Jenis utama ketidaksetaraan disajikan, termasuk ketidaksetaraan Bernoulli, Cauchy-Bunyakovsky, Minkovsky, Chebyshev. Properti ketidaksetaraan dan tindakan pada mereka dipertimbangkan. Metode utama untuk memecahkan ketidaksetaraan diberikan.
Rumus untuk pertidaksamaan dasar
Rumus untuk pertidaksamaan universal
Ketidaksetaraan universal dipenuhi untuk setiap nilai kuantitas yang termasuk di dalamnya. Jenis utama ketidaksetaraan universal tercantum di bawah ini.
1) | a b | |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |
2) |a| + |b| | a-b | | |a| - |b| |
3)
Kesetaraan hanya terjadi jika a 1 = a 2 = ... = a n .
4)
Ketidaksetaraan Cauchy-Bunyakovsky
Persamaan berlaku jika dan hanya jika a k = b k untuk semua k = 1, 2, ..., n dan beberapa , , |α| + |β| > 0 .
5)
Pertidaksamaan Minkowski, untuk p 1
Rumus untuk pertidaksamaan yang memenuhi
Ketidaksetaraan yang memuaskan dipenuhi untuk nilai-nilai tertentu dari kuantitas yang termasuk di dalamnya.
1)
Pertidaksamaan Bernoulli:
.
Lebih umum:
,
dimana , bilangan bertanda sama dan lebih besar dari -1
:
.
Lemma Bernoulli:
.
Lihat "Bukti pertidaksamaan dan lemma Bernoulli".
2)
untuk a i 0 (i = 1, 2, ..., n) .
3)
Pertidaksamaan Chebyshev
pada 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
dan 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Pada 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
dan b 1 b 2 ... b n > 0
.
4)
Ketidaksetaraan Chebyshev yang digeneralisasikan
pada 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
dan 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
dan k alami
.
Pada 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
dan b 1 b 2 ... b n > 0
.
Sifat-sifat ketidaksetaraan
Sifat-sifat ketidaksetaraan adalah seperangkat aturan yang terpenuhi ketika mereka ditransformasikan. Di bawah ini adalah sifat-sifat pertidaksamaan. Dipahami bahwa pertidaksamaan awal dipenuhi untuk nilai-nilai x i (i = 1, 2, 3, 4) milik beberapa interval yang telah ditentukan.
1) Saat mengubah urutan sisi, tanda pertidaksamaan dibalik.
Jika x 1< x 2
,
то x 2 >x 1 .
Jika x 1 x 2, maka x 2 x 1.
Jika x 1 x 2, maka x 2 x 1.
Jika x 1 > x 2 maka x 2< x 1
.
2) Satu pertidaksamaan sama dengan dua pertidaksamaan tidak tegas yang berbeda tanda.
Jika x 1 = x 2, maka x 1 x 2 dan x 1 x 2.
Jika x 1 x 2 dan x 1 x 2, maka x 1 = x 2.
3) Sifat transitivitas
Jika x 1< x 2
и x 2 < x 3
,
то x 1 < x 3
.
Jika x 1< x 2
и x 2 ≤ x 3
,
то x 1 < x 3
.
Jika x 1 x 2 dan x 2< x 3
,
то x 1 < x 3
.
Jika x 1 x 2 dan x 2 x 3 maka x 1 x 3 .
4) Anda dapat menjumlahkan (mengurangi) bilangan yang sama pada kedua bagian pertidaksamaan.
Jika x 1< x 2
,
то x 1 + A < x 2 + A
.
Jika x 1 x 2 maka x 1 + A x 2 + A .
Jika x 1 x 2 maka x 1 + A x 2 + A .
Jika x 1 > x 2, maka x 1 + A > x 2 + A.
5) Jika terdapat dua atau lebih pertidaksamaan yang bertanda searah, maka bagian kiri dan kanannya dapat dijumlahkan.
Jika x 1< x 2
,
x 3 < x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Jika x 1< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Jika x 1 x 2 , x 3< x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Jika x 1 x 2 , x 3 x 4 , maka x 1 + x 3 x 2 + x 4 .
Ekspresi serupa terjadi untuk tanda , >.
Jika pertidaksamaan awal mengandung tanda-tanda pertidaksamaan tidak tegas dan paling sedikit satu pertidaksamaan tegas (tetapi semua tanda memiliki arah yang sama), maka penjumlahan menghasilkan pertidaksamaan tegas.
6) Kedua bagian pertidaksamaan tersebut dapat dikalikan (dibagi) dengan bilangan positif.
Jika x 1< x 2
и A >0 , maka A x 1< A · x 2
.
Jika x 1 x 2 dan A > 0 , maka A x 1 A x 2 .
Jika x 1 x 2 dan A > 0, maka A x 1 A x 2.
Jika x 1 > x 2 dan A > 0, maka A x 1 > A x 2.
7) Kedua bagian pertidaksamaan tersebut dapat dikalikan (dibagi) dengan bilangan negatif. Dalam hal ini, tanda pertidaksamaan akan berubah menjadi kebalikannya.
Jika x 1< x 2
и A < 0
,
то A · x 1 >A · x2 .
Jika x 1 x 2 dan A< 0
,
то A · x 1 ≥ A · x 2
.
Jika x 1 x 2 dan A< 0
,
то A · x 1 ≤ A · x 2
.
Jika x 1 > x 2 dan A< 0
,
то A · x 1 < A · x 2
.
8) Jika ada dua atau lebih pertidaksamaan bersuku positif yang arahnya sama, maka bagian kiri dan kanannya dapat dikalikan satu sama lain.
Jika x 1< x 2
,
x 3 < x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 lalu x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Jika x 1< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 lalu x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Jika x 1 x 2 , x 3< x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 lalu x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Jika x 1 x 2 , x 3 x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 maka x 1 x 3 x 2 x 4 .
Ekspresi serupa terjadi untuk tanda , >.
Jika pertidaksamaan awal mengandung tanda-tanda pertidaksamaan tidak tegas dan paling sedikit satu pertidaksamaan tegas (tetapi semua tanda memiliki arah yang sama), maka perkalian menghasilkan pertidaksamaan tegas.
9) Misalkan f(x) adalah fungsi yang naik secara monoton. Artinya, untuk setiap x 1 > x 2 , f(x 1) > f(x 2) . Kemudian fungsi ini dapat diterapkan pada kedua bagian pertidaksamaan, dari mana tanda pertidaksamaan tidak berubah.
Jika x 1< x 2
,
то f(x 1) < f(x 2)
.
Jika x 1 x 2 maka f(x 1) f(x 2) .
Jika x 1 x 2, maka f(x 1) f(x 2) .
Jika x 1 > x 2, maka f(x 1) > f(x 2) .
10) Misalkan f (x) adalah fungsi menurun monoton, Artinya, untuk setiap x 1 > x 2, f (x 1)< f(x 2)
.
Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Jika x 1< x 2
,
то f(x 1) >f(x2) .
Jika x 1 x 2 maka f(x 1) f(x 2) .
Jika x 1 x 2 maka f(x 1) f(x 2) .
Jika x 1 > x 2, maka f(x 1)< f(x 2)
.
Metode untuk memecahkan ketidaksetaraan
Memecahkan pertidaksamaan dengan metode interval
Metode interval berlaku jika pertidaksamaan mencakup satu variabel, yang kita nyatakan sebagai x , dan memiliki bentuk:
f(x) > 0
di mana f(x) adalah fungsi kontinu dengan sejumlah titik diskontinuitas berhingga. Tanda pertidaksamaan dapat berupa apa saja: >, ,<, ≤
.
Metode interval adalah sebagai berikut.
1) Temukan domain dari fungsi f(x) dan tandai dengan interval pada sumbu real.
2) Temukan titik diskontinuitas fungsi f(x) . Misalnya, jika itu adalah pecahan, maka kami menemukan titik-titik di mana penyebutnya hilang. Kami menandai titik-titik ini pada sumbu numerik.
3) Selesaikan persamaan
f(x) = 0 .
Akar persamaan ini ditandai pada garis bilangan.
4) Akibatnya, sumbu numerik akan dibagi dengan titik-titik menjadi interval (segmen). Dalam setiap interval yang termasuk dalam domain definisi, kami memilih titik mana pun dan pada titik ini kami menghitung nilai fungsi. Jika nilai ini lebih besar dari nol, maka kami menempatkan tanda "+" di atas segmen (interval). Jika nilai ini kurang dari nol, maka di atas segmen (interval) kita beri tanda "-".
5) Jika pertidaksamaan berbentuk: f(x) > 0 , maka pilihlah interval yang bertanda “+”. Penyelesaian pertidaksamaan adalah penyatuan interval-interval ini yang tidak menyertakan batas-batasnya.
Jika pertidaksamaan berbentuk: f(x) 0 , maka kita tambahkan ke solusi titik-titik di mana f(x) = 0 . Artinya, beberapa interval mungkin memiliki batas tertutup (batas milik interval). bagian lain mungkin memiliki batas terbuka (batas tidak termasuk dalam interval).
Demikian pula, jika pertidaksamaan adalah: f(x)< 0
,
то выбираем интервалы с знаком „-“
.
Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Jika pertidaksamaan terlihat seperti: f(x) 0 , maka kita tambahkan ke solusi titik-titik di mana f(x) = 0 .
Memecahkan pertidaksamaan dengan menerapkan sifat-sifatnya
Metode ini berlaku untuk ketidaksetaraan kompleksitas apapun. Ini terdiri dalam menerapkan sifat-sifat (disajikan di atas) untuk mengurangi ketidaksetaraan ke bentuk yang lebih sederhana dan mendapatkan solusi. Sangat mungkin bahwa ini akan menghasilkan bukan hanya satu, tetapi sistem ketidaksetaraan. Ini adalah metode universal. Ini berlaku untuk setiap ketidaksetaraan.
Referensi:
DI. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.
Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Sifat utama ketidaksetaraan numerik dan bagaimana menyelesaikannya."
Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.
Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 8
Kombinatorik dan teori probabilitas Persamaan dan pertidaksamaan
Pengantar ketidaksetaraan numerik
Teman-teman, kami telah menemukan ketidaksetaraan, misalnya, ketika kami mulai berkenalan dengan konsep akar kuadrat. Secara intuitif jelas bahwa dengan bantuan ketidaksetaraan, dimungkinkan untuk memperkirakan angka mana yang lebih besar atau lebih kecil. Untuk deskripsi matematis, cukup menambahkan simbol khusus yang berarti lebih atau kurang.Menuliskan ekspresi $a>b$ dalam bahasa matematika berarti bilangan $a$ lebih besar dari bilangan $b$. Sebaliknya, ini berarti $a-b$ adalah bilangan positif. Seperti hampir semua objek matematika, pertidaksamaan memiliki beberapa sifat. Kita akan mempelajari sifat-sifat ini dalam pelajaran ini. Properti 1. Bukti. Properti ini dapat ditampilkan lebih jelas menggunakan garis bilangan. Jika $a>b$, maka angka $a$ pada garis sebenarnya terletak di sebelah kanan $b$. Dengan demikian, jika $b>c$, maka angka $b$ akan terletak di sebelah kanan angka $c$. Properti 2. Properti 3. Properti 4. Bukti. Properti 5. Bukti. Definisi. Kemudian properti 5 dapat diulang. Ketika pertidaksamaan dengan arti yang sama dikalikan, yang bagian kiri dan kanannya positif, diperoleh pertidaksamaan dengan arti yang sama. Properti 6. Properti 7. Bukti. Kita tahu bahwa $a-b$ adalah bilangan positif, dan hasil kali dua bilangan positif juga bilangan positif, mis. $ab>0$. properti 8. Bukti. Properti 9. Pertidaksamaan Cauchy (rata-rata aritmatika lebih besar atau sama dengan rata-rata geometris). Bukti. Keputusan. B) Mari kita gunakan properti 3. Kalikan dengan angka negatif, yang berarti tanda pertidaksamaan berubah. D) Kalikan semua bagian dari pertidaksamaan $3.1 E) Semua bagian dari pertidaksamaan itu positif, jika dikuadratkan, kita mendapatkan pertidaksamaan dengan arti yang sama. E) Tingkat ketidaksetaraan ganjil, maka Anda dapat dengan aman menaikkan pangkat dan tidak mengubah tandanya. G) Mari kita gunakan properti 7. Contoh 2 Keputusan. Bidang bilangan real memiliki sifat keteraturan (butir 6, hal. 35): untuk sembarang bilangan a, b, satu dan hanya satu dari tiga relasi yang berlaku: atau . Dalam hal ini, notasi a > b berarti selisihnya positif, dan selisih notasinya negatif. Berbeda dengan bidang bilangan real, bidang bilangan kompleks tidak teratur: untuk bilangan kompleks, konsep "lebih besar dari" dan "kurang dari" tidak didefinisikan; oleh karena itu, bab ini hanya membahas bilangan real. Kita sebut pertidaksamaan relasi, angka a dan b adalah anggota (atau bagian) dari pertidaksamaan, tanda > (lebih besar dari) dan Pertidaksamaan a > b dan c > d disebut pertidaksamaan yang sama artinya; pertidaksamaan a > b dan c Dari definisi pertidaksamaan langsung diperoleh 1) bilangan positif apa pun yang lebih besar dari nol; 2) bilangan negatif apa pun yang kurang dari nol; 3) setiap angka positif lebih besar dari angka negatif apa pun; 4) dari dua bilangan negatif, yang nilai absolutnya lebih kecil lebih besar. Semua pernyataan ini mengakui interpretasi geometris sederhana. Biarkan arah positif dari sumbu angka ke kanan dari titik awal; maka, apa pun tanda-tanda bilangan, yang lebih besar dilambangkan dengan sebuah titik yang terletak di sebelah kanan titik yang mewakili bilangan yang lebih kecil. Pertidaksamaan memiliki sifat utama sebagai berikut. 1. Asimetri (ireversibilitas): jika , maka , dan sebaliknya. Memang, jika perbedaannya positif, maka perbedaannya negatif. Mereka mengatakan bahwa ketika istilah pertidaksamaan disusun kembali, arti pertidaksamaan harus diubah menjadi kebalikannya. 2. Transitivitas: jika , maka . Memang, kepositifan perbedaan menyiratkan kepositifan Selain tanda pertidaksamaan, tanda pertidaksamaan dan juga digunakan didefinisikan sebagai berikut: record berarti salah satu atau Oleh karena itu, misalnya, Anda dapat menulis dan juga. Biasanya pertidaksamaan yang ditulis dengan tanda disebut pertidaksamaan tegas, dan pertidaksamaan yang ditulis dengan tanda disebut pertidaksamaan tidak tegas. Dengan demikian, tanda-tanda itu sendiri disebut tanda-tanda ketidaksetaraan ketat atau tidak ketat. Properti 1 dan 2 yang dibahas di atas juga berlaku untuk ketidaksetaraan non-ketat. Pertimbangkan sekarang operasi yang dapat dilakukan pada satu atau lebih pertidaksamaan. 3. Dari penjumlahan bilangan yang sama ke anggota pertidaksamaan, arti pertidaksamaan tidak berubah. Bukti. Biarkan pertidaksamaan dan nomor arbitrer diberikan. Menurut definisi, perbedaannya positif. Kami menambahkan ke nomor ini dua angka berlawanan yang tidak akan berubah, mis. Persamaan ini dapat ditulis ulang seperti ini: Dari sini dapat disimpulkan bahwa perbedaannya positif, yaitu dan ini harus dibuktikan. Ini adalah dasar untuk kemungkinan memiringkan setiap suku pertidaksamaan dari satu bagian ke bagian lain dengan tanda yang berlawanan. Misalnya, dari pertidaksamaan mengikuti itu 4. Saat mengalikan suku-suku pertidaksamaan dengan bilangan positif yang sama, arti pertidaksamaan tidak berubah; jika istilah pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang sama, arti pertidaksamaan berubah menjadi kebalikannya. Bukti. Membiarkan maka Jika maka karena produk bilangan positif adalah positif. Memperluas tanda kurung di sisi kiri pertidaksamaan terakhir, kami memperoleh , yaitu . Kasus ini dianggap dengan cara yang sama. Kesimpulan yang persis sama dapat ditarik mengenai pembagian bagian-bagian pertidaksamaan dengan suatu bilangan bukan nol, karena pembagian dengan suatu bilangan sama dengan mengalikan suatu bilangan dan bilangan-bilangan tersebut memiliki tanda yang sama. 5. Biarkan persyaratan pertidaksamaan menjadi positif. Kemudian, ketika anggotanya dinaikkan ke pangkat positif yang sama, makna ketidaksetaraan tidak berubah. Bukti. Membiarkan dalam hal ini, dengan sifat transitivitas, dan . Kemudian, karena peningkatan monoton dari fungsi daya di dan positif, kami memiliki Secara khusus, jika di mana adalah bilangan asli, maka kita dapatkan yaitu, ketika mengekstrak akar dari kedua bagian pertidaksamaan dengan suku positif, arti pertidaksamaan tidak berubah. Biarkan persyaratan pertidaksamaan menjadi negatif. Maka mudah untuk membuktikan bahwa ketika suku-sukunya dinaikkan ke pangkat ganjil, arti pertidaksamaan tidak berubah, dan ketika dinaikkan ke pangkat genap, berubah menjadi kebalikannya. Dari pertidaksamaan dengan suku negatif, Anda juga dapat mengekstrak akar pangkat ganjil. Biarkan, lebih lanjut, istilah pertidaksamaan memiliki tanda yang berbeda. Kemudian, ketika dipangkatkan ke ganjil, arti pertidaksamaan tidak berubah, dan ketika dipangkatkan genap, tidak ada yang pasti dapat dikatakan dalam kasus umum tentang arti pertidaksamaan yang dihasilkan. Memang, ketika suatu bilangan dipangkatkan ganjil, tanda bilangan tersebut dipertahankan dan oleh karena itu arti pertidaksamaan tidak berubah. Jika pertidaksamaan dipangkatkan genap, maka akan terbentuk pertidaksamaan dengan suku-suku positif, dan artinya akan bergantung pada nilai mutlak dari suku-suku pertidaksamaan asal, pertidaksamaan yang sama artinya dengan pertidaksamaan aslinya, pertidaksamaan makna yang berlawanan, dan bahkan kesetaraan dapat diperoleh! Sangat berguna untuk memeriksa semua yang telah dikatakan tentang meningkatkan ketidaksetaraan menjadi kekuatan menggunakan contoh berikut. Contoh 1. Naikkan pertidaksamaan berikut ke pangkat yang ditunjukkan, ubah, jika perlu, tanda pertidaksamaan menjadi lawan atau tanda sama dengan. a) 3 > 2 pangkat 4; b) pangkat 3; c) pangkat 3; d) pangkat 2; e) pangkat 5; e) pangkat 4; g) 2 > -3 pangkat 2; h) pangkat 2, 6. Dari pertidaksamaan, Anda dapat pergi ke pertidaksamaan antara jika istilah pertidaksamaan keduanya positif atau keduanya negatif, maka antara kebalikannya ada pertidaksamaan yang berlawanan artinya: Bukti. Jika a dan b bertanda sama, maka hasil kali keduanya positif. Bagi dengan pertidaksamaan yaitu, yang diperlukan untuk mendapatkan. Jika suku-suku pertidaksamaan mempunyai tanda yang berlawanan, maka pertidaksamaan antara kebalikannya mempunyai arti yang sama, karena tanda-tanda dari kebalikannya sama dengan tanda besaran itu sendiri. Contoh 2. Periksa properti terakhir 6 pada pertidaksamaan berikut: 7. Logaritma pertidaksamaan hanya dapat dilakukan jika suku pertidaksamaan adalah positif (bilangan negatif dan nol tidak memiliki logaritma). Biarlah. Lalu kapan? dan kapan? Kebenaran pernyataan-pernyataan ini didasarkan pada monotonisitas fungsi logaritmik, yang meningkat jika basis dan menurun jika Jadi, ketika mengambil logaritma dari pertidaksamaan yang terdiri dari suku-suku positif, dengan basis lebih besar dari satu, pertidaksamaan dengan arti yang sama dengan yang diberikan terbentuk, dan ketika mengambil logaritmanya dengan basis positif kurang dari satu, pertidaksamaan dari makna yang berlawanan terbentuk. 8. Jika , maka jika , tetapi , maka . Ini segera mengikuti dari sifat monotonisitas fungsi eksponensial (Bag. 42), yang meningkat dalam kasus ini dan menurun jika Saat menambahkan pertidaksamaan dengan arti yang sama istilah demi istilah, ketidaksetaraan dengan arti yang sama dengan data terbentuk. Bukti. Mari kita buktikan pernyataan ini untuk dua pertidaksamaan, meskipun pernyataan ini benar untuk sejumlah pertidaksamaan yang dijumlahkan. Biarkan ketidaksetaraan Menurut definisi, angka akan positif; maka jumlah mereka juga ternyata positif, yaitu. Mengelompokkan istilah secara berbeda, kita dapatkan dan karenanya dan ini harus dibuktikan. Tidak ada yang pasti dapat dikatakan dalam kasus umum tentang arti dari ketidaksetaraan yang dihasilkan dari penambahan dua atau lebih pertidaksamaan arti yang berbeda. 10. Jika suatu pertidaksamaan lain yang berlawanan maknanya dikurangi suku demi suku dari satu pertidaksamaan, maka pertidaksamaan yang sama maknanya dengan pertidaksamaan pertama akan terbentuk. Bukti. Biarkan dua ketidaksetaraan arti yang berbeda diberikan. Yang kedua, dengan sifat ireversibilitas, dapat ditulis ulang sebagai berikut: d > c. Mari kita sekarang menambahkan dua pertidaksamaan dengan arti yang sama dan memperoleh pertidaksamaan arti yang sama. Dari yang terakhir kita temukan dan ini harus dibuktikan. Tidak ada yang pasti dapat dikatakan dalam kasus umum tentang arti dari suatu pertidaksamaan yang diperoleh dengan mengurangkan pertidaksamaan lain yang memiliki arti yang sama dari suatu pertidaksamaan. Ketidaksetaraan dalam matematika memainkan peran penting. Di sekolah, kami terutama berurusan dengan ketidaksetaraan numerik, dengan definisi yang kita akan mulai artikel ini. Dan kemudian kami mendaftar dan membenarkan sifat-sifat pertidaksamaan numerik, di mana semua prinsip bekerja dengan ketidaksetaraan didasarkan. Kami segera mencatat bahwa banyak sifat pertidaksamaan numerik serupa. Oleh karena itu, kami akan menyajikan materi sesuai dengan skema yang sama: kami merumuskan properti, memberikan pembenaran dan contoh, dan kemudian melanjutkan ke properti berikutnya. Navigasi halaman. Ketika kami memperkenalkan konsep ketidaksetaraan, kami memperhatikan bahwa ketidaksetaraan sering didefinisikan dengan cara mereka ditulis. Jadi kami menyebut pertidaksamaan ekspresi aljabar bermakna yang mengandung tanda tidak sama dengan , kurang dari<, больше >, kurang dari atau sama dengan atau lebih besar dari atau sama dengan . Berdasarkan definisi di atas, lebih mudah untuk mendefinisikan pertidaksamaan numerik: Pertemuan dengan pertidaksamaan numerik terjadi dalam pelajaran matematika di kelas satu segera setelah berkenalan dengan bilangan asli pertama dari 1 hingga 9, dan berkenalan dengan operasi perbandingan. Benar, di sana mereka hanya disebut ketidaksetaraan, menghilangkan definisi "numerik". Untuk kejelasan, tidak ada salahnya untuk memberikan beberapa contoh ketidaksetaraan numerik paling sederhana dari tahap studi mereka: 1<2
, 5+2>3
. Dan lebih jauh dari bilangan asli, pengetahuan meluas ke jenis bilangan lain (bilangan bulat, rasional, bilangan real), aturan untuk perbandingannya dipelajari, dan ini secara signifikan memperluas keragaman spesies dari ketidaksetaraan numerik: 5> 72, 3> 0,275 (7−5, 6) , . Dalam praktiknya, bekerja dengan ketidaksetaraan memungkinkan sejumlah: sifat-sifat pertidaksamaan numerik. Mereka mengikuti dari konsep ketidaksetaraan yang diperkenalkan oleh kami. Sehubungan dengan bilangan, konsep ini diberikan oleh pernyataan berikut, yang dapat dianggap sebagai definisi hubungan "kurang dari" dan "lebih besar dari" pada himpunan bilangan (sering disebut definisi perbedaan pertidaksamaan): Definisi.
Definisi ini dapat disusun kembali menjadi definisi kurang dari atau sama dengan dan lebih besar dari atau sama dengan. Berikut susunan kalimatnya: Definisi.
Kami akan menggunakan definisi ini dalam membuktikan sifat-sifat pertidaksamaan numerik, yang sekarang kami tinjau. Kami memulai ulasan kami dengan tiga sifat dasar ketidaksetaraan. Mengapa mereka penting? Karena mereka adalah cerminan dari sifat-sifat pertidaksamaan dalam pengertian yang paling umum, dan bukan hanya dalam kaitannya dengan pertidaksamaan numerik. Pertidaksamaan numerik ditulis menggunakan tanda< и >, secara khas: Adapun pertidaksamaan numerik yang ditulis dengan menggunakan tanda pertidaksamaan tak tegas dan , memiliki sifat refleksivitas (bukan anti-refleksivitas), karena pertidaksamaan a≤a dan a≥a termasuk kasus persamaan a=a . Mereka juga dicirikan oleh antisimetri dan transitivitas. Jadi, pertidaksamaan numerik yang ditulis dengan tanda dan memiliki sifat-sifat sebagai berikut: Buktinya sangat mirip dengan yang sudah diberikan, jadi kita tidak akan membahasnya, tetapi beralih ke sifat penting lainnya dari ketidaksetaraan numerik. Mari kita melengkapi sifat-sifat utama ketidaksetaraan numerik dengan serangkaian hasil yang sangat penting secara praktis. Metode untuk mengevaluasi nilai ekspresi didasarkan pada mereka, prinsip-prinsip solusi pertidaksamaan dll. Karena itu, disarankan untuk berurusan dengan mereka dengan baik. Pada subbab ini, kita akan merumuskan sifat-sifat pertidaksamaan hanya untuk satu tanda pertidaksamaan ketat, tetapi harus diingat bahwa sifat-sifat serupa juga berlaku untuk tanda yang berlawanan, serta untuk tanda-tanda pertidaksamaan tidak tegas. Mari kita jelaskan ini dengan sebuah contoh. Di bawah ini kita rumuskan dan buktikan sifat-sifat pertidaksamaan berikut: jika a
Untuk memudahkan, kami menyajikan sifat-sifat pertidaksamaan numerik dalam bentuk daftar, sambil memberikan pernyataan yang sesuai, menulisnya secara formal menggunakan huruf, memberikan bukti, dan kemudian menunjukkan contoh penggunaannya. Dan di akhir artikel kami akan merangkum semua properti pertidaksamaan numerik dalam sebuah tabel. Pergi! Menjumlahkan (atau mengurangkan) bilangan apa pun pada kedua ruas pertidaksamaan numerik sejati menghasilkan pertidaksamaan numerik sejati. Dengan kata lain, jika bilangan a dan b sedemikian rupa sehingga a
Untuk membuktikannya, mari kita buat perbedaan antara bagian kiri dan kanan dari pertidaksamaan numerik terakhir, dan tunjukkan bahwa itu negatif dalam kondisi a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Karena dengan syarat a
Kami tidak memikirkan bukti dari sifat pertidaksamaan numerik ini untuk pengurangan bilangan c, karena pada himpunan bilangan real pengurangan dapat diganti dengan menambahkan c . Misalnya, jika Anda menambahkan angka 15 ke kedua bagian dari pertidaksamaan numerik yang benar 7>3, maka Anda mendapatkan pertidaksamaan numerik yang benar 7+15>3+15, yang sama, 22>18. Jika kedua bagian dari pertidaksamaan numerik yang benar dikalikan (atau dibagi) dengan bilangan positif yang sama c, maka pertidaksamaan numerik yang benar akan diperoleh. Jika kedua bagian pertidaksamaan tersebut dikalikan (atau dibagi) dengan bilangan negatif c, dan tanda pertidaksamaan dibalik, maka akan diperoleh pertidaksamaan yang benar. Dalam bentuk literal: jika angka a dan b memenuhi pertidaksamaan a SM Bukti. Mari kita mulai dengan kasus ketika c>0 . Tulislah selisih antara bagian kiri dan kanan pertidaksamaan numerik yang dibuktikan: a·c−b·c=(a−b)·c . Karena dengan syarat a 0 , maka produk (a−b) c akan menjadi bilangan negatif sebagai produk dari bilangan negatif a−b dan bilangan positif c (yang mengikuti dari ). Oleh karena itu, a c−b c<0
, откуда a·c Kami tidak memikirkan bukti dari sifat yang dipertimbangkan untuk membagi kedua bagian dari pertidaksamaan numerik yang benar dengan angka yang sama c, karena pembagian selalu dapat diganti dengan perkalian dengan 1/c. Mari kita tunjukkan contoh penerapan properti yang dianalisis ke bilangan konkret. Misalnya, Anda dapat kedua bagian dari pertidaksamaan numerik yang benar 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Dari properti yang baru saja diperiksa dari mengalikan kedua sisi persamaan numerik dengan angka, dua hasil praktis yang berharga mengikuti. Jadi kami merumuskannya dalam bentuk akibat wajar. Semua properti yang dibahas di atas dalam paragraf ini disatukan oleh fakta bahwa pada awalnya ketidaksetaraan numerik yang benar diberikan, dan darinya, melalui beberapa manipulasi dengan bagian-bagian dari ketidaksetaraan dan tanda, ketidaksetaraan numerik lain yang benar diperoleh. Sekarang kami akan memberikan blok properti di mana tidak satu, tetapi beberapa ketidaksetaraan numerik yang benar awalnya diberikan, dan hasil baru diperoleh dari penggunaan bersama mereka setelah menambahkan atau mengalikan bagian-bagiannya. Jika untuk bilangan a , b , c dan d pertidaksamaan a
Mari kita buktikan bahwa (a+c)−(b+d) adalah bilangan negatif, ini akan membuktikan bahwa a+c Dengan induksi, sifat ini meluas ke penjumlahan suku demi suku dari tiga, empat, dan, secara umum, sejumlah pertidaksamaan numerik berhingga. Jadi, jika untuk bilangan a 1 , a 2 , …, a n dan b 1 , b 2 , …, b n pertidaksamaan a 1 a 1 +a 2 +…+a n . Sebagai contoh, kita diberikan tiga pertidaksamaan numerik yang benar dengan tanda yang sama 5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Anda dapat mengalikan istilah dengan istilah ketidaksetaraan numerik dari tanda yang sama, yang kedua bagiannya diwakili oleh angka positif. Khusus untuk dua pertidaksamaan a
Untuk membuktikannya, kita dapat mengalikan kedua ruas pertidaksamaan a
Sifat ini juga berlaku untuk perkalian bilangan berhingga dari pertidaksamaan numerik yang valid dengan bagian positif. Artinya, jika a 1 , a 2 , …, a n dan b 1 , b 2 , …, b n adalah bilangan positif, dan a 1 a 1 a 2 ... a n . Secara terpisah, perlu dicatat bahwa jika notasi pertidaksamaan numerik berisi bilangan non-positif, maka perkalian suku demi sukunya dapat menyebabkan pertidaksamaan numerik yang salah. Misalnya, pertidaksamaan numerik 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство. Konsekuensi. Perkalian suku demi suku dari pertidaksamaan sejati yang identik berbentuk a
Sebagai penutup artikel, seperti yang dijanjikan, kami akan mengumpulkan semua properti yang dipelajari di tabel properti pertidaksamaan numerik: Bibliografi.
Menulis ekspresi $a
Jika $a>b$ dan $b>c$, maka $a>c$.
Jelas bahwa $10>5$, dan $5>2$, dan tentu saja $10>2$. Tetapi matematika menyukai bukti yang ketat untuk kasus yang paling umum.
Jika $a>b$, maka $a-b$ adalah bilangan positif. Jika $b>c$, maka $b-c$ adalah bilangan positif. Mari kita tambahkan dua bilangan positif.
$a-b+b-c=a-c$.
Jumlah dua bilangan positif adalah bilangan positif, tetapi $a-c$ juga bilangan positif. Dari sini dapat disimpulkan bahwa $a>c$. Properti telah terbukti.
Seperti yang dapat dilihat dari gambar, titik $a$ dalam kasus kami terletak di sebelah kanan titik $c$, yang berarti bahwa $a>c$.
Jika $a>b$, maka $a+c>b+c$.
Dengan kata lain, jika angka $a$ lebih besar dari angka $b$, maka angka berapa pun yang kita tambahkan (positif atau negatif) ke angka-angka ini, tanda pertidaksamaan juga akan dipertahankan. Properti ini terbukti sangat mudah. Anda perlu melakukan pengurangan. Variabel yang ditambahkan akan hilang dan pertidaksamaan asli akan menjadi benar.
a) Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif, maka tanda pertidaksamaan dipertahankan.
Jika $a>b$ dan $c>0$ maka $ac>bc$.
b) Jika kedua bagian pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif, maka tanda pertidaksamaan harus dibalik.
Jika $a>b$ dan $c Jika $a
Saat membagi, Anda harus bertindak dengan cara yang sama (bagi dengan angka positif - tanda dipertahankan, bagi dengan angka negatif - tanda berubah).
Jika $a>b$ dan $c>d$, maka $a+c>b+d$.
Dari kondisi: $a-b$ adalah bilangan positif dan $c-d$ adalah bilangan positif.
Maka jumlah $(a-b)+(c-d)$ juga merupakan bilangan positif.
Mari kita tukar beberapa istilah $(a+с)-(b+d)$.
Dari perubahan tempat istilah, jumlahnya tidak berubah.
Jadi $(a+c)-(b+d)$ adalah bilangan positif dan $a+c>b+d$.
Properti telah terbukti.
Jika $a, b ,c, d$ adalah bilangan positif dan $a>b$, $c>d$, maka $ac>bd$.
Karena $a>b$ dan $c>0$, maka, dengan menggunakan properti 3, kita memiliki $ac>bc$.
Karena $c>d$ dan $b>0$, maka, dengan menggunakan properti 3, kita memiliki $cb>bd$.
Jadi $ac>bc$ dan $bc >bd$.
Kemudian, dengan menggunakan properti 1, kita mendapatkan $ac>bd$. Q.E.D.
Pertidaksamaan bentuk $a>b$ dan $c>d$ ($a
Jika $a>b$ ($a>0$, $b>0$), maka $a^n>b^n$, di mana $n$ adalah bilangan asli apa pun.
Jika kedua bagian pertidaksamaan tersebut adalah bilangan positif dan dipangkatkan dengan pangkat yang sama, maka akan diperoleh pertidaksamaan yang sama artinya.
Perhatikan bahwa jika $n$ adalah bilangan ganjil, maka properti 6 berlaku untuk sembarang bilangan bulat $a$ dan $b$ dengan tanda apa pun.
Jika $a>b$ ($a>0$, $b>0$), maka $\frac(1)(a)
Untuk membuktikan sifat ini, perlu untuk mengurangi $\frac(1)(a)-\frac(1)(b)$ untuk mendapatkan bilangan negatif.
$\frac(1)(a)-\frac(1)(b)=\frac(b-a)(ab)=\frac(-(a-b))(ab)$.
Maka $\frac(-(a-b))(ab)$ adalah bilangan negatif. Properti telah terbukti.
Jika $a>0$, maka pertidaksamaan berikut berlaku: $a+\frac(1)(a)≥2$.
Mari kita pertimbangkan perbedaannya.
$a+\frac(1)(a)-2=\frac(a^2-2a+1)(a)=\frac((a-1)^2)(a)$ adalah bilangan non-negatif.
Properti telah terbukti.
Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan non-negatif, maka pertidaksamaan berikut berlaku: $\frac(a+b)(2)≥\sqrt(ab)$.
Pertimbangkan perbedaannya:
$\frac(a+b)(2)-\sqrt(ab)=\frac(a-2\sqrt(ab)+b)(2)=\frac((\sqrt(a)-\sqrt(b ))^2)(2)$ adalah bilangan non-negatif.
Properti telah terbukti.Contoh penyelesaian pertidaksamaan
Contoh 1
Diketahui bahwa $-1.5
b) $-2b$.
c) $a+b$.
d) $a-b$.
e) $b^2$.
f) $a^3$.
g) $\frac(1)(b)$.
a) Kami menggunakan properti 3. Kami mengalikan dengan angka positif, yang berarti bahwa tanda pertidaksamaan tidak berubah.
$-1.5*3
$-2*3.1>-2*b>-2*5.3$.
$-10.3
c) Menambahkan pertidaksamaan dengan arti yang sama, kita memperoleh pertidaksamaan dengan arti yang sama.
$-1.5+3.1
Sekarang mari kita lakukan operasi penjumlahan.
$-1.5-5.3
${3.1}^2
${(-1.5)}^3
$\frac(1)(5.3)<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac(10)(53)<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.
Bandingkan angka:
a) $\sqrt(5)+\sqrt(7)$ dan $2+\sqrt(8)$.
b) $π+\sqrt(8)$ dan $4+\sqrt(10)$.
a) Mari kita kuadratkan masing-masing bilangan.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2=5+2\sqrt(35)+7=12+\sqrt(140)$.
$(2+\sqrt(8))^2=4+4\sqrt(8)+8=12+\sqrt(128)$.
Mari kita hitung selisih kuadrat dari kuadrat-kuadrat tersebut.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2-(2+\sqrt(8))^2=12+\sqrt(140)-12-\sqrt(128)=\sqrt(140) -\sqrt(128)$.
Jelas mendapat angka positif, yang berarti:
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2>(2+\sqrt(8))^2$.
Karena kedua bilangan tersebut positif, maka:
$\sqrt(5)+\sqrt(7)>2+\sqrt(8)$.Tugas untuk solusi independen
1. Diketahui bahwa $-2.2
a) $4a$.
b) $-3b$.
c) $a+b$.
d) $a-b$.
e) $b^4$.
f) $a^3$.
g) $\frac(1)(b)$.
2. Bandingkan angka:
a) $\sqrt(6)+\sqrt(10)$ dan $3+\sqrt(7)$.
b) $π+\sqrt(5)$ dan $2+\sqrt(3)$. 
Pertidaksamaan numerik: definisi, contoh
Sifat-sifat pertidaksamaan numerik
Sifat dasar
Sifat penting lainnya dari pertidaksamaan numerik
