G.Glaser,
Akademisi Akademi Pendidikan Rusia, Moskow

Tentang teorema Pythagoras dan cara membuktikannya

Luas persegi yang dibangun di atas hipotenusa segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas persegi yang dibangun di atas kakinya...

Ini adalah salah satu teorema geometris kuno yang paling terkenal, yang disebut teorema Pythagoras. Hal ini masih diketahui hampir semua orang yang pernah mempelajari planimetri. Tampaknya bagi saya bahwa jika kita ingin memberi tahu peradaban luar bumi tentang keberadaan kehidupan cerdas di Bumi, maka kita harus mengirim gambar sosok Pythagoras ke luar angkasa. Saya pikir jika makhluk berpikir dapat menerima informasi ini, mereka akan mengerti tanpa kode sinyal yang rumit bahwa ada peradaban yang cukup berkembang di Bumi.

Filsuf dan matematikawan Yunani terkenal Pythagoras dari Samos, yang namanya teorema, hidup sekitar 2,5 ribu tahun yang lalu. Informasi biografis tentang Pythagoras yang telah sampai kepada kita tidak lengkap dan jauh dari dapat diandalkan. Banyak legenda dikaitkan dengan namanya. Diketahui secara otentik bahwa Pythagoras banyak bepergian di negara-negara Timur, mengunjungi Mesir dan Babel. Di salah satu koloni Yunani di Italia selatan, ia mendirikan "sekolah Pythagoras" yang terkenal, yang memainkan peran penting dalam kehidupan ilmiah dan politik Yunani kuno. Adalah Pythagoras yang dikreditkan dengan membuktikan teorema geometris yang terkenal. Berdasarkan legenda yang disebarkan oleh ahli matematika terkenal (Proclus, Plutarch, dll.), untuk waktu yang lama diyakini bahwa teorema ini tidak diketahui sebelum Pythagoras, oleh karena itu namanya - teorema Pythagoras.

Namun, tidak ada keraguan bahwa teorema ini telah diketahui bertahun-tahun sebelum Pythagoras. Jadi, 1500 tahun sebelum Pythagoras, orang Mesir kuno tahu bahwa segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5 adalah persegi panjang, dan menggunakan properti ini (yaitu, teorema kebalikan dari Pythagoras) untuk membangun sudut siku-siku ketika merencanakan plot tanah dan struktur bangunan. Dan bahkan hari ini, pembangun dan tukang kayu pedesaan, meletakkan fondasi gubuk, membuat detailnya, menggambar segitiga ini untuk mendapatkan sudut yang tepat. Hal yang sama dilakukan ribuan tahun yang lalu dalam pembangunan kuil-kuil megah di Mesir, Babilonia, Cina, dan mungkin di Meksiko. Dalam karya matematika dan astronomi Tiongkok tertua yang sampai kepada kita, Zhou-bi, yang ditulis sekitar 600 tahun sebelum Pythagoras, di antara proposal lain yang terkait dengan segitiga siku-siku, teorema Pythagoras juga terkandung. Bahkan sebelumnya teorema ini sudah dikenal oleh umat Hindu. Dengan demikian, Pythagoras tidak menemukan properti segitiga siku-siku ini; dia mungkin orang pertama yang menggeneralisasi dan membuktikannya, dengan demikian memindahkannya dari bidang praktik ke bidang sains. Kami tidak tahu bagaimana dia melakukannya. Beberapa sejarawan matematika berasumsi bahwa, bagaimanapun, bukti Pythagoras tidak mendasar, tetapi hanya konfirmasi, verifikasi properti ini pada sejumlah jenis segitiga tertentu, dimulai dengan segitiga siku-siku sama kaki, yang jelas mengikuti dari Gambar. satu.

Dengan Sejak zaman kuno, matematikawan telah menemukan semakin banyak bukti teorema Pythagoras, semakin banyak ide untuk pembuktiannya. Lebih dari satu setengah ratus bukti seperti itu - kurang lebih ketat, kurang lebih visual - diketahui, tetapi keinginan untuk meningkatkan jumlah mereka telah dipertahankan. Saya pikir "penemuan" independen dari bukti teorema Pythagoras akan berguna untuk anak sekolah modern.

Mari kita perhatikan beberapa contoh bukti yang mungkin menyarankan arah pencarian tersebut.

Bukti Pythagoras

";Sebuah persegi yang dibangun di atas sisi miring sebuah segitiga siku-siku sama dengan jumlah persegi yang dibangun di atas kakinya."; Bukti paling sederhana dari teorema diperoleh dalam kasus paling sederhana dari segitiga siku-siku sama kaki. Mungkin, teorema dimulai dengan dia. Memang, cukup hanya dengan melihat ubin segitiga siku-siku sama kaki untuk melihat bahwa teorema itu benar. Misalnya, untuk DABC: persegi yang dibangun di sisi miring AU, berisi 4 segitiga awal, dan bujur sangkar dibangun di atas kaki dengan dua. Teorema telah terbukti.

Pembuktian berdasarkan penggunaan konsep luas bangun yang sama.

Pada saat yang sama, kita dapat mempertimbangkan bukti di mana bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring dari segitiga siku-siku yang diberikan "terdiri" dari angka-angka yang sama dengan bujur sangkar yang dibangun di atas kaki. Kita juga dapat mempertimbangkan bukti-bukti seperti itu di mana permutasi istilah-istilah angka digunakan dan sejumlah ide baru diperhitungkan.

pada gambar. 2 menunjukkan dua kotak yang sama. Panjang sisi setiap persegi adalah a + b. Setiap bujur sangkar dibagi menjadi beberapa bagian yang terdiri dari bujur sangkar dan segitiga siku-siku. Jelas bahwa jika kita mengurangi luas empat kali lipat dari segitiga siku-siku dengan kaki a, b dari luas persegi, maka tetap ada luas yang sama, yaitu c 2 \u003d a 2 + b 2. Namun, orang Hindu kuno, yang memiliki alasan ini, biasanya tidak menuliskannya, tetapi menyertai gambar itu hanya dengan satu kata: "lihat!" Sangat mungkin bahwa Pythagoras menawarkan bukti yang sama.

bukti tambahan.

Bukti-bukti ini didasarkan pada penguraian bujur sangkar yang dibangun di atas kaki menjadi gambar, dari mana dimungkinkan untuk menambahkan bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring.

Di sini: ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Buktikan sendiri persamaan berpasangan dari segitiga yang diperoleh dengan membagi kotak yang dibangun di atas kaki dan sisi miring.

Buktikan teorema menggunakan partisi ini.

 Berdasarkan bukti al-Nairiziya, dekomposisi lain dari kuadrat menjadi angka berpasangan yang sama dibuat (Gbr. 5, di sini ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C).

 Bukti lain dengan metode penguraian bujur sangkar menjadi bagian-bagian yang sama, yang disebut "roda dengan bilah", ditunjukkan pada gambar. 6. Di sini: ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C; O - bagian tengah bujur sangkar yang dibangun di atas kaki besar; garis putus-putus yang melalui titik O tegak lurus atau sejajar dengan sisi miring.

 Dekomposisi bujur sangkar ini menarik karena segi empat yang sama dan berpasangan dapat dipetakan satu sama lain dengan translasi paralel. Banyak bukti lain dari teorema Pythagoras dapat ditawarkan dengan menggunakan dekomposisi kuadrat menjadi angka.

Bukti dengan metode ekstensi.

Inti dari metode ini adalah bahwa angka-angka yang sama dilampirkan ke bujur sangkar yang dibangun di atas kaki dan pada bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring sedemikian rupa sehingga diperoleh angka yang sama.

Validitas teorema Pythagoras mengikuti ukuran yang sama dari segi enam AEDFPB dan ACBNMQ. Di sini CEP, garis EP membagi segi enam AEDFPB menjadi dua segi empat yang sama luasnya, garis CM membagi segi enam ACBNMQ menjadi dua segi empat yang sama luasnya; rotasi 90° bidang di sekitar pusat A memetakan AEPB segi empat ke ACMQ segi empat.

pada gambar. 8 Sosok Pythagoras dilengkapi dengan persegi panjang, yang sisi-sisinya sejajar dengan sisi yang sesuai dari kotak yang dibangun di atas kaki. Mari kita pecahkan persegi panjang ini menjadi segitiga dan persegi panjang. Pertama, kita kurangi semua poligon 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dari persegi panjang yang dihasilkan, meninggalkan persegi yang dibangun di sisi miring. Kemudian dari persegi panjang yang sama kita kurangi persegi panjang 5, 6, 7 dan persegi panjang yang diarsir, kita mendapatkan persegi yang dibangun di atas kaki.

Sekarang mari kita buktikan bahwa angka-angka yang dikurangi dalam kasus pertama sama besarnya dengan angka-angka yang dikurangi dalam kasus kedua.

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

maka c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP=ACLF=ACED=b2;

CBML = CBNQ = a 2 ;

OBMP = ABMF = c 2 ;

OBMP = OCLP + CBML;

c2 = a2 + b2 .

Metode pembuktian aljabar.

	Beras. 12 mengilustrasikan bukti dari ahli matematika India yang hebat Bhaskari (penulis terkenal Lilavati, X abad ke-2). Gambar itu hanya disertai satu kata: LIHAT! Di antara pembuktian teorema Pythagoras dengan metode aljabar, pembuktian menggunakan persamaan menempati urutan pertama (mungkin yang tertua).
	Mari kita sajikan dalam presentasi modern salah satu bukti tersebut, yang dimiliki oleh Pythagoras.

H dan ara. 13 ABC - persegi panjang, C - sudut siku-siku, CMAB, b 1 - proyeksi kaki b pada sisi miring, a 1 - proyeksi kaki a pada sisi miring, h - tinggi segitiga yang ditarik ke sisi miring.

Dari fakta bahwa ABC mirip dengan ACM berikut ini

b 2 \u003d cb 1; (satu)

dari fakta bahwa ABC mirip dengan BCM berikut ini

a2 = ca1 . (2)

Menambahkan persamaan (1) dan (2) suku demi suku, kita mendapatkan a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Jika Pythagoras benar-benar menawarkan bukti seperti itu, maka dia juga akrab dengan sejumlah teorema geometris penting yang biasanya dikaitkan dengan Euclid oleh sejarawan matematika modern.

Bukti Möllmann (Gbr. 14). Luas segitiga siku-siku ini, di satu sisi, sama di sisi lain, di mana p adalah setengah keliling segitiga, r adalah jari-jari lingkaran yang tertulis di dalamnya Kita punya:

dari mana dapat disimpulkan bahwa c 2 =a 2 +b 2 .

di detik

Menyamakan ekspresi ini, kita memperoleh teorema Pythagoras.

Metode gabungan

Persamaan segitiga

c2 = a2 + b2 . (3)

Membandingkan relasi (3) dan (4), kita peroleh bahwa

c 1 2 = c 2 , atau c 1 = c.

Jadi, segitiga - diberikan dan dibangun - adalah sama, karena mereka memiliki tiga sisi yang sama. Sudut C 1 siku-siku, jadi sudut C segitiga ini juga siku-siku.

Bukti India kuno.

Matematikawan India kuno memperhatikan bahwa untuk membuktikan teorema Pythagoras, cukup menggunakan bagian dalam gambar Cina kuno. Dalam risalah "Siddhanta Shiromani" ("Mahkota Pengetahuan") ditulis di atas daun lontar oleh ahli matematika India terbesar abad ke-20. Bha-skara menempatkan gambar (Gbr. 4)

karakteristik bukti India l kata "lihat!". Seperti yang Anda lihat, segitiga siku-siku ditumpuk di sini dengan sisi miringnya keluar dan bujur sangkar dengan 2 bergeser ke "kursi pengantin wanita" dengan 2 -b 2 . Perhatikan bahwa kasus khusus teorema Pythagoras (misalnya, konstruksi persegi yang luasnya dua kali lebih besar gbr.4 luas alun-alun ini) ditemukan dalam risalah India kuno "Sulva";

Mereka memecahkan segitiga siku-siku dan bujur sangkar yang dibangun di atas kakinya, atau, dengan kata lain, bangun-bangun yang terdiri dari 16 segitiga siku-siku sama kaki yang identik dan oleh karena itu masuk ke dalam bujur sangkar. Itu bunga lili. sebagian kecil dari kekayaan yang tersembunyi dalam mutiara matematika kuno - teorema Pythagoras.

Bukti Cina kuno.

Risalah matematika Cina kuno telah sampai kepada kita dalam edisi abad ke-2. SM. Faktanya adalah pada tahun 213 SM. Kaisar Cina Shi Huang-di, yang berusaha menghilangkan tradisi lama, memerintahkan untuk membakar semua buku kuno. Dalam Pc. SM. kertas ditemukan di Cina dan pada saat yang sama rekonstruksi buku-buku kuno dimulai. Kunci pembuktian ini tidak sulit ditemukan. Memang, dalam gambar Cina kuno ada empat segitiga siku-siku yang sama dengan kaki a, b dan sisi miring dengan ditumpuk G) sehingga kontur luarnya membentuk Gambar 2 persegi dengan sisi a + b, dan bagian dalam adalah bujur sangkar dengan sisi c, dibangun di atas sisi miring (Gbr. 2, b). Jika sebuah persegi dengan sisi c dipotong dan sisa 4 segitiga yang diarsir ditempatkan dalam dua persegi panjang (Gbr. 2, di), jelas bahwa kekosongan yang dihasilkan, di satu sisi, sama dengan Dengan 2 , dan di sisi lain - dengan 2 +b 2 , itu. c 2 \u003d 2 + b 2. Teorema telah terbukti. Perhatikan bahwa dengan bukti seperti itu, konstruksi di dalam bujur sangkar pada sisi miring, yang kita lihat dalam gambar Cina kuno (Gbr. 2, a), tidak digunakan. Ternyata, para matematikawan Tiongkok kuno punya bukti berbeda. Tepatnya jika dalam persegi dengan sisi dengan dua segitiga berbayang (Gbr. 2, b) potong dan pasang sisi miring ke dua sisi miring lainnya (Gbr. 2, G), mudah untuk menemukan itu

Sosok yang dihasilkan, kadang-kadang disebut sebagai "kursi pengantin", terdiri dari dua kotak dengan sisi sebuah dan b, itu. c 2 == sebuah 2 +b 2 .

H Gambar 3 mereproduksi gambar dari risalah "Zhou-bi ...". Di sini teorema Pythagoras dipertimbangkan untuk segitiga Mesir dengan kaki 3, 4 dan sisi miring 5 unit. Kotak di sisi miring berisi 25 sel, dan kotak yang tertulis di dalamnya di kaki yang lebih besar berisi 16. Jelas bahwa bagian yang tersisa berisi 9 sel. Ini akan menjadi bujur sangkar di kaki yang lebih kecil.

1

Shapovalova L.A. (stasiun Egorlykskaya, MBOU ESOSH No. 11)

1. Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah kelas VII - VIII, pedoman bagi guru, - M: Pendidikan, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. "Di balik halaman buku teks matematika" Buku Pegangan untuk siswa di kelas 5-6. – M.: Pencerahan, 1989.

3. Zenkevich I.G. “Estetika Pelajaran Matematika”. – M.: Pencerahan, 1981.

4. Litzman V. Teorema Pythagoras. -M., 1960.

5. Voloshinov A.V. "Pythagoras". -M., 1993.

6. Pichurin L.F. "Di Luar Halaman Buku Teks Aljabar". -M., 1990.

7. Zemlyakov A.N. "Geometri di kelas 10." -M., 1986.

8. Koran "Matematika" 17/1996.

9. Koran "Matematika" 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. “Kumpulan Soal-soal Matematika SD”. -M., 1963.

11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. “Buku Pegangan Matematika”. -M., 1973.

12. Shchetnikov A.I. "Doktrin Pythagoras tentang jumlah dan besaran". - Novosibirsk, 1997.

13. “Bilangan asli. Ekspresi irasional» Kelas 8. Pers Universitas Tomsk. – Tomsk, 1997.

14. Atanasyan M.S. "Geometri" kelas 7-9. – M.: Pencerahan, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Tahun akademik ini, saya berkenalan dengan teorema yang menarik, yang ternyata, dari zaman kuno:

"Bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring sebuah segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat yang dibangun di atas kaki-kakinya."

Biasanya penemuan pernyataan ini dikaitkan dengan filsuf dan matematikawan Yunani kuno Pythagoras (abad VI SM). Namun kajian terhadap manuskrip kuno menunjukkan bahwa pernyataan ini sudah diketahui jauh sebelum kelahiran Pythagoras.

Saya bertanya-tanya mengapa, dalam hal ini, dikaitkan dengan nama Pythagoras.

Relevansi topik: Teorema Pythagoras sangat penting: digunakan dalam geometri secara harfiah di setiap langkah. Saya percaya bahwa karya-karya Pythagoras masih relevan, karena ke mana pun kita memandang, ke mana pun kita dapat melihat buah dari gagasan-gagasan besarnya, yang diwujudkan dalam berbagai cabang kehidupan modern.

Tujuan penelitian saya adalah: untuk mengetahui siapa Pythagoras, dan apa hubungannya dengan teorema ini.

Mempelajari sejarah teorema, saya memutuskan untuk mencari tahu:

Apakah ada bukti lain dari teorema ini?

Apa pentingnya teorema ini dalam kehidupan manusia?

Peran apa yang dimainkan Pythagoras dalam perkembangan matematika?

Dari biografi Pythagoras

Pythagoras dari Samos adalah seorang ilmuwan Yunani yang hebat. Ketenarannya dikaitkan dengan nama teorema Pythagoras. Meskipun sekarang kita sudah tahu bahwa teorema ini dikenal di Babel kuno 1200 tahun sebelum Pythagoras, dan di Mesir 2000 tahun sebelum dia dikenal segitiga siku-siku dengan sisi 3, 4, 5, kita masih menyebutnya dengan nama kuno ini. ilmuwan.

Hampir tidak ada yang diketahui secara pasti tentang kehidupan Pythagoras, tetapi sejumlah besar legenda dikaitkan dengan namanya.

Pythagoras lahir pada 570 SM di pulau Samos.

Pythagoras memiliki penampilan yang tampan, memakai janggut panjang, dan mahkota emas di kepalanya. Pythagoras bukanlah sebuah nama, melainkan sebuah julukan yang diterima sang filosof karena selalu berbicara dengan benar dan meyakinkan, seperti seorang peramal Yunani. (Pythagoras - "pidato persuasif").

Pada 550 SM, Pythagoras membuat keputusan dan pergi ke Mesir. Jadi, sebuah negara yang tidak dikenal dan budaya yang tidak dikenal terbuka di hadapan Pythagoras. Pythagoras sangat kagum dan terkejut di negara ini, dan setelah beberapa pengamatan terhadap kehidupan orang Mesir, Pythagoras menyadari bahwa jalan menuju pengetahuan, yang dilindungi oleh kasta pendeta, terletak melalui agama.

Setelah sebelas tahun belajar di Mesir, Pythagoras pergi ke tanah airnya, di mana sepanjang jalan ia jatuh ke dalam pembuangan Babilonia. Di sana ia berkenalan dengan ilmu Babilonia, yang lebih berkembang daripada Mesir. Orang Babilonia tahu cara menyelesaikan persamaan linear, kuadrat, dan beberapa jenis persamaan kubik. Setelah melarikan diri dari penangkaran, ia tidak bisa tinggal lama di tanah kelahirannya karena suasana kekerasan dan kezaliman yang merajalela di sana. Dia memutuskan untuk pindah ke Croton (koloni Yunani di Italia utara).

Di Croton periode paling mulia dalam kehidupan Pythagoras dimulai. Di sana ia mendirikan sesuatu seperti persaudaraan etis-religius atau ordo monastik rahasia, yang anggotanya diwajibkan untuk menjalani apa yang disebut cara hidup Pythagoras.

Pythagoras dan Pythagoras

Pythagoras mengorganisir di sebuah koloni Yunani di selatan Semenanjung Apennine sebuah persaudaraan religius dan etis, seperti ordo monastik, yang kemudian disebut Persatuan Pythagoras. Anggota serikat harus mematuhi prinsip-prinsip tertentu: pertama, berjuang untuk yang indah dan mulia, kedua, berguna, dan ketiga, berjuang untuk kesenangan tinggi.

Sistem aturan moral dan etika, yang diturunkan oleh Pythagoras kepada murid-muridnya, disusun menjadi semacam kode moral "Ayat Emas" Pythagoras, yang sangat populer di era Purbakala, Abad Pertengahan, dan Renaisans.

Sistem studi Pythagoras terdiri dari tiga bagian:

Ajaran tentang angka - aritmatika,

Ajaran tentang angka - geometri,

Ajaran tentang struktur alam semesta - astronomi.

Sistem pendidikan yang ditetapkan oleh Pythagoras berlangsung selama berabad-abad.

Sekolah Pythagoras berbuat banyak untuk memberikan geometri karakter ilmu. Fitur utama dari metode Pythagoras adalah kombinasi geometri dengan aritmatika.

Pythagoras banyak berurusan dengan proporsi dan progresi dan, mungkin, dengan kesamaan angka, karena ia dikreditkan dengan memecahkan masalah: "Bangun yang ketiga, ukurannya sama dengan salah satu data dan mirip dengan yang kedua, berdasarkan diberikan dua angka.”

Pythagoras dan murid-muridnya memperkenalkan konsep poligonal, ramah, bilangan sempurna dan mempelajari sifat-sifatnya. Aritmatika, sebagai praktik perhitungan, tidak menarik bagi Pythagoras, dan dengan bangga dia menyatakan bahwa dia "menempatkan aritmatika di atas kepentingan pedagang".

Anggota Persatuan Pythagoras adalah penduduk banyak kota di Yunani.

Pythagoras juga menerima wanita ke dalam masyarakat mereka. Serikat berkembang selama lebih dari dua puluh tahun, dan kemudian penganiayaan terhadap anggotanya dimulai, banyak siswa terbunuh.

Ada banyak legenda berbeda tentang kematian Pythagoras sendiri. Namun ajaran Pythagoras dan murid-muridnya tetap hidup.

Dari sejarah penciptaan teorema Pythagoras

Saat ini diketahui bahwa teorema ini tidak ditemukan oleh Pythagoras. Namun, beberapa orang percaya bahwa Pythagoraslah yang pertama kali memberikan bukti lengkapnya, sementara yang lain menyangkalnya atas jasa ini. Beberapa atribut ke Pythagoras bukti yang diberikan Euclid dalam buku pertama Elemen-nya. Di sisi lain, Proclus mengklaim bahwa bukti dalam Elemen adalah karena Euclid sendiri. Seperti yang dapat kita lihat, sejarah matematika hampir tidak memiliki data konkret yang dapat diandalkan tentang kehidupan Pythagoras dan aktivitas matematikanya.

Mari kita mulai tinjauan sejarah kita tentang teorema Pythagoras dengan Tiongkok kuno. Di sini buku matematika Chu-pei menarik perhatian khusus. Esai ini mengatakan ini tentang segitiga Pythagoras dengan sisi 3, 4 dan 5:

"Jika sudut siku-siku diuraikan menjadi bagian-bagian komponennya, maka garis yang menghubungkan ujung-ujung sisinya adalah 5 ketika alasnya 3 dan tingginya 4."

Sangat mudah untuk mereproduksi metode konstruksi mereka. Ambil seutas tali sepanjang 12 m dan ikat pada tali berwarna pada jarak 3 m. dari satu ujung dan 4 meter dari yang lain. Sebuah sudut siku-siku akan diapit oleh sisi-sisi yang panjangnya 3 dan 4 meter.

Geometri di kalangan umat Hindu terkait erat dengan kultus. Besar kemungkinan bahwa teorema kuadrat sisi miring sudah dikenal di India sekitar abad ke-8 SM. Selain resep ritual murni, ada karya-karya yang bersifat teologis secara geometris. Dalam tulisan-tulisan ini, yang berasal dari abad ke-4 atau ke-5 SM, kita bertemu dengan konstruksi sudut siku-siku menggunakan segitiga dengan sisi 15, 36, 39.

Pada Abad Pertengahan, teorema Pythagoras mendefinisikan batas, jika bukan yang terbesar, maka setidaknya pengetahuan matematika yang baik. Gambar khas teorema Pythagoras, yang sekarang kadang-kadang diubah oleh anak-anak sekolah, misalnya, menjadi topi tinggi yang mengenakan jubah profesor atau pria, sering digunakan pada masa itu sebagai simbol matematika.

Sebagai kesimpulan, kami menyajikan berbagai rumusan teorema Pythagoras yang diterjemahkan dari bahasa Yunani, Latin, dan Jerman.

Teorema Euclid berbunyi (terjemahan literal):

"Dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi yang membentuk sudut siku-siku sama dengan kuadrat sisi-sisi yang melingkari sudut siku-siku."

Seperti yang Anda lihat, di berbagai negara dan bahasa yang berbeda ada versi yang berbeda dari rumusan teorema yang sudah dikenal. Dibuat pada waktu yang berbeda dan dalam bahasa yang berbeda, mereka mencerminkan esensi dari satu pola matematika, yang buktinya juga memiliki beberapa opsi.

Lima Cara Membuktikan Teorema Pythagoras

bukti cina kuno

Dalam gambar Cina kuno, empat segitiga siku-siku yang sama dengan kaki a, b dan sisi miring c ditumpuk sehingga kontur luarnya membentuk persegi dengan sisi a + b, dan yang dalam membentuk persegi dengan sisi c, dibangun di atas sisi miring

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Pembuktian oleh J. Gardfield (1882)

Mari kita susun dua segitiga siku-siku yang sama sehingga kaki salah satunya merupakan kelanjutan dari yang lain.

Luas trapesium yang dipertimbangkan ditemukan sebagai produk dari setengah jumlah alas dan tingginya

Di sisi lain, luas trapesium sama dengan jumlah luas segitiga yang diperoleh:

Dengan menyamakan ekspresi ini, kita mendapatkan:

Buktinya sederhana

Bukti ini diperoleh dalam kasus paling sederhana dari segitiga siku-siku sama kaki.

Mungkin, teorema dimulai dengan dia.

Memang, cukup hanya dengan melihat ubin segitiga siku-siku sama kaki untuk melihat bahwa teorema itu benar.

Misalnya, untuk segitiga ABC: bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring AC berisi 4 segitiga awal, dan bujur sangkar yang dibangun di atas kaki-kakinya berisi dua segitiga. Teorema telah terbukti.

Bukti dari Hindu kuno

Sebuah persegi dengan sisi (a + b), dapat dibagi menjadi beberapa bagian baik seperti pada gambar. 12. a, atau seperti pada gambar. 12b. Jelas bahwa bagian 1, 2, 3, 4 sama pada kedua gambar. Dan jika yang sama dikurangkan dari yang sama (area), maka yang sama akan tetap ada, yaitu. c2 = a2 + b2.

Bukti Euclid

Selama dua milenium, yang paling umum adalah bukti teorema Pythagoras, yang ditemukan oleh Euclid. Itu ditempatkan dalam bukunya yang terkenal "Beginnings".

Euclid menurunkan tinggi BH dari titik sudut siku-siku ke sisi miring dan membuktikan bahwa perpanjangannya membagi bujur sangkar yang dilengkapi pada sisi miring menjadi dua persegi panjang, yang luasnya sama dengan luas bujur sangkar yang sesuai yang dibangun di atas kaki.

Gambar yang digunakan dalam pembuktian teorema ini secara bercanda disebut "celana Pythagoras". Untuk waktu yang lama ia dianggap sebagai salah satu simbol ilmu matematika.

Penerapan teorema Pythagoras

Arti penting dari teorema Pythagoras terletak pada kenyataan bahwa sebagian besar teorema geometri dapat diturunkan darinya atau dengan bantuannya dan banyak masalah dapat dipecahkan. Selain itu, signifikansi praktis dari teorema Pythagoras dan teorema kebalikannya adalah bahwa mereka dapat digunakan untuk menemukan panjang segmen tanpa mengukur segmen itu sendiri. Ini, seolah-olah, membuka jalan dari garis lurus ke bidang, dari bidang ke ruang volumetrik dan seterusnya. Karena alasan inilah teorema Pythagoras sangat penting bagi umat manusia, yang berupaya menemukan lebih banyak dimensi dan menciptakan teknologi dalam dimensi ini.

Kesimpulan

Teorema Pythagoras sangat terkenal sehingga sulit membayangkan seseorang yang belum pernah mendengarnya. Saya belajar bahwa ada beberapa cara untuk membuktikan Teorema Pythagoras. Saya mempelajari sejumlah sumber sejarah dan matematika, termasuk informasi di Internet, dan menyadari bahwa teorema Pythagoras menarik tidak hanya karena sejarahnya, tetapi juga karena menempati tempat penting dalam kehidupan dan sains. Hal ini dibuktikan dengan berbagai interpretasi teks teorema yang saya berikan dalam makalah ini dan cara pembuktiannya.

Jadi, teorema Pythagoras adalah salah satu yang utama dan, bisa dikatakan, teorema geometri yang paling penting. Signifikansinya terletak pada kenyataan bahwa sebagian besar teorema geometri dapat disimpulkan darinya atau dengan bantuannya. Teorema Pythagoras juga luar biasa karena itu sendiri sama sekali tidak jelas. Misalnya, sifat-sifat segitiga sama kaki dapat dilihat langsung pada gambar. Tetapi tidak peduli seberapa sering Anda melihat segitiga siku-siku, Anda tidak akan pernah melihat bahwa ada hubungan sederhana antara sisi-sisinya: c2 = a2 + b2. Oleh karena itu, visualisasi sering digunakan untuk membuktikannya. Kelebihan Pythagoras adalah dia memberikan bukti ilmiah lengkap dari teorema ini. Kepribadian ilmuwan itu sendiri, yang ingatannya tidak sengaja dipertahankan oleh teorema ini, menarik. Pythagoras adalah pembicara, guru dan pendidik yang luar biasa, penyelenggara sekolahnya, yang berfokus pada harmoni musik dan angka, kebaikan dan keadilan, pengetahuan, dan gaya hidup sehat. Dia mungkin bisa menjadi contoh bagi kita, keturunan jauh.

Tautan bibliografi

Tumanova S.V. BEBERAPA CARA UNTUK MEMBUKTIKAN TEOREMA PYthagoras // Mulai dalam sains. - 2016. - No. 2. - Hal. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (tanggal akses: 28/02/2020).

Teks karya ditempatkan tanpa gambar dan rumus.
Versi lengkap dari karya tersebut tersedia di tab "File Pekerjaan" dalam format PDF

pengantar

Dalam kursus geometri sekolah, menggunakan teorema Pythagoras, hanya masalah matematika yang diselesaikan. Sayangnya, pertanyaan tentang penerapan praktis teorema Pythagoras tidak dipertimbangkan.

Dalam hal ini, tujuan pekerjaan saya adalah untuk mengetahui ruang lingkup teorema Pythagoras.

Saat ini, secara umum diakui bahwa keberhasilan pengembangan berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi bergantung pada perkembangan berbagai bidang matematika. Kondisi penting untuk meningkatkan efisiensi produksi adalah pengenalan luas metode matematika dalam teknologi dan ekonomi nasional, yang melibatkan penciptaan metode penelitian kualitatif dan kuantitatif baru yang efektif yang memungkinkan pemecahan masalah yang diajukan dengan praktik.

Saya akan mempertimbangkan contoh aplikasi praktis dari teorema Pythagoras. Saya tidak akan mencoba memberikan semua contoh penggunaan teorema - hampir tidak mungkin. Area penerapan teorema ini cukup luas dan umumnya tidak dapat ditunjukkan dengan kelengkapan yang memadai.

Hipotesa:

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, Anda tidak hanya dapat menyelesaikan masalah matematika.

Untuk pekerjaan penelitian ini, tujuan berikut ditentukan:

Temukan ruang lingkup teorema Pythagoras.

Berdasarkan tujuan di atas, tugas-tugas berikut diidentifikasi:

Kumpulkan informasi tentang penerapan praktis teorema Pythagoras dalam berbagai sumber dan tentukan bidang penerapan teorema tersebut.

Pelajari beberapa informasi sejarah tentang Pythagoras dan teoremanya.

Tunjukkan penerapan teorema dalam memecahkan masalah sejarah.

Memproses data yang dikumpulkan pada topik.

Saya terlibat dalam pencarian dan pengumpulan informasi - saya mempelajari materi cetak, bekerja dengan materi di Internet, dan memproses data yang dikumpulkan.

Metodologi Penelitian:

Mempelajari materi teoretis.

Studi tentang metode penelitian.

Implementasi praktis dari studi.

Komunikatif (metode pengukuran, bertanya).

Jenis proyek: penelitian informasi. Pekerjaan itu dilakukan di waktu luang saya.

Tentang Pythagoras.

Pythagoras adalah seorang filsuf, matematikawan, dan astronom Yunani kuno. Dia memperkuat banyak sifat angka geometris, mengembangkan teori matematika angka dan proporsinya. Dia membuat kontribusi yang signifikan untuk pengembangan astronomi dan akustik. Penulis "Golden Verses", pendiri sekolah Pythagoras di Croton.

Menurut legenda, Pythagoras lahir sekitar tahun 580 SM. e. di pulau Samos dalam keluarga saudagar kaya. Ibunya, Pythasis, mendapatkan namanya untuk menghormati Pythia, pendeta Apollo. Pythia meramalkan kepada Mnesarchus dan istrinya kelahiran seorang putra, putra itu juga dinamai menurut Pythia. Menurut banyak kesaksian kuno, bocah itu sangat tampan dan segera menunjukkan kemampuannya yang luar biasa. Dia menerima pengetahuan pertamanya dari ayahnya Mnesarchus, seorang ahli perhiasan dan pemahat permata, yang bermimpi bahwa putranya akan melanjutkan pekerjaannya. Tapi hidup menilai sebaliknya. Filsuf masa depan menunjukkan bakat besar untuk sains. Di antara guru Pythagoras adalah Pherekides dari Syros dan Germodamant yang lebih tua. Yang pertama menanamkan kecintaan pada sains pada anak laki-laki itu, dan yang kedua pada musik, lukisan, dan puisi. Selanjutnya, Pythagoras bertemu dengan filsuf terkenal - matematikawan Thales dari Miletus dan, atas sarannya, pergi ke Mesir - pusat kegiatan ilmiah dan penelitian saat itu. Setelah tinggal 22 tahun di Mesir dan 12 tahun di Babel, ia kembali ke pulau Samos, lalu meninggalkannya karena alasan yang tidak diketahui dan pindah ke kota Croton, di Italia selatan. Di sini ia menciptakan sekolah Pythagoras (persatuan), yang mempelajari berbagai masalah filsafat dan matematika. Pada usia sekitar 60 tahun, Pythagoras menikahi Theano, salah satu muridnya. Mereka memiliki tiga anak, dan mereka semua menjadi pengikut ayah mereka. Kondisi sejarah saat itu ditandai dengan gerakan demo yang luas melawan kekuasaan kaum bangsawan. Melarikan diri dari gelombang kemarahan rakyat, Pythagoras dan murid-muridnya pindah ke kota Tarentum. Menurut satu versi: Kilon, seorang pria kaya dan jahat, datang kepadanya, ingin mabuk bergabung dengan persaudaraan. Setelah ditolak, Cylon mulai berkelahi dengan Pythagoras. Selama kebakaran, para siswa dengan biaya mereka menyelamatkan nyawa guru. Pythagoras menjadi rindu rumah dan segera bunuh diri.

Perlu dicatat bahwa ini adalah salah satu varian dari biografinya. Tanggal pasti kelahiran dan kematiannya belum ditetapkan, banyak fakta hidupnya yang kontradiktif. Tetapi satu hal yang jelas: pria ini hidup, dan meninggalkan warisan filosofis dan matematika yang luar biasa kepada keturunannya.

Teori Pitagoras.

Teorema Pythagoras adalah pernyataan geometri yang paling penting. Teorema dirumuskan sebagai berikut: luas persegi yang dibangun di atas sisi miring segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas persegi yang dibangun di atas kakinya.

Penemuan pernyataan ini dikaitkan dengan Pythagoras dari Samos (abad XII SM)

Studi tentang lempengan paku Babilonia dan manuskrip Cina kuno (salinan dari manuskrip yang lebih kuno lagi) menunjukkan bahwa teorema terkenal itu telah diketahui jauh sebelum Pythagoras, mungkin beberapa milenium sebelum dia.

(Tapi ada asumsi bahwa Pythagoras memberinya bukti penuh)

Tetapi ada pendapat lain: di sekolah Pythagoras, adalah kebiasaan yang luar biasa untuk mengaitkan semua jasa dengan Pythagoras dan agak tidak pantas dengan kemuliaan penemunya, kecuali mungkin dalam beberapa kasus.

(Iamblichus-Syriac penulis berbahasa Yunani, penulis risalah "The Life of Pythagoras." (Abad II M)

Jadi sejarawan matematika Jerman Kantor percaya bahwa persamaan 3 2 + 4 2= 5 2 adalah

dikenal orang Mesir sekitar 2300 SM. e. pada masa Raja Amenechmet (menurut papirus 6619 Museum Berlin). Beberapa percaya bahwa Pythagoras memberikan teorema bukti penuh, sementara yang lain menyangkalnya atas jasa ini.

Beberapa atribut ke Pythagoras bukti yang diberikan oleh Euclid dalam Elemen-nya. Di sisi lain, Proclus (ahli matematika, abad ke-5) mengklaim bahwa bukti dalam "Prinsip" adalah milik Euclid sendiri, yaitu, sejarah matematika hampir tidak menyimpan data yang dapat diandalkan tentang aktivitas matematika Pythagoras. Dalam matematika, mungkin, tidak ada teorema lain yang layak untuk semua jenis perbandingan.

Dalam beberapa daftar "Awal" Euclid, teorema ini disebut "teorema nimfa" karena kesamaan gambar dengan lebah, kupu-kupu ("teorema kupu-kupu"), yang dalam bahasa Yunani disebut nimfa. Orang Yunani juga menyebut kata ini beberapa dewi lain, serta wanita muda dan pengantin. Penerjemah bahasa Arab tidak memperhatikan gambar dan menerjemahkan kata "nimfa" sebagai "pengantin". Inilah bagaimana nama penuh kasih "teorema pengantin wanita" muncul. Ada legenda bahwa ketika Pythagoras dari Samos membuktikan teoremanya, dia berterima kasih kepada para dewa dengan mengorbankan 100 ekor lembu jantan. Oleh karena itu nama lain - "teorema seratus banteng."

Di negara-negara berbahasa Inggris, itu disebut: "kincir angin", "ekor burung merak", "kursi pengantin", "jembatan keledai" (jika siswa tidak dapat "menyeberanginya", maka dia adalah "keledai" yang sebenarnya)

Di Rusia pra-revolusioner, gambar teorema Pythagoras untuk kasus segitiga sama kaki disebut "celana Pythagoras".

"Celana" ini muncul ketika, di setiap sisi segitiga siku-siku, membuat kotak ke luar.

Berapa banyak bukti yang berbeda dari teorema Pythagoras yang ada?

Sejak zaman Pythagoras, lebih dari 350 di antaranya telah muncul, teorema ini dimasukkan dalam Guinness Book of Records. Jika kita menganalisis bukti teorema, maka mereka menggunakan beberapa ide yang berbeda secara fundamental.

Area penerapan teorema.

Hal ini banyak digunakan dalam memecahkan geometris tugas.

Dengan bantuannya Anda dapat menemukan nilai akar kuadrat dari bilangan bulat secara geometris:

Untuk melakukan ini, kami membangun segitiga siku-siku AOB (sudut A adalah 90 °) dengan kaki satuan. Maka sisi miringnya adalah 2. Kemudian kita bangun satu ruas BC, BC tegak lurus OB, panjang sisi miring OS=√3, dst.

(metode ini ditemukan dalam Euclid dan F. Kirensky).

Tugas dalam kursus fisika SMA membutuhkan pengetahuan teorema Pythagoras.

Ini adalah tugas yang berkaitan dengan penambahan kecepatan.

Perhatikan slide: tugas dari buku teks fisika kelas 9. Secara praktis dapat dirumuskan sebagai berikut: pada sudut berapakah arah aliran sungai seharusnya kapal yang mengangkut penumpang antar dermaga bergerak agar dapat memenuhi jadwal? (Pelabuhan terletak di tepi sungai yang berseberangan)

Ketika seorang biathlete menembak target, dia membuat "koreksi angin". Jika angin bertiup dari kanan, dan atlet menembak dalam garis lurus, maka peluru akan mengarah ke kiri. Untuk mencapai target, Anda perlu memindahkan pandangan ke kanan dengan jarak perpindahan peluru. Tabel khusus telah disusun untuk mereka (berdasarkan konsekuensi dari Kamerad Pythagoras). Biathlete tahu di sudut mana untuk mengalihkan pandangan pada kecepatan angin yang diketahui.

astronomi - juga merupakan area yang luas untuk penerapan teorema jalur berkas cahaya. Gambar tersebut menunjukkan jalur seberkas cahaya dari A ke B dan kembali. Jalur sinar ditunjukkan dengan panah melengkung untuk kejelasan, pada kenyataannya, berkas cahaya lurus.

Apa jalur balok?? Cahaya bergerak bolak-balik dengan cara yang sama. Berapakah separuh lintasan yang ditempuh sinar? Jika kita menandai segmen AB simbol aku, separuh waktu sebagai t, dan juga menunjukkan kecepatan cahaya dengan huruf c, maka persamaan kita akan berbentuk

c*t=l

Ini adalah produk dari waktu yang dihabiskan untuk kecepatan!

Sekarang mari kita coba melihat fenomena yang sama dari kerangka acuan lain, misalnya, dari pesawat ruang angkasa yang terbang melewati balok berjalan dengan kecepatan v. Dengan pengamatan seperti itu, kecepatan semua benda akan berubah, dan benda diam akan mulai bergerak dengan kecepatan v dalam arah yang berlawanan. Misalkan kapal bergerak ke kiri. Kemudian dua titik di mana kelinci berlari akan bergerak ke kanan dengan kecepatan yang sama. Terlebih lagi, saat kelinci berlari, titik awalnya A bergeser dan balok kembali ke titik baru C.

Pertanyaan: berapa lama titik tersebut akan bergerak (berubah menjadi titik C) selama berkas cahaya merambat? Lebih tepatnya: apa yang setara dengan setengah dari offset ini? Jika kita menyatakan setengah waktu tempuh balok dengan huruf t", dan setengah jarak AC surat d, maka kita mendapatkan persamaan kita dalam bentuk:

v * t" = d

surat v menunjukkan kecepatan pesawat ruang angkasa.

Pertanyaan lain: jalur apa yang akan dilalui sinar cahaya dalam kasus ini?(Lebih tepatnya, berapa setengah dari jalan ini? Berapa jarak ke objek yang tidak diketahui?)

Jika kita menyatakan setengah panjang lintasan cahaya dengan huruf s, maka kita mendapatkan persamaan:

c*t" = s

Di Sini c adalah kecepatan cahaya, dan t" adalah waktu yang sama seperti yang dibahas di atas.

Sekarang perhatikan segitiga ABC. Merupakan segitiga sama kaki yang tingginya aku, yang kami perkenalkan saat mempertimbangkan proses dari sudut pandang tetap. Karena gerakannya tegak lurus aku, maka itu tidak dapat mempengaruhinya.

Segi tiga ABC terdiri dari dua bagian - segitiga siku-siku yang identik, yang sisi miringnya AB dan SM harus terhubung dengan kaki sesuai dengan teorema Pythagoras. Salah satu kakinya adalah d, yang baru saja kita hitung, dan kaki kedua adalah s, yang dilalui cahaya, dan yang juga kita hitung. Kita mendapatkan persamaan:

s 2 =l 2 +d 2

Ini teori Pitagoras!

Fenomena penyimpangan bintang, ditemukan pada tahun 1729, terletak pada kenyataan bahwa semua bintang di bola langit menggambarkan elips. Sumbu semi-mayor dari elips ini diamati dari Bumi pada sudut 20,5 derajat. Sudut ini dikaitkan dengan pergerakan Bumi mengelilingi Matahari dengan kecepatan 29,8 km per jam. Untuk mengamati bintang dari Bumi yang bergerak, tabung teleskop perlu dimiringkan ke depan sepanjang pergerakan bintang, karena saat cahaya merambat sepanjang teleskop, lensa okuler bergerak maju bersama bumi. Penambahan kecepatan cahaya dan Bumi dilakukan secara vektor, menggunakan apa yang disebut.

Pythagoras. U 2 \u003d C 2 + V 2

C adalah kecepatan cahaya

V-kecepatan tanah

tabung teleskop

Pada akhir abad kesembilan belas, berbagai asumsi dibuat tentang keberadaan penghuni Mars yang mirip dengan manusia, ini adalah hasil dari penemuan astronom Italia Schiaparelli (ia membuka saluran di Mars yang dianggap buatan untuk waktu yang lama) . Secara alami, pertanyaan apakah mungkin untuk berkomunikasi dengan makhluk hipotetis ini dengan bantuan sinyal cahaya menyebabkan diskusi yang hidup. Akademi Ilmu Pengetahuan Paris bahkan menetapkan hadiah 100.000 franc untuk orang pertama yang menjalin kontak dengan beberapa penghuni benda angkasa lain; penghargaan ini masih menunggu yang beruntung. Sebagai lelucon, meskipun tidak sepenuhnya tidak masuk akal, diputuskan untuk mengirim sinyal ke penduduk Mars dalam bentuk teorema Pythagoras.

Tidak diketahui bagaimana melakukan ini; tetapi jelas bagi semua orang bahwa fakta matematika yang diungkapkan oleh teorema Pythagoras terjadi di mana-mana, dan oleh karena itu penghuni dunia lain seperti kita harus memahami sinyal seperti itu.

koneksi seluler

Siapa di dunia sekarang ini yang tidak menggunakan ponsel? Setiap pelanggan seluler tertarik pada kualitasnya. Dan kualitasnya, pada gilirannya, tergantung pada ketinggian antena operator seluler. Untuk menghitung dalam radius berapa transmisi dapat diterima, kami menggunakan teorema Pythagoras.

Berapakah ketinggian maksimum antena operator seluler agar dapat menerima transmisi dalam radius R=200 km? (Jari-jari bumi adalah 6380 km.)

Keputusan:

Biarlah AB=x , BC=R=200 km , OC= r = 6380 km.

OB=OA+ABOB=r+x.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita peroleh Jawaban: 2,3 km.

Saat membangun rumah dan pondok, sering muncul pertanyaan tentang panjang kasau untuk atap, jika balok sudah dibuat. Misalnya: direncanakan untuk membangun atap pelana di rumah (bentuk penampang). Berapa panjang kasau jika balok dibuat AC=8 m, dan AB=BF.

Keputusan:

Segitiga ADC sama kaki AB=BC=4 m., BF=4 m Jika kita asumsikan FD=1.5 m, maka:

A) Dari segitiga DBC: DB=2,5 m.

B) Dari segitiga ABF:

Jendela

Di gedung-gedung Gaya gothic dan romantik bagian atas jendela dipisahkan oleh rusuk batu, yang tidak hanya berperan sebagai ornamen, tetapi juga berkontribusi pada kekuatan jendela. Gambar tersebut menunjukkan contoh sederhana dari jendela seperti itu dalam gaya Gotik. Metode membangunnya sangat sederhana: Dari gambar, mudah untuk menemukan pusat enam busur lingkaran, yang jari-jarinya sama dengan

lebar jendela (b) untuk lengkungan luar

setengah lebar, (b/2) untuk busur internal

Masih ada lingkaran lengkap yang menyentuh keempat busur. Karena tertutup di antara dua lingkaran konsentris, diameternya sama dengan jarak antara lingkaran-lingkaran ini, yaitu b / 2 dan, oleh karena itu, jari-jarinya sama dengan b / 4. Dan kemudian menjadi jelas

posisi pusatnya.

PADA arsitektur Romawi motif yang ditunjukkan pada gambar sering ditemukan. Jika b masih menunjukkan lebar jendela, maka jari-jari setengah lingkaran akan sama dengan R = b / 2 dan r = b / 4. Jari-jari lingkaran dalam dapat dihitung dari segitiga siku-siku yang ditunjukkan pada gambar. garis putus-putus. Sisi miring segitiga ini, yang melalui titik singgung lingkaran, sama dengan b/4+p, satu kaki sama dengan b/4, dan kaki lainnya adalah b/2-p. Dengan teorema Pythagoras kita memiliki:

(b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/4-p) 2

b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 - bp / 2 + p 2,

Membagi dengan b dan membawa suku-suku serupa, kita peroleh:

(3/2)p=b/4, p=b/6.

Dalam industri kehutanan: untuk kebutuhan konstruksi, kayu gelondongan digergaji menjadi kayu, sedangkan tugas utamanya adalah mendapatkan limbah sesedikit mungkin. Jumlah limbah terkecil adalah ketika balok memiliki volume terbesar. Apa yang harus ada di bagian? Seperti dapat dilihat dari solusi, penampang harus persegi, dan teori Pitagoras dan pertimbangan lain memungkinkan kesimpulan seperti itu ditarik.

Batang volume terbesar

Tugas

Dari balok silinder perlu memotong balok persegi panjang dengan volume terbesar. Bagaimana seharusnya penampang melintangnya (Gbr. 23)?

Keputusan

Jika sisi-sisi sebuah persegi panjang adalah x dan y, maka dengan teorema Pythagoras

x 2 + y 2 \u003d d 2,

di mana d adalah diameter log. Volume kayu terbesar ketika luas penampang terbesar, yaitu ketika xy mencapai nilai terbesarnya. Tetapi jika xy adalah yang terbesar, maka hasil kali x 2 y 2 juga akan menjadi yang terbesar. Karena jumlah x 2 + y 2 tidak berubah, maka, menurut pembuktian sebelumnya, hasil kali x 2 y 2 adalah yang terbesar ketika

x 2 \u003d y 2 atau x \u003d y.

Jadi, penampang balok harus persegi.

Tugas transportasi(yang disebut tugas pengoptimalan; tugas, solusinya memungkinkan menjawab pertanyaan: bagaimana membuang dana untuk mencapai manfaat besar)

Sekilas, tidak ada yang istimewa: ukur ketinggian dari lantai ke langit-langit di beberapa titik, kurangi beberapa sentimeter agar kabinet tidak menempel di langit-langit. Setelah melakukannya, dalam proses merakit furnitur, kesulitan mungkin muncul. Lagi pula, pembuat furnitur merakit bingkai dengan menempatkan kabinet dalam posisi horizontal, dan ketika bingkai dirakit, mereka mengangkatnya ke posisi vertikal. Pertimbangkan dinding samping kabinet. Ketinggian kabinet harus 10 cm kurang dari jarak dari lantai ke langit-langit, asalkan jarak ini tidak melebihi 2500 mm. Dan kedalaman kabinet adalah 700 mm. Mengapa 10 cm, dan bukan 5 cm atau 7, dan apa hubungannya dengan teorema Pythagoras?

Jadi: dinding samping 2500-100=2400(mm) - ketinggian maksimum struktur.

Dinding samping dalam proses mengangkat bingkai harus melewati dengan bebas baik tinggi maupun diagonal. Oleh teorema Pythagoras

AC \u003d AB 2 + BC 2

AC= 2400 2 + 700 2 = 2500 (mm)

Apa yang terjadi jika ketinggian kabinet dikurangi 50mm?

AC= 2450 2 + 700 2 = 2548 (mm)

Diagonal 2548mm. Jadi, Anda tidak dapat meletakkan lemari (Anda dapat merusak langit-langit).

Penangkal petir.

Diketahui bahwa penangkal petir melindungi semua benda dari petir, yang jaraknya dari alasnya tidak melebihi ketinggian dua kali lipat. Penting untuk menentukan posisi optimal penangkal petir di atap pelana, memberikan ketinggian terendah yang tersedia.

Menurut teorema Pythagoras h 2 a 2 +b 2 berarti h≥(a 2 +b 2) 1/2

Segera di pondok musim panas mereka perlu membuat rumah kaca untuk bibit.

Dari papan merobohkan 1m1m persegi. Ada sisa-sisa film berukuran 1.5m1.5m. Pada ketinggian berapa di tengah bujur sangkar rel harus dipasang sehingga film menutupinya sepenuhnya?

1) Diagonal rumah kaca d == 1.4; 0.7

2) Film diagonal d 1= 2,12 1,06

3) Tinggi rel x= 0,7

Kesimpulan

Sebagai hasil dari penelitian, saya menemukan beberapa area penerapan teorema Pythagoras. Saya telah mengumpulkan dan memproses banyak bahan dari sumber literatur dan Internet tentang topik ini. Saya mempelajari beberapa informasi sejarah tentang Pythagoras dan teoremanya. Ya, memang, dengan menggunakan teorema Pythagoras, Anda tidak hanya dapat menyelesaikan masalah matematika. Teorema Pythagoras telah menemukan aplikasinya dalam konstruksi dan arsitektur, komunikasi seluler, dan sastra.

Studi dan analisis sumber informasi tentang teorema Pythagoras

menunjukkan bahwa:

sebuah) perhatian eksklusif para matematikawan dan matematikawan terhadap teorema ini didasarkan pada kesederhanaan, keindahan, dan signifikansinya;

b) teorema Pythagoras selama berabad-abad berfungsi sebagai dorongan untuk penemuan matematika yang menarik dan penting (teorema Fermat, teori relativitas Einstein);

di) teorema Pythagoras - adalah perwujudan dari bahasa universal matematika, berlaku di seluruh dunia;

G) ruang lingkup teorema cukup luas dan umumnya tidak dapat ditunjukkan dengan kelengkapan yang memadai;

d) rahasia teorema Pythagoras terus menggairahkan umat manusia dan oleh karena itu kita masing-masing diberi kesempatan untuk terlibat dalam pengungkapannya.

Bibliografi

Uspekhi matematicheskikh nauk, 1962, vol.17, no.6 (108).

Alexander Danilovich Alexandrov (pada hari ulang tahunnya yang kelima puluh),

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometri, 10 - 11 sel. - M.: Pencerahan, 1992.

Atanasyan L.S. dll. Geometri, 10 - 11 sel. - M.: Pencerahan, 1992.

Vladimirov Yu.S. Ruang - waktu: dimensi eksplisit dan tersembunyi. - M.: "Nauka", 1989.

Voloshin A.V. Pythagoras. - M.: Pencerahan, 1993.

Koran "Matematika", No. 21, 2006.

Koran "Matematika", No. 28, 1995.

Geometri: Prok. Untuk 7 - 11 sel. sekolah menengah / G.P. Bevz, V.G. Bevz, N.G. Vladimirova. - M.: Pencerahan, 1992.

Geometri: Buku teks untuk 7 - 9 sel. pendidikan umum Institusi/ L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev dan lainnya - edisi ke-6. - M.: Pencerahan, 1996.

Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah: IX - Xcl. Sebuah panduan untuk guru. - M.: Pencerahan, 1983.

Bab tambahan untuk buku teks sekolah kelas 8: Buku teks untuk siswa sekolah. dan kelas dengan pendalaman. belajar matematika /L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev dan lainnya - M.: Pendidikan, 1996.

Yelensky Sh. Mengikuti jejak Pythagoras. M., 1961.

Kiselev A.P., Rybkin N.A. Geometri: Planimetri: 7 - 9 sel: Buku teks dan buku soal. - M.: Bustard, 1995.

Kline M. Matematika. Cari Kebenaran: Terjemahan dari bahasa Inggris. / Ed. dan kata pengantar. DI DAN. Arshinova, Yu.V. Sachkov. - M.: Mir, 1998.

Liturman V. Teorema Pythagoras. -M., 1960.

Matematika: Buku Pegangan anak sekolah dan siswa / B. Frank dan lainnya; Terjemahan dari dia. - Edisi ke-3, stereotip. - M.: Bustard, 2003.

Peltwer A. Siapa kamu Pythagoras? - M.: Pengetahuan adalah kekuatan, No. 12, 1994.

Perelman Ya. I. Menghibur matematika. - M.: "Ilmu", 1976.

Ponomareva T.D. Ilmuwan hebat. - M.: LLC Astrel Publishing House, 2002.

Sveshnikova A. Perjalanan ke dalam sejarah matematika. -M., 1995.

Semyonov E.E. Kami mempelajari geometri: Buku. Untuk siswa 6 - 8 sel. sekolah Menengah - M.: Pencerahan, 1987.

Smyshlyaev V.K. Tentang matematika dan matematikawan. - Penerbit buku Mari, 1977.

Tuchnin N.P. Bagaimana cara mengajukan pertanyaan. - M.: Pencerahan, 1993.

Cherkasov O.Yu. Planimetri pada ujian masuk. - M.: Lyceum Moskow, 1996.

Kamus ensiklopedis seorang matematikawan muda. Komp. A.P. Savin. - M.: Pedagogi, 1985.

Ensiklopedia untuk anak-anak. T.11. Matematika. /Bab. Ed. M.D. Aksenova. - M.: Avanta +, 2001.

Teorema Pythagoras mengatakan:

Dalam segitiga siku-siku, jumlah kuadrat kaki sama dengan kuadrat sisi miring:

a2 + b2 = c2,

• sebuah dan b- kaki membentuk sudut siku-siku.
• dengan adalah hipotenusa segitiga.

Rumus teorema Pythagoras

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Bukti Teorema Pythagoras

Luas segitiga siku-siku dihitung dengan rumus:

S = \frac(1)(2)ab

Untuk menghitung luas segitiga sembarang, rumus luasnya adalah:

• p- setengah keliling. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
• r adalah jari-jari lingkaran tertulis. Untuk persegi panjang r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Kemudian kita samakan ruas kanan kedua rumus luas segitiga:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \kiri((a+b)^(2) -c^(2) \kanan)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Teorema Pythagoras terbalik:

Jika kuadrat salah satu sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku. Yaitu, untuk setiap rangkap tiga bilangan positif a, b dan c, seperti yang

a2 + b2 = c2,

ada segitiga siku-siku dengan kaki sebuah dan b dan sisi miring c.

teori Pitagoras- salah satu teorema dasar geometri Euclidean, yang menetapkan hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku. Hal itu dibuktikan oleh ilmuwan matematikawan dan filosof Pythagoras.

Arti dari teorema dalam hal itu dapat digunakan untuk membuktikan teorema lain dan memecahkan masalah.

Material tambahan:

Satu hal yang dapat Anda yakini seratus persen, bahwa ketika ditanya berapa kuadrat sisi miringnya, setiap orang dewasa akan dengan berani menjawab: "Jumlah kuadrat kaki." Teorema ini tertanam kuat di benak setiap orang terpelajar, tetapi cukup meminta seseorang untuk membuktikannya, maka kesulitan bisa muncul. Oleh karena itu, mari kita mengingat dan mempertimbangkan berbagai cara untuk membuktikan teorema Pythagoras.

Sekilas tentang biografi

Teorema Pythagoras akrab bagi hampir semua orang, tetapi untuk beberapa alasan biografi orang yang membuatnya tidak begitu populer. Kami akan memperbaikinya. Karena itu, sebelum mempelajari berbagai cara membuktikan teorema Pythagoras, Anda perlu berkenalan secara singkat dengan kepribadiannya.

Pythagoras - seorang filsuf, ahli matematika, pemikir mulai hari ini sangat sulit untuk membedakan biografinya dari legenda yang berkembang untuk mengenang pria hebat ini. Namun sebagai berikut dari tulisan para pengikutnya, Pythagoras of Samos lahir di pulau Samos. Ayahnya adalah seorang pemotong batu biasa, tetapi ibunya berasal dari keluarga bangsawan.

Menurut legenda, kelahiran Pythagoras diprediksi oleh seorang wanita bernama Pythia, yang menghormati nama anak laki-laki itu. Menurut ramalannya, anak laki-laki yang lahir akan membawa banyak manfaat dan kebaikan bagi umat manusia. Itulah yang sebenarnya dia lakukan.

Kelahiran teorema

Di masa mudanya, Pythagoras pindah ke Mesir untuk bertemu dengan orang bijak Mesir yang terkenal di sana. Setelah bertemu dengan mereka, dia diterima untuk belajar, di mana dia mempelajari semua pencapaian besar filsafat, matematika, dan kedokteran Mesir.

Mungkin, di Mesir itulah Pythagoras terinspirasi oleh keagungan dan keindahan piramida dan menciptakan teori besarnya. Ini mungkin mengejutkan pembaca, tetapi sejarawan modern percaya bahwa Pythagoras tidak membuktikan teorinya. Tetapi dia hanya menyampaikan pengetahuannya kepada para pengikutnya, yang kemudian menyelesaikan semua perhitungan matematis yang diperlukan.

Bagaimanapun, hari ini tidak satu teknik untuk membuktikan teorema ini diketahui, tetapi beberapa sekaligus. Hari ini kita hanya bisa menebak bagaimana tepatnya orang Yunani kuno membuat perhitungan mereka, jadi di sini kita akan mempertimbangkan berbagai cara untuk membuktikan teorema Pythagoras.

teori Pitagoras

Sebelum Anda memulai perhitungan apa pun, Anda perlu mencari tahu teori mana yang harus dibuktikan. Teorema Pythagoras berbunyi seperti ini: "Dalam sebuah segitiga yang salah satu sudutnya 90 o, jumlah kuadrat kedua kakinya sama dengan kuadrat sisi miringnya."

Ada 15 cara berbeda untuk membuktikan Teorema Pythagoras secara total. Ini adalah jumlah yang cukup besar, jadi mari kita perhatikan yang paling populer di antara mereka.

Metode satu

Mari kita definisikan dulu apa yang kita miliki. Data ini juga akan berlaku untuk cara lain untuk membuktikan teorema Pythagoras, jadi Anda harus segera mengingat semua notasi yang tersedia.

Misalkan diberikan segitiga siku-siku, dengan kaki a, b dan sisi miring sama dengan c. Metode pembuktian pertama didasarkan pada fakta bahwa sebuah persegi harus ditarik dari sebuah segitiga siku-siku.

Untuk melakukan ini, Anda perlu menggambar segmen yang sama dengan kaki ke panjang kaki a, dan sebaliknya. Jadi itu harus menghasilkan dua sisi persegi yang sama. Tetap hanya menggambar dua garis paralel, dan kotak sudah siap.

Di dalam gambar yang dihasilkan, Anda perlu menggambar persegi lain dengan sisi yang sama dengan sisi miring dari segitiga aslinya. Untuk melakukan ini, dari simpul ac dan sv, Anda perlu menggambar dua segmen paralel yang sama dengan c. Dengan demikian, kita mendapatkan tiga sisi bujur sangkar, salah satunya adalah sisi miring dari segitiga siku-siku asli. Tetap hanya menggambar segmen keempat.

Berdasarkan gambar yang dihasilkan, kita dapat menyimpulkan bahwa luas persegi terluar adalah (a + b) 2. Jika Anda melihat ke dalam gambar, Anda dapat melihat bahwa selain bujur sangkar bagian dalam, ia memiliki empat segitiga siku-siku. Luas masing-masing 0,5 av.

Oleh karena itu, luasnya adalah: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Karenanya (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

Dan, oleh karena itu, dengan 2 \u003d a 2 + di 2

Teorema telah terbukti.

Metode dua: segitiga sebangun

Rumus untuk pembuktian teorema Pythagoras ini diturunkan berdasarkan pernyataan dari bagian geometri tentang segitiga-segitiga yang sebangun. Dikatakan bahwa kaki segitiga siku-siku adalah rata-rata yang sebanding dengan sisi miringnya dan segmen sisi miring yang berasal dari titik sudut 90o.

Data awal tetap sama, jadi mari kita mulai dengan buktinya. Mari kita menggambar segmen CD tegak lurus dengan sisi AB. Berdasarkan pernyataan di atas, panjang kaki segitiga adalah:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Untuk menjawab pertanyaan bagaimana membuktikan teorema Pythagoras, pembuktian harus dilakukan dengan mengkuadratkan kedua pertidaksamaan.

AC 2 \u003d AB * NERAKA dan SV 2 \u003d AB * DV

Sekarang kita perlu menambahkan ketidaksetaraan yang dihasilkan.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), di mana AD + DV \u003d AB

Ternyata:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Dan maka dari itu:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Pembuktian teorema Pythagoras dan berbagai cara penyelesaiannya memerlukan pendekatan serbaguna untuk masalah ini. Namun, opsi ini adalah salah satu yang paling sederhana.

Metode perhitungan lain

Deskripsi berbagai cara untuk membuktikan teorema Pythagoras mungkin tidak berarti apa-apa, sampai Anda mulai berlatih sendiri. Banyak metode tidak hanya melibatkan perhitungan matematis, tetapi juga konstruksi angka baru dari segitiga asli.

Dalam hal ini, perlu untuk menyelesaikan VSD segitiga siku-siku lainnya dari kaki pesawat. Jadi, sekarang ada dua segitiga dengan kaki yang sama BC.

Diketahui luas bangun-bangun yang sejenis mempunyai perbandingan sebagai kuadrat dari dimensi-dimensi liniernya yang serupa, maka:

S avs * s 2 - S vd * dalam 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (dari 2 hingga 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

dari 2 hingga 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + dalam 2

Karena opsi ini hampir tidak cocok dari berbagai metode pembuktian teorema Pythagoras untuk kelas 8, Anda dapat menggunakan teknik berikut.

Cara termudah untuk membuktikan teorema Pythagoras. Ulasan

Sejarawan percaya bahwa metode ini pertama kali digunakan untuk membuktikan teorema di Yunani kuno. Ini adalah yang paling sederhana, karena sama sekali tidak memerlukan perhitungan apa pun. Jika Anda menggambar dengan benar, maka bukti pernyataan bahwa a 2 + b 2 \u003d c 2 akan terlihat jelas.

Kondisi untuk metode ini akan sedikit berbeda dari yang sebelumnya. Untuk membuktikan teorema, misalkan segitiga siku-siku ABC adalah segitiga sama kaki.

Kami mengambil sisi miring AC sebagai sisi bujur sangkar dan menggambar ketiga sisinya. Selain itu, perlu untuk menggambar dua garis diagonal di kotak yang dihasilkan. Sehingga di dalamnya Anda mendapatkan empat segitiga sama kaki.

Untuk kaki AB dan CB, Anda juga perlu menggambar persegi dan menggambar satu garis diagonal di masing-masingnya. Kami menggambar garis pertama dari simpul A, yang kedua - dari C.

Sekarang Anda perlu hati-hati melihat gambar yang dihasilkan. Karena ada empat segitiga di sisi miring AC, sama dengan yang asli, dan dua di kaki, ini menunjukkan kebenaran teorema ini.

Ngomong-ngomong, berkat metode pembuktian teorema Pythagoras ini, lahirlah ungkapan terkenal: "Celana Pythagoras sama ke segala arah."

Bukti oleh J. Garfield

James Garfield adalah Presiden Amerika Serikat ke-20. Selain meninggalkan jejaknya dalam sejarah sebagai penguasa Amerika Serikat, ia juga berbakat otodidak.

Pada awal karirnya, ia adalah seorang guru biasa di sekolah rakyat, tetapi segera menjadi direktur salah satu lembaga pendidikan tinggi. Keinginan untuk pengembangan diri dan memungkinkan dia untuk menawarkan teori baru pembuktian teorema Pythagoras. Teorema dan contoh penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

Pertama, Anda perlu menggambar dua segitiga siku-siku di selembar kertas sehingga kaki salah satunya adalah kelanjutan dari yang kedua. Titik sudut segitiga ini perlu dihubungkan untuk mendapatkan trapesium.

Seperti yang Anda ketahui, luas trapesium sama dengan produk setengah jumlah alasnya dan tingginya.

S=a+b/2 * (a+b)

Jika kita menganggap trapesium yang dihasilkan sebagai gambar yang terdiri dari tiga segitiga, maka luasnya dapat ditemukan sebagai berikut:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Sekarang kita perlu menyamakan dua ekspresi asli

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + dalam 2

Lebih dari satu volume buku teks dapat ditulis tentang teorema Pythagoras dan bagaimana membuktikannya. Tetapi apakah masuk akal bila pengetahuan ini tidak dapat dipraktikkan?

Aplikasi praktis dari teorema Pythagoras

Sayangnya, kurikulum sekolah modern menyediakan penggunaan teorema ini hanya dalam masalah geometris. Lulusan akan segera meninggalkan tembok sekolah tanpa mengetahui bagaimana mereka dapat menerapkan pengetahuan dan keterampilan mereka dalam praktik.

Sebenarnya, setiap orang dapat menggunakan teorema Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari. Dan tidak hanya dalam kegiatan profesional, tetapi juga dalam pekerjaan rumah tangga biasa. Mari kita pertimbangkan beberapa kasus ketika teorema Pythagoras dan metode pembuktiannya bisa sangat diperlukan.

Hubungan teorema dan astronomi

Tampaknya bagaimana bintang dan segitiga dapat dihubungkan di atas kertas. Faktanya, astronomi adalah bidang ilmiah di mana teorema Pythagoras banyak digunakan.

Misalnya, perhatikan gerakan berkas cahaya di ruang angkasa. Kita tahu bahwa cahaya merambat ke dua arah dengan kecepatan yang sama. Kami menyebut lintasan AB di mana sinar cahaya bergerak aku. Dan separuh waktu yang diperlukan cahaya untuk berpindah dari titik A ke titik B, sebut saja t. Dan kecepatan balok - c. Ternyata: c*t=l

Jika Anda melihat sinar yang sama ini dari bidang lain, misalnya, dari pesawat luar angkasa yang bergerak dengan kecepatan v, maka dengan pengamatan benda-benda seperti itu, kecepatannya akan berubah. Dalam hal ini, bahkan elemen stasioner akan bergerak dengan kecepatan v dalam arah yang berlawanan.

Katakanlah komik liner berlayar ke kanan. Kemudian titik A dan B, di mana sinar bergegas, akan bergerak ke kiri. Selain itu, ketika balok bergerak dari titik A ke titik B, titik A memiliki waktu untuk bergerak dan, dengan demikian, cahaya akan tiba di titik C yang baru. Untuk menemukan setengah jarak yang bergeser titik A, Anda perlu mengalikan kecepatan liner dengan setengah waktu tempuh balok (t").

Dan untuk menemukan seberapa jauh seberkas cahaya dapat melakukan perjalanan selama waktu ini, Anda perlu menentukan setengah jalur dari pohon beech baru dan mendapatkan ekspresi berikut:

Jika kita membayangkan bahwa titik-titik cahaya C dan B, serta garis luar angkasa, adalah titik-titik sudut segitiga sama kaki, maka ruas dari titik A ke garis akan membaginya menjadi dua segitiga siku-siku. Oleh karena itu, berkat teorema Pythagoras, Anda dapat menemukan jarak yang dapat ditempuh oleh sinar cahaya.

Contoh ini, tentu saja, bukanlah yang paling berhasil, karena hanya sedikit yang beruntung untuk mencobanya dalam praktik. Oleh karena itu, kami mempertimbangkan aplikasi yang lebih biasa dari teorema ini.

Jangkauan transmisi sinyal seluler

Kehidupan modern tidak bisa lagi dibayangkan tanpa adanya smartphone. Tetapi seberapa besar manfaatnya jika mereka tidak dapat menghubungkan pelanggan melalui komunikasi seluler?!

Kualitas komunikasi seluler secara langsung tergantung pada ketinggian antena operator seluler. Untuk menghitung seberapa jauh dari menara seluler ponsel dapat menerima sinyal, Anda dapat menerapkan teorema Pythagoras.

Katakanlah Anda perlu menemukan perkiraan ketinggian menara stasioner sehingga dapat menyebarkan sinyal dalam radius 200 kilometer.

AB (tinggi menara) = x;

BC (radius transmisi sinyal) = 200 km;

OS (radius globe) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Menerapkan teorema Pythagoras, kami menemukan bahwa ketinggian minimum menara harus 2,3 kilometer.

Teorema Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari

Anehnya, teorema Pythagoras dapat berguna bahkan dalam masalah sehari-hari, seperti menentukan ketinggian lemari, misalnya. Sepintas, tidak perlu menggunakan perhitungan rumit seperti itu, karena Anda cukup melakukan pengukuran dengan pita pengukur. Tetapi banyak yang terkejut mengapa masalah tertentu muncul selama proses perakitan jika semua pengukuran dilakukan lebih dari akurat.

Faktanya adalah bahwa lemari pakaian dirakit dalam posisi horizontal dan baru kemudian naik dan dipasang di dinding. Oleh karena itu, dinding samping kabinet dalam proses mengangkat struktur harus bebas melewati ketinggian dan diagonal ruangan.

Misalkan ada lemari pakaian dengan kedalaman 800 mm. Jarak dari lantai ke langit-langit - 2600 mm. Pembuat furnitur berpengalaman akan mengatakan bahwa ketinggian kabinet harus kurang dari 126 mm dari ketinggian ruangan. Tapi kenapa tepatnya 126 mm? Mari kita lihat sebuah contoh.

Dengan dimensi kabinet yang ideal, mari kita periksa operasi teorema Pythagoras:

AC \u003d AB 2 + BC 2

AC \u003d 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - semuanya menyatu.

Misalkan tinggi kabinet bukan 2.474 mm, melainkan 2.505 mm. Kemudian:

AC \u003d 2505 2 + 800 2 \u003d 2629 mm.

Oleh karena itu, kabinet ini tidak cocok untuk dipasang di ruangan ini. Karena ketika mengangkatnya ke posisi vertikal, kerusakan pada tubuhnya dapat terjadi.

Mungkin, setelah mempertimbangkan berbagai cara untuk membuktikan teorema Pythagoras oleh para ilmuwan yang berbeda, kita dapat menyimpulkan bahwa itu lebih dari benar. Sekarang Anda dapat menggunakan informasi yang diterima dalam kehidupan sehari-hari Anda dan benar-benar yakin bahwa semua perhitungan tidak hanya berguna, tetapi juga benar.