diingat bahwa pada setiap tahap tugas, akar baru mungkin muncul, yang, menurut ide penulis, harus dikurangi. Dalam hal ini, Anda akan membuang waktu untuk operasi matematika yang tidak perlu. Ini terutama berlaku untuk nilai seperti akar tiga atau dua, karena muncul dalam tugas di setiap langkah. Hal yang sama berlaku untuk pembulatan angka "jelek".

Selanjutnya, perhatikan bahwa teorema kosinus berlaku untuk sembarang segitiga, tetapi tidak untuk teorema Pythagoras! Jika Anda secara keliru lupa untuk mengurangi dua kali perkalian sisi-sisi dikalikan dengan kosinus sudut di antara mereka, Anda tidak hanya akan mendapatkan hasil yang sepenuhnya salah, tetapi juga menunjukkan kesalahpahaman total tentang subjek. Ini lebih buruk daripada kesalahan yang ceroboh.

Ketiga, jangan bingung nilai untuk sudut 30 dan 60 derajat untuk sinus, cosinus, garis singgung, kotangen. Ingat nilai-nilai ini, karena sinus 30 derajat sama dengan cosinus 60, dan sebaliknya. Sangat mudah untuk mencampurnya, akibatnya Anda pasti akan mendapatkan hasil yang salah.

Aplikasi

Banyak siswa yang tidak terburu-buru untuk mulai mempelajari trigonometri, karena mereka tidak memahami makna terapannya. Apa sinus, kosinus, tangen untuk seorang insinyur atau astronom? Ini adalah konsep berkat yang Anda dapat menghitung jarak ke bintang-bintang yang jauh, memprediksi jatuhnya meteorit, mengirim penyelidikan penelitian ke planet lain. Tanpa mereka, mustahil untuk membangun sebuah bangunan, merancang mobil, menghitung beban di permukaan atau lintasan suatu benda. Dan ini hanya contoh yang paling jelas! Bagaimanapun, trigonometri dalam satu atau lain bentuk digunakan di mana-mana, mulai dari musik hingga kedokteran.

Akhirnya

Jadi Anda sinus, cosinus, tangen. Anda dapat menggunakannya dalam perhitungan dan berhasil memecahkan masalah sekolah.

Seluruh esensi trigonometri bermuara pada fakta bahwa parameter yang tidak diketahui harus dihitung dari parameter segitiga yang diketahui. Ada enam parameter secara total: panjang tiga sisi dan besar tiga sudut. Seluruh perbedaan dalam tugas terletak pada kenyataan bahwa data masukan yang berbeda diberikan.

Cara mencari sinus, cosinus, tangen berdasarkan panjang kaki atau sisi miring yang diketahui, sekarang Anda sudah tahu. Karena istilah-istilah ini tidak lebih dari rasio, dan rasio adalah pecahan, tujuan utama dari masalah trigonometri adalah untuk menemukan akar persamaan biasa atau sistem persamaan. Dan di sini Anda akan dibantu oleh matematika sekolah biasa.

Dalam hidup, kita sering harus menghadapi masalah matematika: di sekolah, di universitas, dan kemudian membantu anak kita mengerjakan pekerjaan rumah. Orang-orang dari profesi tertentu akan menghadapi matematika setiap hari. Oleh karena itu, berguna untuk menghafal atau mengingat aturan matematika. Pada artikel ini, kami akan menganalisis salah satunya: menemukan kaki segitiga siku-siku.

Apa itu segitiga siku-siku?

Pertama, mari kita ingat apa itu segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku adalah bangun geometris dari tiga segmen yang menghubungkan titik-titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama, dan salah satu sudut dari gambar ini adalah 90 derajat. Sisi yang membentuk sudut siku-siku disebut kaki, dan sisi yang terletak di depan sudut siku-siku disebut sisi miring.

Menemukan kaki segitiga siku-siku

Ada beberapa cara untuk mengetahui panjang kaki. Saya ingin mempertimbangkannya secara lebih rinci.

Teorema Pythagoras untuk mencari kaki segitiga siku-siku

Jika kita mengetahui sisi miring dan kakinya, maka kita dapat mencari panjang kaki yang tidak diketahui dengan menggunakan teorema Pythagoras. Kedengarannya seperti ini: "Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki." Rumus: c²=a²+b², di mana c adalah sisi miring, a dan b adalah kaki-kaki. Kami mengubah rumus dan mendapatkan: a²=c²-b².

Contoh. Sisi miring adalah 5 cm, dan kaki adalah 3 cm. Kami mengubah rumus: c²=a²+b² → a²=c²-b². Selanjutnya, kita putuskan: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Hubungan trigonometri untuk menemukan kaki segitiga siku-siku

Dimungkinkan juga untuk menemukan kaki yang tidak diketahui jika sisi lain dan sudut lancip dari segitiga siku-siku diketahui. Ada empat opsi untuk menemukan kaki menggunakan fungsi trigonometri: dengan sinus, kosinus, tangen, kotangen. Untuk mengatasi masalah, tabel di bawah ini akan membantu kita. Mari kita pertimbangkan opsi ini.

Temukan kaki segitiga siku-siku menggunakan sinus

Sinus sudut (sin) adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring. Rumus: sin \u003d a / c, di mana a adalah kaki yang berlawanan dengan sudut yang diberikan, dan c adalah sisi miring. Selanjutnya, kami mengubah rumus dan mendapatkan: a=sin*c.

Contoh. Sisi miringnya 10 cm dan sudut A 30 derajat. Menurut tabel, kami menghitung sinus sudut A, sama dengan 1/2. Kemudian, dengan menggunakan rumus yang diubah, kami memecahkan: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Cari kaki segitiga siku-siku menggunakan cosinus

Cosinus suatu sudut (cos) adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring. Rumus: cos \u003d b / c, di mana b adalah kaki yang berdekatan dengan sudut yang diberikan, dan c adalah sisi miring. Mari kita ubah rumusnya dan dapatkan: b=cos*c.

Contoh. Sudut A adalah 60 derajat, sisi miringnya adalah 10 cm Menurut tabel, kami menghitung kosinus sudut A, itu sama dengan 1/2. Selanjutnya, kita selesaikan: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Temukan kaki segitiga siku-siku menggunakan garis singgung

Garis singgung suatu sudut (tg) adalah perbandingan kaki yang berhadapan dengan kaki yang bersebelahan. Rumus: tg \u003d a / b, di mana a adalah kaki yang berlawanan dengan sudut, dan b berdekatan. Mari kita ubah rumusnya dan dapatkan: a=tg*b.

Contoh. Sudut A adalah 45 derajat, sisi miringnya adalah 10 cm Menurut tabel, kami menghitung garis singgung sudut A, itu sama dengan Memecahkan: a=tg∠A*b; a=1*10; a = 10 (cm).

Temukan kaki segitiga siku-siku menggunakan kotangen

Kotangen suatu sudut (ctg) adalah perbandingan kaki sebelahnya dengan kaki sebelahnya. Rumus: ctg \u003d b / a, di mana b adalah kaki yang berdekatan dengan sudut, dan berlawanan. Dengan kata lain, kotangen adalah "singgung terbalik". Kita peroleh: b=ctg*a.

Contoh. Sudut A adalah 30 derajat, kaki yang berlawanan adalah 5 cm Menurut tabel, garis singgung sudut A adalah 3. Hitung: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Jadi, sekarang Anda tahu cara menemukan kaki pada segitiga siku-siku. Seperti yang Anda lihat, itu tidak terlalu sulit, yang utama adalah mengingat rumusnya.

Apa sinus, cosinus, tangen, kotangen dari suatu sudut akan membantu Anda memahami segitiga siku-siku.

Apa yang disebut sisi segitiga siku-siku? Itu benar, sisi miring dan kaki: sisi miring adalah sisi yang terletak di seberang sudut siku-siku (dalam contoh kita, ini adalah sisi \ (AC \) ); kaki adalah dua sisi yang tersisa \ (AB \) dan \ (BC \) (yang berbatasan dengan sudut siku-siku), apalagi jika kita mempertimbangkan kaki terhadap sudut \ (BC \) , maka kaki \ (AB \) adalah kaki yang berdekatan, dan kaki \ (BC \) adalah berlawanan. Jadi, sekarang mari kita jawab pertanyaannya: apa itu sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari suatu sudut?

sinus suatu sudut- ini adalah rasio kaki yang berlawanan (jauh) dengan sisi miring.

Dalam segitiga kita:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosinus suatu sudut- ini adalah rasio kaki yang berdekatan (dekat) dengan sisi miring.

Dalam segitiga kita:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangen sudut- ini adalah rasio kaki yang berlawanan (jauh) dengan kaki yang berdekatan (dekat).

Dalam segitiga kita:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangen suatu sudut- ini adalah rasio kaki yang berdekatan (dekat) dengan yang berlawanan (jauh).

Dalam segitiga kita:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Definisi ini diperlukan ingat! Agar lebih mudah mengingat kaki mana yang harus dibagi dengan apa, Anda perlu memahami dengan jelas bahwa di garis singgung dan kotangens hanya kaki yang duduk, dan sisi miring hanya muncul di sinus dan kosinus. Dan kemudian Anda dapat membuat rantai asosiasi. Misalnya, yang ini:

kosinus→sentuh→sentuh→berdekatan;

Kotangen→sentuh→sentuh→berdekatan.

Pertama-tama, perlu diingat bahwa sinus, cosinus, tangen, dan kotangen sebagai rasio sisi-sisi segitiga tidak bergantung pada panjang sisi-sisi ini (pada satu sudut). Tidak percaya? Kemudian pastikan dengan melihat gambar:

Pertimbangkan, misalnya, kosinus sudut \(\beta \) . Menurut definisi, dari segitiga \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), tetapi kita dapat menghitung kosinus sudut \(\beta \) dari segitiga \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Soalnya, panjang sisinya berbeda, tetapi nilai cosinus salah satu sudutnya sama. Dengan demikian, nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen hanya bergantung pada besar sudut.

Jika Anda memahami definisinya, lanjutkan dan perbaiki!

Untuk segitiga \(ABC \) , yang ditunjukkan pada gambar di bawah, kami menemukan \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Nah, apakah Anda mendapatkannya? Kemudian coba sendiri: hitung sama untuk sudut \(\beta \) .

Jawaban: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Satuan (trigonometri) lingkaran

Memahami konsep derajat dan radian, kami menganggap lingkaran dengan jari-jari sama dengan \ (1 \) . Lingkaran seperti itu disebut lajang. Hal ini sangat berguna dalam studi trigonometri. Karena itu, kami membahasnya lebih detail.

Seperti yang Anda lihat, lingkaran ini dibangun dalam sistem koordinat Cartesian. Jari-jari lingkaran sama dengan satu, sedangkan pusat lingkaran terletak di titik asal, posisi awal vektor jari-jari ditetapkan sepanjang arah positif sumbu \(x \) (dalam contoh kita, ini adalah jari-jari \(AB \) ).

Setiap titik pada lingkaran sesuai dengan dua angka: koordinat sepanjang sumbu \(x \) dan koordinat sepanjang sumbu \(y \) . Berapakah bilangan koordinat ini? Dan secara umum, apa hubungannya dengan topik yang dibahas? Untuk melakukan ini, ingat tentang segitiga siku-siku yang dipertimbangkan. Pada gambar di atas, Anda dapat melihat dua segitiga siku-siku. Pertimbangkan segitiga \(ACG \) . Ini persegi panjang karena \(CG \) tegak lurus dengan sumbu \(x \).

Apa \(\cos \ \alpha \) dari segitiga \(ACG \) ? Betul sekali \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Selain itu, kita tahu bahwa \(AC \) adalah jari-jari lingkaran satuan, jadi \(AC=1 \) . Substitusikan nilai ini ke dalam rumus kosinus kita. Inilah yang terjadi:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Dan apa \(\sin \ \alpha \) dari segitiga \(ACG \) ? Yah, tentu saja, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Substitusi nilai jari-jari \ (AC \) dalam rumus ini dan dapatkan:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Jadi, bisakah Anda memberi tahu saya apa koordinat titik \(C \) , yang termasuk dalam lingkaran? Yah, tidak mungkin? Tetapi bagaimana jika Anda menyadari bahwa \(\cos \ \alpha \) dan \(\sin \alpha \) hanyalah angka? Koordinat apa yang sesuai dengan \(\cos \alpha \)? Yah, tentu saja, koordinat \(x \) ! Dan koordinat apa yang sesuai dengan \(\sin \alpha \)? Benar, koordinat \(y \)! Jadi intinya \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Lalu apa \(tg \alpha \) dan \(ctg \alpha \) ? Itu benar, mari kita gunakan definisi tangen dan kotangen yang tepat dan dapatkan itu \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), sebuah \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Bagaimana jika sudutnya lebih besar? Di sini, misalnya, seperti pada gambar ini:

Apa yang berubah dalam contoh ini? Mari kita cari tahu. Untuk melakukan ini, kita kembali ke segitiga siku-siku. Perhatikan sebuah segitiga siku-siku \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : suatu sudut (berdekatan dengan sudut \(\beta \) ). Berapakah nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Itu benar, kami mematuhi definisi fungsi trigonometri yang sesuai:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Nah, seperti yang Anda lihat, nilai sinus sudut masih sesuai dengan koordinat \ (y \) ; nilai kosinus sudut - koordinat \ (x \) ; dan nilai tangen dan kotangen dengan rasio yang sesuai. Dengan demikian, hubungan ini berlaku untuk setiap rotasi dari vektor radius.

Telah disebutkan bahwa posisi awal dari vektor jari-jari adalah sepanjang arah positif dari sumbu \(x \). Sejauh ini kita telah memutar vektor ini berlawanan arah jarum jam, tetapi apa yang terjadi jika kita memutarnya searah jarum jam? Tidak ada yang luar biasa, Anda juga akan mendapatkan sudut dengan ukuran tertentu, tetapi hanya akan negatif. Jadi, ketika memutar vektor radius berlawanan arah jarum jam, kita mendapatkan sudut positif, dan ketika berputar searah jarum jam - negatif.

Jadi, kita tahu bahwa seluruh putaran vektor jari-jari di sekitar lingkaran adalah \(360()^\circ \) atau \(2\pi \) . Apakah mungkin untuk memutar vektor radius dengan \(390()^\circ \) atau dengan \(-1140()^\circ \) ? Yah, tentu saja Anda bisa! Dalam kasus pertama, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), jadi vektor radius akan membuat satu putaran penuh dan berhenti di \(30()^\circ \) atau \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Dalam kasus kedua, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), yaitu, vektor radius akan membuat tiga putaran penuh dan berhenti pada posisi \(-60()^\circ \) atau \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Jadi, dari contoh di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa sudut yang berbeda \(360()^\circ \cdot m \) atau \(2\pi \cdot m \) (di mana \(m \) adalah bilangan bulat ) sesuai dengan posisi yang sama dari vektor radius.

Gambar di bawah menunjukkan sudut \(\beta =-60()^\circ \) . Gambar yang sama sesuai dengan sudut \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) dll. Daftar ini dapat dilanjutkan tanpa batas. Semua sudut ini dapat ditulis dengan rumus umum \(\beta +360()^\circ \cdot m\) atau \(\beta +2\pi \cdot m \) (di mana \(m \) adalah bilangan bulat apa pun)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Sekarang, mengetahui definisi fungsi trigonometri dasar dan menggunakan lingkaran satuan, coba jawab apa nilainya sama dengan:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Inilah lingkaran unit untuk membantu Anda:

Ada kesulitan? Lalu mari kita cari tahu. Jadi kita tahu bahwa:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)

Dari sini, kami menentukan koordinat titik-titik yang sesuai dengan ukuran sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulai secara berurutan: sudut masuk \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) sesuai dengan titik dengan koordinat \(\left(0;1 \right) \) , oleh karena itu:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Panah kanan \text(tg)\ 90()^\circ \)- tidak ada;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Selanjutnya, mengikuti logika yang sama, kami menemukan bahwa sudut-sudut di \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) sesuai dengan titik-titik dengan koordinat \(\left(-1;0 \kanan),\text( )\left(0;-1 \kanan),\text( )\left(1;0 \kanan),\text( )\left(0 ;1 \kanan) \), masing-masing. Mengetahui hal ini, mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri pada titik yang sesuai. Coba sendiri dulu, baru cek jawabannya.

Jawaban:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- tidak ada

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Panah kanan \text(tg)\ 270()^\circ \)- tidak ada

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Panah kanan \text(ctg)\ 2\pi \)- tidak ada

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Panah kanan \text(tg)\ 450()^\circ \)- tidak ada

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Dengan demikian, kita dapat membuat tabel berikut:

Tidak perlu mengingat semua nilai ini. Cukup mengingat korespondensi antara koordinat titik pada lingkaran satuan dan nilai fungsi trigonometri:

\(\kiri. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \kanan\)\ \text(Perlu diingat atau dapat menghasilkan!! \) !}

Dan berikut adalah nilai-nilai fungsi trigonometri sudut dalam dan \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) diberikan dalam tabel di bawah ini, Anda harus ingat:

Tidak perlu takut, sekarang kami akan menunjukkan salah satu contoh hafalan yang cukup sederhana dari nilai-nilai yang sesuai:

Untuk menggunakan metode ini, penting untuk mengingat nilai sinus untuk ketiga ukuran sudut ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), serta nilai tangen sudut dalam \(30()^\circ \) . Mengetahui nilai \(4\) ini, cukup mudah untuk mengembalikan seluruh tabel - nilai cosinus ditransfer sesuai dengan panah, yaitu:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), mengetahui hal ini, dimungkinkan untuk mengembalikan nilai untuk \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Pembilang “\(1 \) ” akan cocok dengan \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , dan penyebut “\(\sqrt(\text(3)) \) ” akan cocok \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Nilai kotangen ditransfer sesuai dengan panah yang ditunjukkan pada gambar. Jika Anda memahami ini dan mengingat skema dengan panah, maka cukup mengingat hanya \(4 \) nilai dari tabel.

Koordinat titik pada lingkaran

Apakah mungkin untuk menemukan titik (koordinatnya) pada lingkaran, mengetahui koordinat pusat lingkaran, jari-jarinya, dan sudut rotasi? Yah, tentu saja Anda bisa! Mari kita turunkan rumus umum untuk mencari koordinat suatu titik. Di sini, misalnya, kami memiliki lingkaran seperti itu:

Kami diberi poin itu \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) adalah pusat lingkaran. Jari-jari lingkaran adalah \(1,5 \) . Penting untuk menemukan koordinat titik \(P \) yang diperoleh dengan memutar titik \(O \) sebesar \(\delta \) derajat.

Seperti dapat dilihat dari gambar, koordinat \ (x \) dari titik \ (P \) sesuai dengan panjang segmen \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Panjang segmen \ (UK \) sesuai dengan koordinat \ (x \) pusat lingkaran, yaitu sama dengan \ (3 \) . Panjang segmen \(KQ \) dapat dinyatakan dengan menggunakan definisi kosinus:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Panah Kanan KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Kemudian kita memiliki bahwa untuk titik \(P \) koordinat \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Dengan logika yang sama, kita menemukan nilai koordinat y untuk titik \(P\) . Dengan demikian,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Jadi, secara umum, koordinat titik ditentukan oleh rumus:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), di mana

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinat pusat lingkaran,

\(r\) - jari-jari lingkaran,

\(\delta \) - sudut rotasi jari-jari vektor.

Seperti yang Anda lihat, untuk lingkaran satuan yang kami pertimbangkan, rumus-rumus ini berkurang secara signifikan, karena koordinat pusatnya nol, dan jari-jarinya sama dengan satu:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript dinonaktifkan di browser Anda.
Kontrol ActiveX harus diaktifkan untuk membuat perhitungan!