Petunjuk

Sebelum memulai pembuktian, pastikan bahwa garis-garis tersebut terletak pada bidang yang sama dan dapat ditarik di atasnya. Metode pembuktian yang paling sederhana adalah metode pengukuran dengan penggaris. Untuk melakukan ini, gunakan penggaris untuk mengukur jarak antara garis lurus di beberapa tempat sejauh mungkin. Jika jaraknya tetap, maka garis-garis yang diberikan sejajar. Tetapi cara ini kurang akurat, jadi lebih baik menggunakan cara lain.

Gambarlah garis ketiga sehingga memotong kedua garis sejajar. Ini membentuk empat sudut luar dan empat sudut dalam dengan mereka. Pertimbangkan sudut interior. Mereka yang terletak melalui garis potong disebut cross-lying. Mereka yang terletak di satu sisi disebut satu sisi. Dengan menggunakan busur derajat, ukur dua sudut diagonal bagian dalam. Jika mereka sama, maka garisnya akan sejajar. Jika ragu, ukur sudut dalam satu sisi dan jumlahkan nilai yang dihasilkan. Garis akan sejajar jika jumlah sudut dalam satu sisi sama dengan 180º.

Jika Anda tidak memiliki busur derajat, gunakan persegi 90º. Gunakan untuk membangun tegak lurus terhadap salah satu garis. Setelah itu, lanjutkan tegak lurus ini sedemikian rupa sehingga memotong garis lain. Dengan menggunakan bujur sangkar yang sama, periksa di sudut mana perpotongan tegak lurus ini. Jika sudut ini juga sama dengan 90º, maka garis-garisnya sejajar satu sama lain.

Jika garis-garis tersebut diberikan dalam sistem koordinat Cartesian, temukan panduannya atau vektor normalnya. Jika vektor-vektor ini masing-masing kolinear satu sama lain, maka garis-garisnya sejajar. Bawa persamaan garis ke bentuk umum dan temukan koordinat vektor normal dari masing-masing garis. Koordinatnya sama dengan koefisien A dan B. Jika perbandingan koordinat vektor-vektor normal yang bersesuaian adalah sama, maka keduanya segaris dan garis-garisnya sejajar.

Misalnya, garis lurus diberikan oleh persamaan 4x-2y+1=0 dan x/1=(y-4)/2. Persamaan pertama adalah bentuk umum, yang kedua adalah kanonik. Bawa persamaan kedua ke bentuk umum. Gunakan aturan konversi proporsi untuk ini, dan Anda akan mendapatkan 2x=y-4. Setelah direduksi menjadi bentuk umum, dapatkan 2x-y + 4 = 0. Karena persamaan umum untuk sembarang garis ditulis Ax + Vy + C = 0, maka untuk garis pertama: A = 4, B = 2, dan untuk garis kedua A = 2, B = 1. Untuk koordinat langsung pertama dari vektor normal (4;2), dan untuk yang kedua - (2;1). Tentukan perbandingan koordinat yang bersesuaian dari vektor-vektor normal 4/2=2 dan 2/1=2. Angka-angka ini sama, yang berarti vektor-vektornya kolinear. Karena vektor-vektornya segaris, maka garis-garisnya sejajar.

Artikel ini berisi uraian tentang garis sejajar dan tentang garis sejajar. Pertama, definisi garis sejajar pada bidang dan ruang diberikan, notasi diperkenalkan, contoh dan ilustrasi grafik garis sejajar diberikan. Selanjutnya, tanda dan kondisi paralelisme garis lurus dianalisis. Sebagai kesimpulan, solusi ditunjukkan untuk masalah khas dalam membuktikan paralelisme garis lurus, yang diberikan oleh beberapa persamaan garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang dan dalam ruang tiga dimensi.

Navigasi halaman.

Garis paralel - informasi dasar.

Definisi.

Dua garis dalam satu bidang disebut paralel jika mereka tidak memiliki poin yang sama.

Definisi.

Dua garis dalam tiga dimensi disebut paralel jika mereka terletak pada bidang yang sama dan tidak memiliki titik yang sama.

Perhatikan bahwa klausa "jika mereka terletak pada bidang yang sama" dalam definisi garis paralel dalam ruang sangat penting. Mari kita perjelas poin ini: dua garis lurus dalam ruang tiga dimensi yang tidak memiliki titik yang sama dan tidak terletak pada bidang yang sama tidak sejajar, tetapi miring.

Berikut adalah beberapa contoh garis paralel. Tepi berlawanan dari lembar notebook terletak pada garis paralel. Garis-garis lurus di mana bidang dinding rumah berpotongan dengan bidang langit-langit dan lantai adalah sejajar. Rel kereta api di permukaan tanah juga dapat dianggap sebagai jalur paralel.

Simbol "" digunakan untuk menunjukkan garis sejajar. Artinya, jika garis a dan b sejajar, maka secara singkat Anda dapat menulis a b.

Perhatikan bahwa jika garis a dan b sejajar, maka kita dapat mengatakan bahwa garis a sejajar dengan garis b, dan juga bahwa garis b sejajar dengan garis a.

Mari kita menyuarakan pernyataan yang memainkan peran penting dalam studi garis paralel pada bidang: melalui titik yang tidak terletak pada garis tertentu, melewati satu-satunya garis yang sejajar dengan yang diberikan. Pernyataan ini diterima sebagai fakta (tidak dapat dibuktikan berdasarkan aksioma planimetri yang diketahui), dan disebut aksioma garis sejajar.

Untuk kasus di ruang angkasa, teorema ini benar: melalui sembarang titik dalam ruang yang tidak terletak pada garis tertentu, melewati satu garis sejajar dengan garis yang diberikan. Teorema ini dapat dengan mudah dibuktikan dengan menggunakan aksioma garis sejajar di atas (Anda dapat menemukan buktinya di buku teks geometri kelas 10-11, yang tercantum di akhir artikel dalam daftar pustaka).

Untuk kasus di ruang angkasa, teorema ini benar: melalui sembarang titik dalam ruang yang tidak terletak pada garis tertentu, melewati satu garis sejajar dengan garis yang diberikan. Teorema ini mudah dibuktikan dengan menggunakan aksioma garis sejajar yang diberikan di atas.

Paralelisme garis - tanda dan kondisi paralelisme.

Tanda garis sejajar adalah syarat yang cukup untuk garis-garis sejajar, yaitu syarat yang pemenuhannya menjamin garis-garis sejajar. Dengan kata lain, pemenuhan syarat ini cukup untuk menyatakan fakta bahwa garis-garis itu sejajar.

Ada juga kondisi perlu dan cukup untuk garis sejajar pada bidang dan ruang tiga dimensi.

Mari kita jelaskan arti dari frasa "kondisi perlu dan cukup untuk garis sejajar".

Kami telah berurusan dengan kondisi yang cukup untuk garis paralel. Dan apa "kondisi yang diperlukan untuk garis paralel"? Dengan nama "perlu" jelas bahwa pemenuhan syarat ini diperlukan agar garis sejajar. Dengan kata lain, jika kondisi yang diperlukan untuk garis sejajar tidak terpenuhi, maka garis tidak sejajar. Dengan demikian, syarat perlu dan syarat cukup agar garis sejajar adalah suatu kondisi, yang pemenuhannya perlu dan cukup untuk garis sejajar. Artinya, di satu sisi, ini adalah tanda garis paralel, dan di sisi lain, ini adalah properti yang dimiliki garis paralel.

Sebelum menyatakan syarat perlu dan syarat cukup agar garis sejajar, ada gunanya mengingat kembali beberapa definisi bantu.

garis potong adalah garis yang memotong masing-masing dari dua garis yang tidak bertepatan.

Di persimpangan dua garis garis potong, delapan garis yang tidak digunakan terbentuk. Disebut berbaring melintang, sesuai dan sudut satu sisi. Mari kita tunjukkan pada gambar.

Dalil.

Jika dua garis pada bidang berpotongan oleh sebuah garis potong, maka untuk kesejajaran mereka perlu dan cukup bahwa sudut-sudut yang bersilangan adalah sama, atau sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, atau jumlah sudut satu sisi sama dengan 180 derajat.

Mari kita tunjukkan ilustrasi grafis dari kondisi perlu dan cukup ini untuk garis sejajar pada bidang.

Anda dapat menemukan bukti kondisi ini untuk garis paralel di buku teks geometri untuk kelas 7-9.

Perhatikan bahwa kondisi ini juga dapat digunakan dalam ruang tiga dimensi - yang utama adalah bahwa dua garis dan garis potong terletak pada bidang yang sama.

Berikut adalah beberapa teorema lagi yang sering digunakan dalam membuktikan paralelisme garis.

Dalil.

Jika dua garis pada sebuah bidang sejajar dengan garis ketiga, maka keduanya sejajar. Bukti fitur ini mengikuti aksioma garis sejajar.

Ada kondisi serupa untuk garis paralel dalam ruang tiga dimensi.

Dalil.

Jika dua garis dalam ruang sejajar dengan garis ketiga, maka keduanya sejajar. Bukti fitur ini dipertimbangkan dalam pelajaran geometri di kelas 10.

Mari kita ilustrasikan teorema bersuara.

Mari kita berikan satu teorema lagi yang memungkinkan kita untuk membuktikan paralelisme garis pada bidang.

Dalil.

Jika dua garis pada bidang tegak lurus terhadap garis ketiga, maka keduanya sejajar.

Ada teorema serupa untuk garis dalam ruang.

Dalil.

Jika dua garis dalam ruang tiga dimensi tegak lurus terhadap bidang yang sama, maka keduanya sejajar.

Mari kita menggambar gambar yang sesuai dengan teorema ini.

Semua teorema yang dirumuskan di atas, tanda dan kondisi perlu dan cukup sangat cocok untuk membuktikan paralelisme garis lurus dengan metode geometri. Yaitu, untuk membuktikan paralelisme dua garis yang diberikan, perlu untuk menunjukkan bahwa mereka sejajar dengan garis ketiga, atau untuk menunjukkan kesetaraan sudut-sudut yang bersilangan, dll. Banyak dari masalah ini diselesaikan dalam pelajaran geometri di sekolah menengah. Namun, perlu dicatat bahwa dalam banyak kasus akan lebih mudah menggunakan metode koordinat untuk membuktikan paralelisme garis pada bidang atau dalam ruang tiga dimensi. Mari kita merumuskan kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis yang diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang.

Paralelisme garis dalam sistem koordinat persegi panjang.

Di bagian artikel ini, kami akan merumuskan syarat perlu dan syarat cukup untuk garis sejajar dalam sistem koordinat persegi panjang, tergantung pada jenis persamaan yang menentukan garis-garis ini, dan kami juga akan memberikan solusi terperinci untuk masalah umum.

Mari kita mulai dengan kondisi paralelisme dua garis pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang Oxy . Pembuktiannya didasarkan pada definisi vektor pengarah garis dan definisi vektor normal garis pada bidang.

Dalil.

Agar dua garis yang tidak bertepatan sejajar pada suatu bidang, perlu dan cukup bahwa vektor-vektor arah dari garis-garis ini adalah collinear, atau vektor-vektor normal dari garis-garis ini adalah collinear, atau vektor-vektor arah dari satu garis tegak lurus terhadap normal. vektor garis kedua.

Jelas, kondisi paralelisme dua garis pada bidang berkurang menjadi (vektor arah garis atau vektor normal garis) atau menjadi (vektor arah satu garis dan vektor normal garis kedua). Jadi, jika dan adalah vektor arah dari garis a dan b, dan dan adalah vektor-vektor normal garis a dan b berturut-turut, maka syarat perlu dan syarat cukup untuk garis sejajar a dan b dapat ditulis sebagai , atau , atau , Dimana t adalah beberapa bilangan real. Pada gilirannya, koordinat arah dan (atau) vektor normal dari garis lurus a dan b ditemukan dari persamaan garis lurus yang diketahui.

Secara khusus, jika garis a dalam sistem koordinat persegi panjang Oxy pada bidang mendefinisikan persamaan umum dari garis bentuk , dan garis lurus b - , maka vektor-vektor normal dari garis-garis ini memiliki koordinat dan masing-masing, dan kondisi paralelisme garis a dan b akan ditulis sebagai .

Jika garis lurus a sesuai dengan persamaan garis lurus dengan koefisien kemiringan bentuk . Oleh karena itu, jika garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang sejajar dan dapat diberikan oleh persamaan garis lurus dengan koefisien kemiringan, maka koefisien kemiringan garis akan sama. Dan sebaliknya: jika garis lurus yang tidak bertepatan pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang dapat diberikan oleh persamaan garis lurus dengan koefisien kemiringan yang sama, maka garis lurus tersebut sejajar.

Jika garis a dan garis b dalam sistem koordinat persegi panjang menentukan persamaan kanonik garis pada bidang berbentuk dan , atau persamaan parametrik garis lurus pada bidang berbentuk dan masing-masing, maka vektor arah dari garis-garis ini memiliki koordinat dan , dan kondisi paralelisme untuk garis a dan b ditulis sebagai .

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh.

Apakah garis-garisnya sejajar? dan ?

Keputusan.

Kami menulis ulang persamaan garis lurus di segmen dalam bentuk persamaan umum garis lurus: . Sekarang kita dapat melihat bahwa itu adalah vektor normal dari garis lurus , dan merupakan vektor normal dari garis lurus. Vektor-vektor ini tidak kolinear, karena tidak ada bilangan real t yang persamaannya ( ). Akibatnya, kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis pada bidang tidak terpenuhi, oleh karena itu, garis yang diberikan tidak sejajar.

Menjawab:

Tidak, garisnya tidak sejajar.

Contoh.

Apakah garis dan paralel?

Keputusan.

Kami membawa persamaan kanonik garis lurus ke persamaan garis lurus dengan kemiringan: . Jelas, persamaan garis dan tidak sama (dalam hal ini, garis yang diberikan akan sama) dan kemiringan garis sama, oleh karena itu, garis aslinya sejajar.

Solusi kedua.

Pertama, mari kita tunjukkan bahwa garis asli tidak bertepatan: ambil titik mana pun dari garis, misalnya (0, 1) , koordinat titik ini tidak memenuhi persamaan garis, oleh karena itu, garis tidak bertepatan. Sekarang mari kita periksa pemenuhan kondisi paralelisme garis-garis ini. Vektor normal garis adalah vektor , dan vektor arah garis adalah vektor . Mari kita hitung dan: . Akibatnya, vektor dan tegak lurus, yang berarti bahwa kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis yang diberikan terpenuhi. Jadi garisnya sejajar.

Menjawab:

Garis yang diberikan sejajar.

Untuk membuktikan kesejajaran garis dalam sistem koordinat persegi panjang dalam ruang tiga dimensi, digunakan kondisi perlu dan cukup berikut ini.

Dalil.

Agar garis-garis yang tidak bertepatan sejajar dalam ruang tiga dimensi, perlu dan cukup bahwa vektor arahnya menjadi kolinear.

Jadi, jika persamaan garis dalam sistem koordinat persegi panjang dalam ruang tiga dimensi diketahui dan Anda perlu menjawab pertanyaan apakah garis-garis ini sejajar atau tidak, maka Anda perlu menemukan koordinat vektor arah garis-garis ini dan memeriksa terpenuhinya syarat kolinearitas vektor arah. Dengan kata lain, jika dan - vektor arah garis lurus garis yang diberikan memiliki koordinat dan . Sebagai , kemudian . Dengan demikian, kondisi perlu dan cukup agar dua garis sejajar dalam ruang dipenuhi. Ini membuktikan paralelisme garis dan .

Bibliografi.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometri. Kelas 7 - 9: buku teks untuk lembaga pendidikan.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Buku teks untuk kelas 10-11 sekolah menengah.
• Pogorelov A.V., Geometri. Buku teks untuk kelas 7-11 lembaga pendidikan.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematika Tinggi. Volume Satu: Elemen Aljabar Linier dan Geometri Analitik.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometri analitik.

Pada artikel ini kita akan berbicara tentang garis paralel, memberikan definisi, menunjuk tanda dan kondisi paralelisme. Untuk kejelasan materi teoretis, kami akan menggunakan ilustrasi dan solusi dari contoh-contoh tipikal.

Definisi 1

Garis sejajar pada bidang adalah dua garis lurus pada bidang yang tidak memiliki titik persekutuan.

Definisi 2

Garis paralel dalam ruang 3D- dua garis lurus dalam ruang tiga dimensi yang terletak pada bidang yang sama dan tidak memiliki titik yang sama.

Perlu dicatat bahwa untuk menentukan garis paralel dalam ruang, klarifikasi "berbaring di bidang yang sama" sangat penting: dua garis dalam ruang tiga dimensi yang tidak memiliki titik yang sama dan tidak terletak pada bidang yang sama tidak sejajar, tetapi berpotongan.

Untuk menunjukkan garis sejajar, biasanya digunakan simbol . Artinya, jika garis a dan b yang diberikan sejajar, kondisi ini harus ditulis secara singkat sebagai berikut: a b . Secara verbal kesejajaran garis ditunjukkan sebagai berikut: garis a dan b sejajar, atau garis a sejajar dengan garis b, atau garis b sejajar dengan garis a.

Mari kita merumuskan pernyataan yang memainkan peran penting dalam topik yang diteliti.

Aksioma

Melalui suatu titik yang bukan merupakan bagian dari suatu garis, hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis tersebut. Pernyataan ini tidak dapat dibuktikan berdasarkan aksioma planimetri yang diketahui.

Dalam hal ruang, teoremanya benar:

Teorema 1

Melalui setiap titik dalam ruang yang tidak termasuk dalam garis tertentu, hanya akan ada satu garis yang sejajar dengan garis yang diberikan.

Teorema ini mudah dibuktikan berdasarkan aksioma di atas (program geometri untuk kelas 10-11).

Tanda paralelisme adalah kondisi yang cukup di mana garis paralel dijamin. Dengan kata lain, pemenuhan kondisi ini cukup untuk mengkonfirmasi fakta paralelisme.

Secara khusus, ada kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis di bidang dan di ruang angkasa. Mari kita jelaskan: yang diperlukan berarti kondisi, yang pemenuhannya diperlukan untuk garis paralel; jika tidak puas, garis tidak sejajar.

Ringkasnya, kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis adalah kondisi seperti itu, yang kepatuhannya perlu dan cukup agar garis sejajar satu sama lain. Di satu sisi, ini adalah tanda paralelisme, di sisi lain, properti yang melekat pada garis paralel.

Sebelum memberikan perumusan yang tepat tentang kondisi perlu dan cukup, kita ingat beberapa konsep tambahan.

Definisi 3

garis potong adalah garis yang memotong masing-masing dari dua garis yang tidak bertepatan.

Memotong dua garis lurus, garis potong membentuk delapan sudut yang tidak diperluas. Untuk merumuskan syarat perlu dan syarat cukup, kita akan menggunakan jenis-jenis sudut seperti letak bersilang, bersesuaian, dan satu sisi. Mari kita tunjukkan dalam ilustrasi:

Teorema 2

Jika dua garis pada sebuah bidang memotong sebuah garis potong, maka agar garis-garis tersebut sejajar, perlu dan cukup bahwa sudut-sudut yang bersilangan harus sama, atau sudut-sudut yang bersesuaian harus sama, atau jumlah sudut satu sisi sama dengan 180 derajat.

Mari kita ilustrasikan secara grafis kondisi perlu dan cukup untuk garis sejajar pada bidang:

Bukti dari kondisi ini ada dalam program geometri untuk kelas 7-9.

Secara umum, kondisi ini juga berlaku untuk ruang tiga dimensi, asalkan dua garis dan garis potong berada pada bidang yang sama.

Mari kita tunjukkan beberapa teorema lagi yang sering digunakan untuk membuktikan fakta bahwa garis sejajar.

Teorema 3

Dalam sebuah bidang, dua garis yang sejajar dengan sepertiga adalah sejajar satu sama lain. Fitur ini dibuktikan berdasarkan aksioma paralelisme yang disebutkan di atas.

Teorema 4

Dalam ruang tiga dimensi, dua garis sejajar dengan yang ketiga sejajar satu sama lain.

Bukti atribut dipelajari dalam program geometri kelas 10.

Kami memberikan ilustrasi teorema ini:

Mari kita tunjukkan satu lagi pasangan teorema yang membuktikan paralelisme garis.

Teorema 5

Dalam sebuah bidang, dua garis yang tegak lurus terhadap sepertiga adalah sejajar satu sama lain.

Mari kita merumuskan yang serupa untuk ruang tiga dimensi.

Teorema 6

Dalam ruang tiga dimensi, dua garis yang tegak lurus terhadap sepertiga adalah sejajar satu sama lain.

Mari kita ilustrasikan:

Semua teorema, tanda, dan kondisi di atas memungkinkan pembuktian paralelisme garis dengan metode geometri. Yaitu, untuk membuktikan paralelisme garis, seseorang dapat menunjukkan bahwa sudut-sudut yang bersesuaian adalah sama besar, atau menunjukkan fakta bahwa dua garis yang diberikan tegak lurus terhadap garis ketiga, dan seterusnya. Tetapi kami mencatat bahwa seringkali lebih mudah menggunakan metode koordinat untuk membuktikan paralelisme garis dalam bidang atau dalam ruang tiga dimensi.

Paralelisme garis dalam sistem koordinat persegi panjang

Dalam sistem koordinat persegi panjang yang diberikan, garis lurus ditentukan oleh persamaan garis lurus pada bidang dari salah satu jenis yang mungkin. Demikian pula, garis lurus yang diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang dalam ruang tiga dimensi sesuai dengan beberapa persamaan garis lurus dalam ruang.

Mari kita tuliskan kondisi yang diperlukan dan cukup untuk paralelisme garis dalam sistem koordinat persegi panjang, tergantung pada jenis persamaan yang menggambarkan garis yang diberikan.

Mari kita mulai dengan kondisi garis sejajar pada bidang. Ini didasarkan pada definisi vektor arah garis dan vektor normal garis pada bidang.

Teorema 7

Agar dua garis yang tidak bertepatan sejajar pada sebuah bidang, perlu dan cukup bahwa vektor arah dari garis-garis yang diberikan harus kolinear, atau vektor normal dari garis yang diberikan adalah collinear, atau vektor arah dari satu garis adalah tegak lurus terhadap vektor normal garis lainnya.

Menjadi jelas bahwa kondisi garis sejajar pada bidang didasarkan pada kondisi vektor collinear atau kondisi tegak lurus dua vektor. Yaitu, jika a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y) adalah vektor arah garis a dan b ;

dan n b → = (n b x , n b y) adalah vektor normal garis a dan b , maka kita tuliskan syarat perlu dan cukup di atas sebagai berikut: a → = t b → a x = t b x a y = t b y atau n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y atau a → , n b → = 0 a x n b x + a y n b y = 0 , di mana t adalah bilangan real. Koordinat vektor pengarah atau langsung ditentukan oleh persamaan garis yang diberikan. Mari kita pertimbangkan contoh utama.

1. Garis a dalam sistem koordinat persegi panjang ditentukan oleh persamaan umum garis: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; garis b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Kemudian vektor normal dari garis yang diberikan akan memiliki koordinat (A 1 , B 1) dan (A 2 , B 2) masing-masing. Kami menulis kondisi paralelisme sebagai berikut:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Garis lurus a digambarkan dengan persamaan garis lurus dengan kemiringan berbentuk y = k 1 x + b 1 . Garis lurus b - y \u003d k 2 x + b 2. Maka vektor-vektor normal dari garis-garis yang diberikan masing-masing akan memiliki koordinat (k 1 , - 1) dan (k 2 , - 1), dan kondisi paralelisme akan ditulis sebagai berikut:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) k 1 = t k 2 t = 1 k 1 = k 2

Jadi, jika garis sejajar pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang diberikan oleh persamaan dengan koefisien kemiringan, maka koefisien kemiringan dari garis yang diberikan akan sama. Dan pernyataan kebalikannya adalah benar: jika garis-garis yang tidak bertepatan pada sebuah bidang dalam sistem koordinat persegi panjang ditentukan oleh persamaan garis dengan koefisien kemiringan yang sama, maka garis-garis yang diberikan ini sejajar.

1. Garis a dan b dalam sistem koordinat persegi panjang diberikan oleh persamaan kanonik garis pada bidang: x - x 1 a x = y - y 1 a y dan x - x 2 b x = y - y 2 b y atau persamaan parametrik dari garis pada bidang: x = x 1 + a x y = y 1 + a y dan x = x 2 + b x y = y 2 + b y .

Maka vektor arah dari garis-garis yang diberikan adalah: a x , a y dan b x , b y berturut-turut, dan kita tuliskan kondisi paralelisme sebagai berikut:

a x = t b x a y = t b y

Mari kita lihat contoh.

Contoh 1

Diberikan dua garis: 2 x - 3 y + 1 = 0 dan x 1 2 + y 5 = 1 . Anda perlu menentukan apakah mereka paralel.

Keputusan

Kami menulis persamaan garis lurus dalam segmen dalam bentuk persamaan umum:

x 1 2 + y 5 = 1 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Kita lihat bahwa n a → = (2 , - 3) adalah vektor normal dari garis 2 x - 3 y + 1 = 0 , dan n b → = 2 , 1 5 adalah vektor normal dari garis x 1 2 + y 5 = 1 .

Vektor yang dihasilkan tidak kolinear, karena tidak ada nilai t yang persamaannya akan benar:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 t = 1 - 3 = t 1 5 t = 1 - 3 = 1 5

Dengan demikian, kondisi paralelisme garis yang diperlukan dan cukup pada bidang tidak terpenuhi, yang berarti bahwa garis-garis yang diberikan tidak sejajar.

Menjawab: garis yang diberikan tidak sejajar.

Contoh 2

Diketahui garis y = 2 x + 1 dan x 1 = y - 4 2 . Apakah mereka paralel?

Keputusan

Mari kita ubah persamaan kanonik garis lurus x 1 \u003d y - 4 2 menjadi persamaan garis lurus dengan kemiringan:

x 1 = y - 4 2 1 (y - 4) = 2 x y = 2 x + 4

Kita lihat bahwa persamaan garis y = 2 x + 1 dan y = 2 x + 4 tidak sama (jika sebaliknya, garisnya akan sama) dan gradien garisnya sama, yang berarti garis yang diberikan sejajar.

Mari kita coba memecahkan masalah secara berbeda. Pertama, kami memeriksa apakah garis yang diberikan bertepatan. Kami menggunakan titik mana pun dari garis y \u003d 2 x + 1, misalnya (0, 1), koordinat titik ini tidak sesuai dengan persamaan garis x 1 \u003d y - 4 2, yang berarti bahwa garis tidak bertepatan.

Langkah selanjutnya adalah menentukan pemenuhan kondisi paralelisme untuk garis yang diberikan.

Vektor normal garis y = 2 x + 1 adalah vektor n a → = (2 , - 1) , dan vektor arah dari garis kedua yang diberikan adalah b → = (1 , 2) . Produk skalar dari vektor-vektor ini adalah nol:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Jadi, vektor-vektornya tegak lurus: ini menunjukkan kepada kita pemenuhan kondisi yang diperlukan dan cukup untuk garis asli menjadi paralel. Itu. garis yang diberikan sejajar.

Menjawab: garis-garis ini sejajar.

Untuk membuktikan kesejajaran garis pada sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi, digunakan syarat perlu dan syarat cukup berikut ini.

Teorema 8

Agar dua garis tidak bertepatan dalam ruang tiga dimensi menjadi sejajar, vektor arah dari garis-garis ini perlu dan cukup untuk menjadi segaris.

Itu. untuk persamaan garis yang diberikan dalam ruang tiga dimensi, jawaban atas pertanyaan: apakah sejajar atau tidak, ditemukan dengan menentukan koordinat vektor arah dari garis yang diberikan, serta memeriksa kondisi kolinearitasnya. Dengan kata lain, jika a → = (a x, a y, a z) dan b → = (b x, b y, b z) berturut-turut adalah vektor-vektor arah garis a dan b, maka agar sejajar, keberadaan bilangan real seperti t diperlukan, sehingga persamaan berlaku:

a → = t b → a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Contoh 3

Diketahui garis x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 dan x = 2 + 2 y = 1 z = - 3 - 6 . Hal ini diperlukan untuk membuktikan paralelisme garis-garis ini.

Keputusan

Kondisi masalah adalah persamaan kanonik dari satu garis lurus dalam ruang dan persamaan parametrik dari garis lurus lain dalam ruang. Vektor arah a → dan b → garis yang diberikan memiliki koordinat: (1 , 0 , - 3) dan (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 t = 1 2 , maka a → = 1 2 b → .

Oleh karena itu, syarat perlu dan cukup untuk garis sejajar dalam ruang terpenuhi.

Menjawab: kesejajaran garis-garis yang diberikan terbukti.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Garis sejajar. Sifat dan tanda garis sejajar

1. Aksioma paralel. Melalui titik tertentu, paling banyak satu garis lurus dapat ditarik sejajar dengan garis yang diberikan.

2. Jika dua garis sejajar dengan garis yang sama, maka keduanya sejajar.

3. Dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama adalah sejajar.

4. Jika dua garis sejajar berpotongan sepertiga, maka sudut-sudut dalam yang bersilangan yang terbentuk pada waktu yang sama adalah sama; sudut yang bersesuaian sama besar; sudut satu sisi interior bertambah hingga 180°.

5. Jika pada perpotongan dua garis lurus garis ketiga membentuk sudut-sudut dalam yang sama, maka garis-garis lurus itu sejajar.

6. Jika pada perpotongan dua garis garis ketiga membentuk sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka garis-garis tersebut sejajar.

7. Jika pada perpotongan dua garis pada garis ketiga, jumlah sudut sepihak dalam adalah 180°, maka garis-garis tersebut sejajar.

teorema Thales. Jika segmen yang sama diletakkan di satu sisi sudut dan garis lurus paralel ditarik melalui ujungnya, memotong sisi kedua sudut, maka segmen yang sama juga akan disimpan di sisi kedua sudut.

Teorema pada segmen proporsional. Garis lurus sejajar yang memotong sisi-sisi sudut memotong segmen proporsional pada mereka.

Segi tiga. Tanda persamaan segitiga.

1. Jika dua sisi dan sudut antara satu segitiga masing-masing sama dengan dua sisi dan sudut di antara mereka dari segitiga lain, maka segitiga tersebut kongruen.

2. Jika sisi dan dua sudut yang berdampingan dengannya dari sebuah segitiga masing-masing sama dengan sisi dan dua sudut yang berdekatan dengannya dari segitiga lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

3. Jika tiga sisi dari suatu segitiga masing-masing sama dengan tiga sisi dari segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Tanda persamaan segitiga siku-siku

1. Dengan dua kaki.

2. Sepanjang kaki dan sisi miring.

3. Dengan sisi miring dan sudut lancip.

4. Sepanjang kaki dan sudut lancip.

Teorema tentang jumlah sudut segitiga dan konsekuensinya

1. Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°.

2. Besar sudut luar segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berdekatan.

3. Jumlah sudut dalam dari n-gon cembung adalah

4. Jumlah sudut luar ga-gon adalah 360°.

5. Sudut-sudut yang sisi-sisinya saling tegak lurus sama besar jika keduanya lancip atau keduanya tumpul.

6. Sudut antara garis-bagi dari sudut-sudut yang bersebelahan adalah 90°.

7. Garis bagi sudut satu sisi internal dengan garis sejajar dan garis potong tegak lurus.

Sifat-sifat utama dan tanda-tanda segitiga sama kaki

1. Sudut-sudut pada alas segitiga sama kaki adalah sama besar.

2. Jika dua sudut suatu segitiga sama besar, maka segitiga tersebut sama kaki.

3. Dalam segitiga sama kaki, median, garis bagi, dan tinggi yang ditarik ke alasnya adalah sama.

4. Jika ada pasangan segmen dari triple - median, garis bagi, tinggi - bertepatan dalam sebuah segitiga, maka itu adalah sama kaki.

Pertidaksamaan segitiga dan akibatnya

1. Jumlah dua sisi segitiga lebih besar dari sisi ketiganya.

2. Jumlah tautan dari garis putus-putus lebih besar dari segmen yang menghubungkan awal

link pertama dengan akhir yang terakhir.

3. Di seberang sudut yang lebih besar dari segitiga terletak sisi yang lebih besar.

4. Terhadap sisi yang lebih besar dari segitiga terletak sudut yang lebih besar.

5. Sisi miring segitiga siku-siku lebih besar dari kaki.

6. Jika tegak lurus dan miring ditarik dari satu titik ke garis lurus, maka

1) tegak lurus lebih pendek dari yang miring;

2) kemiringan yang lebih besar sesuai dengan proyeksi yang lebih besar dan sebaliknya.

Garis tengah segitiga.

Ruas garis yang menghubungkan titik tengah kedua sisi segitiga disebut garis tengah segitiga.

Teorema garis tengah segitiga.

Garis tengah segitiga adalah sejajar dengan sisi segitiga dan sama dengan setengahnya.

Teorema median segitiga

1. Garis tengah sebuah segitiga berpotongan di satu titik dan membaginya dengan perbandingan 2:1, dihitung dari atas.

2. Jika median suatu segitiga sama dengan setengah dari sisi yang digambarnya, maka segitiga tersebut siku-siku.

3. Median segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku sama dengan setengah dari sisi miring.

Sifat-sifat garis-bagi yang tegak lurus terhadap sisi-sisi segitiga. Garis-bagi yang tegak lurus ke sisi-sisi segitiga berpotongan di satu titik, yang merupakan pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga.

Teorema ketinggian segitiga. Garis-garis yang memuat ketinggian segitiga berpotongan di satu titik.

teorema garis-bagi segitiga. Garis bagi segitiga berpotongan di satu titik, yang merupakan pusat lingkaran yang tertulis dalam segitiga.

Sifat bagi-bagi segitiga. Garis bagi segitiga membagi sisi-sisinya menjadi segmen-segmen yang sebanding dengan dua sisi lainnya.

Tanda-tanda kesamaan segitiga

1. Jika dua sudut dari satu segitiga masing-masing sama besar dengan dua sudut yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut sebangun.

2. Jika dua sisi dari satu segitiga masing-masing sebanding dengan dua sisi yang lain, dan sudut-sudut yang diapit di antara sisi-sisi ini sama besar, maka segitiga-segitiga itu sebangun.

3. Jika ketiga sisi suatu segitiga masing-masing sebanding dengan ketiga sisi yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut sebangun.

Luas Segitiga Sebangun

1. Perbandingan luas segitiga-segitiga yang sebangun sama dengan kuadrat koefisien keserupaan.

2. Jika dua segitiga memiliki sudut yang sama besar, maka luasnya berhubungan sebagai hasil kali sisi-sisi yang melingkari sudut-sudut tersebut.

Dalam segitiga siku-siku

1. Kaki segitiga siku-siku sama dengan produk dari sisi miring dan sinus dari sisi yang berlawanan atau kosinus dari sudut akut yang berdekatan dengan kaki ini.

2. Kaki segitiga siku-siku sama dengan kaki lainnya dikalikan dengan tangen dari sisi yang berlawanan atau kotangen dari sudut lancip yang berdekatan dengan kaki tersebut.

3. Kaki segitiga siku-siku yang berhadapan dengan sudut 30° sama dengan setengah sisi miring.

4. Jika kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan setengah dari sisi miringnya, maka besar sudut yang berhadapan dengan kaki tersebut adalah 30°.

5. R = ; g \u003d, di mana a, b adalah kaki, dan c adalah sisi miring dari segitiga siku-siku; r dan R masing-masing adalah jari-jari lingkaran bertulisan dan lingkaran berbatas.

Teorema Pythagoras dan kebalikan dari teorema Pythagoras

1. Kuadrat sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya.

2. Jika kuadrat salah satu sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisinya yang lain, maka segitiga tersebut siku-siku.

Rata-rata proporsional dalam segitiga siku-siku.

Tinggi segitiga siku-siku, yang ditarik dari titik sudut siku-siku, adalah rata-rata proporsional dengan proyeksi kaki ke sisi miring, dan setiap kaki adalah rata-rata proporsional dengan sisi miring dan proyeksi ke sisi miring.

Rasio metrik dalam segitiga

1. Teorema kosinus. Kuadrat salah satu sisi segitiga sama dengan jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya tanpa menggandakan produk dari sisi-sisi tersebut dikalikan kosinus sudut di antara mereka.

2. Akibat wajar dari teorema kosinus. Jumlah kuadrat diagonal jajar genjang sama dengan jumlah kuadrat semua sisinya.

3. Rumus median segitiga. Jika m adalah median segitiga yang ditarik ke sisi c, maka m = di mana a dan b adalah sisi segitiga yang tersisa.

4. Teorema sinus. Sisi-sisi segitiga sebanding dengan sinus sudut-sudut yang berhadapan.

5. Teorema sinus umum. Perbandingan sisi suatu segitiga dengan sinus sudut yang berhadapan adalah sama dengan diameter lingkaran yang mengelilingi segitiga tersebut.

Rumus luas segitiga

1. Luas segitiga adalah setengah hasil kali alas dan tinggi.

2. Luas segitiga sama dengan setengah hasil kali kedua sisinya dan sinus sudut di antara keduanya.

3. Luas segitiga sama dengan produk setengah kelilingnya dan jari-jari lingkaran yang tertulis.

4. Luas segitiga sama dengan hasil kali ketiga sisinya dibagi empat kali jari-jari lingkaran yang dibatasi.

5. Rumus bangau: S=, di mana p adalah semiperimeter; a, b, c - sisi segitiga.

Unsur-unsur segitiga sama sisi. Misalkan h, S, r, R adalah tinggi, luas, jari-jari lingkaran bertulis dan berbatas pada segitiga sama sisi dengan sisi a. Kemudian
segi empat

Genjang. Jajar genjang adalah segi empat yang sisi-sisinya berhadapan sejajar berpasangan.

Sifat dan ciri jajar genjang.

1. Diagonal membagi jajar genjang menjadi dua segitiga yang sama besar.

2. Sisi-sisi yang berhadapan pada suatu jajar genjang adalah sama berpasangan.

3. Sudut-sudut yang berhadapan pada jajar genjang sama besar berpasangan.

4. Diagonal jajar genjang berpotongan dan membagi dua titik perpotongan.

5. Jika sisi-sisi yang berhadapan pada suatu segiempat sama besar, maka segi empat tersebut adalah jajar genjang.

6. Jika dua sisi yang berhadapan pada suatu segiempat adalah sama dan sejajar, maka segi empat ini adalah jajar genjang.

7. Jika diagonal-diagonal suatu segiempat dibagi dua oleh titik potongnya, maka segi empat tersebut adalah jajar genjang.

Sifat-sifat titik tengah sisi-sisi segiempat. Titik tengah sisi segi empat apa pun adalah simpul dari jajaran genjang yang luasnya setengah dari luas segi empat.

Empat persegi panjang. Persegi panjang adalah jajar genjang dengan sudut siku-siku.

Sifat-sifat dan tanda-tanda persegi panjang.

1. Diagonal persegi panjang sama besar.

2. Jika diagonal-diagonal suatu jajar genjang sama, maka jajar genjang tersebut merupakan persegi panjang.

Kotak. Persegi adalah persegi panjang yang semua sisinya sama panjang.

Belah ketupat. Belah ketupat adalah segi empat yang semua sisinya sama panjang.

Sifat dan tanda belah ketupat.

1. Diagonal belah ketupat tegak lurus.

2. Diagonal belah ketupat membagi dua sudutnya.

3. Jika diagonal-diagonal jajar genjang tegak lurus, maka jajar genjang tersebut merupakan belah ketupat.

4. Jika diagonal-diagonal suatu jajar genjang membagi dua sudutnya, maka jajar genjang tersebut merupakan belah ketupat.

Rekstok gantung. Trapesium adalah segi empat yang hanya dua sisi (alas) yang berhadapan sejajar. Garis tengah trapesium adalah ruas yang menghubungkan titik tengah sisi yang tidak sejajar (sisi lateral).

1. Garis tengah trapesium sejajar dengan alasnya dan sama dengan jumlah setengahnya.

2. Ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal trapesium sama dengan selisih setengah alasnya.

Properti luar biasa dari trapesium. Titik potong diagonal trapesium, titik potong perpanjangan sisi dan titik tengah alas terletak pada garis lurus yang sama.

Trapesium sama kaki. Trapesium disebut sama kaki jika sisi-sisinya sama.

Sifat dan tanda trapesium sama kaki.

1. Sudut-sudut pada alas trapesium sama kaki adalah sama besar.

2. Diagonal trapesium sama kaki adalah sama.

3. Jika sudut-sudut pada alas trapesium sama besar, maka trapesium tersebut sama kaki.

4. Jika diagonal-diagonal trapesium sama, maka trapesium tersebut sama kaki.

5. Penonjolan sisi lateral trapesium sama kaki ke alasnya sama dengan selisih setengah alasnya, dan proyeksi diagonalnya adalah setengah jumlah alasnya.

Rumus luas segi empat

1. Luas jajar genjang sama dengan produk alas dan tinggi.

2. Luas jajar genjang sama dengan produk dari sisi-sisi yang berdekatan dan sinus sudut di antara mereka.

3. Luas persegi panjang sama dengan hasil kali dua sisi yang berdekatan.

4. Luas belah ketupat adalah setengah hasil kali diagonal-diagonalnya.

5. Luas trapesium sama dengan hasil kali setengah jumlah alas dan tingginya.

6. Luas segi empat sama dengan setengah produk diagonalnya dan sinus sudut di antara mereka.

7. Rumus bangau untuk segi empat di mana lingkaran dapat digambarkan:

S \u003d, di mana a, b, c, d adalah sisi segi empat ini, p adalah setengah keliling, dan S adalah luasnya.

Angka serupa

1. Perbandingan unsur-unsur linier yang bersesuaian dari bangun-bangun yang sejenis sama dengan koefisien keserupaan.

2. Perbandingan luas bangun datar sama dengan kuadrat koefisien keserupaan.

poligon beraturan.

Misalkan a n adalah sisi dari n-gon beraturan, dan r n dan R n adalah jari-jari lingkaran bertulis dan berbatas. Kemudian

Lingkaran.

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berada pada jarak positif yang sama dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat lingkaran.

Sifat dasar lingkaran

1. Diameter tegak lurus tali busur membagi tali busur dan busur yang dikurangi menjadi dua.

2. Suatu diameter yang melalui bagian tengah tali busur yang bukan merupakan diameter tegak lurus terhadap tali busur tersebut.

3. Median yang tegak lurus tali busur melewati pusat lingkaran.

4. Tali busur yang sama dilepaskan dari pusat lingkaran pada jarak yang sama.

5. Tali busur sebuah lingkaran yang jaraknya sama dari pusatnya adalah sama.

6. Lingkaran simetris terhadap salah satu diameternya.

7. Busur lingkaran yang terletak di antara tali busur yang sejajar adalah sama besar.

8. Dari dua akord, yang kurang jauh dari pusat lebih besar.

9. Diameter adalah tali busur terbesar dari sebuah lingkaran.

Garis singgung lingkaran. Garis yang memiliki satu titik yang sama dengan lingkaran disebut garis singgung lingkaran.

1. Garis singgung tegak lurus dengan jari-jari yang ditarik ke titik kontak.

2. Jika garis a yang melalui suatu titik pada lingkaran tegak lurus dengan jari-jari yang ditarik ke titik tersebut, maka garis a menyinggung lingkaran.

3. Jika garis-garis yang melalui titik M menyentuh lingkaran di titik A dan B, maka MA = MB dan AMO = BMO, dimana titik O adalah pusat lingkaran.

4. Pusat lingkaran yang bertulisan suatu sudut terletak pada garis-bagi sudut tersebut.

lingkaran singgung. Dua lingkaran dikatakan bersentuhan jika mereka memiliki satu titik yang sama (titik singgung).

1. Titik kontak dua lingkaran terletak pada garis pusatnya.

2. Lingkaran jari-jari dan R dengan pusat O 1 dan O 2 bersentuhan secara eksternal jika dan hanya jika R + r \u003d O 1 O 2.

3. Lingkaran dengan jari-jari r dan R (r

4. Lingkaran dengan pusat O 1 dan O 2 bersentuhan secara eksternal di titik K. Beberapa garis lurus menyentuh lingkaran-lingkaran ini di titik A dan B yang berbeda dan berpotongan dengan garis singgung bersama yang melalui titik K di titik C. Kemudian AK B \u003d 90 ° dan O 1 CO 2 \u003d 90 °.

5. Ruas garis singgung luar persekutuan pada dua lingkaran singgung berjari-jari dan R sama dengan ruas garis singgung persekutuan dalam yang tertutup di antara lingkaran luar persekutuan. Kedua segmen ini sama.

Sudut yang berhubungan dengan lingkaran

1. Nilai busur lingkaran sama dengan nilai sudut pusatnya.

2. Sudut bertulisan sama dengan setengah besar sudut busur tempat busur itu berada.

3. Sudut-sudut bertulisan yang didasarkan pada busur yang sama adalah sama besar.

4. Sudut antara tali busur yang berpotongan sama dengan setengah jumlah busur berlawanan yang dipotong oleh tali busur tersebut.

5. Sudut antara dua garis potong yang berpotongan di luar lingkaran sama dengan selisih setengah busur yang dipotong oleh garis potong pada lingkaran.

6. Sudut antara garis singgung dan tali busur yang ditarik dari titik kontak sama dengan setengah dari nilai sudut busur yang dipotong pada lingkaran oleh tali busur ini.

Sifat-sifat akord lingkaran

1. Garis pusat dua lingkaran yang berpotongan tegak lurus terhadap tali busurnya.

2. Produk dari panjang segmen tali AB dan CD dari lingkaran yang berpotongan di titik E adalah sama, yaitu, AE EB \u003d CE ED.

Lingkaran tertulis dan terbatas

1. Pusat-pusat lingkaran bertulis dan berbatas dari segitiga beraturan bertepatan.

2. Pusat lingkaran yang dibatasi pada segitiga siku-siku adalah titik tengah sisi miring.

3. Jika sebuah lingkaran dapat ditulis dalam segiempat, maka jumlah sisi-sisi yang berhadapan adalah sama.

4. Jika sebuah segiempat dapat dibuat dalam sebuah lingkaran, maka jumlah sudut-sudutnya yang berhadapan adalah 180°.

5. Jika jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada suatu segiempat adalah 180°, maka sebuah lingkaran dapat dibatasi mengelilinginya.

6. Jika sebuah lingkaran dapat dibuat dalam trapesium, maka sisi sisi trapesium terlihat dari pusat lingkaran pada sudut siku-siku.

7. Jika sebuah lingkaran dapat dibuat dalam trapesium, maka jari-jari lingkaran adalah rata-rata sebanding dengan segmen di mana titik singgung membagi sisi lateral.

8. Jika sebuah lingkaran dapat ditulisi dalam poligon, maka luasnya sama dengan hasil kali semiperimeter poligon dan jari-jari lingkaran ini.

Teorema garis singgung dan garis potong dan akibat wajarnya

1. Jika sebuah garis singgung dan sebuah garis potong ditarik dari satu titik ke lingkaran, maka hasil kali seluruh garis potong dengan bagian luarnya sama dengan kuadrat garis singgungnya.

2. Hasil kali seluruh garis potong dengan bagian luarnya untuk titik tertentu dan lingkaran tertentu adalah konstan.

Keliling lingkaran yang berjari-jari R adalah C= 2πR

BAB III.
GARIS SEJAJAR

35. TANDA PARALELITAS DUA GARIS LANGSUNG.

Teorema bahwa dua garis tegak lurus terhadap satu garis sejajar (§ 33) memberikan tanda bahwa dua garis sejajar. Dimungkinkan untuk menurunkan tanda-tanda paralelisme dua garis yang lebih umum.

1. Tanda pertama paralelisme.

Jika, pada perpotongan dua garis dengan garis ketiga, sudut-sudut dalam yang berhadapan sama besar, maka garis-garis ini sejajar.

Biarkan garis AB dan CD berpotongan dengan garis EF dan / 1 = / 2. Ambil titik O - tengah segmen KL dari garis potong EF (Gbr. 189).

Mari kita turunkan tegak lurus OM dari titik O ke garis AB dan teruskan sampai berpotongan dengan garis CD, AB_|_MN. Mari kita buktikan bahwa CD_|_MN.
Untuk melakukan ini, pertimbangkan dua segitiga: MOE dan NOK. Segitiga ini sama besar satu sama lain. Memang: / 1 = / 2 dengan kondisi teorema; OK = OL - menurut konstruksi;
/ MOL = / NOK sebagai sudut vertikal. Dengan demikian, sisi dan dua sudut yang berdekatan dengannya dari satu segitiga masing-masing sama dengan sisi dan dua sudut yang berdekatan dengan segitiga lain; karena itu, /\ MOL = /\ NOK, dan karenanya
/ LMO = / tahu tapi / LMO langsung, maka, dan / KNO juga langsung. Jadi, garis AB dan CD tegak lurus terhadap garis yang sama MN, maka keduanya sejajar (§ 33), yang harus dibuktikan.

Catatan. Perpotongan garis MO dan CD dapat dibuat dengan memutar segitiga MOL di sekitar titik O sebesar 180°.

2. Tanda kedua paralelisme.

Mari kita lihat apakah garis AB dan CD sejajar jika, pada perpotongan garis ketiga EF, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Biarkan beberapa sudut yang bersesuaian sama besar, misalnya / 3 = / 2 (pengembangan 190);
/ 3 = / 1, karena sudutnya vertikal; cara, / 2 akan sama / 1. Tetapi sudut 2 dan 1 adalah sudut terletak melintang internal, dan kita sudah tahu bahwa jika di persimpangan dua garis dengan sepertiga, sudut berbaring melintang internal adalah sama, maka garis-garis ini sejajar. Oleh karena itu, AB || CD.

Jika pada perpotongan dua garis pada garis ketiga sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka kedua garis ini sejajar.

Konstruksi garis paralel dengan bantuan penggaris dan gambar segitiga didasarkan pada properti ini. Ini dilakukan sebagai berikut.

Mari kita pasang segitiga ke penggaris seperti yang ditunjukkan pada gambar 191. Kita akan memindahkan segitiga sehingga salah satu sisinya meluncur di sepanjang penggaris, dan menggambar beberapa garis lurus di sepanjang sisi segitiga lainnya. Garis-garis ini akan sejajar.

3. Tanda ketiga paralelisme.

Diketahui bahwa pada perpotongan dua garis AB dan CD pada garis ketiga, jumlah setiap sudut dalam satu sisi sama dengan 2 d(atau 180 °). Akankah garis AB dan CD sejajar dalam kasus ini (Gbr. 192).

Biarlah / 1 dan / 2 sudut satu sisi interior dan jumlahkan hingga 2 d.
Tetapi / 3 + / 2 = 2d sebagai sudut yang berdekatan. Karena itu, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Dari sini / 1 = / 3, dan sudut-sudut ini terletak melintang secara internal. Oleh karena itu, AB || CD.

Jika pada perpotongan dua garis dengan sepertiga, jumlah sudut dalam satu sisi sama dengan 2 d, maka kedua garis tersebut sejajar.

Sebuah latihan.

Buktikan bahwa garis sejajar:
a) jika sudut luar bersilangan sama (Gbr. 193);
b) jika jumlah sudut luar sepihak adalah 2 d(setan 194).