1. Biarkan subruang L = L(A 1 , A 2 , …, dan m) , itu adalah L– cangkang linier sistem A 1 , A 2 , …, dan m; vektor A 1 , A 2 , …, dan m– sistem generator subruang ini. Lalu dasarnya L adalah dasar dari sistem vektor A 1 , A 2 , …, dan m, yaitu dasar dari sistem generator. Dimensi L sama dengan pangkat sistem generator.

2. Biarkan subruang L adalah jumlah subruang L 1 dan L 2. Sistem pembangkitan subruang untuk suatu penjumlahan dapat diperoleh dengan menggabungkan sistem pembangkitan subruang, setelah itu basis penjumlahannya ditemukan. Besar kecilnya besaran ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

redup(L 1 + L 2) = redupL 1 + redupL 2 – redup(L 1 Ç L 2).

3. Biarkan jumlah subruang L 1 dan L 2 lurus, yaitu L = L 1Å L 2. Di mana L 1 Ç L 2 = {HAI) Dan redup(L 1 Ç L 2) = 0. Basis jumlah langsung sama dengan gabungan basis suku-sukunya. Dimensi suatu jumlah langsung sama dengan jumlah dimensi suku-sukunya.

4. Mari kita berikan contoh penting dari subruang dan manifold linier.

Pertimbangkan sistem yang homogen M persamaan linear dengan N tidak dikenal. Banyak solusi M 0 dari sistem ini adalah bagian dari himpunan Rn dan ditutup pada penjumlahan vektor dan perkalian dengan bilangan real. Artinya jumlahnya banyak M 0 – subruang ruang Rn. Basis subruang adalah himpunan solusi fundamental dari sistem homogen; dimensi subruang sama dengan jumlah vektor dalam himpunan solusi fundamental sistem.

Sekelompok M solusi sistem umum M persamaan linear dengan N yang tidak diketahui juga merupakan bagian dari himpunan Rn dan sama dengan jumlah himpunan M 0 dan vektor A, Di mana A adalah solusi tertentu dari sistem asli, dan himpunan M 0 – himpunan solusi untuk sistem persamaan linear homogen yang menyertai sistem ini (berbeda dari yang asli hanya dalam suku bebas),

M = A + M 0 = {A = M, M Î M 0 }.

Artinya banyak M adalah manifold ruang linier Rn dengan vektor pergeseran A dan arah M 0 .

Contoh 8.6. Temukan basis dan dimensi subruang yang ditentukan oleh sistem persamaan linier homogen:

Larutan. Mari kita temukan solusi umum untuk sistem ini dan rangkaian solusi mendasarnya: Dengan 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), Dengan 2 = (12, –8, 0, 1, 0), Dengan 3 = (11, –8, 0, 0, 1).

Basis subruang dibentuk oleh vektor Dengan 1 , Dengan 2 , Dengan 3, dimensinya adalah tiga.

Akhir pekerjaan -

Topik ini termasuk dalam bagian:

Aljabar linier

Universitas Negeri Kostroma dinamai N. Nekrasov..

Jika Anda memerlukan materi tambahan tentang topik ini, atau Anda tidak menemukan apa yang Anda cari, kami sarankan untuk menggunakan pencarian di database karya kami:

Apa yang akan kami lakukan dengan materi yang diterima:

Jika materi ini bermanfaat bagi Anda, Anda dapat menyimpannya ke halaman Anda di jejaring sosial:

Menciak

Semua topik di bagian ini:

BBK 22.174ya73-5
M350 Diterbitkan berdasarkan keputusan dewan editorial dan penerbitan KSU. N. A. Nekrasova Pengulas A. V. Cherednikov

BBK 22.174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 ã KSU dinamai. N.A.Nekrasova, 2013

Persatuan (atau jumlah)
Definisi 1.9 Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan A È B yang terdiri dari elemen-elemen tersebut dan hanya elemen-elemen yang termasuk dalam himpunan tersebut.

Persimpangan (atau produk)
Definisi 1.10. Perpotongan himpunan A dan B adalah himpunan A Ç B yang terdiri dari elemen-elemen tersebut dan hanya elemen-elemen yang termasuk dalam satu kesatuan.

Perbedaan
Definisi 1.11 Selisih antara himpunan A dan B adalah himpunan A B, yang terdiri dari elemen-elemen tersebut dan hanya elemen-elemen yang termasuk dalam himpunan A

Produk kartesius (atau produk langsung)
Definisi 1.14. Pasangan terurut (atau pasangan) (a, b) adalah dua elemen a, b yang diambil dalam urutan tertentu. Berpasangan (a1

Properti operasi yang ditetapkan
Sifat-sifat operasi gabungan, perpotongan, dan komplemen kadang-kadang disebut hukum aljabar himpunan. Mari kita daftar properti utama operasi pada himpunan. Misalkan diberikan himpunan universal U

Metode induksi matematika
Metode induksi matematika digunakan untuk membuktikan pernyataan-pernyataan yang formulasinya melibatkan parameter natural n. Metode induksi matematika - metode pembuktian matematika

Bilangan kompleks
Konsep bilangan merupakan salah satu pencapaian utama kebudayaan manusia. Mula-mula muncul bilangan asli N = (1, 2, 3, …, n, …), kemudian bilangan bulat Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), rasional Q

Interpretasi geometris bilangan kompleks
Diketahui bahwa bilangan negatif diperkenalkan sehubungan dengan penyelesaian persamaan linier dalam satu variabel. Dalam tugas tertentu, jawaban negatif diartikan sebagai nilai besaran arah (

Bentuk trigonometri bilangan kompleks
Suatu vektor dapat ditentukan tidak hanya dengan koordinat dalam sistem koordinat persegi panjang, tetapi juga dengan panjang dan

Operasi bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri
Lebih mudah melakukan penjumlahan dan pengurangan dengan bilangan kompleks dalam bentuk aljabar, serta perkalian dan pembagian dalam bentuk trigonometri. 1. Perkalian Misalkan diberikan dua k

Eksponensial
Jika z = r(cosj + i×sinj), maka zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), dimana n Î

Bentuk eksponensial dari bilangan kompleks
Dari analisis matematis diketahui e = , e merupakan bilangan irasional. Eile

Konsep hubungan
Definisi 2.1. Relasi n-ary (atau n-ary) P pada himpunan A1, A2, …, An adalah himpunan bagian mana pun

Properti hubungan biner
Misalkan relasi biner P didefinisikan pada himpunan tak kosong A, yaitu P Í A2. Definisi 2.9 Relasi biner P pada suatu himpunan

Hubungan kesetaraan
Definisi 2.15. Relasi biner pada himpunan A disebut relasi ekivalen jika relasi tersebut refleksif, simetris, dan transitif. Setara dengan rasio

Fungsi
Definisi 2.20 Relasi biner ƒ Í A ´ B disebut fungsi dari himpunan A ke himpunan B jika untuk sembarang x

Konsep umum
Definisi 3.1. Matriks adalah tabel bilangan berbentuk persegi panjang yang memuat m baris dan n kolom. Bilangan m dan n disebut ordo (atau

Penjumlahan matriks yang sejenis
Hanya matriks dengan tipe yang sama yang dapat dijumlahkan. Definisi 3.12. Jumlah dua matriks A = (aij) dan B = (bij), dimana i = 1,

Sifat-sifat penjumlahan matriks
1) komutatifitas: "A, B: A + B = B + A; 2) asosiatif: "A, B, C: (A + B) + C = A

Mengalikan matriks dengan angka
Definisi 3.13. Hasil kali matriks A = (aij) dengan bilangan real k adalah matriks C = (сij), yang mana

Sifat-sifat mengalikan matriks dengan suatu bilangan
1) " A: 1×A = A; 2) " α, β О R, " A: (αβ)×A = α×(β×A) = β×

Perkalian matriks
Mari kita definisikan perkalian dua matriks; Untuk melakukan ini, perlu diperkenalkan beberapa konsep tambahan. Definisi 3.14. Matriks A dan B disebut konsisten

Sifat-sifat perkalian matriks
1) Perkalian matriks tidak bersifat komutatif: A×B ≠ B×A. Properti ini dapat ditunjukkan dengan contoh. Contoh 3.6. A)

Transposisi matriks
Definisi 3.16. Matriks At yang diperoleh dari matriks tertentu dengan mengganti setiap barisnya dengan kolom yang bernomor sama disebut ditransposisikan ke matriks tertentu A

Penentu matriks orde kedua dan ketiga
Setiap matriks persegi A berorde n dikaitkan dengan suatu bilangan, yang disebut determinan matriks tersebut. Sebutan: D, |A|, det A,

Definisi 4.6.
1. Untuk n = 1, matriks A terdiri dari satu bilangan: |A| = a11. 2. Diketahui determinan suatu matriks berorde (n – 1). 3. Definisikan

Sifat-sifat determinan
Untuk menghitung determinan orde lebih besar dari 3, digunakan sifat-sifat determinan dan teorema Laplace. Teorema 4.1 (Laplace). Penentu matriks persegi

Perhitungan praktis determinan
Salah satu cara menghitung determinan orde di atas tiga adalah dengan memperluasnya ke beberapa kolom atau baris. Contoh 4.4 Hitung determinan D =

Konsep peringkat matriks
Misalkan A adalah matriks berdimensi m ´ n. Mari kita pilih k baris dan k kolom secara sembarang dalam matriks ini, dengan 1 ≤ k ≤ min(m, n).

Mencari rank suatu matriks menggunakan metode border minor
Salah satu cara untuk mencari pangkat suatu matriks adalah dengan metode enumerasi minor. Metode ini didasarkan pada penentuan rank matriks. Inti dari metode ini adalah sebagai berikut. Jika setidaknya ada satu elemen ma

Mencari rank suatu matriks menggunakan transformasi dasar
Mari kita pertimbangkan cara lain untuk mencari pangkat suatu matriks. Definisi 5.4. Transformasi berikut disebut transformasi matriks dasar: 1. perkalian

Konsep matriks invers dan cara mencarinya
Misalkan diberikan matriks persegi A. Definisi 5.7. Matriks A–1 disebut invers matriks A jika A×A–1

Algoritma untuk mencari matriks invers
Mari kita pertimbangkan salah satu cara mencari matriks invers dari matriks tertentu menggunakan penjumlahan aljabar. Misalkan terdapat matriks persegi A. 1. Tentukan determinan matriks |A|. UE

Menemukan matriks invers menggunakan transformasi dasar
Mari kita pertimbangkan cara lain untuk mencari matriks invers menggunakan transformasi dasar. Mari kita merumuskan konsep dan teorema yang diperlukan. Definisi 5.11 Matriks Berdasarkan Nama

Metode Cramer
Mari kita perhatikan sistem persamaan linier yang banyaknya persamaan sama dengan banyaknya persamaan yang tidak diketahui, yaitu m = n dan sistemnya berbentuk:

Metode matriks terbalik
Metode matriks invers dapat diterapkan pada sistem persamaan linier yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui dan determinan matriks utamanya tidak sama dengan nol. Bentuk matriks notasi sistem

metode Gauss
Untuk mendeskripsikan metode yang cocok untuk menyelesaikan sistem persamaan linear arbitrer ini, diperlukan beberapa konsep baru. Definisi 6.7. Persamaan bentuk 0×

Deskripsi metode Gauss
Metode Gauss - metode eliminasi berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui - terdiri dari fakta bahwa, dengan bantuan transformasi dasar, sistem asli direduksi menjadi sistem ekuivalen bertahap atau t

Studi tentang sistem persamaan linear
Mempelajari sistem persamaan linier berarti, tanpa menyelesaikan sistem tersebut, menjawab pertanyaan: apakah sistem tersebut konsisten atau tidak, dan jika konsisten, berapa banyak solusi yang dimilikinya? Balas ini di

Sistem persamaan linear yang homogen
Definisi 6.11 Suatu sistem persamaan linier disebut homogen jika suku bebasnya sama dengan nol. Sistem persamaan linear m yang homogen

Sifat-sifat penyelesaian sistem persamaan linear homogen
1. Jika vektor a = (a1, a2, …, an) merupakan penyelesaian sistem homogen, maka vektor k×a = (k×a1, k&t

Kumpulan solusi dasar untuk sistem persamaan linear homogen
Misalkan M0 adalah himpunan solusi sistem persamaan linear homogen (4). Definisi 6.12.Vektor c1, c2, ..., c

Ketergantungan linier dan kemandirian suatu sistem vektor
Misalkan a1, a2, …, аm adalah himpunan m vektor berdimensi n, yang biasa disebut sistem vektor, dan k1

Sifat-sifat ketergantungan linier suatu sistem vektor
1) Sistem vektor yang mengandung vektor nol bergantung linier. 2) Suatu sistem vektor bergantung linier jika salah satu subsistemnya bergantung linier. Konsekuensi. Jika ya

Sistem vektor satuan
Definisi 7.13. Sistem vektor satuan dalam ruang Rn adalah sistem vektor e1, e2, …, en

Dua teorema tentang ketergantungan linier
Teorema 7.1. Jika suatu sistem vektor yang lebih besar dinyatakan secara linier melalui vektor yang lebih kecil, maka sistem yang lebih besar tersebut bergantung linier. Mari kita rumuskan teorema ini lebih detail: misalkan a1

Basis dan pangkat sistem vektor
Misalkan S adalah sistem vektor pada ruang Rn; itu bisa terbatas atau tidak terbatas. S" adalah subsistem dari sistem S, S" Ì S. Mari kita beri dua

Peringkat sistem vektor
Mari kita berikan dua definisi yang setara tentang pangkat suatu sistem vektor. Definisi 7.16. Pangkat suatu sistem vektor adalah banyaknya vektor pada setiap basis sistem tersebut.

Penentuan praktis pangkat dan basis suatu sistem vektor
Dari sistem vektor ini kita membuat sebuah matriks, menyusun vektor-vektor tersebut sebagai baris-baris matriks tersebut. Kami mereduksi matriks menjadi bentuk eselon menggunakan transformasi dasar pada baris-baris matriks ini. Pada

Definisi ruang vektor pada bidang sembarang
Biarkan P menjadi bidang sembarang. Contoh bidang yang kita kenal adalah bidang bilangan rasional, real, dan kompleks. Definisi 8.1. Himpunan V dipanggil

Sifat paling sederhana dari ruang vektor
1) o – vektor nol (elemen), didefinisikan secara unik dalam ruang vektor sembarang di atas lapangan. 2) Untuk vektor apa pun a О V ada yang unik

Subruang. Manifold linier
Misalkan V adalah ruang vektor, L М V (L adalah himpunan bagian dari V). Definisi 8.2. Subset L dari vektor pro

Persimpangan dan jumlah subruang
Misalkan V adalah ruang vektor pada bidang P, L1 dan L2 subruangnya. Definisi 8.3. Dengan melewati subquest

Manifold linier
Misalkan V adalah ruang vektor, L adalah subruang, dan a adalah vektor sembarang dari ruang V. Definisi 8.6 Manifold linier

Ruang vektor berdimensi terbatas
Definisi 8.7 Suatu ruang vektor V disebut berdimensi n jika memuat sistem vektor bebas linier yang terdiri dari n vektor, dan untuk

Dasar ruang vektor berdimensi terbatas
V adalah ruang vektor berdimensi terbatas di atas bidang P, S adalah sistem vektor (berhingga atau tak terbatas). Definisi 8.10. Dasar dari sistem S

Koordinat vektor relatif terhadap basis tertentu
Perhatikan ruang vektor berdimensi terbatas V berdimensi n, vektor e1, e2,…, en membentuk basisnya. Biarkan menjadi sebuah produk

Koordinat vektor di berbagai basis
Misalkan V adalah ruang vektor berdimensi n yang mempunyai dua basis: e1, e2, …, en – basis lama, e"1, e

Ruang vektor Euclidean
Diberikan ruang vektor V pada bidang bilangan real. Ruang ini dapat berupa ruang vektor berdimensi hingga berdimensi n atau berdimensi tak hingga

Produk titik dalam koordinat
Dalam ruang vektor Euclidean V berdimensi n, diberikan basis e1, e2,…, en. Vektor x dan y didekomposisi menjadi vektor

Konsep metrik
Dalam ruang vektor Euclidean, dari perkalian skalar yang diperkenalkan kita dapat beralih ke konsep norma vektor dan sudut antar vektor. Definisi 8.16. Norma (

Sifat-sifat norma
1) ||sebuah|| = 0 Û a = o. 2) ||la|| = |l|×||a||, karena ||la|| =

Dasar ortonormal dari ruang vektor Euclidean
Definisi 8.21. Basis ruang vektor Euclidean disebut ortogonal jika vektor-vektor basisnya ortogonal berpasangan, yaitu jika a1, a

Proses ortogonalisasi
Teorema 8.12. Pada setiap ruang Euclidean berdimensi n terdapat basis ortonormal. Bukti. Misal a1, a2

Perkalian titik secara ortonormal
Diberikan basis ortonormal e1, e2, …, en dari ruang Euclidean V. Karena (ei, ej) = 0 untuk i

Komplemen ortogonal dari subruang
V adalah ruang vektor Euclidean, L adalah subruangnya. Definisi 8.23. Suatu vektor a dikatakan ortogonal terhadap subruang L jika vektor tersebut

Hubungan antara koordinat suatu vektor dan koordinat bayangannya
Operator linier j diberikan dalam ruang V, dan matriksnya M(j) ditemukan dalam beberapa basis e1, e2, …, en. Biarkan ini menjadi dasarnya

Matriks serupa
Mari kita perhatikan himpunan n´n matriks persegi berorde n dengan elemen-elemen dari bidang sembarang P. Pada himpunan ini kita memperkenalkan relasinya

Sifat-sifat relasi kesamaan matriks
1. Refleksivitas. Setiap matriks sebangun dengan dirinya sendiri, yaitu A ~ A. 2. Simetri. Jika matriks A sebangun dengan B, maka B sebangun dengan A, yaitu.

Sifat-sifat vektor eigen
1. Setiap vektor eigen hanya memiliki satu nilai eigen. Bukti. Misalkan x adalah vektor eigen dengan dua nilai eigen

Polinomial karakteristik suatu matriks
Diberikan sebuah matriks A О Рn´n (atau A О Rn´n). Mendefinisikan

Kondisi dimana suatu matriks sebangun dengan matriks diagonal
Misalkan A adalah matriks persegi. Kita dapat berasumsi bahwa ini adalah matriks dari beberapa operator linier yang didefinisikan dalam beberapa basis. Diketahui bahwa dalam basis lain matriks operator linier

Bentuk normal Yordania
Definisi 10.5. Sel Jordan berorde k yang berhubungan dengan bilangan l0 adalah matriks berorde k, 1 ≤ k ≤ n,

Mereduksi matriks ke bentuk Jordan (normal).
Teorema 10.3. Bentuk normal Jordan ditentukan secara unik untuk suatu matriks sampai dengan urutan susunan sel Jordan pada diagonal utama. Dll

Bentuk bilinear
Definisi 11.1. Bentuk bilinear adalah suatu fungsi (pemetaan) f: V ´ V ® R (atau C), dimana V adalah vektor sembarang

Sifat-sifat bentuk bilinear
Setiap bentuk bilinear dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari bentuk simetris dan simetris miring. Dengan basis yang dipilih e1, e2,…, en dalam vektor

Transformasi matriks bentuk bilinear ketika berpindah ke basis baru. Peringkat bentuk bilinear
Misalkan dua basis e = (e1, e2, …, en) dan f = (f1, f2,

Bentuk kuadrat
Misalkan A(x, y) adalah suatu bentuk bilinear simetris yang didefinisikan pada ruang vektor V. Definisi 11.6 Bentuk kuadrat

Mengurangi bentuk kuadrat menjadi bentuk kanonik
Diketahui bentuk kuadrat (2) A(x, x) = , dimana x = (x1

Hukum inersia bentuk kuadrat
Telah ditetapkan bahwa jumlah koefisien kanonik bukan nol dari suatu bentuk kuadrat sama dengan pangkatnya dan tidak bergantung pada pilihan transformasi tak-degenerasi yang menggunakan bentuk A(x

Syarat perlu dan cukup untuk tanda bentuk kuadrat
Pernyataan 11.1. Agar bentuk kuadrat A(x, x), yang didefinisikan dalam ruang vektor berdimensi n V, menjadi pasti tanda, maka perlu dilakukan

Kondisi perlu dan cukup untuk bentuk kuadrat kuasi-bolak-balik
Pernyataan 11.3. Agar bentuk kuadrat A(x, x), yang didefinisikan dalam ruang vektor berdimensi n V, menjadi kuasi-tanda-bolak-balik (yaitu,

Kriteria Sylvester untuk tanda pasti suatu bentuk kuadrat
Misalkan bentuk A(x, x) pada basis e = (e1, e2, …, en) ditentukan oleh matriks A(e) = (aij)

Kesimpulan
Aljabar linier adalah bagian wajib dari setiap program matematika tingkat tinggi. Bagian lainnya mengandaikan adanya pengetahuan, keterampilan dan kemampuan yang dikembangkan selama pengajaran disiplin ini

Bibliografi
Burmistrova E.B., Lobanov S.G. Aljabar linier dengan unsur geometri analitik. – M.: Rumah Penerbitan HSE, 2007. Beklemishev D.V. Kursus geometri analitik dan aljabar linier.

Aljabar linier
Panduan pendidikan dan metodologi Editor dan korektor G. D. Neganova Pengetikan komputer oleh T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina

Subset dari ruang linier membentuk subruang jika ditutup dengan penjumlahan vektor dan perkalian dengan skalar.

Contoh 6.1. Apakah subruang pada suatu bidang membentuk himpunan vektor yang ujung-ujungnya terletak: a) pada kuarter pertama; b) pada garis lurus yang melalui titik asal? (asal usul vektor terletak pada titik asal koordinat)

Larutan.

a) tidak, karena himpunan tidak tertutup jika dikalikan dengan skalar: jika dikalikan dengan bilangan negatif, ujung vektornya jatuh ke kuarter ketiga.

b) ya, karena ketika menjumlahkan vektor dan mengalikannya dengan bilangan berapa pun, ujung-ujungnya tetap berada pada garis lurus yang sama.

Latihan 6.1. Apakah himpunan bagian berikut dari ruang linier yang bersesuaian membentuk subruang:

a) himpunan vektor bidang yang ujung-ujungnya terletak pada suku pertama atau suku ketiga;

b) himpunan vektor bidang yang ujung-ujungnya terletak pada suatu garis lurus yang tidak melalui titik asal;

c) himpunan garis koordinat ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 0);

d) himpunan garis koordinat ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 1);

e) himpunan garis koordinat ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 = x 2 2).

Dimensi ruang linier L adalah bilangan redup L dari vektor-vektor yang termasuk dalam basisnya.

Dimensi jumlah dan perpotongan subruang dihubungkan oleh relasi

redup (U + V) = redup U + redup V – redup (U Ç V).

Contoh 6.2. Tentukan basis dan dimensi dari jumlah dan perpotongan subruang yang direntang oleh sistem vektor berikut:

Solusi Masing-masing sistem vektor yang menghasilkan subruang U dan V adalah bebas linier, yang berarti merupakan basis dari subruang yang bersesuaian. Mari kita membuat matriks dari koordinat vektor-vektor ini, menyusunnya dalam kolom dan memisahkan satu sistem dari sistem lainnya dengan sebuah garis. Mari kita kurangi matriks yang dihasilkan menjadi bentuk bertahap.

~ ~ ~ .

Basis U + V dibentuk oleh vektor-vektor , , , yang bersesuaian dengan elemen-elemen utama dalam matriks langkah. Jadi redup (U + V) = 3. Maka

redup (UÇV) = redup U + redup V – redup (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1.

Perpotongan subruang membentuk himpunan vektor yang memenuhi persamaan (berdiri di sisi kiri dan kanan persamaan ini). Kami memperoleh basis perpotongan menggunakan sistem dasar solusi dari sistem persamaan linear yang sesuai dengan persamaan vektor ini. Matriks sistem ini telah direduksi menjadi bentuk bertahap. Berdasarkan hal tersebut, kita menyimpulkan bahwa y 2 adalah variabel bebas, dan kita menetapkan y 2 = c. Maka 0 = kamu 1 – kamu 2, kamu 1 = c,. dan perpotongan subruang membentuk himpunan vektor berbentuk = c (3, 6, 3, 4). Akibatnya, basis UÇV membentuk vektor (3, 6, 3, 4).

Catatan. 1. Jika kita melanjutkan menyelesaikan sistem, mencari nilai variabel x, kita mendapatkan x 2 = c, x 1 = c, dan di ruas kiri persamaan vektor kita mendapatkan vektor yang sama dengan yang diperoleh di atas .

2. Dengan menggunakan metode yang ditunjukkan, Anda dapat memperoleh basis penjumlahan terlepas dari apakah sistem pembangkit vektor bebas linier. Tetapi basis perpotongan akan diperoleh dengan benar hanya jika setidaknya sistem yang menghasilkan subruang kedua bebas linier.

3. Jika ditentukan dimensi simpang tersebut 0, maka simpang tersebut tidak mempunyai dasar dan tidak perlu dicari.

Latihan 6.2. Tentukan basis dan dimensi dari jumlah dan perpotongan subruang yang direntang oleh sistem vektor berikut:

A)

B)

ruang Euclidean

Ruang Euclidean merupakan ruang linier yang melintasi suatu bidang R, di mana perkalian skalar didefinisikan yang menetapkan setiap pasangan vektor , skalar , dan kondisi berikut terpenuhi:

2) (a + b) = a() + b();

3) ¹Þ > 0.

Produk skalar standar dihitung menggunakan rumus

(a 1 , … , a n) (b 1 , … , b n) = a 1 b 1 + … + a n b n.

Vektor dan disebut ortogonal, ditulis ^ jika hasil kali skalarnya sama dengan 0.

Suatu sistem vektor disebut ortogonal jika vektor-vektor yang ada di dalamnya ortogonal berpasangan.

Sistem vektor ortogonal tidak bergantung linier.

Proses ortogonalisasi suatu sistem vektor , ... , terdiri dari transisi ke sistem ortogonal ekuivalen , ... , dilakukan dengan rumus:

, dimana , k = 2, … , n.

Contoh 7.1. Ortogonalisasi sistem vektor

= (1, 2, 2, 1), = (3, 2, 1, 1), = (4, 1, 3, -2).

Penyelesaian Kita mempunyai = = (1, 2, 2, 1);

, = = = 1;

= (3, 2, 1, 1) – (1, 2, 2, 1) = (2, 0, -1, 0).

, = = =1;

= =1;

= (4, 1, 3, -2) – (1, 2, 2, 1) – (2, 0, -1, 0) = (1, -1, 2, -3).

Latihan 7.1. Ortogonalisasi sistem vektor:

a) = (1, 1, 0, 2), = (3, 1, 1, 1), = (-1, -3, 1, -1);

b) = (1, 2, 1, 1), = (3, 4, 1, 1), = (0, 3, 2, -1).

Contoh 7.2. Sistem vektor lengkap = (1, -1, 1, -1),

= (1, 1, -1, -1), terhadap basis ortogonal ruang.

Solusi: Sistem aslinya ortogonal, jadi masalahnya masuk akal. Karena vektor diberikan dalam ruang empat dimensi, kita perlu mencari dua vektor lagi. Vektor ketiga = (x 1, x 2, x 3, x 4) ditentukan dari kondisi = 0, = 0. Kondisi tersebut menghasilkan sistem persamaan yang matriksnya dibentuk dari garis koordinat vektor dan . Kami memecahkan sistem:

~ ~ .

Variabel bebas x 3 dan x 4 dapat diberikan himpunan nilai apa pun selain nol. Kita asumsikan misalnya x 3 = 0, x 4 = 1. Maka x 2 = 0, x 1 = 1, dan = (1, 0, 0, 1).

Demikian pula, kita menemukan = (y 1, y 2, y 3, y 4). Untuk melakukan ini, kita menambahkan garis koordinat baru ke matriks bertahap yang diperoleh di atas dan mereduksinya menjadi bentuk bertahap:

~ ~ .

Untuk variabel bebas y 3 kita tetapkan y 3 = 1. Maka y 4 = 0, y 2 = 1, y 1 = 0, dan = (0, 1, 1, 0).

Norma suatu vektor dalam ruang Euclidean adalah bilangan real non-negatif.

Suatu vektor disebut ternormalisasi jika normanya adalah 1.

Untuk menormalkan suatu vektor, vektor harus dibagi dengan normanya.

Sistem ortogonal dari vektor ternormalisasi disebut ortonormal.

Latihan 7.2. Lengkapi sistem vektor ke basis ortonormal ruang:

a) = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), = (-1/2, 1/2, -1/2, 1/2);

b) = (1/3, -2/3, 2/3).

Pemetaan linier

Misalkan U dan V adalah ruang linier pada bidang F. Pemetaan f: U ® V disebut linier jika dan .

Contoh 8.1. Apakah transformasi ruang tiga dimensi bersifat linier:

a) f(x 1, x 2, x 3) = (2x 1, x 1 – x 3, 0);

b) f(x 1, x 2, x 3) = (1, x 1 + x 2, x 3).

Larutan.

a) Kita mempunyai f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) =

= (2(x 1 + kamu 1), (x 1 + kamu 1) – (x 3 + kamu 3), 0) = (2x 1, x 1 – x 3, 0) + (2kamu 1, kamu 1 - kamu 3 , 0) =

F((x 1, x 2, x 3) + f(kamu 1, kamu 2, kamu 3));

f(l(x 1 , x 2 , x 3)) = f(lx 1 , lx 2 , lx 3) = (2lx 1 , lx 1 – lx 3 , 0) = l(2x 1 , x 1 – x 3 , 0) =

Lf(x 1, x 2, x 3).

Oleh karena itu, transformasinya linier.

b) Kita mempunyai f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3)) = f(x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3) =

= (1, (x 1 + kamu 1) + (x 2 + kamu 2), x 3 + kamu 3);

f((x 1 , x 2 , x 3) + f(y 1 , y 2 , y 3)) = (1, x 1 + x 2 , x 3) + (1, y 1 + y 2 , y 3 ) =

= (2, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3) ¹ f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3) ).

Oleh karena itu, transformasinya tidak linier.

Bayangan pemetaan linier f: U ® V adalah himpunan bayangan vektor-vektor dari U, yaitu

Saya (f) = (f() ï О U). + … + satu m1

Latihan 8.1. Temukan pangkat, cacat, basis gambar dan inti dari pemetaan linier f yang diberikan oleh matriks:

a) SEBUAH = ; b) SEBUAH = ; c) SEBUAH = .

Sistem persamaan linear homogen

Rumusan masalah. Temukan beberapa basis dan tentukan dimensi ruang solusi linier sistem

Rencana solusi.

1. Tuliskan matriks sistem:

dan dengan menggunakan transformasi dasar kita mengubah matriks menjadi bentuk segitiga, yaitu. ke bentuk seperti itu ketika semua elemen di bawah diagonal utama sama dengan nol. Pangkat matriks sistem sama dengan jumlah baris bebas linier, yaitu, dalam kasus kami, jumlah baris yang tersisa elemen bukan nol:

Dimensi ruang solusi adalah . Jika , maka suatu sistem homogen mempunyai satu solusi nol, jika , maka sistem tersebut mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga.

2. Pilih variabel dasar dan bebas. Variabel bebas dilambangkan dengan . Kemudian kita nyatakan variabel-variabel dasar dalam bentuk variabel bebas, sehingga diperoleh solusi umum sistem persamaan linear homogen.

3. Kita menulis basis ruang solusi sistem dengan secara berurutan menetapkan salah satu variabel bebas sama dengan satu dan sisanya sama dengan nol. Dimensi ruang solusi linier sistem sama dengan jumlah vektor basis.

Catatan. Transformasi matriks dasar meliputi:

1. mengalikan (membagi) suatu string dengan faktor bukan nol;

2. menambahkan baris lain ke suatu baris, dikalikan dengan bilangan apa pun;

3. penataan ulang garis;

4. transformasi 1–3 untuk kolom (dalam kasus penyelesaian sistem persamaan linier, transformasi dasar kolom tidak digunakan).

Tugas 3. Temukan beberapa basis dan tentukan dimensi ruang solusi linier sistem.

Kami menuliskan matriks sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, mereduksinya menjadi bentuk segitiga:

Kami kira kalau begitu

Ketika kami memeriksa konsep vektor berdimensi n dan memperkenalkan operasi pada vektor, kami menemukan bahwa himpunan semua vektor berdimensi n menghasilkan ruang linier. Pada artikel ini kita akan membahas tentang konsep terkait yang paling penting - dimensi dan basis ruang vektor. Kita juga akan mempertimbangkan teorema tentang perluasan vektor sembarang menjadi suatu basis dan hubungan antara berbagai basis dalam ruang berdimensi-n. Mari kita periksa secara rinci solusi dari contoh-contoh tipikal.

Navigasi halaman.

Konsep dimensi ruang vektor dan basisnya.

Konsep dimensi dan basis ruang vektor berkaitan langsung dengan konsep sistem vektor bebas linier, oleh karena itu bila perlu sebaiknya Anda merujuk pada artikel ketergantungan linier suatu sistem vektor, sifat-sifat ketergantungan dan kemandirian linier. .

Definisi.

Dimensi ruang vektor adalah bilangan yang sama dengan jumlah maksimum vektor bebas linier dalam ruang tertentu.

Definisi.

Dasar ruang vektor adalah himpunan vektor-vektor bebas linier pada ruang tertentu, yang jumlahnya sama dengan dimensi ruang.

Mari kita berikan beberapa alasan berdasarkan definisi ini.

Pertimbangkan ruang vektor berdimensi n.

Mari kita tunjukkan bahwa dimensi ruang ini adalah n.

Mari kita ambil sistem dengan n vektor satuan berbentuk

Mari kita ambil vektor-vektor ini sebagai baris-baris matriks A. Dalam hal ini, matriks A adalah matriks identitas berdimensi n kali n. Pangkat matriks ini adalah n (lihat artikel jika perlu). Oleh karena itu, sistem vektor bebas linier, dan tidak ada satu vektor pun yang dapat ditambahkan ke sistem ini tanpa melanggar independensi liniernya. Karena banyaknya vektor dalam sistem sama dengan n, maka dimensi ruang vektor berdimensi n adalah n, dan vektor satuan adalah dasar dari ruang ini.

Dari pernyataan terakhir dan definisi dasar kita dapat menyimpulkan bahwa sistem apa pun dengan vektor berdimensi n, yang jumlah vektornya kurang dari n, bukan merupakan basis.

Sekarang mari kita menukar vektor pertama dan kedua dari sistem . Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa sistem yang dihasilkan adalah vektor juga merupakan basis dari ruang vektor berdimensi n. Mari kita membuat matriks dengan mengambil vektor-vektor dari sistem ini sebagai baris-barisnya. Matriks ini dapat diperoleh dari matriks identitas dengan cara menukar baris pertama dan kedua sehingga ranknya menjadi n. Jadi, sistem n vektor bebas linier dan merupakan basis dari ruang vektor berdimensi n.

Jika kita mengatur ulang vektor-vektor lain dari sistem , lalu kita mendapatkan dasar lain.

Jika kita mengambil sistem vektor non-satuan yang bebas linier, maka sistem tersebut juga merupakan basis dari ruang vektor berdimensi-n.

Dengan demikian, ruang vektor berdimensi n mempunyai basis yang sama banyaknya dengan sistem vektor berdimensi n yang bebas linier.

Jika kita berbicara tentang ruang vektor dua dimensi (yaitu bidang), maka basisnya adalah dua vektor yang tidak segaris. Basis ruang tiga dimensi adalah tiga vektor non-coplanar.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh.

Apakah vektor merupakan dasar dari ruang vektor tiga dimensi?

Larutan.

Mari kita periksa sistem vektor ini untuk ketergantungan linier. Untuk melakukannya, mari buat matriks yang baris-barisnya akan menjadi koordinat vektor-vektornya, dan cari pangkatnya:


Jadi, vektor-vektor a, b, dan c bebas linier dan jumlahnya sama dengan dimensi ruang vektor, oleh karena itu vektor-vektor tersebut merupakan basis dari ruang tersebut.

Menjawab:

Iya itu mereka.

Contoh.

Dapatkah sistem vektor menjadi basis ruang vektor?

Larutan.

Sistem vektor ini bergantung linier, karena jumlah maksimum vektor tiga dimensi yang bebas linier adalah tiga. Akibatnya, sistem vektor ini tidak dapat menjadi basis dari ruang vektor tiga dimensi (meskipun subsistem dari sistem vektor asli adalah basisnya).

Menjawab:

Tidak, dia tidak bisa.

Contoh.

Pastikan vektornya

dapat menjadi basis ruang vektor empat dimensi.

Larutan.

Mari kita membuat matriks dengan mengambil vektor asli sebagai barisnya:

Mari temukan:

Jadi, sistem vektor a, b, c, d bebas linier dan jumlahnya sama dengan dimensi ruang vektor, oleh karena itu a, b, c, d adalah basisnya.

Menjawab:

Vektor asli memang merupakan dasar dari ruang empat dimensi.

Contoh.

Apakah vektor membentuk basis ruang vektor berdimensi 4?

Larutan.

Sekalipun sistem vektor aslinya bebas linier, jumlah vektor di dalamnya tidak cukup untuk menjadi basis ruang empat dimensi (basis ruang tersebut terdiri dari 4 vektor).

Menjawab:

Tidak, tidak.

Penguraian suatu vektor menurut basis ruang vektornya.

Biarkan vektor sewenang-wenang adalah basis dari ruang vektor berdimensi n. Jika kita menambahkan beberapa vektor berdimensi n x ke dalamnya, maka sistem vektor yang dihasilkan akan bergantung linier. Dari sifat-sifat ketergantungan linier kita mengetahui bahwa paling sedikit satu vektor dari suatu sistem yang bergantung linier dinyatakan secara linier melalui vektor-vektor lainnya. Dengan kata lain, setidaknya salah satu vektor dari sistem bergantung linier diperluas ke vektor-vektor lainnya.

Hal ini membawa kita pada teorema yang sangat penting.

Dalil.

Setiap vektor dari ruang vektor berdimensi n dapat didekomposisi secara unik menjadi basis.

Bukti.

Membiarkan - dasar ruang vektor berdimensi n. Mari tambahkan vektor berdimensi n x ke vektor-vektor ini. Maka sistem vektor yang dihasilkan akan bergantung linier dan vektor x dapat dinyatakan secara linier dalam vektor : , di mana beberapa nomornya. Beginilah cara kita memperoleh pemuaian vektor x terhadap basis. Masih perlu dibuktikan bahwa dekomposisi ini unik.

Mari kita asumsikan ada dekomposisi lain, dimana - beberapa nomor. Mari kita kurangi ruas kiri dan kanan persamaan terakhir masing-masing dengan ruas kiri dan kanan persamaan:

Karena sistem vektor basis bebas linier, maka menurut definisi kemandirian linier suatu sistem vektor, persamaan yang dihasilkan hanya mungkin terjadi jika semua koefisien sama dengan nol. Oleh karena itu, , yang membuktikan keunikan penguraian vektor terhadap basis.

Definisi.

Koefisiennya disebut koordinat vektor x pada basis .

Setelah mengenal teorema penguraian vektor menjadi basis, kita mulai memahami inti dari ungkapan “kita diberi vektor berdimensi n " Ungkapan ini berarti bahwa kita sedang mempertimbangkan vektor ruang vektor berdimensi x n, yang koordinatnya ditentukan dalam beberapa basis. Pada saat yang sama, kita memahami bahwa vektor x yang sama pada basis lain dari ruang vektor berdimensi n akan memiliki koordinat yang berbeda dari .

Mari kita perhatikan permasalahan berikut ini.

Mari kita diberikan suatu sistem yang terdiri dari n vektor bebas linier dalam suatu basis ruang vektor berdimensi n

dan vektor . Kemudian vektornya juga merupakan dasar dari ruang vektor ini.

Mari kita cari koordinat vektor x di basisnya . Mari kita nyatakan koordinat ini sebagai .

Vektor x dalam basis punya ide. Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk koordinat:

Persamaan ini setara dengan sistem n persamaan aljabar linier dengan n variabel yang tidak diketahui :

Matriks utama sistem ini berbentuk

Mari kita nyatakan dengan huruf A. Kolom-kolom matriks A mewakili vektor-vektor dari sistem vektor-vektor yang bebas linier , jadi rank matriks tersebut adalah n, maka determinannya bukan nol. Fakta ini menunjukkan bahwa sistem persamaan mempunyai solusi unik yang dapat dicari dengan metode apapun, misalnya atau.

Dengan cara ini koordinat yang diperlukan akan ditemukan vektor x di basis .

Mari kita lihat teorinya menggunakan contoh.

Contoh.

Dalam beberapa basis ruang vektor tiga dimensi, vektor

Pastikan sistem vektor juga merupakan basis dari ruang ini dan temukan koordinat vektor x dalam basis ini.

Larutan.

Agar suatu sistem vektor menjadi basis ruang vektor tiga dimensi, sistem tersebut harus bebas linier. Mari kita cari tahu dengan menentukan rank matriks A yang baris-barisnya merupakan vektor. Mari kita cari ranknya menggunakan metode Gaussian


oleh karena itu, Rank(A) = 3, yang menunjukkan independensi linier dari sistem vektor.

Jadi, vektor adalah basisnya. Biarkan vektor x memiliki koordinat pada basis ini. Kemudian, seperti yang kami tunjukkan di atas, hubungan antara koordinat vektor ini diberikan oleh sistem persamaan

Mengganti nilai-nilai yang diketahui dari kondisi ke dalamnya, kita memperoleh

Mari kita selesaikan menggunakan metode Cramer:

Jadi, vektor x pada basis memiliki koordinat .

Menjawab:

Contoh.

Atas dasar tertentu dari ruang vektor empat dimensi, diberikan sistem vektor bebas linier

Diketahui bahwa . Temukan koordinat vektor x di basis .

Larutan.

Sejak sistem vektor bebas linier dengan syarat, maka ia merupakan basis ruang empat dimensi. Lalu kesetaraan berarti vektor x pada basisnya memiliki koordinat. Mari kita nyatakan koordinat vektor x pada basis Bagaimana .

Sistem persamaan yang mendefinisikan hubungan antara koordinat vektor x dalam basis Dan seperti

Kami mengganti nilai yang diketahui ke dalamnya dan menemukan koordinat yang diperlukan:

Menjawab:

.

Hubungan antar pangkalan.

Misalkan dua sistem vektor bebas linier diberikan dalam suatu basis ruang vektor berdimensi n

Dan

artinya, mereka juga merupakan basis dari ruang ini.

Jika - Koordinat vektor di pangkalan , lalu koneksi koordinat Dan diberikan oleh sistem persamaan linear (kita membicarakan hal ini di paragraf sebelumnya):

, yang dalam bentuk matriks dapat dituliskan sebagai

Demikian pula untuk vektor kita dapat menulis

Persamaan matriks sebelumnya dapat digabungkan menjadi satu, yang pada dasarnya mendefinisikan hubungan antara vektor-vektor dari dua basis yang berbeda

Demikian pula, kita dapat menyatakan semua vektor basis melalui dasar :

Definisi.

Matriks ditelepon matriks transisi dari basis ke pangkalan , maka persamaan tersebut benar

Mengalikan kedua ruas persamaan ini dari kanan dengan

kita mendapatkan

Mari kita cari matriks transisi, tetapi kita tidak akan membahas secara rinci tentang mencari matriks invers dan mengalikan matriks (lihat artikel dan jika perlu):

Masih mencari hubungan antara koordinat vektor x pada basis yang diberikan.

Misalkan vektor x mempunyai koordinat pada basisnya

dan pada basis vektor x mempunyai koordinat , maka

Karena ruas kiri dari dua persamaan terakhir adalah sama, kita dapat menyamakan ruas kanannya:

Jika kita mengalikan kedua ruas di sebelah kanan dengan

lalu kita dapatkan


Di sisi lain

(temukan sendiri matriks inversnya).
Dua persamaan terakhir memberi kita hubungan yang diperlukan antara koordinat vektor x pada basis dan .

Menjawab:

Matriks transisi dari basis ke basis memiliki bentuk
;
koordinat vektor x dalam basis dan dihubungkan oleh relasi

atau
.

Kami memeriksa konsep dimensi dan basis ruang vektor, mempelajari penguraian vektor menjadi basis, dan menemukan hubungan antara basis berbeda dari ruang vektor berdimensi n melalui matriks transisi.

P Dan A- bagian dari L. Jika A itu sendiri merupakan ruang linier di atas lapangan P mengenai operasi yang sama seperti L, Itu A disebut subruang dari ruang L.

Menurut definisi ruang linier, sehingga A adalah subruang maka perlu untuk memeriksa kelayakannya A operasi:

1) :
;

2)
:
;

dan periksa apakah operasi sudah berjalan A tunduk pada delapan aksioma. Namun, yang terakhir akan menjadi mubazir (karena fakta bahwa aksioma ini berlaku di L), yaitu. berikut ini yang benar

Dalil. Misalkan L adalah ruang linier di atas bidang P dan
. Himpunan A adalah subruang dari L jika dan hanya jika persyaratan berikut terpenuhi:

Penyataan. Jika L – N-ruang linier berdimensi dan A subruangnya, kalau begitu A juga merupakan ruang linier berdimensi terbatas dan dimensinya tidak melebihi N.

P Contoh 1. Apakah subruang dari ruang vektor segmen V 2 merupakan himpunan S dari semua vektor bidang yang masing-masing terletak pada salah satu sumbu koordinat 0x atau 0y?

Larutan: Membiarkan
,
Dan
,
. Kemudian
. Oleh karena itu S bukan subruang .

Contoh 2. Merupakan subruang linier dari ruang linier V 2 ada banyak vektor segmen bidang S semua vektor bidang yang awal dan akhirnya terletak pada suatu garis tertentu aku pesawat ini?

Larutan.

E vektor geser
kalikan dengan bilangan real k, lalu kita mendapatkan vektornya
, juga milik S. If Dan adalah dua vektor dari S, maka
(menurut aturan penjumlahan vektor pada garis lurus). Oleh karena itu S adalah subruang .

Contoh 3. Merupakan subruang linier dari ruang linier V 2 sekelompok A semua vektor bidang yang ujung-ujungnya terletak pada suatu garis tertentu aku, (asumsikan bahwa titik asal suatu vektor bertepatan dengan titik asal koordinat)?

R keputusan.

Dalam hal garis lurus aku himpunan tersebut tidak melewati titik asal A subruang linier dari ruang V 2 tidak, karena
.

Dalam hal garis lurus aku melewati titik asal, himpunan A adalah subruang linier dari ruang tersebut V 2 , Karena
dan saat mengalikan vektor apa pun
ke bilangan real α dari lapangan R kita mendapatkan
. Jadi, kebutuhan ruang linier untuk suatu himpunan A lengkap.

Contoh 4. Biarkan sistem vektor diberikan
dari ruang linier L di atas lapangan P. Buktikan bahwa himpunan semua kemungkinan kombinasi linier
dengan peluang
dari P adalah subruang L(ini adalah subruang A disebut subruang yang dihasilkan oleh sistem vektor atau cangkang linier sistem vektor ini, dan dilambangkan sebagai berikut:
atau
).

Larutan. Memang, sejak , maka untuk elemen apa pun X, kamuA kita punya:
,
, Di mana
,
. Kemudian

Dari dulu
, Itu sebabnya
.

Mari kita periksa apakah kondisi kedua teorema terpenuhi. Jika X– vektor apa pun dari A Dan T– nomor berapa pun dari P, Itu . Karena
Dan
,, Itu
, , Itu sebabnya
. Jadi, menurut teorema, himpunan A– subruang dari ruang linier L.

Untuk ruang linier berdimensi terbatas, hal sebaliknya juga berlaku.

Dalil. Subruang apa pun A ruang linier L di atas lapangan adalah rentang linier dari beberapa sistem vektor.

Saat menyelesaikan masalah mencari basis dan dimensi kulit linier, digunakan teorema berikut.

Dalil. Basis cangkang linier
bertepatan dengan dasar sistem vektor. Dimensi kulit linier bertepatan dengan pangkat sistem vektor.

Contoh 4. Temukan basis dan dimensi subruang
ruang linier R 3 [ X] , Jika
,
,
,
.

Larutan. Diketahui bahwa vektor dan baris (kolom) koordinatnya mempunyai sifat yang sama (berkenaan dengan ketergantungan linier). Membuat matriks A=
dari kolom koordinat vektor
di dasar
.

Mari kita cari pangkat matriksnya A.

. M 3 =
.
.

Oleh karena itu, peringkatnya R(A)= 3. Jadi pangkat sistem vektornya adalah 3. Artinya dimensi subruang S adalah 3, dan basisnya terdiri dari tiga vektor
(karena di minor dasar
koordinat hanya vektor-vektor ini yang disertakan).

Contoh 5. Buktikan bahwa himpunan tersebut H vektor ruang aritmatika
, yang koordinat pertama dan terakhirnya adalah 0, merupakan subruang linier. Temukan dasar dan dimensinya.

Larutan. Membiarkan
.

Lalu, dan. Karena itu,
untuk apa pun. Jika
,
, Itu . Jadi, menurut teorema subruang linier, himpunan H adalah subruang linier dari ruang tersebut. Mari kita temukan dasarnya H. Perhatikan vektor-vektor berikut dari H:
,
, . Sistem vektor ini bebas linier. Memang benar, biarkan saja.