Eksponen dilambangkan sebagai , atau .
nomor e
Basis derajat eksponen adalah nomor e. Ini adalah bilangan irasional. Ini kira-kira sama
e ≈ 2,718281828459045...
Angka e ditentukan melalui limit barisan tersebut. Ini disebut batas luar biasa kedua:
.
Juga, angka e dapat direpresentasikan sebagai deret:
.
Bagan peserta pameran
Plot eksponen, y = e x .Grafik menunjukkan eksponen, e sejauh X.
kamu (x) = e x
Grafik menunjukkan bahwa eksponen meningkat secara monoton.
Rumus
Rumus dasarnya sama dengan fungsi eksponensial dengan basis derajat e.
;
;
;
Ekspresi fungsi eksponensial dengan basis arbitrer derajat a melalui eksponen:
.
Nilai pribadi
biarkan kamu (x) = e x. Kemudian
.
Properti Eksponen
Eksponen memiliki sifat-sifat fungsi eksponensial dengan basis derajat e > 1 .
Domain definisi, kumpulan nilai
Eksponen y (x) = e x didefinisikan untuk semua x .
Ruang lingkupnya adalah:
- ∞ < x + ∞
.
Kumpulan maknanya:
0
< y < + ∞
.
Ekstrem, naik, turun
Eksponen adalah fungsi yang meningkat secara monoton, sehingga tidak memiliki ekstrem. Properti utamanya disajikan dalam tabel.
Fungsi terbalik
Kebalikan dari eksponen adalah logaritma natural.
;
.
Turunan dari eksponen
Turunan e sejauh X adalah sama dengan e sejauh X
:
.
Turunan dari orde ke-n:
.
Turunan rumus > > >
Integral
Bilangan kompleks
Operasi dengan bilangan kompleks dilakukan dengan menggunakan Rumus Euler:
,
di mana unit imajiner:
.
Ekspresi dalam hal fungsi hiperbolik
;
;
.
Ekspresi dalam hal fungsi trigonometri
;
;
;
.
Ekspansi seri daya
Referensi:
DI. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.
Perhatian!
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")
Apa "ketidaksamaan kuadrat"? Bukan pertanyaan!) Jika Anda mengambil setiap persamaan kuadrat dan ubah tandanya "=" (sama) dengan ikon ketidaksetaraan ( > ≥ < ≤ ≠ ), kita mendapatkan pertidaksamaan kuadrat. Sebagai contoh:
1. x2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x2 ≤ 4
Nah, Anda mendapatkan ide ...)
Saya sengaja menghubungkan persamaan dan ketidaksetaraan di sini. Faktanya adalah bahwa langkah pertama dalam memecahkan setiap pertidaksamaan kuadrat - selesaikan persamaan dari mana ketidaksetaraan ini dibuat. Untuk alasan ini - ketidakmampuan untuk memecahkan persamaan kuadrat secara otomatis menyebabkan kegagalan total dalam ketidaksetaraan. Apakah petunjuknya jelas?) Jika ada, lihat cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Semuanya detail di sana. Dan dalam pelajaran ini kita akan berurusan dengan ketidaksetaraan.
Pertidaksamaan siap untuk solusi memiliki bentuk: kiri - trinomial persegi kapak 2 +bx+c, di sebelah kanan - nol. Tanda ketidaksetaraan bisa berupa apa saja. Dua contoh pertama ada di sini siap untuk sebuah keputusan. Contoh ketiga masih perlu disiapkan.
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.
Telah diperlukan untuk membandingkan nilai dan kuantitas dalam memecahkan masalah praktis sejak zaman kuno. Pada saat yang sama, kata-kata seperti lebih dan kurang, lebih tinggi dan lebih rendah, lebih ringan dan lebih berat, lebih tenang dan lebih keras, lebih murah dan lebih mahal, dll muncul, yang menunjukkan hasil membandingkan jumlah yang homogen.
Konsep lebih dan kurang muncul sehubungan dengan penghitungan benda, pengukuran dan perbandingan jumlah. Misalnya, matematikawan Yunani kuno tahu bahwa sisi segitiga apa pun lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya dan bahwa sisi segitiga yang lebih besar terletak di seberang sudut yang lebih besar. Archimedes, ketika menghitung keliling lingkaran, menemukan bahwa keliling lingkaran apa pun sama dengan tiga kali diameter dengan kelebihan yang kurang dari sepertujuh diameter, tetapi lebih dari sepuluh tujuh puluh satu diameter.
Tulislah hubungan antara bilangan dan besaran secara simbolis dengan menggunakan tanda > dan b. Entri di mana dua angka dihubungkan oleh salah satu tanda: > (lebih besar dari), Anda juga bertemu dengan ketidaksetaraan numerik di kelas dasar. Anda tahu bahwa ketidaksetaraan mungkin atau mungkin tidak benar. Misalnya, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) adalah pertidaksamaan numerik yang valid, 0,23 > 0,235 adalah pertidaksamaan numerik yang tidak valid.
Ketidaksetaraan yang mencakup yang tidak diketahui mungkin benar untuk beberapa nilai yang tidak diketahui dan salah untuk yang lain. Misalnya, pertidaksamaan 2x+1>5 benar untuk x = 3, tetapi salah untuk x = -3. Untuk pertidaksamaan dengan yang tidak diketahui, Anda dapat mengatur tugas: selesaikan pertidaksamaan. Masalah pemecahan ketidaksetaraan dalam praktek diajukan dan dipecahkan tidak kurang dari masalah pemecahan persamaan. Misalnya, banyak masalah ekonomi direduksi menjadi studi dan solusi sistem pertidaksamaan linier. Di banyak cabang matematika, ketidaksetaraan lebih umum daripada persamaan.
Beberapa ketidaksetaraan berfungsi sebagai satu-satunya alat bantu untuk membuktikan atau menyangkal keberadaan objek tertentu, misalnya, akar persamaan.
Pertidaksamaan numerik
Anda dapat membandingkan bilangan bulat dan desimal. Mengetahui aturan untuk membandingkan pecahan biasa dengan penyebut yang sama tetapi pembilangnya berbeda; dengan pembilang yang sama tetapi penyebutnya berbeda. Di sini Anda akan belajar bagaimana membandingkan dua angka dengan menemukan tanda perbedaannya.
Perbandingan angka banyak digunakan dalam praktik. Misalnya, seorang ekonom membandingkan indikator yang direncanakan dengan yang sebenarnya, dokter membandingkan suhu pasien dengan normal, turner membandingkan dimensi bagian mesin dengan standar. Dalam semua kasus seperti itu, beberapa angka dibandingkan. Sebagai hasil dari membandingkan angka, ketidaksetaraan numerik muncul.
Definisi. Angka a lebih besar dari angka b jika selisih a-b positif. Angka a lebih kecil dari angka b jika selisih a-b negatif.
Jika a lebih besar dari b, maka ditulis: a > b; jika a lebih kecil dari b, maka ditulis: a Jadi, pertidaksamaan a > b berarti selisih a - b positif, yaitu a - b > 0. Pertidaksamaan a Untuk setiap dua bilangan a dan b dari tiga relasi berikut a > b, a = b, a Dalil. Jika a > b dan b > c, maka a > c.
Dalil. Jika angka yang sama ditambahkan ke kedua sisi pertidaksamaan, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah.
Konsekuensi. Suku apa pun dapat dipindahkan dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian pertidaksamaan lainnya dengan mengubah tanda suku ini menjadi kebalikannya.
Dalil. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan akan berubah menjadi kebalikannya.
Konsekuensi. Jika kedua bagian pertidaksamaan dibagi dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah. Jika kedua bagian pertidaksamaan dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan akan berubah menjadi kebalikannya.
Anda tahu bahwa persamaan numerik dapat ditambahkan dan dikalikan suku demi suku. Selanjutnya, Anda akan belajar bagaimana melakukan tindakan serupa dengan ketidaksetaraan. Kemampuan untuk menjumlahkan dan mengalikan pertidaksamaan suku demi suku sering digunakan dalam praktik. Tindakan ini membantu Anda memecahkan masalah mengevaluasi dan membandingkan nilai ekspresi.
Ketika memecahkan berbagai masalah, sering kali perlu menambahkan atau mengalikan suku dengan suku bagian kiri dan kanan pertidaksamaan. Dalam hal ini, kadang-kadang dikatakan bahwa ketidaksetaraan ditambahkan atau dikalikan. Misalnya, jika seorang turis berjalan lebih dari 20 km pada hari pertama, dan lebih dari 25 km pada hari kedua, maka dapat dikatakan bahwa dalam dua hari ia berjalan lebih dari 45 km. Demikian pula jika panjang suatu persegi panjang kurang dari 13 cm dan lebarnya kurang dari 5 cm, maka dapat dikatakan luas persegi panjang tersebut kurang dari 65 cm2.
Dalam mempertimbangkan contoh-contoh ini, berikut ini teorema penjumlahan dan perkalian pertidaksamaan:
Dalil. Saat menjumlahkan pertidaksamaan bertanda sama, kita mendapatkan pertidaksamaan bertanda sama: jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d.
Dalil. Ketika mengalikan pertidaksamaan bertanda sama, yang bagian kiri dan kanannya positif, diperoleh pertidaksamaan bertanda sama: jika a > b, c > d dan a, b, c, d bilangan positif, maka ac > bd.
Pertidaksamaan dengan tanda > (lebih besar dari) dan 1/2, 3/4 b, c Berikut pertidaksamaan tegas > dan Pertidaksamaan \(a \geq b \) berarti bilangan a lebih besar dari atau sama dengan b, yaitu dan tidak kurang dari b.
Pertidaksamaan yang mengandung tanda \(\geq \) atau tanda \(\leq \) disebut tak tegas. Misalnya, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) bukan pertidaksamaan yang tegas.
Semua sifat pertidaksamaan ketat juga berlaku untuk pertidaksamaan tidak tegas. Selain itu, jika untuk pertidaksamaan ketat tanda > dianggap berlawanan, dan Anda tahu bahwa untuk menyelesaikan sejumlah masalah yang diterapkan, Anda harus membuat model matematika dalam bentuk persamaan atau sistem persamaan. Selanjutnya, Anda akan belajar bahwa model matematika untuk menyelesaikan banyak masalah adalah pertidaksamaan dengan yang tidak diketahui. Kami akan memperkenalkan konsep penyelesaian pertidaksamaan dan menunjukkan cara memeriksa apakah suatu bilangan merupakan solusi pertidaksamaan tertentu.
Persamaan bentuk
\(ax > b, \quad ax dimana a dan b diberi bilangan dan x tidak diketahui, disebut pertidaksamaan linier dengan satu yang tidak diketahui.
Definisi. Penyelesaian pertidaksamaan dengan satu yang tidak diketahui adalah nilai dari pertidaksamaan yang tidak diketahui tersebut, sehingga pertidaksamaan ini menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya. Menyelesaikan pertidaksamaan berarti menemukan semua penyelesaiannya atau menetapkan bahwa tidak ada solusi.
Anda memecahkan persamaan dengan mereduksinya menjadi persamaan yang paling sederhana. Demikian pula, ketika memecahkan pertidaksamaan, seseorang cenderung menguranginya dengan bantuan properti ke bentuk pertidaksamaan yang paling sederhana.
Penyelesaian pertidaksamaan derajat dua dengan satu variabel
Persamaan bentuk
\(ax^2+bx+c >0 \) dan \(ax^2+bx+c di mana x adalah variabel, a, b dan c adalah beberapa bilangan dan \(a \neq 0 \) disebut pertidaksamaan derajat dua dengan satu variabel.
Memecahkan ketidaksetaraan
\(ax^2+bx+c >0 \) atau \(ax^2+bx+c \) dapat dianggap sebagai menemukan celah di mana fungsi \(y= ax^2+bx+c \) bernilai positif atau nilai negatif Untuk melakukan ini, cukup menganalisis bagaimana grafik fungsi \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) terletak di bidang koordinat: di mana cabang-cabang parabola diarahkan - ke atas atau ke bawah , apakah parabola memotong sumbu x dan jika itu memotongnya, maka di titik apa.
Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan derajat kedua dengan satu variabel:
1) temukan diskriminan dari trinomial persegi \(ax^2+bx+c\) dan cari tahu apakah trinomial tersebut memiliki akar-akar;
2) jika trinomial memiliki akar, maka tandai pada sumbu x dan secara skematis gambar parabola melalui titik-titik yang ditandai, yang cabang-cabangnya mengarah ke atas di a > 0 atau ke bawah di 0 atau ke bawah di a 3) temukan celah pada sumbu x yang titik parabolanya terletak di atas sumbu x (jika menyelesaikan pertidaksamaan \(ax^2+bx+c >0 \)) atau di bawah sumbu x (jika menyelesaikan pertidaksamaan
\(ax^2+bx+c Solusi pertidaksamaan dengan metode interval
Pertimbangkan fungsinya
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
Domain dari fungsi ini adalah himpunan semua bilangan. Angka nol dari fungsi adalah angka -2, 3, 5. Mereka membagi domain fungsi menjadi interval \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) dan \( (5; +\infty) \)
Mari kita cari tahu apa tanda-tanda fungsi ini di setiap interval yang ditunjukkan.
Ekspresi (x + 2)(x - 3)(x - 5) adalah produk dari tiga faktor. Tanda masing-masing faktor ini dalam interval yang dipertimbangkan ditunjukkan dalam tabel:
Secara umum, biarkan fungsi diberikan oleh rumus
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
di mana x adalah variabel, dan x 1 , x 2 , ..., x n bukan bilangan yang sama. Bilangan x 1 , x 2 , ..., x n adalah nol dari fungsi tersebut. Di setiap interval di mana domain definisi dibagi dengan nol fungsi, tanda fungsi dipertahankan, dan ketika melewati nol, tandanya berubah.
Sifat ini digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) dimana x 1 , x 2 , ..., x n bukan bilangan yang sama
Metode yang dipertimbangkan menyelesaikan pertidaksamaan disebut metode interval.
Mari kita berikan contoh penyelesaian pertidaksamaan dengan metode interval.
Selesaikan pertidaksamaan:
\(x(0.5-x)(x+4) Jelas, nol dari fungsi f(x) = x(0.5-x)(x+4) adalah titik \frac(1)(2) , \; x=-4 \)Kami memplot nol fungsi pada sumbu nyata dan menghitung tanda pada setiap interval:
Kami memilih interval di mana fungsinya kurang dari atau sama dengan nol dan menuliskan jawabannya.
Menjawab:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
Sederhananya, ini adalah sayuran yang dimasak dalam air sesuai dengan resep khusus. Saya akan mempertimbangkan dua komponen awal (salad sayuran dan air) dan hasil akhir - borscht. Secara geometris, ini dapat direpresentasikan sebagai persegi panjang di mana satu sisi menunjukkan selada, sisi lain menunjukkan air. Jumlah kedua sisi ini akan menunjukkan borscht. Diagonal dan luas persegi panjang "borscht" semacam itu adalah konsep matematika murni dan tidak pernah digunakan dalam resep borscht.
Bagaimana selada dan air berubah menjadi borscht dalam hal matematika? Bagaimana jumlah dua segmen berubah menjadi trigonometri? Untuk memahami ini, kita membutuhkan fungsi sudut linier.
Anda tidak akan menemukan apa pun tentang fungsi sudut linier di buku teks matematika. Tetapi tanpa mereka tidak akan ada matematika. Hukum matematika, seperti hukum alam, bekerja baik kita tahu mereka ada atau tidak.
Fungsi sudut linier adalah hukum penjumlahan. Lihat bagaimana aljabar berubah menjadi geometri dan geometri berubah menjadi trigonometri.
Apakah mungkin dilakukan tanpa fungsi sudut linier? Anda bisa, karena matematikawan masih mengelola tanpa mereka. Trik matematikawan terletak pada kenyataan bahwa mereka selalu memberi tahu kita hanya tentang masalah yang dapat mereka selesaikan sendiri, dan tidak pernah memberi tahu kita tentang masalah yang tidak dapat mereka selesaikan. Lihat. Jika kita mengetahui hasil penjumlahan dan satu suku, kita menggunakan pengurangan untuk mencari suku lainnya. Semuanya. Kami tidak tahu masalah lain dan kami tidak dapat menyelesaikannya. Apa yang harus dilakukan jika kita hanya mengetahui hasil penjumlahan dan tidak mengetahui kedua suku tersebut? Dalam hal ini, hasil penjumlahan harus didekomposisi menjadi dua suku menggunakan fungsi sudut linier. Selanjutnya, kita sendiri yang memilih apa yang bisa menjadi satu suku, dan fungsi sudut linier menunjukkan apa yang seharusnya menjadi suku kedua agar hasil penjumlahan tepat seperti yang kita butuhkan. Mungkin ada jumlah tak terbatas dari pasangan istilah seperti itu. Dalam kehidupan sehari-hari, kita melakukannya dengan sangat baik tanpa menguraikan jumlah; pengurangan sudah cukup bagi kita. Tetapi dalam studi ilmiah tentang hukum alam, perluasan jumlah menjadi istilah bisa sangat berguna.
Hukum penjumlahan lain yang tidak suka dibicarakan oleh matematikawan (trik lain mereka) mengharuskan suku-suku memiliki satuan ukuran yang sama. Untuk selada, air, dan borscht, ini mungkin satuan berat, volume, biaya, atau satuan ukuran.
Angka tersebut menunjukkan dua tingkat perbedaan untuk matematika. Tingkat pertama adalah perbedaan bidang angka, yang ditunjukkan sebuah, b, c. Inilah yang dilakukan para ahli matematika. Tingkat kedua adalah perbedaan luas unit pengukuran, yang ditunjukkan dalam tanda kurung siku dan ditunjukkan dengan huruf kamu. Inilah yang dilakukan fisikawan. Kita dapat memahami tingkat ketiga - perbedaan dalam ruang lingkup objek yang dijelaskan. Benda yang berbeda dapat memiliki jumlah satuan ukuran yang sama. Betapa pentingnya hal ini, dapat kita lihat pada contoh trigonometri borscht. Jika kita menambahkan subskrip ke notasi yang sama untuk satuan pengukuran objek yang berbeda, kita dapat mengatakan dengan tepat kuantitas matematis apa yang menggambarkan objek tertentu dan bagaimana perubahannya dari waktu ke waktu atau sehubungan dengan tindakan kita. surat W Saya akan menandai air dengan huruf S Saya akan menandai salad dengan surat itu B- borsch. Inilah yang akan terlihat seperti fungsi sudut linier untuk borscht.
Jika kita mengambil sebagian air dan sebagian salad, bersama-sama menjadi satu porsi borscht. Di sini saya sarankan Anda beristirahat sejenak dari borscht dan mengingat masa kecil Anda yang jauh. Ingat bagaimana kita diajari menyatukan kelinci dan bebek? Itu perlu untuk menemukan berapa banyak hewan yang akan muncul. Lalu apa yang diajarkan kepada kita? Kami diajari untuk memisahkan unit dari angka dan menambahkan angka. Ya, nomor apa pun dapat ditambahkan ke nomor lain apa pun. Ini adalah jalan langsung menuju autisme matematika modern - kami tidak mengerti apa, tidak jelas mengapa, dan kami sangat memahami bagaimana ini berhubungan dengan kenyataan, karena tiga tingkat perbedaan, matematikawan hanya beroperasi pada satu. Akan lebih tepat untuk mempelajari cara berpindah dari satu unit pengukuran ke unit pengukuran lainnya.
Dan kelinci, dan bebek, dan binatang kecil dapat dihitung berkeping-keping. Satu unit pengukuran umum untuk objek yang berbeda memungkinkan kita untuk menjumlahkannya. Ini adalah masalah versi anak-anak. Mari kita lihat masalah serupa untuk orang dewasa. Apa yang Anda dapatkan ketika Anda menambahkan kelinci dan uang? Ada dua kemungkinan solusi di sini.
Pilihan pertama. Kami menentukan nilai pasar kelinci dan menambahkannya ke uang tunai yang tersedia. Kami mendapatkan nilai total kekayaan kami dalam bentuk uang.
Opsi kedua. Anda dapat menambahkan jumlah kelinci ke jumlah uang kertas yang kita miliki. Kami akan mendapatkan jumlah barang bergerak dalam potongan.
Seperti yang Anda lihat, hukum penjumlahan yang sama memungkinkan Anda mendapatkan hasil yang berbeda. Itu semua tergantung pada apa yang sebenarnya ingin kita ketahui.
Tapi kembali ke borscht kami. Sekarang kita dapat melihat apa yang akan terjadi untuk nilai sudut yang berbeda dari fungsi sudut linier.
Sudutnya nol. Kami punya salad tapi tidak ada air. Kami tidak bisa memasak borscht. Jumlah borscht juga nol. Ini tidak berarti sama sekali bahwa nol borscht sama dengan nol air. Nol borsch juga bisa di salad nol (sudut kanan).
Bagi saya pribadi, ini adalah bukti matematis utama dari fakta bahwa . Nol tidak mengubah angka saat ditambahkan. Ini karena penambahan itu sendiri tidak mungkin jika hanya ada satu suku dan suku kedua tidak ada. Anda dapat menghubungkan ini sesuka Anda, tetapi ingat - semua operasi matematika dengan nol ditemukan oleh matematikawan itu sendiri, jadi buang logika Anda dan dengan bodohnya menjejalkan definisi yang ditemukan oleh matematikawan: "pembagian dengan nol tidak mungkin", "bilangan berapa pun dikalikan dengan nol sama dengan nol", "di belakang titik nol" dan omong kosong lainnya. Cukup untuk mengingat sekali bahwa nol bukanlah angka, dan Anda tidak akan pernah memiliki pertanyaan apakah nol adalah bilangan asli atau bukan, karena pertanyaan seperti itu umumnya kehilangan semua makna: bagaimana seseorang dapat menganggap angka yang bukan angka . Ini seperti menanyakan warna apa yang harus dikaitkan dengan warna yang tidak terlihat. Menambahkan nol ke angka seperti melukis dengan cat yang tidak ada. Mereka melambaikan kuas kering dan memberi tahu semua orang bahwa "kami telah melukis". Tapi saya sedikit menyimpang.
Sudutnya lebih besar dari nol tetapi kurang dari empat puluh lima derajat. Kami memiliki banyak selada, tetapi sedikit air. Hasilnya, kami mendapatkan borscht yang tebal.
Sudutnya empat puluh lima derajat. Kami memiliki jumlah air dan selada yang sama. Ini adalah borscht yang sempurna (semoga para juru masak memaafkan saya, ini hanya matematika).
Sudutnya lebih besar dari empat puluh lima derajat tetapi kurang dari sembilan puluh derajat. Kami memiliki banyak air dan sedikit selada. Dapatkan borscht cair.
Sudut kanan. Kami memiliki air. Hanya kenangan yang tersisa dari selada, saat kami terus mengukur sudut dari garis yang pernah menandai selada. Kami tidak bisa memasak borscht. Jumlah borscht adalah nol. Kalau begitu, tunggu dan minum air selagi tersedia)))
Di Sini. Sesuatu seperti ini. Saya dapat menceritakan kisah-kisah lain di sini yang akan lebih dari pantas di sini.
Kedua sahabat itu memiliki saham mereka dalam bisnis yang sama. Setelah pembunuhan salah satu dari mereka, semuanya beralih ke yang lain.
Munculnya matematika di planet kita.
Semua cerita ini diceritakan dalam bahasa matematika menggunakan fungsi sudut linier. Di lain waktu saya akan menunjukkan kepada Anda tempat sebenarnya dari fungsi-fungsi ini dalam struktur matematika. Sementara itu, mari kembali ke trigonometri borscht dan pertimbangkan proyeksi.
Sabtu, 26 Oktober 2019
Saya menonton video yang menarik tentang Barisan Grandi Satu minus satu tambah satu minus satu - Numberphile. Matematikawan berbohong. Mereka tidak melakukan tes kesetaraan dalam penalaran mereka.
Ini beresonansi dengan alasan saya tentang .
Mari kita lihat lebih dekat tanda-tanda bahwa matematikawan menipu kita. Di awal penalaran, ahli matematika mengatakan bahwa jumlah suatu barisan TERGANTUNG pada apakah jumlah elemen di dalamnya genap atau tidak. Ini adalah FAKTA YANG DIBUAT OBJEKTIF. Apa yang terjadi selanjutnya?
Selanjutnya, matematikawan mengurangi urutan dari kesatuan. Apa yang menyebabkan ini? Ini mengarah pada perubahan jumlah elemen dalam urutan - bilangan genap berubah menjadi bilangan ganjil, bilangan ganjil berubah menjadi bilangan genap. Bagaimanapun, kami telah menambahkan satu elemen yang sama dengan satu ke urutan. Terlepas dari semua kesamaan eksternal, urutan sebelum transformasi tidak sama dengan urutan setelah transformasi. Bahkan jika kita berbicara tentang barisan tak hingga, kita harus ingat bahwa barisan tak hingga dengan jumlah elemen ganjil tidak sama dengan barisan tak hingga dengan jumlah elemen genap.
Menempatkan tanda sama dengan antara dua barisan yang berbeda dalam jumlah elemen, matematikawan mengklaim bahwa jumlah barisan TIDAK TERGANTUNG pada jumlah elemen dalam barisan, yang bertentangan dengan FAKTA YANG DIDIRIKAN OBJEKTIF. Alasan lebih lanjut tentang jumlah barisan tak hingga adalah salah, karena didasarkan pada persamaan yang salah.
Jika Anda melihat bahwa matematikawan menempatkan tanda kurung selama pembuktian, mengatur ulang elemen ekspresi matematika, menambah atau menghapus sesuatu, berhati-hatilah, kemungkinan besar mereka mencoba menipu Anda. Seperti tukang sulap kartu, ahli matematika mengalihkan perhatian Anda dengan berbagai manipulasi ekspresi untuk akhirnya memberi Anda hasil yang salah. Jika Anda tidak dapat mengulangi trik kartu tanpa mengetahui rahasia menyontek, maka dalam matematika semuanya jauh lebih sederhana: Anda bahkan tidak mencurigai apa pun tentang kecurangan, tetapi mengulangi semua manipulasi dengan ekspresi matematika memungkinkan Anda meyakinkan orang lain tentang kebenaran hasil, seperti ketika telah meyakinkan Anda.
Pertanyaan dari penonton: Dan tak terhingga (sebagai jumlah elemen dalam barisan S), apakah genap atau ganjil? Bagaimana Anda bisa mengubah paritas sesuatu yang tidak memiliki paritas?
Tak terbatas bagi ahli matematika seperti Kerajaan Surga bagi para imam - tidak ada yang pernah ke sana, tetapi semua orang tahu persis bagaimana semuanya bekerja di sana))) Saya setuju, setelah kematian Anda akan benar-benar acuh tak acuh apakah Anda hidup dalam jumlah hari yang genap atau ganjil , tapi ... Menambahkan hanya satu hari di awal hidup Anda, kita akan mendapatkan orang yang sama sekali berbeda: nama belakang, nama depan, dan patronimiknya persis sama, hanya tanggal lahir yang benar-benar berbeda - ia dilahirkan satu hari sebelum Anda.
Dan sekarang to the point))) Misalkan barisan berhingga yang memiliki paritas kehilangan paritas ini ketika menuju tak terhingga. Kemudian setiap segmen berhingga dari barisan tak hingga juga harus kehilangan paritas. Kami tidak mengamati ini. Fakta bahwa kita tidak dapat mengatakan dengan pasti apakah jumlah elemen dalam barisan tak hingga itu genap atau ganjil sama sekali tidak berarti bahwa paritas telah hilang. Paritas, jika ada, tidak dapat menghilang tanpa batas tanpa jejak, seperti pada selongsong kartu yang lebih tajam. Ada analogi yang sangat bagus untuk kasus ini.
Pernahkah Anda bertanya pada kukuk yang duduk di jam ke arah mana jarum jam berputar? Baginya, panah berputar ke arah yang berlawanan dengan apa yang kita sebut "searah jarum jam". Ini mungkin terdengar paradoks, tetapi arah rotasi hanya bergantung pada sisi mana kita mengamati rotasi. Jadi, kami memiliki satu roda yang berputar. Kita tidak dapat mengatakan ke arah mana rotasi itu terjadi, karena kita dapat mengamatinya baik dari satu sisi bidang rotasi maupun dari sisi lainnya. Kami hanya bisa bersaksi tentang fakta bahwa ada rotasi. Analogi lengkap dengan paritas barisan tak hingga S.
Sekarang mari kita tambahkan roda berputar kedua, yang bidang rotasinya sejajar dengan bidang rotasi roda yang berputar pertama. Kita masih tidak dapat mengetahui dengan tepat ke arah mana roda-roda ini berputar, tetapi kita dapat mengetahui dengan pasti apakah kedua roda berputar ke arah yang sama atau ke arah yang berlawanan. Membandingkan dua barisan tak hingga S dan 1-S, saya menunjukkan dengan bantuan matematika bahwa urutan ini memiliki paritas yang berbeda dan menempatkan tanda yang sama di antara mereka adalah sebuah kesalahan. Secara pribadi, saya percaya pada matematika, saya tidak mempercayai ahli matematika))) Ngomong-ngomong, untuk memahami sepenuhnya geometri transformasi barisan tak terbatas, perlu untuk memperkenalkan konsep "keserentakan". Ini perlu ditarik.
Rabu, 7 Agustus 2019
Mengakhiri percakapan tentang , kita perlu mempertimbangkan himpunan tak terbatas. Mengingat bahwa konsep "tak terhingga" bekerja pada matematikawan, seperti ular boa pada kelinci. Kengerian tak terhingga yang bergetar membuat para matematikawan kehilangan akal sehat. Berikut ini contohnya:
Sumber aslinya berada. Alfa menunjukkan bilangan real. Tanda sama dengan dalam ekspresi di atas menunjukkan bahwa jika Anda menambahkan angka atau tak terhingga ke tak terhingga, tidak ada yang akan berubah, hasilnya akan menjadi tak terhingga yang sama. Jika kita mengambil himpunan tak terbatas bilangan asli sebagai contoh, maka contoh yang dipertimbangkan dapat direpresentasikan sebagai berikut:
Untuk membuktikan kasus mereka secara visual, matematikawan telah menemukan banyak metode berbeda. Secara pribadi, saya melihat semua metode ini sebagai tarian dukun dengan rebana. Intinya, mereka semua sampai pada kenyataan bahwa beberapa kamar tidak ditempati dan tamu baru menetap di dalamnya, atau bahwa beberapa pengunjung dibuang ke koridor untuk memberi ruang bagi para tamu (sangat manusiawi). Saya mempresentasikan pandangan saya tentang keputusan seperti itu dalam bentuk cerita fantastis tentang si Pirang. Apa alasan saya berdasarkan? Memindahkan jumlah pengunjung yang tidak terbatas membutuhkan waktu yang tidak terbatas. Setelah kami mengosongkan kamar tamu pertama, salah satu pengunjung akan selalu berjalan di sepanjang koridor dari kamarnya ke kamar berikutnya hingga akhir zaman. Tentu saja, faktor waktu dapat diabaikan dengan bodohnya, tetapi ini sudah termasuk dalam kategori "hukum tidak ditulis untuk orang bodoh". Itu semua tergantung pada apa yang kita lakukan: menyesuaikan kenyataan dengan teori matematika atau sebaliknya.
Apa itu "hotel tak terbatas"? Infinity inn adalah penginapan yang selalu kosong berapapun jumlahnya, tidak peduli berapa banyak kamar yang ditempati. Jika semua kamar di lorong tak berujung "untuk pengunjung" ditempati, ada lorong tak berujung lain dengan kamar untuk "tamu". Akan ada jumlah tak terbatas dari koridor seperti itu. Pada saat yang sama, "hotel tak terbatas" memiliki jumlah lantai tak terbatas dalam jumlah bangunan tak terbatas di planet dengan jumlah tak terbatas di alam semesta dalam jumlah tak terbatas yang diciptakan oleh jumlah Dewa yang tak terbatas. Para ahli matematika, di sisi lain, tidak dapat melepaskan diri dari masalah sehari-hari yang dangkal: Tuhan-Allah-Buddha selalu hanya satu, hotelnya satu, koridornya hanya satu. Jadi matematikawan mencoba untuk menyulap nomor seri kamar hotel, meyakinkan kita bahwa adalah mungkin untuk "mendorong yang tidak didorong".
Saya akan mendemonstrasikan logika penalaran saya kepada Anda menggunakan contoh himpunan bilangan asli tak terhingga. Pertama, Anda perlu menjawab pertanyaan yang sangat sederhana: berapa banyak himpunan bilangan asli yang ada - satu atau banyak? Tidak ada jawaban yang benar untuk pertanyaan ini, karena kami sendiri yang menemukan angka, tidak ada angka di Alam. Ya, Alam tahu cara menghitung dengan sempurna, tetapi untuk ini dia menggunakan alat matematika lain yang tidak kita kenal. Seperti yang dipikirkan Alam, saya akan memberi tahu Anda lain kali. Karena kami menemukan angka, kami sendiri yang akan memutuskan berapa banyak himpunan bilangan asli yang ada. Pertimbangkan kedua opsi, sebagaimana layaknya seorang ilmuwan sejati.
Opsi satu. "Mari kita diberi" satu set bilangan asli, yang terletak dengan tenang di rak. Kami mengambil set ini dari rak. Itu saja, tidak ada bilangan asli lain yang tersisa di rak dan tidak ada tempat untuk mengambilnya. Kami tidak dapat menambahkan satu ke set ini, karena kami sudah memilikinya. Bagaimana jika Anda benar-benar ingin? Tidak masalah. Kita bisa mengambil satu unit dari set yang sudah kita ambil dan mengembalikannya ke rak. Setelah itu, kita dapat mengambil satu unit dari rak dan menambahkannya ke sisa yang kita miliki. Hasilnya, kita kembali mendapatkan himpunan bilangan asli tak terhingga. Anda dapat menulis semua manipulasi kami seperti ini:
Saya telah menuliskan operasi dalam notasi aljabar dan notasi teori himpunan, mendaftar elemen-elemen himpunan secara rinci. Subskrip menunjukkan bahwa kita memiliki satu-satunya himpunan bilangan asli. Ternyata himpunan bilangan asli akan tetap tidak berubah hanya jika satu dikurangi dan unit yang sama ditambahkan.
Opsi dua. Kami memiliki banyak set bilangan asli tak terbatas yang berbeda di rak. Saya tekankan - BERBEDA, terlepas dari kenyataan bahwa mereka praktis tidak dapat dibedakan. Kami mengambil salah satu dari set ini. Kemudian kita mengambil satu dari himpunan bilangan asli lainnya dan menambahkannya ke himpunan yang telah kita ambil. Kita bahkan dapat menjumlahkan dua himpunan bilangan asli. Inilah yang kami dapatkan:
Subskrip "satu" dan "dua" menunjukkan bahwa elemen-elemen ini termasuk dalam himpunan yang berbeda. Ya, jika Anda menambahkan satu ke himpunan tak terbatas, hasilnya juga akan menjadi himpunan tak terbatas, tetapi tidak akan sama dengan himpunan aslinya. Jika satu himpunan tak hingga ditambahkan ke himpunan tak hingga lainnya, hasilnya adalah himpunan tak hingga baru yang terdiri dari elemen-elemen dari dua himpunan pertama.
Himpunan bilangan asli digunakan untuk menghitung dengan cara yang sama seperti penggaris untuk pengukuran. Sekarang bayangkan Anda telah menambahkan satu sentimeter ke penggaris. Ini sudah akan menjadi garis yang berbeda, tidak sama dengan aslinya.
Anda dapat menerima atau tidak menerima alasan saya - ini adalah urusan Anda sendiri. Tetapi jika Anda pernah mengalami masalah matematika, pertimbangkan apakah Anda berada di jalan penalaran yang salah, diinjak oleh generasi ahli matematika. Bagaimanapun, kelas matematika, pertama-tama, membentuk stereotip pemikiran yang stabil dalam diri kita, dan baru kemudian mereka menambah kemampuan mental kita (atau sebaliknya, mereka membuat kita kehilangan kebebasan berpikir).
pozg.ru
Minggu, 4 Agustus 2019
Saya sedang menulis sebuah postscript untuk sebuah artikel tentang dan melihat teks yang luar biasa ini di Wikipedia:
Kita membaca: "... dasar teoretis yang kaya dari matematika Babel tidak memiliki karakter holistik dan direduksi menjadi seperangkat teknik yang berbeda, tanpa sistem umum dan basis bukti."
Wow! Seberapa pintar kita dan seberapa baik kita bisa melihat kekurangan orang lain. Apakah lemah bagi kita untuk melihat matematika modern dalam konteks yang sama? Sedikit memparafrasekan teks di atas, secara pribadi saya mendapatkan yang berikut:
Dasar teori matematika modern yang kaya tidak memiliki karakter holistik dan direduksi menjadi satu set bagian yang berbeda, tanpa sistem umum dan basis bukti.
Saya tidak akan pergi jauh untuk mengkonfirmasi kata-kata saya - ia memiliki bahasa dan konvensi yang berbeda dari bahasa dan konvensi banyak cabang matematika lainnya. Nama yang sama dalam cabang matematika yang berbeda dapat memiliki arti yang berbeda. Saya ingin mencurahkan seluruh siklus publikasi untuk kesalahan yang paling jelas dari matematika modern. Sampai jumpa lagi.
Sabtu, 3 Agustus 2019
Bagaimana cara membagi himpunan menjadi himpunan bagian? Untuk melakukan ini, Anda harus memasukkan satuan ukuran baru, yang ada di beberapa elemen himpunan yang dipilih. Pertimbangkan sebuah contoh.
Semoga kita memiliki banyak TETAPI terdiri dari empat orang. Himpunan ini dibentuk atas dasar "orang" Mari kita tentukan unsur-unsur himpunan ini melalui huruf sebuah, subskrip dengan nomor akan menunjukkan nomor urut setiap orang dalam himpunan ini. Mari kita perkenalkan unit pengukuran baru "karakteristik seksual" dan tunjukkan dengan huruf b. Karena karakteristik seksual melekat pada semua orang, kami mengalikan setiap elemen himpunan TETAPI pada jenis kelamin b. Perhatikan bahwa kumpulan "orang" kita sekarang telah menjadi kumpulan "orang dengan jenis kelamin". Setelah itu, kita dapat membagi karakteristik seksual menjadi laki-laki bm dan wanita bw karakteristik jenis kelamin. Sekarang kita dapat menerapkan filter matematis: kita memilih salah satu dari karakteristik seksual ini, tidak peduli yang mana laki-laki atau perempuan. Jika ada pada seseorang, maka kami mengalikannya dengan satu, jika tidak ada tanda seperti itu, kami mengalikannya dengan nol. Dan kemudian kami menerapkan matematika sekolah biasa. Lihat apa yang terjadi.
Setelah perkalian, pengurangan dan penataan ulang, kami mendapat dua himpunan bagian: himpunan bagian laki-laki bm dan sebagian dari wanita bw. Kira-kira dengan cara yang sama para matematikawan bernalar ketika mereka menerapkan teori himpunan dalam praktik. Tetapi mereka tidak memberi tahu kami detailnya, tetapi memberi kami hasil akhir - "banyak orang terdiri dari sekelompok pria dan sekelompok wanita." Tentu, Anda mungkin memiliki pertanyaan, seberapa benar penerapan matematika dalam transformasi di atas? Saya berani meyakinkan Anda bahwa sebenarnya transformasi dilakukan dengan benar, itu cukup untuk mengetahui pembenaran matematis aritmatika, aljabar Boolean, dan bagian matematika lainnya. Apa itu? Lain waktu akan saya ceritakan.
Adapun superset, dimungkinkan untuk menggabungkan dua himpunan menjadi satu superset dengan memilih unit pengukuran yang ada dalam elemen dari dua himpunan ini.
Seperti yang Anda lihat, satuan pengukuran dan matematika umum membuat teori himpunan ketinggalan zaman. Tanda bahwa semuanya tidak beres dengan teori himpunan adalah bahwa matematikawan telah menemukan bahasa dan notasi mereka sendiri untuk teori himpunan. Para matematikawan melakukan apa yang pernah dilakukan para dukun. Hanya dukun yang tahu bagaimana "dengan benar" menerapkan "pengetahuan" mereka. "Pengetahuan" ini mereka ajarkan kepada kita.
Sebagai kesimpulan, saya ingin menunjukkan kepada Anda bagaimana matematikawan memanipulasi
Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama waktu di mana Achilles berlari sejauh ini, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas waktu, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.
Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Semuanya, dalam satu atau lain cara, dianggap sebagai aporia Zeno. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut saat ini, komunitas ilmiah belum berhasil mencapai pendapat umum tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru terlibat dalam studi masalah ; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara universal untuk masalah ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Semua orang mengerti bahwa mereka dibodohi, tetapi tidak ada yang mengerti apa penipuan itu.
Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari nilai ke. Transisi ini menyiratkan penerapan alih-alih konstanta. Sejauh yang saya pahami, perangkat matematika untuk menerapkan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Penerapan logika kita yang biasa membawa kita ke dalam jebakan. Kami, dengan kelembaman berpikir, menerapkan satuan waktu yang konstan untuk kebalikannya. Dari sudut pandang fisik, ini terlihat seperti perlambatan waktu hingga benar-benar berhenti pada saat Achilles mengejar kura-kura. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi menyusul kura-kura.
Jika kita memutar logika yang biasa kita gunakan, semuanya menjadi pada tempatnya. Achilles berlari dengan kecepatan konstan. Setiap segmen berikutnya dari jalurnya sepuluh kali lebih pendek dari yang sebelumnya. Dengan demikian, waktu yang dihabiskan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dari yang sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep "tak terhingga" dalam situasi ini, maka akan benar untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat menyalip kura-kura."
Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke nilai timbal balik. Dalam bahasa Zeno, terlihat seperti ini:
Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama interval waktu berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.
Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa paradoks logis. Tapi ini bukan solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tidak dapat diatasi sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan kura-kura". Kami belum mempelajari, memikirkan kembali, dan memecahkan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah besar yang tak terhingga, tetapi dalam satuan pengukuran.
Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:
Sebuah panah terbang tidak bergerak, karena pada setiap saat ia diam, dan karena ia diam pada setiap saat, ia selalu diam.
Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap saat panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Ada hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto mobil di jalan, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan mobil, diperlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi foto tersebut tidak dapat digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke mobil, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang berbeda dalam ruang secara bersamaan, tetapi Anda tidak dapat menentukan fakta pergerakan dari mereka (tentu saja, Anda masih memerlukan data tambahan untuk perhitungan, trigonometri akan membantu Anda) . Yang ingin saya tunjukkan secara khusus adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah dua hal berbeda yang tidak boleh dikacaukan karena keduanya memberikan peluang yang berbeda untuk eksplorasi.
Saya akan menunjukkan prosesnya dengan sebuah contoh. Kami memilih "padat merah dalam jerawat" - ini adalah "keseluruhan" kami. Pada saat yang sama, kita melihat bahwa hal-hal ini dengan busur, dan ada tanpa busur. Setelah itu, kami memilih bagian dari "keseluruhan" dan membentuk satu set "dengan busur". Beginilah cara dukun memberi makan diri mereka sendiri dengan mengikat teori himpunan mereka dengan kenyataan.
Sekarang mari kita lakukan sedikit trik. Mari kita ambil "padat dalam jerawat dengan busur" dan satukan "keseluruhan" ini dengan warna, memilih elemen merah. Kami mendapat banyak "merah". Sekarang pertanyaan rumit: apakah set yang diterima "dengan busur" dan "merah" adalah set yang sama atau dua set yang berbeda? Hanya dukun yang tahu jawabannya. Lebih tepatnya, mereka sendiri tidak tahu apa-apa, tetapi seperti yang mereka katakan, biarlah.
Contoh sederhana ini menunjukkan bahwa teori himpunan sama sekali tidak berguna dalam kenyataan. Apa rahasianya? Kami membentuk satu set "jerawat padat merah dengan busur". Pembentukan terjadi menurut empat unit pengukuran yang berbeda: warna (merah), kekuatan (padat), kekasaran (dalam tonjolan), dekorasi (dengan busur). Hanya satu set unit pengukuran yang memungkinkan untuk menggambarkan objek nyata secara memadai dalam bahasa matematika. Berikut tampilannya.
Huruf "a" dengan indeks yang berbeda menunjukkan unit pengukuran yang berbeda. Dalam tanda kurung, unit pengukuran disorot, yang menurutnya "keseluruhan" dialokasikan pada tahap awal. Unit pengukuran, yang dengannya himpunan dibentuk, dikeluarkan dari tanda kurung. Baris terakhir menunjukkan hasil akhir - sebuah elemen dari himpunan. Seperti yang Anda lihat, jika kita menggunakan satuan ukuran untuk membentuk himpunan, maka hasilnya tidak bergantung pada urutan tindakan kita. Dan ini adalah matematika, dan bukan tarian dukun dengan rebana. Dukun dapat "secara intuitif" sampai pada hasil yang sama, berdebat dengan "kejelasan", karena unit pengukuran tidak termasuk dalam gudang "ilmiah" mereka.
Dengan bantuan satuan pengukuran, sangat mudah untuk membagi satu atau menggabungkan beberapa himpunan menjadi satu superset. Mari kita lihat lebih dekat aljabar dari proses ini.
